北师大版九年级下册数学第二章：2二次函数的图象与性质(4)(青岛市级公开课)(19张PPT)
1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(1)y=2x2-12x+3 (配方法) (2) y=3x2-6x+2(公式法)
开口向上 直线x=3 (3,-15) 开口向上 直线x=1 (1,-1) (3)y=-5x2+80x-319(代入法)
开口向下 直线x=8 (8, 1) 2.当火箭被竖直向上发射时,它的高度 h (m) 与时间 t(s) 的 关系可以用公式 h=-5t2+150t+10表示,经过多长时间,火箭 到达它的最高点？最高点的高度是多少？
二次函数y=ax2+bx+c (a ≠ 0)的图象是一条抛物线
顶点式
y=a(x+ b )2 + 4ac-b2
2a
4a
y=a(x－h)2 +k
对称轴是直线x=- b 顶点坐标是(- b ，4ac-b2 )
2a
2a 4a
用公式法求二次函数y=2x2-8x+7图象的 对称轴和顶点坐标。
根据公式法确定下列二次函数图象的对称轴和顶点 坐标。
通过本节课的学习， 你学习了哪些知识… 掌握了哪些数学思想方法…
将二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式
①配方法
对称轴：直线x=h
顶点坐标 : (h,k)
②公式法 对称轴：直线 x=- b
2a
③代入法
顶点坐标 : (- b ，4ac-b2 ) 2a 4a
通过本节课的学习， 你掌握了哪些知识… 应用了哪些数学思想方法…
图象开口 向上 ，对称轴是 直线x=-3 ， 顶点坐标是 (-3,-5) ，当x= -3 时,y有 最 小 值是 -5 。
生活中的数学
3.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，
O恰在水面中心，安置在柱子顶端A处的两个旋转喷头向外喷水，水流在各
个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任意平面上，抛物线
15s
1135m
3※若二次函数y=x2+bx+5 配方后为 y=(x-2)2+k,
则k,b的值分别为（ D ）
A. 5,0
B. 1,0
C. 5,-4 D. 1,-4
课本P41 随堂练习 习题2.5 问题解决第4题 ※课本P41 数学理解 第2题 问题解决第5题
谢 谢 大家
y=a(x-h)2+k（a<0） 向下
直线x=h
直线x=h
（h，k）
（h，k）
当x=h时,y有最小值为k. 当x=h时, y有最大值为k.
当x<h时,y随着x的增大而减小. 当x<h时,y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而增大. 当x>h时, y随着x的增大而减小.
2.二次函数 y=2(x+3)2 -5
?
用配方法求二次函数y=2x2-8x+7图象的 对称轴和顶点坐标。
题后反思： 1.选择最优的解题方法 2.用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式的步骤：
①提二次项系数； ②配方； ③化简
用配方法确定下列二次函数图象的对称轴
和顶点坐;7
(2) y=-2x2-12x+8
求二次函数y=ax²+bx+c图象的对称轴和顶点坐标．
y=2x2-4x-1
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，而且左、右两条抛
物线关于y轴对称。按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用 y= 9 x2 + 9 x+10 表示． 400 10
（1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ 1m
（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 40m
1
-20
20
形状如图所示。建立平面直角坐标系，右边一条抛物线水流喷出的高度
y（m）与水面距离x（m）之间的关系式是
y=-(x-1)2 +
5 2
y=-x2 +2x+ 3 2
5
5
(1)喷出的水流距水平面的最大高度是 2 米； 2
(2)两条水流最高点之间的距离是 2 米。
-1 1
y=2x2-8x+7 转化 y=a(x-h)2+k
城阳第十七中学
二次函数的一般形式是： y=ax2+bx+c (a ≠ 0)
二次函数的顶点式是： y=a(x-h)2+k (a ≠ 0)
y
10
二次函数y=a(x-h)2+k的性质
8
6
根据图象填表：
4
2 1
x
-4 -3 -2 -1
01 2 3 4
5
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
增减性
y=a(x-h)2+k（a>0） 向上
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT课件(第4课时)-北师大版九年级数学下册
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2，∴顶点坐标为(-1，2)． (2)①n=11． ②2≤n<11．
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-11-
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-5-
7．抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在 ( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．如图，二次函数y=ax2-bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐
标为-1，则一次函数y=(a-b)x+(a+b)的图象大致是 ( D )
第4课时二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-2-
知识点1二次函数y=ax2+bx+c的性质
