初中数学规律探究问题PPT
九年级数学中考规律探究问题(点的坐标变化)
专题6规律探究点的坐标 姓名________1.如图所示,平面直角坐标系的原点O 是等边△ABC 的中心,A (0,1),把△ABC 绕点O 顺时针旋转,每秒旋转60∘,则第2017秒时,点A 的坐标为( D )A.2.如图,半径为2的正六边形ABCDEF 的中心在坐标原点O,点P 从点B 出发,沿正六边形的边按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度运动,则第2017秒时,点P 的坐标是( C )A.3.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A(1,0),B(2,0),正六边形ABCDEF 沿x 轴正方A. C 或EB. B 或DC. A 或ED. D 或F4.正方形A 1B 1C 1O,A 2B 2C 2C 1,A 3B 3C 3C 2,…按如图的方式放置。
点A 1,A 2,A 3,…和点C 1,C 2,C 3,…分别在直线y=x+1和x 轴上,则点B 2018的坐标是____________.),122(201720185.如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平行。
从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用A1,A2,A3,A4,…表示,则顶点A55的坐标是( 14,14 )6.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4 …，以此类推，得到等腰直角三角OA2017A2018，则点A2017的坐标为_________.),0(21008小结：一个图形的变化，找循环节，循环次数；不同图形的变化，用列举法，找数列的变化规律，有时会用到一次函数或二次函数求数列的第n项。
数学规律探究题
初中数学规律探究题一、规律探究的知识点及分类： （一）条件探索型1、（2007呼和浩特市）在四边形ABCD 中，顺次连接四边中点E F G H ，，，，构成一个新的四边形，请你对四边形ABCD 填加一个条件，使四边形EFGH 成为一个菱形．这个条件是 __ ．2、（2007荆门市）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．（1）四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．（2）如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说出你的结论和理由：_________________________________________．（3）在Rt △BCD 沿射线BD 方向平移的过程中，当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B 的移动距离为______时，四边形ABC 1D 1为菱形，其理由是____________________________．(图AB DEFGHC图4CADB 图3CADB 图2 D 1C 1B 1CADB图13、图4用于探究)3、（2006广东）如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，BC ∥OA ，OA ＝7，AB ＝4，∠ COA ＝60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不及点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ． （1）求点B 的坐标；（2）当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标； （3）当点P 运动什么位置时，使得∠CPD ＝∠OAB ，且AB BD ＝85，求这时点P 的坐标．（二）结论探索型4、（2007北京市）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形． （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （2）如图，在ABC △中，点D E ，分别在AB AC ，上， 设CD BE ，相交于点O ，若60A ∠=°，12DCB EBC A ∠=∠=∠． 请你写出图中一个及A ∠相等的角，并猜想图中哪个四边形 是等对边四边形；（3）在ABC △中，如果A ∠是不等于60°的锐角，点D E ，分别在AB AC ，上，且12DCB EBC A ∠=∠=∠．探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论．5、（07山东滨州）如图1所示，在ABC △中，2AB AC ==，90A =∠，O 为BC 的中点，动点E 在BA 边上自由移动，动点F 在AC 边上自由移动．（1）点E F ，的移动过程中，OEF △是否能成为45EOF =∠的等腰三角形？若能，请指出OEF △为等腰三角形时动点E F ，的位置．若不能，请说明理由．（2）当45EOF =∠时，设BE x =，CF y =，求y 及x 之间的函数解析式，写出x 的取值范围．（3）在满足（2）中的条件时，若以O 为圆心的圆及AB 相切（如图2），试探究直线EF 及⊙O 的位置关系，并证明你的结论．6、（2006年绵阳市）在正方形ABCD 中，点P 是CD 上一动点，连结PA ，分别过点B 、D 作BE ⊥PA 、DF ⊥PA ，垂足分别为E 、F ，如图①．（1）请探索BE 、DF 、EF 这三条线段长度具有怎样的数量关系．