北师大版九年级数学下册_第二章_二次函数_2.5_二次函数与一元二次方程_同步训练(有答案)
北师大九年级数学下册第二章二次函数２．５二次函数与一元二次方
程同步训练
学校：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿考号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
一、选择题（本题共计８小题，每题３分，共计２４分，）１．抛物线y＝x２−mx−n２（mn≠０），则图象与x轴交点为（）Ａ．二个交点Ｂ．一个交点Ｃ．无交点Ｄ．不能确定２．若抛物线y＝x２＋px＋q的图象与x轴只有一个交点，则q等于（）
Ａ．p
２Ｂ．−１
２
Ｃ．p２
４
Ｄ．−p２
４
３．已知二次函数y＝２mx２＋（４m−１）x−１与x轴交点的横坐标为x
１
，x２，且x１＜x２，则下列结论中：
①方程２mx２＋（４m−１）x−１＝０有两个不相等的实数根x１，x２；②当x＝−２时，y＝１；③当x＜x１时，y＞０；④x１＜−１，x２＞−１．
其中正确的结论是（）
Ａ．①③④Ｂ．①②Ｃ．①②③Ｄ．①②④４．下列表格是二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠０）的自变量x与函数y的一些对应值．由此可以判断方程ax２＋bx＋c＝０（a≠０）的一个根在（）
Ａ．６．１７−６．１８之间Ｂ．６．１８−６．１９之间
Ｃ．６．１９−
６．２０之间
Ｄ．不确定
５．如图，抛物线y＝x２＋m与直线y＝x的交点A、B的横坐标分别是−１和２，则关于x的不等式x２＋m＋x＜０的解集是（）
Ａ．−１＜x＜２Ｂ．x＜−１或x＞２
Ｃ．−２＜x＜１Ｄ．x＜−２或x＞１
６．二次函数y＝ax２的图象如图所示，则不等式ax＞a的解集是（）
Ａ．x＞１Ｂ．x＜１Ｃ．x＞−１Ｄ．x＜−１
７．若抛物线y＝x２−２x＋c与y轴的交点为（０， −３），则下列说法
不正确的是（）
Ａ．抛物线开口向上
Ｂ．抛物线与x轴的交点为（−１， ０），（３， ０）
Ｃ．当x＝１时，y的最大值为−４Ｄ．抛物线的对称轴是直线x＝１
８．已知二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠０）的顶点坐标（−１， −３．２）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax２＋bx＋c＝０的两个根分别是x１＝１．３和x２＝（）
Ａ．−１．３Ｂ．−２．３Ｃ．−０．３Ｄ．−３．３
二、填空题（本题共计１０小题，每题３分，共计３０
分，）
９．已知抛物线y＝x２−６x＋５，则满足y＜０的x取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．
１０．抛物线y＝ax２＋bx＋c的部分图象如图所示，则关于x的不等式ax２＋bx＋c＋２＞０的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿．
，−１，则抛物线y＝２x２−１１．已知方程２x２−３x−５＝０两根为５
２
３x−５与x轴两个交点间距离为＿＿＿＿＿＿＿＿．
１２．函数y＝x２−２x−３，当y＜０时，x的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿；当−１＜x＜２时，y的取值范围为＿＿＿＿＿＿＿＿．
１３．函数y＝ax２−（３a＋１）x＋２a＋１（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则a＝＿＿＿＿＿＿＿＿．
１４．在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x２和直线y＝−x＋３，利用两图象交点的横坐标来求一元二次方程x２＋x−３＝０的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线y＝x２−３和直线y＝−x，用它们交点的横坐标来求该方程的解．所以求方程６
−x２＋３＝０的近似解也
x
可以利用熟悉的函数＿＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿的图象交点的横坐标来求得．
１５．已知函数y＝x２与y＝−x＋１图象交点的横坐标就是一元二次方程
的交点A的横坐标y＝x２＋x−１的解，如图，抛物线y＝x２＋１与双曲线y＝k
x
＋x２＋１＜０的解集是＿＿＿＿＿＿＿＿．
是１，则关于x的不等式k
x
１６． 若二次函数y ＝ax ２＋３x −１与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿．
１７． 若函数y ＝mx ２−６x ＋２的图象与x 轴只有一个公共点，则m ＝＿＿＿＿＿＿＿＿．
１８． 如图，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x ２＋bx ＋c 都经过点A （１， ０）和B （３， ２），不等式x ２＋bx ＋c ＞x ＋m 的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿．
