高考数学同角三角函数的基本关系及诱导公式课件
2
奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.
3.给角求值的基本原则
负化正,大化小,化到锐角为终了.
【基础自测】
题组一:走出误区
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin 2α+cos2β=1. ( ) (2)若α∈R,则tan α= sin 恒成立. ( )
cos
7
【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互
化,利用 sin =tan α可以实现角α的弦切互化.
cos
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另 外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求 平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当 角所在的象限不明确时,要进行分类讨论. (3)分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式, 往往转化为关于tan α的式子求解.
( ,) ”换为“sin α=k,k∈R,α∈ ( ,) ”,如何
2
2
求cos α呢?
【解析】因为α∈ ( ,) ,所以cos α<0,由平方关系知
2
cos α= 1 sin2 1 k2 .
2.(2019·安阳模拟)若 1 cos =3,则cos α-
sin
2sin α= ( )
A.-1
考点二 诱导公式的应用
【典例】(1)若 sin( ) 1，则 cos(2 ) 的值为
6
4
3
________.
(2)设f(α)= 2sin( )cos( ) cos( ) (1+2sin α
1 sin2 cos( 3 ) sin2 ( )
≠0).
2
2
①化简f(α);
②若α=- 23,求f(α)的值.
3
【状元笔记】 完全平方式转换法: 对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这 三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α 可以知一求二.
命题角度3 同角关系和诱导公式的综合应用
【典例】已知θ是第四象限角,且 sin( ) 3，
45
2.三角函数的诱导公式
组数 一
二
三
四
五
六
角
正弦 余弦 正切
2kπ+α (k∈Z)
π+α
sin α cos α tan α
-_s_i_n__α__ _-_c_o_s__α_ _t_a_n__α__
-α
_-_s_i_n__α_ _c_o_s__α__ _-_t_a_n__α_
π-α
_s_i_n__α__ _-_c_o_s__α_ _-_t_a_n__α_
3
答案:1
3
【误区警示】在表示角α与角β的关系时,易错误地写 成β=π-α.
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【题组练透】
1.已知cos α=k,k∈R,α∈ ( ,) ,则sin α=( )
2
A.－ 1－k2
B. 1－k2
C. 1－k2
D. 1 k2
【解析】选B.由cos α=k,k∈R,α∈( ,) ,可知k<0,
cos
2 2
=sin
2θ.
3.(必修4P23推导改编)在平面直角坐标系xOy中,角α 与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若 sin α= 1 ,则sin β=________.
3
【解析】因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以
β=2kπ+π-α,k∈Z,
所以sin β= sin(2k －) sin(－) sin 1 .
2
【解析】选D.因为cos α= － 1 sin2
－
1－(
5 )2 5
－2 5，所以tan
5
α=
sin ＝－1 . cos 2
2.(必修4P20T4改编)化简 1－cos2 2 =________.
cos 2tan 2
【解析】 1－cos2 2
cos 2tan 2
答案:sin 2θ
cos
sin2 2 2gsin
5sin 2cos
【解析】原式= tan 4 2 4 1 .
5tan 2 5 2 2 6
【答题模板微课】——整体代换法在化简求值中的模
板化过程,题3的求解过程可模板化为:
建模板:“ sin 4cos tan 4 ”,……原式变形
5sin 2cos 5tan 2
“因为tan α=2,所以原式= tan 4 2 4 ”,
2sin2 sin sin(2sin 1)
cos 1 .
sin tan
②当α=-
23 时,f(α)= f( 23 )
6
6
1 tan( 23 )
1 tan( 4
)
1 tan
1 3
3.
6
6
63
【规律方法】 1.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
tan2 2tan tan2 1
(1)2 2 1
2
2
(1)2 1
3. 5
2
【状元笔记】
弦切互化法:
主要利用公式tan x= sin x 进行切化弦或弦化切,
cos x
如 asin x bcos x ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型
csin x dcos x
可进行弦化切.
-α
2
_c_o_s__α__ _s_i_n__α__
+α 2
_c_o_s__α__ -_s_i_n__α__
【常用结论】 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α= tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的
2
sin(2 )tan( )
______ .
cos( )tan(13 )tan( 5)
【解析】原式
sin2 cos2 sinsin sin2 cos2 coscos
g sintan cos(tan)tan
1 sin2 gsin 1 cos2 sin
1 tan 2
.
