2023届北京市西城区高三二模数学试卷(word版)
西城区2023届高三统一检测数学答案及评分参考
2023.3 第1页（共8页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数学答案及评分参考 2023.3一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （ 1 ）B （ 2 ）D （ 3 ）C （ 4 ）A （ 5 ）A（ 6 ）C（ 7 ）D（ 8 ）B（ 9 ）D（10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11（12）1（13）1- 2-（14π3（答案不唯一） （15）①②④三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分）解：（Ⅰ）在ADC △中，由正弦定理得sin sin AC CDADC A=∠∠．………2分所以2πsin sin 2AC A ADC CD ⋅∠∠==． ………4分因为π03ADC <∠<， ………5分 所以π4ADC ∠=．………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得2ππππ3412ACD BCD ∠=∠=--=． ………7分 由题设，π6B ACB ∠=∠=，即ABC △为等腰三角形． ………8分所以π2cos6BC AC =⨯⨯=．………10分所以BCD △的面积为11ππsin )2234BCD S BC CD BCD =⋅⋅∠=-=△ ………13分2023.3 第2页（共8页）（17）（共13分）解：（Ⅰ）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4，获得优秀的女生人数为6，所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为41123=； ………2分估计高三女生立定跳远单项的优秀率为61122=．………4分（Ⅱ）由题设，X 的所有可能取值为0,1,2,3．(0)P X =估计为2212()329⨯=；………5分 (1)P X =估计为122121214C ()332329⨯⨯⨯+⨯=；………6分 (2)P X =估计为122121115C ()3323218⨯⨯⨯+⨯=； ………7分 (3)P X =估计为2111()3218⨯=．………8分 估计X 的数学期望2451701239918186EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………10分 （Ⅲ）A 与B 相互独立．………13分（18）（共14分） 解：选条件①：BE AF ∥．（Ⅰ）因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD ．………1分因为平面ABEF I 平面PCD EF =， 所以AB EF ∥．………2分又BE AF ∥， 所以四边形ABEF 为平行四边形． 所以AB EF ∥且AB EF =． ………3分因为AB CD ∥且12AB CD =，所以EF CD ∥且12EF CD =． 所以EF 为PCD △的中位线． (5)分所以F 为PD 的中点．………6分2023.3 第3页（共8页）（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．又AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x y z -，………7分则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,2)P ，(0,2,0)D ，(0,1,1)F ．所以(,,)120BC =uu u r ，(,,)111BF =-uu u r ，(,,)011AF =uu u r．设平面BCF 的法向量为(,,)x y z =m ，则0,0,BC BF =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅uu u r uu u rm m 即20,0.x y x y z +=⎧⎨-++=⎩ 令1y =-，则2x =，3z =．于是(2,1,3)=-m ．………9分因为AB ⊥平面PAD ，且AB CD ∥，所以CD ⊥平面PAD ． 所以AF CD ⊥．又PA AD =，且F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥．所以AF ⊥平面PCD ，所以AF u u u r是平面PCD 的一个法向量．………11分cos ,||||AF AF AF 〈〉==⋅uu u ruu u r uu u r m m m ．………13分由题设，二面角B FC P --的平面角为锐角， 所以二面角B FC P --． ………14分选条件②：BE PC ⊥．（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥．在Rt PAB △中，PB =．………1分在直角梯形ABCD 中，由1AB =，2AD CD ==，可求得BC =，所以PB BC =． ………2分 因为BE PC ⊥，所以E 为PC 的中点．………3分因为AB CD ∥，AB ⊄平面PCD ， 所以//AB 平面PCD ． 因为平面ABEF I 平面PCD EF =，所以AB EF ∥．………5分所以CD EF ∥． 所以F 为PD 的中点．………6分2023.3 第4页（共8页）（Ⅱ）以下同条件①． （19）（共15分）解：（Ⅰ）()e sin x f x x '=+．………1分 所以(0)0f =，(0)1f '=．………3分 所以曲线()y f x =在点(,())00f 处的切线方程为y x =．………4分（Ⅱ）由题设，()(e sin )(e cos )x x g x x x x =+--(1)e sin cos x x x x x =-++．所以()(e cos )x g x x x '=+． ………6分当0x >时，因为0e cos e cos 1cos 0x x x x +>+=+≥， 所以()0g x '>．………8分 所以()x g 在(0,)+∞上单调递增．………9分 （Ⅲ）11()()3434f f >．………10分证明如下：设()(),(0,)f x h x x x=∈+∞．………11分 则22()()()()x f x f x g x h x x x'-'==．………12分由（Ⅱ）知()x g 在(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)0x g g >=．………13分 所以()0h x '>，即()x h 在(0,)+∞上单调递增．………14分 所以11()()34h h >，即11()()3434f f >．………15分2023.3 第5页（共8页）（20）（共15分）解：（Ⅰ）当直线AB 与x轴垂直时，设其方程为(x t t =<．………1分 由点A ,B 关于x 轴对称，且OA OB ⊥，不妨设(,)A t t ．………2分将点A 的坐标代入椭圆C 的方程，得2222t t +=，解得3t =±．………3分 所以直线AB的方程为x =．………4分 （Ⅱ）当直线AB的斜率不存在时，由（Ⅰ）知||||ON OM =………5分当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+．由22,22,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩ 得222(21)4220k x kmx m +++-=． ………6分由228(21)0k m ∆=-+>，得2212m k <+．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122421km x x k +=-+，21222221m x x k -=+． ………8分因为OA OB ⊥，所以0OA OB ⋅=u u r u u u r．所以12121212()()0x x y y x x kx m kx m +=+++=． 整理得221212(1)()0k x x km x x m ++++=．………10分所以2222(1)(22)(4)(21)0k m km km m k +-+-++=．解得22322m k =+，从而223m ≥．………11分设ON OM λ=u u u r u u u r，其中0λ>．则1212222()(,)(,)222121km m ON OA OB x x y y k k λλλλ-=+=++=++uuu r uu r uu u r ．………12分将222(,)2121km m N k k λλ-++代入椭圆C 的方程，得22221m k λ=+． 所以22231m m λ=-，即2213m λ=-． ………13分 因为223m ≥，所以2332λ<≤λ<．………14分2023.3 第6页（共8页）综上，||||ON OM的取值范围是． ………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为(1,1,0)(1,1,0)1111002⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,0,1)(1,0,1)(0,1,1)(0,1,1)2⋅=⋅=．又(1,1,0)(1,0,1)1110011⋅=⨯+⨯+⨯=，同理(1,1,0)(0,1,1)(1,0,1)(0,1,1)1⋅=⋅=． 所以集合{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}A =具有性质(3,2)T ．………4分（Ⅱ）当4n =时，集合A 中的元素个数为4．由题设{0,1,2,3,4}p ∈． ………5分假设集合A 具有性质(4,)T p ，则①当0p =时，{(0,0,0,0)}A =，矛盾．②当1p =时，{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}A =，不具有性质(4,1)T ，矛盾． ③当2p =时，{(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}A ⊆． 因为(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A 中；(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A 中； (1,0,0,1)和(0,1,1,0)至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾．④当3p =时，{(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1)}A =，不具有性质(4,3)T ，矛盾． ⑤当4p =时，{(1,1,1,1)}A =，矛盾．综上，不存在具有性质(4,)T p 的集合A ． ………9分 （Ⅲ）记12(1,2,,)j j j nj c t t t j n =+++=L L ，则12n c c c np +++=L ．若0p =，则{(0,,0)}A =L，矛盾．若1p =，则{(10,,0)}A =L，矛盾．故2p ≥．假设存在j 使得1j c p +≥，不妨设1j =，即11c p +≥． 当1c n =时，有j c =0或j c =1(2,3,,)j n =L 成立．所以12,,,n αααL 中分量为1的个数至多有(1)212≤n n n n np +-=-<．…11分 当11p c n +<≤时，不妨设11211,111,0p n t t t t +=====L ．因为n n p αα⋅=，所以n α的各分量有p 个1，不妨设23,11n n n p t t t +====L ． 由i j ≠时，1i j αα⋅=可知，{2,3,,1}q p ∀∈+L ，121,,,,q q p q t t t +L 中至多有1个1， 即121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，至多含有121p p p ++=+个1． 又1i n αα⋅=(1,2,,1)i p =+L ，则121,,,p +αααL 的前1p +个分量中，含有 (1)(1)22p p p +++=+个1，矛盾．所以(1,2,,)j c p j n =L ≤．………14分因为12n c c c np +++=L ， 所以j c p =(1,2,,)j n =L ．2023.3 第7页（共8页）所以12(1,2,,)j j nj t t t p j n +++==L L ． ………15分2023.3 第8页（共8页）。
北京市西城35中2025届高三二诊模拟考试数学试卷含解析
北京市西城35中2025届高三二诊模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．第七届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在中国武汉举行，中国队以133金64银42铜位居金牌榜和奖牌榜的首位.运动会期间有甲、乙等五名志愿者被分配到射击、田径、篮球、游泳四个运动场地提供服务，要求每个人都要被派出去提供服务，且每个场地都要有志愿者服务，则甲和乙恰好在同一组的概率是（ ） A ．110B ．15C ．140D ．9402．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( )A ．(B ．)+∞C ．(D ．)+∞3．在等差数列{}n a 中，若244,8a a ==，则7a =（ ） A ．8B ．12C ．14D ．104．生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ） A ．760B ．16C ．1360D ．145．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x |x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，﹣1，0}B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}6．已知双曲线221:110x y C m m +=-与双曲线222:14y C x -=有相同的渐近线，则双曲线1C 的离心率为（ ）A ．54B ．5CD 7．已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A ，B ，C 编号，现从中摸出3个球（除颜色与编号外球没有区别），则恰好不同时包含字母A ，B ，C 的概率为（ ） A ．1721B ．1928C ．79D ．23288．自2019年12月以来，在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例，研究表明，该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速，采取了有效的防控阻击措施，把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记，有3个不同的住户属在鄂返乡住户，负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生，现要求这4名医生都要分配出去，且每个住户家里都要有医生去检查登记，则不同的分配方案共有（ ） A ．12种B ．24种C ．36种D ．72种9．已知函数()3sin cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ） A ．12x π=-B ．12x π=C ．3x π=-D ．3x π=10．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同11．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m12．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市西城区2023届高三二模数学试题
