高考数学总复习 第二章 函数、导数及其应用 第14讲 导数在函数中的应用 理
导数及其应用知识点总结
导数及其应用知识点总结导数及其应用是微积分中的重要概念，它可以用来描述一个函数在其中一点的变化率，进而用于求解曲线的切线、求解最值、优化问题等。
在学习导数及其应用的过程中，我们需要掌握导数的定义、导数的计算法则、导数与函数性质的关系以及导数在几何和物理问题中的应用等知识点。
一、导数的定义1.函数在其中一点的导数：函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h2.函数的导函数：函数f(x)在定义域上每一点的导数所构成的新函数，被称为函数f(x)的导函数，记作f'(x)。
二、导数的计算法则1.常数法则：对于常数k，有：(k)'=0。
2.幂函数法则：对于幂函数y=x^n，其中n为常数，则有：(x^n)'=n*x^(n-1)。
3.基本初等函数法则：对于基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数），可以通过求导法则求得其导函数。
4.乘积法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u*v)'=u'*v+u*v'。
5.商数法则：对于函数u(x)和v(x)，有：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^26.复合函数法则：对于复合函数y=f(g(x))，有：y'=f'(g(x))*g'(x)。
三、导数与函数性质的关系1.导函数与函数的单调性：若函数f(x)在区间I上可导，则f'(x)在I上的符号与f(x)在I上的单调性一致。
2.导函数与函数的极值：若函数f(x)的导函数在点x=a处存在，且导数的符号在x=a左侧从正数变为负数，那么函数在点x=a处取得极大值；若导数的符号在x=a左侧从负数变为正数，那么函数在点x=a处取得极小值。
3.导函数与函数的凹凸性：函数f(x)的导函数f''(x)的符号与函数f(x)的凹凸性一致。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分的基础知识之一，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
导数的概念非常重要，广泛应用于科学和工程领域中的各种问题的建模和解决。
一、导数的定义及基本性质1.导数的定义：对于一个函数f(x)，它的导数可以通过以下极限定义求得：f'(x) = lim ( h -> 0 ) [ f(x+h) - f(x) ] / h导数表示了函数f(x)在x点处的变化率。
如果导数存在，则称f(x)在该点可导。
2.导数的图像表示：导数可以表示为函数f(x)的图像上的斜率线，也就是切线的斜率。
3.导数的几何意义：a.函数图像在特定点的切线的斜率等于该点的导数。
b.导数为正，表示函数在该点上升；导数为负，表示函数在该点下降；导数为零，表示函数在该点取得极值。
4.基本导数公式：a.常数函数的导数为0。
b.幂函数f(x)=x^n的导数为f'(x)=n*x^(n-1)。
c. 指数函数 f(x) = a^x 的导数为 f'(x) = ln(a) * a^x。
d. 对数函数 f(x) = log_a(x) 的导数为 f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
二、导数的计算方法1.导数的基本定义法：根据导数的定义，通过计算极限来求得导数。
2.导数的运算法则：a.和差法则：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
b.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。
c.商法则：(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/(g(x))^2d.复合函数法则：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
3.链式法则：对于复合函数f(g(x))，可以利用链式法则求导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)。
2015届高考数学总复习 第二章 第十四节导数在研究函数中的应用(二)课时精练 理
第十四节 导数在研究函数中的应用 (二)1.f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[]－1，1上的最大值是( ) A ．－2 B ．0 C ．2 D ．4解析：f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0，可得x ＝0或2(舍去)，当－1≤x ＜0时，f ′(x )＞0，当0＜x ≤1时，f ′(x )＜0，所以当x ＝0时，f (x )取得最大值为2.故选C.答案：C2．(2013·揭阳二模)已知函数f (x )＝1x －ln （x ＋1），则y ＝f (x )的图象大致为( )解析：令g (x )＝x －ln (x ＋1)，则g ′(x )＝1－1x ＋1＝x x ＋1， 由g ′(x )＞0，得x ＞0，即函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 由g ′(x )＜0得－1＜x ＜0，即函数g (x )在(－1,0)上单调递减， 所以当x ＝0时，函数g (x )有最小值，g (x )min ＝g (0)＝0，于是对任意的x ∈(－1,0)∪(0，＋∞)，有g (x )≥0，故排除B 、D ，因函数g (x )在(－1,0)上单调递减，则函数f (x )在(－1，0)上递增，故排除C ，故选A. 答案：A3．(2013·淄博一检)已知a ≤1－x x ＋ln x 对任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2恒成立，则a 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：设f (x )＝1－x x ＋ln x ，则f ′(x )＝－x ＋x －1x 2＋1x ＝x －1x 2.当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )＜0，故函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1上单调递减；当x ∈(1,2]时，f ′(x )＞0，故函数f (x )在(1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴a ≤0，即a 的最大值为0.答案：A4．函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如下图所示，则f (x )在[－2,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．3解析：易知f (x )为二次函数，且常数项为0，设f (x )＝ax 2＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由图得导函数的表达式为f ′(x )＝2x ＋2，所以f (x )＝x 2＋2x ，当x ＝－1时，f (x )在[－2,1]有最小值－1.故选A.答案：A5．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．