北航_机械振动基础_最全版
机械振动基础
第9 章 机械振动基础人类生活在充满振动的自然界之中，固体物质中原子的振动、宇宙空间的电 磁振荡、机械钟表钟摆的摆动等，振动现象俯拾皆是。
而机械振动是机械工程和 日常生活普遍可见的力学现象，行驶交通工具的振动、人体脉搏不停息地跳动和 内燃机工作状态的振动等均属此类运动。
机械振动的传播便形成机械波，因此本 章是第10章波动的学习基础。
值得注意的是，机械振动和机械波的基本内容还是 电工学、无线电技术、自动控制技术等科学技术领域的理论基础。
本章将重点介 绍简谐振动及其规律，讨论简谐振动的合成，以及阻尼振动、受迫振动等更接近 客观实际的机械振动模型。
在本章学习过程中，应重视简谐振动的学习，掌握其 动力学方程的建立与求解，简谐振动合成复杂振动的研究等，为机械振动在专业 课程的学习和技术工程中的应用奠定扎实的理论基础。
9.1 简谐振动物体在其平衡位置附近往复运动称为机械振动，简谐振动属于最简单、最基 本的机械振动，是研究复杂振动的基础，因为复杂的振动可由若干简谐振动合成 获得。
由原长为l 、劲度系数为k 的轻弹簧和质量为m的物体构成的弹簧振子如图9.1所示，若不计空气阻力、水平桌面的摩擦力，则该力学系统做简谐振动，应用 牛顿第二定律可以求解其运动方程。
以下通过对弹簧振子的求解，详细介绍简谐 振动问题的求解方法。
以固定于地面的水平桌面为惯性系，选择如图9.1所示的坐 标系，取振动系统的平衡位置为坐标原点O，由胡克定律得到质量为m的振子所 受弹性力与其位移成正比得：=-F kx图9.1 弹簧振子如上式所述，将始终指向振子平衡位置、又与其位移成正比的力称为线性回2大学物理（下册）复力，受到此类力作用的系统一般为简谐振动系统。
由牛顿第二定律可得：22ddxm kxt=- （9.1.1）令 2kmw= （9.1.2） 由式（9.1.1）、（9.1.2）得到：222ddxxtw+= （9.1.3） 式（9.1.3）是振子简谐振动的动力学方程，求解该二阶线性齐次微分方程得 到振子简谐振动的运动方程为：()cos()x t A tw j=+ （9.1.4） 将式（9.1.4）对时间分别求一、二次导数得到振子简谐振动的速度、加速度为：00dsin()dxv A ttw w j==-+ （9.1.5）22000dcos()dva A t xtw w j w==-+=- （9.1.6） 由式（9.1.4）～（9.1.6）可知，物体做简谐振动时，其位移、速度和加速度 均为时间的周期性函数，图9.2给出了相应的函数图像。
机械振动基础
固有频率及固有周期
n
def
k m
只与振动系统的弹簧常量k和物块的质量 m 有关， 而与运动的初始条件无关，所以称为固有频率。
Tn
def
2
n
2
m k
固有周期
例 图示的直升机桨叶 经实验测出其质量为m， 质心C距铰中心O距离 为l。现给予桨叶初始 扰动，使其微幅摆动， 用秒表测得多次摆动 循环所用的时间，除 以循环次数获得近似 的固有周期，试求桨 叶绕垂直铰O 的转动惯量。
def
e nt e n ( t Td )
n Td
2 1
2
2
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
e. 自由振动中含有的阻尼信息提供了由实验确 定系统阻尼的可能性。通常，可根据实测的 自由振动，通过计算振幅对数衰减率来确定 系统的阻尼比。
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
这种性质称为等时性。
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
c. 阻尼固有频率和阻尼固有周期是阻尼系统自 由振动的重要参数。当阻尼比很小时，它们 与系统的固有频率、固有周期差别很小，甚 至可忽略。 d. 为了描述振幅衰减的快慢，引入振幅对数衰 减率。它定义为经过一个自然周期相邻两个 振幅之比的自然对数
ln
单自由度系统在外激励作用下振动的微分方程
机械振动基础一章的PPT
5
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
实际 系统
简化系统
离散模型 连续体模型
2019年9月22日
简化系统
有限元 模型
对于振动问题的适应性强，应用范围广，
能详细给出各种数值结果，并通过图像
6
显示还可以形象地描述振动过程。
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
静平衡位置
29
1.2 无阻尼系统的自由振动
撞击时刻为零时刻，则 t=0 时，有：
u0
m h
u0 2gh
则自由振动振幅为 ：
l/2
0
l/2
静平衡位置
2
a
u02
u0
0
2 2h
u
梁的最大扰度：
2019年9月22日
max A
• 单自由度系统
仅需一个独立坐标来描述的系统。
������ 注意：对于实际系统，当考虑问题的深度、广度