一、单选题1.如图，是椭圆上的一点，是椭圆的左焦点且，，则（）A ．2B．C ．3D ．42. 若，，则（ ）A．B．C．D．3. 某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图），已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（）A．B．C．D．4.设等比数列的前项和为，则（ ）A．B．C．D．5. 若复数z 满足（其中是虚数单位），则z 的共轭复数（ ）A．B．C．D．6. 青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为、，点关于的对称点为．给出下列四个命题：①两椭圆的焦距长相等；②两椭圆的离心率相等；③；④与小椭圆相切.其中正确的个数是（）A．B．C．D．7. 已知等差数列，的前n 项和分别为，，若，则（ ）A．B．C．D．北京市西城区2023届高三二模数学试题北京市西城区2023届高三二模数学试题二、多选题三、填空题四、解答题8. 传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着“圆柱容球”，即：一个圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径，若球的半径，则平面DEF 截球所得的截面面积最小值为（）A．B．C．D．9.已知函数，则下列结论正确的有（ ）A．B．函数图像关于直线对称C．函数的值域为D ．若函数有四个零点，则实数的取值范围是10. 一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ）A ．“恰有1件次品”和“恰有2件次品”B．C ．“至少有1件正品”和“至少有1件次品”D ．“至少有1件次品”和“都是正品”11. 下列说法正确的是（ ）A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量增加0.1个单位12. 德国数学家狄利克雷（Dirichlet ，1805-1859），是解析数论的创始人之一．他提出了著名的狄利克雷函数：，以下对的说法正确的是（ ）A．B ．的值域为C ．存在是无理数，使得D ．，总有13. 已知函数,则函数的最小值是____．14. 已知，则________．15.若函数是奇函数，则______．16. 已知函数.(1)求的单调区间和极大值；(2)若恒成立，求实数的取值范围17. 已知数列的前项和为，且.（1）证明：数列为常数列.（2）求数列的前项和.18. 已知函数，.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有且仅有1个零点，求的取值范围.19. 有两位环保专家从三个城市中每人随机选取一个城市完成一项雾霾天气调查报告，两位专家选取的城市可以相同，也可以不同.（1）求两位环保专家选取的城市各不相同的概率；（2）求两位环保专家中至少有一名专家选择城市的概率.20. 新高考数学增加了多选题，给各层次的学生更大的发挥空间.多选题每个小题给出的四个选择中有多项是正确的，全部选对得5分，部分选对得2分，有错选或不选的得0分.多选题的正确答案往往为两项或三项.某同学通过研究多选题的答案规律发现，多选题正确答案是选两项的概率为，正确答案是选三项的概率为（其中）.(1)若，小明对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，求小明该题得2分的概率；(2)在某个多选题中，小明发现选项A正确，选项B错误.下面小明有三种不同策略：I：选择，再从剩下的选项中随机选择一个，小明该题的得分为；II：选择，小明该题的得分为；III：只选择，小明该题的得分为.在变化时，为使得分的期望最大，请通过计算分析小明应选择哪种策略.21. 湖南省从2021年开始将全面推行“”的新高考模式，新高考对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换T分（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则”（详见附1和附2），具体的转换步骤为：①原始分Y等级转换；②原始分等级内等比例转换赋分.某校的一次年级统考中，政治、生物两选考科目的原始分分布如下表：等级A B C D E比例约15%约35%约35%约13%约2%政治学科各等级对应的原始分区间生物学科各等级对应的原始分区间现从政治、生物两学科中分别随机抽取了20个原始分成绩数据，作出茎叶图：（1）根据茎叶图，分别求出政治成绩的中位数和生物成绩的众数；（2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考生物学科，其原始分为91分，根据赋分转换公式，分别求出这两位同学的转化分；（3）根据生物成绩在等级B的6个原始分和对应的6个转化分，得到样本数据，请计算生物原始分与生物转换分之间的相关系数，并根据这两个变量的相关系数谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法.附1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间.等级A B C D E原始分从高到低排序的等级人数占比约15%约35%约35%约13%约2%转换分T的赋分区间附2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：.（其中：，，分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；，分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限.T的计算结果按四舍五入取整数）附3：，，.。
北京市第二中学2023届高三校模数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数A．B．C．D．2.已知集合，集合，则（ ）A．B．C．D．3. 在中，角，，所对的边分别为，，，且.的面积为，外接圆面积的最小值为（ ）A．B．C．D．4. 已知抛物线，直线与交于第一象限的两点、，是的焦点，且，则（ ）A．B．C．D．5. 已知函数，函数有四个不同的零点、、、，且满足:，则的取值范围是A．B．C．D．6. 已知函数，（，，）的相邻两个对称中心距离为且图象经过，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，则函数的单调递减区间是（ ）A．，B ．，C ．，D ．，7. 设复数，则（ ）A．B ．5C．D．8. 已知偶函数满足，且在处的导数，则曲线在处的切线方程为（ ）A．B．C．D．9. 某人参加国际互联网大会，可从互联网与云计算、互联网与信息服务、互联网与金融服务、互联网与竞技体育四个分会中随机选择分会参加．已知该参会者参加互联网与云计算分会的概率为，参加另外三个分会的概率都是，参加每个分会相互独立，用随机变量X 表示该参会者参加分会的个数，则下列说法中正确的是（ ）A．参会者至多参加一个分会的概率为B．C．D．10. 下列结论中，正确的是（ ）A ．若，，则的最小值为8B ．若，则函数的最小值为C ．已知正数a ，b 满足，则D ．已知，，且，则11. 已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（ ）A．B．C ．0D ．3北京市第二中学2023届高三校模数学试题北京市第二中学2023届高三校模数学试题三、填空题四、解答题12.若，则下列不等式中一定成立的是（ ）A．B．C．D．13. 一个盒子里装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地抽取了3张标签，则取出的3张标签的标号的平均数是3的概率为___．14. ______.15.已知圆：，（）与圆：，（）只有一条公切线，则的最小值为______.16.在锐角中，设边所对的角分别为，且．(1)证明：(2)若，求的取值范围．17. 如图所示，已知椭圆的两焦点为，，为椭圆上一点，且(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第二象限，，求的面积．18.已知点，，动点Q 满足．（1）求动点Q 的轨迹方程C ．（2）若曲线C 与y 轴的交点为A ，B （A 在B 上方），且过点的直线l 交曲线C 于M ，N 两点．若M ，N 都不与A ，B 重合，是否存在定直线m ，使得直线AN 与BM 的交点G 恒在直线m 上？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由．19. 已知函数.（1）讨论的极值情况；（2）若时，，求证：.20. 在三棱柱中，，且.(1)证明：；(2)若，二面角的大小为，求平面与平面夹角的余弦值.21. 如图1，一副标准的三角板中，为直角，，为直角，，且，把与重合，拼成一个三棱锥，如图2．设是的中点，是的中点．(1)求证：；(2)在图2中，若，且，试求平面与平面夹角的余弦值．。
北京市西城区届高三二模试卷理科数学Word版含答案
北京市西城区 2018年高三二模试卷数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共 40分）一、选择题：本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1 ．已知会合 A { x | x2 0} ， B { x | x a} ，若A B A ，则实数 a 的取值范围是（）（A）(, 2]（B）[2,)（C）(,2]（D）[2,) 2．在复平面内，复数z=(1 2i) 2对应的点位于（）（ A ）第一象限（B ）第二象限（ C）第三象限（D ）第四象限3 ．直线y2x 为双曲线 C：x2y21(a 0, b 0)的一条渐近线，则双曲线 C 的离心率a2b2是（）（A）5（ B ）5（C）3（ D）3 221/154．某四棱锥的三视图以下图，记 A 为此棱锥全部棱的长度的会合，则（）（A）2? A，且4? A（B）2? A，且4? A（C）2? A，且25? A44（D）2? A，且17? A1111正 (主 )视图侧 (左 )视图俯视图5．设平面向量 a ，b， c 均为非零向量，则“ a (b c)0 ”是“b c ”的（）（ A ）充足而不用要条件（B）必需而不充足条件（ C）充足必需条件（D）既不充足也不用要条件6．如图，暗影地区是由函数y cos x的一段图象与xy轴围成的关闭图形，那么这个暗影地区的面积是（）Oπ3π x22（ A ）1（B）2（C）π（D）π2x≥0,7. 在平面直角坐标系≥所表示的平面地区是，不等式组xOy 中，不等式组y 0,x y8≤0≤ ≤0 x 4,所表示的平面地区是. 从地区中随机取一点P(x, y) ，则P为地区内的点的0≤ y≤10概率是（）（A）1（B）3（C）3（D）1 45452/158. 设为平面直角坐标系xOy 中的点集，从中的随意一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为 M ， N ，记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为x( ) ，点N的纵坐标的最大值与最小值之差为y() .若是边长为 1 的正方形，给出以下三个结论：○x() 的最大值为 2 ；1○x()y()的取值范围是 [2, 22] ；2○x()y() 恒等于0.3此中全部正确结论的序号是（）○○○○○○ ○○（A） 1（B）2 3（C）1 2（D）1 2 3第Ⅱ卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分．9．( x1) 6的二项睁开式中，常数项为______．x110. 在△ ABC 中，若a 4 ， b 3 ，cos A_____；B_____．，则 sin A311 ．如图， AB 和 CD是圆 O 的两条弦，AB 与 CD 订交于点E，且CE DE 4 ，AE: BEAC______.开始4:1 ，则 AE ______；BDa =3,i=1A是i>10否. O1a输出 aaaC D1结束EB i=i+112．履行以下图的程序框图，输出的 a 值为 ______．13. 设抛物线C：y24x 的焦点为F，M为抛物线C上一点，3/15N (2,2) ，则 | MF | | MN |的取值范围是.14. 已知 f 是有序数对会合M = {( x, y) | x 挝N* , y N*}上的一个映照，正整数数对( x, y) 在映射 f 下的象为实数 z，记作 f ( x, y) = z .对于随意的正整数m, n (m > n)，映照f由下表给出：( x, y)(n, n)(m, n)(n, m)f ( x, y)n m - n m+ n则 f (3,5) = __________，使不等式 f (2 x, x) ≤ 4 建立的x的会合是_____________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13 分）在平面直角坐标系xOy 中，点 A(cos , 2 sin) ， B(sin,0) ，此中R .2πAB 的坐标；（Ⅰ）当时，求向量3（Ⅱ）当[0,π]时，求 | AB |的最大值. 216．（本小题满分13 分）为认识某校学生的视力状况，现采纳随机抽样的方式从该校的 A ，B 两班中各抽 5 名学生进行视力检测．检测的数据以下：A 班 5 名学生的视力检测结果：，，，， 4.9.B 班 5 名学生的视力检测结果：，，，， 4.5.（Ⅰ）分别计算两组数据的均匀数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？（Ⅱ）由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大？（结论不要求证明）（Ⅲ）现从A班的上述5 名学生中随机选用 3 名学生，用X 表示此中视力大于 4.6 的人4/15数，求 X 的散布列和数学希望.17．（本小题满分14 分）如图，在三棱锥P ABC中，PA底面ABC，AC BC ，H为PC的中点，M 为AH 的中点，PA AC 2 ， BC 1.（Ⅰ）求证：AH平面PBC；（Ⅱ）求 PM 与平面AHB成角的正弦值；（Ⅲ）设点N 在线段PB上，且PN，MN //平面ABC，务实数的值. PBPHMACB18．（本小题满分13 分）已知函数f ( x)e x 1，此中a R. ax24x 4（Ⅰ）若 a0，求函数 f (x) 的极值；（Ⅱ）当 a1时，试确立函数 f ( x) 的单一区间. 19．（本小题满分14 分）设 A, B 是椭圆 W : x2y 21上不对于坐标轴对称的两个点，直线AB 交x轴于点 M 43（与点 A, B 不重合），O为坐标原点.（Ⅰ）假如点M 是椭圆W的右焦点，线段MB 的中点在y轴上，求直线AB 的方程；5/15（Ⅱ）设 N 为x轴上一点，且OM ON 4 ，直线AN与椭圆W的此外一个交点为C，证明：点 B 与点 C 对于x轴对称.20．（本小题满分 13分）在无量数列 { a n }中， a1 1 ，对于随意 n N*，都有 a n N*， a n a n 1.设 m N*，记使得 a n≤ m 建立的n 的最大值为 b m.（Ⅰ）设数列 {a n } 为1，，，，，写出 b1， 2 ， 3 的值；357b b（Ⅱ）若 { b n } 为等差数列，求出全部可能的数列{ a n } ；（Ⅲ）设 a p q ， a1a2a p A ，求 b1b2b q的值.（用 p, q, A 表示）北京市西城区2018 年高三二模试卷参照答案及评分标准6/15高三数学 （理科）8540.1 D2 B3 A4 D5 B6 B7 C8 D6530.9 202 2π 103 411 82121313 [3,+ )14 8{1,2}10 11 142 3 .680 . .1513AB(sincos , 2 sin )22πcossin2π 2π 1 34sin3cos33 22 sin2π62 sin32AB (13 , 6) .62 2AB(sincos , 2 sin )| AB |2 (sincos ) 2 (2 sin )27 1 sin 22sin 28 1 sin 2 1 cos2922 sin(2 π10) .47/150 ≤≤π2 π π 5π114 ≤ 2≤.442π 5π 222 (2) 3 124|AB||AB| 242π3 .132 |AB |1613A 5x A =25B 5 x B =35=4.5 .A .4 B 5.7A52.X012.8P(XC 33190)3C 510P( XC 32C 123 101)C 535P( XC 13 C 223 112).C 5310XX0 1 2P1 3 3 1051012E(X) 01 1 32 36 . 1310 510 517148/15PA ABC BC ABCPA BC1 AC BC PA AC ABC PAC2 AH PACBC AH.3PA AC，PCHAH PCPC BC CAH PBC .5ABC A AD // BC，BC PACAD PACPA ABCPA AC ADAADAC AP xyzA(0,0,0)P(0,0,2)B(1,2,0) C (0,2,0)H (0,1,1)11) .M (0,,226AHB n( x, y , z)zAH(0,1,1) AB(1,2,0)P n AH0,y z0,x 2 y0,H n AB0,z 1n (2,1,1) .8MA NPMAHB C yD(0,1,3)x BPM229/1520( 1)13)PM n 1(sin cos PM , n22PM n562sin215 .1015PB(1,2,2)PN PBPN(,2 , 2 )PM(0, 1,3)221,32 ).MN PN PM( ,21222MN //ABCABCAP(0,0, 2)MN AP 3 40314.418.13e x1{ x | x R x1} .1 f ( x)44xf (x)e x 1(4 x 4) 4e x 14xe x 1(4 x4)2(4 x4)2 .3f( x)0x0x f (x) f( x)x( ,1)( 1,0) f (x)f ( x)0(0,)510/15故 f (x) 的单一减区间为(, 1)，(1,0) ；单一增区间为(0,) ．