1．二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是 ( A )
A．(-1，8) B．(1，8) C．(-1，2) D．(1，-4)
第二章
第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数图像及性质(第一课时)》公开课课件
为安全起见，你认为2m 宽的卡车应限高多少比 -4 较合适？
o
4x
-2
小结 二次函数 y ax2 c的图象及性质： (1)形状、对称轴、顶点坐标； (2)开口方向、极值、开口大小；
(3)对称轴两侧增减性。
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年3月29日星期二2022/3/292022/3/292022/3/29 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年3月2022/3/292022/3/292022/3/293/29/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/3/292022/3/29March 29, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
巩固 4、说出下列函数图象的性质：
(1) y 1 x2 2 (2) y 2x2 3 2
开口方向、对称轴、顶点、增减性。
范例：
例1、求符合下列条件的抛物线 y ax 2 1的函数关系式：
(1)经过点(-3，2)；
(2)与y 1 x2的开口大小相同，方向相反； 2
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4。
探究:
y
9
y x2
二、关于三条抛物 线，你有什么看法？
8 7 6
y x2 2
上下平移得到
5 4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 x
归纳
用平移观点看函数：
y
y ax2 c (c 0)
1. 抛物线 y ax2 c 可以看作是由
抛物线 y ax2平移得到。
北师大版九年级数学下册2.2.2《二次函数的图象与性质》课件
y=x2 二次函数y=x2、y=x2、
y= 12x2的图象都是抛物线、 开口方向、对称轴、顶点 坐标、增减性、最值都相同； 不同点是开口的大小不同.
1
x -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
峨山镇中学
探究学习，获取新知
(4)请同学们想一想,在 同一坐标系中作二次函 数y=2x2和y=-2x2的图象 会是什么样？ 二次函 数y=-x2和y=-2x2的图象 会是怎么样的，它们有 什么共同特点？
y=2x120 y
8 6 4
2
y=x2
-4 -2 O 2 4 x
y=-x2 y=-2x2
峨山镇中学
探究学习，获取新知
（5）你能说出抛物线y=ax2对称轴、顶点 坐标是什么吗？抛物线y＝ax2的开口方向 和开口大小与什么有关？你能说出其中的 规律吗？ 抛物线y=ax2的对称轴是y轴；
顶点坐标（0,0）； a的符号决定开口方向， 当a＞0时,开口向上； 当a＜0时,开口向下； a 决定开口大小，a 越大,开口越小．
峨山镇中学
探究学习，获取新知
二次函数 形状
y=x2
y=2x2 抛物线
开口方向
开口方向相同，都向上
对称轴
对称轴都是y轴（直线x=0）
顶点坐标 顶点都是原点，坐标为（0，0）．
相同点
增减性
在y轴左侧，都是y的值随x值的增大而减小； 在y轴右侧，都是y值随x值的增大而增大．
最值
都有最低点，即原点，即函数都有最小值， 当x=0时，y的值最小等于0．
(1)在下列平面直角坐标系中，作出y=2x2的图象
x
－2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2
y=2x2 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8
二次函数的图象与性质(第4课时)-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
∴a-1＞0，
解得a＞1．
故选：A．
3．点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，当x1
＞x2＞1时，y1与y2的大小是( )
A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【答案】D
【详解】解：∵抛物线y=(x-1)2-3，a=1＞0开口向上，
(3)将抛物线C先向左平移2个单位长度、再向上平移
1个单位长度后，所得抛物线为` ．请直接写出抛物
线` 的函数解析式．
【答案】(1)抛物线C的开口向下，对称轴为直线
x=1，顶点坐标为(1,2)；
(2)y的取值范围为-2≤y≤2；
(3)y=-(x+1)2+3
（1）
解：∵y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2，
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
对称轴为直线x=1，当x＞1时，y随x的增大而增大，
点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=(x-1)2-3上，
∴x1＞x2＞1，
∴y1＞y2．
故选：D．
4．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正
方形OABC的顶点A在y轴的负半轴上，点C在x轴的
正半轴上，经过点A、B的抛物线y=a(x-2)2+c(a＞0)
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图象与性质(4)》公开课课件.ppt
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y0.02x2 25 0.9x10 y0.02x2 25 0.9x10
0.02 x 225 2 0 1.