答案:- 1
tan 2
2sin x 3cos x 2tan x 3
………………原式变形
又因为tan x= 1,
3
所以原式= tan x =3
2tan x 3
13
,3………整体代换
21 3 3
即原式= tan x = 3
2tan x 3
13 3
10
. 3 10
21 3 7 7
3
3
………………………化简求值
答案:- 10
sin α+cos α= , 2
3
平方得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α= , 2
9
则2sin αcos α=- <70,
9
所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= , 16
9
又因为α∈(0,π),所以sin α-cos α>0, 所以sin α-cos α= . 4
B.1
C.- 2
5
D.-1或- 2
5
【解析】选C.由已知得
3sin α=1+cos α>0,cos α=3sin α-1,
cos2α=1-sin2α=(3sin α-1)2, sin α= ,3
5
所以cos α-2sin α=3sin α-1-2sin α
=sin α-1=- 2.
5
3.已知tan α=2,求 sin 4cos 的值.
命题角度2 利用sin α±cos α与sin α·cos α之
间的关系求值
【典例】(2018·潍坊模拟)若α∈(0,π),sin(π-α) +cos α= 2 ,则sin α-cos α的值为 ( )
3
A. 2 3
B. 2 3
C. 4
D. 4
3
3
【解析】选C.由诱导公式得sin(π-α)+cos α=
6
【解析】(1)因为 sin( ) 1 ,
6
4
所以 sin( ) 1 ,
64
cos(2 ) cos[2( )]
3
6
1 2sin2 ( ) 1 2 1 7 .
6
16 8
答案: 7
8
(2)①f(α)= (2sin)g(cos) (cos)
1 sin2 sin cos2 2sincos cos cos(2sin 1)
3
所以cos α=- 2,
3
则α为第二或第三象限角,
所以sin α= 1 cos2 5 .
3
所以tan α=
sin
5 3
5.
cos 2
2
3
题组二:走进教材
1.(必修4P20练习T1改编)已知sin α= 5, ≤α≤
52
π,则tan α= ( )
A.-2 B.2 C. 1
2
D.- 1
5tan 2 5 2 2
………………………………整体代换
“即原式= tan 4 2 4 1 . ”
5tan 2 5 2 2 6
……化简求值
套模板:已知tan x= 1 ,则 sin x 3cos x =______.
3
2sin x 3cos x
奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.
3.给角求值的基本原则
负化正,大化小,化到锐角为终了.
【基础自测】
题组一:走出误区
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若α,β为锐角,则sin 2α+cos2β=1. ( ) (2)若α∈R,则tan α= sin 恒成立. ( )
cos
7
【规律方法】同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α+cos2α=1可实现α的正弦、余弦的互
化,利用 sin =tan α可以实现角α的弦切互化.
cos
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另 外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求 平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当 角所在的象限不明确时,要进行分类讨论. (3)分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式, 往往转化为关于tan α的式子求解.
( ,) ”换为“sin α=k,k∈R,α∈ ( ,) ”,如何
2
2
求cos α呢?
【解析】因为α∈ ( ,) ,所以cos α<0,由平方关系知
2
cos α= 1 sin2 1 k2 .
2.(2019·安阳模拟)若 1 cos =3,则cos α-
sin
2sin α= ( )
A.-1
考点二 诱导公式的应用
【典例】(1)若 sin( ) 1，则 cos(2 ) 的值为
6
4
3
________.
(2)设f(α)= 2sin( )cos( ) cos( ) (1+2sin α
1 sin2 cos( 3 ) sin2 ( )
≠0).
2
2
①化简f(α);
②若α=- 23,求f(α)的值.
3
【状元笔记】 完全平方式转换法: 对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这 三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α 可以知一求二.
命题角度3 同角关系和诱导公式的综合应用
【典例】已知θ是第四象限角,且 sin( ) 3，
45
2.三角函数的诱导公式
组数 一
二
三
四
五
六
角
正弦 余弦 正切
2kπ+α (k∈Z)
π+α
sin α cos α tan α
-_s_i_n__α__ _-_c_o_s__α_ _t_a_n__α__
-α
_-_s_i_n__α_ _c_o_s__α__ _-_t_a_n__α_
π-α
_s_i_n__α__ _-_c_o_s__α_ _-_t_a_n__α_
3
答案:1
3
【误区警示】在表示角α与角β的关系时,易错误地写 成β=π-α.
