河北工业大学线性代数考试试题纸
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
河北工业大学线性代数考试试题纸
河北工业大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、3-；2、12d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭； 3、k(12ξξ-),k ∈R ； 4、3； 5、 3. 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、D 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分） 1、13233331125132320112501A A A ----+=-- ………………………………………………………………（3分）0= ………………………………………………………………（8分） 2、由X AX B =+ 得()E A X B -= ……………………………………………………………（2分）因(,)E A B -=110111012010253--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭～101200111100333-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭～100310102000111-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………（6分） 所以X=312011-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（8分）3、 因*112A A A A --==， ……………………………………………………………（2分）所以*11()3A A --+=…………………………………………………………（4分）=15A - =5n1A - …………………………………………………………（6分）=5n1A -=52n………………………………………………………………（8分） 4、记()123,,A ααα=，设11x x x βααα=++. ……………………………………… （2分） 解法一： 1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～111101000a b a b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………… …………………（4分） 故当 0a ≠且b a ≠时，方程组有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一； ………（6分）此时，(,A β ～1100110100010a a ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1211(1)a aβαα=-+. ………………… …………………（8分）解法二：111222()032A a b a a b a a b-=+--=--+ ………………… …………………（2分）故当 0a ≠且b a ≠时，方程组（1）有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一；……（4分）此时，1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～ 111101000a b a b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭～1100110100010a a ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ………… …………………（4分）1211(1)aaβαα=-+ ………… ……………………………………（8分）四（14分）、系数矩阵为 111111a A a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵为113112112a a B a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， （1）解法一 B ～2112011001133a a a a a a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭～112011000(1)(2)33a a a a a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭… …………………（4分） 当1a ≠且2a ≠-时，()()3R B R A ==，方程组有唯一解；当2a =-时，B ～112203300009--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，()3,()2R B R A ==，方程组无解；当1a =时，B ～111200000000-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，()()13R B R A ==<，方程组有无穷多个解。
河北专接本数学(线性代数)模拟试卷2(题后含答案及解析)
河北专接本数学（线性代数）模拟试卷2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设三阶矩阵A，B，且ATB＝，则｜ABT｜＝[ ]．A．－2；B．0：C．－1；D．1正确答案：B 涉及知识点：线性代数2．设A是三阶矩阵，｜A｜＝2，A的伴随矩阵A*，则｜2A*｜＝[ ]．A．4：B．8；C．16；D．32正确答案：D 涉及知识点：线性代数3．设A，B，C均为n阶矩阵，若ABC＝I，则必有[ ]．A．ACB＝I；B．BCA＝I：C．CBA＝I；D．BAC＝I．正确答案：B 涉及知识点：线性代数4．下列命题中，正确的是[ ]．A．如果A，B，C均为n阶矩阵，且AB＝4C，则B＝C；B．如果矩阵A，胸为n阶可逆，则A＋B必可逆：C．如果矩阵A，B均为n阶不可逆，则A＋B必不可逆：D．如果矩阵A，B均为n阶不可逆，则AB必不可逆．正确答案：D 涉及知识点：线性代数5．设A，B均为n阶方阵，且AB不可逆，则[ ]．A．A，B均可逆；B．A，B均不可逆：C．A、B中至少一个不可逆；D．A，B中至少一个可逆．正确答案：C 涉及知识点：线性代数6．设A，B，C均为n阶矩阵，则下列结论不正确的是[ ]．A．若ABC＝I，则A，B，C均可逆；B．若AB＝AC，且A可逆，则B＝C；C．若AB＝AC，且A可逆，则BA＝CA；D．若AB＝0，且A≠0，则B＝0．正确答案：D 涉及知识点：线性代数7．设A，B都是n阶可逆矩阵，则下述结论中不正确的是[ ]．A．(A＋B)－1＝A－1＋B－1；B．[(AB)T]－1＝(A－1)T(B－1)T：C．(Ak)－1＝(A－1)k(k为正整数)；D．｜(kA)－1｜＝k－n｜A｜－1(k≠0为任意常数)．正确答案：A 涉及知识点：线性代数8．设n阶方阵A满足A2－A－21＝0．则必有[ ]．A．A＝2I；B．A＝－Ir；C．A—I可逆：D．A不可逆．正确答案：C 涉及知识点：线性代数9．矩阵的秩是[ ]．A．1；B．2；C．3；D．4正确答案：C 涉及知识点：线性代数10．若3阶矩阵A＝的秩为2，则a＝________。