Y/m
且左右两条钢缆关于 y轴对称,
10
右边的钢缆的表达式为:
桥面 -5 0 5
x/m
y 0 .02 x 2 25 2 0 1 .
y0.02x2 25 0.9x1.
想一想
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2可以得到二次函数3(x-1)2+2的图象.
怎样直接作出 y3x26x5
函数y=3x2-6x+5 3x2 2x5
提取二次项系数
的图象?
3
1.配方:
老师提示:
3x22x1153配系方数绝:加对上值再一减半去的一平次方项
它的顶点 2ba,是 4a4cab2.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1 .y2x2 1x2 1;32.y 5x28x0 3;19
3.y2x1x2; 4 .y 3 2 x 1 2 x .
2
做一做
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角 标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示 而且左右两条抛物线关手y轴对称．
y0.02x2 25 0.9x10
Y/m
10
桥面 -5 0 5
x/m
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
⑶你是怎样计算的？与同伴交流.
2.2 二次函数的图象与性质 第4课时(教案)-北师大版数九年级下册
第4课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1.体会建立二次函数对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.能够利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决问题.1.经历二次函数对称轴和顶点坐标公式的探究过程,提高学生知识的转化能力.2.通过解决实际问题,训练学生把数学知识运用于实践的能力.通过数学活动,产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心.【重点】1.掌握运用配方法把一般式转化成顶点式的方法.2.能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式解决实际问题.【难点】用配方法推导y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习配方法和二次函数顶点式的有关知识.导入一:某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系:m=162-3x.请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)之间的函数关系式.学生分析数量关系:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x-30)(162-3x),即y=-3x2+252x-4860.问题这个二次函数关系式:y=-3x2+252x-4860与我们前面学的形如y=a(x-h)2+k(顶点式)的形式一样吗?[设计意图]通过两种函数表达式的对比,让学生产生认知冲突,初步感知一般式与顶点式之间的关系,为下面两者之间的转化打下了良好的基础.导入二:神舟十号是中国神舟号系列飞船之一,主要由推进舱(服务舱)、返回舱、轨道舱和附加段组成.神舟十号在酒泉卫星发射中心“921工位”,于2013年6月11日17时38分02.666秒,由长征二号F改进型运载火箭(遥十)“神箭”成功发射.在轨飞行十五天左右,加上发射与返回,其中停留天宫一号十二天,共搭载三位航天员——聂海胜、张晓光、王亚平.6月13日与天宫一号进行对接.6月26日回归地球.如下图所示,某种火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t2+150t+10表示.问题公式h=-5t2+150t+10和我们前面学过的二次函数的关系式一样吗?这样的函数的图象和性质又是怎样的呢?[设计意图]通过一些图片的欣赏,让学生感受国家的强大,身为一名中学生应树立“少年强,中国强”的意识,立志为建设强大的祖国努力学习.承接创设的问题情境,借助“火箭升空”问题引出本节课的内容,使学生的学习更有针对性,做到有的放矢.问题你能研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质吗?【学生活动】学生独立思考后,统一答案:研究二次函数y=2x2-4x+5的图象和性质的关键是把二次函数y=2x2-4x+5转化成y=a(x-h)2+k的形式.【师生活动】要求学生独立解决,师巡视,及时发现问题.代表展示,师生共同订正:解:y=2x2-4x+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1)+5-2=2(x-1)2+3.[设计意图]通过学生复习顶点式y=a(x-h)2+k,增强学生利用顶点式的意识,学生自然而然地要把y=2x2-4x+5转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式,为下面例题的解决奠定了良好的基础.求二次函数y=2x-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.