二次函数与特殊三角形问题

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2024年中考数学复习重难点题型训练—二次函数与几何图形综合题(与特殊三角形问题)

2024年中考数学复习重难点题型训练—二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）1．（2023·四川·统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数24y ax bx =++的图象与x 轴交于点()2,0A -，()4,0B ，与y 轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)已知E 为抛物线上一点，F 为抛物线对称轴l 上一点，以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，求出点F 的坐标；【答案】(1)2142y x x =-++；(2)()1,1F 或()1,5F -或()1,3F -；(3)162OM ON +=，理由见解析【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）先求得抛物线的对称轴为直线1x =，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D ，证明DFG GBF ≌，设()F 1,m ，则1DE m =+，3DG DF FG GB FG m =+=+=+，进而得出E 点的坐标，代入抛物线解析式，求得m 的值，同理可求得当点F 在x 轴下方时的坐标；当E 点与A 点重合时，求得另一个解，进而即可求解；【详解】（1）解：将点()2,0A -，()4,0B ，代入24y ax bx =++得424016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得：121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为2142y x x =-++；（2）∵点()2,0A -，()4,0B ，∴抛物线的对称轴为直线l ：2412x -+==，如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，∴EF BF =，∵90DFE BFG GBF ∠=︒-∠=∠，∴DFE GBF ≌，∴,GF DE GB FD ==，设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m=+=+=+∴()1,3E m m ++，∵E 点在抛物线2142y x x =-++上∴()()2131142m m m +=-++++解得：3m =-（舍去）或1m =,∴()1,1F ，如图所示，设l 与x 交于点G ，过点E 作ED l ⊥于点D∵以B ，E ，F 为顶点的三角形是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，∴EF BF =，∵90DFE BFG GBF ∠=︒-∠=∠，∴DFE GBF ≌，∴,GF DE GB FD ==，设()F 1,m ，则DE m =，3DG DF FG GB FG m=+=+=-∴()1,3E m m --，∵E 点在抛物线2142y x x =-++上∴()()2131142m m m -=--+-+解得：3m =（舍去）或5m =-，∴()1,5F -，当E 点与A 点重合时，如图所示，∵6AB =，ABF △是等腰直角三角形，且90BFE ∠=︒，∴2GF AB 1==3此时()0,3F -，综上所述，()1,1F 或()1,5F -或()1,3F -；【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线25y ax bx =++与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点,4C AB =．抛物线的对称轴3x =与经过点A 的直线1y kx =-交于点D ，与x 轴交于点E ．(1)求直线AD 及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M ，使得ADM △是以AD 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由；【答案】(1)直线AD 的解析式为1y x =-；抛物线解析式为265y x x =-+；(2)存在，点M 的坐标为()4,3-或()0,5或()5,0；【分析】（1）根据对称轴3x =，4AB =，得到点A 及B 的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；（2）先求出点D 的坐标，再分两种情况：①当90DAM ∠=︒时，求出直线AM 的解析式为1y x =-+，解方程组2165y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，即可得到点M 的坐标；②当90ADM ∠=︒时，求出直线DM 的解析式为5y x =-+，解方程组2565y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，即可得到点M 的坐标；【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴3x =，4AB =，∴()()1,0,5,0A B ，将()1,0A 代入直线1y kx =-，得10k -=，解得1k =，∴直线AD 的解析式为1y x =-；将()()1,0,5,0A B 代入25y ax bx =++，得5025550a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得16a b =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为265y x x =-+；（2）存在点M ，∵直线AD 的解析式为1y x =-，抛物线对称轴3x =与x 轴交于点E ．∴当3x =时，12y x =-=，∴()3,2D ，①当90DAM ∠=︒时，设直线AM 的解析式为y x c =-+，将点A 坐标代入，得10c -+=，解得1c =，∴直线AM 的解析式为1y x =-+，解方程组2165y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，得10x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=-⎩，∴点M 的坐标为()4,3-；②当90ADM ∠=︒时，设直线DM 的解析式为y x d =-+，将()3,2D 代入，得32d -+=，解得5d =，∴直线DM 的解析式为5y x =-+，解方程组2565y x y x x =-+⎧⎨=-+⎩，解得05x y =⎧⎨=⎩或50x y =⎧⎨=⎩，∴点M 的坐标为()0,5或()5,0综上，点M 的坐标为()4,3-或()0,5或()5,0；【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．3.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】()11，-(3)()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M （m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C （0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t +()213t =++∴t=-1，∴P （1，-1）；(3)设点M （m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()()()222222323182m m m m m m -+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M 1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．4．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C -．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】(1)211344y x x =+-；(2)PD 取得最大值为45，52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；(3)Q 点的坐标为9,12⎛⎫- ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =--，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出219494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2F ，勾股定理分别表示出222,,EF QE QF ，进而分类讨论即可求解．【详解】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C -．代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=-⎩解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+-，（2）∵211344y x x =+-与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +-=解得：124,3x x =-=，∴()4,0A -,∵()0,3C -．设直线AC 的解析式为3y kx =-，∴430k --=解得：34k =-∴直线AC 的解析式为334y x =--，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴223111334444PQ t t t t t ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =，∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=，∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ⎛⎫==--=--=-++ ⎪⎝⎭，∴当2t =-时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +-=⨯-+⨯--=-，∴52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）∵抛物线211344y x x =+-211494216x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴()0,2F ,∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当QF EF =时，()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1174，解得：1m =-或5m =，当QE QF =时，2295322m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得：74m =综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫- ⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，已知抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，与y 轴交于点C ．直线33y x =-+过抛物线的顶点P ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)若直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F ．①当EF 取得最大值时，求m 的值和EF 的最大值；②当EFC 是等腰三角形时，求点E 的坐标．【答案】(1)245y x x =--+；(2)①当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；②()38-，或()45-，或)52-【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）①先求出()05C ，，进而求出直线BC 的解析式为5y x =+，则()()2455E m m m F m m --++，，，，进一步求出252524EF m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线x m =与x 轴交于H ，先证明BHF 是等腰直角三角形，得到45EFC BFH =∠=︒∠；再分如图3-1所示，当EC FC =时，如图3-2所示，当EF EC =时，如图3-3所示，当EF CF =时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线与x 轴交于()1,0A 和()5,0B -两点，∴抛物线对称轴为直线5122x -+==-，在33y x =-+中，当2x =-时，9y =，∴抛物线顶点P 的坐标为()29-，，设抛物线解析式为()229y a x =++，∴()21290a ++=，∴1a =-，∴抛物线解析式为()222945y x x x =-++=--+（2）解：①∵抛物线解析式为245y x x =--+，点C 是抛物线与y 轴的交点，∴()05C ，，设直线BC 的解析式为1y kx b =+，∴11505k b b -+=⎧⎨=⎩，∴15k b =⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为5y x =+，∵直线()50x m m =-<<与抛物线交于点E ，与直线BC 交于点F∴()()2455E m m m F m m --++，，，，∴()2455EF m m m =--+-+25m m=--252524m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，∵10-<，∴当52m =-时，EF 有最大值，最大值为254；②设直线x m =与x 轴交于H ，∴5BH m =+，5HF m =+，∴BH HF =，∴BHF 是等腰直角三角形，∴45EFC BFH =∠=︒∠；如图3-1所示，当EC FC =时，过点C 作CG EF ⊥于G ，则()5G m ，∴点G 为EF 的中点，由（2）得()()2455E m m m F m m --++，，，，∴245552m m m --+++=，∴230m m +=，解得3m =-或0m =（舍去），∴()38E -，；如图3-2所示，当EF EC =时，则EFC 是等腰直角三角形，∴90FEF =︒∠，即CE EF ⊥，∴点E 的纵坐标为5，∴2455m m --+=，解得4m =-或0m =（舍去），∴()45E -，如图3-3所示，当EF CF =时，过点C 作CG EF ⊥于G ，同理可证CFG △是等腰直角三角形，∴FG CG m ==-，∴22CF CG m ==-，∴252m m m --=-，∴(2520m m +-=，解得25m =-或0m =（舍去），∴()225522EF CF ==-⨯-=-，2HF =，∴622HE =-，∴()25622E --，综上所述，点E 的坐标为()38-，或()45-，或()25622--，【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．6.(2022·四川省遂宁市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 的坐标为（-1，0），点C 的坐标为（0，-3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E 为△ABC 边AB 上的一动点，F 为BC 边上的一动点，D 点坐标为（0，-2），求△DEF 周长的最小值；（3）如图2，N 为射线CB 上的一点，M 是抛物线上的一点，M 、N 均在第一象限内，B 、N 位于直线AM 的同侧，若M 到x 轴的距离为d ，△AMN 面积为2d ，当△AMN 为等腰三角形时，求点N 的坐标．【解析】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0），点C（0，-3）．∴1−b+c=0c=−3，∴b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．由对称性可知DE=D1E，DF=D2F，△DEF的周长=D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y=0，则x2-2x-3=0，解得x=-1或3，∴B（3，0），∴OB=OC=3，∴△BOC是等腰直角三角形，∵BC垂直平分DD2，且D（-2，0），∴D2（1，-3），∵D，D1关于x轴的长，∴D1（0，2），∴D1D2=D2C2+D1C2=52+12=26，∴△DEF的周长的最小值为26．（3）∵M到x轴距离为d，AB=4，连接BM．