不2019年9月22日
3
1.1 概述
• 构成机械振动系统的基本元素
构成振动系统的基本元素有惯性(质量) 、恢复性（弹簧）和阻尼（阻尼器）。 惯性就是能使物体当前运动持续下去的性质。 恢复性就是能使物体位置恢复到平衡状态的性质。 阻尼就是阻碍物体运动的性质。
从能量的角度看，惯性是保持动能的元素，恢复性是 贮存势能的元素，阻尼是使能量散逸的元素。
2019年9月22日 4
1.1 概述
• 单自由度系统振动方程
2019年9月22日
分析复杂的实际问题， 发现其中的可以用数学 语言来描述的关系或规 律，把这个实际问题化 成一个数学问题，这就 称为建模。
《机械振动基础》课件第一章02
k ⋅ a sin θ
θ
a
o
k
c
m
m
ɺ c ⋅ a ⋅θ ⋅ cosθ
动量矩定理： 动量矩定理：
a
l
ɺɺ ɺ ml θ = −k ⋅ a sinθ ⋅ a cosθ − c ⋅ a cosθ ⋅θ ⋅ a cosθ
2
sinθ ≈ θ , cosθ ≈ 1
ɺɺ = −ka2θ − ca2θ ɺ ml θ
2
第一章： 第一章：单自由度系统的振动
1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动
ζ =0.1 ζ =0.2 ζ =0.4 ζ =0.8
u, m
0.5
1.0 t, s
Hale Waihona Puke 1.52.0图
阻尼对欠阻尼系统自由振动的影响
第一章： 第一章：单自由度系统的振动
1.5 有阻尼单自由度系统的自由振动
有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg 刚度系数k=500N/m m=5kg， k=500N/m。 【例】: 有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m。 试 验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m 0.02m衰减到0.012m， 验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比 和阻尼器的阻尼系数。 和阻尼器的阻尼系数。 【思路】： 思路】
2
ζ =1
s1,2 = −ω n
特征方程有一对相等实根，故通解： 特征方程有一对相等实根，故通解：
u ( t ) = ( a1 + a 2 t ) e
−ωnt
第一章： 第一章：单自由度系统的振动
北航强度震动Chapter 6
其是支承零件，如轴承座，机匣，吊挂等。它们作为弹性体产 生的振动或共振都会影响转子的振动，从而影响发动机振动；
B.传感器的位置
a.机匣的自振频率密集，产生各种形式的局部振动或共振的可能 性更大。如果测发动机振动的传感器正好放在机匣振动最大的 部位，则测出的振幅增大。振动传感器最好放在靠近发动机重 心附近的外壳上，使它尽量反映的是发动机重心的振动。 b.位置不同，不同型号发动机不能比较，同型号的发动机也不能 比较 ； c.涡轮处测的值比压气机的大； d.装在飞机上测的值比试车台上的大。
讨论
A.发动机振动的幅值不仅与转子不平衡度有关，还与发动机质
量、转速以及机架的刚性有关，即 B.规定q/m之值是判定发动机振动的标准。在设计新机时，以 所选的值与使用中性能良好的发动机进行比较，来判定所设 计的发动机整机振动性能。 C.统计数据：q=(0.018～0.030)m，单位克·厘米(g·cm)。 D.中小型发动机q值靠近低限；大型发动机靠近高限。q为整个 转子（包括压气机和涡轮）的不平衡度之和。
13 12/16/2013 1:57:36 PM School of Energy and Power Engineering 14
过荷系数更一般的表达式 K
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a n
i 1
m
6.2.2 整机振动的标定
发动机振动时，振动负荷施加于机架上。这种负荷是周期性 变化的，其频率即为发动机转速；负荷最大值为发动机总质 量与振动最大加速度之积，其与发动机重力的比值称为发动 机的过荷系数 通常用K表示： 机的过荷系数，通常用
y0 f (q, m, k , )
机械振动基础
第4章 机械振动基础4-1 图示两个弹簧的刚性系数分别为k 1 = 5 kN/m ，k 2 = 3 kN/m 。
物块重量m = 4 kg 。
求物体自由振动的周期。
解：根据单自由度系统自由振动的固有频率公式 mk =n ω 解出周期 nπ2ω=T图（a ）为两弹簧串联，其等效刚度 2121eq k k k k k +=所以 )(2121n k k m k k +=ω2121n)(π2π2k k k k m T +==ω代入数据得s 290.0300050003000)4(5000π2=⨯+=T图（b ）为两弹簧串联（情况同a ） 所以 T = 0.290 s图（c ）为两弹簧并联。