－2或2 B ．－9或3 C ．－1或1 D ．－3或1解析：因为三次函数的图象与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图象，可得极大值或者极小值为零即可满足要求．而f ′ (x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，当x ＝±1时取得极值. 由f (1)＝0或f (－1)＝0可得c －2＝0或c ＋2＝0，即c ＝±2.故选A.答案：A6．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调递减区间是____________．解析：首先考虑定义域(0，＋∞)，由f ′(x )＝2x －2x ＝2（x 2－1）x≤0及x >0知0<x ≤1.答案：(0,1]7．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是______．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，则x ＝m 2，由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]8．(2013·东莞二模改编)已知函数g (x )＝13ax 3＋2x 2－2x ，函数f (x )是函数g (x )的导函数．(1)若a ＝1，求g (x )的单调减区间；(2)若对任意x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，g (x )＝13x 3＋2x 2－2x ，g ′(x )＝x 2＋4x －2，由g ′(x )＜0解得－2－6＜x ＜－2＋6，∴当a ＝1时函数g (x )的单调减区间为 (－2－6，－2＋6)．(2)易知f (x )＝g ′(x )＝ax 2＋4x －2，依题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－f （x 1）＋f （x 2）2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 222＋4×x 1＋x 22－2－ax 21＋4x 1－2＋ax 22＋4x 2－22＝－a 4(x 1－x 2)2＜0.因为x 1≠x 2，所以a ＞0，即实数a 的取值范围是(0，＋∞)．9．(2013·北京海淀区检测)已知函数f (x )＝x 2＋2a 3x＋1，其中a ＞0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线y ＝1平行，求a 的值； (2)求函数f (x )在区间[1,2]上的最小值．解析：f ′(x )＝2x －2a 3x2＝2（x 3－a 3）x2，x ≠0. (1)由题意可得f ′(1)＝2(1－a 3)＝0，解得a ＝1，此时f (1)＝4，在点(1，f (1))处的切线为y ＝4，与直线y ＝1平行． 故所求的a 的值为1.(2)由f ′(x )＝0可得x ＝a ，a ＞0，①当0＜a ≤1时，f ′(x )＞0在[1, 2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递增，所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2. ②当1＜a ＜③由a ≥2时，f ′(x )＜0在[1,2]上恒成立， 所以y ＝f (x )在[1,2]上递减．所以f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.综上讨论，可知：当0＜a ≤1时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (1)＝2a 3＋2；当1＜a ＜2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (a )＝3a 2＋1；当a ≥2时，y ＝f (x )在[1,2]上的最小值为f (2)＝a 3＋5.。
导数在函数中的应用知识点讲解+例题讲解(含解析)
导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。
高考数学第二章 函数与导数第14课时 函数的综合应用
第二章 函数与导数第14课时 函数的综合应用第三章 (对应学生用书(文)、(理)37～39页)1. (必修1P 87习题13改编)已知集合A ＝{x|33－x<6}，B ＝{x|lg(x －1)<1}，则A∩B＝________．答案：(2－log 32，11)解析：由33－x<6，知3－x<log 36，即x>3－log 36， 所以A ＝(2－log 32，＋∞)．由lg(x －1)<1，知0<x －1<10，即1<x<11，所以B ＝(1，11)，所以A∩B＝(2－log 32，11)．2. 已知a 、b 为正实数，函数f(x)＝ax 3＋bx ＋2x在[0，1]上的最大值为4，则f(x)在[－1，0]上的最小值为________．答案：－32解析：因为a 、b 为正实数，所以函数f(x)是单调递增的．所以f(1)＝a ＋b ＋2＝4，即a ＋b ＝2.所以f(x)在[－1，0]上的最小值为f(－1)＝－(a ＋b)＋12＝－32.3. (原创)若函数f(x)＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1，4)上是减函数，在区间(6，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案：[5，7]解析：f′(x)＝x 2－ax ＋(a －1)，由题意，f ′(x)≤0在(1，4)恒成立且f′(x)≥0在(6，＋∞)恒成立，即a≥x＋1在(1，4)上恒成立且a≤x＋1在(6，＋∞)上恒成立，所以5≤a≤7.4. (原创)已知函数y ＝f(x)是偶函数，对于x∈R 都有f(x ＋6)＝f(x)＋f(3)成立．当x 1、x 2∈[0，3]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，给出下列命题：① f(3)＝0；② 直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴； ③ 函数y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调增函数； ④ 函数y ＝f(x)在[－9，9]上有4个零点． 其中正确的命题是________．(填序号) 答案：①②④解析：令x ＝－3，得f(－3)＝0，由y ＝f(x)是偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，①正确；因为f(x ＋6)＝f(x)，所以y ＝f(x)是周期为6的函数，而偶函数图象关于y 轴对称，所以直线x ＝－6是函数y ＝f(x)的图象的一条对称轴，②正确；由题意知，y ＝f(x)在[0，3]上为单调增函数，所以在[－3，0]上为单调减函数，故y ＝f(x)在[－9，－6]上为单调减函数，③错误；由f(3)＝f(－3)＝0，知f(－9)＝f(9)＝0，所以函数y ＝f(x)在[－9，9]上有个零点，④正确．5. (2013·宿迁一模)已知函数f(x)＝||x －1|－1|，若关于x 的方程f(x)＝m(m∈R )恰有四个互不相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围是________．