解析:根据上面的分析,要求y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标,首先要利用配方法把y=2x2-8x+7转化成顶点式y=a(x-h)2+k的形式.【学生活动】要求学生先独立解决,然后同伴交流,相互订正.代表展示:解:y=2x2-8x+7=2(x2-4x)+7=2(x2-4x+4)-8+7=2(x-2)2-1.因此,二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,-1).【做一做】确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标:(1)y=3x2-6x+7;(2)y=2x2-12x+8.【学生活动】学生独立解答,代表展示,师生共同订正.解:(1)y=3x2-6x+7=3(x2-2x)+7=3(x2-2x+1)+7-3=3(x-1)2+4.因此,二次函数y=3x2-6x+7图象的对称轴是直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)y=2x2-12x+8=2(x2-6x)+8=2(x2-6x+9)+8-18=2(x-3)2-10.因此,二次函数y=2x2-12x+8图象的对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,-10).[设计意图]让学生在解题的过程中去总结、发现解决问题的方法和步骤,熟练掌握利用配方法求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法.2求二次函数y=ax+bx+c图象的对称轴和顶点坐标.【师生活动】学生小组讨论后,代表说明解题思路和方法,师生共同解答.解:把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方,得y=ax2+bx+c=a+c=a+c=a+.因此,二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=-,顶点坐标是.【教师点评】1.形如y=a(x-h)2+k的二次函数能够直接说出顶点坐标,所以我们把它叫做顶点式.2.至此,整个初中阶段的所有的二次函数的形式我们就都讨论过了.[设计意图]引导学生利用自己所掌握的配方法的思想逐步把二次函数的一般式转化为顶点式,使学生在推理转化的过程中体会不同形式之间的联系.感受数学的变换和迷人的魅力,从而更加喜欢数学.2【做一做】如图所示,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状,按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称.(1)钢缆的最低点到桥面的距离是多少?(2)两条钢缆最低点之间的距离是多少?你有哪些计算方法?与同伴交流.解析:解决实际应用问题的关键是什么.学生思考后回答:解决实际应用问题的关键是把实际问题转化为数学问题.【教师活动】提示学生本题可以运用不同的方法进行解答.【学生活动】学生讨论后,得出两种方法:(1)运用配方法转化成顶点式;(2)总结运用公式.解法1:y=x2+x+10=(x2+40x)+10=(x2+40x+400-400)+10=(x+20)2+1.∴对称轴为直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).解法2:这里a=,b=,c=10,∴-=-=-20,===1,∴对称轴是直线x=-20,顶点坐标为(-20,1).(1)钢缆的最低点到桥面的距离是1m.(2)两条钢缆最低点之间的距离是2×20=40(m).[设计意图]让学生学会从数学角度提出问题、分析问题,并能综合运用所学知识和技能解决问题,发展学生的应用意识,让学生进一步体会在实际问题中利用数学模型来解决实际问题的过程.求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:(1)配方法:y=ax2+bx+c y=a(x-h)2+k.(2)公式法:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.1.(2014·新疆中考改编)对于二次函数y=(x-1)2+2的图象,下列说法正确的是()A.开口向下B.对称轴是直线x=-1C.顶点坐标是(1,2)D.与x轴有公共点解析:二次函数y=(x-1)2+2的图象开口向上,顶点坐标为(1,2),对称轴为直线x=1,抛物线与x轴没有公共点.故选C.2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的大致图象为()解析:∵二次函数图象开口方向向上,∴a>0.∵对称轴为直线x=->0,∴b<0.∵与y轴的正半轴相交,∴c>0,∴y=ax+b的图象经过第一、三象限,且与y轴的负半轴相交,反比例函数y=的图象在第一、三象限,只有B选项图象符合.故选B.3.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10),则a-b+c=.解析:将(-1,10)代入y=ax2+bx+c,得a-b+c=10.故填10.4.某市政府大楼前广场有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:m)的一部分,则水喷出的最大高度是m.