若点P 在DC •的延长线上（如图②），那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P 在CD •的延长线上呢（如图③）？请分别直接写出结论；（2）请在（1）中的三个结论中选择一个加以证明．BOADEC图1O图27、（2005年泰州）图1是边长分别为4 3 和3的两个等边三角形纸片ABC 和C ′D ′E ′叠放在一起（C 及C ′重合）.（1）操作：固定△ABC ，将△C ′D ′E ′绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ，连结AD 、BE ，CE 的延长线交AB 于F （图2）；探究：在图2中，线段BE 及AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（2）操作：将图2中的△CDE ，在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE 设为△PQR （图3）；探究：设△PQR 移动的时间为x 秒，△PQR 及△ABC 重叠部分的面积为y ，求y 及x 之间的函数解析式，并写出函数自变量x 的取值范围.（3）操作：图1中△C ′D ′E ′固定，将△ABC 移动，使顶点C 落在C ′E ′的中点，边BC 交D ′E ′于点M ，边AC 交D ′C ′于点N ，设∠AC C ′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；探究：在图4中，线段C ′N ·E ′M 的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C ′N ·E ′M 的值，如果有变化，请你说明理由.E ′图1C BAD ′图2FED CA图2 Q PRA CF 图3图3D ′E ′图4MNBAGC C /（C /）（C /QEDAP（三）存在探索型8、(2006武汉市)已知：二次函数y ＝x 2(m ＋1)x ＋m 的图象交x 轴于A (x 1，0)、B (x 2，0)两点，交y 轴正半轴于点C ，且x 12 ＋x 22 ＝10．⑴求此二次函数的解析式； ⑵是否存在过点D (0，25)的直线及抛物线交于点M 、N ，及x 轴交于点E ，使得点M 、N 关于点E 对称？若存在，求直线MN 的解析式；若不存在，请说明理由．9、（2007乐山）如图（13），在矩形ABCD 中，4AB =，10AD =．直角尺的直角顶点P 在AD 上滑动时（点P 及A D ，不重合），一直角边经过点C ，另一直角边AB 交于点E ．我们知道，结论“Rt Rt AEP DPC △∽△”成立．（1）当30CPD =∠时，求AE 的长；（2）是否存在这样的点P ，使DPC △的周长等于AEP △周长的2倍？若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．10、（2007呼和浩特市）如图，在矩形ABCD 中，22AB =1AD =．点P 在AC 上，PQ BP ⊥，交CD 于Q ，PE CD ⊥，交于CD 于E ．点P 从A 点（不含A ）沿AC 方PA E BCD向移动，直到使点Q 及点C 重合．．为止． （1）设AP x =，PQE △的面积为S ．请写出S 关于x 的函数解析式，并确定x 的取值范围．（2）点P 在运动过程中，PQE △的面积是否有最大值，若有，请求出最大值及此时AP 的取值；若无，请说明理由．（四）规律探索型11、图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后及原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n +++++=． 图 1 图 2 图 3 图4如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．（五）销售中的盈亏问题探究1：销售中的盈亏．第2层 第1层 …… 第n 层某商店的某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，•另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？要解决这类问题必须理解并熟记下列式子： （1）商品利润=商品售价-商品进价． （2）=商品利润率．（3）打x 折的售价=原售价×10x ． 对探究1提出的问题，你先大体估算盈亏，再通过准确计算检验你的判断．分析：卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，取决于这两件衣服售价多少，•进价多少，若售价大于进价，就盈利，反之就亏损．现已知这两件衣服总售价为60×2=120（元），现在要求出这两件衣服的进价． 这里盈利25%=，亏损25%就是盈利-25%．本问题中，设盈利25%的那件衣服的进价是x 元，它的商品利润就是0.25x 元，根据进价+利润=售价，列方程得： x+0.25x=60 解得 x=48以下由学生自己填写．类似地，可以设另一件衣服的进价为y 元，它的利润是-0.25y 元；根据相等关系可列方程是y-0.25y=60解得y=80．两件衣服共进价128元，而两件衣服的售价和为120元，进价大于售价，•由此可知卖这两件衣服总的盈亏情况是亏损8元．解方程后得出的结论及你先前的估算一致吗？点拨：不要认为一件盈利25%，一件亏损25%，结果不盈不亏，因为盈亏要看这两件的进价．例如盈利25%的一件进价为40元，那么这一件盈利40%×25%=10（•元）•，•亏损25%的一件进价为80元，那么这一件亏损了80×25%=20（元），总的还是亏损10元，这就是说，亏损25%的一件进价如果比盈利25%的一件进价高，那么总的是亏损，•反之才盈利．你知道这两件衣服哪一件进价高吗？一件是盈利25%后，才卖60元，那么这件衣服进价一定比60元低．另一件亏损25%后，还卖60元，说明这件衣服进价一定比60•元高，•由此可知亏损25%的这件进价高，所以卖这两件衣服总的还是亏损．（六）球赛积分问题例1.在一次有12支球队参加的足球循环赛中（每两队必须赛一场），规定胜一场3分，平一场1分，负一场0分，某队在这次循环赛中所胜场数比所负的场数多两场，结果得18分，那么该队胜了几场？例2、在一次数学竞赛中，共有60题选择题，答对一题得2分。
