南京市2020届高三年级学情调研卷(定稿)
2020届江苏省南京市高三数学上学期期初学情调研考试试题Word版含解析
2020届江苏省南京市高三上学期期初学情调研考试数学试题一、填空题1．若集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，则P ∩Q =__________. 【答案】{0，2}【解析】因为交集就是由两个集合的公共元素组成的集合，集合P ＝{－1，0，1，2}，Q ＝{0，2，3}，所以{}0,2P Q ⋂=，故答案为{}0,2.2．若(a ＋b i)(3－4i)＝25 (a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________． 【答案】7【解析】()()()()i 34i 3434i=25a b a b b a +-=++-， 34253{{ 3404a b a b a b +==∴⇒-==， 7a b +=，故答案为7.3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为__________． 【答案】16 【解析】试题分析：因为高校甲乙丙丁四个专业分别有150150400300，，，名学生，所以本校共有学生1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是401100025=，因为丙专业有400人，所以要抽取14001625⨯=人．【考点】分层抽样．4．如图所示的算法流程图，若输出y 的值为，则输入x 的值为__________．【解析】该程序框图表示的是函数()()22,0{log ,0x x f x x x <=-≥，若()21log 2x -=，则0x =≥，不合题意，若1log22x =，则0x =<合题意，故输入的x值为，故答案为. 5．记函数f (x )＝的定义域为D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为__________． 【答案】12【解析】由2430x x --≥，得23x -≤≤，因为[]4,1D =-，所以由几何概型概率公式得，在区间上随机取一个数x ，则x D ∈的概率()()411552P --==--，故答案为12.【方法点睛】本题題主要考查“区间型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，区间型，求与区间有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总区间以及事件的区间；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线－＝1的焦点到其渐近线的距离为__________． 【答案】3【解析】双曲线方程为221169x y -=， 216925c ∴=+=，焦点坐标为()5,0，渐近线方程为 340x y -=，由点到直线距离公式得双曲线221169x y -=的焦点到其渐近线的距离为： 15035d -==，故答案为3.7．已知实数x ，y 满足条件则z =3x －2y 的最大值为__________．【答案】6【解析】画出24{3 8x y x y ≤≤≥+≤表示的可行域如图，平移直线3122y x z =+，由图知，当直线过点()4,3A 时， 32z x y=-有最大值6，故答案为6.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27πcm 3，则该圆柱的侧面积为___________cm 2. 【答案】18【解析】设正方体棱长为a ，则正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为2327,3a a a a πππ⨯===，圆柱侧面积22218S a a a πππ=⨯==，故答案为18π.9．若函数f (x )＝A sin(x ＋)(A ＞0，＞0，||)的部分图象如图所示，则f (－π)的值为__________．【答案】-1【解析】由图可知， 2A =，322,34443T T πππππωω=-===⇒=，又由2034πϕ⨯+=，得6πϕ=-， ()()222,213636f x sin x f sin ππππ⎛⎫⎛⎫∴=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为1-.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用利用图像先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，使解题的关键.求解析时求参数ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点， 用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点) 时0x ωϕ+=；“第二点”(即图象的“峰点”) 时2x πωϕ+=；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点) 时x ωϕπ+=；“第四点”(即图象的“谷点”) 时32x πωϕ+=；“第五点”时2x ωϕπ+=.10．记等差数列{a n }前n 项和为S n ．若a m ＝10，S 2m －1＝110， 则m 的值为__________．【答案】6 【解析】{}n a 是等差数列，()()()2112212110211102m m m a a S m m a m -+∴=⨯-=-=-=，可得6m =，故答案为6.11．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是__________． 【答案】(－∞，2] 【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数， ()f x ∴在()0,+∞也是增函数，即()f x 在R 上递增，又()()()()12,12,2321f f f x f -=-∴=∴-≤=， 231,2x x -≤≤，即满足()232f x -≤的x 的取值范围是(],2-∞，故答案为(],2-∞.12．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120＝λ．若·＝－，则实数λ的值为__________．【答案】13【解析】3,2,120A B A C B A C ==∠=,∴由余弦定理可得BC =，又根据余弦定理可得cosABC ∠=， ()2AM BC BM BA BC BC BA BC λ⋅=-⋅=-⋅ 171933λ=-=-，解得13λ=，故答案为13. 13．在平面直角坐标系xOy 中，若圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上存在点M ，使得点M 关于x 轴的对称点N 在直线kx ＋y ＋3＝0上，则实数k 的最小值为__________． 【答案】－43【解析】M 在()()22221x y -+-=， ∴可设()2cos ,2M sin θθ++，可得()2cos ,2N sin θθ+--，将N 的坐标代入30kx y ++=，可得cos 21sin k k θθ-=+， 21k +≤，化为得24340,03k k k +≤-≤≤， k 的最小值为43-，故答案为43-.14．已知函数f (x )＝若存在唯一的整数x ，使得＞0成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[0，2]∪[3，8]【解析】()()0f x a f x a xx --=-表示()y f x =上的点()(),x f x 与()0,a 在线的斜率，做出()y f x =的图象，由图可知， []0,2a ∈时，有一个点整数点()()1,1f 满足()00f x a x ->-，符合题意， ()2,3a ∈时，有两个整数点()()()()1,1,1,1f f --满足()00f x a x ->-，不合题意， []3,8a ∈时，只有一个点()()1,1f --满足()00f x a x ->-符合题意，当8a >时，至少存在两点()()()()1,1,2,2f f ----满足()00f x a x ->-不合题意，故答案为[][]0,23,8⋃.