答案：(－3，0)解析：f(x)＝||x －1|－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|－1，x ≤0或x≥2，1－|x －1|，0<x<2，方程f(x)＝m 的解就是y ＝f(x)的图象与直线y ＝m 交点的横坐标，由图可知，x 2＝－x 1，x 3＝2＋x 1，x 4＝2－x 1，且－1<x 1<0.设t ＝x 1x 2x 3x 4＝(x 21－2)2－4，则t ＝(x 21－2)2－4，易得－3<t<0.[备课札记]题型1 已知函数解析式研究函数的性质例1 已知函数f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2. (1) 求函数f(x)的定义域； (2) 判断函数f(x)的奇偶性； (3) 求函数f(x)的值域．解：(1) 由⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，1＋x>0，得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1，1)．(2) 由f(－x)＝lg(1＋x)＋lg(1－x)＋(－x)4－2(－x)2＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(3) f(x)＝lg(1－x)＋lg(1＋x)＋x 4－2x 2＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2，设t ＝1－x 2，由x∈(－1，1)，得t∈(0，1]．所以y ＝lg(1－x 2)＋x 4－2x 2＝lgt ＋(t 2－1)，t ∈(0，1]，设0<t 1<t 2≤1，则lgt 1<lgt 2，t 21<t 22，所以lgt 1＋(t 21－1)<lgt 2＋(t 22－1)，所以函数y ＝lgt ＋(t 2－1)在t∈(0，1]上为增函数， 所以函数f(x)的值域为(－∞，0]． 备选变式（教师专享）关于函数f(x)＝lg x 2＋1|x|(x>0，x ∈R )，下列命题正确的是________．(填序号)① 函数y ＝f(x)的图象关于y 轴对称；② 在区间(－∞，0)上，函数y ＝f(x)是减函数； ③ 函数y ＝f(x)的最小值为lg2；④ 在区间(1，＋∞)上，函数y ＝f(x)是增函数． 答案：①③④解析：由f(－x)＝lg （－x ）2＋1|－x|＝lg x 2＋1|x|＝f(x)，知函数f(x)为偶函数，故①正确；由f(－2)＝lg 52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，知②错误；由x 2＋1|x|＝|x|＋1|x|≥2，知f(x)＝lg x 2＋1|x|≥lg2，故③正确；因为函数g(x)＝x ＋1x 在(1，＋∞)上为增函数，所以y ＝f(x)在(1，＋∞)上也是增函数，故④正确．综上所述，①③④均正确．题型2 函数图象与函数性质的联系例2 已知函数f(x)＝ax 2－|x|＋2a －1(a 为实常数)． (1) 若a ＝1，作函数f(x)的图象；(2) 设f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式；(3) 设h(x)＝f （x ）x ，若函数h(x)在区间[1，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝x 2－|x|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x<0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图如下．(2) 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f(x)＝－x －1在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝－3. 若a≠0，则f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f(x)图象的对称轴是直线x ＝12a .当a<0时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3.当0<12a <1，即a>12时，f(x)在区间[1，2]上是增函数，g(a)＝f(1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g(a)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a<14时，f(x)在区间[1，2]上是减函数，g(a)＝f(2)＝6a －3. 综上可得g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3，a<14，2a －14a －1，14≤a ≤12，3a －2，a>12.(3) 当x∈[1，2]时，h(x)＝ax ＋2a －1x －1，在区间[1，2]上任取x 1、x 2，且x 1<x 2，则h(x 2)－h(x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ax 1＋2a －1x 1－1 ＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1x 1x 2＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－（2a －1）x 1x 2.因为h(x)在区间[1，2]上是增函数，所以h(x 2)－h(x 1)>0.因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0， 即ax 1x 2>2a －1.当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a>0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a≤1，解得0＜a≤1.当a<0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4，得2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.备选变式（教师专享）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x>0，其中b>0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 若方程f(x)＝x ＋a(a∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合． 解：(1) ∵ 当且仅当x ＝－2时，函数f(x)取得最小值－2.∴ 二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b 2＝－2.且有f(－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6. ∴ b ＝4，c ＝2.∴ f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x>0.(2) 记方程①：2＝x ＋a(x>0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a(x≤0)． 