∴S△ABM=2d，又∵S△AMN=2d，∴S△ABM=S△AMN，∴B，N到AM的距离相等，∵B，N在AM的同侧，∴AM∥BN，设直线BN的解析式为y=kx+m，则有m=−33k+m=0，∴k=1m=−3，∴直线BC的解析式为y=x-3，∴设直线AM的解析式为y=x+n，∵A（-1，0），∴直线AM的解析式为y=x+1，由y=x+1y=x2−2x−3，解得x=1y=0或x=4y=5，∴M（4，5），∵点N在射线BC上，∴设N（t，t-3），过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．∵A（-1，0），M（4，5），N（t，t-3），∴AM=52，AN=(t+1)2+(t−3)2，MN=(t−4)2+(t−8)2，∵△AMN是等腰三角形，当AM=AN时，52=(t+1)2+(t−3)2，解得t=1±21，当AM=MN时，52=(t−4)2+(t−8)2，解得t=6±21，当AN=MN时，(t+1)2+(t−3)2=(t−4)2+(t−8)2，解得t=72，∵N 在第一象限，∴t ＞3，∴t 的值为72，1+21，6+21，∴点N 的坐标为（72，12）或（1+21，-2+21）或（6+21，3+21）．7．（2023·江苏连云港·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:23L y x x =--的顶点为P ．直线l 过点()()0,3M m m ≥-，且平行于x 轴，与抛物线1L 交于A B 、两点（B 在A 的右侧）．将抛物线1L 沿直线l 翻折得到抛物线2L ，抛物线2L 交y 轴于点C ，顶点为D ．(1)当1m =时，求点D 的坐标；(2)连接BC CD DB 、、，若BCD △为直角三角形，求此时2L 所对应的函数表达式；(3)在（2）的条件下，若BCD △的面积为3,E F 、两点分别在边BC CD 、上运动，且EF CD =，以EF 为一边作正方形EFGH ，连接CG ，写出CG 长度的最小值，并简要说明理由．【答案】(1)()1,6D ；(2)223y x x =-++或223y x x =-+-；【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，进而得出顶点坐标()1,4P -，根据对称性，即可求解．（2）由题意得，1L 的顶点()1,4P -与2L 的顶点D 关于直线y m =对称，()1,24D m +，则抛物线()()222:124223L y x m x x m =--++=-+++．进而得出可得()0,23C m +，①当90BCD ∠=︒时，如图1，过D 作DN y ⊥轴，垂足为N ．求得()3,B m m +，代入解析式得出0m =，求得22:23L y x x =-++．②当=90BDC ∠︒时，如图2，过B 作BT ND ⊥，交ND 的延长线于点T ．同理可得BT DT =，得出()5,B m m +，代入解析式得出3m =-代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-+-；③当90DBC ∠=︒时，此情况不存在．【详解】（1）∵2223(1)4y x x x =--=--，∴抛物线1L 的顶点坐标()1,4P -．∵1m =，点P 和点D 关于直线1y =对称．∴()1,6D ．（2）由题意得，1L 的顶点()1,4P -与2L 的顶点D 关于直线y m =对称，∴()1,24D m +，抛物线()()222:124223L y x m x x m =--++=-+++．∴当0x =时，可得()0,23C m +．①当90BCD ∠=︒时，如图1，过D 作DN y ⊥轴，垂足为N ．∵()1,24D m +，∴()0,24N m +．∵()0,23C m +∴1DN NC ==．∴45DCN ∠=︒．∵90BCD ∠=︒，∴45BCM ∠=︒．∵直线l x ∥轴，∴90BMC ∠=︒．∴45,CBM BCM BM CM ∠=∠=︒=．∵3m ≥-，∴()233BM CM m m m ==+-=+．∴()3,B m m +．又∵点B 在2=23y x x --图像上，∴()()23233m m m =+-+-．解得0m =或3m =-．∵当3m =-时，可得()()0,3,0,3B C --，此时B C 、重合，舍去．当0m =时，符合题意．将0m =代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-++．②当=90BDC ∠︒时，如图2，过B 作BT ND ⊥，交ND 的延长线于点T ．同理可得BT DT =．∵()1,24D m +，∴()244DT BT m m m ==+-=+．∵1DN =，∴()145NT DN DT m m =+=++=+．∴()5,B m m +．又∵点B 在2=23y x x --图像上，∴()()25253m m m =+-+-．解得3m =-或4m =-．∵3m ≥-，∴3m =-．此时()()2,3,0,3B C --符合题意．将3m =-代入22:223L y x x m =-+++，得22:23L y x x =-+-．③当90DBC ∠=︒时，此情况不存在．综上，2L 所对应的函数表达式为223y x x =-++或223y x x =-+-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，特殊三角形问题，正方形的性质，勾股定理，面积问题，分类讨论是解题的关键．8．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()4,0B ，()2,0C -两点．与y 轴交于点()0,2A -．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点K ，过点P作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求与12PK PD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使得MAB △是以AB 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)211242y x x =--；(2)存在，12PK PD +的最大值为258，335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)()1,6或()1,4-【分析】（1）将A 、B 、C 代入抛物线解析式求解即可；（2）可求直线AB 的解析式为122y x =-，设211,242P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（04m <<），可求22111,2242K m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，从而可求21132222PK PD m +=-++，即可求解；（3）过A 作2AM AB ⊥交抛物线的对称轴于2M ，过B 作1BM AB ⊥交抛物线的对称轴于1M ，连接1AM ，设()11,M n ，可求22145AM n n =++，2219BM n =+，由22211AB BM AM +=，可求1M ，进而求出直线1BM 的解析式，即可求解．【详解】（1）解：由题意得16404202a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：14122a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式为211242y x x =--．（2）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+，则有402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线AB 的解析式为122y x =-；设211,242P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（04m <<），211122242x m m ∴-=--，解得：212x m m =-，22111,2242K m m m m ⎛⎫∴--- ⎪⎝⎭，212PK m m m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭2122m m =-+，21124PK m m ∴=-+，211242PD m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭211242m m =-++，22111122442PK PD m m m m ∴+=-+-++213222m m =-++21325228m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，102-< ，∴当32m =时，12PK PD +的最大值为258，∴21313352422216y ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭，∴335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．故12PK PD +的最大值为258，335,216P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）解：存在，如图，过A 作2AM AB ⊥交抛物线的对称轴于2M ，过B 作1BM AB ⊥交抛物线的对称轴于1M ，连接1AM ，∵抛物线211242y x x =--的对称轴为直线1x =，∴设()11,M n ，()222112AM n ∴=++245n n =++，2222420AB =+=，()222141BM n =-+29n =+，22211AB BM AM += ，2292045n n n ∴++=++，解得：6n =，()11,6M ∴；设直线1BM 的解析式为11y k x b =+，则有1111640k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得1128k b =-⎧⎨=⎩，∴直线1BM 解析式为28y x =-+，21AM BM ∥ ，且经过()0,2A -，∴直线2AM 解析式为22y x =--，∴当1x =时，2124y =-⨯-=-，()21,4M ∴-；综上所述：存在，M 的坐标为()1,6或()1,4-．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键．9.（2021·四川广安市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC上以每秒个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b、c的值；（2）在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（3174+，23178+）【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P作PE⊥x轴，垂足为E，利用S四边形BCPQ=S△ABC-S△APQ表示出四边形BCPQ的面积，求出t的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P作x轴的垂线，交x轴于E，过M作y轴的垂线，与EP交于F，证明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到点M的坐标，再代入二次函数表达式，求出t值，即可算出M的坐标．【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A（3，0），B（-1，0），则09301b cb c=-++⎧⎨=--+⎩，解得：23 bc=⎧⎨=⎩；（2）由（1）得：抛物线表达式为y=-x 2+2x+3，C （0，3），A （3，0），∴△OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP=，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为E ，∴AE=PE=，即E （3-t ，0），又Q （-1+t ，0），∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦=21262t t -+∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，=，AB=4，∴0≤t≤3，∴当t=2122--⨯=2时，四边形BCPQ 的面积最小，即为2122262⨯-⨯+=4；（3）∵点M 是线段AC 上方的抛物线上的点，如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM=PQ ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE ，在△PFM 和△QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PFM ≌△QEP （AAS ），∴MF=PE=t ，PF=QE=4-2t ，∴EF=4-2t+t=4-t ，又OE=3-t ，∴点M 的坐标为（3-2t ，4-t ），∵点M 在抛物线y=-x 2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t ）2+2（3-2t ）+3，解得：t=98或98+（舍），∴M点的坐标为（34，23178+）．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．10.（2021·江苏中考真题）如图，抛物线21y 2x bx c =-++与x 轴交于A(-1，0)，B(4，0)，与y 轴交于点C ．连接AC ，BC ，点P 在抛物线上运动．(1)求抛物线的表达式；(2)如图①，若点P 在第四象限，点Q 在PA 的延长线上，当∠CAQ=∠CBA +45°时，求点P 的坐标；(3)如图②，若点P 在第一象限，直线AP 交BC 于点F ，过点P 作x 轴的垂线交BC 于点H ，当△PFH 为等腰三角形时，求线段PH 的长．【答案】（1）213222y x x =-++；（2）（6，-7）；（3）PH=5-或1.5或158【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）求得点C 的坐标后先利用勾股定理的逆定理判断∠ACB=90°，继而可得∠ACO=∠CBA ，在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，易得△OCE 是等腰直角三角形，可得∠OCE=45°，进一步可推出∠ACE=∠CAQ ，可得CE ∥PQ ，然后利用待定系数法分别求出直线CE 与PQ 的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可；（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，由题意可得若△PFH 为等腰三角形，则△CFG 也为等腰三角形，设G （0，m ），求出直线AF 和直线BC 的解析式后，再解方程组求出点F 的坐标，然后分三种情况求出m 的值，再求出直线AP 的解析式，进而可求出点P 的坐标，于是问题可求解．