解析:∵水在空中喷出的曲线是抛物线y=-x2+4x的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中喷出的抛物线y=-x2+4x的顶点坐标的纵坐标,∵y=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴顶点坐标为(2,4),∴水喷出的最大高度为4m.故填4.5.写出下面抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.(1)y=-2x2+6x;(2)y=x2+2x-3.解:(1)y=-2x2+6x=-2(x2-3x)=-2+=-2+,开口向下,对称轴是直线x=,顶点坐标为.(2)y=x2+2x-3=(x2+4x)-3=(x2+4x+4)-2-3=(x+2)2-5,开口向上,对称轴是直线x=-2,顶点坐标为(-2,-5).第4课时求二次函数图象的对称轴和顶点坐标的方法:1.配方法:一般式:y=ax2+bx+c顶点式:y=a(x-h)2+k.2.公式法:二次函数y=ax2+bx+c:①对称轴是直线x=-;②顶点坐标是.一、教材作业【必做题】1.教材第41页随堂练习.2.教材第41页习题2.5第1,2,3题.【选做题】教材第41页习题2.5第4,5题.二、课后作业【基础巩固】1.二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的坐标满足下表:x…-3-2-101…y…-3-2-3-6-11…则该函数图象的顶点坐标为()A.(-3,-3)B.(-2,-2)C.(-1,-3)D.(0,-6)2.(2015·黔西南中考改编)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,下列说法中错误的是()A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,-3)B.顶点坐标是(1,-3)C.函数图象过点(3,0),(-1,0)D.当x<0时,y随x的增大而减小3.(2015·常州中考)二次函数y=-x2+2x-3图象的顶点坐标是.4.已知抛物线y=-x2+2x+2.(1)该抛物线的对称轴是直线,顶点坐标为;(2)选取适当的数据填入下表,并在下图的直角坐标系内描点画出该抛物线;xy(3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足x1>x2>1,试比较y1与y2的大小.【能力提升】5.(2015·荆州中考)将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为()A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+66.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c的图象不经过第象限.7.一名男生推铅球,铅球行进高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)之间的关系是y=-x2+x+,铅球运行路线如图所示.(1)求铅球推出的水平距离;(2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4m.8.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0),B(3,0),且过点C(0,-3).(1)求抛物线的解析式和顶点坐标;(2)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在直线y=-x上,并写出平移后抛物线的解析式.【拓展探究】9.(2014·绍兴中考)若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.(2)探究下列问题:①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应的函数的特征数;②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?【答案与解析】1.B(解析:∵x=-3和-1时的函数值都是-3,相等,∴二次函数图象的对称轴为直线x=-2,∴顶点坐标为(-2,-2).)2.B (解析:A ,∵y =x 2-2x -3,∴当x =0时,y =-3,∴函数图象与y 轴的交点坐标是(0,-3),故本选项说法正确;B ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴顶点坐标是(1,-4),故本选项说法错误;C ,∵y =x 2-2x -3,∴当y =0时,x 2-2x -3=0,解得x =3或x =-1,∴函数图象过点(3,0),(-1,0),故本选项说法正确;D ,∵y =x 2-2x -3=(x -1)2-4,∴对称轴为直线x =1,又∵a =1>0,图象开口向上,∴当x <1时,y 随x 的增大而减小,∴当x <0时,y 随x 的增大而减小,故本选项说法正确.故选B .)3.(1,-2)(解析:∵y =-x 2+2x -3=-(x 2-2x +1)-2=-(x -1)2-2,∴顶点坐标是(1,-2).故填(1,-2).)4.解:(1)x =1(1,3)(2)填表及画抛物线如下:x …-10123…y …-1232-1…(3)因为在对称轴直线x =1右侧,y 随x 的增大而减小,又x 1>x 2>1,所以y 1<y 2.5.B (解析:将y =x 2-2x +3化为顶点式,得y =(x -1)2+2.