等效刚度 k eq = k 1 + k 2 所以 mk k 21n +=ω21nπ2π2k k mT +==ω代入数据得 T = 0.140 s图（d ）为两弹簧并联（情况实质上同（c ））。
所以 T = 0.140 s4-3 如图所示，质量m = 200 kg 的重物在吊索上以等速度v = 5 m/s 下降。
当下降时，由于吊索嵌入滑轮的夹子内，吊索的上端突然被夹住，吊索的刚度系数k = 400 kN/m 。
如不计吊索的重量，求此后重物振动时吊索中的最大张力。
解：依题意，吊索夹住后，重物作单自由度自由振动，设振幅为A ，刚夹住时，吊索处于平衡位置，以平衡位置为零势能点，当重物达到最低点时其速度v = 0。
根据机械能守恒，系统在平衡位置的动能与最低点的势能相等。
即 T max = V max 其中 2max 2v m T = ， 2max 21kA V =v km A =吊索中的最大张力 mk v mg kA mg F +=+=max 代入数据得 kN 7.461040020058.92003max =⋅⋅+⋅=F4-5 质量为m 的小车在斜面上自高度h 处滑下，而与缓冲器相碰，如图所示。
缓冲弹簧的刚性系数为k ，斜面倾角为θ。
《机械振动基础》第二章
已知 A = ( aij ) n× n , Aij 为 aij的代数余子式 , 则
A11 A adjA = 12 ⋮ A1n
A21 A22 ⋮ A2 n
⋯ ⋯ ⋯
An1 An 2 ⋮ Ann
预备知识－线性代数与矩阵理论 预备知识－
【矩阵乘积的逆】 矩阵乘积的逆】
d 21 k2 (d11 − d 21 )
F2 = 0
k 2 + k3 d11 = k1k2 + k1k3 + k2 k3
k3d 21
m2
k2 (d11 − d 21 ) − k3d 21 = 0
k2 d 21 = k1k2 + k1k3 + k2 k3
2.2:建立系统运动微分方程的方法 2.2:建立系统运动微分方程的方法
ɺɺ ɺ ɺ ɺ mu1 = −k1u1 + k2 (u2 − u1 ) − c1u1 + c2 (u2 − u1 ) + f1 (t ) 1 ɺɺ ɺ ɺ ɺ m2u2 = −k2 (u2 − u1 ) − k3u2 − c2 (u2 − u1 ) − c3u2 + f2 (t )
方程之间存在耦合 方程之间存在耦合
ɺɺ Mu + Ku = f ɺɺ Ku = −Mu + f ɺɺ u = D(−Mu + f )
ɺɺ u = −DMu + Df
EI
A M 0 cos t
l
EI
l u2
m
u1
(1)利用Castigliano第二定理计算刚架端点的柔度系数得到柔 (1)利用Castigliano第二定理计算刚架端点的柔度系数得到柔 利用Castigliano第二定理 度矩阵D 度矩阵D Castigliano定理 定理： Castigliano 定理 ： 系统的势能对力的偏导数等于此力的作用点 沿力的方向的位移。 沿力的方向的位移。 (2)计算外力矩作用下刚架端部的动位移 (2)计算外力矩作用下刚架端部的动位移
北航强度震动Chapter 4
13
12/16/2013 1:33:33 PM
School of Energy and Power Engineering
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4.1.6 共振特性
振动频率与旋转速度的关系
激振力频率 共振时
fe z n
fv f e
Z为结构系数，正整数 fv是行波振动频率
nres f / ( z K )2 B
Structural Stressing and Vibration in Aircraft Gas Turbine Engines 第四章 盘和壳体的振动 Chapter 4 Vibrations of Disc and Shell
能源与动力工程学院 School of Energy and Power Engineering
School of Energy and Power Engineering 24
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s 17-05-21, 19:46
asus 17-05-19, 13:36
Pressure Loading on Blades
asus 17-05-14, 23:24
压气机叶盘转子耦合振动示例
12/16/2013 1:33:33 PM
10E
2000
1000
3E
0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
n (r/min)
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Fluid-Structure Interaction
改变壳体的结构尺寸 采用阻尼系数高的材料