新课改瘦专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十七正弦定理和余弦定理含解析新人教A
a
b
sin A sin B
解析：∵ cos
＝ A cos
，由正弦定理可知
B
cos
＝ A cos
B⇒tan
A＝tan
B，则 A＝B，∴△
1 ABC 为等腰三角形，∴A＋B＋C＝2B＋C＝π，得 2B＝π－C，则 cos 2B＝－cos C＝－ ＝1－
4
10
6
15
2sin2B，解得 sin B＝ ，cos B＝ ，tan B＝ .
1 又 a＞0，∴解得 a＝2，∴S△ABC＝2absin C＝ 3，
∴△ABC 的面积为 3.
10．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为
a2 .
3sin A
(1)求 sin Bsin C；
(2)若 6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC 的周长．
C．等边三角形
D．钝角三角形
sin A a 解析：选 C ∵ ＝ ，
sin B c aa ∴ ＝ ，∴b＝c. bc
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
b2＋c2－a2 bc 1
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝
＝ ＝.
2bc 2bc 2
π ∵A∈(0，π)，∴A＝ ，∴△ABC 是等边三角形．
课时跟踪检测(二十七) 正弦定理和余弦定理
一、题点全面练
sin A cos B
1．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ＝ ，则 B 的大小为( )
a
b
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
sin A cos B 解析：选 B 由正弦定理知， ＝ ，
sin A sin B
成等差数列，且 a＝1，b＝ 3，则 S△ABC＝( )
A. 2
B. 3
3
C.
D．2
2
解析：选 C ∵A，B，C 依次成等差数列，∴B＝60°，
由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B，得 c＝2，
1
3
∴S△ABC＝2acsin
B＝ ，故选 C. 2
1 4．[与三角函数交汇]已知函数 f(x)＝cos2x＋ 3sin(π－x)·cos(π＋x)－ .
1
a2
解：(1)由题设得 acsin B＝
，
2
3sin A
1
a
即 csin B＝
.
2
3sin A
1
sin A
由正弦定理得 sin Csin B＝
，
2
3sin A
2 故 sin Bsin C＝ .
3
1 (2)由题设及(1)得 cos Bcos C－sin Bsin C＝－ ，
2
1 即 cos(B＋C)＝－ .
( )π
∴f(A)＝－sin 2A－ ＝－1， 6
π ∵△ABC 为锐角三角形，∴0＜A＜ ，
2
π
66
ππ
π
∴2A－ ＝ ，即 A＝ .
62
3
又 bsin C＝asin A，∴bc＝a2＝4，
1 ∴S△ABC＝2bcsin A＝ 3.
(三)素养专练——学会更学通
5．[数学运算]已知在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bcos∠BCA＝a，
AC·CD， 即 x2＝ 2·(2－ x)， 解 得 AD＝ 5－ 1.在 △ ABD 中 ， 由 余 弦 定 理 得 cos 36°＝
上，且∠ACB＝∠DBE＝∠DEB，则 CD＝________.
解析：设 BD＝x，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，设∠ACB＝∠DBE＝∠DEB＝θ，则∠EDF＝2θ，DE＝
2
12
EF DF
x，∵tan θ＝ ，∴tan 2θ＝ ，∴在 Rt△EFD 中，EF＝xsin 2θ，DF＝xcos 2θ，∵ ＝ ，∴
4
4
3
AB
3 15 15
1
∵AB＝c＝3，∴C 到 AB 的距离 h＝ ×tan B＝ × ＝ ，∴△ABC 的面积为 ×AB×h＝
2
23 2
2
3 15 .
4 3 15
答案： 4
8．(2019·菏泽模拟)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 acos B－c－
b
7
b
＝0，a2＝ bc，b＞c，则 ＝________.
2
3
2
b 所以 ＝2.
c
答案：2
9．(2019·惠州调研)已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cos
C(acos C＋ccos A)＋b＝0.
(1)求角 C 的大小；
(2)若 b＝2，c＝2 3，求△ABC 的面积．
解：(1)∵2cos C(acos C＋ccos A)＋b＝0，
cos B
b
cos C b
b sin B
＝ 或 C＝90°.当 C＝90°时，△ABC 为直角三角形．当 ＝ 时，由正弦定理，得 ＝ ，∴
c
cos B c
c sin C
cos C sin B ＝ ，即 sin Ccos C＝sin Bcos B，即 sin 2C＝sin 2B.∵B，C 均为△ABC 的内角，∴2C＝
cos B sin C
2B 或 2C＋2B＝180°，∴B＝C 或 B＋C＝90°，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选 D.
( ) 3
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b＝a cos C＋ sin C ，a＝2，c＝ 3
26 ，则 C＝( )
3
3π A.
4
3
π
26
C≠0，可得 sin A＝ 3cos A，∴tan A＝ 3.由 A 为三角形内角，可得 A＝ .∵a＝2，c＝ ，∴由正
3
3
c·sin A 2
π
弦定理可得 sin C＝
＝ ，∴由 c＜a，可得 C＝ ，故选 D.
a
2
4
(二)交汇专练——融会巧迁移
3．[与数列交汇]在△ABC 中，角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.若角 A，B，C 依次
2
2π
π
所以 B＋C＝ ，故 A＝ .
3
3
1
a2
由题设得 bcsin A＝
，即 bc＝8.
2
3sin A
由余弦定理得 b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，
解得 b＋c＝ 33.
故△ABC 的周长为 3＋ 33.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
bcos C 1＋cos 2C
1．在△ABC 中， 若
∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
π 3sin2C
2．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A＝ ，
＝2sin Asin B，且 b＝6，
3 cos C
则 c＝( )
A．2
B．3
C．4
D．6
1
3sin2C
解析：选 C 由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bc× ＝b2＋c2－bc，又
＝
，则△ABC 的形状是( )
ccos B 1＋cos 2B
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
1＋cos 2C 2cos2C cos2C bcos C cos C b cos C
cos C
解析：选 D 由已知
＝
＝＝
，得 ＝ 或 ＝0，即
1＋cos 2B 2cos2B cos2B ccos B cos B c cos B
c
bc＝c2＋ac，则
的值为( )
bsin B
1
3
A.
