高数A函数的极限
高数函数极限与连续
通常用符号"lim(x->x0) f(x) = f(x0)"表示函数f(x)在点x0处连 续。
间断点类型及判定方法
第一类间断点
左右极限都存在，包括可去间断 点（左右极限相等但不等于函数 值）和跳跃间断点（左右极限不 相等）。
第二类间断点
左右极限至少有一个不存在，包 括无穷间断点（极限为无穷大） 和震荡间断点（极限震荡不存 在）。
高数函数极限与连续
contents
目录
• 函数极限概念与性质 • 数列极限与收敛性判断 • 函数连续性概念与性质 • 闭区间上连续函数性质研究 • 极限与连续在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01 函数极限概念与性质
函数极限定义及表示方法
函数极限的定义
设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数 ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
数列极限的符号表示
若数列{an}的极限为a，则记作lim(n→∞)an=a。
收敛数列性质与判定定理
1 2 3
收敛数列的有界性
收敛数列一定是有界数列，但反之不一定成立。
收敛数列的保号性
若数列收敛于a，且a>0（或a<0），则存在正 整数N，使得当n>N时，数列的通项an也大于0 （或小于0）。
判定定理
洛必达法则
对于0/0型或∞/∞型的未定式极限，可通过 求导后求极限来解决。
因式分解法
通过因式分解简化数列的通项表达式，进而 求极限。
高等数学A(1)复习资料精选全文
可编辑修改精选全文完整版高数A （1）复习资料一、极限计算：常用方法包括等价无穷小替换，洛必达法则，两个重要极限。
解题思路：首先判断是否为未定式，否则化成未定式类型（特别注意幂指函数情形利用对数函数性质转化；加减法类型一般通分；如果无穷多项相加则要先求和，如果不能直接求和可能需要利用夹逼准则放缩后后再求和；），对于未定式类型先考虑利用等价无穷小替换后再利用洛必达法则。
注意：函数中如果出现幂指函数类型也可以考虑直接利用第二个重要极限处理，注意处理技巧。
如果出现变上限函数类型，注意变上限函数的导数如何计算，特别是上限为x 的函数，也就是积分上限函数为复合函数时求导要利用链式法则；如果积分上限函数被积函数不是积分变量的一元函数，则将其他变量提出到积分号外面，或者利用换元法化到积分限上。
常用等价无穷小：2~cos 1~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin 2x x x x x x x x x x -，，x x x e x x x αα~1)1(,~1,~)1ln(-+-+（0→x ）练习题：1． 设822lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则___________=a ； 2． ____________________arctan lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x x x ；3．=+→xx x sin 2)31(lim .4. 0tan sin lim sin x x x x x→-- 5. 0ln sin 5lim ln sin 2x x x →+ 6. 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 7. 2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰二、无穷小比较：高阶，同阶，等价的定义处理思路：转化为求极限问题，特别是同阶无穷小；注意如果分式极限存在，分母为无穷小量，则分子也一定为无穷小量。
高数函数的极值与最大最小值
C(x) = x3 例8. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 − 6x2 +15x, 售出该产品 x 千件的收入是R(x) = 9x, 问是否 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来. 解: 售出 x 千件产品的利润为 p(x) = R(x) − C(x) = −x3 + 6x2 − 6x p′(x) = −3x2 +12x − 6 = −3(x2 − 4x + 2) 令p′(x) = 0, 得 x1 = 2 − 2 ≈ 0.586 y x2 = 2 + 2 ≈ 3.414 p(x) 又 p′′(x) = −6x +12, 2− 2 p′′(x1) > 0, p′′(x2 ) < 0 2+ 2 x O 故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损.