【详解】解：（1）把A(-1，0)，B(4，0)代入21y 2x bx c =-++，得102840b c b c ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式是213222y x x =-++；（2）令x=0，则y=2，即C （0，2），∵222125AC =+=，2222420BC =+=，AB 2=25，∴222AC BC AB +=，∴∠ACB=90°，∵∠ACO+∠CAO=∠CBA+∠CAO=90°，∴∠ACO=∠CBA ，在x 轴上取点E （2，0），连接CE ，如图，则CE=OE=2，∴∠OCE=45°，∴∠ACE=∠ACO+45°=∠CBA+45°=∠CAQ ，∴CE ∥PQ ，∵C （0，2），E （2，0），∴直线CE 的解析式为y=-x+2，设直线PQ 的解析式为y=-x+n ，把点A （-1，0）代入，可得n=-1，∴直线PQ 的解析式为y=-x-1，解方程组2132221y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=--⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或67x y =⎧⎨=-⎩，∴点P 的坐标是（6，-7）；（3）设直线AP 交y 轴于点G ，如图，∵PH ∥y 轴，∴∠PHC=∠OCB ，∠FPH=∠CGF ，∴若△PFH 为等腰三角形，则△CFG 也为等腰三角形，∵C （0，2），B （4，0），∴直线BC 的解析式为122y x =-+，设G （0，m ），∵A （-1，0），∴直线AF 的解析式为y=mx+m ，解方程组122y x y mx m ⎧=-+⎪⎨⎪=+⎩，得4221521m x m m y m -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，∴点F 的坐标是425,2121m m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，∴()222222224254252,2,21212121m m m m CG m CF FG m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当CG=CF 时，()222425222121m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得：m =此时直线AF 的解析式为y=12-x+12-，解方程组213222y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪⎪⎩10x y =-⎧⎨=⎩或5112x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴点P的坐标是（5），此时点H的坐标是（5），∴PH=111522---=-；当FG=FC 时，2222425425221212121m m m m m m m m m --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得m=12或m=12-（舍）或m=2（舍），此时直线AF 的解析式为y=12x+12，解方程组2132221122y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或32x y =⎧⎨=⎩，∴点P 的坐标是（3，2），此时点H 的坐标是（3，12），∴PH=2-12=1.5；当GF=GC 时，()22242522121m m m m m m -⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，解得34m =或m=2（舍去），此时直线AF 的解析式为y=34x+34，解方程组2132223344y x x y x ⎧=-++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得10x y =-⎧⎨=⎩或52218x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点P 的坐标是（52，218），此时点H 的坐标是（52，34），∴PH=21315848-=；综上，PH=355或1.5或158．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的坐标特征、直线与抛物线的交点以及等腰三角形的判定和性质等知识，具有相当的难度，熟练掌握二次函数的图象和性质、灵活应用数形结合的思想是解题的关键．11.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标【答案】（1）223y x x =--；（2）()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【分析】（1）由()1,0A -和D ()1,4-，且D 为顶点列方程求出a 、b 、c ，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，②在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ；（3）QMN 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当90QM MN QMN =∠=︒，；②当90QN MN QNM =∠=︒，；③当90QM QN MQN =∠=︒，．【详解】解：（1）将()1,0A -和D ()1,4-代入2y ax bx c=++得04a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩又∵顶点D 的坐标为()1,4-∴12b a-=-∴解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）∵()3,0B 和()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x =-∵抛物线的解析式为：223y x x =--，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于点()1,0A -和点B ，则C 点坐标为()0,3-，B 点坐标为()3,0．①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，则直线1CP 的解析式为23y x =-，结合抛物线223y x x =--可知22323x x x --=-，解得：10x =（舍），24x =，故()14,5P ．②过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，由OB OC =可知四边形OBGC 为正方形，∵直线1CP 的解析式为23y x =-∴1CP 与x 轴交于点3,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ∴OCE FCG∠=∠又∵OC=CG ，90COE G ∠=∠=︒∴OEC △≌()GFC ASA ，∴32FG OE ==，33,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由()0,3C -可得直线CF 的解析式为132y x =-，结合抛物线223y x x =--可知212332x x x --=-，解得10x =（舍），252x =，故257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，符合条件的P 点坐标为：()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）∵()3,0B ，()0,3C -∴直线BC 的解析式为3BC y x =-设M 的坐标为()3m m -，，则N 的坐标为()223m m m --，∴()22=3233MN m m m m m----=-∵()1,0A -，()0,3C -∴直线BC 的解析式为33AC y x =--∵QMN 为等腰直角三角形∴①当90QM MN QMN =∠=︒，时，如下图所示则Q 点的坐标为33m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴4=33m m QM m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭∴24=33m m m -解得：10m =（舍去），2133m =，353m =∴此时154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90QN MN QNM =∠=︒，时，如下图所示则Q 点的坐标为222233m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭∴222=33m m m m QM m -+-=∴22=33m m m m +-解得：10m =（舍去），25m =，32m =∴此时()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；③当90QM QN MQN =∠=︒，时，如图所示则Q 点纵坐标为()()22211113236=32222m m m m m m m -+--=----∴Q 点的坐标为22111136622m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴Q 点到MN 的距离=221151+6666m m m m m --=∴22511+=3662m m m m ⋅-（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：10m =（舍去），27m =，31m =∴此时()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．12.（2021·湖南中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如()()1,1,2021,2021……都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线2y x 2x 3=-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC △，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）(2,2)和(2,2)--；（2）①04c <<；②45°；（3）存在，P 点坐标为315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭或3122⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据“雁点”的定义可得y=x ，再联立4y x=求出“雁点”坐标即可；（2）根据25y ax x c =++和y=x 可得240ax x c ++=，再利用根的判别式得到4c a =，再求出a 的取值范围；将点c 代入解析式求出点E 的坐标，令y=0，求出M 的坐标，过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，如图所示，根据EH=MH 得出EMH 为等腰直角三角形，∠EMN 的度数即可求解；（3）存在，根据图1，图2，图3进行分类讨论，设C （m ，m ），P （x ，y ），根据三角形全等得出边相等的关系，再逐步求解，代入解析式得出点P 的坐标．【详解】解：（1）联立4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩即：函数4y x=上的雁点坐标为(2,2)和(2,2)--．（2）①联立25y x y ax x c=⎧⎨=++⎩得240ax x c ++=∵这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根，∴2440ac ∆=-=∵4c a=∵1a >∴04c <<②将4c a =代入，得2440E E ax x a++=解得2k x a =-，∴22,E a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对于245y x x a α=++，令0y =有2450ax x a++=解得41,N M x x a a=-=-∴4,0M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭过E 点向x 轴作垂线，垂足为H 点，EH=2a ，MH=242()a a a---=∴2EH MH a ==∴EMH 为等腰直角三角形，45EMN ∠=︒（3）存在，理由如下：如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k ，过C 作CH ⊥PK 于点H设C （m ，m ），P （x ，y ）∵△CPB 为等腰三角形，∴PC=PB ，∠CPB=90°，∴∠KPB+∠HPC=90°，∵∠HPC+∠HCP=90°，∴∠KPB=∠HCP ，∵∠H=∠PKB=90°，∴△CHP ≌△PKB ，∴CH=PK ，HP=KB ，即3m x y m y x-=⎧⎨-=-⎩∴3232x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩当32x =时，23315()23224y =-+⨯+=∴315()24P ，如图2所示，同理可得：△KCP ≌△JPB∴KP=JB ，KC=JP设P （x ，y ），C （m ，m ）∴KP=x-m ，KC=y-m ，JB=y ，JP=3-x ，即3x m y y m x-=⎧⎨-=-⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122+1021022x x -==，∴2103(,)22P +或2103(,)22P -如图3所示，∵△RCP ≌△TPB∴RC=TP ，RP=TB设P （x ，y ），C （m ，m ）即3y m x x m y-=-⎧⎨-=⎩解得3232x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令23-232x x ++=解得122102-10,=22x x +=∴此时P 与第②种情况重合综上所述，符合题意P 的坐标为315()24，或2+103()22，或2103()22-，【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，图形与坐标，等腰三角形的判定与性质，二次函数的综合运用，理解题意和正确作图逐步求解是解题的关键．13.（2021·湖南中考真题）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，4OB =，8OC =，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是对称轴上的一个动点，是否存在以P 、C 、M 为顶点的三角形与MNB 相似？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（3）D 为CO 的中点，一个动点G 从D 点出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．要使动点G 走过的路程最短，请找出点E 、F 的位置，写出坐标，并求出最短路程．（4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）228y x x =-++；（2）存在，()1,2P 或171,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点()2,0,1,23E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，最短路程为，理由见详解；（4）存在，当以点Q 为直角顶点的等腰Rt CQR △时，点Q ⎝⎭或3322Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，理由见详解．【分析】（1）由题意易得()()()2,0,4,0,0,8A B C -，然后设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，进而代入求解即可；（2）由题意易得BMN CMP ∠=∠，要使以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，则可分①当90CPM MNB ∠=∠=︒时，②当90PCM MNB ∠=∠=︒时，进而分类求解即可；（3）由题意可得作点D 关于x 轴的对称点H ，作点C 关于抛物线的对称轴的对称点I ，然后连接HI ，分别与x 轴、抛物线的对称轴交于点E 、F ，此时的点E 、F 即为所求，HI 即为动点G 所走过的最短路程，最后求解即可；（4）由题意可分①当点Q 在第二象限时，存在等腰Rt CQR △，②当点Q 在第一象限时，存在等腰Rt CQR △，然后利用“k 型”进行求解即可．【详解】解：（1）∵2OA =，4OB =，8OC =，∴()()()2,0,4,0,0,8A B C -，设二次函数的解析式为()()24y a x x =+-，代入点C 的坐标可得：88a -=，解得：1a =-，∴二次函数的解析式为()()24y x x =-+-，即为228y x x =-++；（2）存在以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，理由如下：由（1）可得抛物线的解析式为228y x x =-++，则有对称轴为直线1x =，设直线BC 的解析式为y kx b =+，代入点B 、C 坐标可得：408k b b +=⎧⎨=⎩，解得：28a b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为28y x =-+，∴点()1,6M ，()1,0N ，∴由两点距离公式可得3,6,BN MN BM CM ====若使以点P 、C 、M 为顶点的三角形与△MNB 相似，则有BMN CMP ∠=∠，①当90CPM MNB ∠=∠=︒时，则有//CP x 轴，如图所示：∴点()1,8P ，②当90PCM MNB ∠=∠=︒时，如图所示：∴35562PM BM CM MN =∴52PM =，∴点171,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）由题意得：动点G 从点D 出发，先到达x 轴上的点E ，再走到抛物线对称轴上的点F ，最后返回到点C ．根据轴对称的性质及两点之间线段最短可知要使点G 走过的路程最短则有作点D 关于x 轴的对称点H ，作点C 关于抛物线的对称轴的对称点I ，然后连接HI ，分别与x 轴、抛物线的对称轴交于点E 、F ，此时的点E 、F 即为所求，HI 即为动点G 所走过的最短路程，如图所示：∵OC=8，点D 为CO 的中点，∴OD=4，∴()0,4D ，∵抛物线的对称轴为直线1x =，∴()()2,8,0,4I H -，设直线HI 的解析式为y kx b =+，则把点H 、I 坐标代入得：284k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：64k b =⎧⎨=-⎩，∴直线HI 的解析式为64y x =-，当y=0时，则有064x =-，解得：23x =，当x=1时，则有6142y =⨯-=，。