因此当 x0 时，函数 f (x)有极小值 f (0)e6 分.4（Ⅱ）解：由于 a 1 ，因此 ax24x 4 ( x 2) 2(a 1)x20 ，因此函数 f (x) 的定义域为R，7 分求导，得 fe x 1 (ax24x4)e x 1 (2ax4)e x 1 x(ax42a)8 分( x)(ax24x4)2(ax24x4) 2，令 f (x)0，得 x10 ， x2249 分，a当 1a2时， x2x1，当 x 变化时， f (x)和 f( x) 的变化状况以下：x(, 24)24( 24,0)0(0,)a a af ( x)00f ( x)↗↘↗故函数 f ( x) 的单一减区间为( 24,0) ，单一增区间为 (, 24) ，(0,) ．a a11 分当 a2时， x2 x1 0 ，由于 f(x)2e x 1x2≥ 0 ，（当且仅当x0时， f(x)0 ）(2 x24x4) 2因此函数 f ( x) 在R单一递加.12 分当 a 2 时，x2x1，当 x 变化时， f (x) 和 f ( x) 的变化状况以下：x( ,0)0(0, 24)24(24,)a a a11/15f ( x)00f ( x)↗↘↗故函数 f ( x) 的单一减区间为 ( 0,24) ，单一增区间为( ,0)，(24) ．,a a综上，当 1 a 2 时， f ( x)的单一减区间为( 24,0) ，单一增区间为(, 24) ，a a(0,) ；当 a 2 时，函数 f ( x) 在R单一递加；当a 2 时，函数 f ( x)的单一减区间为( 0,24) ；单一增区间为(,0) ，(24,)．13 分a a19．（本小题满分14 分）（Ⅰ）解：椭圆 W 的右焦点为M (1,0) ， 1 分由于线段 MB 的中点在y轴上，因此点 B 的横坐标为1，由于点 B 在椭圆W上，将 x 1 代入椭圆W的方程，得点 B 的坐标为( 1,3) . 3 分2因此直线 AB （即 MB ）的方程为3x 4 y 3 0 或 3x 4 y 3 0 . 5 分（Ⅱ）证明：设点 B 对于 x 轴的对称点为B1（在椭圆W上），要证点 B 与点 C 对于x轴对称，只需证点 B1与点C重合，.又由于直线AN 与椭圆W的交点为C（与点 A 不重合），因此只需证明点A， N ，B1三点共线.7分以下给出证明：由题意，设直线AB 的方程为y kx m(k 0) , A( x1 , y1) , B(x2, y2 ) ，则 B1 ( x2 ,y2 ) .12/153x2 4 y212,y kx m,(34k 2 ) x28kmx4m2 12 09(8 km) 24(34k 2 )(4 m212)0x1x28kmx1x24m 2 1210 34k 234k2.y kx my0M(m,0)4k,0)kOM ON4N(11mNA NB1k NA k NB1y1y2x2 y1y14kx1 y2y24kk NA kNB m m 4k4k4k 14kx1x2(x1)( x2)m m m4k4kmx2 y1 y1x1 y2y2m m4k m) 4kx2 (kx1m)(kx1m)x1( kx2 m)(kx2m m2kx1x2(m4k 2)( x1x2 ) 8km122k( 4m212 )( m4k2)(8km) 8k34k2m34k 28m2k24k8m2k32k 324k32k 334k 2013k NA kNB10A N B1B C x.1413/152013b1 1 b2 1 b3 2 .31 a1a2a3a na n N*a n≥n.4a n≤m nb m a n≤m 1n b m 1b1 1 b m≤ b m 1 (m N*).5 a2 kk≥2 .k2a2k >2n≥2a n 2≥≥k 1 . n3a nb2 1 b k 2 .{ b n }d b2b10b n1n N*.b k2( k 2)a2 2 .6a1a2a3a nb22{b n }b n nn N*.7 a n≤ mnb ma n≤na n≥n a n n .814/15a2 k ( k1)a1a2a3a nb1b2bk 11b k2{ b n }1k1a2a19 a3l ( l k)b k bk 1bl 12b l3{ b n }2l k a3a210{ b n}p1a p a p 1.11b1b2b q(a2a1 ) 2( a3a2 )( p 1)(a p a p 1 ) pa1a2ap 1( p 1)a p ppa p p (a1a2a p 1a p ) p(q1) A .b1b2b q p( q 1) A .1315/15。
2024北京西城区高三二模数学试题及答案
2024北京西城高三二模数 学2024.5本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是,1)-，则⋅=z z （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（2）已知向量,a b 满足(4,3)=a ，2(10,5)-=-a b ，则（A ）0+=a b （B ）0=⋅a b （C ）||||>a b （D ）//a b（3）已知集合{}1,0,1=-A ，{|}>=x x c B ．若{}0,1=A B I ，则c 的最小值是（A ）1（B ）0（C ）1-（D ）2-（4）设443243210(21)-=++++x a x a x a x a x a ，则1234+++=a a a a （A ）1-（B ）0（C ）1（D ）2（5）已知,R R ∈∈a b ．则“1>ab ”是“222+>a b ”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）已知双曲线22:1+=C mx ny 的焦点在y 轴上，且C 的离心率为2，则（A ）30-=m n （B ）30-=m n （C ）30+=m n （D ）30+=m n （7）将函数()tan =f x x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()=g x （A ）1tan -x （B ）1tan --x （C ）tan (1)--x （D ）tan (1)-+x （8）楔体形构件在建筑工程上有广泛的应用．如图，某楔体形构件可视为一个五面体ABCDEF ，其中面ABCD 为正方形．若6cm =AB ，3cm =EF ，且EF 与面ABCD 的距离为2cm ，则该楔体形构件的体积为（A ）318cm （B ）324cm （C ）330cm （D ）348cm （9）已知{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和为n S ，1233,2==a S ．若对任意正整数n ，都有(1)0--⋅>n n S A ，则A 的取值范围是（A ）(3,1)-（B ）[2,1)-（C ）3(3,)2-（D ）3[2,)2-（10）一组学生站成一排．若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（A ）5（B ）6（C ）7（D ）8第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市西城区2023届高三二模数学试题
一、单选题1. 若双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线与双曲线交于两点，已知的斜率为，，且，，则直线的斜率是（ ）A．B．C．D．2. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．3. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点M ，N 在双曲线C 上，.若为等边三角形，且，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．4.已知等比数列的前项和为，且数列是等差数列，则（ ）A ．1或B ．2或C ．2或D．或5. 已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．6.已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k 的取值范围是（ ）A．B．C ．或D．7. 已知曲线与在区间上有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）A．B．C．D．8.已知，则（ ）A．B．C．D．9. 已知函数，且满足，，，则（ ）A ．28B．C．D．10. 数学老师给出一个定义在R 上的函数f (x )，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条性质:甲:在(-∞,0)上函数单调递减; 乙:在[0,+∞] 上函数单调递增;丙:函数f (x )的图象关于直线x =1对称； 丁: f (0)不是函数的最小值．老师说:你们四个同学中恰好有三个人说的正确，则说法错误的同学是A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11. 已知，，，其中为自然对数的底数，则（ ）A．B．北京市西城区2023届高三二模数学试题二、多选题C．D．12. 如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（）A ．10B ．13C ．18D ．2613.记为等差数列的前n 项和．若，，则（ ）A ．3B ．7C ．11D ．1514.已知为双曲线右支上任意一点，与关于轴对称，为双曲线的左、右焦点，则A ．1B ．-1C ．2D ．-215.函数的大致图象是（ ）A． B．C． D．16.若，则（ ）A ．7B．C．D ．317. 已知函数，关于x 的方程，下列结论正确的是（ ）A．存在使方程恰有2个不相等的实根B ．存在使方程恰有4个不相等的实根C．存在使方程恰有5个不相等的实根D．存在使方程恰有6个不相等的实根18. 从树人小学二年级学生中随机抽取100名学生，将他们的身商（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图如图，则（）A．B ．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高为124.5cmC ．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的中位数为122.5cmD ．估计树人小学这100名二年级学生的平均身高的众数为120cm19. 如图，在棱长为1的正方体中，P 为棱CC 1上的动点(点P 不与点C ，C 1重合)，过点P 作平面分别与棱BC ，CD 交于M ，N 两点，若CP ＝CM ＝CN ，则下列说法正确的是（ ）三、填空题A ．A 1C ⊥平面B ．存在点P ，使得AC 1∥平面C ．存在点P ，使得点A 1到平面的距离为D ．用过点P ，M ，D 1的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形20. 在平面四边形中，点为动点，的面积是面积的3倍，又数列满足，恒有，设的前项和为，则（ ）A ．为等比数列B．C．为等差数列D．21. 某公司通过统计分析发现，工人工作效率与工作年限（），劳累程度（），劳动动机（）相关，并建立了数学模型.已知甲､乙为该公司的员工，则下列说法正确的有（ ）A ．甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强B ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，则甲比乙劳累程度弱C ．甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长，劳动动机高，则甲比乙工作效率高D ．甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长，劳累程度弱，则甲比乙工作效率高22.若函数的值域为，则（ ）A．B．C．D．23. 甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说法中正确的是（）A ．若甲、乙两组成绩的平均数分别为，则B ．若甲、乙两组成绩的方差分别为，则C ．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数D ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差24. 一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（ ）A ．从中任取3球，恰有一个白球的概率是B ．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为C ．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为D ．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为25. 已知集合，函数满足不等式的解集为P ，则函数__________．（写出一个符合条件的即可）26.已知是递增的等差数列，其前项和为，且，写出一个满足条件的数列的通项公式______．四、解答题27.设函数的定义域为，满足，.若，且在单调递增，则满足的的取值范围是__________.28. 已知，是该函数的极值点，定义表示超过实数的最小整数，则的值为___________.29.已知函数．（1）求，；（2）求在区间上的最大值和零点．解：（1）求______；______；（2）因为，所以，所以当______；即______时，取得最大值，为______；由和得，，所以在区间上的零点为______．空格序号选项①A． B．②A．B．③A ．，B．，④ A.1 B．⑤A ．B．30. 已知圆与圆，在下列说法中：①对于任意的，圆与圆始终相切；②对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；③时，圆被直线截得的弦长为；④分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4其中正确命题的序号为___________.31. 已知，其中是虚数单位，那么实数_____ ．32.在的展开式中,含项的系数为,则实数的值为.33. 已知向量，（，），令（）.（1）化简，并求当时方程的解集；五、解答题（2）已知集合，是函数与定义域的交集且不是空集，判断元素与集合的关系，说明理由.34.已知数列的前顶和为.且.(1)求数列的通项公式；(2)在数列中，，求数列的前项和.35. 已知椭圆C ：（）的离心率为，左顶点A 到右焦点的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于不同两点，（不同于A ），且直线和的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求在上的射影的轨迹方程.36. 对于数列，，的前n 项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n ，n ＋1项有一定关系，即第n 项的后一部分与第n ＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n ，n ＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．(1)（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n 项和；(2)（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．37. 计算求值：(1)；(2)已知，均为锐角，，，求的值．38. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，已知曲线C上任意一点满足.(1)化简曲线的方程；(2)已知圆（为坐标原点），直线经过点且与圆相切，过点A 作直线的垂线，交于两点，求面积的最小值.39. 为增强学生的环保意识，让学生掌握更多的环保知识，某中学举行了一次“环保知识竞赛”．为了解参加本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分100分）作为样本（样本容量为）进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（茎叶图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据），如下图所示．（1）求样本容量和频率分布直方图中，的值；（2）在[60，70），[70，80），[80，90）内按分层抽样的方法抽取8名学生的成绩，求应抽取成绩在[70，80）内的学生的人数；（3）在（2）的条件下，从这8名学生中随机抽取2名学生到某广场参加环保知识宣传活动，记“抽取的两名学生中成绩在[60，70）内的至多有1人”为事件，求．40. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的的鱼被人食用后，就会对人体产生危害．某海鲜市场进口了一批这种鱼，质监部门对这种鱼进行抽样检测，在30条鱼的样本中发现的汞含量（乘以百万分之一）如下：0.07 0.34 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.021.44 1.58 0.54 1.08 0.71 0.70 1.20 1.24 1.62 1.681.85 1.30 0.81 0.82 0.84 1.39 1.262.20 0.91 1.31（1）完成下面频率分布表，并画出频率分布直方图；频率分布表：分组频数频率1合计301频率分布直方图：（2）根据频率分布直方图估算样本数据的平均值（保留小数点后两位，同一组中的数据用该组区间中点值代表），并根据频率分布直方图描述这批鱼身体中汞含量的分布规律．