第三章 三 第五节 函数的极值与 最大值最小值
一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法 二、最大值与最小值问题 最大值与最小值问题
目录
上页
下页
返回
结束
一、函数的极值及其求法 函数的极值及其求法
定义: 定义 在其中当 (1) 则称 称 (2) 则称 称 为 为 时, 的极大值点 , 极大值点 为函数的极大值 ; 极大值 的极小值点 , 极小值点 为函数的极小值 . 极小值
最小值
f (a), f (b)}
目录
上页
下页
返回
结束
特别: 特别 •当 在 内只有一个极值可疑点时,
若在此点取极大 (小) 值 , 则也是最大 (小)值 . •当 在 上单调 单调时, 最值必在端点处达到. 单调
高数a大一上知识点总结
高数a大一上知识点总结高数(a)是大学里一门非常重要的课程，它为我们打开了数学的大门。
在这门课程中，我们掌握了很多重要的数学概念和技巧。
在本文中，我将对大一上学期的高数(a)课程中的一些重要的知识点进行总结和回顾。
1. 极限与连续在高数(a)课程中，我们首先学习了极限与连续的概念。
极限是数列或函数逐渐趋近于某个特定值的过程。
我们学习了极限的定义、基本运算法则以及一些常见的极限计算方法。
同时，我们也研究了连续函数的性质和判定方法。
这些知识帮助我们理解数学中一些重要的概念，奠定了后续学习的基础。
2. 导数与微分导数是高数(a)课程中的重要内容之一。
它描述了函数在某一点的变化率。
我们学习了导数的定义、基本的求导法则和一些常见函数的导数。
导数的应用非常广泛，它可以用于函数的图像分析、最值问题的求解等。
微分则是导数的一种应用，它描述了函数值的微小变化与导数之间的关系。
3. 微分中值定理与曲线的凸凹性微分中值定理是高数(a)课程中的重要定理之一。
它描述了函数在某个区间内取得特定值的条件，也为我们提供了在函数图像上找到关键点的方法。
曲线的凸凹性则是通过二阶导数的正负性判断出的，它对函数图像的形状和特性有很重要的影响。
4. 积分与定积分积分是高数(a)课程的另一个重要内容。
它是导数的逆运算，描述了函数在某一区间上的总变化量。
我们学习了积分的定义、基本的积分法则和一些特定函数的积分。
定积分则是对函数在某个区间上的积分值的求解。
积分的应用非常广泛，可以用于计算曲线下的面积、求函数的平均值等。
5. 微分方程微分方程是高数(a)课程中的重要部分之一。
它是描述自然界中各种变化现象的数学模型。
我们学习了常微分方程的基本理论和解法。
微分方程在物理、生物等领域有着广泛的应用，掌握这一部分知识有助于我们理解和应用自然界的各种规律。
在大一上学期的高数(a)课程中，我们初步掌握了这些知识点。
这些知识点是我们后续学习更深入的数学课程的基础，同时也是我们培养数学思维和解决问题的能力的重要工具。
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
大学高数-函数的极限
x2 4
例5 lim
4
x2 x 2
1 lim 1 x1 x
x2 x 1
例6
求
f
( x)
x
1
2
1
x 1 在 x = 1 处的极限. x 1
解
y
lim f (x) lim x2 1
x1
x1
lim f (x) lim (x 1) 0
x1
x1
1
1 2
O1
x
单侧极限:
左极限(Left Limits) x 从左边趋于 x0
例如, {xn}: 0, 2, 0, 4, , 0, 2n, 0,
通过上面演示实验的观察:
当n无限增大时 , xn
n (1)n n
无限趋于1
当n
无限增大时,
xn
1 n
无限接近于0
所以有：
lim 1 0 n n
n (1)n
lim
1
n
n
一般地， 当n 时,若xn趋于某一常数a,
则称xn以a为极限
记为：
lim
n
xn
a
函数与极限
12
考察下列四个数列的极限
1
1 , 1 , 1 ,L , 1 ,L ; 2 4 8 2n
x0
x0
lim f ( x) lim x sin 1 0,
x0
x0
x
左极限存在, 右极限存在,
lim f ( x) lim f ( x)
x0
x0
lim x0
f (x)
不存在.