中考数学考点系统复习第三章函数第九节二次函数与几何综合题类型三：二次函数与特殊三角形问题

求点的坐标： 1．分别表示出点 A，B，P 的坐标，再表示出线段 AB，BP，AP 的长度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③AP＝BP 分别列方程求解即可． 2．作等腰三角形底边上的高，用勾股定理或相似建立等量关系． 3．以 AB 为底边时，可用解析法，先求中垂线的解析式，再联立方程组求交点．
此时点 C 的坐标为21，1＋32
5
或2 1，13－2
5
.
综上可知，当△ABC 是直角三角形时，点 C 的坐标共有 4 个为((1 1，，33))，
((1，1，－－2)
2)，21，1＋23
5
或21，1－23
5
.
问题：已知线段 AB 和直线 l，在 l 上求点 P，使△PAB 为直角三角形．
【分层分析】点 P 在线段 BC 的中垂线与抛物线的交点处．求中垂线的解析式，联立方程组求解．
解：存在．由题意得 B(3，0)，C(0，－3)，由点 B，C 的坐标求得直线
BC 的解析式为 y＝x－3，线段 BC 的中点为32，－32，设线段 BC 的中垂线的解析式为 y＝－x＋b，代入23，－32，得 b＝0. ∴线段 BC 的中垂线的解析式为 y＝－x，
【分层分析】利用两圆一中垂的方法在直线 l上找出点 P，共有 5 个，并注意检验点 P 是否满足条件，当点 P，A，C 共线时，不符合题意．
解：存在．设 P(1，p)，AC2＝10， PA2＝(1＋1)2＋(p－0)2＝p2＋4， PC2＝(1－0)2＋(p＋3)2＝p2＋6p＋10. 分三种情况讨论： ①当 PA＝PC 时，p2＋4＝p2＋6p＋10，解得 p＝－1，∴P1(1，－1)； ②当 AC＝PC 时，p2＋6p＋10＝10，解得 p1＝0，p2＝－6，当 p＝－6 时，显然 A，C，P 三点在一条直线上不能构成三角形，舍去， ∴P2(1，0)；

2023年九年级中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)含答案

(3)如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动．若恰好存在3个P点使得△PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标．
20．如图，抛物线y＝ x2﹣ x﹣ 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过点C的直线l与抛物线交于另一点E（4，a），抛物线的顶点为点Q，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
13．如图，抛物线经过点A（0，3），B（－1，0）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长．
(3)在抛物线上是否存在点P，使△PBD是以BD为直角边的直角三角形，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
14．如图，抛物线过点，，．
(3)如图2，在（2）的条件下，点D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线y＝ x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)、B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C．
(1)求a、b满足的关系式及c的值；
(2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使．
①求点P的坐标；
②若直线PD上是否存在点Q，使为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A(4，0)，C(﹣1，0)两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．
(1)点E的坐标为；

二次函数特殊三角形存在性问题(等腰三角形、直角三角形)

特殊图形存在性问题一、等腰三角形1、情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为等腰三角形。

2、思想：分类讨论（1）A为顶点：AB=AP（以A为圆心、AB长为半径画圆）（2）B为顶点：AB=BP（以B为圆心、AB长为半径画圆）（3）P为顶点：PA=PB（AB中垂线）【注】：1.利用两圆一线，找到符合要求的点，如P在抛物线对称轴上，在x轴上等；然后将问题转化为，求线段等长。

