一般位置直线段实长及倾角讲解方法的探讨
画法几何求直线实长与倾角教法的探讨
画法几何求直线实长与倾角教法的探讨作者：杨莉来源：《亚太教育》2016年第07期摘要：针对空间解析几何求一般位置直线实长的方法，论述了直角三角形法和换面法两种方法，对比一般的教学方法，探讨出新的教学方法，结合典型实例进行分析求解，通过应用于教学实际，效果较好。
关键词：直角三角形法；换面法；直线实长中图分类号：TU204文献标志码：A文章编号：2095-9214（2016）03-0133-01引言当空间直线或平面对投影面处于一般位置时，它们的投影都不反映其真实长度、大小和形状，也不反映实际距离和夹角，如何求一般位置的实际长度以及与投影面的夹角，也是工程实际需要解决的问题，如同一个管道处于无法测量的位置，要求出它的实际长度，类似的工程问题的应用，需要从画法几何的角度进行求解。
一般的教学法里有利用空间直线具有长、宽、高三个尺度，即实长的平方等于长的平方加宽的平方加高的平方[1]，为了解决此问题，探讨了两种求解方法，即直角三角形法和换面法。
1.直角三角形法（1）直角三角形法的新教法。
为了更加直观的理解一般位置直线在三个投影面的投影特性，将三个投影面理解成教室中由地面（H 面）、侧墙面（W 面）和黑板面（V 面）组成。
[2]一般位置直线就相当于在这三个投影面中的投影。
将三个投影面组成的立体空间中的一般位置直线转换成平面求解空间直线的实长及对各投影面倾角的求法。
如图1（a）所示，若已知H面上直线AB的投影a’b’，要求出直线AB的实长以及与H面的倾角，需要过a’（b’）做一条直线，且该直线垂直于a’b’，量取△Z（直线两端A和B点的Z坐标值之差），过b’（a’）点首尾连接成斜边，此斜边就是空间直线AB的实长，直角三角形中△Z边对着的夹角即为直线AB与H面的夹角α。
如图1（b）所示，若已知V面上直线AB的投影ab，要求出直线AB的实长以及与V面的倾角，需要过a（b）做一条直线，且该直线垂直于ab，量取△Y（直线两端A和B点的Y 坐标值之差），过b（a）点首尾连接成斜边，此斜边为实长，△Y所对夹角即为β。
求一般位置直线段实长及倾角方法的比较分析
求一般位置直线段实长及倾角方法的比较分析作者：刘英平来源：《现代企业文化·理论版》2008年第01期【摘要】直角三角形法与换面法是求解一般位置直线段的实长及其对投影面倾角的两种常用方法，文章分析了两种方法的联系与区别，指出直角三角形法是换面法的简化形式，换面法是直角三角形法的推广及一般形式。
通过比较分析，有助于学生深入理解这两种方法。
【关键词】直角三角形法；换面法；一般位置直线；实长；倾角【中图分类号】 O221 【文献标识码】A【文章编号】1674-1145（2008）02-0177-02机械制图中，有时需要由投影求出直线段的实长及其对投影面的倾角。
投影面平行线和投影面垂直线属于特殊位置直线，其投影能直接反映出线段的实长及其对投影面的倾角；一般位置直线的三个投影均呈类似性，既不能反映该线段的實长，也不能反映该线段对投影面的倾角。
对于一般位置直线，可以采用直角三角形法或换面法求其实长及对投影面的倾角[1~2]。
在求解时，采用这两种方法的任意一种都可以求出一般位置直线的实长及其对投影面的倾角，即直角三角形法和换面法是独立使用的。
通常，机械制图教材[3~4]都对这两种方法进行了介绍，并指出两种方法都可以用来求解一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角，但并没有对其进行深入分析。
通过比较分析，发现在求解一般位置直线段的实长及其对投影面的倾角时，直角三角形法和换面法并不是孤立的，而是存在一定的关系，即：直角三角形法可以看作是换面法的简化形式，换面法可以看作是直角三角形法的推广及一般形式，这为学生深入理解这两种方法提供了一种新的模式。
一、直角三角形法二、换面法保持空间几何元素的位置不动，建立新的直角投影面体系，使几何元素在新投影面体系中处于有利于解题的位置，然后用正投影法得到几何元素的新投影，这种方法叫做变换投影面法，简称换面法。
三、直角三角形法与换面法的比较直角三角形法和换面法是求一般位置直线的实长及其对投影面的倾角的两种常用方法。
换面法-直角三角形法
二、换面法