B.
2
2
C．2
23 D.
3
b2＋c2－a2 1
解析：选 D 由 b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，得 b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝
＝，
2bc 2
3 则 sin A＝ .
2
sin C 1 由 b2＝ac，得 sin2B＝sin Asin C，∴ ＝ ，
∴由正弦定理可得 2cos C(sin Acos C＋sin Ccos A)＋sin B＝0，
∴2cos Csin(A＋C)＋sin B＝0，即 2cos Csin B＋sin B＝0，
1 又 0°＜B＜180°，∴sin B≠0，∴cos C＝－ ，
2
又 0°＜C＜180°，∴C＝120°.
(2)由余弦定理可得(2 3)2＝a2＋22－2×2acos 120°＝a2＋2a＋4，
＝2sin Asin B，由
2
cos C
3c2 a2＋b2－c2
正弦定理可得 ＝
，即 a2＋b2－4c2＝0，则 b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0.
2ab 2ab
又 b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得 c＝4(负值舍去)，故选 C.
3．(2019·安徽江南十校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 b2＝ac，a2＋
2
(1)求函数 f(x)在[0，π]上的单调递减区间；
(2)在锐角△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 f(A)＝－1，a＝2，bsin
C＝asin A，求△ABC 的面积．
1 解：(1)f(x)＝cos2x－ 3sin xcos x－
2
1＋cos 2x 3
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第六节正弦定理和余弦定理课件新人教版
3 2.
由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b.
于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23，由此可得b＝c.
由③c＝ 3b，与b＝c矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在.
应用正、余弦定理的解题技能
技能 边化
角
角化 边
和积 互化
解读
将表达式中的边利用公式a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C化为角的关系
得cos A·(sin B＋sin C)＝0，在△ABC中，sin B＋sin C≠0，
则cos A＝0，所以△ABC为直角三角形．
判断三角形形状的常用技能 若已知条件中既有边又有角，则 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三 角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形 的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
＝
43 3
.由余弦定理DC2＋BC2－
2DC·BCcos∠DCB＝BD2，可得3BC2＋4
3 ·BC－5＝0，解得BC＝
3 3
或
BC＝－5 3 3(舍去)．故BC的长为
3 3.
求解该题第(2)问时易出现的问题是不能灵活利用“AB⊥BC”， 将已知条件和第(1)问中所求值转化为△BCD内的边角关系．解决 平面图形中的计算问题时，学会对条件进行分类与转化是非常重 要的，一般来说，尽可能将条件转化到三角形中，这样就可以根 据条件类型选用相应的定理求解．如该题中，把条件转化到 △BCD中后，利用正弦定理和余弦定理就可以求出BC的长.
解析：选条件①. 由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝ 23. 由sin A＝ 3sin B及正弦定理得a＝ 3b. 于是3b22＋b32b－2 c2＝ 23， 由此可得b＝c. 由①ac＝ 3，解得a＝ 3，b＝c＝1. 因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c＝1.
高考数学一轮复习课时跟踪检测(二十七)正弦定理和余弦定理(含解析)新人教A版
课时跟踪检测(二十七) 正弦定理和余弦定理一、题点全面练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A a ＝cos Bb，则B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知，sin A sin A ＝cos B sin B ，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，3sin 2Ccos C ＝2sin A sin B ，且b ＝6，则c ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析：选C 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc ×12＝b 2＋c 2－bc ，又3sin 2Ccos C ＝2sin A sin B ，由正弦定理可得3c 22ab ＝a 2＋b 2－c 22ab，即a 2＋b 2－4c 2＝0，则b 2＋c 2－bc ＋b 2－4c 2＝0.又b ＝6，∴c 2＋2c －24＝0，解得c ＝4(负值舍去)，故选C.3．(2019·安徽江南十校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2＝ac ，a 2＋bc ＝c 2＋ac ，则cb sin B的值为( )A.12 B.32 C ．2D.233解析：选D 由b 2＝ac ，a 2＋bc ＝c 2＋ac ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，则sin A ＝32. 由b 2＝ac ，得sin 2B ＝sin A sinC ，∴sin C sin 2B ＝1sin A ， ∴cb sin B ＝sin C sin B sin B ＝1sin A ＝233.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形解析：选C ∵sin A sin B ＝ac ，∴a b ＝a c，∴b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．5．(2019·四平质检)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边且∠A ＝60°，若S △ABC ＝332且2sin B ＝3sin C ，则△ABC 的周长等于( )A ．5＋7B ．12C ．10＋7D ．5＋27解析：选A 在△ABC 中，∠A ＝60°.∵2sin B ＝3sin C ，∴由正弦定理可得2b ＝3c ，再由S △ABC ＝332＝12bc ·sin A ，可得bc ＝6，∴b ＝3，c ＝2.由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cosA ＝7，∴a ＝7，故△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝5＋7，故选A.6．(2019·太原模拟)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝90°，点D 在AB 上，点E 在CD 上，且∠ACB ＝∠DBE ＝∠DEB ，则CD ＝________.解析：设BD ＝x ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，设∠ACB ＝∠DBE ＝∠DEB ＝θ，则∠EDF ＝2θ，DE ＝x ，∵tan θ＝23，∴tan 2θ＝125，∴在Rt △EFD 中，EF ＝x sin 2θ，DF ＝x cos 2θ，∵EF AC ＝DF AD ，∴x sin 2θ3＝x cos 2θ2－x ，∴tan 2θ＝32－x ＝125，解得x ＝34，∴AD ＝54，∴CD ＝134. 答案：1347．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos C ＝14，c ＝3，且a cos A ＝bcos B ，则△ABC 的面积等于________．解析：∵a cos A ＝b cos B ，由正弦定理可知sin A cos A ＝sin Bcos B ⇒tan A ＝tan B ，则A ＝B ，∴△ABC 为等腰三角形，∴A ＋B ＋C ＝2B ＋C ＝π，得2B ＝π－C ，则cos 2B ＝－cos C ＝－14＝1－2sin 2B ，解得sin B ＝104，cos B ＝64，tan B ＝153. ∵AB ＝c ＝3，∴C 到AB 的距离h ＝AB 2×tan B ＝32×153＝152，∴△ABC 的面积为12×AB ×h＝3154. 