高考数学考点突破——解析几何：椭 圆
椭圆【考点梳理】1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0) 离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2考点一、椭圆的定义与标准方程【例1】(1) 如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆(2) 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为__________．[答案] (1)A (2) x 2＋32y 2＝1 [解析] (1)由条件知|PM |＝|PF |.∴|PO |＋|PF |＝|PO |＋|PM |＝|OM |＝R >|OF |. ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆． (2)不妨设点A 在第一象限，设半焦距为c ， 则F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵AF 2⊥x 轴，则A (c ，b 2)(其中c 2＝1－b 2,0<b <1)． 又|AF 1|＝3|F 1B |，得AF 1→＝3F 1B →，设B (x 0，y 0)，则(－2c ，－b 2)＝3(x 0＋c ，y 0)， ∴x 0＝－5c 3且y 0＝－b 23，代入椭圆x 2＋y 2b 2＝1，得25c 2＋b 2＝9，①又c 2＝1－b 2，② 联立①②，得b 2＝23.故椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.【类题通法】1.(1)利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >|F 1F 2|这一条件．(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时，常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义，但一定要注意|PF 1|＋|PF 2|与|PF 1|·|PF 2|的整体代换．2．求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定位，再定量，即首先确定焦点所在的位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组，若焦点位置不确定，可把椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )的形式．【对点训练】1. 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝__________.2. 已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．[答案] 1. 3 2. x 24＋y 23＝1[解析] 1. 由定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，且PF 1→⊥PF 2→， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2， ∴(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|＝4c 2，∴2|PF 1||PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1||PF 2|＝2b 2. ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝12×2b 2＝9，因此b ＝3. 2. 依题意，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．过点F 2(1,0)且垂直于x 轴的直线被曲线C 截得弦长|AB |＝3， ∴点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32必在椭圆上， ∴1a 2＋94b 2＝1.①又由c ＝1，得1＋b 2＝a 2.② 由①②联立，得b 2＝3，a 2＝4. 故所求椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.考点二、椭圆的几何性质【例2】 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34[答案] A[解析] 法一：设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c ，从而直线AM 的方程为y ＝y 0a －c (x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c. 同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c .∵2y N ＝y E ，∴2a ＋c ＝1a －c ，即2a －2c ＝a ＋c ，∴e ＝c a ＝13.法二：如图，设OE 的中点为N ，由题意知 |AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a . ∵PF ∥y 轴，∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋c a . 又|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c 2a ， ∴a ＝3c ，故e ＝c a ＝13.【类题通法】1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析．2．求椭圆离心率的主要方法有：(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解．(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解．【对点训练】3．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 [答案] A[解析] 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝ca ＝1－b 2a 2＝1－b 24.因为1≤b <2，所以0<e ≤32，故选A. 考点三、直线与椭圆的位置关系【例3】 (1) 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为c2.(I)求椭圆E 的离心率；(II)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．(2) 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，点(2，2)在C 上． (I)求C 的方程；(II)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．[解析] (1)(I)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bcb 2＋c2＝bc a ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32.(II)由(I)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1， 代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12.从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2|＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2). 由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1. (2) (I)由题意有a 2－b 2a ＝22，4a 2＋2b 2＝1，解得a 2＝8，b 2＝4. 所以C 的方程为x 28＋y 24＝1.(II)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M ). 将y ＝kx ＋b 代入x 28＋y 24＝1，得 (2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0.故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1，y M ＝k ·x M ＋b ＝b2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M＝－12k ，即k OM ·k ＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值. 【类题通法】1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．2．设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)．。
高三椭圆知识点总结
高三椭圆知识点总结椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在高中数学中占据着重要的地位。
椭圆的相关知识点涉及到椭圆的定义、性质、方程、焦点、离心率等内容。
下面我们将对高三椭圆知识点进行总结，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这一部分内容。