2.求线段等长：两点间距离（最笨的方法）；向坐标轴做垂线，构造一线三等角例1.如图，抛物线y=−x2+2x+3y=−x2+2x+3与y轴交于点C，点D(0,1)，点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______．练习1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B 两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,−3)点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式；(2)在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．练习2、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线y=﹣x+1与y轴交于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△DBO∽△EBC；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．练习4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交A(−1,0),B(−3,0)两点，与y轴交于点C(0,−3)，其顶点为D．(1)求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y=a(x−h)2+k的形式；(2)动点M从点D出发，沿抛物线对称轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，运动时间为t，连接OM,BM，当t为何值时，△OMB为等腰三角形？练习5.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n （m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E 两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，与x轴交于点A（5，0），第一象限的点C（m，4）在抛物线上，y轴上有一点B（0，10）．（Ⅰ）求抛物线的解析式及它的对称轴；（Ⅱ）点P（0，n）在线段OB上，点Q在线段BC上，若OP＝2BQ，且P A＝QA．求n 的值；（Ⅲ）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19-红桥一模25．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）．（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．(17河北一模)25(10分）如图，己知抛物线y=x2+bx+c图象经过点A（﹣1，0），B（0，﹣3），抛物线与x轴的另一个交点为C．（1）求这个抛物线的解析式：（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；二、直角三角形1.情景：平面内有点A、B，要找到点P使得△ABP为直角三角形2.思想：分类讨论（1）A为顶点：∠A（过A做垂线）（2）B为顶点：∠B（过B做垂线）（3）P为顶点：∠C（AB为直径的圆）【注】1.等腰直角三角形，只需在两直线上上下找与AB等长以及过O做AB垂线与圆交点即可例1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过矩形OABC的顶点A，B与x 轴交于点E，F且B，E两点的坐标分别为B(2，32)E(−1，0)(1)求二次函数的解析式；(2)在抛物线上是否存在点Q，使△QBF为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．练习1.如图，抛物线y=x2+bx+3顶点为P，且分别与x轴、y轴交于A、B两点，点A在点P的右侧，tan∠ABO=13(1)求抛物线的对称轴和PP的坐标．(2)在抛物线的对称轴上是否存在这样的点D，使△ABD为直角三角形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由．例2.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于AB两点，与y 轴相交与点C，且点B与点CC 的坐标分别为(3,0)，C(0,3)，点M是抛物线的顶点．(1)求二次函数的关系式(2)在MB上是否存在点P，过点P作PD⊥x轴于点D,OD=m,使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由练习2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=−13x+2交x轴点P，交y轴于点A．抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(−1,0)，并与直线相交于A、B两点．(1)求抛物线的解析式（关系式）；(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；(3)除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=x﹣3交于A、B两点，其中点A在y轴上，点B坐标为（﹣4，﹣5），点P为y轴左侧的抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）以O，A，P，D为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）当点P运动到直线AB下方某一处时，过点P作PM⊥AB，垂足为M，连接PA使△PAM为等腰直角三角形，请直接写出此时点P的坐标．（18东丽-一模）25.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，1）、（1，2），过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、C，得到正方形ABCD，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，点P为第一象限内抛物线上一点（不与点A重合），过点P分别作x轴y轴的垂线，垂足为E、F，设点P的横坐标为m，矩形PFOE与正方形ABCD重叠部分图形的周长为l．（1）直接写出抛物线所对应的函数表达式．（2）当矩形PFOE的面积被抛物线的对称轴平分时，求m的值．（3）当m＜2时，求L与m之间的函数关系式．（4）设线段BD与矩形PFOE的边交于点Q，当△FDQ为等腰直角三角形时，直接写出m的取值范围．三、平行四边形存在性问题类型一：1.情景：一直平面内三点A、B、C，求一点P使四边形ABCP为平行四边形2.思想：分类讨论（1）以AC为对角线：ABCP1（2）以AB为对角线：ACBP3（3）以BC为对角线：ACP2B【注】找到P点后，用平行四边形的判定定理，求等长线段，或利用等角度、平行线求坐标即可。

最新九年级中考数学复习：二次函数综合题(特殊三角形问题)

2023年九年级中考数学复习：二次函数综合题（特殊三角形问题）1．抛物线y＝ax2＋c交x轴于A、B（1，0）两点，且经过（2，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，直线y＝kx＋3交y轴于点G，交抛物线y＝ax2＋c于点E和F，F在y轴右侧，若△GOF的面积为△GOE面积的2倍，求k值；(3)如图2，点P是第二象限的动点，分别连接P A、PB，并延长交直线y=－2于M、N 两点. 若M、N两点的横坐标分别为m、n，试探究m、n之间的数量关系．2．如图，已知抛物线2=++与直线y=0.5x＋3相交于A，B两点，交△轴于C，0.5y x bx cD两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（－3，0）.(1)求抛物线的表达式；(2)在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB一MD|的值最大，并求出这个最大值；(3)点P为y轴右侧抛物线上的一动点，连接P A，过点P作PQ△P A交y轴于点Q，是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.3．如图，抛物线与x轴交于A和B两点（点B位于点A右侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=2，且OA=1，OC=3，连接AC，BC．(1)求此抛物线的函数解析式；(2)设抛物线的顶点为点P，请在x轴上找到一个点D，使以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似？(3)此抛物线的对称轴和以AC为直径的圆是什么位置关系？如果是相切或相交，请直接写出切点或交点的坐标（不必写演推过程）；如果是相离，请简要说明理由．4．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别交于A(−3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接AD、CD、AC、BC．(1)请直接写出抛物线的表达式及顶点D的坐标；(2)求证：△ACD是直角三角形；(3)判断△ACB和△OAD的数量关系，并说明理由；(4)如图2，点F是线段AD上一个动点，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，请直接写出点F的坐标；若不相似，请说明理由．5．抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A(3，0)，点C(0，﹣3)，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)如图△，点P 为直线AC 下方抛物线上的点，连接P A ，PC ，△BAF 的面积记为S 1，△P AC 的面积记为S 2，当S 2＝38S 1时．求点P 的横坐标；(3)如图△，连接CD ，点Q 为平面内直线AE 下方的点，以点Q ，A ，E 为顶点的三角形与△CDF 相似时（AE 与CD 不是对应边），请直接写出符合条件的点Q 的坐标． 6．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．7．如图1，已知二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ．(1)求该二次函数的解析式；(2)设M 为该抛物线上直线BC 下方一点，过点M 作x 轴的垂线，交线段BC 于点N ，线段MN 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；(3)连接CE （如图2），设点P 是位于对称轴右侧该抛物线上一点，过点P 作PQ △x 轴，垂足为Q ．连接PE ，请求出当△PQE 与△COE 相似时点P 的横坐标．8．如图，直线y kx b =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，抛物线2y ax bx c =++经过A ，B 两点，点C 的坐标为()1,0-，3AO CO ==，点C 关于点B 的对称点M 刚好落在抛物线上，连接AM ．(1)求点M 的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)过点M 作MD 平行于y 轴交AB 于点D ，若点E 为抛物线上的一点，点F 在x 轴上，连接AE ，AF ，EF ．是否存在点F 使得△ADM 与△AEF 相似？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A ，C 分别在x 轴的正半轴和y 轴的正半轴上，抛物线2y x bx c =-++经过A ，C 两点，与x 轴交于另一个点D ．(1)△求点A ，B ，C 的坐标；△求b ，c 的值．(2)若点P 是边BC 上的一个动点，连结AP ，过点P 作PM △AP ，交y 轴于点M （如图2所示）．当点P 在BC 上运动时，点M 也随之运动．设BP ＝m ，CM ＝n ，试用含m 的代数式表示n ，并求出n 的最大值．10．平面直角坐标系中，已知抛物线1C ：()21y x m x m =-++-（m 为常数）与x 轴交于点A ，B 两点（点A 在点B 左边），与y 轴交于点C ．(1)若4m =，求点A ，B ，C 的坐标；(2)如图1，在（1）的条件下，D 为抛物线x 轴上方一点，连接BD ，若90DBA ACB ∠∠+=︒，求点D 的坐标；(3)如图2，将抛物线1C 向左平移n 个单位长度（0n >）与直线AC 交于M ，N （点M 在点N 右边），若2AM CN =，求m ，n 之间的数量关系．11．如图，直线y x n =-+与x 轴交于点()3,0A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过点A ，B ．(1)求n 的值及抛物线的解析式；(2)(),0E m 为x 轴上一动点，过点E 作ED x ⊥轴，交直线AB 于点D ，交抛物线于点P ，连接BP ．△点E 在线段OA 上运动，若BPD △与ADE 相似，求点E 的坐标；△若抛物线的顶点为Q ，AQ 与CB 的延长线交于点H ，点E 在x 轴的正半轴上运动，若PBD CBO H ∠+∠=∠．请求写出m 的值．12．如图1，平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－12x －2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ．抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 经过点A 、点C ，且与x 轴交于另一点B ，连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上一动点．△当点P 在直线AC 下方的抛物线上运动时，如图2，连接AP ，CP ．求四边形ABCP 面积的最大值及此时点P 的坐标；△当点P 在x 轴上方的抛物线上运动时，过点P 作PM △x 轴于点M ，连接BP ．是否存在点P ，使△PMB 与△AOC 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．13．如图，抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC．(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．14．如图，抛物线23(0)y ax bx a=+-≠的顶点E的横坐标为1，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线113y x=-+过点B，与y轴交于点D．(1)求抛物线的解析式；(2)证明：ABD CBE∠=∠；(3)是否存在点1O，使点1O到A，B，C，D的距离都相等，若存在，求出点1O坐标，若不存在，请说明理由．(4)设抛物线与直线DB另一交点为Q，F为线段BQ上一点（不含端点），连接AF，一动点P从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FQ个单位的速度运动到Q后停止，当点F的坐标是多少时，点P在整个运动过程中用时最少？（直接写出答案）15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB ＝6OA ＝6，点P 是第一象限内抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC 与OP ，交于点D ，当PD ：OD 的值最大时，求点P 的坐标；(3)点P 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点P 、点N ．使△CPN ＝90°，且△CPN 与△BOC 相似，若存在，请直接写出点P 的坐标，若不存在，说明理由．16．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与x 轴分别交于点A ，点B （3，0），与y 轴交于点C （0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上一动点，连接AD 交BC 于点E ，若AE ＝2ED ，求点D 的坐标；(3)直线y ＝kx ﹣2k +1与抛物线交于M ，N 两点，取点P （2，0），连接PM ，PN ，求△PMN 面积的最小值．17．综合与探究如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y x bx c =-++经过点B ，C ，与x 轴的另一交点为A ，顶点为D ．(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．(2)连接CD，BD，求点D到BC的距离h．(3)P为对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使得PDQ与BOC相似？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知直线223y x=-与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线226y x bx=-++经过点A，与x轴的另一个交点为C，交y轴于点D．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)点M是y轴上的点，在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得PMD△与BOC相似，且点M与点O为对应点，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．19．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y=-2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另点B．(1)求抛物线的解析式．(2)在直线AC 上方的抛物线上有一动点E ，连接BE ，与直线AC 相交于点F ，当EF =12BF 时，求sin△EBA 的值．(3)点N 是抛物线对称轴上一点，在(2)的条件下，若点E 位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M ，使以M ，N ，E ，B 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，一次函数3y x =-+的图象与x 轴和y 轴分别交于点B 和点C ，二次函数2y x bx c =-++的图象经过B ，C 两点，并与x 轴交于点A ．点(),0M m 是线段OB 上一个动点（不与点O 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC 相交于点D 和点E ，连接CD ．(1)求这个二次函数的解析式．(2)△求DE 、CE 的值（用含m 的代数式表示）．△当以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，求m 的值．(3)点F 是平面内一点，是否存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．(1)21y x =- (2)k =(3) 1.-2．(1)215322y x x =++(3)在点P （1，6）3．(1)y =x 2－4x +3(2)点D 的坐标是（0，0）或（73，0） (3)相交，交点的坐标是（2，1）或（2，2）4．(1)抛物线解析式为y =-x 2-2x +3；顶点D 的坐标为（-1，4）；(2)见解析(3)△OAD =△ACB(4)相似，F 点的坐标为（-65，185）或（-2，2）．5．(1)y ＝x 2﹣2x ﹣3(2)P 352(3)Q 点坐标为(﹣7，5)或(﹣12，5)或(3，﹣10)或(3，﹣5)6．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭7．(1)224233y x x =--(2)线段MN 存在最大值，最大值为32(3)点P 的横坐标为5或28．(1)(M(2)2y x x =(3)存在，()()()()()11,0,3,0,,0,5,0,7,0,13,03⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．(1)△A (3，0)，B (3，3)，C (0，3)；△23b c =⎧⎨=⎩ (2)2133324n m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（0≤m ≤3）；3410．(1)A （1，0），B （4，0），C （0，﹣4）(2)D （83，209） (3)93m n =-11．(1)n =3，y =-x 2+2x +3．(2)△（1，0）或（2，0）．△m =5或73．12．(1)211242y x x =+- (2)△四边形ABCP 面积的最大值为8，此时点P 为（－2，－2）；△存在符合条件的点P ，点P 坐标为（－6，4）或（－12，28）或（4，4）13．(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1（，0）、Q 2（0）、Q 3，0）、Q 4（，0） 14．(1)2 2 3y x x =--(2)见解析(3)存在点()111O -,，使点P 到A ，B ，C ，D 的距离都相等(4)F 的坐标为41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭时，点P 在整个运动过程中用时最少15．(1)y ＝﹣2x 2+4x +6(2)点P 的坐标为315(,)22(3)存在，点P 的坐标分别为(3，0)或(1，8)或939(,)48或755(,)4816．(1)y ＝﹣x 2+2x +3(2)（1，4）或（2，3）17．(1)223y x x =-++，顶点D (1，4)(2)h =(3)Q （0，3）或（2，3）18．(1)2246y x x =-++；(0,6)D(2)存在，点P 的坐标为755,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或939,48⎛⎫ ⎪⎝⎭或(1,8)或(3,0)19．(1)抛物线的解析式为y =-2x 2-4x +6；(2)sin△EBA ； (3)M 的坐标为（2，-10）或（-4，-10）或（0，6）．20．(1)223y x x =-++(2)△23DE m m =-，CE ；△m 的值为32或53(3)存在以C ，D ，E ，F 为顶点的四边形为菱形，点M 的坐标为(1，0)或(2，0)或(3，0)．。