河北工业大学线性代数作业答案
线性代数作业提示与答案作业（1）一．k x x k x k x -====4321,0,, 二．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==--=++=2413212211,757975,767171k x k x k k x k k x三．1．阶梯形（不唯一）：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---14010612007121002301，简化阶梯形⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100000211000001002701 秩为4；2．简化阶梯形为单位矩阵.四．1．其系数矩阵的行列式值为 2)1)(2(-+λλ（该方程组的系数矩阵为方阵，故可以借助于行列式来判定）当12≠-≠λλ,时，方程组只有零解，当2-=λ时，通解为=x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111k ；当1=λ时，通解为=x T T k k ]1,0,1[]0,1,1[21-+-；2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++----2200123230121211~2λλλλA ， 当2-≠λ时，方程组有唯一解；当2-=λ时，方程组有无穷解，通解为=x TT k ],,[],,[022111+.作业(2)一．1． =x 1，2，3； 2. !)(n n 11-- 3.-1204. ()()!)1(221n n n --- 5. 41322314a a a a 6. 2,0=x 7.abc 3- 8.12二．1．1； 2.以第二列、第三列分别减去第一列，再把第二列、第三列分别加到第一列上，得到333333222222111111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++=2323322111c b a c b a c b a 3． 0；（注：行列式计算中注意行列式的表示方法不要和矩阵表示方法混淆，而且计算过程中用的是等号） 4．1222+++γβα作业(3)一．1．c; 2. d ; 3.a二．1.将第n ,,, 32列都加到第一列上，提出公因子∑=+ni iax 1，得到(∑=+ni i a x 1)1-n x.2.由第二列起，各列均减第一列，按第二行展开，得)!(22--n ．3．由第1-n 行至第一行，相继将前一行元素乘以1-后加到后一行上，得到.)1(01000010111112212)1(n nn n n n --=--4．按第一列展开，得到行列式的值为.)(n n n y x 11+-+三．3)(=A R （注：用矩阵的行初等变换化为梯矩阵，数非零行即可.注意矩阵的表示方法和变换过程中用到的是等价符号）作业(4)一. 1.()B A +32; 2. 24. 3. 232221x x x ++ ， ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡232313322212312121x x x x x x x x x x x x x x x ， 4. BA AB = 二. 1. a 2. a三. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10832082四. 1.⎥⎦⎤⎢⎣⎡---21426711. 2. 不能相乘. . 3.323223313113212112233322222111)()()(x x a a x x a a x x a a x a x a x a ++++++++作业(5)一.1.1-n a ； 2．0； 3．=A -1⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3405700021； 4. I ; 5．121-A二. 1. c; 2 .b; 3.b; 4. c; 5.d四. 1 五. n215-作业(6)一． 1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010,-1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100001010； 2. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2100010001,2,200010001 3. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-004010001,1.104010001 4. ()331-R =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000103015. 列，[]3231,,3a a a a - 6. 相等二. 1．b ；2．c;三. 1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-17162132130121A ； 2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-111110011100011000011A四. 1. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-4141B A X ， 2. ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----==-212942521B A X 作业(7)一. 1. b a 23=；2. 1221b a b a =；3．R )(A 2≤；4．0≠lm ； 二.1．a ; 2. b; 3.d;三 1a 能由23,a a 唯一地线性表示，4a 不能由123,,a a a 线性表示四．123123212,,[,,]123124B b b b a a a AD ⎡⎤⎢⎥⎡⎤===⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，因,5det =D ，故)()(B R A R =，从而321,,b b b 线性无关.作业(8)一．1．r ；2．相 3． 1，通解为=x ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--100101010011121 n k k k二.1．d; 2．d ； 三.（1）412323aa a a =++，（2）又123,,a a a 线性无关，故123,,a a a 是向量组123,,a a a ,4a 的一个最大线性无关向量组.（3）123,,a a a ,4a 的秩和矩阵A =[123,,a a a ,4a ]的秩都为3.四．12341121014129321315101[,,,]~9315410003670000a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦,12,a a 是向量组的一个最大线性无关组.且31241211521,9933a a a a a a =-+=+.作业(9)一 1．T ],,[558 2．r ；12,,,ra a a L ； 3．n-r 二. 1.b; 2. b; 3. a ； 4. d ； 5.c ； 6.d 三. 证明123,,aa a ,4a 线性无关，向量[]1,2,7,4b T=在这组基下的坐标为4351--,,,.四． ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00007510072021~A ,基础解系为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=175072001221ξξ,,通解为=x 2211ξξk k + （注：先求出分量形式的通解，转化为向量形式的通解，容易得到基础解系。
