1.1二阶与三阶行列式1.2n阶行列式
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对换
a12 a22
记为
D
1
a11b2 b1a21
a11
b1
记为
a21 b2
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
D
2
教育科学出版社
《线性代数》
1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
因而当方程组（1.1.1）的系数行列式 D 0 二元线性方程组与二阶行列式 时，其解可以简单地表示为两个行列式的商 的形式:
对换
a11 在二阶行列式 a21
a12 a22
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《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
我们称二阶行列式左上角元素a11 与右下角的 二元线性方程组与二阶行列式 元素a22 的实联线称为主对角线，把左下角元 素a21 与右上角元素a12的虚联线称为次对角线 三阶行列式 （或副对角线）.于是二阶行列式可视为主对 角线上两元素之积与次对角线上两元素之积 n级排列及其逆序数 的差，该方法称为对角线法则。
a21 a31
a22 a32
a23 a33
n级排列及其逆序数
对换
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
（1.1.6）
教育科学出版社
《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
2.三阶行列式
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式
11
三阶行列式 n级排列及其逆序数
a a a
21
31
a a a
12
22
32
a a a
13
23
33
对换
图（1-2）
教育科学出版社 《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
2.三阶行列式
2
1 2 3 4
1
1 x 1 0 x2
例2 求解方程 3 2 二元线性方程组与二阶行列式
13 9
三阶行列式
解：方程左端的三阶行列式等于
2
教育科学出版社 《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
3.n级排列及其逆序数
1 2 3 4
定义2 由1，2，…，n组成的一个有序数组 二元线性方程组与二阶行列式 称为一个n级排列，也简称为排列。 由初等数学中排列组合的相关知识可知，n个 三阶行列式 不同元素的排列有n!个，作为最简单的一个n 级排列12…n，其特点是按元素递增的顺序进 n级排列及其逆序数 行排列，我们称其为自然排列。
三阶行列式
(a11 a22 a12 a21 )x1 b1a22 a12b2 （1.1.2） 对换 (a a 11 22 a12 a21 )x2 a11 b2 b1a21
n级排列及其逆序数
教育科学出版社
《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.二元线性方程组与二阶行列式
解：因为 D
3 5
2 4
12 10 2 0,
n级排列及其逆序数
对换
D1
6 2 8 4
24 (16) 40,
教育科学出版社
《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式
3 x1 2 x2 6, 例1 求解二元线性方程组
对换
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《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
3.n级排列及其逆序数
1 2 3 4
定义3 在一个排列中，如果一对数的前后位 置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的 二元线性方程组与二阶行列式 数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中 三阶行列式 逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列 j j n 的逆序数记为(j j j ). nj 级排列及其逆序数
三阶行列式
D D 1 n级排列及其逆序数 x1 , x2 2 D D
对换
（1.1.5）
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《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式
3 x1 2 x2 6, 例1 求解二元线性方程组
5 x1 4 x2 8.
a12
a1n
a21 a n1
a22 a2 n 等于所有 an 2 ann
取自不同行不同列的n个元素的乘积
a1 p1 a2 p2 anpn （1.2.1）
的代数和，……
教育科学出版社 《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.n阶行列式
其中p 1 p 2 p n 是1，2，…，n的一个排列， 1 n阶行列式 每一项（1.2.1）都按下列规则带有符号：当 p p p n 是偶排列时，带正号；当 p1 p2 pn 1 2 2 几类特殊的阶行列式 是奇排列时，带负号. 该定义可以表示为： a11 a12 a1n
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《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
4.对换
1 2 3 4
在一个n级排列 j1 j2 jn 中，仅将其中任意两 j 对调而其余元素不动，这样的一 二元线性方程组与二阶行列式 个元素 j 、 次对调称为一个对换，记为( ji , jk ) ；将相邻 三阶行列式 的两个元素对换，称为相邻对换. 对换具有下列性质： n级排列及其逆序数 定理1 对换改变排列的奇偶性，即经过一次 对换 对换，奇排列变成偶排列；偶排列变成奇排 列。
对换
2
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《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
§1.2 n阶行列式的定义
1 2
n阶行列式 几类特殊的阶行列式
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《线性代ห้องสมุดไป่ตู้》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.n阶行列式
1 2
由前节的知识，二、三阶行列式分别定义如 n阶行列式 下：
a11 a12 a11a22 a12 a21 几类特殊的阶行列式 a21 a22
i k
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《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
4.对换
1 2 3 4
下面，不加证明地给出对换的其余两个性质. 二元线性方程组与二阶行列式 推论1 任意一个n级排列与排列12…n都可以 经过一系列对换互变，并且所作对换的个数 三阶行列式 与这个排列有相同的奇偶性。 n级排列及其逆序数 (n 1) 级排列中，奇、偶排 推论2 在全部 n n! 列的个数相等，各有 个。
a11 a12 a13 a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
教育科学出版社 《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.n阶行列式
a11
1 2 n阶行列式 定义5：n级行列式 几类特殊的阶行列式
5 x1 4 x2 8.