答案：31548．(2019·菏泽模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B －c－b 2＝0，a 2＝72bc ，b ＞c ，则b c＝________. 解析：由a cos B －c －b 2＝0及正弦定理可得sin A cos B －sin C －sin B 2＝0.因为sin C＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以－sin B2－cos A sin B ＝0，因为sin B ≠0，所以cos A ＝－12，即A ＝2π3.由余弦定理得a 2＝72bc ＝b 2＋c 2＋bc ，即2b 2－5bc ＋2c 2＝0，又b ＞c ，所以bc＝2.答案：29．(2019·惠州调研)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos C (a cosC ＋c cos A )＋b ＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2，c ＝23，求△ABC 的面积． 解：(1)∵2cos C (a cos C ＋c cos A )＋b ＝0，∴由正弦定理可得2cos C (sin A cos C ＋sin C cos A )＋sin B ＝0， ∴2cos C sin(A ＋C )＋sin B ＝0，即2cos C sin B ＋sin B ＝0， 又0°＜B ＜180°，∴sin B ≠0，∴cos C ＝－12，又0°＜C ＜180°，∴C ＝120°.(2)由余弦定理可得(23)2＝a 2＋22－2×2a cos 120°＝a 2＋2a ＋4， 又a ＞0，∴解得a ＝2，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝3，∴△ABC 的面积为 3.10．(2017·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为a 23sin A.(1)求sin B sin C ；(2)若6cos B cos C ＝1，a ＝3，求△ABC 的周长． 解：(1)由题设得12ac sin B ＝a23sin A ，即12c sin B ＝a3sin A. 由正弦定理得12sin C sin B ＝sin A 3sin A ，故sin B sin C ＝23.(2)由题设及(1)得cos B cos C －sin B sin C ＝－12，即cos(B ＋C )＝－12.所以B ＋C ＝2π3，故A ＝π3.由题设得12bc sin A ＝a23sin A，即bc ＝8.由余弦定理得b 2＋c 2－bc ＝9，即(b ＋c )2－3bc ＝9， 解得b ＋c ＝33.故△ABC 的周长为3＋33.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分 1．在△ABC 中， 若b cos C c cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D 由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos Cc cos B ，得cos C cos B ＝b c 或cos C cos B ＝0，即cos Ccos B ＝bc 或C ＝90°.当C ＝90°时，△ABC 为直角三角形．当cos C cos B ＝b c 时，由正弦定理，得b c ＝sin Bsin C，∴cos C cos B ＝sin Bsin C，即sin C cos C ＝sin B cos B ，即sin 2C ＝sin 2B .∵B ，C 均为△ABC 的内角，∴2C ＝2B 或2C ＋2B ＝180°，∴B ＝C 或B ＋C ＝90°，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C ，a ＝2，c ＝263，则C ＝( ) A.3π4 B.π4或3π4 C.π6D.π4解析：选D ∵b ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos C ＋33sin C ，∴由正弦定理可得sin B ＝sin A cos C ＋33sinA sin C ．又sinB ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，∴cos A sin C ＝33sin A sin C ．由sin C ≠0，可得sin A ＝3cos A ，∴tan A ＝ 3.由A 为三角形内角，可得A ＝π3.∵a ＝2，c＝263，∴由正弦定理可得sin C ＝c ·sin A a ＝22，∴由c ＜a ，可得C ＝π4，故选D. (二)交汇专练——融会巧迁移3．[与数列交汇]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )A. 2B. 3C.32D ．2解析：选C ∵A ，B ，C 依次成等差数列，∴B ＝60°， 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得c ＝2， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝32，故选C.4．[与三角函数交汇]已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )·cos(π＋x )－12.(1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sinC ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]，∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3和⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (A )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝－1，∵△ABC 为锐角三角形，∴0＜A ＜π2，∴－π6＜2A －π6＜5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3.又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4， ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.(三)素养专练——学会更学通5．[数学运算]已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b cos ∠BCA ＝a ，点M 在线段AB 上，且∠ACM ＝∠BCM .若b ＝6CM ＝6，则cos ∠BCM ＝( )A.104 B.34 C.74D.64解析：选B 设∠ACM ＝∠BCM ＝θ，则∠BCA ＝2θ.又a ＝b cos ∠BCA ，b ＝6CM ＝6，∴a ＝6cos 2θ，CM ＝1.则由面积关系S △ACM ＋S △BCM ＝S △ABC ，得12×6×1×sin θ＋12×1×6cos 2θ×sinθ＝12×6×6cos 2θ×sin 2θ，∴sin θcos θ(4cos θ－3)(3cos θ＋2)＝0.∵0＜θ＜π2，∴cos θ＝34，故选B.6．[数学建模]线段的黄金分割点定义：若点C 在线段AB 上，且满足AC 2＝BC ·AB ，则称点C 为线段AB 的黄金分割点．在△ABC 中，AB ＝AC ，A ＝36°，若角B 的平分线交边AC 于点D ，则点D 为边AC 的黄金分割点．利用上述结论，可以求出cos 36°＝( )A.5－14 B.5＋14 C.5－12D.5＋12解析：选B 设AB ＝2，AD ＝x ，又AB ＝AC ，所以CD ＝2－x .由黄金分割点的定义可得AD2＝AC ·CD ，即x 2＝2·(2－x )，解得AD ＝5－1.在△ABD 中，由余弦定理得cos 36°＝AD 2＋AB 2－BD 22·AD ·AB＝5－2＋22－5－25－＝5＋14.故选B.7.[直观想象、数学运算]如图，在△ABC 中，点P 在BC 边上，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4.(1)求∠ACP ；(2)若△APB 的面积是332，求sin ∠BAP .解：(1)在△APC 中，∠PAC ＝60°，PC ＝2，AP ＋AC ＝4， 由余弦定理得PC 2＝AP 2＋AC 2－2·AP ·AC ·cos∠PAC ， 所以22＝AP 2＋(4－AP )2－2·AP ·(4－AP )·cos 60°， 整理得AP 2－4AP ＋4＝0， 解得AP ＝2， 所以AC ＝2，所以△APC 是等边三角形， 所以∠ACP ＝60°.(2)由于∠APB 是△APC 的外角，所以∠APB ＝120°， 因为△APB 的面积是332，所以12·AP ·PB ·sin∠APB ＝332，所以PB ＝3.在△APB 中，AB 2＝AP 2＋PB 2－2·AP ·PB ·cos∠APB ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19， 所以AB ＝19.在△APB 中，由正弦定理得AB sin ∠APB ＝PBsin ∠BAP ，所以sin ∠BAP ＝3sin 120°19＝35738.。