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
【题组练透】
1.已知cos α=k,k∈R,α∈ ( ,) ,则sin α=( )
2
A.－ 1－k2
B. 1－k2
C. 1－k2
D. 1 k2
【解析】选B.由cos α=k,k∈R,α∈( ,) ,可知k<0,
cos
2 2
=sin
2θ.
3.(必修4P23推导改编)在平面直角坐标系xOy中,角α 与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若 sin α= 1 ,则sin β=________.
3
【解析】因为角α与角β的终边关于y轴对称,所以
β=2kπ+π-α,k∈Z,
所以sin β= sin(2k －) sin(－) sin 1 .
2
【解析】选D.因为cos α= － 1 sin2
－
1－(
5 )2 5
－2 5，所以tan
5
α=
sin ＝－1 . cos 2
2.(必修4P20T4改编)化简 1－cos2 2 =________.
cos 2tan 2
【解析】 1－cos2 2
cos 2tan 2
答案:sin 2θ
cos
sin2 2 2gsin
5sin 2cos
【解析】原式= tan 4 2 4 1 .
5tan 2 5 2 2 6
【答题模板微课】——整体代换法在化简求值中的模
板化过程,题3的求解过程可模板化为:
建模板:“ sin 4cos tan 4 ”,……原式变形
5sin 2cos 5tan 2
“因为tan α=2,所以原式= tan 4 2 4 ”,
2sin2 sin sin(2sin 1)
cos 1 .
sin tan
②当α=-
23 时,f(α)= f( 23 )
6
6
1 tan( 23 )
1 tan( 4
)
1 tan
1 3
3.
6
6
63
【规律方法】 1.诱导公式的两个应用 (1)求值:负化正,大化小,化到锐角为终了. (2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
tan2 2tan tan2 1
(1)2 2 1
2
2
(1)2 1
3. 5
2
【状元笔记】
弦切互化法:
主要利用公式tan x= sin x 进行切化弦或弦化切,
cos x
如 asin x bcos x ,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型
csin x dcos x
可进行弦化切.
-α
2
_c_o_s__α__ _s_i_n__α__
+α 2
_c_o_s__α__ -_s_i_n__α__
【常用结论】 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α= tan α·cos α.
2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指 的
2
sin(2 )tan( )
______ .
cos( )tan(13 )tan( 5)
【解析】原式
sin2 cos2 sinsin sin2 cos2 coscos
g sintan cos(tan)tan
1 sin2 gsin 1 cos2 sin
1 tan 2
.
答案:- 1
tan 2
2sin x 3cos x 2tan x 3
………………原式变形
又因为tan x= 1,
3
所以原式= tan x =3
2tan x 3
13
,3………整体代换
21 3 3
即原式= tan x = 3
2tan x 3
13 3
10
. 3 10
21 3 7 7
3
3
………………………化简求值
答案:- 10
sin α+cos α= , 2
3
平方得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α= , 2
9
则2sin αcos α=- <70,
9
所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α= , 16
9
又因为α∈(0,π),所以sin α-cos α>0, 所以sin α-cos α= . 4
B.1
C.- 2
5
D.-1或- 2
5
【解析】选C.由已知得
3sin α=1+cos α>0,cos α=3sin α-1,
cos2α=1-sin2α=(3sin α-1)2, sin α= ,3
5
所以cos α-2sin α=3sin α-1-2sin α
=sin α-1=- 2.
5
3.已知tan α=2,求 sin 4cos 的值.
命题角度2 利用sin α±cos α与sin α·cos α之
间的关系求值
【典例】(2018·潍坊模拟)若α∈(0,π),sin(π-α) +cos α= 2 ,则sin α-cos α的值为 ( )
3
A. 2 3
B. 2 3
C. 4
D. 4
3
3
【解析】选C.由诱导公式得sin(π-α)+cos α=
6
【解析】(1)因为 sin( ) 1 ,
6
4
所以 sin( ) 1 ,
64
cos(2 ) cos[2( )]
3
6
1 2sin2 ( ) 1 2 1 7 .
6
16 8
答案: 7
8
(2)①f(α)= (2sin)g(cos) (cos)
1 sin2 sin cos2 2sincos cos cos(2sin 1)
3
所以cos α=- 2,
3
则α为第二或第三象限角,
所以sin α= 1 cos2 5 .
3
所以tan α=
sin
5 3
5.
cos 2
2
3
题组二:走进教材
1.(必修4P20练习T1改编)已知sin α= 5, ≤α≤
52
π,则tan α= ( )
A.-2 B.2 C. 1
2
D.- 1
5tan 2 5 2 2
………………………………整体代换
“即原式= tan 4 2 4 1 . ”
5tan 2 5 2 2 6
……化简求值
套模板:已知tan x= 1 ,则 sin x 3cos x =______.