41. 中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备，某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程，两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人，这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试，结果如下表所示:分数人数20551057050参加自主招生获得通过的概率0.90.80.60.50.4(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系，根据列联表的独立性体验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?优等生非优等生总计学习大学先修课程没有学习大学先修课程总计(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.参考数据:0.150.100.050.0250.0100.0052.072 2.7063.841 5.024 6.6357.879参考公式: ，期中，42. 函数(1)画出函数的图象；(2)当时，求函数的值域（直接写出值域，不要过程）．(3)若有四个不相等的实数根，求的取值范围．（直接写出结果，不要求过程）43. 春节期间，防疫常态化要求减少人员聚集，某商场为了应对防疫要求，但又不影响群众购物，采取推广使用“某某到家”线上购物APP，再由物流人员送货到家，下左图为从某区随机抽取100位年龄在的人口年龄段的频率分布直方图，下右图是该样本中使用了“某某到家”线上购物APP人数占抽取总人数比的频率柱状图．六、解答题（1）从年龄段在的样本中，随机抽取两人，估计都不使用“某某到家”线上购物APP 的概率；（2）若把年龄低于40岁（不含）的人称为“青年人”，为确定是否有的把握认为“青年人”更愿意使用“某某到家”线上购物APP ，填写下列联表，并作出判断．“青年人”人数非“青年人”人数合计使用APP 的人数没有使APP 的人数合计参考数据：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，其中．44.在等腰直角中，，分别为，的中点，，将沿折起，使得二面角为.（1）作出平面和平面的交线，并说明理由；（2）二面角的余弦值.45. 如图1所示，平面多边形中，四边形为正方形，，，沿着将图形折成图2，其中，为的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求四棱锥的体积.46. 甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为．七、解答题(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X ，求X 的分布列和期望；(2)证明：数列为等比数列．47. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，，的中点为.（1）求证：平面.（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.①四棱锥的体积为，②与平面所成的角为，③.若___________，求二面角的余弦值.48. 已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）设，证明：对任意，．49. 已知四边形ABCD 为平行四边形，E 为CD 的中点，AB =4，为等边三角形，将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面平面ABCE.(1)求证：；(2)试判断在线段PB 上是否存在点F ，使得平面AEF 与平面AEP 的夹角为45°.若存在，试确定点F 的位置；若不存在，请说明理由.50.已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)当时，，求证：．51. 习总书记指出：“绿水青山就是金山银山．”某市一乡镇响应号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：kg ）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：，其他成本投入（如培育管理等人工费）为（单位：元）．已知这种水果的市场售价大约为10元/kg ，且供不应求．记该单株水果树获得的利润为（单位：元）．(1)求的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少元时，该单株水果树获得的利润最大？最大利润是多少元？52. （1）学校开设了7门选修课，要求每个学生从中选学4门，共有多少种不同的选法？（2）从参加羽毛球团体比赛的6名运动员中选出3名，并按排定的顺序出场比赛，有多少种不同的选法？53. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B进行体育运动和文化项目比赛，由A部、B部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A部、B部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天A部、B部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设每局比赛A部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求，并求当取最大值时p的值；(2)当时，记一共进行的比赛局数为Y，求．54. 为增强学生科技意识，提高学生科学素养，学校开展了“科技节”系列活动．活动期间，学校图书馆从只借阅了一本图书的学生中随机抽取名，并对这些学生借阅科技类图书的情况进行了调查．数据统计如表单位：人：性别借阅科技类图书借阅非科技类图书男生女生(1)是否有的把握认为性别与借阅科技类图书有关？(2)图书馆为了鼓励学生借阅科技类图书，规定学生每借阅一本科技类图书奖励积分分，每借阅一本非科技类图书奖励积分分，积分累计一定数量可以用积分兑换自己喜爱的图书．用表中的样本频率作为概率的估计值．①现有名学生每人借阅一本图书，记此人增加的积分总和为随机变量，求的分布列和数学期望；②现从只借阅一本图书的学生中选取人，则借阅科技类图书最有可能的人数是多少？参考公式和数据：，其中．55. 某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图.（1）计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、；（2）①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由；②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分；（3）若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数.参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；；②若，则，，.56. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近5年区块链企业总数量相关数据，如下表年份20172018201920202021八、解答题编号x12345企业总数量y （单位：千个）2.1563.7278.30524.27936.224(1)根据表中数据判断，与（其中…为自然对数的底数），哪一个回归方程类型适宜预测未来几年我国区块链企业总数量？（给出结果即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求y 关于x 的回归方程；(2)为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．参考数据：，，，（其中）．附：样本的最小二乘法估计公式为，．57. 若函数在区间上有最大值4和最小值1，设．(1)求a 、b 的值；(2)若不等式在上有解，求实数k 的取值范围；58. 已知函数，.(1)当时，求函数的单调区间；(2)若不等式恒成立，求实数a 的取值范围.59. 已知，其中.若满足，且的图像关于直线对称.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若关于的方程在区间上总有实数解，求实数的取值范围.60. 已知在等差数列，中，前n 项和分别为，，且满足，.(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n 项和.61.在直角梯形中，，，，现将沿着对角线折起，使点D 到达点P 位置，此时二面角为．(1)求异面直线，所成角的余弦值；(2)求点A 到平面的距离．62. 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋（c ＞0，n ∈N *），（Ⅰ）证明：a n ＋1＞a n ≥1；（Ⅱ）若对任意n ∈N *，都有,证明：（ⅰ）对于任意m ∈N *，当n ≥m时，（ⅱ）。
北京市西城区2023届高三二模数学试题
一、单选题二、多选题1.函数 在实数范围内的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A．B．C．D．3. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）A．B．C．D．5. 已知函数在上是减函数，且满足，若，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．6. 如图，在棱长为2的正方体中，均为所在棱的中点，动点P 在正方体表面运动，则下列结论中正确的个数为（）①在中点时，平面平面②异面直线所成角的余弦值为③在同一个球面上④，则点轨迹长度为A ．0B ．1C ．2D ．37. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8.已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 在透明的密闭正三棱柱容器内灌进一些水，已知．如图，当竖直放置时，水面与地面距离为3．固定容器底面一边AC于地面上，再将容器按如图方向倾斜，至侧面与地面重合的过程中，设水面所在平面为α，则（ ）北京市西城区2023届高三二模数学试题北京市西城区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题A ．水面形状的变化：三角形⇒梯形⇒矩形B．当时，水面的面积为C ．当时，水面与地面的距离为D．当侧面与地面重合时，水面的面积为1210.在正方体中，下述正确的是（ ）A．平面B ．平面C．D ．平面平面11.已知点在拋物线的准线上，是拋物线的焦点.过点的两条直线分别与抛物线相切于点，，直线交直线于点，则下列结论正确的是（ ）A．拋物线方程为B ．直线的方程为C．D．12. 设点为抛物线：的焦点，过点斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），直线交抛物线的准线于点，若，则下列说法正确的是（ ）A．B．C．D ．的面积为（为坐标原点）13. 若双曲线C 经过点(2，2)，且与双曲线具有相同渐近线，则双曲线C 的标准方程为___．14.平面四边形中，，若四点共圆，则该四边形的面积为___________.15. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，，且，已知他投篮一次得分的数学期望为2，则的最小值为______．16. 如图，已知是圆柱的轴截面，、分别是两底面的圆心，是弧上的一点，，圆柱的体积和侧面积均为．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的大小．17. 在①，；②；③，是与的等比中项，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目．已知是等差数列的前项和，为公差，若；（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面ABCD，E为PD的中点.(1)求证：平面PBC；(2)求二面角的余弦值.19. 设等差数列的前项和为，已知，且是与的等比中项.（1）求的通项公式；（2）若.求证：，其中.20. 已知函数，且的最小正周期为．(1)求函数的单调增区间；(2)若，，且，求的值．21. 如图所示，边长为2的正方形所在的平面与所在的平面交于，且平面．（1）求证：平面平面；（2）求几何体的体积．。
北京市西城区2025届高三上学期第二次测试数学试卷含答案
北京2025届高三第二次测试（答案在最后）（2024.10.15）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则U A =ð（）A.(][)0,23,+∞B.()()0,23,+∞ C.(][),23,-∞⋃+∞ D.()(),23,-∞⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】由补集定义可直接求得结果.【详解】()0,U =+∞ ，[]2,3A =，()()0,23,U A ∴=+∞ ð.故选：B.2.在同一个坐标系中，函数log a y x =与(0xy aa =>且)1a ≠的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】根据同底的指数函数和对数函数图象关于y x =对称可确定结果.【详解】由指数函数和对数函数性质可知：log a y x =与x y a =图象关于y x =对称，由选项中图象对称关系可知A 正确.故选：A.3.设i 为虚数单位，若复数z 满足3i 12i z =+，则z 在复平面内对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算及共轭复数的概念化简复数，然后利用复数的几何意义求解点所在的象限.【详解】因为3i 12i z =+，所以3412i 2i2i i iz +-+===-+，所以2i z =--，对应的点为()2,1--，所以z 在复平面内对应的点在第三象限.故选：C4.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（）A.2B.2- C.4D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列的基本量运算可得111a b ==-，然后利用等比数列的概念结合条件即得.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则242822a a d d +=+==，所以3d =，∴22123b a a ===+，111a b ==-，所以212b q b ==-.故选：B.5.已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（）A.a b >B.a b >C.2a ab> D.2ab b >【解析】【分析】由a a ≥可知A 正确；通过反例可知BCD 错误.【详解】对于A ，a a ≥ （当且仅当0a ≥时取等号），a b ∴>，A 正确；对于B ，当1a =-，2b =-时，a b <，B 错误；对于C ，当1a =-，2b =-时，21a =，2ab =，则2a ab <，C 错误；对于D ，当1a =，2b =-时，2ab =-，24b =，则2ab b <，D 错误.故选：A.6.设423log 6,log 3,2a b c ===，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.b a c>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】首先将这三个数化为同底的对数，再根据单调性比较大小.【详解】42log 6log a ==，22log 3log b ==32223log 2log 2c ===，因为2log y x =<<所以a c b <<.故选：D7.已知函数()f x ．甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度，得到图象1C ；乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图象2C ．若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是（）A.()12log f x x= B.()2log f x x=C.()2xf x = D.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即可.