D2
3
6
n级排列及其逆序数
5 8
24 (30) 54,
对换
所以
D1 40 D2 54 x1 20, x2 27. D 2 D 2
教育科学出版社 《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
2.三阶行列式
1 2 3 4
类似于二阶行列式，对于三元线性方程组也 二元线性方程组与二阶行列式 有类似的结论. a a a 11 12 13 定义一 ：表达式 三阶行列式
1 2 3 4
当a11a12 a12 a21 0 时，可得方程组（1.1.1） 二元线性方程组与二阶行列式 的唯一解
b1a22 a12b2 x1 n级排列及其逆序数 a11a22 a12 a21
三阶行列式
对换
a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12 a21
《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
3.n级排列及其逆序数
1 2 3 4
定义4 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆 二元线性方程组与二阶行列式 序数为奇数的排列称为奇排列。 例如， 三阶行列式 （2357146 ） 1 1 2 3 0 0 7 n级排列及其逆序数 故3257146是一个奇排列； （6754321） 5 5 4 3 2 1 20 对换 故7654321是一个偶排列。
1 2
对换
（3257146 ） 2 1 2 3 0 0 8
1
2
n
n * n 1 7 7 - 1 21. 2 2 显然 (12 n) 0.
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（7654321） 6 5 4 3 2 1 21
对换
a11 a21
《线性代数》
a12 a22
图（1-1）
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主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
利用上述方法，我们可将解（1.1.3）中的分 二元线性方程组与二阶行列式 子都写成二阶行列式的形式，即
三阶行列式
b1 b1a22 a12b2 n级排列及其逆序数 b2
（1.1.3）
教育科学出版社
1.二元线性方程组与二阶行列式
为了便于书写与记忆，我们引入记法
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式
a11a22 a12 a21
a11 a21
a12 a22
（1.1.4）
n级排列及其逆序数
对换
我们称右边为二阶行列式。
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《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
aij(i, j 1, 2) 称为二 中， 二元线性方程组与二阶行列式 阶行列式的元素（或元），下标 i 、j 分别称 为该元素的行标、列标，分别表示该元素位 三阶行列式 于行列式中的第 i 行、第 j 列.位于第 i 行、第 j n级排列及其逆序数 列的元素称为行列式的 (i, j ) 元；以aij 为元素 的行列式可简记为det( aij )
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 n级排列及其逆序数
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
（1.1.1）
对换
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《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
x 2 ，得其同解 我们用消元法消去未知数 x1 、 二元线性方程组与二阶行列式 方程组
a11 A a22 ann
教育科学出版社 《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
a11a22 ann
2.几类特殊的阶行列式
1 2
（2）次对角行列式 n阶行列式 次对角线以外的元素全为0的行列式称为次对 角行列式，且有 几类特殊的阶行列式
a 1n a2,n 1 an1
2
n级排列及其逆序数
D 2 2 x 1 (x 1) 13 3 9 1 对换 1 2 13 1 3 x2 (x 1) 9 2
x 5x 6 2 由 x 5x 6 0 解得 x 2 或 x 3.