三、 解答题 （本题共计 ６ 小题 ，共计４６分 ， ） １９．（７分） 已知抛物线y ＝x ２＋３x 与x 轴交于A 、B 两点，在x 轴上方的抛物线上存在一点P ，使△PAB 的面积等于３，
（１）求A 、B 两点的坐标； （２）求出点P 的坐标．
２０．（７分） 已知关于x 的二次函数y ＝x ２＋２x ＋１−m ２（m 为常数且m ＜０）．
（１）求证：此抛物线与x 轴总有两个交点；
（２）设抛物线与x 轴两个交点横坐标为x １，x ２且有x １２−x ２
２＝２，求m 的值．
２１．（８分）已知抛物线的顶点坐标为（−１， ２），且过点（１， −２）．
（１）求该抛物线的解析式；
（２）写出与x轴的交点坐标．
２２．（８分）观察函数y＝x２−３x＋２的图象，回答下列问题：（１）当x取何值时，y＞０？
（２）当x取何值时，y＝０？
（３）当x取何值时，y＜０？
２３．（８分）已知二次函数的图象经过A（３， ０），B（０， −３），C（−２， ５）三点．
（１）求这个函数的解析式及函数图象顶点P的坐标；
（２）画出二次函数的图象（要列表画图）并求四边形OBPA的面积．
（３）观察图象：x为何值时，y＞０，y＜０？
２４．（８分）如图，二次函数的图象与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．
（１）求D点的坐标；
（２）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．
答案
１．Ａ
２．Ｃ
３．Ｂ
４．Ｂ
５．Ｃ
６．Ｂ
７．Ｃ
８．Ｄ
９．１＜x＜５
１０．−４＜x＜２
１１．７
２
１２．−１＜x＜３−４＜y＜０
１３．０或−１
２
或−１
１４．y＝６
x
y＝x２−３
１５．−１＜x＜０
１６．a＞−９
４
且a≠０
１７．０或９
２
１８．x＜１或x＞３
１９．解：（１）令y＝０，则x２＋３x＝０．
所以x（x＋３）＝０，
解得x１＝０，x２＝−３，
故A（０， ０），B（−３， ０）；（２）设P（x， x２＋３x）（−３＜x＜０）．则
１２AB⋅｜x２＋３x｜＝３，即１
２
×３×｜x２＋３x｜＝３，
所以x ２＋３x −２＝０， 解得x ＝
−３＋√１７
２
或x ＝
−３−√１７
２
（不合题意，舍去）．
故点P 的坐标是（
−３＋√１７
２
， ２）．
２０． 解：（１）证明：当y ＝０时得方程x ２＋２x ＋１−m ２＝０， △＝４−４×１×（１−m ２）＝４−４＋４m ２＝４m ２， ∵m ＜０， ∴４m ２＞０， 即△＞０，
∴此抛物线与x 轴总有两个交点；（２）解：由题意，x １、x ２是方程x ２＋２x ＋１−m ２＝０的两根x １＋x ２＝−２， 而x
１
２
−x ２
２
＝（x １−x ２）（x １＋x ２）＝２，
∴−２（x １−x ２）＝x １−x ２＝−１，
由此得到x １＜x ２，而（x ＋１）２＝m ２因此x ＝m −１或−m −１， ∴m ＜０，
∴m −１＜−m −１，
∴x １＝m −１，x ２＝−m −１， ∴m −１−（−m −１）＝２m ＝−１， ∴m ＝−１２
．
２１． 解：（１）∵抛物线顶点坐标（−１， ２）， ∴设抛物线解析式为y ＝a （x ＋１）２＋２， ∵抛物线经过点（１， −２），
∴a（１＋１）２＋２＝−２，
解得：a＝−１，
则该抛物线解析式为y＝−（x＋１）２＋２；（２）令y＝０，则−（x＋１）２＋２＝０，
解得x＋１＝±√２，即x
１＝√２−１，x
２
＝−√２−１，
则该抛物线与x轴的交点坐标（√２−１， ０），（−√２−１， ０）；
２２．解：根据图象可得函数与x轴的交点是（１， ０）和（２， ０）．（１）当x＜１或x＞２时，y＞０；
（２）当x＝１或２时，y＝０；
（３）当１＜x＜２，y＜０．
２３．解：（１）设此函数的解析式为y＝ax２＋bx＋c（a≠０），
∵二次函数的图象经过A（３， ０），B（０， −３），C（−２， ５）三点，
∴{０＝９a＋３b＋c
−３＝c
５＝４a−２b＋c
，解得{
a＝１
b＝−２
c＝−３
，
∴二次函数的解析式为y＝x２−２x−３＝（x−１）２−４，∴函数图象顶点P的坐标为（１， −４）；
（２）如图所示，连接OP，
则S
四边形OBPA ＝S△OBP＋S△OAP＝１
２
×３×１＋１
２
×３×４＝３
２
＋６＝１５
２
；
（３）∵由函数图象可知，此函数图象与x轴的交点为（−１， ０），（３， ０），
∴当x＜−１或x＞３时，y＞０；
当−１＜x＜３时，y＜０．
＝−１，２４．解：（１）由图可知，二次函数的对称轴为直线x＝−３＋１
２
∵点C、D是二次函数图象上的一对对称点，
∴点D的横坐标为−１×２−０＝−２，
∴点D的坐标为（−２， ３）；（２）由图可知，一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x＜−２或x＞１．。
数学北师大版九年级下册二次函数与一元二次方程的关系.5 二次函数与一元二次方程(第1课时) 演示文稿
思考：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一 次方程kx＋b＝0的根有什么关系？
一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标 就是一元一次方程kx＋b＝0的根.