【方法点睛】本题主要考查不等式的整数解、数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.二、解答题 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）先根据直棱柱的性质，可得AE ⊥平面ABC ，可得1CC AE ⊥，再根据等腰三角形性质可得AE BC ⊥，从而可得AE ⊥平面11B BCC ，进而得出结果；（2）连接1A B ，设11A B AB F ⋂=，连接EF ，由平行四边形的性质结合中位线定理可得1//EF A C .根据线面平行的判定定理可得结果. 试题解析：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1ABC ．因为AE ⊥平面ABC ，所以CC 1⊥AE ．因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ． 因为BC 在平面B 1BCC 1，内，CC 1在平面B 1BCC 1内 且BC ∩CC 1＝C ，所以AE ⊥平面B 1BCC 1． 因为AE 在平面AB 1E 内所以平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1. （2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形， 所以F 为A 1B 的中点． 又因为E 是BC 的中点，所以EF ∥A 1C ．因为EF 在平面AB 1E 内，A 1C 不在平面AB 1E 内， 所以A 1C ∥平面AB 1E .【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及线面垂直、面面垂直的判定，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（2）是就是利用方法①证明的. 16．（本小题满分14分） 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝． （Ⅰ）若c ＝2a ，求的值；（Ⅱ）若C －B ＝，求sin A 的值．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）由余弦定理结合2c a =；可得10，再由正弦定理可得结果；（2）先由4cos 5B =，根据二倍角公式可得73cos2,2255B sin B ==，则3s i n 24A s i n B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据两角差的正弦公式可得结果. 试题解析：（1）解法1在△ABC 中，因为cos B ＝，所以＝．因为c ＝2a ，所以＝，即＝，所以＝．又由正弦定理得＝，所以＝．解法2因为cos B ＝，B ∈(0)，所以sin B ＝＝．因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝cos C ＋sin C ， 即－sin C ＝2cos C ． 又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝，所以＝．（2）因为cos B ＝，所以cos2B ＝2cos 2B －1＝． 又0＜B ＜π，所以sin B ＝＝，所以sin2B ＝2sin B cos B ＝2××＝． 因为C －B ＝，即C ＝B ＋，所以A ＝π－(B ＋C )＝－2B ，所以sin A ＝sin(－2B ) ＝sin cos2B －cossin2B＝×－(－)×＝．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时． 设f (x )＝t 1＋t 2．（Ⅰ）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （Ⅱ）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？ 【答案】（1）f (x )＝t 1＋t 2＝9000x ＋1000100x-，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N}（2）75 【解析】试题分析：（1）由19000t x =且()2300010003100100t x x ==--， 可得()1290001000100f x t t x x=+=+-,根据实际意义可得定义域；（2）()f x 化为()()910091101001010100100x x x x x x x x ⎡⎤-⎛⎫⎡⎤+-+=++⎢⎥ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎣⎦，根据基本不等式可得结果. 试题解析：（1）因为t 1＝，t 2＝＝， 所以f (x )＝t 1＋t 2＝＋，定义域为{x |1≤x ≤99，x ∈N}． （2）f (x )＝1000(＋)＝10[x ＋(100－x )](＋)＝10[10＋＋]．因为1≤x ≤99，x ∈N ，所以＞0，＞0，所以＋≥2＝6，当且仅当＝，即当x ＝75时取等号．答：当x ＝75时，f (x )取得最小值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为，且过点(1，)．过椭圆C的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．【答案】（1）24x ＋y 2＝1（2【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于a 、b 、c 的方程组，结合性质222a b c =+ ， 222a c b =+ ，求出a 、b 、c ，即可得结果；（2）设()00,P x y ，则()002,N x y --,所以02x m -=．可得直线AP 的方程为()0022y y x x =++，根据1PB MB k k ⋅=-可得231040m m -+=，解方程即可得结果. 试题解析：（1）因为椭圆C 的离心率为，所以a 2＝4b 2．又因为椭圆C 过点(1，)，所以＋＝1，解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为＋y 2＝1． （2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． 由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝ (x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝，即M (m ，)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝·＝－1， 即＝－1．因为＋y 02＝1．所以＝1．因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝．因为m ＞2，所以m ＝．解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝，所以y P ＝，所以P (，)．因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－＝．()因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))， 因为直线PB 与x 轴不垂直，所以≠1，即k 2≠，所以k PB ＝＝，k MB ＝．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1， 所以·＝－1．