高三学生学情调研

开始i ←1 , S ←0 i <10输出S YS ←S+ ii ←i +1 结束N 第8题 高三学生学情调研数学试卷（时间120分钟，满分160分）一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上.1．已知集合{}1,2,3,4A =--，{}2|,5B x x R x =∈<，则A B = ▲ .{}1,2-2．已知复数34z i =-，则||z = ▲ . 53．命题“∃x ∈R ，x 2＋x ≤0”的否定是 ▲ . ∀x ∈R ，x 2＋x >04．函数2()sin (2)4f x x π=-的最小正周期是 ▲ ．2π5．已知平面向量),2(),3,12(m b m a =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 ▲16．在ABC ∆中，若1b =，3c =23C π∠=，则a = ▲ ．1 7．已知等差数列{a n },其中,33,4,31521==+=n a a a a 则n 的值为 ___▲__ ．508.一个算法的流程图如图所示，则输出的S 值为 ▲ .459.已知函数()()0cos sin f x f x x '=+，则函数)(x f 在20π=x 处的切线方程是 ▲ . x ＋y ―1―2π=0 10．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高位5cm ， 一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的 长为 ▲ cm ． 1311．已知()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的奇函数，当0x >时，()ln f x x ax =-. 若函数()f x 在其定义域上有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是1C A B C 1A1B第10题▲ .1(0,)e12.已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，D C ,是椭圆上关于x轴对称的两点，直线BD AC ,的斜率分别为12,k k ，且12120.||||k k k k ≠+若的最小值为3，则椭圆的离心率为 ▲ 2113.已知k n m ,,是正数,且满足4)(=++k n m mnk ,则))((k m n m ++的最小值 ▲ . 414.设数列}{n a 是首项为0的递增数列，（N n ∈），,)(1sin)(n n a x nx f -=,[n a x ∈]1+n a ,满足：对于任意的b x f b n =∈)(),1,0[总有两个不同的根,则}{n a 的通项公式为 ▲ 2)1(π-=n n a n 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（本题满分14分）已知()sin ,1a α=，()cos ,2b α=，0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．⑴若a ∥b ，求tan α的值； ⑵若a b 178=，求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．15．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）解：⑴因为a ∥b ，所以2sin cos αα=．…………………………………………3分则1tan 2α=．…………………………………………………………………………5分⑵因为a b 178=，所以17sin cos 28αα+=，……………………………………7分 即1sin 24α=． (9)第16题图 第16题图分因为0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以20,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则15cos 2α=． (11)分22sin 2sin 22422πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭所以21215230242+=+= …………………………………………………14分16. （本题满分14分）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AD 上的点，且满足1(0)D P PA λλ=>.(1)当1λ=时，求证：平面11ABC D ⊥平面PDB ；(2)试证无论λ为何值，三棱锥1D PBC -的体积恒为定值；16. （Ⅰ）∵正方体1111ABCD A B C D -中，AB ⊥面11AA D D ， 又11AB ABC D ⊂∴平面11ABC D ⊥平面11AA D D ，……………4分 ∵1λ=时，P 为1AD 的中点，∴1DP AD ⊥， 又∵平面11ABC D 平面11AA D D 1AD =， ∴DP ⊥平面11ABC D ，又DP ⊂平面PDB ，∴平面11ABC D ⊥平面PDB ．………7分 （Ⅱ）∵11//AD BC ， P 为线段1AD 上的点，∴三角形1PBC 的面积为定值，即112212PBC S ∆==………12分又∵//CD 平面11ABC D ，∴点D 到平面1PBC 的距离为定值，即2h =， ………………14分∴三棱锥1D BPC -的体积为定值，即111122133226D PBC PBC V S h -∆=⋅⋅=⨯⨯=． 17. （本小题满分14分）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为8k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为(102420)2x x k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦元。

假设座位等距离分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元。

（1）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？ 17．（本小题满分14分）解：（1）设摩天轮上总共有n 个座位，则k x n =即kn x=，2(102420)1010242082100100k k x xx y kk k x x x ⎡⎤⎛⎫++=++=+ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 定义域0,2k k x x Z x ⎧⎫<≤∈⎨⎬⎩⎭； ……………………6分（2）当100k =时，令1000100102420y x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1000()1024f x x x =+，则21000()512f x x x'=-+ 32210005120xx-+==， ∴233212512525646416x x ⎛⎫=⇒== ⎪⎝⎭，（10分） 当25(0,)16x ∈时，()0f x '<，即()f x 在25(0,)16x ∈上单调减， 当25(,50)16x ∈时，()0f x '>，即()f x 在25(,50)16x ∈上单调增，min y 在2516x =时取到，此时座位个数为100642516=个。