探究一：
1.函数y＝x2＋4x－5与x轴 的交点坐标 解： 2.函数y＝x2－2x－3的图象 与x轴的交点为 方程x2－2x－3 ＝0的两根是
巩固：
若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的个交点坐标分别是 A（
X1，0 ），
B（
X2，0 ）
探究二
求二次函数y=x²+2x,y=x²-2x+1,y=x²-2x+2
与x轴的交点坐标。
观察判断下列图象哪个有可能是抛 2 x 2 x 3 的图象？ 物线 y
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程的关系
（第1课时）
温故知新
－2 ， 0 ） （1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（ 一元一次方程x＋2＝0的根为________ x= －2
0 （2)一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点（2 ，） x= 2 一元一次方程－3x＋6＝0的根为________
y y
A.
O x
B.
O
x
y
y
C.
√
D.
x
O
x
O
议一议
2 二次函数 y ax bx c 的图象与x轴的交点有三种 情况：
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有三种情况：
有两个交点
有一个交点
有两个不相等的实数根
有两个相等的实数根
北师大版九年级数学下册：.1二次函数和一元二次方程关系课件
反过来，解方程x2－4x－3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x－3 的值为0，求自变量x的值．
19
10
回课顾堂与练思习
(1)抛物线y=x2+3x+2与x轴的交点个数是 （ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
的图象如下图，与同伴交流并回答问题.
19
5
二次函数y=x2+2x的图象 与x轴有几个交点？
一元二次方程x2+2x=0 有几个根？
解：x(xHale Waihona Puke 2)=0 ∴ x1=-2，x2=0
与x轴有2个交点：
方程的根是-2和0
（-2，0）和（0，0）
19
6
二次函数y=x2-2x+1
一元二次方程x2-2x+1=0
②方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1，x2=3； ③当x＞1时，y随x值的增大而减小；
④当y＞0时，-1＜x＜3．
其中正确的说法是
（）
A．①
y
B．①②
C．①②③ D．①②③④
－1 O
1
3
x
19
12
(5) 二次函数y=kx2-2x-1的图象与x轴有交点，则
k的取值范围是（ ）
A. k>-1
B. k≥-1且k≠0
二次函数 与一元二
次方程
二次函数与 一元二次方 程根的情况
二次函数与x轴的交点个数
判别式Δ 的符号
一元二次方 程根的情况
19
19
(2)抛物线y=2x2+8x+m与x轴只有一个公共点， 则m的值是________.
九年级数学下册 2.5 二次函数与一元二次方程 求根公式验证素材 (新版)北师大版
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2022/5/72022/5/72022/5/72022/5/7
谢谢收看
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年5月7日 星期六2022/5/72022/5/72022/5/7
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15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。2022年5月 2022/5/72022/5/72022/5/75/7/2022
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16、业余生活要有意义，不要越轨。2022/5/72022/5/7May 7, 2022
先求出一元二次方程x2+2x-1=0的根， 再结合二次函数y=x2+2x-1的图像.求 出使y=x2+2x-1>0和y=x2+2x-1<0时， x的取值范围. 解：根据求根公式可以得x2+2x-1=0 的根为 x1=-1- 2 ，x2=-1+ 2 .