将抛物线y =x 2-2x +3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y =(x -4)2+4.故选B .)6.四(解析:根据图象得:a <0,b >0,c >0,故一次函数y =bx +c 的图象不经过第四象限.)7.解:(1)当y =0时,-x 2+x +=0,解得x 1=10,x 2=-2(不合题意,舍去),所以铅球推出的水平距离是10m .(2)y =-x 2+x +=-(x 2-8x +16-16)+=-(x 2-8x +16)++=-(x -4)2+3.当x =4时,y 取最大值3,所以铅球行进高度不能达到4m ,最高能达到3m .8.解:(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0),B(3,0),∴可设抛物线解析式为y=a(x-1)(x-3),把C(0,-3)代入,得3a=-3,解得a=-1,故抛物线解析式为y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3.∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴顶点坐标为(2,1).(2)答案不唯一,如:先向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为y=-x2,平移后抛物线的顶点为(0,0),落在直线y=-x上.9.解:(1)由题意可得出y=x2-2x+1=(x-1)2,∴此函数图象的顶点坐标为(1,0).(2)①由题意可得出:y=x2+4x-1=(x+2)2-5,∴将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到y=(x+1)2-4=x2+2x-3的图象,∴图象对应的函数的特征数为[2,-3].②∵一个函数的特征数为[2,3],∴函数解析式为y=x2+2x+3=(x+1)2+2.∵一个函数的特征数为[3,4],∴函数解析式为y=x2+3x+4=+,∴将原函数的图象先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度就可以得到.本节课的内容较多,整体上难度较大,所以需要学生比以往的课更要集中精力,所以上课伊始就设计一些情境,吸引了学生的注意力,充分调动学生学习的热情,并对学生进行爱国主义教育,以达到触动学生心灵的目的,从而更好地进入学习状态.本节课的重点是用配方法求二次函数图象的对称轴及顶点坐标,对学生来说会感觉有难度,所以可以要求学生在上课前对配方法进行复习,以简化配方法的难度.通过对实际应用题的解答让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用,再次感悟数学源于生活又服务于生活.在学生归纳二次函数性质的时候,由于引导不力,学生归纳得比较片面或者没有找出关键点.教师要注意引导学生从多个角度进行考虑,而且要组织学生展开充分的讨论,对大家的观点集中考虑,这样有利于训练学生的归纳能力.随堂练习(教材第41页)解:(1)直线x=3;(3,-15).(2)直线x=8;(8,1).(3)直线x=1.25;(1.25,-1.125).(4)直线x=0.75;(0.75,9.375).习题2.5(教材第41页)1.解:(1)开口向上,对称轴:直线x=2,顶点坐标为(2,5).(2)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-3).(3)开口向上,对称轴:直线x=1,顶点坐标为(1,-1).(4)开口向下,对称轴:直线x=-6,顶点坐标为(-6,27).2.解:y=x2-2x+1=(x-1)2,将二次函数y=(x-1)2的图象向上平移2个单位长度,再向左平移3个单位长度就得到二次函数y=(x+2)2+2的图象.y=(x+2)2+2=x2+4x+6,所以b=4,c=6.这条抛物线的开口向上,对称轴为直线x=-2,顶点坐标为(-2,2).=1135,即经3.解:∵h=-5t2+150t+10=-5(t2-30t-2)=-5[(t-15)2-227]=-5(t-15)2+1135.∴当t=15时,h最大过15s时,火箭到达它的最高点,最高点的高度是1135m.4.解:(1)当0≤x<13时,学生的接受能力逐渐增强;当13≤x≤30时,学生的接受能力逐渐降低.(2)经过13min,学生的接受能力最强.5.提示:y=(x-20)2+1,即y=x2-x+10.1.由于本节课的重点是利用配方法把二次函数的一般式y=ax2+bx+c转化成顶点式y=a(x-h)2+k,所以课前对一元二次方程中配方法知识的复习就显得尤为重要.2.本节课整体难度较大,只靠学生自己的能力达不到最好的效果,所以要引导学生积极、主动地与其他同学进行合作交流,并加强对配方法的巩固练习,为公式法的得出奠定良好的基础.3.对于公式法的推导,由于难度较大,所以可以采用师生合作的方式共同完成.已知:二次函数y=-x2+2x+3.(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标.(2)画出函数图象.(3)根据图象:①写出函数值y为正数时,自变量x的取值范围;②写出当-2<x<2时,函数值y的取值范围.〔解析〕(1)配方后即可确定顶点坐标及对称轴.(2)确定顶点坐标及对称轴、与坐标轴的交点坐标即可作出函数图象.(3)根据图象利用数形结合的方法确定答案即可.解:(1)y=-x2+2x+3=-(x2-2x+1-4)=-(x-1)2+4,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,4).(2)抛物线与x轴交于(-1,0)和(3,0),与y轴交于点(0,3),故图象如下图所示:(3)①当y为正数时,-1<x<3.②当-2<x<2时,-5<y<4.[解题策略]本题考查了二次函数的性质,解题的关键是确定对称轴及顶点坐标并作出图象.。