分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ) 方程①有且仅有一个实数根 a<2，方程①没有实数根 a ≥2.(ⅱ) 方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴ ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4（2－a ）>02－a≥0 ⎩⎪⎨⎪⎧a>－14a≤2－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根．∴ 2－a<0或Δ＝0，即a>2或a ＝－14.综上可知，当方程f(x)＝x ＋a(a∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a<2；当方程f(x)＝x ＋a(a∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴ 符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. 题型3 函数的最值与不等式恒成立问题例3 已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝－x 2＋ax －3.(1) 求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(2) 对一切x∈(0，＋∞)，2f (x)≥g(x)恒成立，求实数a 的取值范围； (3) 证明对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．(1) 解：f′(x)＝lnx ＋1，当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x)>0，f(x)单调递增．① 当0<t<t ＋2<1e 时，t 无解；② 当0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ；③ 当1e ≤t<t ＋2，即t≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ，所以f(x)min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t<1e ，tlnt ，t ≥1e .(2) 解：由题意，要使2xlnx ≥－x 2＋ax －3在x∈(0，＋∞)恒成立，即要使a≤2lnx ＋x ＋3x恒成立．设h(x)＝2lnx ＋x ＋3x (x>0)，则h′(x)＝2x ＋1－3x 2＝x 2＋2x －3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2. 当x∈(0，1)时，h ′(x)<0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增． 所以x ＝1时，h(x)取得极小值，也就是最小值， 即[h(x)]min ＝h(1)＝4，所以a≤4.(3) 证明：问题等价于证明xlnx>x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)．由(1)知，f(x)＝xlnx 在(0，＋∞)上最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取得．设m(x)＝x e x －2e ，x ∈(0，＋∞)，则m′(x)＝1－xex ，易得[m(x)]max ＝m(1)＝－1e ，当且仅当x ＝1时取得，从而对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>1e x －2ex成立．变式训练定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M>0，都有|f(x)|≤M 成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的上界．已知函数f(x)＝1＋a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x.(1) 当a ＝1时，求函数f(x)在(－∞，0)上的值域，并判断函数f(x)在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；(2) 若函数f(x)在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．解：(1) 当a ＝1时，f(x)＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14x. 因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M 成立，所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．(2) 由题意知，|f (x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．－3≤f(x)≤3，－4－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ≤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ，所以－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤a ≤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[0，＋∞)上恒成立．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x max ≤a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤2·2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x min ，设2x＝t ，h(t)＝－4t －1t ，p(t)＝2t －1t ，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t 1<t 2，h(t 1)－h(t 2)＝（t 2－t 1）（4t 1t 2－1）t 1t 2>0，p(t 1)－p(t 2)＝（t 1－t 2）（2t 1t 2＋1）t 1t 2<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a 的取值范围为[－5，1]．【示例】 (本题模拟高考评分标准，满分16分)已知函数f(x)＝a x ＋x 2－xlna(a>0，a ≠1)．(1) 当a>1时，求证：函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； (2) 若函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，求t 的值；(3) 若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． 审题引导： 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，(1)(2)两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第(3)问要将“若存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1”转化成|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．