新人教版九年级数学上册全册ppt课件
1．探究因式分解法
你认为该如何解决这个问题？你想用哪种方法解这 个方程？
10x - 4.9x2 = 0
配方法 降 公式法 次
？
x
1
=
0，x
2
=
100 49
1．探究因式分解法
问题3 观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？ 你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
x2 + 6x = -4 x2 + 6x + 9 = -4 + 9 （x + 3）2 = 5
x3 5
移项
两边加 9，左边 配成完全平方式 左边写成完全 平方形式
降次
x 3 5 ，或 x 3 5
解一次方程
x1 3 5， x2 3 5
2．推导求根公式
想一想：以上解法中，为什么在方程③两边加 9？ 加其他数可以吗？如果不可以，说明理由．
• 学习重点： 一元二次方程的概念．
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 2．有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它 的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分 折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒 的底面积为 3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方 形？
1．复习配方法，引入公式法
问题2 能否用公式法解决一元二次方程的求根问 题呢？
中考点睛1-多边形的对角线---规律探究方法
问题的解决
1、递推归纳法： 边数 三角形
对角线条数 0
四边形
2
五边形
5
六边形
9
我们设对角线条数为 y，多边形边数为 n，（n≥3）
关系式为 y＝an2＋bn＋c。
利用待定系数法，则：
2＝16a＋4b＋c 5＝25a＋5b＋c 9＝36a＋6b＋c
解得，
a＝
1 2
b＝－
3 2
c＝0
∴ y＝ 12n2－ 32n
1、n 个顶点，应有n （n－3）条对角线。 思考： 2、线段AB与线段BA是同一条线段。
总结：
n边形对角线的条数为
1 2
n（n－3）。
方法应用：
3 22013
＝
1 2
n（n－3）
顶点，n 条边。
过平面内 n 个点可连接的线段
包含边和对角线。
n
个点可连接的线段有
1 2
n（n－1）条。
∴对角线有[
1 2
n（n－1）－n]
条。
即
＝
1 2
n（n－3）。
问题的解决
3、综合分析法：
观察：
发现：
从 n 边形的每个顶点处引出的对角线 有（ n －3） 条。
数学思考
初中数学规律探究类问题的
思考方法
以多边形对角线条数的确定为例
问题的背景
对角线的定义： 在多边形中，连接不相邻的两个顶点
的线段叫做多边形的对角线。
实例探究：
0
2
5
9
问题的提出
如图示8边形有几条对角线呢？ 再或者问12边形？ 这样问一定有规律可寻！ 因此，找出求对角线的规律
就很重要了。
2024年度《找规律》公开课PPT
03
识别特殊数列或图形
一些特殊的数列或图形，如等差数列、等比数列、对称图形等，具有独
特的规律。通过观察并识别这些特殊数列或图形，可以快速找到规律。
12
归纳法
从具体到一般
通过观察具体的数列或图形实例 ，归纳出它们的一般规律。例如 ，从几个具体的数列中归纳出它
们的通项公式。
2024/3/23
寻找共同点
2024/3/23
一种数列，其中任意两个相邻 的项的比都等于一个常数。
一种性质，表明函数在某个特 定的非零周期长度内的图像和 整个函数图像完全相同。
10
一种证明方法，通过证明某个 命题对于某个初始值成立，并 且如果它对于某个值成立则它 对于下一个值也成立，从而证 明该命题对于所有相关的值都 成立。
03 找规律的方法与 技巧
律和结论。
反证法
假设某个规律不成立，然后通过 逻辑推理和数学运算证明这个假 设是错误的，从而得出正确的规
律。
2024/3/23
14
04 找规律在数学中 的应用
2024/3/23
15
数列与数学归纳法
1 2
等差数列与等比数列
通过找规律，可以发现数列中相邻两项之间的差 或比值是常数，进而推导出数列的通项公式。
2024/3/23
图的匹配
通过找规律可以得到图的匹配 算法，例如匈牙利算法和二分 图最大匹配算法。
图的着色
通过找规律可以得到图的着色 算法，例如贪心着色算法和 Welsh-Powell算法。
Ramsey定理
Ramsey定理是图论中的一个重 要定理，通过找规律可以得到 该定理的证明和应用。
18
05 找规律在实际问 题中的应用
初中数学规律探究题
归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。
一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