2020届高三数学(文)一轮总复习课时跟踪检测 正弦定理和余弦定理Word版含答案
课时跟踪检测正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：选B 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 2．(2019·长春质检)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：选C ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝ 3.3．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.2π3解析：选A 因为cos A ＝13，所以sin A ＝1－19＝223，由正弦定理，得4sin A ＝3sin B，所以sinB ＝22，又因为b <a ，所以B <π2，B ＝π4. 4．(2019·安徽高考)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.解析：∠C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝ACsin B ，即6sin 60°＝ACsin 45°，解得AC ＝2.答案：25．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．解析：由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.答案：7二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选C 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，故C 是钝角．2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：选C 由正弦定理得b sin B ＝csin C， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．(2019·郑州质量预测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选A 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac，所以cos B＝32，所以B ＝30°. 4．(2019·南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214解析：选C 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， 所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ， 故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3， 又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．(2019·北京高考)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________. 解析：由正弦定理得sin A sin C ＝ac，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：17．(2019·南昌二中模拟)在△ABC 中，如果cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，那么△ABC 的形状是________．解析：∵cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，∴cos(A －B )＝1，在△ABC 中，A －B ＝0⇒A ＝B ，所以此三角形是等腰三角形．答案：等腰三角形8．(2019·丰台一模)已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________．解析：由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3>0，所以C ＝π3. 根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB >BC ，所以A <C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形，故S △ABC ＝12×3×1＝32.答案：329．(2019·兰州双基测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．解：(1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717. 10．(2019·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2. (1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝3π4，得 －cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C ，所以sin B ＝31010. 由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·衡水中学模拟)已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边，若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a解析：选C ∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12.∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3， 由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c .2．(2019·贵阳监测)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33，所以cos∠D＝cos 2∠B＝2cos2∠B－1＝－1 3 .因为∠D∈(0，π)，所以sin∠D＝1－cos2∠D＝22 3.因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝12AD·CD·sin∠D＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠D＝12，所以AC＝2 3.因为BC＝23，ACsin∠B＝ABsin∠ACB，所以23sin∠B＝ABsinπ－2∠B＝ABsin 2∠B＝AB2sin∠B cos∠B＝AB233sin∠B，所以AB＝4.。
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)
高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。
2020版高考数学一轮复习教案 第3章_第7节_正弦定理、余弦定理应用举例(含答案解析)
[ ]π
(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为 0， . ( ) 2
[ )π
(3)方位角的大小范围是[0,2π)，方向角的大小范围一般是 0， .( ) 2
(4)若点 P 在点 Q 的北偏东 44°，则点 Q 在点 P 的东偏北 46°. ( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
AB＝10，∠A＝60°，
∠B＝75°，∠C＝45°，
BC
10
∴
＝
，
sin 60° sin 45°
∴BC＝5 6.]
3．若点 A 在点 C 的北偏东 30°，点 B 在点 C 的南偏东 60°，且 AC＝BC，则点 A 在点 B
的( )
A．北偏东 15°
B．北偏西 15°
C．北偏东 10°
D．北偏西 10°
3 在△MON 中，由余弦定理得，
3 MN＝ 900＋300－2 × 30 × 10 3 × ＝ 300
2 ＝10 3(m)．]
3．如图，一艘船上午 9：30 在 A 处测得灯塔 S 在它的北偏东 30°的方向，之后它继续沿 正北方向匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时又测得灯塔 S 在它的北偏东 75°的方向，且 与它相距 8 2 n mile.此船的航速是________n mile/h.