（）将()代入（），化简得48k 4－32k 2＋1＝0， 解得k 2＝，所以m ＝＝．又因为m ＞2，所以m ＝．19．（本小题满分16分） 已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（Ⅰ）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（Ⅱ）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （Ⅲ）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )， 记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 【答案】（1）12（2）(－∞，－1－1e ]（3）827【解析】试题分析：（1）求出()'f x ，由()'063f a==可得结果；（2）对于任意()()()0,,12ln x f x f x x ∈+∞+-≥恒成立等价于()()22ln 1xa g x x -+≥=，利用导数研究函数的单调性，求得()max 1g x ge ==，从而可得结果；（3）分三种情况讨论：①当513a <≤，②当523a <<，③当2a ≥分别求出()h a 的最小值，再比较大小即可得结果.试题解析：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ， 所以6a ＝3，所以a ＝．（2）f(x)＋f(－x)＝－6(a＋1)x2≥12ln x对任意x∈(0，+∞)恒成立，所以－(a＋1)≥．令g(x)＝，x＞0，则g(x)＝．令g(x)＝0，解得x＝．当x∈(0，)时，g(x)＞0，所以g(x)在(0，)上单调递增；当x∈(，＋∞)时，g(x)＜0，所以g(x)在(，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g()＝，所以－(a＋1)≥，即a≤－1－，所以a的取值范围为(－∞，－1－]．（3）因为f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax，所以f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a＝6(x－1)(x－a)，f(1)＝3a－1，f(2)＝4．令f′(x)＝0，则x＝1或a．f(1)＝3a－1，f(2)＝4．①当1＜a≤时，当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋4．因为h (a)＝3a2－6a＝3a(a－2)＜0，所以h(a)在(1，]上单调递减，所以当a∈(1，]时，h(a)最小值为h()＝．②当＜a＜2时，当x∈(1，a)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x∈(a，2)时，f (x)＞0，所以f(x)在(a，2)上单调递增．又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(a)＝－a3＋3a2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－(－a3＋3a2)＝a3－3a2＋3a－1．因为h (a)＝3a2－6a＋3＝3(a－1)2≥0．所以h(a)在(，2)上单调递增，所以当a∈(，2)时，h(a)＞h()＝．③当a≥2时，当x ∈(1，2)时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，2)上单调递减， 所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (2)＝4， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－4＝3a －5， 所以h (a )在[2，＋∞)上的最小值为h (2)＝1． 综上，h (a )的最小值为．【方法点晴】本题主要考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x =图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.20．(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n 2}的前n 项和为T n ，且3T n ＝S n 2＋2S n ，n ∈N ．（Ⅰ）求a 1的值；（Ⅱ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若k ，t ∈N ，且S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，求k 和t 的值．【答案】（1）1（2）a n ＝2n －1，n ∈N(3) k ＝2，t ＝3【解析】试题分析：（1）由211132T S S =+，得2211132a a a =+，解方程即可得结果；（2）因为2211132,32n n n n n n T S S T S S +++=+=+，两式相减可得1132n n n a S S ++=++再得22132n n n a S S +++=++，再相减可得{}n a 是等差数列，从而可得结果；(3)由(2)可知21nn S =-，根据11,,k t k S S S S S --成等比数列可得()221222321t k k ---=-⨯+，只需证明以上等式无整数解即可.试题解析：（1）由3T 1＝S 12＋2S 1，得3a 12＝a 12＋2a 1，即a 12－a 1＝0． 因为a 1＞0，所以a 1＝1．（2）因为3T n ＝S n 2＋2S n ， ①所以3T n ＋1＝S n ＋12＋2S n ＋1，②②－①，得3a n ＋12＝S n ＋12－S n 2＋2a n ＋1． 因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2， ③ 所以3a n ＋2=S n ＋2＋S n ＋1＋2，④④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1， 所以当n ≥2时，＝2．又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0．因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以＝2，所以对n ∈N ，都有＝2成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N ．(3)由(2)可知S n ＝2n－1．因为S 1，S k －S 1，S t －S k 成等比数列，所以(S k －S 1)2＝S 1(S t －S k )，即(2k －2)2＝2t －2k，所以2t ＝(2k )2－32k ＋4，即2t －2＝(2k －1)2－32k －2＋1()． 由于S k －S 1≠0，所以k ≠1，即k ≥2．当k ＝2时，2t＝8，得t ＝3．当k ≥3时，由()，得(2k －1)2－32k －2＋1为奇数，所以t －2＝0，即t ＝2，代入()得22k －2－32k －2＝0，即2k＝3，此时k 无正整数解． 综上，k ＝2，t ＝3． 21．(1)．选修4—1：几何证明选讲如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ，DA ＝DC ．求证： CA ＝3CB ．(2)．选修4—2：矩阵与变换 设二阶矩阵A ＝．（Ⅰ）求A －1；（Ⅱ）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C 6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．(3)．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数），圆C 的参数方程为（θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．