正交小波包算法
小波包分解原理计算公式
小波包分解原理计算公式小波包分解是一种信号处理方法，它可以将信号分解成不同频率的子信号，从而更好地理解信号的特性和结构。
小波包分解的计算公式是其核心，下面我们将介绍小波包分解的原理和计算公式。
1. 小波包分解原理。
小波包分解是基于小波变换的一种信号分解方法。
小波变换是一种多尺度分析方法，它可以将信号分解成不同尺度的子信号，从而揭示信号的局部特征。
小波包分解是小波变换的一种推广，它可以更灵活地选择小波基函数，从而更好地适应信号的特性。
小波包分解的原理是将信号分解成不同频率的子信号。
在小波包分解中，我们首先选择一个小波基函数作为分解的基础，然后根据需要选择不同的尺度和频率，将信号分解成不同频率的子信号。
这样可以更好地理解信号的频率特性，从而更好地分析和处理信号。
2. 小波包分解计算公式。
小波包分解的计算公式是其核心。
在小波包分解中，我们首先需要选择一个小波基函数作为分解的基础。
常用的小波基函数包括Haar小波、Daubechies小波、Symlet小波等。
这些小波基函数具有不同的频率特性和尺度特性，可以根据需要选择合适的小波基函数。
假设我们选择了一个小波基函数ψ(t)，我们可以将信号f(t)进行小波包分解。
小波包分解的计算公式如下：\[D_{j,k} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\psi_{j,k}(t)dt\]其中，\(D_{j,k}\)表示信号f(t)在尺度为j，频率为k的小波基函数ψ(t)上的分解系数。
ψj,k(t)表示小波基函数ψ(t)在尺度为j，频率为k时的尺度变换和平移变换。
通过计算分解系数\(D_{j,k}\)，我们可以得到信号f(t)在不同频率和尺度上的子信号。
3. 小波包分解的应用。
小波包分解在信号处理领域有着广泛的应用。
它可以用于信号的去噪、压缩、特征提取等方面。
通过小波包分解，我们可以更好地理解信号的频率特性和尺度特性，从而更好地处理信号。
在实际应用中，我们可以根据需要选择不同的小波基函数和尺度、频率，进行小波包分解。
小波包PPT课件
引言
小波分解示意图----每层分解只对低频部分细分
S
A1
D1
A2
D2
A3
D3
4
引言
小波包分解，在小波分解的基础上进一步细分高频部分，达 到更优的时频局部化效果
S
A1
D1
A2,1
D2,1
A2,2
D2,2
5
A3,1
D3,1
A3,2
D3,2
A3,3
D3,3
A3,4
D3,4
小波包原理
❖ 所谓小波包，简单地说就是一个函数族。由 它们构造出的规范正交基库。从此库中可以 选出的许多规范正交基，小波正交基只是其 中的一组，所以小波包是小波概念的推广。
包，称为小波包系数。G，H为小波分解滤波器， H与尺度函数 有关，G与 j (t)有关。二进小波包 分解的快速算法为：
p01 (t) p 2i 1
j
f
(t) H (k
2t
)
p
i j
1
(t
)
k
p
2i j
k
G(k
2t
)
p
i j
1
(t
)
9
重构算法为：
p
i j
(t
)
2[
h(t
2k
)
p
2 i 1 j 1
(t
)
g
(t
2k
)
p
2i j 1
(t
)]
k
k
式中，j J 1, J 2,,1，0；i 2 j ,2 j1,,2,1;
J
log
N 2
, h,
g为小波重构滤波器，
基于正交小波包分解的语音去噪增强
ａ ｃ ｒ ｉｇ ｔ 盯 ｒ ｌ ．Ｆ ｎ ｌ ｃ ｏ ｄｎ ｏ ３ ｕ ｅ ｉ ａｌ ｙ．ｔｅ ｄ — ｏｓ ｎ ｎ ａ ｃ ｄ ｓ ｅ ｃ ｅ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｖａ ｔ ｅ ｉｖ ｒｅ ｗ ｖ ｌｔｐ ｃ ｅ ｈ ｅ ｎ ｉ ａ ｄ ｅ ｈ ｎ ｅ ｐ ｅ ｈ ｓ ｗｅｅ ｏ ｔ ｉｅ ｉ ｈ ｎ ｅ ａ ｅｅ ａ ｋ ｔ ｅ ｓ ｔ ｎ ｆｒ ｒ ｓ ｍ．Ｂ ｓ ｄ Ｏｌ ａ ｏ ａ ｅ ｉ ＭＡ ＡＢ，ｆｒ ｔｅ ｓ ｅ ｃ ｉｎ ｔ ｏ ｓ ｓ ｄ ｎ ｉ ｄ ａ ｄ ｅ ａ ｃ ｄ ＴＬ ｏ ｈ ｐ ｅ ｈ ｓ ａ ｗｉ ｎ ｉｅ ｗａ ｅ ｏｓ ｎ ｎ ｎ ｅ ．Ｔ ｅ ｅ ｐ ｒ ｎ ｓ ｓ ｏ ｇｌ ｈ ｅ ｈ ｈ ｘ ｅｍｅ ｔ ｈ ｗ