规范解答： (1) 证明：f′(x)＝a x lna ＋2x －lna ＝2x ＋(a x－1)·lna.(2分)由于a>1，故当x∈(0，＋∞)时，lna>0，a x－1>0，所以f ′(x)>0. 故函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(4分)(2) 解：当a>0，a ≠1时，因为f′(0)＝0，且f′(x)在R 上单调递增，故f′(x)＝0有唯一解x ＝0.(6分)所以x 、f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：又函数y ＝|f(x)－t|－1有三个零点，所以方程f(x)＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝f(x)min ＝f(0)＝1，解得t ＝2.(10分)(3) 解：因为存在x 1、x 2∈[－1，1]，使得|f(x 1)－f(x 2)|≥e －1，所以当x∈[－1，1]时，|f(x)max －f(x)min |＝f(x)max －f(x)min ≥e －1.(12分)由(2)知，f(x)在[－1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[－1，1]时，f(x)min＝f(0)＝1，f(x)max ＝max{f(－1)，f(1)}．而f(1)－f(－1)＝(a ＋1－lna)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋lna ＝a －1a －2lna ， 记g(t)＝t －1t －2lnt(t>0)，因为g′(t)＝1＋1t 2－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)，所以g(t)＝t －1t －2lnt 在t∈(0，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以当t>1时，g(t)>0；当0<t<1时，g(t)<0，也就是当a>1时，f(1)>f(－1)；当0<a<1时，f(1)<f(－1)．(14分) ① 当a>1时，由f(1)－f(0)≥e －1 a －lna ≥e －1 a ≥e ， ② 当0<a<1时，由f(－1)－f(0)≥e －1 1a ＋lna ≥e －1 0＜a≤1e，综上知，所求a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．(16分)1. (2013·南京期初)已知函数f(x)＝2x 2＋m 的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12－ln2 解析：由于f(x)与g(x)都是偶函数，因此只需考虑当x>0时，函数f(x)与g(x)的图象有两个交点即可．当x>0时，g(x)＝lnx ，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x 2－lnx ＋m ，则h′(x)＝4x －1x ，由h′(x)＝0，得x ＝12.易知当x ＝12时，h(x)有极小值为12＋ln2＋m ，要使函数f(x)与g(x)的图象在(0，＋∞)内有两个交点，则h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，即12＋ln2＋m<0，所以m<－12－ln2.2. (2013·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a ，a)，P 是函数y ＝1x (x>0)图象上一动点．若点P 、A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．答案：－1，10解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，1x ，x>0，则 PA 2＝(x －a)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1x，则由x>0，得t≥2，所以PA 2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a)2＋a 2－2.由PA 取得最小值，得⎩⎨⎧a≤2，22－4a ＋2a 2－2＝（22）2， 或⎩⎨⎧a>2，a 2－2＝（22）2，解得a ＝－1或a ＝10. 3. (2013·四川)设函数f(x)＝e x＋x －a (a∈R ，e 为自然对数的底数)．若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则a 的取值范围是________．答案：[1，e]解析：若存在b∈[0，1]使f(f(b))＝b 成立，则A(b ，f(b))，A′(f(b)，b)都在y ＝f(x)的图象上．又f(x)＝e x＋x －a 在[0，1]上单调递增， 所以(x A ′－x A )(y A ′－y A )≥0，即(f(b)－b)(b －f(b))≥0，所以(f(b)－b)2≤0， 所以f(b)＝b ，从而f(x)＝x 在[0，1]上有解， 即e x＋x －a ＝x 在[0，1]上有解，所以a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，令φ(x)＝e x ＋x －x 2，x ∈[0，1]，则φ′(x)＝e x－2x ＋1≥0，所以φ(x)在[0，1]上单调递增． 又φ(0)＝1，φ(1)＝e ，所以φ(x)∈[1，e]，即a∈[1，e]．4. (2013·南京期末)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧1－（x －1）2，0≤x ＜2，f （x －2），x ≥2.若关于x 的方程f(x)＝kx(k ＞0)有且仅有四个根，其最大根为t ，则函数g(t)＝2524t 2－6t ＋7的值域为________．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4125，－1 解析：在直角坐标系中分别画出函数f(x)在区间[0，2]，[2，4]，[4，6]上的三个半圆的图象，最大根t 一定在区间(3，4)内，g(t)＝2524t 2－6t ＋7是二次函数，对称轴方程为4＞t ＝7225＞3，g(t)的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫7225＝－4125，直线y ＝kx(k ＞0)与区间[2，4]上半圆相交，与区间[4，6]上半圆相离，故124<k 2<18，而k 2＝124时，直线与半圆相切，由⎩⎨⎧y ＝kx ，y ＝1－（x －3）2，得(1＋k 2)x 2－6x ＋8＝0，取k 2＝124，得2524x 2－6x ＋7＝－1，t<x ，所以g(t)＝2524t 2－6t ＋7＜－1.1. 若奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝2x，则函数g(x)的最小值是________．答案：1解析：由f(x)＋g(x)＝2x ，得f(－x)＋g(－x)＝2－x， 由f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴ －f(x)＋g(x)＝2－x，∴ g(x)＝12(2x ＋2－x)，∴ g (x)≥1.2. 