寒假专题——规律探究型问题-30

【本讲教育信息】一、教学内容：寒假专题——规律探究型问题 1. 图案变化规律2. 数列、代数式运算规律3. 几何变化规律4. 探索研究二、知识要点：近年来，探索规律的题目成为数学中考的一个热点，目的是考查学生观察分析及探索的能力. 题目分为题设和结论两部分，通常题设部分给出一些数量关系或图形变换关系，通过观察分析，要求学生找出这些关系中存在的规律。

这种数学题目本身存在一种数学探索的思想，体现了数学思想从特殊到一般的发现规律。

是中考的一个难点，越来越引起考生重视。

下面我们根据几种不同类型的规律变化类型题进行分析。

1. 图案变化规律探究题图案变化规律题是指在一定条件下，探索发现有关图形所具有的规律性或不变性的问题，它往往给出了一组变化了的图形或条件，要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律，它体现了“特殊到一般”的数学思想方法，考查了学生分析、解决问题的能力，观察、联想、归纳的能力，以及探究能力和创新能力，题型可涉及填空、选择或解答。

例：如图，是一个装饰物品连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（ ）。

分析：观察图像变化规律，不难发现阴影部分的图形是按顺时针每次旋转两个小格。

答案是B2. 数列、代数式运算规律猜想型探究题题设中提供某些信息，供解题者观察、类比、推理、反思，从而归纳、猜测、验证得出一般性的规律和结论，这样的问题称为猜想型探究题。

猜想型探究题能培养学生对数字的敏感和直觉思维，能培养学生发现与创新的思维品质和探索精神。

例1：观察下列等式：223941401⨯=-，224852502⨯=-，225664604⨯=-，226575705⨯=-，228397907⨯=-…请你把发现的规律用字母表示出来：n m ⨯= ．分析：观察数字的变化规律，结合初中所讲解的有关知识，22140)140)(140(3941-=-+=⨯，22250)250)(250(5248-=+-=⨯发现上面的式子满足平方差公式，同样道理也适用于下面的数字表达，所以答案：n m ⨯=2222m n m n +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例2. 观察下列各式：==请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来 ．C 5，则其面积S 5=_____________.示，矩形ABEF 即为△ABC 的“友好矩形”. 显然，当△ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.根据上面叙述，（1）说明什么样的平行四边形是一个三角形的“友好平行四边形”； （2）如图②，若△ABC 为直角三角形，且∠C =90°，在图②中画出△ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小.分析：通过题中“友好矩形”的概念，深入对“友好矩形”的理解，结合所学过的知识，应用解题.解答：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.（2）此时共有2个友好矩形，如图的BCAD、ABEF.易知，矩形BCAD、ABEF的面积都等于△ABC面积的2倍，∴△ABC的“友好矩形”的面积相等.三、重点难点：通过观察、分析，找出存在的规律。

