数学论文：《主元思想在函数和方程中的应用》
浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用
浅谈函数与方程思想在中学数学中的应用本文阐述了函数思想与方程思想的概念、二者之间的相互转换及在转换时需要注意的一些问题。
函数与方程都是中学数学的重要内容，也是处理许多数学问题时经常要用的基本思想方法，教师应该在教学中有意培养学生的函数与方程思想。
标签：函数与方程思想中学数学应用函数与方程是反映客观事物数量变化规律的一种数学模型，函数思想能使数学有效地揭示事物运动变化的规律，反映事物间的相互关系;而方程思想则是函数思想的具体体现，是已知量和未知量的矛盾统一。
一、函数与方程思想的概念以及相互转化1.函数与方程思想的概念函数的思想方法就是对于客观事物的运动变化过程中各个变量之间的相互关系，通过函数的形式表示出来并加以研究，从而使问题获得解决。
函数思想的实质是提取问题的数学特征，用联系的变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系。
方程的思想方法就是经过数学变换，把非方程的问题转化为方程的形式，并通过解方程的手段或对方程有关性质的研究，使原问题得到解决。
从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。
2.函数与方程思想的相互转化如果变量间的数量关系用解析式表示，则这个解析式又可以看作一个方程，通过解方程的方法进行研究，使问题得到解决，这就是函数与方程的思想。
很明显，只有在对问题的观察、分析、判断等一系列的思维过程中，具备有标新立异、独树一帜的深刻性、独创性思维，才能构造出函数原型，化归为方程的问题，实现函数与方程的互相转化接轨，达到解决问题的目的。
二、函数与方程思想在高考中的几个典型应用许多方程问题常常可以运用函数思想去解决，而不少函数问题又往往需转化为方程来求解，因此，在解决一些函数和方程问题时，既要善于运用函数思想解决方程问题，又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题，函数与方程思想在解题中的应用十分广泛，函数与方程思想是数学中的基本思想，也是历年高考的重点和热点。
浅析初中数学中函数思想和方程思想的应用
周刊28教学创新|实践创新摘 要：伴随新课改逐渐深入，如今初中时期的数学教学愈发重视实际问题的分析以及解决，除了重视初中生对于所学知识的实际理解以及掌握之外，而且还注重借助所学知识对一些实际问题加以解决。
为此，教学期间，数学教师需指导初中生对一些数学思想以及数学方法加以灵活运用，这样才可有效提升初中生的学习效率以及解题效率。
基于此，本文旨在对初中阶段数学教学当中方程和函数思想的具体应用展开探究，希望能为实际教学提供些许参考。
关键词：初中数学；函数思想；方程思想前言：在以往教学当中，数学教师通常把教学内容当作依据制定具体教学计划，并未对初中生实际需求与教学情况加以充分考虑，并且忽略了培养初中生的数学思想。
实际上，在数学教学当中，数学思想占据重要位置，能够对初中生解题思路与解题效率产生直接影响。
方程和函数思想可以帮助初中生对数学知识进行透彻理解，有效提升初中生的解题能力。
为此，对初中阶段数学教学当中方程和函数思想的具体应用展开探究有着重要意义。
一、关于方程和函数思想的概述方程和函数思想是指用函数和变量对问题加以思考，对问题当中的已知与未知关系加以转换。
实际解题期间，把函数思想当作主导，需把字母当作变量，把代数当作函数，借助函数对问题加以分析以及解决。
如果把方程思想当作主导，需把含字母等式当作方程，研究方程的根。
实际解题期间，方程和函数思想存在紧密关联。
如今，在初中阶段的数学教学当中，常见的几种数学思想包含方程和函数思想、数学模型、图形运动与数形结合等。
在这之中，方程和函数思想是最常用，也是最基础的一种思想方法。
在初中阶段的数学教学当中对方程和函数思想加以运用，可以借助方程和函数思想把抽象事物变成具体模型，有效搭建逻辑知识与数学思维之间的联系，借助此种方式把复杂数学关系串联起来，有效拓展初中生解题思路，促使初中生的学习效率以及解题效率有效提高。