2023年中考数学一轮复习课件二次函数综合题特殊三角形存在性问题

直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(2)存在．理由如下：
设点P(1，p)，
∵A(－1，0)，C(0，3)，
∴AC2＝12＋32＝10，
AP2＝(1＋1)2＋p2＝CAP＝90°，
例题图①
则AC2＋AP2＝CP2，
∴10＋4＋p2＝p2－6p＋10，
解得p＝－ 2 ，
3
∴此时点P的坐标为(1，－
2
)；
3
②若∠ACP＝90°，则AC2＋CP2＝AP2，
∴10＋p2－6p＋10＝4＋p2，
解得p＝ 8 ， ∴此时点3P的坐标为(1，8 )；
3
③若∠APC＝90°，则AP2＋CP2＝AC2，
例题图①
即4＋p2＋p2－6p＋10＝10，
随堂练习
1. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y
轴交于点C，对称轴为直线x＝ 5 .
2
(1)求抛物线的解析式；
a b 4 0
解：(1)根据题意，得
b 2a
5 2
,
解得
a b
1 ,
5
∴抛物线的解析式为y＝x2－5x＋4；
第1题图
(2)如图①，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y 轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由； (2)四边形OCPQ是平行四边形，理由如下：令x＝0，则y＝4，令y＝0，即x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4.∴B(4，0)，C(0，4)， ∴直线BC的解析式为y＝－x＋4.
第1题解图
当△BEF是等腰三角形时，分三种情况讨论：

新-107.二次函数与特殊三角形-3

，∴
D1

−1，−
9 4

．
同理，直线
AC
向上平移
9 2
个长度单位得到
l2
，可求得
D2

−1，27 4

综上所述，
D
点坐标为：
D1

−1，−
9 4

，
D2

−1，27 4

．
y
M C
A
BE
F ON
x
x=-1 L2
D2
C L1
B
A
OF
D1 E
图2
图1
⑶如图 2，以 AB 为直径作⊙F ，圆心为 F ．过 E 点作⊙F 的切线，这样的
x2
x
图2 ⑴ 求 A，B 两点的坐标及 C 点的坐标； ⑵ 连结 AC ，BC ，求证 △ABC 为直角三角形；
⑶ 将直线 l 平移到 C 点时得到直线 l′ ，求两直线 l 与 l′ 的距离．
l
y
l'
B
P
G A
1
H
C
O1
x
图10
{ 【答案】⑴由
y y
= =
2x + 2x2
2
，解得

x1 y1
∴点 P 坐标为 (2，3) ；
（Ⅱ）如答图 3 所示，点 P 在 x 轴下方.
y
B O
A
Cx
F
P
答图 3
∵ A(0，− 5) ， C (5，0) ，∴ △AOC 为等腰直角三角形，∠OAC = 45° ；
过点 P 作 PF ⊥ x 轴于点 F ， ∵ PA ⊥ AC ，∴∠PAF = 45° ，即 △PAF 为等腰直角三角形.