(4)．选修4—5：不等式选讲 解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【答案】（1）见解析（2）（Ⅰ）213122-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）8y 2－3x 2＝1（3）14）(－∞，－2]∪[3，＋∞). 【解析】试题分析：（1）连接OD ，,DA DC DAO C =∴∠=∠, CD 为圆O 的切线，90ODC ∴∠=， 从而90DOC C +=,可得,3CB OB CA CB =∴=，进而可得结果；（2）曲线C 上任意一点(),P x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(),P x y ， 2{ 34x x yy x y=+=+，代入2261x y -=，即可得结果；（3）先求直线l 的普通方程与圆C 的普通方程，利用圆心到直线的距离等于半径可得结果；（4）分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集即可得结果.试题解析：（1）证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO=∠C．在圆O中，AO=DO，所以∠DAO=∠ADO，所以∠DOC=2∠DAO=2∠C．因为CD为圆O的切线，所以∠ODC=90°，DOC C＝90°，即2∠C＋∠C＝90°，故∠C＝30°，所以OC＝2OD＝2OB，所以CB＝OB，所以CA＝3CB．（2）（Ⅰ）根据逆矩阵公式，可得A－1＝．（Ⅱ）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P (x，y)，则＝＝，所以因为(x y)在曲线C6x2－y2＝1，代入6(x＋2y)2－(3x＋4y)2＝1，化简得8y2－3x2＝1，所以曲线C的方程为8y2－3x2＝1（3）由直线l的参数方程为，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0．由圆C的参数方程为，得圆C的普通方程为(x－a)2+(y－2a)2＝1．因为直线l与圆C相切，所以＝1，解得a＝1±．所以实数a的值为1±．（4）(1)当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；(2)当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；(3)当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3；所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞).22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD＝1．（Ⅰ）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；（Ⅱ）求二面角B－PD－A的余弦值．【答案】（1）2（2【解析】试题分析：（1）以{},,AB AD AP 为单位正交基底，建立空间直角坐标系A xyz -．设()1,,0C y ，则()()1,0,1,1,1,0PB CD y =-=--，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可；（2）分别求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：以{},,AB AD AP 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ．因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)．设C (1，y ，0)，则＝(1，0，－1)，＝(－1，1－y ，0)． …………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为，所以|cos ＜，＞|＝||＝，即＝，解得y ＝2或y ＝0（舍）， 所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2．（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )． 因为＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，则即令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． 因为平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝＝，所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为．23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．（Ⅰ）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（Ⅱ）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望． 【答案】（1）96（2）见解析 【解析】试题分析：（1）利用组合知识及分步计数乘法原理可得结果；（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果. 试题解析：（1）两个球颜色不同的情况共有C 42＝96(种).（2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝＝，P (X ＝1)＝＝，P (X ＝2)＝＝，P (X ＝3)＝＝．所以随机变量X 的概率分布列为：所以E (X )＝0＋1＋2＋3＝．。
【数学】南京2020届高三年级学情调研卷 及解析
159
1800,
t
2
,
4t 9t
9, 15,
其中
t
N
（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过 1500 人，试求发车时间间隔 t 的值；
（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为 Q 6 p t 7920 100（单位：元），问当发车时间
t 间隔 t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.
3
tan
1 ，则 tan 2 的值为
.
10. 已知函数 f x x ，则不等式 f x 3 f 2x 0 的解集为
.
1 x
11. 等差数列an 的前 n 项和记为 Sn ，已知 a1 a4 a7 =99，a2 a5 a8 93 ，若存在正整
数 k ，使得对任意 n N* ，都有 Sn Sk 恒成立，则 k 的值为__________
3a4 99 ，∴ a4 33 ， 3a5 93，∴ a5 31，∴ d 2 ， a1 39 ，
Sn n2 40n ， Sn 最大值为 S20 ，所以 k 20 .
【点评】此题考查的是对等差数列求 n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题
南京市 2020 届高三年级学情调研 数学
2019.09 注意事项：
1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题）、解答题（第 15 题~第 20 题）两 部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应 题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式： 柱体的体积公式：V Sh ，其中 S 为柱体的底面积， h 为柱体的高. 球的体积公式：V 4 R3 ，其中 R 为球体的半径.