二、初中阶段数学教学当中方程和函数思想的具体应用1.方程思想的具体应用例如，已知0))((4)(2=−−−−c b b a a c ，证明：b c a 2=+.分析，通过已知条件0))((4)(2=−−−−c b b a a c 可以联想到二次方程当中AC 4B 2−这个根的判别式，所以可设a c B −=，b a A −=，c b C −=，之后便能构造出一个二次方程0)()(2=−+−+−c b x a c x b a .因此可以得到以下解法：在b a =之时，根据已知能得到c b a ==，因此存在b c a 2=+.当ba ≠之时，可构造一个二次方程0)()(2=−+−+−c b x a c x b a ，通过对方程当中各项系数进行观察可发现，0)()(=−+−+−c b a c b a ，因此方程存在一个根是1。
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方程思想数学论文1000字_方程思想数学毕业论文范文模板方程思想数学论文1000字(一)：浅析方程思想在初中数学教学中的应用论文随着教育事业的不断发展，在初中数学教学中，学生的培养不仅仅是成绩的高低，也越来越重视对学生在数学思想方面的渗透，教师在教学中充分发挥教师“授业解惑者”的作用，教会学生解决棘手的数学题，举一反三，学生高效率、高质量的学习，从而提高学生对数学的自信，使得原本苍白、枯燥的数学题变得更加直观、生动。
其中，数学思想包括：函数思想、方程思想、分类讨论、数形结合思想等等，本文主要就初中数学教学中的方程思想进行浅谈。
一、方程思想在初中数学学习中的意义所谓方程思想，便是在题目给出的已知量中与所求量或未知量之间寻求等量关系，将问题转化为代数问题，进而利用数学负号将等量关系化归为方程（组）解决，通过解方程（组），从而解决问题，尤其当面对题目中给出的已知量较少，或有含参函数等问题时，利用方程思想化未知为已知，巧妙的运用使得题目的难度有所降低，有利于提高学生的解题思想和综合实践能力，拓展学生面对数学问题的思路，提高学生的解题能力和应用能力，养成学生良好的严谨思考问题的习惯，可见，方程思想的渗透学习在初中教学中的重要性。
二、方程思想在初中数学学习中的应用在初中的教学中，方程思想应用在方方面面。
在学生具备一定的解方程（组）能力的基础上，针对具体问题的数量关系列出方程，化难为简，使学生对数学的理解有质的提升。
以下将从几个方面来进行简单的举例说明。
小结：利用几何的相关定理，如勾股定理、三角形相似定理等为依据，将所求量设为未知数，根据定理列出相关方程（组）求解，以静制动，降低几何图形本身的复杂度。
三、总结在以上简单的论述之后，可见方程思想在数学解题过程中的重要性。
利用方程解决实际生活问题时，需要结合相应的生活经验，寻求等量关系列方程视为重点；在面对复杂的代数问题时，仔细观察所求式子的特征，类比所学过的公式、定理，巧借方程的等量关系，问题便能迎刃而解；学生面对几何题，尤其动点问题时，应注重方法的归纳，無妨将未知转化为已知，以便求证，古人语：授人以鱼不如授人以渔；而在函数问题上，函数总是离不开解方程，将坐标转化为线段长度问题，化归为几何问题，最终成为代数问题。
数学思想在函数中的应用
+ 过 这 点 剪 下
两个正方形 它们的边长分别是
方程与函数思想
函数与方程关系密切 初中阶 段函数关系式可以看成是含有两个 未知数的方程 因此 我们可以运 用方程知识解决许多函数问题 如 求函数图象与 轴 轴的交点坐 标 就是解函数或自变量为零时的 方程等 因此我们可以利用一元二 次方程根的判别式来判断两函数图 象是否相交 判断二次函数的图象 与 ! 轴的交点情况等 例 "# 已 经 抛 物 线 $% &' (