3
2sin x 3cos x
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2025年高考数学总复习课件30第四章第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平 方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值 的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
(2)已知tan α＝－34，则sin α(sin α－cos α)＝( )
√A．2215
B．2251
C．45
D．54
A
解析：
sin
α(sin
α － cosຫໍສະໝຸດ α) ＝ sin2α － sinαcos
α
＝
sin2 α－sinα cos sin2 α+ cos2 α
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母 同时除以一个余弦的最高次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就 可以求出这个分式的值．
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
【常用结论】
1．sin α＝± 1－ cos2 α；cos α＝± 1－ sin2 α； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos
α.
2
．sin2α
高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
2024届新高考一轮总复习人教版 第四章 第2节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 课件(35张)
所以 cos2α＝190，由 α 为第二象限角，易知 cosα<0，所以 cos α＝－31010，sin α＝ 1100，
C．sin 54π＋α＝12
B．cos π4－α＝12 D．cos 54π－α＝－12
解析：由 sin π4＋α＝12，可得 cos (π4＋α)＝± 23，sin 54π＋α＝sin π＋π4＋α＝－sin π4＋α＝－12，cos π4－α＝cos [π2－π4＋α]＝sin π4＋α＝12，cos 54π－α＝cos π＋π4－α＝ －cos π4－α＝－12.
(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
sin α＝tan αcos αα≠π2＋kπ，k∈Z；
sin
2α＝sin
sin 2α 2α＋cos
2α＝tanta2nα2＋α 1；
cos2α＝sin
cos 2α 2α＋cos
2α＝tan21α＋1.
【小题热身】 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若 α，β 为锐角，则 sin2α＋cos2β＝1.( ) (2)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( ) (3)若 α∈R，则 tan α＝csoins αα恒成立．( ) (4)若 sin (kπ－α)＝13(k∈Z)，则 sin α＝13.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．三角函数的诱导公式
组数
一
二
三
四
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
－α
π－α
正弦 余弦 正切
口诀
__s_in__α__ __c_o_s_α__ __ta_n__α__
__－__s_i_n_α__ __－__s_in__α__ __s_in__α__ __－__c_o_s_α__ __co_s__α__ _－___co_s__α__ __t_an__α__ __－__t_a_n_α__ _－___ta_n_α___
2025年高考数学一轮复习-同角三角函数的基本关系与诱导公式【课件】
含有tan α的式子，代入tan α的值即可求解.
考向3 “ sin α±cos α， sin α cos α”之间关系的应用
【例3】 （多选）已知θ∈（0，π）， sin θ＋ cos
论正确的是（
A.
π
θ∈（ ，π）
2
C. tan
3
θ＝－
4
）
B. cos
3
θ＝－
5
D. sin θ－ cos
7
θ＝－
＋2＝
＋2＝
＋2
1
2
2
2
2
+1
si ＋
（2） +1
si2
13
＝ .
5
2
诱导公式的应用
【例4】 （1）已知α为锐角，且 cos
3π
）＝（
4
A.
1
－
2
C. －
3
2
）
1
B.
2
D.
3
2
π
1
（α＋ ）＝－ ，则
4
2
cos （α＋
π
π
3π
解析：由α为锐角得 ＜α＋ ＜ ，所以
2. 应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋ cos α， sin α cos α，
sin α－ cos α这三个式子，利用（ sin α±cos α）2＝1±2 sin α cos α，
可以知一求二.
1. 若 sin θ＋ cos
2 3
θ＝
，则
3
5
A.
6
17
B.
18
8
C.
9
2
D.