设函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)的定义域为D ，若所有点(s ，f(t))(s 、t∈D )构成一个正方形区域，则a 的值为________．答案：－4解析：|x 1－x 2|＝f max (x)，b 2－4aca2＝4ac －b24a，|a|＝2－a ，∴ a ＝－4. 3. 对于实数a 和b ，定义运算“ ”：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a>b.设f(x)＝(2x －1) (x－1)，且关于x 的方程为f(x)＝m(m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1、x 2、x 3的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0解析：由新定义得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ，x ≤0，－（x －1）x ，x>0.作出函数f(x)的图象，由图可知，当0<m<14时，f(x)＝m(m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1、x 2、x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴ x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）x ＝14，x<0，解得x ＝1－34或x ＝1＋34(舍去)， ∴ 1－34<x 1<0，∴ 1－316<x 1x 2x 3<0.4. 已知函数f(x)＝lnx －ax 2＋(2－a)x. (1) 讨论f(x)的单调性；(2) 设a>0，证明：当0<x<1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ； (3) 若函数y ＝f(x)的图象与x 轴交于A 、B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f′(x 0)＜0.(1) 解：f(x)的定义域为(0，＋∞),f ′(x)＝1x －2ax ＋(2－a)＝－（2x ＋1）（ax －1）x. ① 若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．② 若a>0，则由f′(x)＝0得x ＝1a ，且当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x)>0，当x>1a 时，f ′(x)<0.所以f(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上是减函数. (2) 解：设函数g(x)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x ， 则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax ，g ′(x)＝a 1＋ax ＋a 1－ax －2a ＝2a 3x 21－a 2x 2. 当0<x<1a时，g ′(x)>0，而g(0)＝0，所以g(x)>0. 故当0<x<1a 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋x >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －x . (3) 证明：由(1)可得，当a≤0时，函数y ＝f(x)的图象与x 轴至多有一个交点， 故a>0，从而f(x)的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a >0. 不妨设A(x 1，0)，B(x 2，0)，0<x 1<x 2，则0<x 1<1a<x 2. 由(2)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －x 1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1a －x 1>f(x 1)＝0. 从而x 2>2a －x 1，于是x 0＝x 1＋x 22>1a. 由(1)知，f ′(x 0)<0.1. 恒成立问题的处理方法：第一步，分清参数和自变量；第二步，确定是否要分离；第三步，构造新函数求最值；第四步，解不等式．2. 有双重量词出现的不等式恒成立问题，先把其中一个自变量当成已知的参数，解决一个量词，然后再解决另一个量词．3. 证明与函数有关的不等式主要是利函数的最值和单调性来判断．4. 方程的根的个数问题往往考查函数与方程思想和函数零点问题，需注意等价转化．请使用课时训练(A)第14课时(见活页)．[备课札记]。
导数知识点总结与应用
导数知识点总结与应用一、导数的定义导数的定义是一个函数在某一点的变化率，通俗地说就是函数在某一点的斜率。
数学上我们用极限的概念来定义导数，设函数y=f(x)，在点x0处的导数定义为：f'(x0) = lim (Δx→0) (f(x0+Δx)- f(x0))/Δx如果这个极限存在的话，我们就称这个导数为存在的。
导数在几何意义上就是函数在某一点的切线的斜率。
二、导数的意义导数不仅仅是一个数学概念，更是反映了函数在不同点的变化情况。
导数告诉我们了函数在某一点的变化率，也就是函数在该点上的速度。
导数在物理中也有广泛的应用，比如在求物体的速度、加速度等等。
在经济学中，导数也有广泛的应用，比如在边际收益、边际成本等等。
三、导数的常用性质1、导数的和差规则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的和、差的导数就可以用下面的关系式来表示：(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)2、导数的数乘规则：设函数f(x)在点x0具有导数，那么它的数乘k的导数可以用下面的关系式来表示：(k*f(x))' = k*f'(x)3、导数的积法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，那么它们的积的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)4、导数的商法则：设函数f(x)和g(x)都在点x0具有导数，并且g(x0)≠0，那么它们的商的导数可以用下面的关系式来表示：(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/[g(x)]^2四、高阶导数由导函数可以得到二阶导数，三阶导数···，n阶导数的定义分别为f''(x) = [f'(x)]'f'''(x) = [f''(x)]'···f^(n)(x) = [f^(n-1)(x)]'几何意义上就是函数在该点的曲率、弯曲程度。
导数知识点归纳及应用
导数知识点归纳及应用导数是微积分中非常重要的一个概念，它描述了一个函数在其中一点处的变化率。
导数的应用非常广泛，不仅在数学中有着重要的意义，也在物理、经济、工程等领域中得到了广泛的应用。
下面将详细介绍导数的定义、性质及其应用。
首先，我们来看导数的定义。
设函数f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，则导数的定义为：f'(a) = lim_(x→a) [f(x)-f(a)]/(x-a)其中，lim表示极限运算。