二次函数y=x2+2x-1的图像如下.
y y=x2+2x-1
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11、人总是珍惜为得到。2022/5/72022/5/72022/5/7M ay-227-May-22
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12、人乱于心，不宽余请。2022/5/72022/5/72022/5/7Saturday, May 07, 2022
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/5/72022/5/72022/5/72022/5/75/7/2022
-2 O 1
-3x1 -1 x2 2
x
根据图像可以知，当x<x1或者x>x2时， y=x2+2x-1>0；当x1<x<x2时，y<0.
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。2022/5/72022/5/7Saturday, May 07, 2022
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1
北师大版数学九年级下册2.5《二次函数与一元二次方程》教学设计1一. 教材分析《二次函数与一元二次方程》是北师大版数学九年级下册第2.5节的内容。
这部分内容是在学生已经掌握了函数和方程的基础知识上进行教学的，主要让学生了解二次函数与一元二次方程之间的关系，并通过实际问题培养学生的数学应用能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于函数和方程的基础知识也有了一定的了解。
但是，对于二次函数与一元二次方程之间的关系，以及如何运用二次函数解决实际问题，部分学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例讲解和练习，帮助他们理解和掌握。
三. 教学目标1.理解二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.学会运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的数学应用能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.二次函数与一元二次方程之间的关系。
2.如何运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法进行教学。
通过实例讲解，引导学生主动探究二次函数与一元二次方程之间的关系，培养学生的自主学习能力。
同时，通过小组合作解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学PPT。
2.相关案例和练习题。
3.投影仪和白板。
七. 教学过程导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：“某商品打8折后的售价为120元，求原价。
”引导学生思考如何用数学知识解决这个问题。
呈现（10分钟）通过PPT呈现二次函数和一元二次方程的定义，讲解二次函数与一元二次方程之间的关系。
以商品打折问题为例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用二次函数和一元二次方程的知识进行解决。
教师巡回指导，帮助学生解决问题。
巩固（10分钟）教师选取几个学生解决的实际问题，进行讲解和分析，巩固学生对二次函数与一元二次方程之间关系的理解。
北师版九年级数学下册第 2.5.1《二次函数和一元二次方程根的关系》 培优训练(含答案)
北京版九年级数学上册2.5.1《二次函数与一元二次方程根的关系》培优训练一、选择题（共10小题，3*10=30）1．小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( ) A．无解B．x＝1C．x＝－4 D．x1＝－1，x2＝43．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点是(m，0)，则代数式m2－m＋2018的值为( ) A．2016 B．2017 C．2018 D．20194. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是( )A．－1＜x＜5 B．x＞5C．x＜－1且x＞5 D．x＜－1或x＞55．二次函数y＝x2－2(m＋1)x＋4m的图象与x轴的关系是( )A．没有交点B．只有一个交点C．只有两个交点D．至少有一个交点6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )A．c＞－1 B．b＞0C．2a＋b≠0 D．9a2＋c＞3b7. 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，则下列结论不正确的是( )A．a＜0 B．当－1<x<3时，y＞0C．c<0 D．当x＞1时，y随x的增大而减小8. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)经过点(－1，0)，(0，3)，其对称轴在y轴右侧．有下列结论：①抛物线经过点(1，0)；②方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等的实数根；③－3＜a＋b＜3.其中，正确结论的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．39．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( )A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝510．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y1)，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4a;②若－1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；其中正确结论的个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为___________.12．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1＝1，x2＝2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点坐标分别为_______________________.13. 已知：二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为______________________.14．如图是函数y＝ax2＋bx＋c的图象，则关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是_____________________．15. 已知二次函数y＝x2－4x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(5，0)，则关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两个实数根是________________．