A ． 637B ．635C ． 531D ．739111121133114641⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅1222332234432234()()2()33()464a b a b a b a ab b a b a a b ab ba b a a b a b ab b +=++=+++=++++=++++根据前面各式的规律，则6()__________________________________.a b +=考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。
其中，以图形为载体的数字规律最为常见。
猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
1．（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n 个图案中共有小三角形的个数是 ．2．（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n 个图形需 根火柴棒．3．（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有点的个数为____________（用含n 的代数式表示）．4．（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需____________根火柴．5．（遂宁）为庆祝“六•一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n ）图，需用火柴棒的根数为 ．6．（深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有个正方形．7. 如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为_______．8. 如图是一组有规律的图案，图案1是由4个组成的，图案2是由7个组成的，那么图案3是由个组成的，依此，第n个图案是由个组成的．9．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是()A．32 B．29 C．28 D．2610．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为()A．21 B．24 C．27 D．3011. 将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2，得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是．12. 如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n 个图案有 个三角形（用含n 的代数式表示）13．平移小菱形◇可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◇平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是____________个．14. 将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n (n 为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n 的代数式表示)．考点三:几何图形计算变化规律随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。
规律探究问题(解析版)
2．(2019湖南省娄底市)如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为 的弧AB多次复制并首尾连接而成．现有一点 从 为坐标原点）出发，以每秒 米的速度沿曲线向右运动，则在第2019秒时点 的纵坐标为
A． B． C．0D．1
【答案】B
【解析】点运动一个弧AB用时为 秒．
【答案】A
【解析】过A1作A1D1⊥x轴于D1，
∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°，
∴△OA1E是等边三角形，
问题拓展：
解：延长AG交BC于E，交DC的延长线于Q，延长FH交CD于P，如图4：
则EG＝AG＝ ，PH＝FH，
∴AE＝5，
在Rt△ABE中，BE＝ ＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝1，
∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC，
∴△ABE∽△QCE，
∴ ＝ ＝3，
∴QE＝ AE＝ ，
∴AQ＝AE+QE＝ ，
【分析】根据点A的坐标可表示为（1，2，5），点B的坐标可表示为（4，1，3）得到经过点的三条直线对应着等边三角形三边上的三个数，依次为左、右，下，即为该点的坐标，于是得到结论．
【解答】：根据题意得，点C的坐标可表示为（2，4，2），
故答案为：（2，4，2）．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．
【答案】A
【解析】连接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3与x轴分别交于A1、A2、A3，如图所示：
在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2，
∴A1P1＝ ＝ ＝ ，