这个定义表明，导数可以通过求极限来得到，它描述了函数在点a处的变化率。
根据导数的定义，我们可以得到一些导数的基本性质。
首先，导数有线性性质，即对于任意的实数a和b，以及函数f(x)和g(x)，有：（af(x)+bg(x))' = af'(x)+bg'(x)其次，导数满足乘法法则和链式法则。
乘法法则表明，对于函数的乘积，其导数可以通过各个函数的导数来计算，具体而言有：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)链式法则表明，对于复合函数，其导数可以通过外层函数和内层函数的导数来计算，具体而言有：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)此外，导数还满足反函数法则和导数的平均值定理。
反函数法则表明，对于反函数，其导数可以通过原函数的导数来计算，具体而言有：(f^(-1)(y))'=1/f'(x)导数的平均值定理表明，对于一个区间[a,b]上连续且可导的函数f(x)，存在一个点c，在[a,b]内，使得f'(c)等于函数在该区间的平均变化率。
了解了导数的定义和性质后，我们可以来看一些导数的应用。
首先，导数可以用于计算函数在其中一点的斜率。
具体而言，如果函数f(x)在点x=a处的导数存在，那么它就可以表示函数在该点处的斜率，即函数在该点处的切线的斜率。
其次，导数还可以用于确定函数的最值。
高考数学回归课本教案：极限与导数
高考数学回归课本教案：极限与导数一、教学目标1. 理解极限的概念，掌握极限的计算方法，能够解决与极限相关的实际问题。
2. 掌握导数的定义，了解导数的几何意义，熟练运用导数求解函数的单调性、极值和最值。
3. 提高学生的数学思维能力，培养学生的逻辑推理和数学运算能力。
二、教学内容第一章：极限1.1 极限的概念1.2 极限的性质与计算1.3 无穷小与无穷大1.4 极限的实际应用第二章：导数2.1 导数的定义2.2 导数的计算规则2.3 导数的几何意义2.4 函数的单调性三、教学方法1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探索、发现和解决问题。
2. 通过典型例题讲解，让学生掌握极限和导数的计算方法。
3. 利用多媒体课件辅助教学，增强教学的直观性和生动性。
4. 组织小组讨论和课堂互动，激发学生的思维碰撞，提高学生的合作能力。
四、教学评价1. 课堂练习：每章节结束后进行课堂练习，检验学生对极限和导数知识的掌握程度。
2. 课后作业：布置相关习题，巩固学生对极限和导数知识的理解。
3. 单元测试：每个章节结束后进行单元测试，全面评估学生对该章节知识的掌握情况。
4. 期末考试：综合检验学生对整个极限与导数知识的掌握程度。
五、教学安排第一章：极限1课时：极限的概念1课时：极限的性质与计算1课时：无穷小与无穷大1课时：极限的实际应用第二章：导数2课时：导数的定义2课时：导数的计算规则2课时：导数的几何意义2课时：函数的单调性六、教学内容第三章：导数的应用3.1 函数的极值与最值3.2 函数的增减性3.3 曲线的凹凸性与拐点3.4 导数在经济中的应用第四章：高阶导数4.1 高阶导数的定义4.2 高阶导数的计算4.3 隐函数求导4.4 高阶导数在实际应用中的意义七、教学内容第五章：导数与图形5.1 切线方程的求法5.2 曲线的切线与法线5.3 曲线的渐近线5.4 函数图像的变换八、教学内容第六章：导数与物理6.1 瞬时速度与加速度6.2 动量与力6.3 能量与势能6.4 导数在物理学中的应用九、教学内容第七章：导数与微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 微分方程的解法7.3 微分方程在实际应用中的例子7.4 微分方程与导数的关系十、教学内容第八章：复习与提高8.1 极限、导数的概念与性质的综合应用8.2 函数的单调性、极值和最值的求解8.3 导数在实际问题中的应用8.4 提高解题技巧与策略九、教学方法1. 通过具体实例引入导数的应用，让学生感受导数在实际问题中的重要性。
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(3)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数 y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数 y＝f(x)的各___极__值___与端点值比较，其中最大的 一个是最大值，最小的一个是最小值．
1．f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值是( C )
A．－2
B．0
3．函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上，函数 y＝f(x)的图象是一条连续不断 的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)①若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f(a)为函数的最小 值，f(b)为函数的最大值； ②若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f(a)为函数的最大值， f(b)为函数的最小值．
①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)＞0,右侧 f′(x)＜0，那么 f(x0) 是极大值；
②如果在 x0 附近的左侧_f_′(_x_)_＜__0___，右侧_f_′(_x_)_＞__0___，那 么 f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤： ①求 f′(x)； ②求方程 f′(x)＝0 的根； ③检查 f′(x)在方程 f′(x)＝0 的根的左、右值的符号．如 果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正， 那么 f(x)在这个根处取得___极__小__值___；如果左右两侧符号一样， 那么这个根不是极值点．
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：若 x＝x0 是 f(x)的极值点，则f′(x0)＝0；若f′(x0) ＝0，而 x＝x0 不一定是 f(x)的极值点，如 f(x)＝x3，当 x＝0 时， f′(0)＝0，但 x＝0 不是极值点．故 p 是 q 的必要不充分条件．
第14讲 导数在函数中的应用
1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的 单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三 次)．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用 导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三 次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一 般不超过三次)．
解：(1)函数f(x)的定义域为x>0. 对函数f(x)求导，得f′(x)＝14－xa2－1x. 由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y＝12x知， k＝f′(1)＝－34－a＝－2.∴a＝54.