2．(教材改编)海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB＝10 n mile，从 A 望 C 和 B 成 60°视角，
从 B 望 C 和 A 成 75°视角，则 BC 等于( )
A．10 3 n mile
10 6 B. n mile
3
C．5 2 n mile
D．5 6 n mile
D [如图，在△ABC 中，
2020年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：3-7正弦定理和余弦定理的应用 Word版含解析
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处．则这只船的航行速度为( )A.1762 海里/时 B ．34 6 海里/时 C.1722海里/时 D ．34 2 海里/时解析：如图，在△PMN 中PM sin45°＝MNsin120°， ∴MN ＝68·32＝346， ∴v ＝MN 4＝1762(海里/时)． 答案：A2．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为6 min ，则客船在静水中的速度为( )A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/h解析：设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.答案：B3．(2017届广东中山上学期期末)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为()A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522 m解析：由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB＝ACsin B ，∴AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．故选A.答案：A4．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15米B ．5米C ．10米D ．1米解析：如图所示，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)．答案：C5．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1千米B．2sin10°千米C．2cos10°千米D．cos20°千米解析：由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.答案：C6．(2017届湖南师大附中月考)如图所示，测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝()A．5 6 B．15 3C．5 2 D．15 6解析：在△BCD中，∠CBD＝180°－45°＝135°.由正弦定理得BCsin30°＝30sin135°，所以BC＝15 2.在Rt△ABC中，AB＝BC tan∠ACB＝152×3＝15 6.故选D.答案：D7．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.4003m B．40033mC.20033m D．2003m解析：如图所示，在Rt △BAC 中，∠ABC ＝30°，AB ＝200，∴BC ＝AB cos30°＝4003 3. ∵∠EBD ＝30°，∠EBC ＝60°， ∴∠DBC ＝30°，∠BDC ＝120°. 在△BDC 中，DC sin30°＝BC sin120°.∴DC ＝BC ·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m)．答案：A8．(2017届潍坊模拟)校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌时长为50 s ，升旗手应以________m/s 的速度匀速升旗．解析：依题意可知∠AEC ＝45°，∠ACE ＝180°－60°－15°＝105°， ∴∠EAC ＝180°－45°－105°＝30°. 由正弦定理可知CE sin ∠EAC ＝ACsin ∠CEA，∴AC ＝CEsin ∠EAC·sin ∠CEA ＝20 3 m.∴在Rt △ABC 中，AB ＝AC ·sin ∠ACB ＝203×32＝30 m.∵国歌时长为50 s ，∴升旗速度为3050＝0.6 m/s. 答案：0.69．如图，在△ABC 中，sin ∠ABC 2＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433，则cos ∠C ＝________.解析：由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223. 在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ， 则由余弦定理得9b 2＝a 2＋4－43a .① 因为∠ADB 与∠CDB 互补， 所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，所以4b 2＋163－41633b＝－b 2＋163－a 2833b，所以3b 2－a 2＝－6，②联立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3. 在△ABC 中，cos ∠C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝32＋32－222×3×3＝79.答案：7910．某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin21.8°≈3314解：如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理，得BC sin ∠CAB＝ABsin120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)， 即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23 h 才能靠近渔轮．[能 力 提 升]1．(2018届广东深圳第二次调研)如图，在凸四边形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3，AC ⊥CD ，AC ＝CD .当∠ABC 变化时，对角线BD 的最大值为________．解析：设AC ＝CD ＝x ，在△ABC 中，由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ，所以x 2＝1＋3－23cos ∠ABC .①由正弦定理得ACsin ∠ABC＝ABsin ∠ACB，即sin ∠ACB ＝sin ∠ABC x .②在△BCD 中，由余弦定理知，BD ＝3＋x 2－23x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠ACB ＝3＋x 2＋23x sin ∠ACB ， 将①②式代入化简得， BD ＝7＋26sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠ABC －π4.因为∠ABC ∈(0，π)，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫∠ABC －π4可以取到最大值1，所以|BD |max ＝7＋26＝6＋1. 答案：6＋12．(2017届盐城一模)如图所示，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MNsin60°＝AMsin (120°－θ).因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)． 在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)． AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203 ＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.所以设计∠AMN ＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小．。
高考数学一轮复习课时过关检测二十七余弦定理和正弦定理含解析
课时过关检测(二十七) 余弦定理和正弦定理A 级——基础达标1．(2022·泰安模拟)在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝2，cos C ＝34，则tan A ＝( )A ．56 B ．76 C ．53D ．73解析：D 由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2BC ·AC cos C ＝32＋22－2×3×2×34＝4，所以AB ＝2，因为AB ＝BC ，所以A ＝C ，所以cos A ＝cos C ＝34，tan A ＝73，故选D ．2．在△ABC 中，A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，则BC 边上的高的长度为( )A ．2217B ． 2C ． 3D ．213解析：A 由A ＝π6，AB ＝3，AC ＝4，得S △ABC ＝12×4×3×12＝3，由余弦定理得：BC ＝3＋16－2×4×3×32＝7，BC 边上的高的长度为2×37＝2217．故选A ． 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝b cos C 且c ＝6，A ＝π3，则△ABC 的面积为( )A ．36 3B ．27C ．20 3D ．18 3解析：D 在△ABC 中，a ＝b cos C ，所以sin A ＝sin B cos C ，又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ，所以cos B sin C ＝0，因为B ，C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以sin C ≠0，所以cos B ＝0，所以B ＝π2，又因为c ＝6，a ＝6tan A ＝63，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ac ＝183，故选D ．