【详解】对于A ，()112:1log 1C f x x +=+，()211112222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=-，A 错误；对于B ，()12:1log 1C f x x +=+，()22222:2log 2log log 2log 1C f x x x x ==+=+，B 正确；对于C ，()1:121xC f x +=+，()22:224xx C f x ==，C 错误；对于D ，()11:112xC f x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，()2211:224xxC f x ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 错误.故选：B.8.“sin tan 0θθ+>”是“θ为第一或第三象限角”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据同角三角函数关系化简，根据三角函数在各象限的符号，结合充分条件、必要条件即可得解.【详解】因为sin (cos 1)sin tan 0cos θθθθθ++=>时，则tan 0θ>，所以θ为第一或第三象限角，反之，当θ为第一或第三象限角时，tan 0θ>，所以sin tan 0θθ+>，综上，“sin tan 0θθ+>”是“θ为第一或第三象限角”的充分必要条件，故选：C9.已知()1,0A ，点B 在曲线:G ()ln 1y x =+上，若线段AB 与曲线:M 1y x=相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．记曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为a ，则（）A.0a =B.1a = C.2a = D.2a >【答案】B 【解析】【分析】根据题意，将问题转化为()004lg 11x x +=+的解的个数，再构造函数()4lg f x x x=-，利用函数()f x 的单调性与零点存在定理判断函数()f x 的零点个数，从而得解.【详解】设点B 的坐标为()()00,lg 1x x +，则线段AB 的中点为()00lg 11,22x x E ⎛⎫++⎪⎝⎭，由题意可知，点E 在曲线1:M y x=上，所以()00lg 1221x x +=+，即()004lg 11x x +=+，构造函数()4lg f x x x=-，其中0x >，由于函数lg y x =与函数4y x =-在0,+∞上为增函数，所以函数()4lg f x x x=-在0,+∞上为增函数，因为()140f =-<，()210105f =->，所以函数()4lg f x x x=-存在唯一零点，即()004lg 11x x +=+只有一个解，所以曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为1a =.故选：B.10.我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（）（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）A.9B.10C.11D.12【答案】D 【解析】【分析】根据变化规律可知每次去掉的线段长度成等比数列，利用等比数列求和公式可求得第n 次后，去掉的线段长度总和为213n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由29913100n⎛⎫-> ⎪⎝⎭，结合对数运算可解不等式求得11.4n >，由此可得结果.【详解】第1次操作，去掉的线段长度为13；第2次操作，去掉的线段长度为29；第3次操作，去掉的线段长度为427，依次类推，可知第n 次操作去掉的线段长度为11233n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，即每次去掉的线段长度成等比数列，∴第n 次后，去掉的线段长度总和为12133212313nn ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎝⎭-，由29913100n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭得：213100n⎛⎫< ⎪⎝⎭，231lg10022log 11.42100lg 2lg 30.3010.477lg 3n ∴>=-=-≈---，n ∴的最小值为12.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.若复数12z i =-，则z =__________．【答案】【解析】【分析】由共轭复数概念写出12i z =+，再求其模长.【详解】由题设12i z =+，则z ==.12.函数()1ln 1f x x x =+-的定义域是____________.【答案】()()0,11+，⋃∞.【解析】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，10x x -≠⎧⎨>⎩故答案为：()()0,11,+∞ .【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13.设公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为()*Nn S n ∈，能说明“若0d <，则数列{}nS 是递减数列”为假命题的一组1,a d 的值依次为__________．【答案】12a =，1d =-（答案不唯一）【解析】【分析】由等差数列前n 项和公式有21(22n d dS n a n =+-且0d <，结合二次函数性质找到一个满足{}n S 不是递减数列的1,a d 即可.【详解】由211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-，其对称轴为112a n d=-，且0d <，结合二次函数性质，只需1113122a a d d-≥⇒≤-，即1a d ≥-，此时{}n S 不是递减数列，如12a =，1d =-，则21525(228n S n =--+，显然12S S <.故答案为：12a =，1d =-（答案不唯一）14.已知函数()e-=x tf x ，()e =-+g x x ，()()(){}max ,h x f x g x =，其中{}max ,a b 表示a ，b 中最大的数．若1t =，则()0h =________；若()e h x >对R x ∈恒成立，则t 的取值范围是________．【答案】①.e②.(),1∞--.【解析】【分析】由函数()h x 的定义，求()0h ，由0x <时，()g x x =-+>e e ，当0x ≥时，()e g x ≤可得已知条件等价于()e f x >在[)0,+∞上恒成立，化简可求t 的范围．【详解】由已知(){}max e,e x th x x -=-+，若1t =，则(){}0max e,e h =，所以()0e h =，当0x <时，()g x x =-+>e e ，当0x ≥时，()e g x ≤，因为()max{(),()}h x f x g x =>e 对R x ∈恒成立；所以当0x ≥时，e e x t ->恒成立，所以当0x ≥时，1x t ->恒成立，若0t ≥，则当x t =时，=0x t -，矛盾，当0t <时，可得1x t ->恒成立，所以1t <-，所以t 的取值范围是为(),1∞--，故答案为：e ，(),1∞--.15.已知函数()cos f x x a =+.给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2+-=f x f x a ；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】取0a =可判断①，取1a =化简后可判断②，先化简，取πx =可判断③，取π2T =可判断④.【详解】对于①，当0a =时()cos f x x =，其最大值为1，最小值为0，()f x 的最大值与最小值的差为1，故①错误；对于②，当1a =时，()cos 11cos =+=+f x x x ，()()π-cos π-11cos 1cos =+=-=-f x x x x ，因此对任意x ∈R ，()()π22+-==f x f x a ，故②正确；对于③，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，ππcos sin 22⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x a a x ，当πx =时ππ22⎛⎫⎛⎫+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x f x a ，故③错误；对于④，当0a =时()cos f x x =，取π2T =，0π=4x ，使得对任意Z n ∈，都有()()00f x f x nT =+，故正确.故答案为：②④三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数()321f x x ax =--.（1）若1a =，求()f x 的极值；（2）直接写出一个a 值使()f x 在区间[]1,0-上单调递减.【答案】（1）极大值为1-，极小值为3127-.（2）2-（答案不唯一，3,2a ⎛⎤∈-∞-⎥⎝⎦即可）【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断原函数单调性和极值；（2）由题意可得32a x ≤在[)1,0-恒成立，根据恒成立问题分析求解.【小问1详解】当1a =时，()321f x x x =--，函数定义域为R ，则()()23232f x x x x x '=-=-，()0f x '>解得0x <或23x >，()0f x '<解得203x <<，所以()f x 在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 的极大值为()01f =-，极小值为231327⎛⎫=- ⎪⎝⎭f ．【小问2详解】若()f x 在区间[]1,0-上单调递减，则()2320f x x ax '=-≤在[)1,0-内恒成立，可得32a x ≤在[)1,0-内恒成立，即32a ≤-，即a 的取值范围为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，所以a 的值可以为2-.17.已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=+>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.（1）求ω的值；（2）若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,)36-内无极值点，且ππ(2()263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，2ω=；（2）π(,)3+∞.【解析】【分析】（1）选条件①，由ππ1cos(332ω-=的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出ω；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小问1详解】依题意，π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+，选条件①，由(2π)3f =，得ππ2cos()1233ω-+=，即ππ1cos()332ω-=，于是πππ2π,N 333k k ω-=+∈或πππ2π,N 333k k ω*-=-+∈，显然ω的值不唯一，因此函数()f x 不唯一，不符合题意.选条件②，()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，因此()y f x =的最小正周期为函数2cos2y x =的最小正周期π，而0ω>，则2ππω=，所以2ω=.选条件③，()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+，则ππ(()463f f --=，即函数()f x 分别在ππ,63x x ==-时取得最大值､最小值，于是()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≤⨯--=，由()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，得()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≥⨯--=，因此πT =，而0ω>，所以2π2Tω==.【小问2详解】由（1）知π()2cos(213f x x =-+，由(0,)x m ∈，得πππ2(,2)333x m -∈--，由不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解，则有ππ233m ->，解得π3m >，所以m 的取值范围是π(,)3+∞.18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，24n n S a =-，*n ∈N .（1）求1a ，2a ；（2）若数列{}n b 是等差数列，且11b a =，53b a =，求数列{}n b 的通项公式；（3）设n n b c a =，求12n c c c ++⋅⋅⋅+.【答案】（1）14a =；28a =；（2）*31,n b n n N=+∈（3）352327n +-【解析】【分析】（1）直接令1,2n n ==求解即可；（2）结合（1）令3n =得316a =，进而求得{}n b 的公差为3d =，再根据通项公式求解即可；（3）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得数列{}n a 的通项公式，再结合（2）得32248n n n c +==⨯，进而根据等比数列前n 项和公式求解即可.【小问1详解】解：令1n =，则11124S a a =-=，解得14a =，令2n =，则221224S a a a =-=+，解得2148a a =+=.所以14a =；28a =；【小问2详解】解：由（1）知14a =；28a =，所以令3n =，则3312324S a a a a =-=++，解得316a =.所以114b a ==，5316b a ==，设等差数列{}n b 的公差为d ，则5144416b b d d =+=+=，解得3d =所以数列{}n b 的通项公式为()*1131,n b b n d n n N =+-=+∈【小问3详解】解：由（1）知，1n =时，14a =，当2n ≥时，()()112424n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是等比数列，公比为2q =，首项为14a =所以1112n n n a a q-+==.由（2）知*31,n b n n N =+∈，所以1322248nn b n n n b c a ++====⨯，所以18n nc c +=，即数列{}n c 是等比数列，公比为8，首项为32，所以()35123218232187n n nc c c +--++⋅⋅⋅+==-19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为1:2b l y =与E 在第一象限的交点P 的横坐标为3．（1）求E 的方程；（2）设直线2:l y kx m =+与椭圆E 相交于两点,M N ，试探究直线PM 与直线PN 能否关于直线1l 对称．若能对称，求此时直线2l 的斜率；若不能对称，请说明理由．【答案】（1）221124x y +=（2）直线PM 与直线PN 能够关于直线1l 对称，此时直线2l 的斜率为1【解析】【分析】（1）由题意可得c =3,2b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在E 上，可得212a =，进而可求得椭圆方程；（2）将y kx m =+代入221124x y+=，设()()1122,,,M x y N x y ，进而可得1212,x x x x +，若直线PM 与直线PN 关于直线1l 对称，则121211033PM PN y y k k x x --+=+=--，求解判断即可.【小问1详解】由已知，2c =，所以c =．而3,2b P ⎛⎫⎪⎝⎭在E 上，所以222941ba b +=．于是，212a =．则2224b a c =-=，故椭圆E 的方程为221124x y +=．【小问2详解】可知()3,1P ，将y kx m =+代入221124x y+=，得()2221363120kxkmx m +++-=．由()()2222Δ364133120k m km=-+->，有221240m k --<．设()()1122,,,M x y N x y ，易知12x x ≠．则21212226312,1313km m x x x x k k -+=-=++．因为直线PM 与直线PN 关于直线1l对称，则直线PM 与PN 存在斜率，且斜率互为相反数．