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图象与性质》优质课课件
y
y x2
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
y
当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1
y x2
当x=1时,y= -1 当x=2时,y= -4
当x>0 (在对称轴的右 侧)时, y随着x的增大 而减小.
当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而增大.
抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点 外),顶点是它的最高点,开口向下,并 且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值 最大,最大值是0.
做一做 y
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
y
y=x2
0 x
它们之 间有何 关系？
?
0
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
y x2
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=x2 （0，0）
y= -x2 （0，0）
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做得法，也会成为不平凡的人。 •12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。 •13、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。 •14、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。 •15、生活即教育，社会即学校，教学做合一。 •16、当在学校所学的一切全都忘记之后，还剩下来的才是教育。2021年10月21日星期四2021/10/212021/10/212021/10/21 •17、播种行为，可以收获习惯；播种习惯，可以收获性格；播种性格，可以收获命运。2021年10月 2021/10/212021/10/212021/10/2110/21/2021 •18、我们发现了儿童有创造力，认识了儿童有创造力，就须进一步把儿童的创造力解放出来2021/10/212021/10/21October 21, 2021 •19、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。 2021/10/212021/10/212021/10/212021/10/21
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y
y=− +2
1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而 当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数图像及性质(第一课时)》公开课课件
2
1
-4 -3 -2 -1-01 1 2 3 4 x
-2
归纳 二次函数 y ax2 c的图象及性质：
1.图象是一条抛物线，对称轴为y轴， 顶点为(0，c)。
归纳 二次函数 y ax2 c的图象及性质：
2.当a>0时，开口向上； 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大； 当x=0时，y取最小值为c。
8 7
y x2 2
6
5
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1-10 1 2 3 4 x
-2
探究 三、观察三条抛物线： (3)对称轴是什么？
对称轴是y轴
9 8 7 6 5 4
y y x2 3
y x2
y x2 2
3
2
1
-4 -3 -2 -1--120 1 2 3 4 x
探究
y
9
三、观察三条抛物线： 8
范例：
例1、求符合下列条件的抛物线 y ax 2 1的函数关系式：
(1)经过点(-3，2)；
(2)与y 1 x2的开口大小相同，方向相反； 2
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4。
巩固
5所、示已，知则一二次次函函数数yyaaxx2
c的图象如图 c的图象大
致是如y下图的( ) y
y y ax c
1.2 二次函数的图象与性质
（第1课时）
2015--8--22
复习:
1、二次函数 y ax2的图象及、性质：
(1)图象是
；
y y 2x2
(2)顶点为 对称轴为
， ；
o
y
x
1
x2