1. 椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a(a>0)的动点P的轨迹。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
2. 椭圆的性质。
（1）椭圆的离心率e的性质，0<e<1。
（2）椭圆的离心率e与长轴、短轴的关系，e^2=1-b^2/a^2。
（3）椭圆的离心率e与焦点之间的距离的关系，PF1+PF2=2a=2a(1-e^2)。
3. 椭圆的方程。
椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1。
其中，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
4. 椭圆的焦点。
椭圆的焦点到椭圆中心的距离为c，满足c^2=a^2-b^2。
5. 椭圆的参数方程。
椭圆的参数方程为：x=acosθ。
y=bsinθ。
其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
6. 椭圆的性质。
（1）椭圆的对称轴，椭圆有两条对称轴，分别为x轴和y轴。
（2）椭圆的准线，椭圆的长轴上任意一点到两个焦点的距离之和为常数2a，这个常数称为椭圆的准线。
7. 椭圆的切线方程。
椭圆上一点P(x0,y0)处的切线方程为：xx0/a^2+yy0/b^2=1。
通过以上知识点的总结，我们对高三椭圆的相关内容有了更深入的了解。
希望同学们能够通过不断地练习和思考，掌握椭圆的相关知识，提升数学水平。
高三椭圆相关知识点总结
高三椭圆相关知识点总结在高三数学学习中，椭圆是一个十分重要且常见的几何图形。
它具有许多独特的性质和特点，对于理解和解决相关题目至关重要。
本文将对高三椭圆的相关知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地理解椭圆的性质和应用。
1. 椭圆的定义及公式椭圆是平面上到两个定点F₁和F₂距离之和等于常数2a的动点P的轨迹。
定点F₁和F₂称为椭圆的焦点，两焦点之间的距离为2c，且c²=a²-b²。
椭圆的离心率e=c/a。
椭圆的标准方程为，(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
2. 椭圆的性质- 长轴和短轴：椭圆的两焦点距离为2c，且c²=a²-b²，所以椭圆的长轴为2a，短轴为2b。
- 离心率：椭圆的离心率e=c/a，离心率越接近0，椭圆的形状越接近于圆；离心率越接近1，椭圆的形状越扁平。
- 对称性：椭圆关于x轴和y轴都具有对称性，中心对称。
3. 椭圆的方程变形椭圆的方程在数学上经常需要进行变形和化简。
以下是几种常见的椭圆方程变形形式：- 标准方程变形：将标准方程进行代数变形和化简，可以得到不同形式的椭圆方程，如正方形椭圆、长轴平行于y轴的椭圆等。
- 参数方程：将椭圆的方程用参数表示，例如x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中θ为参数。
- 三角方程：利用三角函数的性质，将椭圆的方程变形为三角函数的方程，如x²/a²+ y²/b² = 1可以变形为sin²θ/a² + cos²θ/b² = 1。
4. 椭圆的性质与应用- 焦点定理：椭圆上任意一点P到两焦点F₁和F₂的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF₁ + PF₂ = 2a。
- 弦焦定理：椭圆上任意一条弦的两个焦点到弦的距离之和等于常数2a。
- 切线性质：椭圆上的点P处的切线斜率为y/x=-b²x/a²y。
2020届高考数学一轮复习通用版讲义椭 圆
第六节椭__圆一、基础知识批注——理解深一点1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数 2a (2a ＞|F 1F 2|)的动点P 的轨迹叫做椭圆，这两个 定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点. 2．椭圆的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(2)中心在坐标原点，焦点在y 轴上的椭圆 的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．3．椭圆的几何性质❶长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心．❷离心率表示椭圆的扁平程度．当e 越接近于1时，c 越接 近于a ，从而b ＝a 2－c 2越小，因此椭圆越扁．二、常用结论汇总——规律多一点(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b 2a ，过焦点最长弦为长轴． (2)过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .(3)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．(4)焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√(二)选一选1．椭圆x 28＋y 29＝1的离心率为( )A.12 B.15 C.13D.14解析：选C 由椭圆的标准方程可知，该椭圆的焦点在y 轴上，a 2＝9，b 2＝8， 所以c ＝1，所以e ＝c a ＝13，故选C.2．已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：选D 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.3．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12 C.22D.223解析：选C ∵a 2＝4＋22＝8， ∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.(三)填一填4．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，短轴长为4，则椭圆的方程为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝4，c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2，所以椭圆的方程为x 216＋y 24＝1.答案：x 216＋y 24＝15．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.解得3<k <5且k ≠4. 答案：(3,4)∪(4,5)第一课时 椭圆及其性质考点一 椭圆的标准方程[典例] (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为( )A.x 26＋y 24＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 236＋y 216＝1 D.x 249＋y 29＝1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (－3,0)，且离心率e ＝53，则椭圆的标准方程为________．[解析] (1)由长、短半轴长之和为10，焦距为45，可得a ＋b ＝10,2c ＝45，∴c ＝2 5.又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝36，b 2＝16.∵焦点在x 轴上，∴所求椭圆方程为x 236＋y 216＝1.故选C.(2)若焦点在x 轴上，由题知a ＝3，因为椭圆的离心率e ＝53，所以c ＝5，b ＝2，所以椭圆方程是x 29＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，a 2－c 2＝9，又离心率e ＝c a ＝53，解得a 2＝814，所以椭圆方程是y 2814＋x 29＝1.[答案] (1)C (2)x 29＋y 24＝1或y 2814＋x 29＝1[解题技法] 求椭圆标准方程的两种方法(1)定义法．根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． (2)待定系数法．一般步骤如下：[提醒] 求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0)．[题组训练]1．(2018·济南一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )A.x 236＋y 232＝1 B.x 29＋y 28＝1 C.x 29＋y 25＝1 D.x 216＋y 212＝1 解析：选B 椭圆长轴长为6，即2a ＝6，得a ＝3， ∵两焦点恰好将长轴三等分， ∴2c ＝13·2a ＝2，得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝9－1＝8，∴此椭圆的标准方程为x 29＋y 28＝1.故选B.2．椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若椭圆C 的离心率等于12，且它的一个顶点恰好是抛物线x 2＝83y 的焦点，则椭圆C 的标准方程为______________．解析：由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题设知抛物线的焦点为(0,23)，所以椭圆中b ＝2 3. 因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，又a 2－b 2＝c 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ，b ＝23，a 2－b 2＝c 2，解得c ＝2，a ＝4，所以椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.