动态几何题是函数与运动相结 合的典型题 动态几何题是以几何 知识和几何图形为背景 渗入运动 变化思想的一类题 通常是通过图 形运动产生变量形成函数 # 三 函数中的分类思维 分类讨论思想是根据数学本质 属性的相同点和不同点 将数学研 究对象分为不同种类的一种数学思 想 初中数学分类讨论思想应用很 广泛应用分类讨论 往往能使复杂 的问题简单化 在函数的教学过程 中我们要利用学生已有的认识基 础 把生活中的分类迁移到数学中 来 在数学教学中进行分类思想的 渗透 挖掘教材提供的机会 把握 渗透的契机 如 例 1# 函 数 $%& (1 (" 与 轴只有一个交点 求 的值与交点 坐标 分析 本题中函数是什么函数 没有确定 故要根据初中学生已有 的函数知识 根据 的不同取值 分别考虑此函数是一次函数或者二 次函数两种情况 解 当 $* 时 为 一 次 函 数 $1(" 交点为 &"21 * 当 不为 * 时 为二次函数 $% (.1 &0 (" $% ) $% & "*(3$* 解得 $" 或 $3 交点为&" * 或 3 * 由上可见 在函数中蕴含着丰 富的数学思想 在教学中我们要把 它不断地向学生渗透这些思想 帮 助学生掌握数学思想 提高其运用 数学方法的能力 这是长期 复杂 而细致的工作 中学数学教学中应 全面研究教材中所蕴含的数学思想 方法 探讨各种数学思想方法在不 同阶段的教学要求 做到全面安 排 逐步培养学生对数学思想的理 解和运用能力 只有重视和加强数 学思想方法教学 使数学知识的教 学与思想方法的教学并重 数学教 学的目标才能全面实现 责任编辑 徐国坚
主元思想在含参问题中的应用
主元思想在含参问题中的应用主元法是求解线性方程组的常用数学方法，它可以提高矩阵相乘和代数运算的效率。
这种方法在求解定解计算机问题(特别是最优化和优化问题)中，也有着广泛的应用。
本文将主元思想在含参问题中的应用进行介绍。
所谓含参问题，是指存在有参量的数学模型，即模型目标函数的参数在不同的取值上可以发生变化，目标函数也跟着变化。
解含参问题就是要求出使目标函数取到极值的参数，即要求理论最优解。
由它可以把含参问题转化成求解一组非线性方程组，使用主元法可以快速求解这组方程组。
主元法的思想就是把大型方程组拆分成若干个小的方程组来求解，即先把满足特定条件的某几个未知数求出来作为主元，接着再把这几个未知数固定下来，用新的方程组来解剩下的几个未知数，以此达到快速求解大型线性方程组的目的。
在含参问题中，要用主元法求解，首先需要找出主元，即要求出使目标函数取到极值的参数，这可以通过求解子问题和构造定解来实现。
子问题指的是，将原问题的参数固定在某个值上，把原问题分解成多个子问题，表现形式是求解多个定解，然后再用求得的定解来求原问题的最优解。
这里的子问题可以看成...独立的定解问题，求解的方法可以是对每个参数取多个值，然后估算目标函数的最优解选择最优的参数组合作为主元。
定解指的是，给定一组满足非线性方程中未知数的取值，使得非线性方程组看成线性方程组，然后再求解这组线性方程组，得到最优解作为定解。
定解可以有效降低问题的复杂度，便于对系统建模，提高求解速度。
最后，用得到的主元，从而可以缩小优化问题的搜索空间，使优化问题的求解更加迅速。
因此，主元思想在求解含参问题中非常重要，可以快速求解大型非线性方程组，有效降低问题的复杂度，取得目标函数的最优解。
数学与应用数学毕业论文--函数与方程思想在中学数学中的应用
毕业论文（设计）文献综述毕业论文（设计）翻译文章函数与方程思想在中学数学中的应用目录中文摘要、关键词 (Ⅰ)1引言 (1)2 方程中的函数思想 (1)3 函数中的方程观点 (3)4函数与方程思想在中学数学中的应用 (5)4.1函数与方程思想在数列中的应用 (6)4.2函数与方程思想在三角中的应用 (7)4.3函数与方程思想在不等式中的应用 (8)4.4函数与方程思想在解析几何中的应用 (8)4.5函数与方程思想在二项式定理中的应用 (12)4.6函数与方程思想在概率中的应用 (12)4.7函数与方程思想在多元问题中的应用 (13)4.8讨论方程f(x)=0在某个区间上根的个数 (13)4.9函数与方程思想在复数问题中的应用 (14)参考文献 (15)英文摘要、关键词 (Ⅱ)函数与方程思想在中学数学中的应用摘要：函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决。
这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。