4．(2022·耀华模拟)已知△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)(其中b ，c 为△ABC 的边长)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．是直角三角形但不是等腰三角形C ．是等腰三角形但不是直角三角形D ．等腰直角三角形解析：D 依题意△ABC 的面积为S ＝14(b 2＋c 2)，则12bc sin A ＝14(b 2＋c 2)，2bc sin A ＝b2＋c 2，由于0＜A ＜π，0＜sin A ≤1，所以0＜2bc sin A ≤2bc ，由基本不等式可知b 2＋c 2≥2bc ，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以sin A ＝1，A ＝π2，△ABC 是等腰直角三角形．故选D ．5．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝3c ＝6，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2．△ABC面积为42，则sin C ＝( )A ．16 B ．13 C ．69D ．223解析：B 因为b ＝3c ＝6，△ABC 的面积为42＝12bc sin A ＝6sin A ，解得sin A ＝223，因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos A ＝13，在△ABC 中，由余弦定理可得a ＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝42，因为42223＝2sin C，所以sin C ＝13．故选B ．6．(多选)在△ABC 中，下列说法正确的是( ) A ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 为等腰三角形 B ．若a ＝40，b ＝20，B ＝25°，则△ABC 必有两解 C ．若△ABC 是锐角三角形，则sin A ＞cos BD ．若cos 2A ＋cos 2B －cos 2C ＜1，则△ABC 为锐角三角形解析：BC 对于A ，由正弦定理可得sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°，∴△ABC 为等腰或直角三角形，故A 错误；对于B ，a sin B ＝40sin 25°＜40sin 30°＝40×12＝20，即a sin B ＜b ＜a ，∴△ABC 必有两解，故B 正确；对于C ，∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B ＞π2，即π2＞A ＞π2－B ＞0，由正弦函数性质结合诱导公式得sin A ＞sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ，故C 正确；对于D ，利用二倍角的余弦公式可得1－2sin 2A ＋1－2sin 2B －1＋2sin 2C ＜1，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＞0，即a 2＋b 2－c 2＞0，∴cos C ＞0，即C 为锐角，不能说明△ABC 为锐角三角形，故D 错误．故选B 、C ．7．(多选)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2)，则下列选项正确的是( )A ．a ＝2bB ．cos A ＝55C ．sin B ＝55D ．△ABC 为钝角三角形解析：ACD 因为a sin A ＝4b sin B ，所以a 2＝4b 2，所以a ＝2b ，故A 正确；因为ac ＝5(a 2－b 2－c 2)＝5·(－2bc cos A )，且a ＝2b ，所以2bc ＝－25bc cos A ，所以cos A ＝－55，故B 错误；因为A ∈(0，π)，所以sin A ＞0，所以sin A ＝1－cos 2A ＝255，又因为a ＝2b ，所以sin A ＝2sin B ，所以sin B ＝55，故C 正确；由cos A ＝－55＜0可知A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以△ABC 为钝角三角形，故D 正确；故选A 、C 、D ．8．(2021·北京模拟)赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“赵爽弦图”——由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图①所示．类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形．在△ABC 中，若AF ＝1，FD ＝2，则AB ＝________．解析：由题意△EFD 为等边三角形，则∠EDA ＝π3，所以∠BDA ＝2π3，根据条件△AFC 与△BDA 全等，所以AF ＝BD ＝1在△ABD 中，AD ＝3，BD ＝1，AB 2＝AD 2＋BD 2－2×AD ×BD ×cos∠BDA ＝32＋12－2×1×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝13，所以AB ＝13．答案：139．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝60°，b ＋c ＝6，且△ABC 的面积为3，则△ABC 的内切圆的半径为________．解析：由题意得△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝34bc ＝3，故bc ＝4．因为A ＝60°，b＋c ＝6，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝24，所以a ＝26，△ABC 的周长为6＋26，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则12(a ＋b ＋c )r ＝12×()6＋26r ＝3，所以r＝3－2．答案：3－ 210．在①(a －c )(sin A ＋sin C )＝b (sin A －sin B )；②2c cos C ＝a cos B ＋b cos A ；③△ABC 的面积为12c (a sin A ＋b sin B －c sin C )这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________． (1)求角C ；(2)若D 为AB 的中点，且c ＝2，CD ＝3，求a ，b 的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：(1)选择①，根据正弦定理得(a －c )(a ＋c )＝b (a －b )， 整理得a 2－c 2＝ab －b 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12．因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3． 选择②，根据正弦定理有sin A cos B ＋sin B cos A ＝2sin C cos C ， 所以sin(A ＋B )＝2sin C cos C ，即sin C ＝2sin C cos C ． 因为C ∈()0，π，所以sin C ≠0，从而有cos C ＝12，故C ＝π3．选择③，因为12ca sin B ＝12c (a sin A ＋b sin B －c sin C )，所以a sin B ＝a sin A ＋b sin B －c sin C ，由正弦定理得ab ＝a 2＋b 2－c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3．(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos ∠ADC ， 即b 2＝1＋3－23cos ∠ADC ．在△BCD 中，BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD cos ∠BDC ， 即a 2＝1＋3－23cos ∠BDC ． 因为∠ADC ＋∠BDC ＝π，所以cos ∠ADC ＝－cos ∠BDC ， 所以a 2＋b 2＝8．由C ＝π3及c ＝2，得a 2＋b 2－4＝ab ，所以ab ＝4，从而a 2＋b 2－2ab ＝0， 所以a ＝b ＝2．B 级——综合应用11．(多选)(2022·长治模拟)在Rt △ABC 中，C ＝90°，角A 的平分线交BC 于点D ，AD ＝1，cos ∠BAC ＝18，以下结论正确的是( )A ．AB ＝8 B ．CD BD ＝18C ．AB ＝6D ．△ABD 的面积为374解析：BCD 如图所示，因为AD 是角平分线，设∠CAD ＝∠DAB ＝α，则∠BAC ＝2α，根据二倍角公式得cos 2α＝2cos 2α－1＝18，且0＜α＜π2，所以cos α＝34，在Rt △ACD 中，AD ＝1，所以AC ＝AD cos α＝34，在Rt △ACB 中，AB ＝ACcos 2α＝34×8＝6，故A 错误，C 正确；根据角平分线定理，CD BD ＝AC AB ＝34×16＝18，故B 正确；因为cos α＝34，且0＜α＜π2，所以sin α＝74，所以S △ABD ＝12AD ·AB ·sin α＝12×6×74＝374，故D 正确，故选B 、C 、D ． 12．(2022·合肥模拟)北京大兴国际机场(如图所示)位于中国北京市大兴区和河北省廊坊市交界处，为4F 级国际机场、世界级航空枢纽．如图，天安门在北京大兴国际机场的正北方向46 km 处，北京首都国际机场在北京大兴国际机场北偏东16．28°方向上，在天安门北偏东47．43°的方向上，则北京大兴国际机场与北京首都国际机场的距离约为(参考数据：sin 16．28°≈0．28，sin 47．43°≈0．74，sin 31．15°≈0．52)( )A ．65．46 kmB ．85．09 kmC ．74．35 kmD ．121．12 km解析：A 如图所示，由题意可得AC ＝46 km ，∠ACB ＝16．28°，∠BAC ＝132．57°，由正弦定理可得BCsin A ＝AC sin B ，即BC sin 132.57°＝46sin 31.15°，解得BC ＝46sin 31.15°·sin 132．57°≈460.52×0．74≈65．46．故选A ．13．