江苏省南京市2020届高三学情调研语文试题
【题文】任选一题．．．．作文。
（1）“蹭”原有摩擦之义，生活中难免磕磕蹭蹭。
如今，“蹭”又有了新含义，成为很多人的喜好。
蹭流量乐在其中，蹭热点乐此不疲，学知识可蹭课，沾口福则蹭饭。
蹭中见人情，蹭中见世态。
你对生活中的“蹭”有什么样的观察和感受？请就上述材料写一篇记叙文．．．，自拟标题，不少于800字。
（2）根据以下材料，选取角度，自拟题目，写一篇不少于800字的议论文．．．。
老爷子见到了多年不见的儿子，问他对做什么有兴趣。
这个年轻人在科学、文艺、法律等方面一无所长，但他说自己有一项长处：会明辨是非。
老爷子把儿子暴损了一通，说：“这件事难倒了一切科学家、政治家和哲学家，怎么你什么都不会，就会一个明辨是非？”【答案】作文（1）分享的意义有人会问：“分享究竟是什么？其实分享就是当你有快乐的事时，你会想把它告诉别人；分享就是当你有好吃的时，你会和他一起吃；分享就是当你有好玩的时候，你会想和他一起玩；分享就是让你获得更多快乐的一种途径，一种快捷途径；分享就是幸福。
冬日下午的阳光，总是如此慵懒无力。
即使这样，仍少不了村里人在它的笼罩下取暖闲谈。
奶奶也是其中的一员，我陪着她，也享受着午后的悠闲。
“妮子，吃饼吧？”奶奶将她手中的饼伸到了我面前。
一根银丝连接着她干涸的嘴唇和饼上的断痕，又随着距离的拉长而消失。
“我不吃……哦，不是，是……是因为我不饿，真的，真的不饿。
”我摆出信誓旦旦的模样，似乎连我自己都深信不疑。
“啊？你刚才不说有点饿嘛？说你没吃饱！”“啊？哦……我现在饿过头了，就不饿了。
”我的脸在发热，不知道是不是已经变红了。
“她是嫌你脏！”不知谁的一句话顿时掀开了我的秘密。
我不知道自己是什么表情，只是望着奶奶！她充满疑惑的脸顿时变为尴尬，脑门上的皱纹由紧而松，眼睛里没有神情，嘴巴依旧张着，只是不再闭合。
阳光照着她银色的头发刺着我的双眼，我垂下两眼，不知何去何从。
大概过了有一个世纪那么长，她端起她的椅子走了，看着她吃力的背影，我心中涌出了一股酸涩。
江苏省南京市2020届高三语文学情调研试题(含解析)
江苏省南京市2020届高三语文学情调研试题（含解析）语言文字运用阅读下面两段关于“雨”的文字，完成下面小题。
（一）他是一个对大自然特别敏感的人，大自然的任何细微变化都会在他的心灵世界引起反应，在他的诗中留下精妙回响。
若要从唐代选一个诗人来作写雨的探花郎，那么我真心推举他——韦应物。
和朋友分别时，“”；和友人不能见面的时候，他会有“”的念头；等到相逢时，“”，这是对友人身上隐士之风的赞美；在大宴宾客的盛宴上，“”，何等雍容，极有身份。
到了宋代，苏东坡写雨总是令人。
他用诗写雨：“黑云翻墨未遮山，白雨跳珠乱入船。
”将夏天的雨写得，也是一派大家风度。
他用词写雨：“归去，也无风雨也无晴。
”这风雨自然不只是自然界的风雨。
到了的境界，人，已经活在了风雨之上。
（二）雨不但可嗅，可观，更可以听。
听听那冷雨。
听雨，只要不是石破天惊的台风暴雨，在听觉上总是一种美感。
大陆上的秋天，无论是疏雨滴梧桐，或是骤雨打荷叶，听去总有一点凄凉，凄清，凄楚，于今在岛上回味，则在凄楚之外，更笼上一层凄迷了。
饶你多少豪情侠气，怕也经不起三番五次的风吹雨打。
一打少年听雨，红烛昏沉；二打中年听雨，客舟中，江阔云低；三打白头听雨在僧庐下，这便是亡宋之痛，一颗敏感心灵的一生：楼上，江上，庙里，用冷冷的雨珠子串成。
十年前，他曾在一场摧心折骨的鬼雨中迷失了自己。
雨，该是一滴湿漓漓的灵魂，窗外在喊谁。