和函数有必然联系的是方程，方程f (x)＝0的解就是函数y＝f (x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y＝f (x)也可以看作二元方程f (x)-y＝0通过方程进行研究，要确定变化过程的某些量，往往要转化为求出这些量满足的方程，希望通过方程(组)来求得这些量。
这就是方程的思想，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。
在中学数学中，函数与方程是相互联系不可分割的，涉及这两个方面的问题可以相互转化。
许多方程问题常常可以运用函数思想去解决，而不少函数问题又往往须转化为方程来求解。
因此，在解决一些函数和方程问题时，既要善于运用函数思想解决方程问题，又要学会灵活运用方程的观点去观察、处理函数问题。
关键词函数思想，方程思想，应用1引言函数思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来，并加以研究，从而使问题获得解决。
方程思想在数学中的应用(中考导刊)
方程思想在数学中的应用（中考导刊）（四川）陈孝方数学思想方法是数学的本质之所在，是数学的精髓。
日本著名数学教育家米山国藏，作为一个教育家他深深感到，许多在学校学的数学知识，如果毕业后进入社会没有什么机会去用的话，不到一年就忘掉了，“然而，不管他们从事什么业务工作，惟有深深铭刻在头脑中的数学精神、数学思想方法、研究方法、推理方法，却随时随地的发生作用，使他们终身受益”。
如果把数学思想和方法学好了，在数学思想方法的指导下解决数学问题，数学学起来就较容易。
方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），将问题中的已知量和未知量之间的数量关系通过适当设元建立起方程(组)，然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解的思维方式。
有时，还实现函数与方程的互相转化。
笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。
宇宙世界，充斥着等式和不等式。
我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的；不等式问题也与方程是近亲，密切相关用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。
这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用，教材中大量出现这种思想方法，如列方程解应用题，求函数解析式，利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等一方程思想与函数的结合方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法，都是通过建立相等关系，求出未知数的值，因此函数问题的关键就是找出相等关系，建立变量之间的等量关系求解，要求对变量所涉及的相关知识要比较熟练，这是轻松求解函数问题的必要基础。
此类问题常见的形式和解题方法是：①用待定系数法列出关于函数解析中待定系数的方程（组），通过解方程（组）求出特定系数的值；②将函数图象与坐标轴交点坐标与方程的根对应起来；③利用函数研究方程的根与系数之间的关系；④利用函数图象交点的坐标与方程组的解之间的关系及根与系数关系解题。
例谈解题中“主元思想”的应用
例谈解题中“主元思想”的应用
湖北省鄂州高中肖安平湖北省黄冈中学王宪生
在数学解题中常用到“主元思想”，所谓“主元思想”，即是指在
含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中，选择其中一个字母作
为研究的主要对象，视为“主元”，而将其余各字母视作参数或常量，
来指导解题的一种思想方法．这一思想方法运用的核心是确定“主
元”、选择“主元”，在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”，等价于战斗中选择准了主攻方向．
下面利用两道例题的分析和解题研究来简单介绍一下应该如何运