第一章 行列式及其计算
线性代数
基础部数学教研室：于河
适用于Office2003及更高版本
§1.1 二阶与三阶行列式
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 n级排列及其逆序数 对换
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《线性代数》
主编：王洪珂 邬毅 龙兰
1.二元线性方程组与二阶行列式
在初等数学中，对于二元方程组
定义表明，n阶行列式是由位于不同行不同列 的n个元素所有可能乘积（共n!个）的代数和， 把构成这些乘积的元素按行（或列）标排成自 然顺序，然后由列（或行）标所成的排列的奇 偶性来决定该项的符号。
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2.几类特殊的阶行列式
1 2
（1）对角行列式 n阶行列式 主对角线以外的元素全为0的行列式称为对角 行列式，且有 几类特殊的阶行列式
a 21 a n1
a 22
其中
a 2n
p1 p2 pn
(1)
( p1 p2 pn )
a1 p1 a 2 p2 a np n ,
（1.2.2）
a n 2 a nn
p1p2 pn
表示对所有n级排列求和。
《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
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1.n阶行列式
定义6*
1 2
a a12 n阶行列式 11
a1n
a 21 a 22 a 2 n ( q1q2 qn ) 几类特殊的阶行列式 ( 1) a q1 1 a q2 2 a qn n . q1q2 qn a n1 a n 2 a nn
（1.2.3）
a12 a22
记为
D
1
a11b2 b1a21
a11
b1
记为
a21 b2
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D
2
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1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
因而当方程组（1.1.1）的系数行列式 D 0 二元线性方程组与二阶行列式 时，其解可以简单地表示为两个行列式的商 的形式:
对换
a11 在二阶行列式 a21
a12 a22
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1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
我们称二阶行列式左上角元素a11 与右下角的 二元线性方程组与二阶行列式 元素a22 的实联线称为主对角线，把左下角元 素a21 与右上角元素a12的虚联线称为次对角线 三阶行列式 （或副对角线）.于是二阶行列式可视为主对 角线上两元素之积与次对角线上两元素之积 n级排列及其逆序数 的差，该方法称为对角线法则。
a21 a31
a22 a32
a23 a33
n级排列及其逆序数
对换
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
（1.1.6）
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2.三阶行列式
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式
11
三阶行列式 n级排列及其逆序数
a a a
21
31
a a a
12
22
32
a a a
13
23
33
对换
图（1-2）
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2.三阶行列式
2
1 2 3 4
1
1 x 1 0 x2
例2 求解方程 3 2 二元线性方程组与二阶行列式
13 9
三阶行列式
解：方程左端的三阶行列式等于
2
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3.n级排列及其逆序数
1 2 3 4
定义2 由1，2，…，n组成的一个有序数组 二元线性方程组与二阶行列式 称为一个n级排列，也简称为排列。 由初等数学中排列组合的相关知识可知，n个 三阶行列式 不同元素的排列有n!个，作为最简单的一个n 级排列12…n，其特点是按元素递增的顺序进 n级排列及其逆序数 行排列，我们称其为自然排列。
三阶行列式
(a11 a22 a12 a21 )x1 b1a22 a12b2 （1.1.2） 对换 (a a 11 22 a12 a21 )x2 a11 b2 b1a21
n级排列及其逆序数
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1.二元线性方程组与二阶行列式
解：因为 D
3 5
2 4
12 10 2 0,
n级排列及其逆序数
对换
D1
6 2 8 4
24 (16) 40,
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1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式
3 x1 2 x2 6, 例1 求解二元线性方程组
对换
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3.n级排列及其逆序数
1 2 3 4
定义3 在一个排列中，如果一对数的前后位 置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的 二元线性方程组与二阶行列式 数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中 三阶行列式 逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列 j j n 的逆序数记为(j j j ). nj 级排列及其逆序数
三阶行列式
D D 1 n级排列及其逆序数 x1 , x2 2 D D
对换
（1.1.5）
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1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式
3 x1 2 x2 6, 例1 求解二元线性方程组
5 x1 4 x2 8.
a12
a1n
a21 a n1
a22 a2 n 等于所有 an 2 ann
取自不同行不同列的n个元素的乘积
a1 p1 a2 p2 anpn （1.2.1）
的代数和，……
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1.n阶行列式
其中p 1 p 2 p n 是1，2，…，n的一个排列， 1 n阶行列式 每一项（1.2.1）都按下列规则带有符号：当 p p p n 是偶排列时，带正号；当 p1 p2 pn 1 2 2 几类特殊的阶行列式 是奇排列时，带负号. 该定义可以表示为： a11 a12 a1n
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4.对换
1 2 3 4
在一个n级排列 j1 j2 jn 中，仅将其中任意两 j 对调而其余元素不动，这样的一 二元线性方程组与二阶行列式 个元素 j 、 次对调称为一个对换，记为( ji , jk ) ；将相邻 三阶行列式 的两个元素对换，称为相邻对换. 对换具有下列性质： n级排列及其逆序数 定理1 对换改变排列的奇偶性，即经过一次 对换 对换，奇排列变成偶排列；偶排列变成奇排 列。
对换
2
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§1.2 n阶行列式的定义
1 2
n阶行列式 几类特殊的阶行列式
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1.n阶行列式
1 2
由前节的知识，二、三阶行列式分别定义如 n阶行列式 下：
a11 a12 a11a22 a12 a21 几类特殊的阶行列式 a21 a22
i k
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4.对换
1 2 3 4
下面，不加证明地给出对换的其余两个性质. 二元线性方程组与二阶行列式 推论1 任意一个n级排列与排列12…n都可以 经过一系列对换互变，并且所作对换的个数 三阶行列式 与这个排列有相同的奇偶性。 n级排列及其逆序数 (n 1) 级排列中，奇、偶排 推论2 在全部 n n! 列的个数相等，各有 个。
a11 a12 a13 a21 a31 a22 a32 a23 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
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1.n阶行列式
a11
1 2 n阶行列式 定义5：n级行列式 几类特殊的阶行列式
5 x1 4 x2 8.