3
第4章 §4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式--新高考数学新题型一轮复习课件
新高考数学新题型一轮复习课件第四章§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用.落实主干知识课时精练探究核心题型内容索引L U O S H I Z H U G A N Z H I S H I 落实主干知识知识梳理1.同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1(1)平方关系： .(2)商数关系： .2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k π＋α(k ∈Z )π＋α－απ－α正弦sin α___________________________余弦cos α____________________________正切tan α___________－tan α 口诀奇变偶不变，符号看象限－sin α－sin αsin αcos αcos α－cos αcos α－cos αsin α－sin αtan α－tan α同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( )(2)若α∈R ，则tan α＝ 恒成立.( )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )√×××教材改编题＝－sin 2α.－sin 2αT A N J I U H E X I N T I X I N G 探究核心题型题型一同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝，则13sin α＋5tan α＝ .0∴α是第二或第三象限角.①若α是第二象限角，②若α是第三象限角，综上，13sin α＋5tan α＝0.sin2α＋sin αcos α＋2因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0，教师备选√可得tan α＝2，√由诱导公式得因为α∈(0，π)，所以sin α>0，所以cos α<0，所以sin α－cos α>0，(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.√方法一 因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二或第四象限，＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2，＝sin θ(sin θ＋cos θ)题型二诱导公式√√教师备选√易知函数f(x)＝a x－2＋2(a>0且a≠1)的图象过定点P(2,3)，√所以tan x＝－3，(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝，求cos(105°－α)＋sin(15°－α) 0＝ .因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)](2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则＝ .3由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2，题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用。
高中数学课件-第2讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
20
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
反思感悟
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用csoins αα＝ tan α(α≠π2＋kπ，k∈Z)可实现角 α 的弦切互化. (2)当分式中分子与分母是关于 sin α，cos α 的齐次式时，往往转化为 关于 tan α 的式子求解. (3)应用公式时注意方程思想的应用：对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.
常用结论
1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，
变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
1
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
第2讲 同角三角函 数的基本关系与诱导 公式
2
聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
考试要求
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins
x x
＝tan x.2.能利用单位圆中的对称性推导出π2±α，π±α 的正弦、余弦、正切
A.sin θ＝45
B.cos θ＝－35
( ABD)
C.tan θ＝－34
D.sin θ－cos θ＝75
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聚焦必备知识 突破核心命题 限时规范训练
ABD 由题意知 sin θ＋cos θ＝15， ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝215， ∴2sin θcos θ＝－2245<0，∵θ∈(0，π)，∴π2<θ<π，∴sin θ－cos θ>0， ∴sin θ－cos θ＝ 1－2sin θcos θ＝ 1－（－2245）＝ 2459＝75， ∴sin θ＝45，cos θ＝－35.∴tan θ＝－43，∴ABD 正确.
第五章第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件共51张PPT
(3)∵sin α＝45 且 α 为锐角∴cos α＝ 1－sin2α ＝
4
∴tanα＝csoins
α α
＝52
＝43
，故 AB 正确．
5
∴sin α＋cos α＝45
＋35
＝75
8 ≠5
，
sin α－cos α＝45 －35 ＝15 ≠－15 ，故 CD 错误．]
1－452 ＝35 ，
同角三角函数关系式的应用方法 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互化，利用csoinsαα ＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数 值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在 的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
所以 f－253π
＝cos
－253π
＝cos
π 3
＝12
.
答案：
1 2
同角三角函数基本关系式
角度一 公式的直接应用
(1)已知角
α
是第二象限角，且满足
sin
5π (2
＋α)＋3cos (α－π)＝1，
则 tan (π＋α)等于( )
A． 3
B．－ 3
C．－
3 3
D．－1
(2)(2020·北京市适应性测试)已知 α 是第四象限角，且 tan α＝－34 ，则 sin
解析： (1)因为 f(2 020)＝sin π2 ×2 020＋α ＋1＝sin (1 010π＋α)＋1
＝sin α＋1＝2，
所以 sin α＝1，cos α＝0.
所以 f(2 021)＝sin
同角三角函数的基本关系与诱导公式 (共32张PPT)
[题组练透]
1．已知
5π 1 sin 2 ＋α＝ ，那么 5
cos α＝ 1 B．－ 5 2 D． 5
(
)
＋α＝sin2＋α＝cos
1 α＝ . 5
sinkπ＋α coskπ＋α 2．已知 A＝ ＋ (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是 sin α cos α ( A．{1，－1,2，－2} C．{2，－2} B．{－1,1} D．{1，－1,0,2，－2} )
第二节
同角三角函数的基本关系与诱导公式
基础盘查一
同角三角函数的基本关系
(一)循纲忆知
sin α 理解同角三角函数的基本关系式： sin α＋cos α＝1， ＝tan α. cos α
2 2
同角三角函数的基本关系：
sin α + cos α = 1
2
2
sinα = tanα cosα π (当α ≠ kπ + (k∈ Z)时） 2
用文字叙述：
同一个角α的正弦、余弦的平方 和等于１，商等于角α的正切；同一 个角的正切、余切之积等于１（即同 一个角的正切、余切互为倒数）。
为了加深对关系式的认识，注意以下几 点 ： 1、同角的理解：
sin 4 cos 4 1
2 2
2 2
sin ( ) cos ( ) 1
3 . 3
5．化简：
3π tanπ－αcos2π－αsin－α＋ 2
cos－α－πsin－π－α
.