所以121211033PM PN y y k k x x --+=+=--，即()()()()122113130y x y x --+--=，即()()12211212360x y x y x x y y +-+-++=，所以()()1212213660kx x m k x x m +--++-=，则()22231262136601313m km k m k m k k -⎛⎫⋅+---+-= ⎪++⎝⎭，即()23410k m k m +--+=，所以1k =或13m k =-．当13m k =-时，MN 的方程为()31y k x =-+，经过P 点，与题意不符，故舍去．故直线PM 与直线PN 能够关于直线1l 对称，此时直线2l 的斜率为1k =，同时应有()4,4m ∈-．【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.20.已知函数2()ln 1()f x mx x x m =-+∈R ．（1）当1m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）若()0f x ≤在区间[1,)+∞上恒成立，求m 的取值范围；（3）试比较ln 4的大小，并说明理由．【答案】（1）10x y +-=（2）(],2-∞（3）ln 4<【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；（2）将()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，转化为1ln 0m x x x -+≤，令()1ln g x m x x x=-+，问题转化为()max 0g x ≤，利用导数求函数()max g x 即可得解；（3）由（2）知，2m =时，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，取x =，可得解.【小问1详解】当1m =时，()2n 1l f x x x x -+=，()ln 12f x x x '∴=+-，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的斜率()11k f '==-，又()10f =，所以曲线()f x 在点()()1,1f 处切线的方程为()1y x =--即10x y +-=.【小问2详解】()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，即2ln 10mx x x -+≤，对[)1,x ∀∈+∞，即1ln 0m x x x-+≤，对[)1,x ∀∈+∞，令()1ln g x m x x x=-+，只需()max 0g x ≤，()222111m x mx g x x x x-+-'=--=，[)1,x ∞∈+，当0m ≤时，有0mx ≤，则()0g x '<，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=符合题意，当0m >时，令()21h x x mx =-+-，其对应方程210x mx -+-=的判别式24m ∆=-，若0∆≤即02m <≤时，有()0h x ≤，即()0g x '≤，()g x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=符合题意，若0∆>即2m >时，()21h x x mx =-+-，对称轴12mx =>，又()120h m =->，方程210x mx -+-=的大于1的根为02m x -=，()01,x x ∴∈，()0h x >，即()0g x '>，()0,x x ∈+∞，()0h x <，即()0g x '<，所以函数()g x 在()01,x 上单调递增，()()10g x g ∴>=，不合题意.综上，()0f x ≤在区间[)1,+∞上恒成立，实数m 的取值范围为(],2-∞.【小问3详解】由（2）知，当2m =时，()0f x ≤，在区间[)1,+∞上恒成立，即22ln 1x x x ≤-，对[)1,x ∀∈+∞，取x =1<，化简得ln 4<.21.设无穷数列{}n a 的前n 项和为{},n n S i 为单调递增的无穷正整数数列，记1n n n i i A S S +=-，()1,2,n = ，定义{}*Ω0,1,2,k j j S S k j j =∈-≥=++N ．（1）若()2,1,2,n n a n i nn === ，写出12,A A 的值；（2）若()111,2,2n n a n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，求Ω；（3）设()1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩求证：对任意的无穷数列{}n a ，存在数列{}n i ，使得(){}sgn n A 为常数列．【答案】（1）129,35A A ==（2）{2,1,2,}xx m m Ω=== ∣（3）证明见解析【解析】【分析】（1）通过公式即可求出12,A A 的值；（2）求出数列{}n a 的前n 项和，对j 讨论其奇偶，即可求出Ω；（3）通过讨论Ω为有限集和无限集时的不同情况下()sgn n A 的值，即可证明结论.【小问1详解】由题意，1n n n i i A S S +=-，()1,2,n = ，()2,1,2,n n a n i n n === ，∴11a =，221231,24,39i i i =====，111S a ==，241234123410i S S a a a a ==+++=+++=，3912912945i S S a a a ==+++=+++= ，∴1412941019,451035A S S A S S =-=-==-=-=【小问2详解】由题意，在数列{}n a 中，()111,2,2n n a n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，11a =∴1112221133212n nn S ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⨯- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭.若j 为奇数，则11102jj j j S S a ++⎛⎫-==-< ⎪⎝⎭.所以j ∉Ω.若j 为偶数，则当1,2,k j j =++ 时，2112110.322322j k j kk j S S ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---≥->⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以j ∈Ω.所以{2,1,2,}xx m m Ω=== ∣.【小问3详解】由题意证明如下，在()1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩中，若Ω为有限集，设其最大元素为m (若Ω为空集，取0m =)，则当1,2,j m m =++ 时，存在k j >满足0k j S S -<.令{}*111min ,0(1,2,),n n n k i i m i k k i S S n +=+=∈>-<=N∣，则10n n n i i A S S +=-<.所以()sgn 1(1,2,)n A n =-= ;若Ω为无限集，设{}12,,j j Ω= ，其中12j j << ，记1n n n j j B S S +=-，则0(1,2,)n B n ≥= .①若数列{}n B 中只有有限项为正数，记{}*max 0n m n B =∈>N ∣(若{}n B 中没有正数项，取0)m =，则0(1,2,)m n B n +== .令()1,2,n m n i j n +== ，则()101,2,n n n i i m n A S S B n ++=-=== .所以()sgn 0(1,2,)n A n == ;②若数列{}n B 中有无穷项为正数，将这些项依次记为12,,t t B B ，其中12t t << ，则()101,2,n n n j j B S S n +=->= .令(1,2,)n n t i j n == ，则11110t t n n n n n n j j t t t A S S B B B +++-=-=+++> .所以()sgn 1(1,2,)n A n == .综上所述，对任意的无穷数列{}n a 都存在数列{}n i ，使得(){}sgn n A 为常数列.【点睛】关键点点睛：本题考查求数列的项，数列求和，无穷数列的证明，符号函数，考查学生的计算能力，逻辑思维能力和分类讨论能力，具有很强的综合性.。
2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学质量检测模拟试题(二模)含答案
2023-2024学年北京市西城区高三热身考试数学模拟试题（二模）一、单选题1．设集合{|2,}M x x x =<∈Z ，{2,1,0}N =--，则M N ⋃=（）A ．MB ．NC ．{2,1,0,1}--D ．{2,1,0,1,2}--【正确答案】C【分析】先求集合M ，然后由并集运算可得.【详解】因为2x <，且x ∈Z ，所以{}1,0,1M =-，又{}2,1,0N =--，所以{}2,1,0,1M N ⋃=--.故选：C 2．复数2i1ia z -+=+在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-【正确答案】B【分析】先化简复数z ，然后根据实部为0可解.【详解】()()()()2i 1i 2i 22i 1i 1i 1i 22a a a a z -+--+-+===+++-，因为复数z 对应点在虚轴上，所以202a -=，解得2a =.故选：B3．已知双曲线2221(0)y x b b-=>的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为（）A ．0x =B 0y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=【正确答案】B【分析】求出b 的值即得解.【详解】解：由题得21+4,b b =∴=，所以双曲线的渐近线方程为1y x =±=0y ±=.故选：B4．已知{}n a 是等比数列，则“124a a a <<”是“{}n a 是增数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据递增数列的定义并结合对项取值，可得结果【详解】由数列{}n a 是等比数列，可假设12,2a q =-=-，则12342,4,8,16a a a a =-==-=，可知124a a a <<，但数列{}n a 不是递增数列，若数列{}n a 是递增等比数列，由定义可知，124a a a <<，故“124a a a <<”是“{}n a 是递增数列”的必要不充分条件故选：B5．已知1021001210(1)-=++++ x a a x a x a x ，则1210a a a +++= （）A ．102B ．0C ．1D ．1-【正确答案】D【分析】根据赋值法，分别令0,1x x ==可解.【详解】令0x =得：()10011a =-=,令1x =得：()1001210110a a a a ++++=-= ，所以12101a a a +++=- .故选：D6．已知圆22:20C x y x +-=，过直线:2l y x =+上的动点M 作圆C 的切线，切点为N ，则MN 的最小值是（）A ．B ．2CD 【正确答案】D【分析】根据题意易知当圆心C 到直线l 上点的距离最小时，MN 最小，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】圆22:20C x y x +-=，圆心()1,0C ，半径1r =，设圆心C 到直线l ：20x y -+=的距离为d ，则d CM ≤，易得⊥CN MN ，则222MN CM r =-，故当圆心C 到直线l 上点的距离最小时，即圆心到直线的距离d ，此时MN 最小，因为d =，所以MN ===故MN ．故选：D.7．将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度，得到函数()sin 2g x x =的图象，则下列说法错误的是（）A ．函数()()f x g x 是奇函数B ．函数()()f x g x 的图象的一条对称轴方程为8x π=-C ．函数()()f x g x +的图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭D ．函数()()f x g x +在()0,π上单调递减区间是5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】由题可得()cos 2f x x =，进而可得()()1sin 42f x g x x =，()()24f x g x x π⎛⎫++⎪⎝⎭，然后利用正弦函数的性质即得.【详解】由题可得()sin 2cos 24f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∴()()1cos 2sin 2sin 42f xg x x x x ==，为奇函数，故A 正确；当8x π=-时，42x π=-，所以函数()()f x g x 的图象的一条对称轴方程为8x π=-，故B 正确；∴()()cos 2sin 2sin 24f x g x x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，当8x π=时，242x ππ+=，所以,08π⎛⎫⎪⎝⎭不是函数()()f x g x +的图象的一个对称中心，故C 错误；由3222,Z 242k x k k πππππ+≤+≤+∈，可得5,Z 88k x k k ππππ+≤≤+∈，又()0,x π∈，所以函数()()f x g x +在()0,π上单调递减区间是5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：C.8．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）近似地满足关系t v a b =⋅（其中a ，b ，为正常数），经过6个月，这种垃圾的分解率为5%，经过12个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月（参考数据：lg 20.3≈）A ．20B ．28C ．32D ．40【正确答案】C【分析】先由题给条件求得正常数a ，b 的值，得到分解率v 与时间t （月）近似地满足关系60.0252tv =⋅，再解方程即可求得这种垃圾完全分解大约所需要经过的月数.【详解】由题意得，1260.10.05a b a b ⎧=⋅⎨=⋅⎩，解之得16=20.025b a ⎧⎪⎨⎪=⎩，则60.0252t v =⋅则由610.0252t =⋅，可得6240t=，两边取常用对数得，lg 2lg 4012lg 26t==+，则61232lg 2t =+≈故选：C9．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E ，F ，G 分别为线段11,,BC CC BB 上的动点（不含端点），①异面直线1D D 与AF 所成角可以为π4②当G 为中点时，存在点E ，F 使直线1A G 与平面AEF 平行③当E ，F 为中点时，平面AEF 截正方体所得的截面面积为98④存在点G ，使点C 与点G 到平面AEF 的距离相等则上述结论正确的是（）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【正确答案】C【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对①：因为1D D //1A A ，故1D D 与AF 的夹角即为1A A 与AF 的夹角1A AF ∠，又当F 与C 重合时，1A AF ∠取得最大值，为π2；当F 与点1C 重合时，1A AF ∠取得最小值，设其为α，则111tan A C A A α==，故π4α>；又点F 不能与1,C C 重合，故1ππ,,24A AF αα⎛⎫∠∈> ⎪⎝⎭，故①错误；对②：当G 为1B B 中点时，存在,E F 分别为1,BC C C 的中点，满足1A G //面AEF ，证明如下：取11B C 的中点为M ，连接1,A M MG ，如下所示：显然1A M //AE ，又AE ⊂面1,AEF A M ⊄面AEF ，故1A M //面AEF ；又易得MG //EF ，EF ⊂面,AEF MG ⊄面AEF ，故MG //面AEF ；又11,,A M MG M A M MG ⋂=⊂面1A MG ，故面1A MG //面AEF ，又1AG ⊂面1A MG ，故1A G //面AEF ，故②正确；对③：连接11,,AD D F AE ，如下所示：因为EF //1BC //1AD ，故面1AEFD 即为平面AEF 截正方体所得截面；又1D F AE ==2EF =，1AD =，故截面面积()111922248S EF AD ⎛=+=⨯⨯= ⎝，故③正确；对④：连接GC ，取其中点为H ，如下所示：要使得点G 到平面AEF 的距离等于点C 到平面AEF 的距离，只需EF 经过GC 的中点，显然当点E F 、分别为所在棱的中点时，不存在这样的点G 满足要求，故④错误.故选：C.10．