用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”：
2—2x－m+1﹤0对满足︱m︱≤2的一切m都成[例1]设不等式mx
立，求x的取值范围．
2－1）m﹤2x－1①，采用分离变[分析1]可以将原不等式化为（x
2－1的符号来求
解．量法，视x为主元，通过讨论x
2－1=O即x=±1时，①成立2x－1﹥O，∴x=1；
[解答1]（1）当x
2－1﹥0即x﹤－1或x﹥1时，由①式得m﹤（2）当x 2x 1
2
x 1
，
2x 1 2
x 1﹥2，由此得不等式组
2
x
10
2
1
2x 1
2
，解得1﹤x﹤1 3
2
x
由题意知；
2—1﹤0即－1﹤x﹤1时，由①得
m﹥
（3）当x 2x 1
2
x 1
，
2x 1 由题意知
2
x 1
2
x10
﹤－2，由此得不等式组
2x 1
2
x 1
，解得7 1
2
2
﹤x﹤1；。
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主元思想在函数和方程中的应用
主元思想即是在解决复杂问题的过程中，区分主次，抓住问题的要害，将复杂问题简单化．
1．若10≤≤x ，40≤≤y ，则y xy -2的最大值为 ．
解 令y x y A -=2，将x 看成主元，y 看成常数， 当0y =时，0=A ；当y 0≠时， y x y A -=2是关于x 的一次递增函数，最大值为y y -2，再由40≤≤y ，可求得A 的最大值为12．
2．若a 是实常数，则直线0=++a ay
x 与圆222=+y x 的公共点的个数为 ．
解 将a 看成主元,y x 、看成常数；则直线方程0=++a ay x 可化成关于a 的
方程）（*=++0)1(x a y ，当且仅当01==+x y 时，方程
）（*恒成立；所以直线0=++a ay x 恒过定点(0,1)-，而定点(0,1)-在圆
222=+y x 内，故直线0=++a ay x 与圆222=+y x 一定相交，即它们有两个公共点．
注：研究曲线的位置关系时，如果曲线有过定点等特殊性质，一般用这些性质解题会比较简便．
3．求证：对任意不等于2-的实数a ，关于y x ,的方程
024)2()2(22=--+++a x y a x a 必定存在与a 无关的实数解．
分析：事实上本题所给的方程是圆系方程，要证明该圆系方程存在与a 无关的实数解，即是要证明该圆系过与a 无关的定点，若设定点为),(00y x ，则方程
2020)2()2(y a x a +++0240=--a x 中00y x 、均为常数；
为了方便起见，我们直接用y x 、表示定值就行了，也就是说，这里的y x 、可以看成已知的定值，因此，自然就可以把a 看成主元了．
解 原方程可化成2222(x y 2)2x 2y 4x 0a +-++-=，设该方程所表示的圆系
过定点),(y x ，由于上式对一切R a ∈且2-≠a 都成立，故⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+0422022222x y x y x ，解
得⎩⎨⎧==11
y x 或⎩⎨⎧-==11
y x ，因此，该圆系过定点)1,1(和)1,1(-．
故关于y x ,的方程024)2()2(22
=--+++a x y a x a 存在与a 无关的两组实数解⎩⎨⎧==11
y x 和⎩⎨⎧-==11
y x ．
注：（1）本题还可选用特殊值求解，再验证；既然对一切R a ∈且2-≠a 都成
立，取0=a 和1-=a ，联立得⎩⎨⎧=+-+=-+0
2404222222x y x x y x ，解得⎩⎨⎧==11y x 或⎩⎨⎧-==11y x 再验证该圆系过定点)1,1(和)1,1(-就行了；
（2）如果感觉符号y x 、太抽象，不如改为过定点),(00y x ．
在一个含有两个或两个以上字母的数学问题中，我们往往要选取其中一个作
为主元，而其余的为辅元．有时选取的主元可能不止一个，如向量中基底的选取，我们选取的基底通常是互相垂直的（以便于计算，有时要建立坐标系）或与其他向量联系较密切的；又如等差数列中我们可选取首项和公差为主元，也可选取首末两项为主元等等．。