答案：x 216＋y 212＝13．已知椭圆中心在原点，且经过A (3，－2)和B (－23，1)两点，则椭圆的标准方程为________．解析：设所求椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.∴所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.答案：x 215＋y 25＝1考点二 椭圆的定义及其应用[典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则椭圆C 的标准方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1(2)已知点P (x ，y )在椭圆x 236＋y 2100＝1上，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，若△PF 1F 2的面积为18，则∠F 1PF 2的余弦值为________．[解析] (1)由椭圆的定义，知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，所以△AF 1B 的周长为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝12，所以a ＝3.因为椭圆的离心率e ＝c a ＝23，所以c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1，故选D.(2)椭圆x 236＋y 2100＝1的两个焦点为F 1(0，－8)，F 2(0,8)，由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝20，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝202，由余弦定理得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2＝162， 两式相减得2|PF 1||PF 2|(1＋cos ∠F 1PF 2)＝144.又S△PF1F2＝12|PF1||PF2|sin∠F1PF2＝18，所以1＋cos∠F1PF2＝2sin∠F1PF2，解得cos∠F1PF2＝3 5.[答案](1)D(2)35 [变透练清]1．已知椭圆x225＋y216＝1上一点P到椭圆一个焦点F1的距离为3，则P到另一个焦点F2的距离为()A．2 B．3C．5 D．7解析：选D因为a2＝25，所以2a＝10，由定义知，|PF1|＋|PF2|＝10，所以|PF2|＝10－|PF1|＝7.2.(变结论)若本例(2)条件不变，则△PF1F2的内切圆的面积为________．解析：由椭圆的定义可知△PF1F2的周长的一半为a＋c＝18，所以由三角形的面积公式S＝pr(其中p，r分别为三角形的周长一半，内切圆的半径)，得r＝1，所以△PF1F2的内切圆的面积为π.答案：π[解题技法]利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法[口诀归纳]椭圆定义是基础，解题过程莫疏忽；定义等式藏图中，平几知识要活用.考点三椭圆的几何性质考法(一)求椭圆离心率的值(或范围)[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3 C.3－12D.3－1(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x－4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34C.⎣⎡⎭⎫32，1D.⎣⎡⎭⎫34，1[解析] (1)在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2， 则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1， 所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b ＜2，所以e ＝ca ＝ 1－b 2a2＝1－b 24.因为1≤b ＜2，所以0＜e ≤32.[答案] (1)D (2)A[解题技法] 求椭圆离心率的方法(1)定义法：根据条件求出a ，c ，直接利用公式e ＝ca 求解．(2)方程法：根据条件得到关于a ，b ，c 的齐次等式(不等式)，结合b 2＝a 2－c 2转化为关于a ，c 的齐次等式(不等式)，然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题[典例] 已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1―→＋MF 2―→|的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．10 [解析] 设M (x 0，y 0)，F 1(－3,0)，F 2(3,0)． 则MF 1―→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2―→＝(3－x 0，－y 0)， 所以MF 1―→＋MF 2―→＝(－2x 0，－2y 0)， |MF 1―→＋MF 2―→|＝4x 20＋4y 20＝4×25⎝⎛⎭⎫1－y 2016＋4y 20＝ 100－94y 20，因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16，所以当y 20＝16时，|MF 1―→＋MF 2―→|取最小值为8. [答案] C[解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b,0＜e ＜1，三角形两边之和大于第三边，在求椭圆相关量的范围或最值时，要注意应用这些不等关系．[题组训练]1．(2018·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的一点，A 为左顶点，F 为右焦点，PF ⊥x 轴，若tan ∠PAF ＝12，则椭圆的离心率e 为( )A.23B.22C.33D.12解析：选D 不妨设点P 在第一象限，因为PF ⊥x 轴，所以x P ＝c ，将x P ＝c 代入椭圆方程得y P ＝b 2a ，即|PF |＝b 2a ，则tan ∠PAF ＝|PF ||AF |＝b 2a a ＋c ＝12，结合b 2＝a 2－c 2，整理得2c 2＋ac －a 2＝0，两边同时除以a 2得2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)．故选D.2．已知P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，A (0,4)，则|PA |的最大值为( )A.2183B.763 C ．5D ．2 5解析：选C 设P (x 0，y 0)，则由题意得x 204＋y 20＝1， 故x 20＝4(1－y 20)， 所以|PA |2＝x 20＋(y 0－4)2 ＝4(1－y 20)＋y 20－8y 0＋16＝－3y 20－8y 0＋20 ＝－3⎝⎛⎭⎫y 0＋432＋763， 又－1≤y 0≤1，所以当y 0＝－1时，|PA |2取得最大值25， 即|PA |最大值为5.故选C.3．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎦⎤0，13解析：选C 如图所示， ∵线段PF 1的中垂线经过F 2， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ， 使得|PF 2|＝2c . ∴a －c ≤2c ＜a ＋c . ∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1.[课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．椭圆以x 轴和y 轴为对称轴，经过点(2,0)，长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的标准方程为( )A.x 24＋y 2＝1 B.y 216＋x 24＝1 C.x 24＋y 2＝1或y 216＋x 24＝1 D.x 24＋y 2＝1或y 24＋x 2＝1 解析：选C 由题意知，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，即a ＝2b .因为椭圆经过点(2,0)，所以若焦点在x 轴上，则a ＝2，b ＝1，椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1；若焦点在y 轴上，则a ＝4，b ＝2，椭圆的标准方程为y 216＋x 24＝1，故选C.2．已知方程x 2|m |－1＋y 22－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B ．(1,2)C ．(－∞，0)∪(1,2)D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选D 依题意得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|m |－1＞0，2－m ＞0，2－m ＞|m |－1，解得m ＜－1或1＜m ＜32，故选D.3．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m ＞0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33C.22D.12解析：选B 由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 6，e 2＝c 2a 2＝13，e ＝33.4．