(2022·淮安模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，那么当b ＝________时，满足条件“a ＝1，A ＝30°”的△ABC 有两个．(仅写出一个b 的具体数值即可)解析：由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得sin B ＝b sin A a ＝12b ，若满足条件的△ABC 有两个，则12b ＜1且1＝a ＜b ，所以1＜b ＜2． 答案：32((1,2)内任一数即可)14．(2022·济南模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，(3b －a )cosC ＝c cos A ，c 是a ，b 的等比中项，且△ABC 的面积为32，则ab ＝________，a ＋b ＝________．解析：∵(3b －a )cos C ＝c cos A ，∴利用正弦定理可得3sin B cos C ＝sin A cos C ＋sinC cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B ．又∵sin B ≠0，∴cos C ＝13，则C 为锐角，∴sin C ＝223．由△ABC 的面积为32，可得12ab sin C ＝32，∴ab ＝9．由c 是a ，b 的等比中项可得c 2＝ab ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴(a ＋b )2＝113ab ＝33，∴a ＋b ＝33．答案：93315．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且3b 2c －3a ＝cos Bcos A ．(1)求角B 的大小；(2)若b ＝2，求△ABC 的面积的最大值． 解：(1)已知3b 2c －3a ＝cos Bcos A，则由正弦定理可得3sin B 2sin C －3sin A ＝cos Bcos A ，即3sin B cos A ＝(2sin C －3sin A )cos B ，即3sin(A ＋B )＝2sin C cos B ，即3sin C ＝2sin C cos B ， ∵sin C ≠0，∴cos B ＝32，又0＜B ＜π，则B ＝π6． (2)由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即22＝a 2＋c 2－2ac cos π6，即4＝a 2＋c 2－3ac ≥2ac －3ac ，当且仅当a ＝c 时，等号成立，ac ≤42－3＝4(2＋3)，∴△ABC 的面积为S ＝12ac sin B ≤12×4(2＋3)×12＝2＋3．∴△ABC 的面积的最大值为2＋3．C 级——迁移创新16．(2022·大庆模拟)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，则△ABC 面积的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤32，334B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，334C ．⎝⎛⎭⎪⎫34，334D ．⎝⎛⎦⎥⎤34，334解析：A 由于a ＝3，b 2＋c 2－bc ＝3，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，且A ∈(0，π)，所以A＝π3，那么外接圆半径为R ＝12×332＝1，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝34·2R sin B ·2R sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝3sin B ⎝⎛⎭⎪⎫32cos B ＋12sin B ＝32sin B cos B ＋32sin 2B ＝34sin 2B ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos 2B ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2B －12cos 2B ＋34＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋34．由于△ABC 为锐角三角形，所以0＜B＜π2，0<C ＝π－A －B ＝2π3－B <π2，所以π6<B <π2，所以π6＜2B －π6＜5π6，12＜sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6≤1，故32＜S △ABC ≤334．故选A ． 17．(2022·济南三模)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋5π6＝－14． (1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，a ＝1，求△ABC 周长的取值范围． 解：(1)因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋5π6＝－14，所以⎝⎛⎭⎪⎫32sin A －12cos A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32sin A ＋12cos A ＝－14，即32sin A cos A －34sin 2A －14cos 2A ＝－14，所以34sin 2A －38(1－cos 2A )－18(1＋cos 2A )＝－14，整理可得34sin 2A ＋14cos 2A ＝14， 所以可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12， 因为A ∈(0，π)，可得2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，可得A ＝π3．(2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，且a ＝1，A ＝π3，所以b ＝233sin B ，c ＝233sin C ；所以a ＋b ＋c ＝1＋233(sin B ＋sin C )＝1＋233⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6．因为△ABC 为锐角三角形， 所以得⎩⎪⎨⎪⎧0＜B ＜π2，0＜2π3－B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以π3<B ＋π6<2π3，所以1＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6∈(1＋3，3]，即△ABC 周长的取值范围是(1＋3，3]．。
2020版高考数学一轮复习(二十七)正弦定理和余弦定理(含解析)
课时跟踪检测(二十七) 正弦定理和余弦定理一、题点全面练1．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a,b，c，若错误!＝错误!，则B的大小为（）A．30°B．45°C．60° D．90°解析:选B 由正弦定理知，sin Asin A＝cos Bsin B,∴sin B＝cos B，∴B＝45°.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b,c,若A＝错误!，错误!＝2sin A sin B,且b＝6，则c＝( )A．2 B．3C．4 D．6解析：选C 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc×12＝b2＋c2－bc，又错误!＝2sin A sin B,由正弦定理可得错误!＝错误!，即a2＋b2－4c2＝0，则b2＋c2－bc＋b2－4c2＝0。
又b＝6，∴c2＋2c－24＝0，解得c＝4(负值舍去)，故选C。
3．（2019·安徽江南十校联考)在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac,a2＋bc＝c2＋ac，则错误!的值为（）A.错误! B.错误!C．2 D.错误!解析：选D 由b2＝ac，a2＋bc＝c2＋ac，得b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝错误!＝错误!，则sin A＝错误!。
由b2＝ac，得sin2B＝sin A sin C，∴sin Csin2B＝错误!,∴错误!＝错误!＝错误!＝错误!.4．在△ABC中,角A，B，C的对边分别为a，b，c,若错误!＝错误!，(b＋c＋a)（b＋c－a）＝3bc，则△ABC的形状为（)A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形解析：选C ∵sin Asin B＝错误!，∴错误!＝错误!,∴b＝c.又（b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc,∴cos A＝错误!＝错误!＝错误!。
∵A∈(0，π)，∴A＝错误!，∴△ABC是等边三角形．5．（2019·四平质检）在△ABC中,已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°,若S△ABC＝错误!且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于( )A．5＋7 B．12C．10＋错误!D．5＋2错误!解析：选A 在△ABC中，∠A＝60°.∵2sin B＝3sin C，∴由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝错误!＝错误!bc·sin A，可得bc＝6，∴b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cos A＝7，∴a＝错误!，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋错误!，故选A.6．（2019·太原模拟)在△ABC中，AB＝2，AC＝3,∠BAC＝90°,点D在AB上，点E在CD上，且∠ACB＝∠DBE＝∠DEB,则CD ＝________。
高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 6正弦定理余弦定理课件
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.