1. 根据文意（一），依次填入第一段横线处的诗句，最恰当的一组是①相送无限情，沾襟比散丝②海上风雨至，逍遥池阁凉③客从东方来，衣上灞陵雨④欲持一瓢酒，远慰风雨夕A. ②④①③B. ②③①④C. ①④③②D. ①③②④2. 依次填入文段（一）第二段横线处的词语，最恰当的一组是A. 无与伦比淋漓尽致超然物外B. 无法企及穷形尽相超然物外C. 无与伦比穷形尽相随心所欲D. 无法企及淋漓尽致随心所欲3. 文（二）中“雨，该是一滴湿漓漓的灵魂，窗外在喊谁”这句话中包含多种修辞，下列诗句中修辞手法与之完全相同的一项是A. 春蚕到死丝方尽，蜡炬成灰泪始干B. 不知细叶谁裁出，二月春风似剪刀C. 泪眼问花花不语，乱红飞过秋千去D. 边庭流血成海水，武皇开边意未已4. 文（二）中所述下列听雨场景，与右图意境最吻合的一项是A. 疏雨滴梧桐B. 骤雨打荷叶C. 江阔云低客舟中D. 白头听雨僧庐下【答案】1. C 2. B 3. B 4. C【解析】【1题详解】本题考查学生语言表达的连贯性。
(完整)江苏省南京市2020届高三年级学情调研语文试题
南京市2020届高三年级学情调研卷语文试卷一、语言文字运用（12分）阅读下面两段关于“雨”的文字，完成1～4题（一）他是一个对大自然特别敏感的人，大自然的任何细微变化都会在他的心灵世界引起反应，在他的诗中留下精妙回响。
若要从唐代选一个诗人来作写雨的探花郎，那么我真心推举他—韦应物。
和朋友分别时，“________”；和友人不能见面的时侯，他会有“________”的念头；等到相逢时，“________”，这是对友人身上隐士之风的赞美；在大宴宾客的盛宴何等雍容，极有身份。
到了宋代，苏东坡写雨总是令人________。
他用诗写雨：“黑云翻墨末遮山，白雨跳珠乱入船。
”将夏天的雨写得________，也是一派大家风度，他用词写雨：“归去，也无风雨也无睛。
”这风雨自然不只是自然界的风雨。
到了________的境界，人，已经活在了风雨之上。
1．根据文意，依次填入第一段横线处的诗句，最恰当的一组是（3分）①相送无限情，沾襟比散丝②海上风雨至，逍遥池阁凉③客从东方来，衣上灞陵雨④欲持一瓢酒，远慰风雨夕A．②④①③ B．②③①④ C．①④③② D．①③②④2．依次填入第二段横线处的词语，最恰当的一组是（3分）A．无与伦比淋漓尽致超然物外B．无法企及穷形尽相超然物外C．无与伦比穷形尽相随心所欲D．无法企及淋漓尽致随心所欲（二）雨不但可嗅，可观，更可以听。
听听那冷雨。
听雨，只要不是石破天惊的台风暴雨，在听觉上总是一种美感。
大陆上的秋天，无论是疏雨滴梧桐，或是骤雨打荷叶，听去总有一点凄凉，凄清，凄楚，于今在岛上回味，则在凄楚之外，更笼上一层凄迷了。
饶你多少豪情侠气，怕也经不起三番五次的风吹雨打。
一打少年听雨，红烛昏沉；二打中年听雨，客舟中，江阔云低；三打白头听雨在僧庐下，这便是亡宋之痛，一颗敏感心灵的一生：楼上，江上，庙里，用冷冷的雨珠子串成。
十年前，他曾在一场摧心折骨的鬼雨中迷失了自己。
雨，该是一滴湿漓漓的灵魂，窗外在喊谁。
江苏省南京市2020届高三英语上学期学情调研(零模)试题(含解析)
第一部分 听力（共两节，满分 20 分）
第二部分:英语知识运用（共两节，满分 35 分）
第一节 单项填空（共 15 小题，每题 1 分，满分 15 分）
请认真阅读下面各题，从题中所给的 A， B， C， D 四个选项中，选出最佳选项，并在答题纸上将该项涂黑。
——-Not______my dear dog is allowed to accompany me。
A. ifB. untilC. unlessD。 when
【答案】C
【解析】
【详解】考查条件状语从句。--—你明天去野餐吗？——-如果我的狗不允许陪伴着我的话。原句应该表达为I will not go to the picnic tomorrow if my dog cannot accompany me。此处If not相当于unless“除非”, 只不过这里主句简化成了not，故选C。
例如：You must see the doctor if you are ill。如果你生病了,你必须去看医生.