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为( )A.32B.332C.94D.154解析：选B 由椭圆方程知c ＝1， 所以F 1(－1,0)，F 2(1,0)．因为椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2，则可设A (1，y 0)， 代入椭圆方程可得y 20＝94，所以y 0＝±32.设P (x 1，y 1)，则F 1P ―→＝(x 1＋1，y 1)，F 2A ―→＝(0，y 0)， 所以F 1P ―→·F 2A ―→＝y 1y 0.因为点P 是椭圆C 上的动点，所以－3≤y 1≤3， 故F 1P ―→·F 2A ―→的最大值为332.5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D 设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D.6．(2019·惠州调研)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( ) A.514 B.59 C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，故|PF 2||PF 1|＝513，故选D. 7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为________．解析：∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5. ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)． 答案：(－5,0)8．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程为________．解析：法一：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2－b 2＝c 2＝5，且9a 2＋4b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝5，9a 2＋4b2＝1，得a 2＝15，b 2＝10，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1.法二：椭圆x 29＋y 24＝1的焦点坐标为(±5，0)，设所求椭圆方程为x 2λ＋5＋y 2λ＝1(λ＞0)，代入点A (3，－2)得9λ＋5＋4λ＝1(λ＞0)，解得λ＝10或λ＝－2(舍去)，故所求椭圆方程为x 215＋y 210＝1. 答案：x 215＋y 210＝19．已知△ABC 的顶点A (－3,0)和顶点B (3,0)，顶点C 在椭圆x 225＋y 216＝1上，则5sin Csin A ＋sin B ＝________.解析：由椭圆x 225＋y 216＝1知长轴长为10，短轴长为8，焦距为6，则顶点A ，B 为椭圆的两个焦点．在△ABC 中，设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则c ＝|AB |＝6，a ＋b ＝|BC |＋|AC |＝10，由正弦定理可得5sin C sin A ＋sin B ＝5ca ＋b ＝5×610＝3.答案：310．点P 是椭圆上任意一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，∠F 1PF 2的最大值是60°，则椭圆的离心率e ＝________.解析：如图所示，当点P 与点B 重合时，∠F1PF 2取得最大值60°，此时|OF 1|＝c ，|PF 1|＝|PF 2|＝2c .由椭圆的定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4c ＝2a ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.答案：1211．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3,0)和(－3,0)． (1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.12．已知焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF ―→·PA ―→的最大值和最小值．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)． 由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2.又F (－1,0)，A (2,0)，PF ―→＝(－1－x 0，－y 0)，PA ―→＝(2－x 0，－y 0)， ∴PF ―→·PA ―→＝x 20－x 0－2＋y 20 ＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 当x 0＝2时，PF ―→·PA ―→取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF ―→·PA ―→取得最大值4.B 级——创高分自选1．若椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫55，35B.⎝⎛⎭⎫0，25 C.⎝⎛⎭⎫25，35D.⎝⎛⎭⎫35，55解析：选A 由题意可知，椭圆的上、下顶点在圆内，左、右顶点在圆外，则⎩⎨⎧a ＞b2＋c ，b ＜b2＋c ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)，a 2－c 2＜2c ，解得55＜e ＜35.2．(2018·南昌摸底考试)P 为椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ，若PF 1⊥PF 2，则|PH |＝( )A.254B.83 C ．8D.94解析：选D 由椭圆x 225＋y 29＝1得a 2＝25，b 2＝9，则c ＝a 2－b 2＝25－9＝4， ∴|F 1F 2|＝2c ＝8.由椭圆的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， ∵PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝64.∴2|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝100－64＝36， ∴|PF 1|·|PF 2|＝18.又S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12|F 1F 2|·|PH |，∴|PH |＝|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|＝94.故选D.3．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设M (m ，n )，则D (m,0)，N (m ，－n )． 由题设知m ≠±2，且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m )． 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－m ＋2n(x －m )，y ＝n2－m (x －2)，解得点E 的纵坐标y E ＝－n (4－m 2)4－m 2＋n 2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.第二课时 直线与椭圆的综合问题考点一 弦中点问题[典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( )A.12 B.22 C.32D.55[解析] 设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得，(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝ －b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝ 1－b 2a 2＝32，故选C. [答案] C[解题技法]1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤2．解有关弦中点问题的注意点对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．[题组训练]1．已知椭圆：x 29＋y 2＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝0解析：选C 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 219＋y 21＝1，x229＋y 22＝1，两式作差得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)9＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－19，所以弦所在的直线方程为y －12＝－19⎝⎛⎭⎫x －12，即x ＋9y －5＝0. 2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为________________．解析：设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37. 