它既是重点又是难点，着重考查学生观察、操作、实验、归纳、猜想、验证等能力，是对学生创新精神和创新意识的培养的重要前提．【典型例题】例题1、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直方向的边长均为b）：●在图①中，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分）；●在图②中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（阴影部分）.（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：S 1＿＿，S 2＿＿，S 3＿＿；（3）联想与桥梁如图④中，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？并说明你的猜想是正确的.考点：平行四边形的面积. 【分析】这个题目是要求学生从几何图形的变化中，探索图形面积的变化，并加以说明. 在前面的三个图形中，常规的办法是利用平行四边形（或分别割成多个平行四边形）的面积计算来求阴影部分的面积，进而计算空白部分的面积．注意平行四边形的面积是底乘以高，阴影部分的面积以一个单位为底，高均为b ，或者多个和为b ，所以空白部分面积均为ab －b. 但是当阴影部分的左右边界由折线变为任意的曲线时，计算的方法已经不再适用，因此我们考虑图形的拆分和拼接，利用平移得到空白部分构成的“简单”图形来计算草地的面积．【解析】（1）画图（要求对应点在水平位置上，宽度保持一致）③（2）S 1=ab －b ，S 2=ab －b ，S 3=ab －b（3）猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍然是ab －b. 方案：1）将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2）将左侧的草地向右平移一个单位； 3）得到一个新的矩形（如图）．理由：在新得到的矩形中，其竖直方向的边长仍然为b ，其水平方向的长变成了a －1，所以草地的面积就是：b （a －1）=ab －b ．例题2、观察下列各式：1212，2323，3434，4545，……想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n 表示正整数，用关于n 的等式表示这个规律为：＿＿＿＿＿×＿＿＿＿＿=＿＿＿＿＿+＿＿＿＿＿．考点：探究规律、导出公式．【分析】该题是通过观察给出的运算，找到反映其规律的表达式．此类问题不仅考查学生对知识的掌握，同时考查学生观察分析的能力．通过观察给出的四个等式左边是一个分数与一个整数的积且分数的分子比分母大1，而整数与分子相同．右边是这两个数的和，所以不难发现其规律为：左边)1(1+⨯+n nn ，右边为)1(1+++n nn .注意事项：（1）有时直观的结果不可靠，应该将数据代入验证，或者利用整式的乘法证明；，. S 3表示，请你确定S 1、S 2、S 3之间的关系并加以证明；考点：勾股定理，圆、正方形、等边三角形面积公式等 【分析】本题的提示为学生的猜想提供了便利条件，结论的证明综合了勾股定理和各种图形面积的求法等.【解析】（1）232221,,AC S BC S AB S ===，又因为222AC BC AB +=3S +.）222AC 3S ,BC 3S ,AB 3S ===，又因为222AC BC AB +=例题4、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形．请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称； （2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论．考点：平行四边形、等边三角形的性质和判定、三角形的两边之和大于第三边的性质等.【分析】本题的名词为学生的猜想提供了条件，正确结论的探索，是证明的基础.结论的证明综合了平行四边形、等边三角形的性质、三角形的性质及平移的方法和手段，将两边之和平移到同一线段上，再与第三边进行比较.【解析】（1）答案不唯一，如正方形、矩形、等腰梯形等等． （2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．已知：四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，AC BD =，且60AOD ∠=． 求证：BC AD AC +≥．证明：过点D 作DF AC ∥，在DF 上截取DE ，使DE AC =．连结CE ，BE ． 故60EDO ∠=，四边形ACED 是平行四边形．所以BDE △是等边三角形，CE AD =．所以DE BE AC ==． ①当BC 与CE 不在同一条直线上时（如图），在BCE △中，有BC CE BE +>． 所以BC AD AC +>．②当BC 与CE 在同一条直线上时（如图），则BC CE BE +=．因此BC AD AC +=． 综合①、②，得BC AD AC +≥．即等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长．例题5、四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图1，点P 为四边形ABCD 对角线AC 所在直线上的一点，PD ＝PB ，P A ≠PC ，则点P 为四边形ABCD 的准等距点．（1）如图2，画出菱形ABCD 的一个准等距点．（2）如图3，作出四边形ABCD 的一个准等距点（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．（3）如图4，在四边形ABCD 中，P 是AC 上的点，P A ≠PC ，延长BP 交CD 于点E ，延长DP 交BC 于点F ，且∠CDF ＝∠CBE ，CE ＝CF ．求证：点P 是四边形ABCD 的准等距点．A图1 图2 图3 图4考点：三角形全等、特殊四边形的性质、垂直平分线的性质等.【分析】根据题中的“准等距点”的概念，PD＝PB，P A≠PC，可以知道，点P在线段BD的垂直平分线上，再由菱形的性质、全等三角形的判定解题.【解析】（1）如图2，点P即为所画点．（答案不唯一．点P不能画在AC中点）图2 图3 图4（2）如图3，点P即为所作点．（答案不唯一）（3）连结DB，在△DCF与△BCE中，∠DCF＝∠BCE，∠CDF＝∠CBE，CF＝CE．∴△DCF≌△BCE（AAS），∴CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD．∴∠PDB＝∠PBD，∴PD＝PB，∵P A≠PC∴点P是四边形ABCD的准等距点．例题6、在四边形ABCD中，对角线AC平分DAB∠．（1）如图甲，当o120DAB∠=，o90B D∠=∠=时，求证：AB AD AC+=；（2）如图乙，当o120DAB∠=，B∠与D∠互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明；（3）如图丙，当o90DAB∠=，B∠与D∠互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．甲乙丙考点：三角形全等、图形变换类题型特点等.【分析】图形变换类问题，通常把第一个问题的解题方法应用到第二、三个问题中去，所证明的全等三角形的名称一致，方法一致.同时当题中出现某一线段等于另外两条线段之和或之差时，考虑旋转三角形或截长补短的方法，再通过证明全等来实现解题.【解析】（1）在四边形ABCD 中，o ,120AC DAB DAB ∠∠= 平分，∴o 60CAB CAD ∠=∠=．又o 90B D ∠=∠= ，∴o30ACB ACD ∠=∠=．∴12AB AD AC ==． 即AB AD AC +=． （2）AB AD AC +=．证明如下：如图甲，过C 点分别作AD 和AB 延长线的垂线段，垂足分别为E 、F ．甲AC DAB ∠ 平分，CE CF =∴．o 180ABC D ∠+∠=，o 180ABC CBF ∠+∠=，∴CBF D ∠=∠．∵o90CED CFB ∠=∠=，∴CED ∆≌CFB ∆．∴ED BF =． ∴AD AB AE ED AB AE BF AB AE AF +=++=++=+． 由（1）知AE AF AC +=．∴AB AD AC +=． （3）2AB AD AC +=．证明如下：如图乙，过C 点分别作AB 和AD 延长线的垂线段，垂足分别为E 、F ．乙AC DAB ∠ 平分，∴CE CF =．o 180ABC ADC ∠+∠=，o 180ADC FDC ∠+∠=，∴ABC FDC ∠=∠.∵o90CEB CFD ∠=∠=，∴CEB ∆≌CFD ∆．∴CB CD =. 延长AB 至G ，使BG AD =，联结CG .o 180ABC ADC ∠+∠=，o 180ABC CBG ∠+∠=，∴CBG ADC ∠=∠.∴CBG ∆≌ADC ∆．∴45G DAC CAB ∠=∠=∠=︒. ∴90ACG ∠=︒.∴2AG AC =.∴2AB AD AC +=.【模拟试题】（答题时间：50分钟）一、填空题：1. 观察：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256… 通过观察用你所发现的规律写出21995的末位数是 。