河北工业大学2017年春线性代数作业
河北工业大学线性代数作业（1）学院班级姓名学号一. 讨论下列齐次方程组是否有非零解，若有，求出其通解.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+-+=+-+-=---0136152032024303524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x二．求出下列线性方程组的通解.⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312432143214321x x x x x x x x x x x x三．用初等变换化下列矩阵为简化梯形矩阵，指出矩阵的秩是多少：1．⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--370320852373812023012．nn 11111001110001100001⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------四. (1)当λ取什么值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧0=++0=++0=++321321321x x x x x x x x x λλλ 只有零解？有非零解？若有非零解,则确定其通解.(2)当λ分别取什么值时，下面方程组有唯一解？有无穷多解？无解？在它有无穷多解时，求出它的通解.⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--=++-2321321321λλλ222x x x x x x x x x河北工业大学线性代数作业（2）学院 班级 姓名 学号一．填空题 1． 若行列式0=3333222211111xx x ，则.________,___,=x 2．0100002000010n n=-L L L L L L L L L.3. 1070002000003000000400050= .4. =--nn n 0000000000100002000200010000.5.=0000041323123222114131211a a a a a a a a a a . 6. 当____x 时，0010413=xx x .7.若23013221D 1=，则==ca c ab a b 2033202D 2 . 8.若1333231232221131211-=a a a a a a a a a ，则=---333231312322212113121111324324324a a a a a a a a a a a a . 二．计算下列行列式的值：1．20104110631432111112.333333222222111111b a a c c b b a a c c b b a a c c b +++++++++3．dd c c b b a a d c b a dc b a 3434343412121212111122222222--------4．111222+++γγβγαβγββααγαβα河北工业大学线性代数作业（3）学院班级姓名学号一．选择题1．若()r R =A ，则A 中（ ）r 阶子式不等于零.()a 任意一个； ()b 只有一个； ()c 至少有一个； ()d 至多有一个.2．克拉默法则仅适用于解（ ）方程组.()a 非齐次线性方程组； ()b 齐次线性方程组；()c 任何有解的方程组；()d 方程个数=未知量个数，系数矩阵的行列式不等于零.3．设n m ⨯A ，则下列说法不正确的是（ ）.()a 若()r R =A ，则n m ⨯A 不存在等于零的1-r 阶子式； ()b ()()T R R A A =； ()c (){}min ,R m n ≤A ；()d 当n m =时，若A 为降秩（退化、奇异）方阵，则()n,det 0R <=A A .二．计算下面的n 阶行列式.1．nn n n a x a a a a a x a a a a a x a a a a a x ++++3213213213212.122222222232222n3．nnnnnn n n n n n nn n n n11321221----4．xyy x y x y x 0000000000三．用初等变换法求下面矩阵的秩A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--05916410202131412311.河北工业大学线性代数作业（4）学院班级姓名学号一．填空题1．若矩阵X 满足方程()()0=-2+-2X B X A ，则X= . 2. 设A 为3阶矩阵，3=A ，则A 2 =.3．已知[]321=x x x ,,A , ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B 321x x x ，则=AB ，__________=BA .4. 设B A ,为n 阶方阵，则()()22B A B A B A -=-+成立的条件为_______. 二. 单项选择题1．设有矩阵,,3223⨯⨯B A 33⨯C , 则下列运算可以进行的是（ ）.()a ABC ；()b TAB； ()c BC AB +； ()d ΒΑ23+.2．设A 为n m ⨯矩阵，则TAA 是（ ）.()a m 阶方阵； ()b n 阶方阵；()c n m ⨯矩阵；()d m n ⨯矩阵.三. 计算2--3B A C ，已知,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-1012-7=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3021-21=B A C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡01726-3-=.四. 计算下列矩阵的乘积（如不符合两矩阵相乘的条件，则说明不能相乘）. 1. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡6234021231 2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3402⎥⎦⎤⎢⎣⎡104312 3. []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x河北工业大学线性代数作业（5）学院班级姓名学号一. 填空题1. 设A 为n 阶矩阵，且0≠=a A det ，A adj 为其转置伴随阵，则det(adj A )= .2. 设4阶矩阵A 的秩为2，则其转置伴随阵A adj 的秩为 .3. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡740530002=A ，则=1-A .4. 设B A ,为n 阶矩阵，且I AB =，则=BA .5．