5 (2)由(1)知，f′(x)＝14－x42－1x＝x2－44xx2－5. 令f′(x)＝0，即x＋14x2x－5＝0.
故选 C.
考点 2 函数的最值
例2:(2013年北京丰台一模)已知函数f(x)=12x2－alnx(a>0)． (1)若 f(x)在 x＝2 处的切线与直线 3x－2y＋1＝0 平行，求 f(x)的单调区间； (2)求 f(x)在区间[1，e]上的最小值．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)． f′(x)＝x－ax＝x2－x a. 由f(x)在x＝2处的切线与直线3x－2y＋1＝0平行，
2“f′x>0[或 f′x<0]”是“函数 fx在某区间上为增函 数或减函数”的充分不必要条件；“f′x0＝0”是“函数 fx 在 x＝x0 处取得极值”的必要不充分条件.
【互动探究】
1．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数存在，若命题 p：f′(x0)＝0，
命题 q：x＝x0 是 f(x)的极值点，则 p 是 q 的( C )
则f′(2)＝4－2 a＝32，a＝1. 此时f(x)＝12x2－lnx，f′(x)＝x2－x 1.
令 f′(x)＝0，得 x＝1. f(x)与 f′(x)的情况如下表：
x
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
—
0
＋
f(x)
↘
1 2
↗
所以f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)．
C．2
D．4
2．(2013 年广州二模)已知e为自然对数的底数，函数 y＝
xex 的单调递增区间是( A )
A．[－1，＋∞)
B．(－∞，－1]
C．[1，＋∞)
D．(－∞，1]
3．(2013 年河南郑州模拟)函数 f(x)的定义域为开区间(a，b)， 导函数 f′(x)在(a，b)内的图象如图 2-14-1，则函数 f(x)在(a，b) 内的极大值点有( B )
(2)由f′(x)＝x－
a x
＝
x2－a x
.由a>0及定义域为(0，＋∞)，令
f′(x)＝0，得x＝ a.
①若 a≤1，即0<a≤1，在(1，e)上，f′(x)>0，f(x)在[1，
e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝12；
②若1< a <e，即1<a<e2，在(1， a )上，f′(x)<0，f(x)单
图 2-14-1 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．函数 f(x)＝x3－3x2＋1 在 x＝___2_____处取得极小值．
考点 1 函数的单调性与极值 例1：(2014年重庆)已知函数f(x)＝ 4x ＋ ax －lnx－ 32 ，其中a∈ R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y＝12x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间与极值．
1．函数的单调性 函数 y＝f(x)在(a，b)内可导，则 (1)若 f′(x)>0，则 f(x)在(a，b)内单调递增； (2)若 f′(x)<0，则 f(x)在(aห้องสมุดไป่ตู้b)内___单__调__递__减_． 2．函数的极值
(1)判断 f(x0)是极值的方法： 一般地，当函数 f(x)在点 x0 处连续时，
解得 x＝－1(舍)或 x＝5. 当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，函数 f(x)单调递减； 当 x∈(5，＋∞)时， f′(x)>0，函数 f(x)单调递增． 因此，函数 f(x)在 x＝5 时取得极小值，且极小值为
f(5)＝－ln5.
【规律方法】1求函数的单调区间与函数的极值时要养成 列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.如果一 个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一 般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开.