1.点的一次换面
以H1 面替代H 面
V
ax1 a’ aX a
a1 Z
作图步骤： 投影规律： 1)画OX1 轴； 1)新投影与旧投影： a1 aX1 = aaX。 2)过a’ 作OX1 轴的垂线； 2)新投影与不变投影： a‘ a1 ⊥OX1 ； 3)在垂线上截取 a1aX1 = aaX 。
线段对不变投影面的倾角。
b'
V X H
实长
a’1
α
A
a’
X
B
α
பைடு நூலகம்
a b
b’ a O a'1
实长 α
b’1
X1
b
b'1
解题完毕
§3-3 求一般位置线段的实长
二、换面法
例2 求AB 线段的实长及β。 作图要点：X1 ∥a’b’ 分析：
a1
β
实长
b1
V 面应为不 变投影面, X1
轴平行不变投 影a’b’ ，求得线 段对V 投影面的 倾角β 。
O
R30 EF
e
解题完毕
§3-3 求一般位置线段的实长
一、直角三角形法
小结
1)实长、坐标差、投影长、倾角为直角三角形的四要素。
注意：
直线的坐标差、投影长、倾角是对同一投影面而言。
TL
(实长)
α
水平投影
坐 标 差
Z
TL
(实长)
β
正面投影
坐 标 差
Y
TL
(实长)
γ
侧面投影
坐 标 差
X
§3-3 求一般位置线段的实长
§3-3 求一般位置线段的实长
一、直角三角形法
第四节-直线的投影
定比性：AC：CB=a 'c ':c 'b '=ac:cb=a"c" :c "b "
d' b' c' e' a'
X
O
d'
D
a
e
cd
d
b
1、 C点在直线ＡＢ上
a
a A
c
c
b
C
ac B
b
b
点Ｃ在直线上ＡＢ上。
C点在直线ＡＢ上
a
c
b
a
c
b
a
c
b
点Ｃ的投影在直线的同面投影上，并符合点的 投影规律。
2、Ｄ点不在 直线ＡＢ上。
既不符合平行两直线的投影特性，又不符合 相交两直线的投影特性
交叉直线的同面投影若相交，其交点并非一 个点的投影，而是两条直线上的两个点的重 影。其重影点的可见性应根据两个点的相对 位置来判别。
两直线交叉
d
a
1(2
)
3 ●
投影特性：
●
●4
c'
c 2
●
b ★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一个点
水平线投影图
e
f e
f
e
EF实长
f
（2 ）正平线 反映ＡＢ实长
A A
反映ＡＢ实长
正平线投影图
（3）侧平线
反映ＣＤ实长
c
C
c
d
d
D
c
d
侧平线投影图
c
d
c
d
c ＣＤ实长
d
水平平行线的投影特征：
（1）在与其平行的投影面上的投影反映实长； （2）该投影与相应投影轴之间的夹角反映直线与另 外两个投影面的倾角； （3）其余的两个投影平行于投影轴，但不反映实 长。
画法几何与工程制图2-1-复习
边，半径为33mm作 弧，可截得正面投影
长③；以投影b'为圆心， 以ea0长为半径作弧， 得到a'，连接a'b'及
完成正面投影
一般位置直线段的实长及倾角
[补充题] 如图所示，已知ab、a 且知 =30 º 试求直线AB的正面
投影ab。
b
a
x
a
O a'b' 30 º 60 º
b
垂直两直线
平面立体截交线
s'
s"
2'
2"
例 求出立体被截切
后的三面投影。
1'
3'
4'
4"
1" 3"
S
a'
好镜b'cc' c"
a"
b"
4
1
a
2
s
注意：
3 b
截平面之
间的交线
A
B
〔例〕完成圆柱体左边被切凹槽，右边被切凸台后的水平投影
a'
b'
a"( b" )
a
b
AB
平面与圆锥相交
截交线的形状有几种？
圆
三角形
椭圆
φ18
54
φ10
27
★
Φ30
10 24 Φ54
适
当
105
调
12
70
整
812 30
，
标
注
全
100
部
尺
寸
65
47
R18 2-Φ18 64
基于AutoCAD探究一般位置直线求实长的方法
基于ＡｕｔｏＣＡＤ探究一般位置直线求实长的方法作者：贺健琪来源：《陕西教育·高教版》2008年第10期[摘要]在机械制图画法几何部分，当空间直线处于一般位置直线时，其投影就无法反映该直线的实际长度，特别在求平面图形的实际形状时都会经常面对这样的问题，而现在好多教材都因为《机械制图》教学课时的不断压缩而删减甚至取消了相关内容，使学生在该知识点上形成了缺憾，本文将求一般位置直线实长的不同图解方法集锦在一起，从原理、要领和CAD作图技巧方面加以探究。