３ ８ ・— ８ － ・ —
用动态阈值 对小波系数进行噪声抑制 ， 而可 以有效 地去 除 从
噪声 ， 强语音 。 增
系数 主要 由语音信号控制 。因此设置一个 合适 的阈值 ， 仅利 用超过 阈值 的那 些显著的小波系数来重 构语音信号 ， 可较 就
好地 去除噪声。
一
２ 小 波包 阈值 增强 新算 法
ｌ 引言
噪 声 不 仅 影 响语 音 可懂 度 和清 晰度 ， 且 造 成 人 耳 听 觉 而
取 阈 值 是小 波包 增 强 算 法 的 关 键 。早 期 的 文 献 通 常 局 限 于
不 变 阈 值 ， Ｄ ｎ ｂ 和 Ｊｈｓ ｎ 如 ｏｏｏ ｏｎｔ ｅ提 出 的非 线 性 小 波 变 换 阈 ｏ
疲劳。语音增强 的 目的就是为 了抑制背 景噪声 ， 改善语音质 量， 同时提高语音 的可懂度 和清 晰度 … 。一般来说 ， 语音 增
强 方法 分 为 ２大 类 ： 时域 方 法 （ 子 空 间 法 ） 频 域 方 法 （ 如 和 如
小波变换 5 矢量小波、双正交小波、小波包
双正交小波
• 定义： 假设 {Vj | j Z和{V%j | j Z}是两个多分辨分析，
和%分别是其尺度函数．如果
(t),~(t k) 0,k , k Z
则称和%是双正交尺度函数。
• 尺度函数的双尺度方程：
(t) hn(2t n), %(t) h%n%(2t n)
nZ
nZ
频域形式：
ˆ(2) H ()ˆ(), R ,
200
400
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
600
0
compressed signal
200
400
图
双 正 交 小 波 用 于 信 号 压 缩
600
5-1
结果表明，尽管压缩后的图像仅由约16%的小波系数重建而成，但却保 留了原图像几乎全部的能量，获得了很好的压缩效果。从视觉上看，压缩后 的图像与原图像几乎没有区别。
j,n(t),un(t k) j ,1,0;n 2,3, , k Z
是L2 (R) 的一个正交基
正交小波包
小波包的分解算法与重构算法
分解算法：
alj,2n
k
1 2
hk
2l
a j1,n k
alj,2n1
k
1 2
g a j1,n k2l k
重构算法：
a j1,n l
[hl2k akj,2n gl2k akj,2n1 ]
WjΒιβλιοθήκη U2 j 1U
3 j 1
U
4 j2
U
5 j2
U
6 j2
U
7 j2
L
U
2k j
k
U 2k 1 jk
小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
其他领域
正交小波变换还广泛应用于金 融、医学、地球物理等领域的 数据分析和处理。
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都是小波分析中的重要概念，共同构成了小波 分析的基础。
多分辨分析为正交小波变换提供了理论框架，正交 小波变换是多分辨分析的具体实现。
正交小波变换可以看作是多分辨分析的一种特例， 其中尺度函数和小波函数都是正交的。
正交小波变换的应用场景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ01
02
03
04
信号处理
正交小波变换在信号处理中主 要用于信号去噪、压缩和特征 提取等。
图像处理
正交小波变换在图像处理中主 要用于图像压缩、去噪、增强 和特征提取等。
数据压缩
正交小波变换可用于数据压缩 领域，特别是对于非平稳信号 和图像数据的压缩，具有较好 的压缩效果和重建精度。
多分辨分析与正交小波变换的区别
02
01
03