将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎨⎧y 21a 2＋x 21b2＝1，y 22a 2＋x22b 2＝1.两式相减并化简，得a2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50，所以a 2＝75，b 2＝25， 故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝1考点二 弦长问题[典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－3m2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝12－3m 22.当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6. [解题技法] 弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式．[题组训练]1．已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±12C. 2D ．±2解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝433－m 2＝423， 解得m ＝±1.2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． 解：(1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2， 又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1，所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－85，所以y 1＝3，y 2＝－335. 所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪3＋335＝835.考点三 椭圆与向量的综合问题[典例] (2019·长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E⎝⎛⎭⎫3，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝⎛⎭⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0， 则Δ＝144k 2＋144＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. [解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题． [题组训练]1．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点，BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，1解析：选C 根据题意不妨设B (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，因为BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，BF 1―→＝(－c ，－b )，BF 2―→＝(c ，－b )，|F 1F 2|2＝4c 2，所以b 2≥2c 2，又因为b 2＝a 2－c 2，所以a 2≥3c 2，所以0＜c a ≤33.2．已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，A 为短轴的一个端点，且|OA |＝|OF |，△AOF 的面积为1(其中O 为坐标原点)．(1)求椭圆D 的标准方程；(2)过椭圆D 长轴左端点C 作直线l 与直线x ＝a 交于点M ，直线l 与椭圆D 的另一交点为P ，求OM ―→·OP ―→的值．解：(1)因为|OA |＝|OF |，所以b ＝c ，又△AOF 的面积为1，所以12bc ＝1，解得b ＝c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆D 的标准方程为x 24＋y 22＝1.(2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x ＋2)， 代入x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1.又M (2,4k )， 所以OM ―→·OP ―→＝(2,4k )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 2－22k 2＋1，4k 2k 2＋1＝4.[课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23.2．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A.223B.423C. 2D ．2解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝⎛⎭⎫43，－13，所以|AB |＝423. 3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0， 则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4(t 2－1)5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2·⎝⎛⎭⎫－85t 2－4×4(t 2－1)5 ＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105. 4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→，则该椭圆的离心率为( )A.32B.23C.22D.33解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又AF ―→＝2FB ―→，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b 2，－2y 22＝－b4a 2＋b2.∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23，故选B. 5．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G .∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线， ∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点．∵O 为F 1F 2中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a＞1)，由|AB |＝3，知点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a 2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32.答案：328．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ， 弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1 ①，x 224＋y 222＝1 ②， ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝09．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R )上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△FAB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)因为S △FAB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )， 则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a2＋y 20＝1， k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2(x 2－x 20)x 2－x 2＝－1a 2＝－13， 所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2， 所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＝63.10．(2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，ab ＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4消去x ，可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0. Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m 2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.B 级——创高分自选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M ⎝⎛⎭⎫0，18，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程． 