同理：A2P2＝ ＝ ，A3P3＝ ＝ ，……，
∴P1的坐标为（1， ），P2的坐标为（2， ），P3的坐标为（3， ），……，
数学活动——探究规律 PPT课件 2 人教版
数学活动 —探究规律
陈爱军
按规律填空：
第n个数 (1)2,4,6,8,( 10 ),( 12 )… ( 2n )
(2)1,3,5,7,( 9 ),( 11 )… (2n-1) (3)3,5,7,9,( 11 ),( 13 )… ( 2n+1)
探究1 寻找规律
问题一: 用火柴拼一排由三角形组成的 图形，如果图形中含有2，3或4个三角形，
•
2、从善如登，从恶如崩。
•
3、现在决定未来，知识改变命运。
•
4、当你能梦的时候就不要放弃梦。
•
5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。
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6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。
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7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。
•
8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。
•
54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。
•
55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。
•
56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。
•
57、理想的路总是为有信心的人预备着。
•
58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。
•
59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。
•
60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。
做一做 活动3
1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
(1)浅色方框中的9个数之和与方框正中心的数 有什么关系？
浅色方框中的9个数字之和为99，99=9×11．
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专题三 规律探究问题
1．(2019·南岸区)如图1是一组有规律的图案，第1个图案由5个基础图形组成，第2个图案由8个基础图形组成，……，如果按照以上规律继续下去，那么通过观察，可以发现：第20个图案需要________个基本图形( )
……
图1
A ．402
B ．404
C ．406
D ．408
2．(2019·济宁)已知有理数a ≠1，我们把11－a 称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1
1－2＝
－1，－1的差倒数是11－(－1)＝1
2
.如果a 1＝－2，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是
a 3的差倒数，……，依此类推，那么a 1＋a 2＋…＋a 100的值是( )
A ．－7.5
B ．7.5
C ．5.5
D ．－5.5
3．(2018·淄博)将从1开始的自然数按以下规律排列．例如位于第3行、第4列的数是12，则位于第45行、第8列的数是________．
图2
4．(2018·成都)已知a >0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1
S 4
，…(即当n
为大于1的奇数时，S n ＝1
S n －1
；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝
________.
5．(2017·威海)某广场用同一种如图3所示的地砖拼图案，第1次拼成形如图3①所示的图案，第2次拼成形如图3②所示的图案，第3次拼成形如图3③所示的图案，第4次拼成形如图3④所示的图案，……，按照这样的规律拼下去，第n 次拼成的图案共有地砖________块．
图3
6．(2018·安顺)正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，按如图4所示的方式放置．点A 1，
A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x ＋1和x 轴上，则点
B n 的坐标是________________(n
为正整数)．
图4
7．(2018·龙东)如图5，已知等边三角形ABC 的边长是2，以BC 边上的高AB 1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB 1C 1；再以等边三角形AB 1C 1的B 1C 1边上的高AB 2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB 2C 2；再以等边三角形AB 2C 2的B 2C 2边上的高AB 3为边作等边三角形，得到第三个等边三角形AB 3C 3；…，记△B 1CB 2的面积为S 1，△B 2C 1B 3的面积为
S 2，△B 3C 2B 4的面积为S 3，如此下去，则S n ＝________________.