{}n a 是各项均为正数的等差数列，其公差0d ≠，{}n b 是等比数列，若11a b =，10121012a b =，n S 和n T 分别是{}n a 和{}n b 的前n 项和，则（）A ．20232023S T >B ．20232023S T <C ．20232023S T =D ．2023S 和2023T 的大小关系不确定【正确答案】B【分析】分析可知等比数列{}n b 为正项单调数列，利用等差数列的求和公式以及基本不等式可得出2023S 与2023T 的大小.【详解】因为{}n a 是各项均为正数的等差数列，其公差0d ≠，则()1202320231012202320232a a S a +==，且1012111011a a d a =+≠，则10121b b ≠，设等比数列{}n b 的公比为q ，则1011101210b q b =>且10111q ≠，即0q >且1q ≠，又因为10b >，所以，等比数列{}n b 为正项单调数列，由基本不等式可得1202310122b b b +>，2202210122b b b +>=，L ，1011101310122b b b +>，所以，202312202310121012202320232023T b b b b a S =+++>== ，故选：B.二、填空题11．函数()()ln 2f x x =-的定义域为__________．【正确答案】[)1,2-【分析】根据函数解析式有意义可得出关于x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域.【详解】对于函数()()ln 2f x x =-，有1020x x +≥⎧⎨->⎩，解得12x -≤<.故函数()f x 的定义域为[)1,2-.故答案为.[)1,2-12．己知抛物线()20y ax a =>，焦点F 到准线的距离为1，若点M 在抛物线上，且5MF =，则点M 的纵坐标为__________．【正确答案】92【分析】由抛物线的焦点F 到准线的距离为1求出a 的值，可得出抛物线的准线方程，再利用抛物线的定义可求得点M 的纵坐标.【详解】抛物线的标准方程为21x y a =，其焦点为10,4F a ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为14y a =-，抛物线的焦点F 到准线的距离为1，则112a=，可得12a =，所以，抛物线的标准方程为22x y =，其准线方程为12y =-，设点()00,M x y ，由抛物线的定义可得0152MF y =+=，解得092y =.故答案为.92三、双空题13．己知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的中点，则DE CB ⋅的值为__________，若点E 是AB 边上的动点，则||DE AC ⋅的最大值为__________．【正确答案】11【分析】分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系，得出向量DE ，CB，AC 的坐标，利用向量数量积的坐标运算得出答案.【详解】如图分别以,AB AD 为,x y 轴建立平面直角坐标系.则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D ，()0,1CB =-uu r ,()1,1AC =u u u r，若点E 是AB 边上的中点，则1,02E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1,12DE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭uuu r 所以()()101112DE CB ⋅=⨯+-⨯-=uuu r uu r ；若点E 是AB 边上的动点，设()(),001E x x ≤≤，所以(),1DE x =-uuu r，所以1DE AC x ⋅=-uuu r uuu r，由01x ≤≤，可得01DE AC ≤⋅≤uuu r uuu r，所以当0x =时，DE AC ⋅的最大值为1故1；114．已知函数()()21,,22,.x x a f x x x x a a R ⎧≥⎪=⎨⎪-<∈⎩.若()f x 在R 上是单调函数，则=a _________；若对任意实数k ，方程()0f x k -=都有解，则a 的取值范围是_________.【正确答案】[]0,2.【分析】（1）作出函数21||,22y x y x x ==-的图象，由单调性的定义，结合图象可得a 的值；（2）由题意可得()f x 的值域为R ，结合图象，讨论a<0，02a ≤≤时，2a >时，函数()f x 的图象和值域是否为R ，即可得到所求范围．【详解】作出21||,22y x y x x ==-的图象，如图，因为函数()f x 在R 上是单调函数，所以1||2y x =在[,)a +∞上单调，由图象知1||2y x =在[,)a +∞上单调递增，所以函数()f x 在R 上是单调递增函数，故201122a a a a a ⎧⎪≥⎪≤⎨⎪⎪≥-⎩，解得0a =；对任意实数k ，方程()0f x k -=都有解，即()k f x =恒有解，即直线y k =和()y f x =的图象恒有交点，可得()f x 的值域为R ，当a<0时，x a ≥时，()1||02f x x =≥，x a <时，()f x 递增，且()220f x a a <-<，故()f x 的值域不为R ，故不成立；因为当1x =时，由2max 1)(2x x -=，令1||12x =解得2(0)x x =>，由图象可知，当02a ≤≤时，()f x 的值域为R ，当2a >时，由图象可得()f x 的值域不为R ，综合可得a 的范围是[]0,2.故0；[]0,2.四、填空题15．关于函数()sin cos e e x xf x =+，下列说法中正确的有__________．①()f x 的最小正周期是π；②π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数；③()4f x =在区间[]0,π上恰有三个解；④()f x 的最小值为2e 【正确答案】②④【分析】利用特殊值法可判断①；利用函数奇偶性的定义可判断②；利用导数分析函数()f x 在区间[]0,π上的单调性，可判断③；利用函数的对称性、周期性以及单调性求出函数()f x 的最小值，可判断④.【详解】对于①，因为ππsin cos 44πe e 4f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，5π5πsin cos 445πe e 2e 4f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以，π5π44f f ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的最小正周期不是π，①错；对于②，令()))ππsin cos cos sin cos sin 44πe e 4x x x x x x g x f x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，函数()g x 的定义域为R ，()()()()()cos sin cos sin x x x x g x -+----⎤⎤⎦⎦-=+))()cos sin sin x x x x g x -+=+=，所以，函数()g x 为偶函数，即函数π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，②对；对于③，()sin cos e e x xf x =+，则()sin cos sin cos cos sin cos sin e cos e sin e e e x x x x x x x x f x x x +⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()e x xg x =，其中11x -≤≤，则()10ex x g x -'=≥且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在[]1,1-上单调递增，当[]0,πx ∈时，ππ3π444x -≤-≤，若ππ044x -≤-<时，即当π04x ≤<时，πsin cos 04x x x ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，即sin cos x x <，此时()()()sin cos sin cos cos sin cos sin e e cos sin 0e e x x x x x x x x f x g x g x ++⎛⎫'=-=->⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭；若π3π044x <-≤时，即当ππ4x <≤时，πsin cos 04x x x ⎛⎫-=-> ⎪⎝⎭，即sin cos x x >，此时()()()sin cos sin cos cos sin cos sin e e cos sin 0e e x x x x x x x x f x g x g x ++⎛⎫'=-=-<⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭.所以，函数()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，方程()4f x =在区间[]0,π上至多两个解，③错；对于④，因为函数()f x 的定义域为R ，()()()()sin 2πcos 2πsin cos 2πeee e x x x xf x f x +++=+=+=，所以，函数()f x 为周期函数，且2π为函数()f x 的一个周期，由①可知，函数π4y f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，即ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的图象关于直线π4x =对称，要求函数()f x 的最小值，只需求函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，当π5π44x ≤≤时，π0π4x ≤-≤，则πsin cos sin 04x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，即sin cos x x ≥，所以，()()()sin cos e cos sin 0x xf xg x g x +'=-≤⎡⎤⎣⎦，且()f x '不恒为零，所以，函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，()5π5πsincos 44min 5πe e 2e4f x f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故②④.方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、()f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.五、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知sin cos b A B =．(1)求角B 的大小；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在且唯一确定，求ABC 的面积．条件①：4a =，3b =；条件②：1c a -=，b =；条件③：3c =，cos C =注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)π3B =(2)见解析【分析】（1）由正弦定理的边化角公式得出角B 的大小；（2）选①：由余弦定理以及判别式求解即可；选②：由余弦定理得出,a c ，进而求出面积；选③：由正弦定理得出b ，进而由余弦定理得出a ，即可得解..【详解】（1）因为sin cos b A B =，所以sin sin cos B A A B =，又sin 0A ≠，所以tan B =因为(0,π)B ∈，所以π3B =.（2）选①：由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得，2191682c c =+-⨯.即2470c c -+=，此时16280∆=-<，无解，不合题意.选②：由余弦定理可得2271a c acc a ⎧=+-⎨-=⎩，整理得260+-=a a ，解得2a =或3a =-（舍），即3c =.满足ABC 存在且唯一确定，则ABC的面积为11sin 232222ac B =⨯⨯⨯=.选③：321sin 14C ==，由正弦定理可得3sin sin 14c B b C ===由余弦定理2222cos b a c ac B =+-可得，2793a a =+-，即2320a a -+=.解得1,2a a ==，当1a =时，cos C ==所以2a =，满足ABC 存在且唯一确定，则ABC的面积为11sin 232222ac B =⨯⨯=17．人工智能()AI 是一门极富挑战性的科学，自诞生以来，理论和技术日益成熟．某校成立了A 、B 两个研究性小组，分别设计和开发不同的A I 软件用于识别音乐的类别：“古典音乐”、“流行音乐”和“民族音乐”．为测试A I 软件的识别能力，计划采取两种测试方案．方案一：将100首音乐随机分配给A 、B 两个小组识别．每首音乐只被一个A I 软件识别一次，并记录结果；方案二：对同一首音乐，A 、B 两组分别识别两次，如果识别的正确次数之和不少于三次，则称该次测试通过．(1)若方案一的测试结果显示：正确识别的音乐数之和占总数的35；在正确识别的音乐数中，A 组占23；在错误识别的音乐数中，B 组占12．（i ）用频率估计概率，两个研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为多少？（ii ）利用（i ）中的结论，求方案二在一次测试中获得通过的概率：(2)若方案一的测试结果如下：音乐类别A 小组B 小组测试音乐数量正确识别比例测试音乐数量正确识别比例古典音乐1040%2450%流行音乐1040%2050%民族音乐2080%1687.5%在A 小组、B 小组识别的歌曲中各任选3首，记1X 、2X 分别为A 小组、B 小组正确识别的数量，试比较()1E X 、()2E X 的大小（直接写出结果即可）．【正确答案】(1)（i ）A 、B 研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为23、12；（ii ）49(2)()()12E X E X =【分析】（1）（i ）根据题意计算出A 、B 两个研究性小组识别音乐正确和错误的数量，即可求得两个研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率；（ii ）利用独立重复试验的概率公式、独立事件的概率公式以及互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知()1~3,24,40X H ，()2~3,36,60X H ，根据超几何分布的期望公式可得出()1E X 、()2E X 的值，即可得出结论.【详解】（1）解：（i ）对于方案一，设A 、B 两个研究性小组的A I 软件每次能正确识别音乐类别的概率分别为1P 、2P ，100首音乐中，正确被识别的数量为3100605⨯=首，错误被识别数量为1006040-=首，其中A 组识别正确的数量为260403⨯=首，B 组识别正确的数量为604020-=首，其中A 组识别错误的数量为140202⨯=首，B 组识别错误的数量为140202⨯=首，故140240203P ==+，220120202P ==+；（ii ）记事件:D 方案二在一次测试中获得通过，则()22222112221121214C C 32332329P D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⋅⋅⋅+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）解：由题意可知，A 小组识别正确的歌曲数量为24102202455⨯⨯+⨯=首，B 小组识别正确的歌曲数量为11724201636228⨯+⨯+⨯=，由题意可知，1X 、2X 均服从超几何分布，且()1~3,24,40X H ，()2~3,36,60X H ，根据超几何分布的期望公式可得()1243 1.840E X =⨯=，()2363 1.860E X =⨯=，因此，()()12E X E X =.18．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC CC ===，点D 、E 分别为棱11A C 、11B C 的中点，点F 是线段1BB 上的点（不包括两个端点）.(1)设平面DEF 与平ABC 交于直线m ，求证：11A B m //；(2)是否存在一点F ，使得二面角1C AC F --的余弦值为13，如果存在，求出1BF BB 的值；如果不存在，说明理由；(3)当F 为线段1BB 的中点时，求点B 到平面1AC F 的距离．