一般地：初等函数在定义域内所有点处 的极限就为函数在这一点的函数值
三、无穷小量与无穷大量
高数函数的极限
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A ≥ 0 . 思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) > 0, 是否必有 A > 0? 不能! 不能 如
20
定理3’ 若 定理 使当 分析: 分析
A , 则在对应的邻域 若取 ε = 2 A 3A A > 0: < f (x) < 2 2
则存在 时, 有
(P37 )
xn ≠ x0 , f (xn ) 有定义
有 lim f (xn ) = A.
n→ ∞
且
(xn →∞)
说明: 说明 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列
n→∞
xn ≠ x0 ,
使 lim f (xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n→∞
′ 的不同数列 { xn}及 { xn}, 使
n→∞
第三节 函数的极限
第一章
一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限
1
函数极限的定义 从函数的观点看，数列是下标变量 n 的函数 xn = f (n) 它有极限 A, 也可以这样叙述：若在自变量 n →∞ 时， 相应的函数 f (n) → A 则称当 n →∞ 时，函数 这种定义数列极限的思维方法也适合 xn = f (n)有极限。 于一般的函数 f (x)，由于 f (x) 的自变量x 变化方式的 不同，f (x) 的极限定义就有不同的形式，需分类定义。 设有函数 y = f (x) ,自变量的变化过程可以有六种形式:
0.001 若 取 ε = 0.001 δ = = 0.0002 5
x→ 2
13
2. 左极限与右极限 例： f ( x) = 3x +1 列表看趋势
高数1.3 函数极限的性质与运算法则
原式 =
xa
4 2
x a
推广:设 lim f ( x ) C , 且 C 0, 则 lim f ( x ) C .
推论1.4 (函数极限与数列极限之间的关系)
如果 lim f ( x ) A, 则对任意满足 lim xn a,
x a
n
且 xn a, n 1 的数列 { xn }， 有
如果数列 { xn }收敛于A, 则它的任意子数列
也收敛于A. 证 设 { xn } 是 { xn } 的任一子列. k 令
xn f (n), nk g(k )
显然有
n
lim f ( n) A, lim g( k ) .
k
由定理1.17有
k
lim xnk lim f [ g( k )] A.
于是 B A 为无穷小, 与 A B 矛盾. 定理1.10 (局部有界性)
若 lim f ( x )存在, 则 f ( x )在 x0的某空心邻域有界.
x x0
定理1.11 (局部保号性) 1. 设 lim f ( x ) A, 且 A 0, 则 0,
当 x U ( x0 , )时 , f ( x )与 A 同号.
子数列(简称子列).
设在数列 { xn }中, 第一次抽取 xn1 , 第二次在 x n1
后抽取 xn2 , 第三次在 x n2后抽取 x n3 , 无休止地
抽取下去得到子数列
xn1 , xn2， , xnk ,
注意: {nk } 严格单调递增，显然有 nk k .
推论1.3 (收敛数列与其子数列间的关系)
3x 2x 1 例 求 lim 3 ( 型 ) 同除以x的最高次幂 x x 3 x 5
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小; 0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
1.定义 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,存在常
数A， 0, 0当, 0 x x0 时, 有 f (x) A
n)}必收敛 且
lim
n
f (xn )
lim
xx0
f
(x)
子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)
定义 设在过程x a(a可以是x0 , x0 ,或x0 )中 有数列xn( a),使得n 时xn a.则称数列
f ( xn ),即f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ), 为函数f ( x)
定理1 如果lim f (x)(或 lim f (x))存在，那么极限是惟一的
xx0
x
定理2 如果 lim f (x) A ，那么存在常数M>0和δ>0， xx0
使得当0<|x-x0|<δ 时，有|f(x)|≤M.
证明 因为f(x)A(xx0) 所以对于 1 0 当0|xx0|时 有|f(x)A| 1 于是当 0|x x0 |时
第三节
函数的极限
lim
n
xn
a
0, 正整数N
0,当n
N时，
有 xn
a
.