多分辨分析主要关注的是函数在不同尺度上的表示， 而正交小波变换更注重在不同尺度上的细节信息。
正交小波变换具有更好的灵活性和适应性，可以针对 特定问题设计特定的小波函数和尺度函数。
正交小波变换在信号处理、图像处理等领域的应用更 为广泛，而多分辨分析更多用于理论分析。
正交小波变换的算法与实现
算法
正交小波变换的算法主要包括一维离散正交小波变换和二维离散正交小波变换。一维离散正交小波变换的算法包 括Mallat算法和CWT算法等，而二维离散正交小波变换的算法主要基于图像分块处理。
实现
正交小波变换的实现通常需要使用数字信号处理库或图像处理库，如Python的PyWavelets库或OpenCV库等。
小波包算法
小波包算法1.1小波包变换在脑电信号处理中的应用小波包技术首先在脑电信号的预处理中有着滤波和去噪的功能，其次小波包变换在脑电信号处理中的一个主要应用就是提取特征。
其主要步骤如下:(1) 选择适当的小波滤波器，对给定的采样脑电信号进行小波包变换，获得树形结构的小波包系数。
(2) 选择信息代价函数，利用最佳小波包基选取算法选取最佳基。
(3) 对最佳正交小波包基对应的小波包系数进行处理。
(4) 对处理后的小波包系数采用小波包重构算法得到重构信号。
对于重构得到的信号我们可以计算其均值，方差和能量和也就是其特征值，然后利用支持向量机分类器根据所得特征值进行分类。
1.2 小波包变换的基本概念及算法研究小波变换是一种分析非平稳信号的有效方法，它能够把信号分解成不同尺度基小波的加权和，主要不足是在高频段的频率分辨率较低，导致在一些应用中，不能满足实际要求。
小波包的概念是在小波变换的基础上提出来的，它提供了一种更为精细的信号分析方法，将信号高频部分进行进一步分解，即对高频部分也用二分滤波器进行分解，所以能根据信号的特征选取相应频带与信号频谱匹配，进一步提高了时频分辨率，因此小波包分析具有更广泛的应用价值。
小波分解是基于尺度函数和小波函数为基函数进行分解的。
用ϕ(t)和ψ(t)分别表示小波变化的尺度函数和小波母函数，在小波包分解中，为了统一函数表示，令ψ0(t)= ϕ(t)，ψ1(t)= ψ(t)。
那么根据二尺度方程可以构造如下的小波基：)()()(,,t n h 2t k 221ni n k 21j jji 2i 2kj ∑--ψ=-ψ=ψ(1.1))()()(,,t n g 2t k 221nink 21j jj 1i 21i 2kj ∑--++ψ=-ψ=ψ(1.2)其中：i 为节点号，j 为分解级数，h(n)和g(n)=( −1)n h(1 – n)为一对正交镜像滤波器。
信号f(t)=00d 在第j 级和k 点处的小波包分解系数可以用下述递推公式表示：∑⎰-=ψ=-ni 1j i 2k j i2j n k 2d n h dt t t f k d )()()()()(, (1.3)∑⎰-=ψ=-++nij i k j i jn k dn g dt t t f k d )2()()()()(112,12 (1.4)假设原始信号长度为m·2N 点，则f(t)信号的完全重构可以表示为：∑∑∑∑----⋅=-⋅=++-⋅=-⋅=ψ+ψ=112012012,121201202,2)()()()()(j j N j j N m i m k i k j i j m i m k i k j i jt k dt k dt f (1.5)其中，i k j 2,ψ(t)和12,+i k j ψ(t)为根据二尺度方程构造出的小波包基函数，i j d 2(k)和12+i jd （k ）是信号f(t)=在第j 级,k 点处的小波包分解系数。
向量值正交小波包
向量值正交小波包
陈清江;程正兴;杨守志
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2005(18)4
【摘要】引进对应于2尺度向量值尺度函数的多分辨分析和向量值小波的概念.给出向量值小波包的定义及其构造算法,研究了向量值正交小波包的正交性,并讨论了空间L2(R,CN)的正交分解.