【正确答案】(1)证明见解析(2)存在，且112BF BB =(3)23【分析】（1）证明出//DE 平面ABC ，11//DE A B ，利用线面平行的性质可证得//m DE ，利用平行线的传递型可证得结论成立；（2）以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,2,F a ，其中02a <<，利用空间向量法求出a 的值，即可得出结论；（3）利用空间向量法可求得点B 到平面1AC F 的距离．【详解】（1）证明：因为点D 、E 分别为棱11A C 、11B C 的中点，则11//DE A B ，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 为平行四边形，所以，11//A B AB ，则//DE AB ，因为DE ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以，//DE 平面ABC ，因为DE ⊂平面DEF ，平面DEF ⋂平面ABC m =，所以，//m DE ，故11//m A B .（2）解：在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，且1CC ⊥平面ABC ，以点C 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则点()2,0,0A 、()10,0,2C 、()0,2,0B ，设点()0,2,F a ，其中02a <<，设平面1AC F 的法向量为(),,n x y z = ，()12,0,2AC =- ，()10,2,2C F a =-，则()11220220n AC x z n C F y a z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，取2z =，可得()2,2,2n a =- ，易知平面1ACC 的一个法向量为()0,1,0m =，因为二面角1C AC F --的余弦值为13，则1cos ,3m n m n m n ⋅==⋅ ，解得1a =或3（舍），此时，112BF BB =，因此，在线段1BB 上存在一点F ，使得二面角1C AC F --的余弦值为13，且112BF BB =.（3）解：当F 为线段1BB 的中点时，即当1a =时，平面1AC F 的一个法向量为()2,1,2n =，()2,2,0AB =-，所以，点B 到平面1AC F 的距离为23AB n d n⋅== .19．已知椭圆2222:1(0),x y E a b c a b+=>>=，且过(2,0),1,c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点．(1)求椭圆E 的方程和离心率e ；(2)若经过(1,0)M 有两条直线12,l l ，它们的斜率互为倒数，1l 与椭圆E 交于A ，B 两点，2l 与椭圆E 交于C ，D 两点，P ，Q 分别是AB ，CD 的中点试探究：OPQ △与MPQ 的面积之比是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．【正确答案】(1)2214x y +=(2)4【分析】（1）由条件列关于,,a b c 的方程，解方程可得,,a b c ，由此可得椭圆方程；（2）设直线:1AB x my =+，（0m ≠且1m ≠±），联立直线AB 与椭圆E 的方程利用设而不求法求P 的坐标，再求点Q 的坐标，证明直线PQ 过定点4,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，再证明OPQ △与MPQ 的面积之比为定值.【详解】（1）由题意可得22222224111a e a b ce a a b c⎧=⎪⎪⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=+⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则E 的方程2214x y +=；（2）由已知可得直线AB 的斜率存在，且不为0，也不为1±，设直线:1AB x my =+，（0m ≠且1m ≠±），联立22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()224230m y my ++-=，方程()224230m y my ++-=的判别式()2241240m m ∆=++>，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，则12224m y y m -+=+，12234y y m -=+.所以102224y y my m +-==+，002414x my m =+=+，所以224,44m P m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，因为两直线斜率互为倒数，则1:1CD x y m=+，用1m 代换P 点坐标中的m 得2224,1414m m Q m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.所以()222222444111443144PQ m m m m m m k m m m -+++==---++，所以直线()222414:434m m PQ x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭即()241433m x y m +=+所以PQ 恒过定点4,03N ⎛⎫⎪⎝⎭，设点O 、M 到直线PQ 的距离分别是1d ，2d ，则11224132414123OPQ MPQPQ d S ON dS d MN PQ d =====-△△.OPQ △与MPQ 的面积之比是定值，定值为4.20．已知函数()()e 1sin R xf x a x a =--∈．(1)若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =-，求实数a 的值；(2)当2a =时，求()f x 在[0,π]上的最大值；(3)若对任意的[0,π]x ∈，恒有()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)2a =(2)πe 1-(3)(],1a ∈-∞【分析】（1）直接求导得出()01f '=-，解a 的值即可；（2）利用导函数判断()f x 在[0,π]上的单调性即可得出最大值；（3）利用导函数结合区间端点，分类讨论函数的单调性即可.【详解】（1）由()()e 1sin e cos x x f x a x f x a x -'=--⇒=，所以()01f a '=-，又曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为y x =-，即()011f a '=-=-，所以2a =；（2）当2a =时，()()e 12sin ,e 2cos x xf x x f x x '=--∴-=，由e cos x y y x ==、在[0π]，上分别单调递增、单调递减可得：()e 2cos x f x x '=-在[0π]，上单调递增，而()()π010,πe 20f f ''=-<=+>，即()00,πx ∃∈，使得()00f x '=，故()f x 在()00,x 上单调递减，()0,πx 上单调递增，且()()π00πe 1f f =<=-，即()f x 在[0,π]上的最大值为πe 1-；（3）∵[0π]x ∈，，()e cos xf x a x '=-，令()()()e sin xg x f x g x a x ''=⇒=+，①当0a <时，sin 0,e 10x a x ≤-≥，易知()e 1sin 0xf x a x =--≥在[0,π]x ∈上恒成立，当0x =时取得等号，符合题意；②当01a ≤≤时，易知sin 0a x ≥，则()e sin 0xg x a x '=+>在[0,π]x ∈上恒成立，即()f x '在[0,π]x ∈时单调递增，又()010f a '=-≥，故()f x 在[0,π]上单调递增，∵()00f =，∴恒有()0f x ≥，符合题意；③当1a >时，由②知()f x '在[0,π]x ∈时单调递增，而()()π010πe f a f a ''=-<<=+，即()00,πx ∃∈，使得()00f x '=，故()f x 在()00,x 上单调递减，()0,πx 上单调递增，又()00f =，则()()000f x f <=，不满足题意；综上当(],1a ∈-∞，能满足任意的[0,π]x ∈，恒有()0f x ≥.21．在2n n n ⨯≥（）个实数组成的n 行n 列的数表中，ij a 表示第i 行第j 列的数，记12(1)i i i in r a a a i n =+++≤≤ ，12(1).j j j nj c a a a j n =+++≤≤ 若ij a ∈{}1,0,1(1,),i j n -≤≤，且1212,,,,,,,n n r r r c c c 两两不等，则称此表为“n 阶H 表”，记{}1212,,,,,,,.n n n H r r r c c c = (1)请写出一个“2阶H 表”；(2)对任意一个“n 阶H 表”，若整数[],,n n λ∈-且n H λ∉，求证：λ为偶数；(3)求证：不存在“5阶H 表”.【正确答案】(1)答案见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)根据定义列出2阶H 表即可;(2)对“n 阶H 表”，整数[],,n n λ∈-应用110nni j i j r c λ==++=∑∑结论得证;(3)应用反证法结合定义可证.【详解】（1）11-1（2）对任意一个“n 阶H 表”，i r 表示第i 行所有数的和，j c 表示第j 列所有数的和()1,i j n ≤≤，11n niji j r c==∑∑与均表示数表中所有数的和，所以11.n ni j i j r c ===∑∑因为{}1,0,1ij a ∈-，所以1r ，2r ，……，n r ，1c ，2c ，……，n c 只能取[-n ，n ]内的整数.又因为1r ，2r ，……，n r ，1c ，2c ，……，n c 互不相等，[],n n n H λλ∈-∉且，所以{λ，1r ，2r ，……，n r ，1c ，2c ，……，}{,1,n c n n =--+，……，-1，0，1，……，1}n n -，，所以11nni j i j r c λ==++=∑∑()()()110110.n n n n -+-+++-++++-+= 所以12ni i r λ==-∑偶数.（3）假设存在一个“5阶H 表”，则由（2）知5，-5，3，53H -∈，且54H ∈和54H -∈至少有一个成立，不妨设54H ∈设1255r r ==-，，则()121115j j a a j ==-≤≤，，于是()315j c j ≤≤≤，因而可设33132333435410r a a a a a ======，，①若3是某列的和，由于52c ≤，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即41511a a ==.现考虑-3，只能是4r 或5r ，不妨设43r =-，即424344451a a a a ====-，由2c ，3c ，4c 两两不等知52a ，53a ，54a 两两不等，不妨设525354101a a a =-==，，，若551a =-则530r c ==；若550a =，则541r c ==；若551a =，则530c c ==，均与已知矛盾.②若3是某行的和，不妨设43r =，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，不妨设4142431a a a ===，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设511a =-，525301a a ==，，则343c r ==，矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数为1，不妨设41424344450a a a a a =====，1，所以53r =-，第五行只能是2个，3个-1或1个1，4个-1，则51a ，52a ，55a 至少有两个数相同，不妨设5152a a =，则12c c =，与已知矛盾.综上，不存在“5阶H 表”.。
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2023届北京市西城区高三二模数学试卷(word版)
一、单选题
(★) 1. 复数的虚部为（）
A．B．
C．D．
(★★) 2. 已知集合，，则（）
A．B．
C．D．
(★★) 3. 已知抛物线与抛物线关于轴对称，则的准线方程是（）
A．B．
C．D．
(★★) 4. 在中，，则（）
A．B．
C．D．
(★★) 5. 设，，，则（）
A．B．
C．D．
(★★) 6. 将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为．若，则四面体的体积为（）
A．B．
C．D．
(★★★) 7. 已知数轴上两点的坐标为，现两点在数轴上同时相向运动．点的运动规律为第一秒运动个单位长度，以后每秒比前一秒多运动个单位长度；点的运动规律为每秒运动个单位长度．则点相遇时在数轴上的坐标为（）
A．B．
C．D．
(★★★) 8. 已知函数．则“”是“为偶函数”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
(★★) 9. 某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（）
A．B．
C．D．
(★★★★) 10. 在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是且落在整点处．则点到达点所跳跃次数的最小值是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
(★) 11. 函数的定义域为 _____________ .
三、双空题
(★★) 12. 设等比数列的前项和为，，，则 ____ ；使成立的的最小值为 ____ ．
四、填空题
(★★) 13. 在中，若，，，则 ____ ．
五、双空题
(★★★) 14. 已知两点．点满足，则的面积是 ____ ；的一个取值为 ____ ．
六、填空题
(★★★★) 15. 已知直线和曲线，给出下列四个结论：
①存在实数和，使直线和曲线没有交点；
②存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；
③存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；
④对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．
其中所有正确结论的序号是 ____ ．
七、解答题
(★★★) 16. 如图，在直三棱柱中，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
(★★) 17. 已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．
(1)求的值；
(2)当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．
条件①：；
条件②：是的一个零点；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(★★★) 18. 体重指数（，简称）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标．已知，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．对成人，若，则身体处于肥胖状态．某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取人，测量他们的体重（单位：）和身高（单位：），得到如下散点图（图中曲线表示
时体重和身高的关系），假设用频率估计概率．
(1)该企业员工总数为人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；
(2)从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，设其中体重在以上的人数为，估计的分布列和数学期望；
(3)从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，若其身体处于肥胖状态的概率小于，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）
(★★★) 19. 已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．
(★★★★) 20. 已知函数．
(1)求在区间上的最大值和最小值；
(2)若恒成立，求实数的值．
(★★★★) 21. 给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，
且．定义变换为“将数阵中第行和第列的
数都乘以”，其中．设
．将经过变换得到，经过变换
得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为．
(1)当时，设，，写出，并求；
(2)当时，对给定的数阵，证明：是的倍数；
(3)证明：对给定的数阵，总存在，使得．。