－tan α· cos α· －cos α 解：原式＝ cosπ＋α· －sinπ＋α sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α ＝ ＝ －cos α· sin α －sin α ＝－1.
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教版
为( B )
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．b＞c＞a
D．a＞c＞b
5．(2021·唐山模拟)已知sin52π＋α＝35，那么tan α的值为( C )
A．－43
B．－34
C．±43
D．±34
6．(2021·苏州模拟)化简：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosα α＝________. 解析：sin1＋π－siαnπ2＋＋siαnαtacnosαα＝sin1＋α＋cossinααtcaonsαα＝cos α.
3 4
π，B＝56π，不符合题意，舍去．
综上，C＝172π.
[答案]
7 12π
三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的发掘以及三角形内 角和定理的应用.
(二)创新应用——斜率公式与三角函数的交汇问题
[例2] 已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上
有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝23，则|a－b|＝( B )
1 A.5
B．
5 5
25 C. 5
D．1
本题主要通过商数关系进行弦化切，结合斜率公式求解，着重 考查了逻辑推理与数学运算核心素养．
[题组突破]
1．已知曲线f(x)＝32x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则
2sinsiαn2cαo－s αc＋osc2αos2α＝( C )
1 A.2
B．2
函数名不变 符号看象限
函数名改变，符 号看象限
1．若sin6π－α＝13，则cos3π＋α＝( C )
A．－79
B．－13
1 C.3
D．79
2．化简scions25απ－＋π2α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
同角三角函数的基本关系与诱导公式 课件——2025届高三数学一轮复习
3
5
π
( x － )的最大值为(
6
A
)
1
5
sin
π
6
( x ＋ )，所以 f ( x )＝ sin
3
5
(x＋
(2)[北京高考]若函数 f ( x )＝ sin ( x ＋φ)＋ cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值
为
π
(答案不唯一)
2
.
[解析] 易知当 y ＝ sin ( x ＋φ)， y ＝ cos x 同时取得最大值1时，函数 f ( x )＝ sin ( x ＋
−cossin
2
·tan α＝
·tan2α＝－tan2α.解方程5 x
sincos
2－
3
5
3
5
7 x －6＝0，得 x 1＝－ ， x 2＝2.又α是第三象限角，∴ sin α＝－ ，∴ cos α＝
4
－ ，∴tan
5
3
9
2
α＝ .故原式＝－tan α＝－ .
4
16
命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
sin2 ＋cos2 ＋sincos
θ＝
＝
＝
1
sin2 ＋cos2
π
(2)[2023全国卷乙]若θ∈(0， )，tan
2
[解析] 由
－
5
.
5
sin
1
tan＝
＝ ，
cos
2
sin2 ＋cos 2 = 1，
1
θ＝ ，则
2
π
2
sin θ－ cos θ＝ －
且θ∈(0， )，解得
π
6
5
π
( x － )的最大值为(
6
A
)
1
5
sin
π
6
( x ＋ )，所以 f ( x )＝ sin
3
5
(x＋
(2)[北京高考]若函数 f ( x )＝ sin ( x ＋φ)＋ cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值
为
π
(答案不唯一)
2
.
[解析] 易知当 y ＝ sin ( x ＋φ)， y ＝ cos x 同时取得最大值1时，函数 f ( x )＝ sin ( x ＋
−cossin
2
·tan α＝
·tan2α＝－tan2α.解方程5 x
sincos
2－
3
5
3
5
7 x －6＝0，得 x 1＝－ ， x 2＝2.又α是第三象限角，∴ sin α＝－ ，∴ cos α＝
4
－ ，∴tan
5
3
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2
α＝ .故原式＝－tan α＝－ .
4
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命题点3 同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
sin2 ＋cos2 ＋sincos
θ＝
＝
＝
1
sin2 ＋cos2
π
(2)[2023全国卷乙]若θ∈(0， )，tan
2
[解析] 由
－
5
.
5
sin
1
tan＝
＝ ，
cos
2
sin2 ＋cos 2 = 1，
1
θ＝ ，则
2
π
2
sin θ－ cos θ＝ －
且θ∈(0， )，解得
π
6