D2
3
6
n级排列及其逆序数
5 8
24 (30) 54,
对换
所以
D1 40 D2 54 x1 20, x2 27. D 2 D 2
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2.三阶行列式
1 2 3 4
类似于二阶行列式，对于三元线性方程组也 二元线性方程组与二阶行列式 有类似的结论. a a a 11 12 13 定义一 ：表达式 三阶行列式
1 2 3 4
当a11a12 a12 a21 0 时，可得方程组（1.1.1） 二元线性方程组与二阶行列式 的唯一解
b1a22 a12b2 x1 n级排列及其逆序数 a11a22 a12 a21
三阶行列式
对换
a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12 a21
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3.n级排列及其逆序数
1 2 3 4
定义4 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆 二元线性方程组与二阶行列式 序数为奇数的排列称为奇排列。 例如， 三阶行列式 （2357146 ） 1 1 2 3 0 0 7 n级排列及其逆序数 故3257146是一个奇排列； （6754321） 5 5 4 3 2 1 20 对换 故7654321是一个偶排列。
1 2
对换
（3257146 ） 2 1 2 3 0 0 8
1
2
n
n * n 1 7 7 - 1 21. 2 2 显然 (12 n) 0.
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（7654321） 6 5 4 3 2 1 21
对换
a11 a21
《线性代数》
a12 a22
图（1-1）
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1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
利用上述方法，我们可将解（1.1.3）中的分 二元线性方程组与二阶行列式 子都写成二阶行列式的形式，即
三阶行列式
b1 b1a22 a12b2 n级排列及其逆序数 b2
（1.1.3）
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1.二元线性方程组与二阶行列式
为了便于书写与记忆，我们引入记法
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式
a11a22 a12 a21
a11 a21
a12 a22
（1.1.4）
n级排列及其逆序数
对换
我们称右边为二阶行列式。
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1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
aij(i, j 1, 2) 称为二 中， 二元线性方程组与二阶行列式 阶行列式的元素（或元），下标 i 、j 分别称 为该元素的行标、列标，分别表示该元素位 三阶行列式 于行列式中的第 i 行、第 j 列.位于第 i 行、第 j n级排列及其逆序数 列的元素称为行列式的 (i, j ) 元；以aij 为元素 的行列式可简记为det( aij )
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 n级排列及其逆序数
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
（1.1.1）
对换
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1.二元线性方程组与二阶行列式
1 2 3 4
x 2 ，得其同解 我们用消元法消去未知数 x1 、 二元线性方程组与二阶行列式 方程组
a11 A a22 ann
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a11a22 ann
2.几类特殊的阶行列式
1 2
（2）次对角行列式 n阶行列式 次对角线以外的元素全为0的行列式称为次对 角行列式，且有 几类特殊的阶行列式
a 1n a2,n 1 an1
2
n级排列及其逆序数
D 2 2 x 1 (x 1) 13 3 9 1 对换 1 2 13 1 3 x2 (x 1) 9 2
x 5x 6 2 由 x 5x 6 0 解得 x 2 或 x 3.
第一章 行列式及其计算
线性代数
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§1.1 二阶与三阶行列式
1 2 3 4 二元线性方程组与二阶行列式 三阶行列式 n级排列及其逆序数 对换
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1.二元线性方程组与二阶行列式
在初等数学中，对于二元方程组
定义表明，n阶行列式是由位于不同行不同列 的n个元素所有可能乘积（共n!个）的代数和， 把构成这些乘积的元素按行（或列）标排成自 然顺序，然后由列（或行）标所成的排列的奇 偶性来决定该项的符号。
教育科学出版社 《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
2.几类特殊的阶行列式
1 2
（1）对角行列式 n阶行列式 主对角线以外的元素全为0的行列式称为对角 行列式，且有 几类特殊的阶行列式
a 21 a n1
a 22
其中
a 2n
p1 p2 pn
(1)
( p1 p2 pn )
a1 p1 a 2 p2 a np n ,
（1.2.2）
a n 2 a nn
p1p2 pn
表示对所有n级排列求和。
《线性代数》 主编：王洪珂 邬毅 龙兰
教育科学出版社
1.n阶行列式
定义6*
1 2
a a12 n阶行列式 11
a1n
a 21 a 22 a 2 n ( q1q2 qn ) 几类特殊的阶行列式 ( 1) a q1 1 a q2 2 a qn n . q1q2 qn a n1 a n 2 a nn
（1.2.3）