16. 若函数y＝x2＋(m＋2)x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为_________．17．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论，其中结论错误的个数是_____．①4ac－b2<0；②4a＋c<2b；③3b＋2c<0.18. 如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点的坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是_________ ．三．解答题（共7小题，46分）19．(6分) 若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，求关于x的方程x2＋mx＝7的解.20．(6分) 已知k是常数，抛物线y＝x2＋(k2＋k－6)x＋3k的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．求k的值；21．(6分)在体育测试时，九(1)班一名同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图，如果这个男同学出手处A点的坐标为(0，2)，铅球经过路线的最高处B的坐标为(6，5)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)求铅球掷出的最远距离．22．(6分)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x ＋m过顶点C和点B.(1)求m的值．(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的表达式．23．(6分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1.(1)求证：2a＋b＝0；(2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．24．(8分) 已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．25．(8分) 已知关于x的方程kx2＋(2k＋1)x＋2＝0.(1)求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；(2)当抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋2与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P(a，y1)，Q(1，y2)是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；(3)已知抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋2恒过定点，求出定点坐标．参考答案1-5DADAD 6-10 DCCDB11. －112. (1，0)，(2，0)13. x 1＝－1，x 2＝314. 有两个相等的实根15．x 1＝5，x 2＝－116．0或－417．118. x ＝－2，x ＝119. 解：∵二次函数y ＝x 2＋mx 的图象的对称轴是直线x ＝3，∴－m 2＝3，解得m ＝－6. ∴关于x 的方程x 2＋mx ＝7可化为x 2－6x －7＝0，即(x ＋1)(x －7)＝0，解得x 1＝－1，x 2＝7.20. 解：∵抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 的对称轴是y 轴，∴k 2＋k －6＝0，解得k 1＝－3，k 2＝2.又∵抛物线y ＝x 2＋(k 2＋k －6)x ＋3k 与x 轴有两个交点，∴Δ＝0－4×1×3k ＝－12k ＞0，即k ＜0. ∴k ＝－3.21. 解：(1)设表达式为y ＝a(x －6)2＋5，把(0，2)代入解得a ＝－112， ∴二次函数的表达式为y ＝－112(x －6)2＋5 (2)依题意得：－112(x －6)2＋5＝0，(x －6)2＝60.x 1＝6＋215， x 2＝6－215.所以铅球掷出的最远距离是6＋21522. 解：(1)将点(0，－3)的坐标代入y ＝x ＋m ，得m ＝－3.(2)将y ＝0代入y ＝x －3，得x ＝3，∴B(3，0)．将点(0，－3)和点(3，0)的坐标分别代入y ＝ax 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，9a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－3.∴y ＝13x 2－3. 23. 解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝1得，－b 2a＝1，∴2a ＋b ＝0 (2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8与y ＝ax 2＋bx ＋3有相同的对称轴，即直线x ＝1，且关于x 的方程ax 2＋bx －8＝0的一个根为4，∴关于x 的方程ax 2＋bx －8＝0的另一个根x 2满足：1－x 2＝4－1.∴x 2＝－2，即方程的另一个根为－224. 解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝x 2－4x ， 化简可得：x 2－(4＋k)x －1＝0，∵Δ＝(4＋k)2＋4＞0，故直线l 与该抛物线总有两个交点(2)当k ＝－2时，∴y ＝－2x ＋1，∴联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4x ，y ＝－2x ＋1得x 2－4x ＝－2x ＋1， 解得x 1＝1＋2，x 2＝1－2，∴x 1－x 2＝22，设直线y ＝－2x ＋1与y 轴交于C 点，则C(0，1)，S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12×OC ×(x 1－x 2)＝12×1×22＝2 25. 解：(1)当k ＝0时，原方程可化为：x ＋2＝0，此时方程的根为x ＝－2.当k ≠0时，则Δ＝b 2－4ac ＝(2k ＋1)2－8k ＝4k 2＋4k ＋1－8k ＝(2k －1)2≥0，∴原方程有两个实数根．综上所述，无论k 取任何实数，方程总有实数根(2)令y ＝0，则kx 2＋(2k ＋1)x ＋2＝0，∴(x ＋2)(kx ＋1)＝0，∴x 1＝－2，x 2＝－1k. ∵k 为正整数，x 2＝－1k为整数， ∴k ＝1.∴y ＝x 2＋3x ＋2，其图象如图，∴当y 1＞y 2时，a ＜－4或a ＞1(3)∵y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋2，∴(x 2＋2x)k ＋x ＋2－y ＝0，即(x 2＋2x)k ＝y －x －2.∵此抛物线恒过定点，∴x2＋2x＝0，且y－x－2＝0，∴x＝0，y＝2或x＝－2，y＝0.故抛物线y＝kx2＋(2k＋1)x＋2恒过定点(0，2)与(－2，0)。
九年级数学下第2章二次函数5二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程之间的关系习题北师大
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