If you want to go skating,wear warm clothes.如果你想去滑冰，穿上暖和的衣服。
3、主ห้องสมุดไป่ตู้不能用be going to表示将来，只能用wil1。
unless 也可引导条件状语从句,意思是“如果不；除非”，相当于not
2。Jim has been______with his boss since he drove away the company’s biggest customer。
A. out of favorB. out of orderC. out of handD. out of place
南京市2020届高三年级学情调研卷
南京市2020届高三年级零模语文试卷总评 南京零模语文试卷出炉，考点和题型跟往届比起来，有了一定的创新。
但是，整体上来讲，这次试卷新而不怪、新而不难。
那么，这次试卷到底“新”在何处呢？1.与其他省市试卷进行有机结合基础题部分，模仿全国卷设置了两个个大文段，在情境内设置选择题。
这种形式表面上是创新，但是考查的知识点依然是司空见惯的寓意连贯、成语熟语、修辞手法和图文转换。
“换汤不换药”，难度不大。
作文部分模仿北京卷设置了“二选一”的模式，不在文体上为难考生，让学生有所选择，各出所长。
考生备考时可以适当学习全国卷考试形式，但不需要钻营其知识体系。
2.注重联系课内和现实在文言文的考查上，这次考试创新性地选择了大篇的《史记》内容，源自选修课本。
后面考查的实词、虚词、翻译，基本都是课上内容。
对于理科生来说，可能不占优势。
在论述类文本的考查上，最后一道概括题，结合了课本《生查子.元夕》一词相关内容。
同样地，第一道作文题，选取了“蹭”这个字，提供了“蹭热点” “蹭流量”等热点词汇作为写作角度，既体现了辩证思维，又结合了现实生活。
3.题型常中求细现代文阅读，这次考察的是记叙性散文。
两道主观题，一道是作用题，一道是探究题。
但是出乎意料地，两道题都是大题型、小切入点的考察方式。
作用题要围绕“情感表达”这一关键词来答，探究题要围绕“悟”这个字来展开。
切莫脱离题干要求，被“答题公式”套牢、泛泛而谈。
希望广大考生在备考的时候，把课本知识点磨细、吃透，这样才能真正得高分。
另外，试卷调整之后，所谓的“答题套路” “提分技巧”不再“吃香”，唯有辩证思考、吃透文本、关注现实、学以致用，才能“游刃有余，笑傲考场”。
祝所有高三学子踏实备考，扎实进步，金榜题名！南京市2020届高三年级学情调研卷语文I注意事项：1.本试卷共8页。
满分160分。
考试用时150分钟。
2.答题前，考生务必将学校、姓名写在答题卡．．．上。
答案写在答题卡．．．上的指定位置。
江苏省南京市2020高三数学9月学情调研试题(含解析)
江苏省南京市2020届高三数学9月学情调研试题（含解析）一、填空题： (本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．请将答案写在答题卡相应位置． ) 1、函数()1f x x =-的定义域为 ▲【答案】[1,+∞)【解析】被开方式大于等于 0【点评】考查函数定义域的求解，该题属于基础题型.2、已知复数z 满足(2)1z i i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 【答案】10【解析】z a bi =+，(2)13z i i a -=+⇒=，110b z =-⇒=， 【点评】考查复数的运算，属于基础题型.3、某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为 ▲ ．【答案】4【解析】n ＝2，p ＝4；n ＝3，p ＝9；n ＝4，p ＝16． 【点评】考查流程图，属于基础题型.4、某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： [40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为 ▲【答案】0.018【解析】0.1(0.0060.0060.010.0540.006)0.018x =-++++=【点评】考查统计知识的基本运用，属于基础题型.5、有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ 【答案】23【解析】322333P ⨯==⨯ 【点评】考查组合，属于基础题型.6、把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损 耗），则该钢球的半径为 ▲ cm. 【答案】 3【解析】由圆柱和球的体积相等得：2343433R R ππ⨯⨯=⇒= 【点评】考查圆柱和球的体积计算，属于基础题型.7、在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．【答案】3【解析】由渐近线与准线的交点构成等边三角形，可得22tan 303b a b a c a a c⨯︒===，得e ==【点评】考查双曲线的离心率计算，属于基础题型. 8、若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为▲ ． 【答案】[﹣1，2]【解析】由周期为π，得2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-，x ∈[0，2π]时，()f x ∈[﹣1，2]【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型. 9、若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tan α＋1，则tan2α的值为 ▲ ．【答案】34【解析】由题意化简得：tan (3tan 1)0αα-=，解得tan 0α=或1tan 3α= ∵α为锐角，∴1tan 3α=，∴tan2α＝34【点评】考查三角函数的图像和性质，属于基础题型. 10、已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为 ▲ ． 【答案】x ＞1【解析】由题意得()f x 为奇函数，通过分离常数法得()f x 是R 上的增函数转换可得(3)(2)f x f x ->-，即32x x ->-，x ＞1【点评】考查通过函数的奇偶性和单调性解决不等式的问题11、等差数列｛n a ｝的前n 项和记为Sn ，已知147a a a ++＝99，258a a a ++＝93，若存在正整数k ，使得对任意n *N ∈，都有n k S S ≤恒成立，则k 的值为 ▲ ． 【答案】20【解析】由等差数列，可得4399a =，∴433a =；5393a =，∴531a =；∴2d =-，139a = 240n S n n =-+，n S 最大值为20S ，所以k ＝20．【点评】此题考查的是对等差数列求n 项和的表达式配方求最值的题型，该题属于基础题型.12、在△ABC 中，点P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝23π，则CP CA u u u r u u u r g的值为 ▲ ． 【答案】6【解析】∵1()2CP CA CB =+u u u r u u u r u u u r∴222111cos 442CP CA CB CA CB ACB =++∠u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r∴21344CB CB =+-u u ur u u u r ，解得CB u u u r ＝2∴21111111()1642()62222222CP CA CA CB CA CA CA CB ⋅=+⋅=+⋅=⨯+⨯⨯⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r【点评】向量的数量积，考察向量的中点公式和模长；另外还可通过建系去做. 难度适中.13、在平面直角坐标系xoy 中，已知圆若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[﹣2，2]【解析】设P(x ，y )，因为以P 为圆心，半径为1的圆与圆N 有公共点所以1≤22(2)(1)x y -++≤3，又P 在圆M ，可得22(2)(21)a a -++≤5 可得：实数a 的取值范围为﹣2≤a ≤2．