【总页数】7页(P505-511)
【关键词】向量值多分辨分析;向量值尺度函数;向量值小波包;加细方程;矩阵符号【作者】陈清江;程正兴;杨守志
【作者单位】西安交通大学理学院;汕头大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】O174.2
【相关文献】
1.一类三元多重向量值双正交小波包的研究 [J], 周强;孟广德;石明奎;李玉龙
2.双向多尺度双正交向量值小波和小波包的构造 [J], 张建基;库福立;卢维娜
3.具有整数伸缩因子的多变量向量值双正交多小波包 [J], 朱玉清;卫艳荣;程正兴
4.二元向量值多重小波包的双正交性质研究 [J], 陈绍东;宋亮
5.向量值正交小波的构造与向量值小波包的特征 [J], 陈清江;刘洪运
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双正交小波及小波包
ˆ ˆ H1 ( ) H1 ( ) H1 ( ) H1 ( ) 2
ˆ ˆ H0 ( )H1 ( ) H0 ( )H1 ( ) 0
ˆ ˆ H1 ( )H0 ( ) H1 ( ) H0 ( ) 0
ˆ ˆ N 1 N 2 1 N 2 N 1 1 , 2 2
和
ˆ ˆ N 1 N 2 1 N 2 N 1 1 , 2 2
ˆ ˆ 它们的长度都是 ( N 2 N1 N 2 N1 ) / 2
第12章
双正交小波及小波包
ˆ (k )h1 (n 2k )
d d 式中a j (n) ，j (n) 分别是a j (n) ，j (n) 作二插值得到的序列
第12章
双正交小波及小波包
12.3 双正交小波的构造
(t ) ，ˆ (t ) ， (t ) 及ˆ(t ) 的 双正交小波的构造包括 H 构造，而它们又都源于分解滤波器 H 0 ( z) 、 1 ( z) 及用 ˆ ˆ 于重建的对偶滤波器 H0 ( z) 和 H1 ( z) 。(12.1.14)式给 ˆ ˆ 出了H1 ( z) 、H1 ( z) 和 H 0 ( z) 及H0 ( z)的关系，因此，双正交 ˆ 小波构造的核心问题是H 0 ( z)和 H0 ( z)的构造，这和正
a
j 1
(k )h0 (k 2n) (k )h1 (k 2n)
k
a
j 1
' ' ˆ ˆ a j 1 (n) a j (n) h0 (n) d j (n) h1 (n)
' '
k
a
j
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U3
H
U20
H
G
G
U12
H
G
U10
HG
U1 1 U1 2 U1 3
HG
H
G
H
G
U00 U01 U02 U03 U04 U05 U06 U07
同一尺度上的所有子空间相互正交。
每一层滤波器子带覆盖信号所占有的频率。各层频率分辨率不同。
■重构时的层间组合选择与时频窗特性
小波包子空间所对应的时频窗的特性： 当尺度由较细的指标 j+1变为较粗的 j 时，对尺度函数或小波函数而言，时窗宽度加倍， 频窗宽度缩半，时频窗面积不变。 H和G的作用是将U所代表的频带（频窗）作分半处理。
则小波包wn (t)的Fourier变换为 式中
■定理3.5
令函数族{wn}是由标准正交化多分辨分析的生成元 (t)生成的小波
包，则对任意固定的 nZ+ ，以下正交性恒成立：
■分解的迭代
可得到小波子空间Wj 的各种分解
序列的标准正交基为 当l = 0和m = 0时，简化为
若n = 2l + m为一个倍频程细划分的参数，具有尺度指标j、位置 指标k和频率指标n的小波包简记为
小波变换的基函数和时频网格
t 尺度参数大，对应高频端；尺度参数小，对应低频端。
■小波包数据分解关系
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8
H
G
s1 s2 s3 s4
H
G
d1 d2
H
d3 d4
G
ss1 ss2 ds1 dd2 sd1 sd2 dd1 dd2
HG
HG
H
G
H
G
sss dss sds dds ssd dsd sdd ddd
Wj空间分解的子空间序列可以写成
若n是一个倍频程细划分参数，即令n=2l+m，则小波包简记为：
其中 与小波相比，小波包在离散尺度和离散平移之外，增加了一个频率参数n，使得小波包克 服了小波时间分辨率高时频率分辨率差的缺点。n表示的零交叉个数，也就是其波形的振 荡次数。 ■定理3.4 非负整数n的二进制表示为
U3
U20
U21
—t
U10 U1 1 U1 2 U1 3
U00 U01U02 U03U04 U05U06 U70
尺度子空间和小波子空间的统一表达：
空间的正交分解：
■小波包：定义子空间 度方程（递归）：
是wn(t)的闭包空间， 是w2n (t)的闭包空间，满足如下双尺
式中，两系数正交： w0(t)=(t)和w1(t)=(t)，递归序列{wn}nZ称为由基函数w0(t)=(t)确定的小波包。
其中
■小波库 由 (t) 生成的函数族j,k,n(t) （ 其中 n Z+，j, k Z ）称为由尺度函数 (t) 构造的小波 库。
■例：函数离散值为{x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8,}，定义域为[0,1]， Harr 滤波器的h = {1/2, 1/2}，g = {1/2, -1/2} Haar小波包的波形