2020届高考数学一轮复习：课时作业24《正弦定理和余弦定理》(含解析)
课时作业24 正弦定理和余弦定理1．(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，∠C ＝120°，则AC ＝( A )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：在△ABC 中，设A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，则由c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得13＝9＋b 2－2×3b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，即b 2＋3b －4＝0，解得b ＝1(负值舍去)，即AC ＝1，故选A ．2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C 等于( A )A ．725B ．－725C ．±725D ．2425解析：∵8b ＝5c ，∴由正弦定理，得8sin B ＝5sin C ．又∵C ＝2B ，∴8sin B ＝5sin2B ，∴8sin B ＝10sin B cos B ．∵sin B ≠0，∴cos B ＝45，∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2B －1＝725. 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( C )A ．3B ．932C ．332D ．3 3解析：c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332，故选C ．4．(2019·湖南衡阳调研)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，若2sin C ＝sin A ＋sin B ，cos C ＝35且S △ABC ＝4，则c ＝( A )A ．463B ．4C ．263D ．5解析：因为2sin C ＝sin A ＋sin B ，所以由正弦定理可得2c ＝a ＋b ，① 由cos C ＝35可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－165ab ，② 又由cos C ＝35，得sin C ＝45，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝2ab 5＝4，∴ab ＝10.③由①②③解得c ＝463，故选A ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( C )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形 解析：∵sin A sin B ＝a c ，∴a b ＝a c ，∴b ＝C ．又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3，∴△ABC 是等边三角形．6．(2019·合肥质检)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为( C )A ．4πB ．8πC ．9πD ．36π解析：由余弦定理得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＋a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2.即b 2＋c 2－a 2＋a 2＋c 2－b 22c＝2，整理得c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，再由正弦定理可得2R ＝c sin C ＝6，所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π.7．(2018·浙江卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，C ．若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝217，c ＝3_.解析：由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b a sin A ＝217，由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得c 2－2c －3＝0，解得c ＝3(舍负)．8．(2019·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC 2.解析：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜120°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.9．(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为9__.解析：依题意画出图形，如图所示．易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin60°＋12a sin60°＝12ac sin120°，∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c ＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c ≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”．10．(2019·梅州质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为π6. 解析：由sin C ＝23sin B 得，c ＝23b ，∴a 2－b 2＝3bc ＝3b ·23b ＝6b 2，∴a 2＝7b 2.则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32， 又∵0<A <π，∴A ＝π6.11．(2019·贵阳质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C 2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小；(2)求△ABC 的面积．解：(1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0＜A ＜π，∴A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角，∴B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1， 解得C ＝2π3，∴B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2， 解得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A ，且B 为钝角．(1)证明：B －A ＝π2；(2)求sin A ＋sin C 的取值范围．解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B ，所以sin B ＝cos A ，即sin B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋A . 又B 为钝角，因此π2＋A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， 故B ＝π2＋A ，即B －A ＝π2.(2)由(1)知，C ＝π－(A ＋B )＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π2＝π2－2A ＞0，所以A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.于是sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2A ＝sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋sin A ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98. 因为0＜A ＜π4，所以0＜sin A ＜22，因此22＜－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin A －142＋98≤98. 由此可知sin A ＋sin C 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤22，98.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b 2＋c 2－a 2＝bc ，AB →·BC →＞0，a ＝32，则b ＋c 的取值范围是( B ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32 解析：由b 2＋c 2－a 2＝bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，则A ＝π3，由AB →·BC →＞0知，B 为钝角， 又a sin A ＝1，则b ＝sin B ，c ＝sin C ，b ＋c ＝sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6， ∵π2＜B ＜2π3，∴2π3＜B ＋π6＜5π6，∴12＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＜32，b ＋c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32. 14．(2019·山东济宁模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B －b cos A ＝23c ，则tan(A －B )的最大值为( A )A ．255B ．55C ．33D ． 3解析：由a cos B －b cos A ＝23c 及正弦定理可得，sin A ·cos B －sin B cos A ＝23sin C ＝23sin(A ＋B )＝23sin A cos B ＋23cos A sin B ，即13sin A cos B ＝53sin B cos A ，得tan A ＝5tan B ，从而可得tan A ＞0，tan B ＞0，∴tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝4tan B 1＋5tan 2B ＝41tan B ＋5tan B ≤425＝255，当且仅当1tan B ＝5tan B ，即tan B ＝55时取得等号，∴tan(A －B )的最大值为255，故选A ．15．(2019·广东七校联考)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，则△ABC 3. 解析：法1 ∵A ＝π3，且32－sin(B －C )＝sin2B ，∴32＝sin2B ＋sin(B －C )，即sin A ＝sin2B ＋sin(B －C )，又sin A ＝sin(B ＋C )，∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos B ＋sin B cos C －cos B sin C ，即cos B sin C ＝sin B cos B ．当cos B ＝0时，可得B ＝π2，C ＝π6，∴S △ABC ＝12ac ＝12×2×2×tan π6＝233；当cos B ≠0时，sin B ＝sin C ，由正弦定理可知b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形，又∵A ＝π3，∴a ＝b ＝c ＝2，∴S △ABC ＝34a 2＝ 3.综上可知△ABC 的面积为3或233.法2 由已知及A ＋B ＋C ＝π可得32－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －23π ＝sin2B ，即sin2B ＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －23π＝32， ∴sin2B －32cos2B －12sin2B ＝32，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3＝32. ∵A ＝π3，∴0＜B ＜23π，∴－π3＜2B －π3＜π， ∴2B －π3＝π3或2π3，∴B ＝π3或π2.当B ＝π2时，C ＝π6，∴S △ABC ＝12×2×2×tan π6＝233；当B ＝π3时，△ABC 是边长为2的等边三角形，∴S △ABC ＝34a 2＝34×4＝ 3.综上可知，△ABC 的面积为3或233.16．(2019·河南信阳模拟)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，且满足(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ．(1)求角A 的大小；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值． 解：(1)∵(a ＋b ＋c )(sin B ＋sin C －sin A )＝b sin C ，∴根据正弦定理，知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bC ．∴由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.又A ∈(0，π)，所以A ＝23π.(2)根据a ＝3，A ＝23π及正弦定理可得b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2， ∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ．∴S ＝12bc sin A ＝12×2sin B ×2sin C ×32＝3sin B sin C ．∴S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B ·cos C ＝3cos(B －C )．故当⎩⎨⎧ B ＝C ，B ＋C ＝π3，即B ＝C ＝π6时， S ＋3cos B ·cos C 取得最大值 3.。