【点评】圆的存在性问题，考察圆与圆的位置关系. 难度适中，14、已知函数若函数有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ ．【答案】(34，2) 【解析】作出()f x 与()g x 的图像由题知，(())g f x a =有6个解，令()f x t =当a ＜0时，()g t a =只有一个解，且t ＜﹣4，对应()f x t =只有一个解，舍去； 当0≤a ≤34时，()g t a =有两个解，且143t -≤≤-，210t -≤≤，结合图像可知()f x t = 没有6个解，舍去；当34＜a ＜2时，()g t a =有两个解，且1t ，2t ∈(﹣3，1)，结合图像可知()f x t =有6个解；当a ≥2时，()g t a =只有一个解，且t ＞1，对应()f x t =只有一个解，舍去． 综上得 a 的取值范围是34＜a ＜2．【点评】本题主要考查根的个数，利用换元法转化为两个函数的焦点问题个数问题，利用分类讨论和数形结合时解决本题的关键，综合性较大.二、解答题：本大题共5小题，共计90分。
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南京市2020届高三年级学情调研
数 学 2019.09
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：
柱体的体积公式：V ＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高． 球的体积公式：V ＝4
3
πR 3，其中R 为球体的半径．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答．题卡．．相应位置．．．．上． 1．函数f (x )＝x －1的定义域为 ▲ ．
2．已知复数z 满足(z －2)i ＝1＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 3．某算法的流程图如图所示，则输出的n 的值为 ▲ ．
4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中x 的值为 ▲ ．
（第3题图） （第4题图）
5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为 ▲ ．
6．把一个底面半径为3 cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球（不计损耗），则该钢球的半径为 ▲ cm ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条准线与两条渐近线恰能
围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为 ▲ ．
8．若函数f (x )＝2sin(ωx －π6)(ω＞0)的最小正周期为π，则当x ∈[0，π
2]时，f (x )的值域为 ▲ ．
9．若锐角α满足tan(α＋π
4)＝3tan α＋1，则tan2α的值为 ▲ ．
10．已知函数f (x )＝x
1＋|x |
，则不等式f (x －3)＋f (2x )＞0的解集为 ▲ ．
11．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ．已知a 1＋a 4＋a 7＝99，a 2＋a 5＋a 8＝93，若存在正整数k ，使得对任意n ∈N *，都有S n ≤S k 恒成立，则k 的值为 ▲ ．
12．在△ABC 中，P 是边AB 的中点，已知CA ＝4，CP ＝3，∠ACB ＝2π3
，则CP →·CA →
的值
为 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M ：(x －a )2＋(y －2a )2＝4，圆N ：(x －2)2＋(y ＋1)2＝4．若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为 ▲ ．
14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＋1， x ＞0，－14x 2－x ， x ≤0．若函数y ＝g [f (x )]－a 有6个零点
（互不相同），则实数a 的取值范围为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答．题卡．．指定区域内．．．．．
作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin2B ＝2b sin A ． （1）求B 的大小； （2）若cos C ＝5
5
，求sin(A －C )的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，E ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点． （1）求证：AF ∥平面B 1CE ；
（2）若A 1B 1⊥B 1C ，求证：平面B 1CE ⊥平面ABC ．
17．（本小题满分14分）
随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p (t )（单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：
p (t )＝⎩⎨⎧1800－15(9－t )2， 4≤t ＜9，
1800， 9≤t ≤15，
其中t ∈N ．
（1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值；
（2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为Q ＝6p (t )－7920
t －100（单位：元），问当发车时
间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．
1
（第16题图）
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，点
(a
2
，3e )和(b ，3e )都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的标准方程；
（2）若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交于点P ，Q ，求证：→OB ·→
PQ 为定值．
19．（本小题满分16分）
已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－bx ，a ，b ∈R ．
（1）若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线为y ＝2x －3，求实数a ，b 的值； （2）若a ＝0，且f (x )≤－2对一切正实数x 恒成立，求实数b 的取值范围； （3）若b ＝4，求函数f (x )的单调区间．
20．（本小题满分16分）
已知数列{a n }的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且数列{S n n }是以1
2为公差的等差数列.
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设b n ＝2n a n ，n ∈N *，数列{b n }的前n 项和为T n ， ①求证：数列{T n
n
}为等比数列；
②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得T m T n ＝m (S m ＋λ)
n (S n ＋λ)，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所
有可能值.
（第18题图）。