……………………14分18. （本题满分16分）已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5.过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M . (1)求抛物线方程；(2)过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标； (3)以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当)0,(m K 是x 轴上一动点时，判断直线AK 与圆M 的位置关系.18解:(1)抛物线.2,524,222=∴=+-==p pp x px y 于是的准线为∴抛物线方程为y 2= 4x . ……………4分(2)∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4），M （0，2），又∵F （1，0）， ∴,43,;34-=∴⊥=MN FA k FA MN k则FA 的方程为y=34（x －1），MN 的方程为.432x y -=-解方程组).54,58(5458,432)1(34N y x x y x y ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=得……………9分(3)由题意得，圆M 的圆心是点（0，2），半径为2.当m=4时，直线AK 的方程为x =4，此时，直线AK 与圆M 相离，当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44m x m y --= 即为,04)4(4=---m y m x圆心M （0，2）到直线AK 的距离2)4(16|82|-++=m m d ，令1,2>>m d 解得1>∴m 当时，直线AK 与圆M 相离； 当m=1时，直线AK 与圆M 相切； 当1<m 时，直线AK 与圆M 相交. ……………16分19．（本题满分16分）已知函数()()y f x x R =∈满足()(1)1f x f x +-=．（1）求111()()()(*)2n f f f n N n n-+∈和的值； （2）若数列)1()1()2()1()0(}{f nn f n f n f f a a n n +-++++= 满足 (*)n N ∈，求数列}{n a 的通项公式；（3）若数列{}n b 满足12n n n b a +=⋅，n S 是数列{}n b 前n 项的和，是否存在正实数k ，使不等式4n n knS b >对于一切的n N *∈恒成立？若存在指出k 的取值范围，并证明；若不存在说明理由． 19．（本题满分16分）解：（1）令12x =，11()(1)122f f +-=，11()22f ∴=……2分令1x n=，11()()1n f f n n-+= ……5分 （2）∵)1()1()2()1()0(f n n f n f n f f a n +-++++= ①∴)0()1()2()1()1(f n f n n f n n f f a n +++-+-+= ②由（Ⅰ），知 11()()1n f f n n-+=∴①+②，得12(1)..2n n n a n a +=+∴= …… 10分（3）∵ 12n n n b a +=⋅，∴ (1)2n n b n =+⋅ ∴123223242(1)2n n S n =⋅+⋅+⋅+++⋅， ①234122232422(1)2n n n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅， ②①－②得2314222(1)2n n n S n +-=++++-+⋅即12n n S n +=⋅ …… 12分要使得不等式4n n knS b >恒成立，即2220kn n -->对于一切的n N *∈恒成立，40221>>--=k k n 成立，即时，设2()22g n kn n =--当4k >时，由于对称轴直线11n k=<，且 (1)220g k =-->，而函数()f x 在[)1,+∞ 是增函数，∴不等式n n knS b >恒成立即当实数k 大于4时，不等式n n knS b >对于一切的n N *∈恒成立 ……16分20. （本小题满分16分）已知函数()()||20,1x xf x a a a a=+>≠，（1）若1a >，且关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围；（2）设函数()()[),2,g x f x x =-∈-+∞，()g x 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关.试求a 的取值范围．20．（本小题满分16分）解：(1)令x a t =，0x >，因为1a >，所以1t >，所以关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解等价于关于t 的方程2t m t+=有相异的且均大于1的两根，即 关于t 的方程220t mt -+=有相异的且均大于1的两根，………………………………………2分所以2280,1,2120m m m ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪-+>⎩，…………………………………………………………………4分 解得3m <<，故实数m 的取值范围为区间.……………………………6分(2)||()2,[2,)x x g x a a x =+∈-+∞ ①当1a >时，a )0x ≥时，1x a ≥，()3x g x a =，所以 ()[3,)g x ∈+∞，b )20x -≤<时，211xa a ≤<()2x x g x a a -=+，所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a --=-+=……8分ⅰ当21a即1a <<(2,0)x ∀∈-，'()0g x >，所以 ()g x 在[2,0)-上递增，所以 222()[,3)g x a a ∈+，综合a ) b )()g x 有最小值为222a a +与a 有关，不符合……10分ⅱ当21a ≤a 时，由'()0g x =得1log 22ax =-，且当12log 22a x -<<-时，'()0g x <，当1log 202a x -<<时，'()0g x >，所以 ()g x 在1[2,log 2]2a --上递减，在1[log 2,0]2a -上递增，所以min 1()log 22a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a ) b ) ()g x 有最小值为a 无关，符合要求．………12分 ②当01a <<时，a ) 0x ≥时，01x a <≤，()3x g x a =，所以 ()(0,3]g x ∈b ) 20x -≤<时，211x a a<≤，()2x x g x a a -=+， 所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a --=-+= 0<，()g x 在[2,0)-上递减，所以 222()(3,]g x a a ∈+，综合a ) b ) ()g x 有最大值为222a a +与a 有关，不符合………14分综上所述，实数a 的取值范围是a ．………………………………………………16分。