最新九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题(特殊三角形问题)含答案

2023年九年级数学中考复习：二次函数综合压轴题（特殊三角形问题）1．如图，直线y=﹣23x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y=﹣43x2+bx+c经过点A，B，M（m，0）为x轴上一动点，点M在线段OA上运动且不与O，A重合，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；（2）在运动过程中，若点P为线段MN的中点，求m的值；（3）在运动过程中，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标；2．如图△，已知抛物线y＝ax2﹣4amx+3am2（a、m为参数，且a＞0，m＞0）与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C．（1）求点B的坐标（结果可以含参数m）；（2）连接CA、CB，若C（0，3m），求tan△ACB的值；（3）如图△，在（2）的条件下，抛物线的对称轴为直线l：x＝2，点P是抛物线上的一个动点，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的的等腰直角三角形．若存在，求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．如图，已知二次函数的图象经过点A （4，4）、B （5，0）和原点O ．P 为二次函数图象上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D （m ，0），并与直线OA 交于点C ．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；（3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知顶点为()1,5A 的抛物线2y ax bx c =++经过点()5,1B .（1）求抛物线的解析式；（2）设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点.△当四边形ABCD 的周长最小时，在图1中作直线CD ，保留作图痕迹.并直接写出直线CD 的解析式；△点()(),0P m n m >是直线y x =上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边按图2所示构造等腰Rt PQR ∆.在△的条件下，记PQR ∆与COD ∆的公共部分的面积为S .求S 关于m 的函数关系式，并求S 的最大值.5．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB△x 轴交抛物线于点B，过点B作直线l△x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB．（1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出求a值的计算过程；若不存在，请说明理由．（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．6．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a（a≠0）经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作x轴的平行线交抛物线于另一点D，连接BD，点P为抛物线上一点，且△DBP＝45°，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得由点M，A，C构成的△MAC是直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，B点坐标为(4,0)，与y 轴交于点C(0,4).点D为抛物线上一点(1)求抛物线的解析式及A点坐标；(2)若△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；(3)若△BCD是锐角三角形,请直接写出点D的横坐标m的取值范围.8．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A点，与y轴交于C点，且A（1，0）、B（3，0），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上是否存在M点，使得△MAC是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为抛物线上的动点，且在对称轴右侧，若△ADP面积为3，求点P的坐标．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN△x 轴于点N ，交抛物线于点M ，当△BCM 面积最大时，求△BPN 的周长．（3）在（2）的条件下，当△BCM 面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△CNQ 为等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图1，抛物线243y x x =++与x 轴交于,A B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 抛物线的顶点.（1）求直线BD 的解析式；（2）抛物线对称轴交x 轴于点E ，P 为直线BD 上方的抛物线上一动点，过点P 作PF BD ⊥于点F ，当线段PF 的长最大时，连接PE ，过点E 作射线EM ，且EM EP ⊥，点G 为射线EM 上一动点（点G 不与点E 重合），连接PG ，H 为PG 中点，连接AH ，求AH 的最小值；（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线BD 上移动，点B ，D 平移后的对应点分别为点'B ，'D ，y 轴上有一动点M ，连接'MB ，'MD ，''MB D ∆是否能为等腰直角三角形？若能，请求出所有符合条件的M 点的坐标；若不能，请说明理由.11．如图1，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -、()30B ，两点，与y 轴交于点C ，顶点为点M ．（1）求这条抛物线的解析式及直线BM 的解析式；（2）P 段BM 上一动点（点P 不与点B 、M 重合），过点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，设OQ 的长为t ，四边形PQAC 的面积为S ．求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在线段BM 上是否存在点N ，使NMC ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图,已知抛物线与x 轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点,与y 轴交于点C(0,3).(1)该抛物线的对称轴是直线___________， (2)求抛物线的解析式；(3)设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由：13．在平面直角坐标系中，将二次函数()20y ax a =>的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，1OA =，经过点A 的一次函数()0y kx b k =+≠的图象与y 轴正半轴交于点C ，且与抛物线的另一个交点为D ，ABD ∆的面积为5．(1)求抛物线和一次函数的解析式；(2)抛物线上的动点E 在一次函数的图象下方，求ACE ∆面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；(3)若点P 为x 轴上任意一点，在(2)的结论下，求35PE PA +的最小值．14．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点分别为()6,0A -和点()4,0B ，与y 轴的交点为()0,3C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是线段OA 上一动点（不与点A 重合），过P 作平行于y 轴的直线与AC 交于点Q ，点D 、M 在线段AB 上，点N 在线段AC 上．△是否同时存在点D 和点P ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，若存在，求点D 的坐标，若不存在，请说明理由；△若DCB CDB ∠=∠，CD 是MN 的垂直平分线，求点M 的坐标．15．如图，抛物线y=ax 2+bx+2交x 轴于点A(-3，0)和点B(1，0)，交y 轴于点C (1)求这个抛物线的函数表达式．(2)点D 的坐标为(-1，0)，点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N ，使△MNO 为等腰直角三角形，且△MNO 为直角？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）点N 是y 轴负半轴上的一点，且ON =Q 在对称轴右侧的抛物线上运动，连接QO ，QO 与抛物线的对称轴交于点M ，连接MN ，当MN 平分OMD ∠时，求点Q 的坐标．（3）直线BC 交对称轴于点E ，P 是坐标平面内一点，请直接写出PCE ∆与ACD ∆全等时点P 的坐标．17．已知：直线122y x =+与y 轴交于A ，与x 轴交于D ，抛物线y ＝12x 2+bx +c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AE 上一动点，当△PBC 周长最小时，求点P 坐标；（3）动点Q 在x 轴上移动，当△QAE 是直角三角形时，求点Q 的坐标；（4）在y 轴上是否存在一点M ，使得点M 到C 点的距离与到直线AD 的距离恰好相等？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，AB ＝2，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设D 为抛物线的顶点，连接DA 、DB ，试判断△ABD 的形状，并说明理由；（3）设P 为对称轴上一动点，要使PC ﹣PB 的值最大，求出P 点的坐标．19．如图，抛物线2y ax bx c =++ 经过点()2,5A -，与x 轴相交于()1,0B -，()3,0C 两点，（1）抛物线的函数表达式；（2）点D 在抛物线的对称轴上，且位于x 轴的上方，将BCD ∆沿沿直线BD 翻折得到BC D '∆，若点D '恰好落在抛物线的对称轴上，求点C '和点D 的坐标；（3）设P 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q 在抛物线的对称轴上，当CPQ ∆为等边三角形时，求直线BP 的函数表达式.20．如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1,tan 3OB ABO =∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过,,A B C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于,M N 两点． △若2PMN S ∆=，求k 的值；△证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；△当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．参考答案：1．（1）B （0，2），抛物线解析式为y=﹣43x 2+103x+2；（2）m 的值为12；（3）当以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似时，点M 的坐标为（2.5.0）或（118，0）． 2．（1）B （3m ，0）；（2）tan△ACB ＝12；（3）点P 的坐标是：）或）． 3．（1）y ＝﹣x 2+5x ；（2）当点P 在直线OA 的上方时，线段PC 的最大值是4；（3）存在，P 的坐标是（4，2﹣）或（6，﹣6）或（5，0）． 4．（1）()21154y x =--+；（2）；4y x =-+；△S 27448x x =-+-；S 的最大值为47.5．（1）5；（2）a ＝﹣1（3）m ＝3n 2+2 6．（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）P （﹣25，6625）；（3）点M 的坐标为（32，298）或（32，﹣58）或（32，52）或（32，32）．7．(1)y=x 2-5x+4, A(1,0)；(2)(6,10)或(2,-2)；m ＜6或 3m ＜28．（1）y ＝﹣x 2+4x ﹣3；（2）在y 轴上存在点M ，点M 的坐标为(0,3)，(0,3-或(0,3-，（3）P （4，﹣3）．9．（1）y ＝﹣x 2+2x+3 （2）310．（1）43y x =-+（2（3）(0,,,.11．（1）2y x 2x 3=-++，26y x =-+；（2）四边形ACPQ S 29322t t =-++，t 的取值范围是13t <<；（3）716,55N ⎛⎫⎪⎝⎭或14N ⎛ ⎝⎭或()2,2N 12．（1）1x = （2）2y x 2x 3=-++；（3）存在，⎝⎭或（2.3）13．(1)21322y x x =--；1122y x =+；(2)ACE ∆的面积最大值是2516，此时E 点坐标为315,28⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)35PE PA +的最小值是3.14．（1）211384y x x =--+；（2）△存在点D ，使得APQ ∆和CDO ∆全等，3,02D ⎛⎫⎪⎝⎭，理由见解析；△点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭15．(1)y=-23x 2-43x+2；(2)S 的最大值为174；(3)存在，点N或)或)或)．16．（1）223y x x =--；（2）点Q 的坐标为：1Q ，2Q ；（3）若PCE ∆与ACD ∆全等，P 点有四个，坐标为1(3,4)P --，2(1,6)P --，3(2,1)P ，4(4,1)P -． 17．（1）215222y x x =-+；（2）P （1213，3213）；（3）Q 点坐标为（1，0）或（172，0）；（4）存在；M 点坐标为M （0，﹣8）.18．（1）抛物线的函数表达式为y ＝x 2﹣4x +3；（2）△ADB 是等腰直角三角形；理由见解析；（3）P （2，﹣3）．19．（1）223y x x =--；（2）点'C 坐标为(点D 的坐标为⎛ ⎝⎭；（3）直线BP 的函数表达式为y =y x =20．（1）2y x 2x 3=-++,()1,4P ;（2）△k =±△2241y x x =-++．。

二次函数——由动点生成的特殊三角形问题

二次函数——由动点生成的特殊三角形问题在数学中，二次函数是一类特殊的函数，其数学表达式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数，且a≠0。

二次函数在数学中被广泛运用于解决各种问题，其中包括由动点生成的特殊三角形问题。

这个问题是通过将动点移动而生成的三角形，而且有一些特殊性质。

在本文中，我们将探讨这个问题，并研究其中的数学原理和应用。

首先，让我们考虑一个动点M(x, y)在平面直角坐标系上的移动。

该动点的运动路径取决于二次函数y = ax² + bx + c的具体形式。

我们可以通过设置一些特定的条件，来确定动点的运动路径。

例如，如果我们设置动点在y轴上移动，即x始终为常数，那么我们可以得到一条直线y = bx + c，其中b、c为常数。

这条直线称为二次函数的纵轴截距。

同样地，如果我们设置动点在x轴上移动，即y始终为常数，那么我们可以得到y轴上的一条直线y=c。

这条直线称为二次函数的横轴截距。

通过改变a的值，我们可以改变二次函数的开口方向。

当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线；当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线。