解：(1)由e ＝12，得a ＝2c ，易知|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，由余弦定理，得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos A ＝|F 1F 2|2， 即4＋(2a －2)2－2×2×(2a －2)×12＝a 2，解得a ＝2，则c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k 3＋4k 2， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又M ⎝⎛⎭⎫0，18，则k MN ＝18＋3k 3＋4k 20－4k 23＋4k 2＝－24k ＋3＋4k 232k 2. ∵MN ⊥P Q ，∴k MN ＝－1k ，得k ＝12或32，则k MN ＝－2或k MN ＝－23，故直线MN 的方程为16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝0.2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )， 所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2(n －y )，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝(2＋1)x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋(2＋1)22y 2＝(2＋1)2，整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)22＝1，即4k 2(k 2＋2)2＋8(k 2＋2)2＝1，解得k 2＝2，即k ＝±2， 此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.。
椭圆高考必会知识点
椭圆高考必会知识点在高考的数学考试中，椭圆是一个重要的考点，学生需要熟悉和掌握相关的知识。
本文将介绍椭圆的定义、性质及其在解决数学问题中的应用。
一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的轨迹。
其中，两个固定点之间的距离被定义为焦距，焦距的一半被表示为c。
另外，连接两个焦点的长度的一半被定义为半焦距，半焦距的表示为ae。
椭圆的定义可以用数学方程表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a 和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
椭圆的中心为原点O(0,0)，半长轴和半短轴分别与x轴和y轴平行。
椭圆具有以下性质：1. 两焦点关于x轴和y轴对称；2. 长轴与x轴夹角为α，有tanα = b/a；3. 短轴与x轴夹角为β，有tanβ = a/b；4. 长轴和短轴的长度满足a>b。
二、椭圆的方程及常见图形1. 标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
通过标准方程，我们可以确定椭圆的形状和大小。
2. 常见图形：根据椭圆的标准方程，我们可以得到不同形状的椭圆。
当a=b时，椭圆变为圆；当a>b时，椭圆在x轴上展开，较短的轴在y轴上；当b>a时，椭圆在y轴上展开，较短的轴在x轴上。
三、椭圆的焦点和准线1. 焦点：椭圆的焦点是椭圆定义中的两个固定点，记为F1和F2。
根据椭圆的定义，任意一点P到焦点F1和F2的距离之和等于常数，即PF1 + PF2 = 2a。
焦点在椭圆的长轴上，且与短轴的中点连线垂直。
2. 准线：椭圆的准线是椭圆上所有与焦点和直径平行的直线。
准线与椭圆的性质密切相关，在解决数学问题中常常需要利用准线的性质进行推导和计算。
四、椭圆的参数方程除了标准方程外，我们还可以通过参数方程来表示椭圆。
椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中θ为参数，取值范围为0°≤θ≤360°或0≤θ≤2π。
专题20椭圆(学生版)-2021年高考数学二轮复习专题核心考点突破
专题20椭圆【考点命题趋势分析】1专题综述椭圆是圆锥曲线的重要组成部分，是解析几何的核心内容之一，椭圆在解析几何中起着承前启后的作用，同时也是历届高考命题的热点和焦点.笔者统揽近三年高考数学全国卷和各省市卷，高考对椭圆部分的考查大都聚焦在以下三个方面:其一，考查椭圆的定义、标准方程和简单的几何性质；其二，考查直线与椭圆的位置关系；其三，考查椭圆相关的综合问题(定点、定值、最值及范围问题).解析几何是以坐标为桥梁，用代数知识来研究几何问题是其本质特征.将椭圆与平面几何、向量、函数、数列、不等式、导数等知识融合命制考题，既广泛而深入地考查了数形结合、转化与化归、分类整合、函数与方程等数学思想以及灵活运用椭圆知识观察、分析和解决问题的能力，同时又对考生的几何直观、逻辑推理和数学运算等素养提出了较高的要求.下面主要以高考试题为例，对椭圆相关的考点举例阐述，以期对今年高考复习有所帮助.典型例题与解题方法2考点剖析2.1椭圆方程及其几何性质求动点的轨迹或是轨迹方程是圆锥曲线的常见问题，椭圆也不例外，一般设置在第一问.这要求学生能熟练地使用常用的方法:直接法、定义法、相关点法、交轨法和代换法，另外，几何性质的灵活运用也往往起到事半功倍之效.一般求解步骤是:建系一设点一坐标代换一化简一检验.注意求轨迹方程和求轨迹应是两种不同的结果表述，前者是方程，后者是图形.例1设圆x2+y2+2x−15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程.例2已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切，则C的离心率为( )A．√63B．√33C．√23D．132.2直线与椭圆的位置关系在函数与方程思想的统领下，直线与椭圆的位置关系重点考查以下内容:其一，直线与椭圆的位置关系；其二，直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线的方程；其三，直线与椭圆相交，被直线截得的弦长等问题.直线与椭圆的位置关系常用的判断方法有:代数法和坐标变换法.直线与椭圆相交，有关中点弦所在直线方程常用求法有:韦达定理法、点差法、直线参数方程法和对称设点法；直线与椭圆相交，求直线被截得的弦长常用求解方法有:韦达定理法、过焦点弦长公式(利用椭圆第二定义)以及利用过椭圆上一点的切线方程等方法.例3过椭圆x 216+y 24=1内一点M (2，1)引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程.例4设椭圆x 2a 2+y 2=1(a >1)，求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示). 2.3与椭圆相关的综合问题在数形结合思想统领下椭圆的综合问题主要考查以下内容:斜率和离心率范围、定点问题、定值问题和最值问题等.定点、定值一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的问题以及与椭圆有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题.椭圆中最值问题大致可分为两类:一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或椭圆中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题.椭圆的探索性问题主要体现在以下方面:(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立，涉及这类命题的求解主要是研究直线与椭圆的位置关系问题.例5已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，A (a ，0)，B (0，b )，O (0，0)，△OAB 的面积为1 (I )求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设P 在椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N .求证:|AN |⋅|BM |为定值. 3复习对策与建议(1)立足基础，把控规律，回归教材.从宏观上把握椭圆问题的解题要点，注重通性通法、一题多解和多题化归，优化解题过程，淡化特殊技巧，掌握常用的一些解题策略.(2)发掘几何性质，简化代数运算.高度重视对椭圆的定义与几何性质、解析法的理解与运用，既可提高解题效率，又可以提升学生的信心.重视运算能力与运算速度的提高，特别是字母式的变形运算，在平时的训练中要注重算理、算法，细化运算过程，转化相关条件，注重整体代换等运算技能的培养.重视椭圆与函数、导数、方程、不等式等知识的交汇训练.(3)注重数学思想和能力的训练，不断积累解匙经验.重视数形结合、转化化归、分类整合以及函数与方程思想的训练；培养学生善于透过问题背景扣住问题本质的能力；培养学生善于合理简化和量化，建数学模型的能力，培养学生能用精确和简洁的数学语言表达数学问题的能力.积累多方位、多角度探寻解决问题的经验.最新模拟题强化训练1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若90ABF ∠=︒，则椭圆C 的离心率为()A B ．12C ．14+ D ．142．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．143．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A．12-B．2C．12D14．