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、自变量趋于有限值时函数的极限
问题:函数 y f ( x)在 x x0的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于一个确定数 A.
则称常数 A 为函数 当
时的极限, 记作
lim f (x) 有
y
A
A
A
y f (x)
x0 x0 x
这表明:
极限存在 函数局部有界
(P36定理2)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 证明
证:
f (x) A
故 0, 对任意的 0, 当
时,
总有 因此
因此
例4. 证明
不证: f (x) A
故 0, 取 , 当 x2 1 2
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时 , 必有
例5. 证明: 当 时
证:
1 x0
x x0
0, 欲使
只要
且
而
可用
保证 . 故取
min x0 , x0, 则当 0 x x0 时, 必有
x
f (x) A
时, 有
0, X 0, 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的水平渐近线
例如，
1
1
都有水平渐近线 y 0;
1 x
x
又如，
都有水平渐近线 y 1.
二、函数极限的性质 唯一性,局部有界性,局部保号性,传染性
例2
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
当0 x x0 时,
f ( x) A x x0 成立,
lim x x0
x
x0 .
例3. 证明
证:
2 x 1
0, 欲使
只要
取 2 , 则当 0 x 1 时 , 必有
当x a时的子列.
定理
若 lim xa
f
(x)
A,数列f
( xn )是f
( x)当x
a
时的一个子列, 则有lim n
f
( xn )
A.
不证 lim f ( x) A x x0 0, 0,使当0 x x0 时, 恒有 f (x) A .
又 lim n
xn
x0
且
xn
x0 ,
对上述 0, N 0,使当n N时, 恒有
xx0
lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0 ( P39 题11 )
例6. 设函数
f
(
x)
x 0
1, ,
x 1 ,
x0 x0 x0
y
y x 1
1
o 1
x
y x 1
讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
lim f (x) lim (x 1) 1
x
x X 或x X
A f (x) A
几何解释:
y
A
A
y f (x)
A
X o 直线 y = A 为曲线
X
x
的水平渐近线
例7. 证明 lim 1 0. x x
证:
10 1
x
x
故 0, 欲使
取X 1,
因此
即 就有
注:
y
y
1
x
ox
两种特殊情况 :
lim f (x) A 0, X 0, 当
|f(x)||f(x)AA||f(x)A||A|1|A|
局部保号性定理
定理3 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f (x) 0. (P37定理3) ( f (x) 0)
证: 已知
即 0,
当
时, 有 当 A > 0 时, 取正数
则在对应的邻域
上
定理3`若: 时, 有
则存在
不证，分析:
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x0
二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设
大于某一正数时有定义, 若存在常数A，
0, X 0,
则称常数
A 为函数
时的极限, 记作
lim f (x) A
因此
lim
x x0
x
x0
o x x0
x
3. 左极限与右极限
左极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当
时, 有
x ( x0 , x0 )
右极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
定理
lim f (x) A
与已知
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A 0 .
(同样可证 f (x) 0 的情形)
思考: 若定理 中的条件改为 f (x) 0, 是否必有 A 0?
不能! 如
定理4(函数极限与数列极限的关系)
如果当xx0时f(x)的极限存在 {xn}为f(x)的
定义域内任一收敛于x0的数列 且
满足xn x0(nN) 那么相应的函数值数列{f(x
0 xn x0 .
从而有 f ( xn ) A ,
故
lim
x
f
(xn )
A.
思考与练习
1.
若极限 lim
x x0
f (x)存在,
是否一定有 lim
x x0
f
(x)
f
(x0 )
？
2. 习题1,2,3
p38: 3； 4 ; 5 （3）; 7;
若取 A , 则在对应的邻域
2
上
A 0:
A f (x) 3A
2
2
A 0: 3 A f (x) A
2
2
使当
推论 . 若在 的某去心邻域内 f (x) 0 , 且
则 A 0.
( f (x) 0)
(A 0)
证: 用反证法.
假设 A < 0 , 则由定理 1,
存在 的某去心邻域 , 使在该邻域内