[关键词]AutoCAD 直角三角形法换面法旋转法实长前言：在机械制图的画法几何部分，当对直线进行投影时，由于一般位置直线与投影面都是倾斜的，所以在正常的三面投影体系中，一般位置直线的投影都无法反映其真实长度。
通过计算固然可以求得实长，但《机械制图》更讲究用图解的方法来解决问题，本文力图说明几种解决此类问题方法的精华所在，并结合现代绘图软件AutoCAD克服以往手工绘图解决此类问题时容易出现的弊端，诸如视觉误差、测量误差和作图误差使得求解不够精准。
为了简化问题，这里多以两面投影体系进行阐述。
直角三角形法1.原理：如图1所示，在将一般位置直线AB向水平投影面做正投影时，我们会发现由直线AB的实长、水平投影ab以及A、B两点的Z轴坐标之差组成了一个直角三角形，且直线实长与水平投影之间的夹角就是空间直线与水平投影面的真实夹角角。
而直线的水平投影ab和其端点的△Z在两面投影中都是已知的，所以借助ab作为直角边，以△Z做另一个直角边，就能完成直角三角形，斜边就是直线AB的真实长度，斜边与水平投影之间的夹角就是空间直线AB与H面的夹角角。
同理，在将直线AB向V面和W面作投影时，也会出现各自的直角三角形。
原理相同。
2.要领：必须分清直角三角形几何要素的“黄金搭档”：一定是直线的某个投影（如H面投影）+与该投影所在投影面垂直轴线的直线两端点之坐标差（Z轴坐标差）+直线的实长+空间直线与该投影所在的投影面的夹角（角）。
画法几何及机械制图-求一般位置线段的实长
二、换面法
例1 求AB 线段的实长及α。 都与不变投影面有关
作图要点： X1 ∥ab
X1 轴平行不变a' 投影，求得
a’1
实长
A a’
αXα
b’1
Ba
b X1
线段对不变投影面的倾角。
b'
X
V H
a
b’
b
O
a'1
α
实长
b'1
解题完毕
§3-3 求一般位置线段的实长
二、换面法
H 投影面的倾 角α。
§3-3 求一般位置线段的实长
一、直角三角形法
1.原理分析2
△A A0B 为直角三角形
结论：
A0B=a’b’ V
a'
X
A0
AA0=ya-yb
b'
β
A a
Z
已知线段的
两个投影，可
B实 长
O
利用直角三角 形法，求出线 段的实长及对
V 投影面的倾
b
角。
Y
ya-yb
§3-3 求一般位置线段的实长
a’1
实长
A a’
α
Xα
b’1
Ba
b X1
建立新投影系：
增设新投影面V1，使 V1⊥H ，且∥直线AB ；
在V1 / H 新投影体系中， b’ AB 为投影面平行线直线。
AB 在新投影面上的投影 O 反映实长及对H 面的倾角。
§3-3 求一般位置线段的实长
二、换面法
新投影面的设立条件
1. 新投影面必须垂直原V/H 投影体系中的某一投影面；
二、换面法
直线投影求实长
α α
25
作图过程
先作出轴X1平行于H投影ab，再作出点A和B的辅投影a1和 b1，连接即得到直线的辅投影a1b1。 同理，亦可设垂直于V而平行于直线AB的F1，构成V/ F1体系， 得到直线的实长和直线对V投影面的倾角β。
26
（3）将投影面平行线变换为投影面垂直线
设F1垂直于水平直线AB （也垂直于H面），在F1/H体 系中，AB成为投影面垂直线，其在F1上的辅投影a1b1积 聚成一点。显然，H投影ab与轴X1垂直。 同理，亦可设垂直于正平行线CD（也垂直于V面）的F1， 构成V/ F1体系，使CD成为投影面垂直线，得到直线积聚 的辅投影a1b1。
内容
(教材P37-43)
一、直线投影的确定 二、直线上的点 三、各种位置的直线 四、求一般位置直线的实长及其对投影 面的夹角(直角三角形法、辅投影法及 旋转法)
1
2
3
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
四、求一般位置直线的实长 及其对投影面的夹角
15
1.直角三角形法
16
直角三角形法是通过分析一般位置直线的空间位置与它
32
的各个投影之间的关系，得到包含直线实长及其对投影面 的倾角α、β、γ的直角三角形，达到求解目的。
Δy
LAB
△Y
β
γ LAB
α
△X
Δz
LAB
△Z
17