(2017新课标全国卷Ⅲ文科)已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．135．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为F 1,F 2过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B的周长为C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y +=D ．221124x y +=6．已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则21e 2e 2+的最小值为( )AB ．3C ．6D7．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是C 上的点，2PF ⊥1F 2F ，∠12PF F =30，则C 的离心率为( )A B ．13C ．12D ．38．设P 是椭圆22116925x y +=上一点，M ，N 分别是两圆：()22121x y ++=和()22121x y -+=上的点，则PM PN +的最小值、最大值分别为( )A ．18，24B ．16，22C ．24，28D ．20，269．已知点(,4)P n 为椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点，12,F F 是椭圆C 的两个焦点，如12PF F ∆的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为( )A ．57B ．23C ．35D ．4510． 直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为 ( ) A ．13B ．12C ．23D ．3411．已知点P 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，已知12120F PF ∠=，且122PF PF =，则椭圆的离心率为______．12．已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.13．已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为___.14．已知椭圆2221x y a+=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭圆上，则12PF F ∆的周长为__________．15．已知椭圆22:143x y C +=的左右两焦点为12,F F ,ABC ∆为椭圆的内接三角形，已知2(3A ，且满足2220F A F B F C ++=,则直线BC 的方程为__________．16．已知直线230x y +-=与椭圆()222210x ya b a b+=>>相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点在直线3410x y -+=上，则此椭圆的离心率为______．17．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______．18．如图，在ABC 中，已知120BAC ∠=︒其内切圆与AC 边相切于点D ，延长BA 到E ，使BE BC =，连接CE ,设以,E C 为焦点且经过点A 的椭圆的离心率为1e ，以,E C 为焦点且经过点A 的双曲线的离心率为2e ，则当1221e e +取最大值时，AD DC的值为__．19．设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为__________．20．已知点是抛物线：214y x =与椭圆：()222210x y b a a b+=>>的公共焦点，2F 是椭圆2C 的另一焦点，P 是抛物线1C 上的动点，当12PF PF 取得最小值时，点P 恰好在椭圆2C 上，则椭圆2C 的离心率为_______.21．在平面直角坐标系中，()2,0A -，()2,0B ，设直线AC 、BC 的斜率分别为1k 、2k 且1212k k ⋅=- ， (1)求点C 的轨迹E 的方程；(2)过()F 作直线MN 交轨迹E 于M 、N 两点，若MAB △的面积是NAB △面积的2倍，求直线MN 的方程．22．已知椭圆C ：2222=1x y a b +(a>b>0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(–1，P 4(1中恰有三点在椭圆C 上. (Ⅰ)求C 的方程；(Ⅱ)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.23．已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.24．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，右顶点是()2,0A ，离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆交于两点,M N (,M N 不同于点A )，若0AM AN ⋅=，求证:直线l 过定点，并求出定点坐标.25．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3AB =(1)求椭圆的方程；(2)设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ． (1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB ，求直线l 的方程． 27．已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； (Ⅱ)若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由．28．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>1,2⎛ ⎝⎭在E 上. (1)求E 的方程；(2)设直线:2l y kx =+与E 交于A ，B 两点，若2OA OB ⋅=，求k 的值.29．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. (I)求椭圆的方程和抛物线的方程；(II)设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B (B 异于点A )，直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为2AP 的方程.30．已知离心率为√22的椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1 (a >b >0)经过点A(1,√22). (1)求椭圆E 的方程； (2)若不过点A 的直线l:y =√22x +m 交椭圆E 于B,C 两点，求ΔABC 面积的最大值.。
高考数学一轮复习 热点难点精讲精析 8.4椭 圆
高考一轮复习热点难点精讲精析：8.4椭 圆（一）椭圆的定义以及标准方程 ※相关链接※ 1.椭圆定义的应用利用椭圆的定义解题时，一方面要注意常数2a>|F1F2|这一条件；另一方面要注意由椭圆上任意一点与两个焦点所组成的“焦点三角形”中的数量关系.2.椭圆的标准方程（1）当已知椭圆的焦点在x 轴上时，其标准方程为22x a +22y b =1(a>b>0)；当已知椭圆的焦点在y 轴上时，其标准方程为y a 22+y b22=1(a>b>0)；（2）当已知椭圆的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为2x m +2y n=1(m>0,n>0,m ≠n)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2+By 2=1(A>0,B>0,A ≠B)这种形式,在解题时更简便.求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。
用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能。
（2）设方程：根据上述判断设方程222222221(0)1(0)x y x y a b a b a b b a+=>>+=>>或。
（3）找关系：根据已知条件，建立关于a b c m n 、、或、的方程组。
（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。
注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为221(0,0)Ax By A B A B +=>>≠且，这种形式在解题时更简便。
※例题解析※〖例1〗已知F 1、F 2为椭圆2x 25+2y 9=1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|=____；方法诠释：注意|AF 1|+|AF 2|=10，|BF 1|+|BF 2|=10,且|AF 1|+|F 1B|=|AB|，再结合题设即可得出结论； 解析：由椭圆的定义及椭圆的标准方程得： |AF 1|+|AF 2|=10,|BF 1|+|BF 2|=10, 又已知|F 2A|+|F 2B|=12， 所以|AB|=|AF 1|+|BF 1|=8. 答案：8〖例2〗已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P 到两焦点的距离分别为5、3，过P 且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。
高考数学一轮总复习 第七章 解析几何 第5讲 椭 圆课件
则 C 的方程为( )