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1D 2A 3C 4B
5C 6D 7C 8A
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9 见习题 10 见习题 11 见习题 12 见习题
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1．【2020·成都】关于二次函数 y＝x2＋2x－8，下列说法正确的 是( D ) A．图象的对称轴在 y 轴的右侧 B．图象与 y 轴的交点坐标为(0，8) C．图象与 x 轴的交点坐标为(－2，0)和(4，0) D．y 的最小值为－9
【答案】C
8．【中考·徐州】若函数 y＝x2－2x＋b 的图象与坐标轴有三个交
点，则 b 的取值范围是( A )
A．b＜1 且 b≠0 B．b＞1
C．0＜b＜1
D．b＜1
【点拨】根据函数的图象与坐标轴有三个交点，可得(－2)2－4b
＞0，解得 b＜1.但本题易忽略与 x 轴的交点不能在原点上，即 b
【答案】D
7．【2020·遵义】抛物线 y＝ax2＋bx＋c 的对称轴是直线 x＝－2. 抛物线与 x 轴的一个交点在点(－4，0)和点(－3，0)之间，其 部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有( ) ①4a－b＝0；②c≤3a；③关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝2 有两个 不相等的实数根；④b2＋2b＞4ac. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【点拨】①∵对称轴在 y 轴右侧，∴a、b 异号，∴ab＜0，
∵c＜0，∴abc＞0，故①正确； ②∵对称轴为直线 x＝－2ba＝1，∴2a＋b＝0，故②正确； ③∵2a＋b＝0，∴a＝－12b，∵当 x＝－1 时，y＝a－b＋c＞0， ∴－12b－b＋c＞0，∴3b－2c＜0，故③正确；
2-5 二次函数与一元二次方程-2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
课堂基础练
试用二次函数的图象估计下列方程的近似根
1） 2 + 2 − 8 = 2 ，
2） 2 + 2 − 7 = 6
。
y x 2 2 x 10
课堂小结
利用二次函数y=ax2+bx+c的图象求一元二次方程ax2+bx+c=h的近似根的一般
6.20
…
…
-0.03
-0.01
0.02
0.04
…
随堂测试
1．已知二次函数 = − 2 + 2 + 的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程
− 2 + 2 + = 0的根为________．
【详解】解：由函数图像可知,二次函数与x轴的交点为（-1,0）,
对称轴为直线x=1,
根据二次函数的对称性可知另一个交点为（3,0）,
∴抛物线与x轴交点为（2，0）．故选：B．
2．二次函数y＝x2+bx+1与x轴有两个不同的交点，b的值可以是（
A．b＝﹣3
B．b＝﹣2
C．b＝﹣1
【详解】解：令x2+bx+1＝0，则Δ＝b2﹣4，
∵二次函数图象与x轴由两个不同交点，
∴b2﹣4＞0，∴b2＞4，即b＜﹣2或b＞2．
故选：A．
D．b＝2
数学（北师大版）
九年级 下册
第二章 二次函数
2.5 二次函数与一元二次方程
课前导入
学习目标
1）二次函数与一元二次方程之间的联系。
2）理解二次函数的图象与x轴交点的三种位置关系。
3）利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 。
二次函数与一元二次方程ppt课件
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
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(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
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2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
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3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
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▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
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2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),
2.5++二次函数与一元二次方程第2课时+课件+++2023--2024学年北师大版九年级数学下册+
A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋ c≥－kx＋m的解集是( D )
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
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7 ． 【 数 形 结 合 】 已 知 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx － 1 的 图 象 过
A(2，0)，B(4，5)两点．
的解集？例如，如图①，y＝x2－2x－3的图象与x轴的
两个交点分别是A(－1，0)，B(3，0)．
此时x2－2x－3＝0有两个不相等的实数
根x1＝－1，x2＝3；
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观察图象可以知道：在x轴上方的图象所有点的纵坐标大于 0，此时对应的x的取值范围是x<－1或x>3；所以不等式x2－ 2x－3>0的解集为x<－1或x>3.类比上述内容，相信你一定能 够解决如下的问题： (1)x2－2x－3<0的解集是_－__1_<_x_<_3___．
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(4)进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2－2x|＝
1 2
有____4____个实数根；
②在(2)问的平面直角坐标系中画出直线y＝－x＋1，根
据 图 象 写 出 方 程 |x2 － 2x| ＝ － x ＋ 1 的 一 个 正 数 根 约 为
__0_._4____．(精确到0.1)
解：如图.
其0<x1<1，
∴ 2＋2 0<－2ba<2＋2 1，∴1<－2ba<32，当－2ba<32时，b>－3a，
当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝0，∴b＝－2a－
1 2
c，
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九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结