有了这些基本概念后，我们可以引出动点生成的特殊三角形问题。

该问题是通过动点在平面上的移动生成一个特殊的三角形。

设有一个二次函数y = ax² + bx + c。

我们将动点M(x, y)沿着该函数的图像移动。

当动点到达二次函数的两个零点时，即该二次函数与x轴的交点时，我们可以得到一个特殊的三角形。

令二次函数与x轴的交点为A(x₁,0)和B(x₂,0)。

那么三角形OAB的面积可以通过计算底边OA和OB之间的面积来得到。

对于这个特殊的三角形，我们可以发现一些有趣的性质。

首先，由于三角形的底边OA和OB的长度是确定的，因此三角形的面积也是确定的。

这意味着不论动点如何移动，三角形的面积是恒定的。

其次，由于底边OA和OB的长度也是确定的，所以这个特殊三角形的形状也是固定的。

中考数学精讲篇中考压轴题重难点突破七二次函数与几何综合题类型三

解：(1)在直线 y＝－2x＋10 中，令 x＝0，则 y＝10，令 y＝0，则 x＝5， ∴A(5，0)，B(0，10)，
∵点 C 是 OB 中点，∴C(0，5)，
0＝25＋5b＋c， b＝－6，
将 A 和 C 代入抛物线 y＝x2＋bx＋c 中，5＝c，
解得c＝5，
∴抛物线的函数解析式为 y＝x2－6x＋5.
∴E(m，－2m＋10)， ∴DE＝－2m＋10－m2＋6m－5＝－m2＋4m＋5，
∴S△ABD＝12×OA×DE＝12×5×(－m2＋4m＋5)＝425，解得 m＝2， ∴点 D 的坐标为(2，－3)．
(3)抛物线解析式为 y＝x2－6x＋5， ∵△APB 是以 AB 为直角边的直角三角形设点 P(n，n2－6n＋5)， ∵A(5，0)，B(0，10)，∴AP2＝(n－5)2＋(n2－6n＋5)2， BP2＝n2＋(n2－6n＋5－10)2，AB2＝125，
①若 AB 为斜边时，点 Q 与点 O 重合，不符合题意，舍去；
②若 AB 为直角边时，如图，当∠BAQ1＝90°时，点 Q1 在 x 轴上，∵∠ABQ1＝45°， ∴△BAQ1 为等腰直角三角形， ∵AO⊥BQ1，∴OQ1＝OB＝6， ∴Q1(－6，0)；
当∠ABQ2＝90°时，点 Q2在 y 轴上，
y＝－2x＋10， x＝－1， x＝5， (2)联立y＝x2－6x＋5，解得y＝12 或y＝0， ∴直线 AB 与抛物线交于点(－1，12)和(5，0)， ∵点 D 是直线 AB 下方抛物线上的一点，设 D(m，m2－6m＋5)， ∴－1<m<5，如解图 1，过点 D 作 DE⊥x 轴，交直线 AB 于点 E，
【思路点拨】第一步：先确定点 C，F 的坐标，求出△ACF 的各边长；第二步：判断△ACF 的形状．

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4
．
AGH~M GB AG = GH MG BG
11 5 11 4 =4
MG 5 5 4
M G 25 4
M H=M G+GH= 25 + 11 =9 44
点 M 的坐标为（ 5 ,9） 2
（2） ② 当∠BAM=90°时，如图3所示
设M（5，m） 2
AB2 AM2 =BM2
（532 42） 2 （52+32 m2)2=（5252 （m-4） 2） 2
∴∠CBA=∠BAO=∠CAB． ∴BC=AC．∴BC=5． ∵BC∥AO，BC=5，OC=4， ∴点B的坐标为（5，4）．
解
得
：
a c
4
1 6
b
5
∵A（﹣3.0）、C（0，4）、
6
B（5，4）在抛物线
yax2 bxc上.
抛
物
线
的
解
析
式
为
y
-
1 6
x2
5 6
x
4
试题分析：（2）由于AB为直角边，分别以和∠ABM=90°（如图4）
三角形，则点C的个数为B（）
A.2
B.3
C.4
D.5
2、（2016广东）如图，抛物线与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（ 1 2,2)或（ 1- 2,2）
小结：
1、知识层面
2、思想方面
课后作业（走进中考）
（2016泸州）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线l与抛物线 ymx2 nx相交于 A （ 1,33）， B （ 4,0）两点．（1）求出抛物线的解析式；
试题分析：（1）如图，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；
（1）如图1
∵A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
9a 3b c 0
∵∠AOБайду номын сангаас=90°，
c
4
∴AC=5． ∵BC∥AO，AB平分∠CAO，
2 5 a 5 b c 4
2 O DO F
8
P 1(5,0)P ,2(5,0)
①利用两腰相等
P3 (8, 0 )
②利用“三线合一”
P
4
25 8
,
0
法二：设 P（ a , 0 )，则 (4 -a )2 3 2 a
③利用图形相似或
a
25 8
两圆一线
勾股定理或等腰三
角形性质
P
25 8
,0
2、已知：O为坐标原点，A(2,4),点P是直线x=3上一
m11
综上所述：符合要求的点 M 的坐标为（ 5， 9）和（ 5， -11）
2
2
变式：若点P是抛物线对称轴上且在X轴下方的动点，是否存在点 P使△ABP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
变式：若点P是抛物线对称轴上且在X轴下方的动点，是否存在点 P使△ABP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
5
1 5 3 11
11
xG
xH
xM
2 yG
22 2
GH 4
4
BDG 900,BD 5 ,DG 4 11 5 ,
2
44
BG BD 2 D G 2 (5 )2 (5 )2 5 5 .
24
4
同理： AG= 11 5 又 AGH M GB， AHG M BG 900
自主学习：
1、如图，O为坐标原点,D(4,3)，在x轴上找一点P使得与O点，D点构成等腰三角形，这样的等腰三角形能画多少个?并求出P点
坐标.
y
Ｄ
O
x
①当OD=OP时
②当DO=DP时
③当PO=PD时
y
y
Ｄ
P1
O
P2 x O
Ｄ
B
P3 x
y
Ｄ
E
O
P4 F x
O O P D 3 2 4 2 5 2 P BO B 4 O E5， O PO E, O P25
2
2
m1点 P的坐标为（ 5， -1）。 2
综上所述：存在点 P 的坐标为 P ( 5 , 1 9 9 ) ，（ 5 ， 4 2 9 5 ），（ 5 ， - 1 ）使得 P A B 为等腰三角形。 2222 2
反馈练习：
1、（2015泸州12）在平面直角坐标系中，点A( 2 , 2 ) ，B(3 2,3 2)，动点C在x 轴上，若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰
解：AB 532 42 80
①若PA AB
设P(5,m)则 (53)2 m2 80m 199舍去或- 199
2
2
2
2
P(5, 199)
② 若 2PB 2AB(55)2m4280
2
m4+295舍去或 4 295 点 P的坐标为（ 5， 4295）。
2
2
22
③ 若 PAPB则(53)2m2 (55)2m42
二次函数与特殊三角形 ---- 等腰、直角三角形存在探究问题
复习回顾
1 、两点间的距离公式： A （ x 1 ,y 1).B (x2,y2)，则 A B =（ x 2-x 1 )2+ (y 2-y 1 )2
2 、等腰三角形和直角三角形的性质及相关定理
二次函数与特殊三角形 ---- 等腰、直角三角形存在探究问题
中考考情回顾：
该题型一般都是考查二次函数与三角形、四边形、圆结合的存在探究问题。设问一般都是3问，常涉及以下题型：
1、求抛物线的解析式 2、求点的坐标。 3、探究几何图形的面积最值问题及等量关系问题。 4、探究特殊几何图形的存在性问题。 5、判断直线与圆的位置关系等。
动点，当△AOP是直角三角形，则符合条件的点P
有几个？
A P1
A P3
0
3
P2
P4
0
3
两线一圆
备考指导：
求作等腰三角形求作直角三角形
两圆一线两线一圆
合作探究
如图，抛物线 yax2bxc 经过 A（ -3,0） ,C(0,4)，点B在抛物线上， CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由．
∠BAM=90°（如图3）进行讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标．
两点间的距离公式及勾股定理
（2） ①当∠ABM=90°时，如图4所示
设M（5，m） 2
AB2 BM2=AM2
（532 42） 2 （5252 m42） 2=（5232m2） 2
m9
法二：利用三角形相似
（2） ①当∠ABM=90°时，如图4所示抛物线的对称轴为x b 5 2a 2