图5
8．(2018·威海)如图6，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为(1,2)，以点O 为圆心，以
OA 1的长为半径画弧，交直线y ＝12
x 于点B 1；过点B 1作B 1A 2∥y 轴，交直线y ＝2x 于点A 2，
以O 为圆心，以OA 2的长为半径画弧，交直线y ＝1
2
x 于点B 2；过点B 2作B 2A 3∥y 轴，交直线
y ＝2x 于点A 3，以点O 为圆心，以OA 3的长为半径画弧，交直线y ＝12
x 于点B 3；过点B 3作B 3A 4
∥y 轴，交直线y ＝2x 于点A 4，以点O 为圆心，以OA 4的长为半径画弧，交直线y ＝1
2
x 于点
B 4，……，按照如此规律进行下去，点B 2 018的坐标为________________．
图6
9．(2019·益阳改编)观察以下等式： ①3－22＝(2－1)2
； ②5－26＝(3－2)2； ③7－212＝(4－3)2； ……
(1)请你写出第6个等式：_____________________________________；
(2)写出你猜想第n 个等式：__________________________________(用含n 的等式表示)，并证明．
10．(2017·安徽)【阅读理解】 我们知道，1＋2＋3＋…＋n ＝
n (n ＋1)
2
，那么12＋22＋32＋…＋n 2
的结果等于多少呢？
在如图7①所示的三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12
，第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22
，……，第n 行n 个圆圈中数的和为n ＋n ＋…＋n n 个n ，即n 2
.这样，该三角形数阵中共有
n (n ＋1)
2
个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋32＋…＋n 2
.
①
② 图7
【规律探究】
将三角形数阵经两次旋转可得如图7②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第(n －1)行的第一个圆圈中的数分别为n －1，2，n )，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12
＋22
＋32
＋…＋n 2
)＝________________.因此，12
＋22
＋32
＋…＋n 2
＝________________. 【解决问题】
根据以上发现，计算：12
＋22
＋32
＋…＋2 0172
1＋2＋3＋…＋2 017.
11．(2018·河南)(1)问题发现：
如图8①，在△OAB 和△OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝40°，连接AC ，BD 交于点M .填空：
①AC BD
的值为________； ②∠AMB 的度数为________． (2)类比探究：
如图8②，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC ，交
BD 的延长线于点M .求AC
BD
的值及∠AMB 的度数，并说明理由．
(3)拓展延伸：
在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M.若OD＝1，OB＝7，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
①②
图8
12．(2018·盘锦)如图9，E是正方形ABCD的边CD上任意一点，以DE为边作正方形DEFG，连接BF，M是线段BF的中点，射线EM与BC交于点H，连接CM.
(1)请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系；
(2)把图9①中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如图9②，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请说明理由；
(3)把图9①中的正方形DEFG绕点D顺时针旋转90°，此时点E，G恰好分别落在线段AD，CD上，如图9③，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请说明理由．
①②③
图9
13．(2018·江西)在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
①②③
图10
(1)如图10①，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是________，CE与AD的位置关系是________________；
(2)当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．(选择图10②，图10③中的一种情况予以证明或说理)
参考答案
专题三 规律探究问题
课时作业
1．B 2.A 3．2 018 4.－
a ＋1
a
5．(2n 2
＋2n ) 6.(2n
－1,2
n －1
)
7.(3)2n －1
22n ＋1 8.(22 018,22 017)
9．(1)13－242＝(7－6)2
(2)2n ＋1－2n (n ＋1)＝(n ＋1－n )2
，证明略 10．【规律探究】 2n ＋1 n (n ＋1)(2n ＋1)2
n (n ＋1)(2n ＋1)
6
【解决问题】 1 345
11．(1)①1 ②40° (2)AC
BD
＝3，∠AMB ＝90°，理由略． (3)33或2 3
12．(1)CM ＝EM ，CM ⊥EM (2)成立，理由略 (3)成立，理由略
13．(1)BP ＝CE CE ⊥AD (2)成立，证明略．。