A.x22＋y2＝1 C.x42＋y32＝1
B.x32＋y22＝1 D.x52＋y42＝1
答案：B
(2)(2014 年大纲)已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦
点为 F1，F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A，B 两点.
若△AF1B 的周长为 4 A.x32＋y22＝1 C.1x22 ＋y82＝1
3，则 C 的方程为( ) B.x32＋y2＝1 D.1x22 ＋y42＝1
(1)若__a_＞__c___，则集合 P 为椭圆； (2)若 a＝c，则集合 P 为线段； (3)若 a<c，则集合 P 为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1(a>b>0)
ay22＋bx22＝1(a>b>0)
图形
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
性 对称性 质
对称轴：坐标轴
答案：12
图 D38
考点 2 椭圆的标准方程 例 2：(1)(2015 年新课标Ⅰ)已知椭圆 E 的中心为坐标原点，
离心率为12，E 的右焦点与抛物线 C：y2＝8x 的焦点重合，A，
B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则|AB|＝( )
A.3
B.6
C.9
D.12Βιβλιοθήκη 解析：∵抛物线 C：y2＝8x 的焦点为(2,0)，准线方程为 x＝－2，∴椭圆 E 的右焦点为(2,0).∴椭圆 E 的焦点在 x 轴上， 设方程为ax22＋by22＝1(a>b>0)，c＝2，∵e＝ac＝12，∴a＝4.∴b2＝ a2－c2＝12.∴椭圆 E 的方程为1x62 ＋1y22 ＝1，将 x＝－2 代入椭圆 E 的方程得 A(－2,3)，B(－2，－3).∴|AB|＝6.故选 B.
人教版数学高二高二解析几何综合复习资料3椭 圆
高二解析几何综合复习资料（3）椭 圆一、基础知识：1、椭圆的定义：（1）椭圆的第一定义：__________________________________________________。
（2）椭圆的第二定义____________________________________________________。
2、椭圆的准方程、图形、性质：3、椭圆的参数方程：4. 直线与椭圆位置关系：（1）相离：①相离⇔⎪⎩⎪⎨⎧+==+b kx y b y a x 12222无解 ②求椭圆上动点P （x ，y ）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l '∥l 且l '与椭圆相切） ③关于直线的对称椭圆。
（2）相切①相切⇔⎪⎩⎪⎨⎧+==+b kx y by a x 12222有一解 ②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为P x y xx a yy b 00002021()+= （3）相交：①相交⇔⎪⎩⎪⎨⎧+==+b kx y b y a x 12222有两解 ②弦长公式：________________________________ 二、基础练习：1.如果椭圆1162522=+y x 上的点A 到右焦点的距离等于4,那么点A 到两条准线的距离分别是 ( )A 、8, 320B 、10, 320C 、10, 6D 、10, 82. 椭圆的两焦点把两准线间的距离三等分,则这个椭圆的离心率是 ( ) A 、3 B 、23 C 、33D 、 以上都不对 3. P 为椭圆14522=+y x 上的点，21,F F 是两焦点，若 3021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ）标准方程)0(12222>>=+b a bya x)0(12222>>=+b a b xa y图形 范围 顶点 对称轴 焦点 焦距离心率准线 参数方程 焦半径 通径A 、3316 B 、 )32(4- C 、)32(16+ D 、16 4. 椭圆13422=+y x 内有一点P(1,-1),F 为右焦点,椭圆上有一点M,使MF MP 2+最小,则点M 为( )A 、)1,362(- )23,1.(±B C 、)23,1(- D 、)1,362(-±5.椭圆的对称轴在坐标轴上，长轴是短轴的2倍，且过点（2，1），则它的方程是_____________.6.如图21,F F 分别为椭圆12222=+b y a x 的左、右焦点,点P 在 椭圆上,2POF ∆是面积为3的正三角形,则2b 的值是____.7 设A(-2,0),B(2,0),ABC ∆的周长为10,,则动点C 的轨迹方程为: __________. 8. 椭圆141622=+y x上有两点P 、Q ,O 为原点,若OP 、OQ 斜率之积为41-,则22OQ OP+ 为 ( )A . 4 B. 64 C. 20 D. 不确定 9. 过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的焦点F(c, 0)的弦中最短弦长是 ( )A. a b 22B. b a 22C. a c 22D. bc 2210. 过椭圆左焦点F 且倾斜角为60的直线交椭圆于A 、B 两点，若FB FA 2=，则椭圆的离心率为（ ） A ．32 B. 22C. 21D. 32三、典型例题：例1. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴，离心率23=e ，已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标。
高考数学椭圆考点
高考数学椭圆考点高考数学中，椭圆是一个重要的考点。
椭圆是平面解析几何中的一个重要曲线，也是常见的二次曲线之一。
在椭圆的相关知识点中，包括椭圆的定义、性质、方程、参数方程以及椭圆的相关定理等。
首先，椭圆的定义是指平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
这两个给定点叫做椭圆的焦点，以及一个常数叫做椭圆的长轴长度。
椭圆的轨迹是一个闭合曲线，曲线的形状与其焦点和长轴的长度有关。
在解析几何中，我们通常使用坐标来描述椭圆。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴的长度。
这个方程表示了椭圆上的点到椭圆中心的距离与长轴和短轴长度的关系。
椭圆的一些基本性质也是我们需要了解的。
首先，椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴。
长轴是连接两个焦点的直线段，而短轴是相互垂直于长轴的直线段。
椭圆的参数方程也是我们需要掌握的知识点。
通常我们可以使用参数方程x = a*cosθ，y = b*sinθ来描述椭圆上的点。
其中，θ是参数，a和b是椭圆的参数。
在高考数学中，椭圆的相关定理也是需要掌握的。
其中包括椭圆的切线定理和法线定理。
椭圆的切线定理是指，椭圆上任意一点的切线与该点的切线相关联，切线的斜率的倒数等于椭圆的斜率，而椭圆的法线是与切线相互垂直的直线。
除了切线和法线定理，另一个重要的定理是椭圆的离心率定理。
椭圆的离心率定义为焦点到椭圆中心的距离与椭圆长轴长度的比值。
椭圆的离心率决定了曲线的形状，当离心率小于1时，椭圆是闭合曲线；当离心率等于1时，椭圆是抛物线；当离心率大于1时，椭圆是双曲线。
在解题过程中，我们可以利用椭圆的性质和定理来解决各种与椭圆相关的问题。
例如，我们可以利用椭圆的切线定理来求椭圆上某一点的切线方程，或者利用椭圆的离心率定理来判断椭圆的形状。
椭圆还与其他数学内容有一定的联系。
例如，椭圆和三角函数之间存在一种关系，称为三角型。
通过椭圆的参数方程和三角函数的相关知识，我们可以深入研究椭圆与三角函数之间的关系。
高三数学关于椭圆的知识点
高三数学关于椭圆的知识点椭圆是解析几何中的一个重要概念，它在数学和物理等领域都有广泛的应用。
本文将介绍高三数学中关于椭圆的知识点，包括定义、性质和相关公式。
一、椭圆的定义椭圆是一个平面上的几何图形，其定义为到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点的集合。
这两个定点称为椭圆的焦点，常数2a称为长轴的长度。
二、椭圆的性质1. 焦点与顶点的关系：椭圆的焦点在其长轴上，且离顶点的距离等于椭圆的离心率e乘以长轴的长度。
2. 弦的性质：对于一个椭圆，通过焦点F1、F2的弦恰好与椭圆的法线相互垂直。
3. 离心率的性质：椭圆的离心率e是一个介于0和1之间的实数，用来描述椭圆的独特程度。
当e=0时，椭圆退化为一个圆；当e=1时，椭圆退化为一个抛物线。
4. 外接矩形的性质：椭圆的外接矩形的面积等于长轴长度a乘以短轴长度b。
三、椭圆的相关公式1. 椭圆的标准方程：对于一个以原点为中心的椭圆，其标准方程可以表示为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
2. 椭圆的焦点坐标：以原点为中心的椭圆的焦点坐标可以表示为(-c, 0)和(c, 0)，其中c^2 = a^2 - b^2。
3. 椭圆的离心率公式：椭圆的离心率e可以表示为e = c/a。
4. 椭圆的焦距公式：椭圆的焦距f可以表示为f = 2a。
四、椭圆的应用椭圆在数学和物理中有广泛的应用。
在数学领域，椭圆用于描述曲线的形状和方程的解。
在物理领域，椭圆用于描述行星的轨道、卫星的轨道和拱桥的形状等。
例如，开普勒定律描述了行星运动的规律，其中行星绕太阳的轨道是一个椭圆。
根据椭圆的性质和公式，可以推导出行星的速度和轨道半径之间的关系。
在构造和设计领域，椭圆也被广泛使用。
例如，建筑师使用椭圆曲线来设计拱形建筑物，这样可以增加结构的稳定性和美观性。
总结：椭圆是解析几何中的重要概念，具有许多特殊性质和应用。
掌握椭圆的定义、性质和相关公式，对于解决数学和物理中的问题具有重要的意义。