设A 为n 阶可逆矩阵，则()12T-T ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Α .二.单项选择题1．设B A ,均为n 阶可逆方阵，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-100B A ( ).()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-B A a ； ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-BA b ； ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-AB c ； ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡001-1-A B d . 2．设C B A ,,是同阶方阵,且A 可逆，则下列各式中不一定成立的是（ ）.()a 若AC AB =，则=B C ；()b =ΑΒCA ，则=BC ；()c 若0=AB ，则0=B ； ()d 若CA BA =，则=BC .3．下列矩阵可逆的是（ ）.()a n 阶对角矩阵； ()b n 阶满秩矩阵；()c n 阶实对称矩阵； ()d n 阶上三角阵.4．设A 为n 阶对称矩阵，且A 可逆，那么有（ ）.()a T A A =-1； ()b A A T -=；()c IA A T =-1； ()d 以上结论都不对.5．B A,为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ ）.()a ()k k k B A AB =； ()b ()111---=B A AB ；()c A A AA T T= ； ()d AA A A adj adj =.三．设A 满足,O I A A =4--2证明I A I A 2--,,都可逆.四. 设A ，B 均为2阶矩阵，且2=1-=B A det ,det ，求()]2det[21-ΒΑΤ.五．设A 是n 阶矩阵，A adj 是A 的转置伴随阵，若5=A det ，求 det[(5adj A )1-]的值.河北工业大学线性代数作业（6）学院班级 姓名 学号一．填空题 1.3阶初等阵=12R, ()=12det R,()=-112R .2.3阶初等阵 ()=23R , ()()=2det 3R ,()()=-132R .3.3阶初等阵()=-413R, ()()=-4det 12R，()()=--1134R.4.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3-3-3-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221331332123111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ，则A = .5.初等矩阵C 31()3-右乘矩阵123[,,]a a a =A ，相当于对A 进行初等 变换，结果为______.6.矩阵A 经过有限次初等变换化为矩阵B ，则矩阵A 与B 的秩 .二. 单项选择题1．在下列矩阵中，不是初等矩阵的是（ ）.()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010100001a ；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00101-0100b ；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1000520001.c ；()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡105010001d . 2．下列说法正确的是（ ）.()a 对单位阵施行初等变换后所得的矩阵都是初等矩阵； ()b 初等矩阵的乘积还是初等矩阵；()c 可逆阵经过初等变换后仍为可逆阵； ()d 任何矩阵都可以表示有有限个初等阵的乘积.三. 用行初等变换法求下列矩阵的逆矩阵：1．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡14-52-431-21=A2．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡11-0000011-000011-00001= A四. 从矩阵方程B AX =中解出X ，其中1.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1513-3421-2-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡311=B2.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡41-31-351-24=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡4611-31=B河北工业大学线性代数作业（7）学院班级姓名学号一. 填空题 1. 方程组⎩⎨⎧=3++3+3=2++2+22121b x x x ax x x n n 有解的条件为___________.2．二维向量α[]T21=a a ,，β[]T21=b b ,线性相关的充要条件为 .3．若向量组1a ,2a ,a 3线性相关，且123⎡⎤=⎣⎦A aa a ，则R )(A .4．若向量组321a a a ,,线性无关，当常数m l ,满足_______时，向量组 l 1a ，-3a m 2a ，31-a a 线性无关.二. 选择题1.若向量b 可以由向量组m21a ,,a ,a 线性表示，则下列结论正确的是（ ）.()a 存在常数m k k k ,,, 21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a ；()b 存在不全为零的常数m k k k ,,, 21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a ；()c 存在唯一的常数m k k k ,,, 21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a ； ()d 存在唯一不全为零的常数m k k k ,,21，使b =1k 1a +2k 2a ++ m k m a .2．设b ,a ,,a ,a n21是m 维向量，则关于方程组1k 1a +2k 2a ++ n n a k =b 的说法正确的是（ ）.()a 若方程组无解，则向量组b ,a ,,a ,a n 21 线性无关； ()b 若方程组有解，则向量组b ,a ,,a ,a n 21 线性相关； ()c 若n 21a ,,a ,a 线性相关，则方程组一定有解；()d 若n 21a ,,a ,a 线性无关，则方程组一定无解.3. 若向量组1a [],,,Τ001=T a ],,[0112=,=3a T cb a ],,[线性无关，则要求（ ）.()a c b a ==； ()b 0==c b ； ()c 0=c ； ()d 0≠c .三．已知321a a a ,,线性相关，432a a a ,,线性无关，试问： （1）1a 能否由32a a ,线性表示？（2）4a 能否由321a a a ,,线性表示？（3）当上面的表示式成立时，其表示式是否唯一？四．证明:若向量组321a ,a ,a 线性无关，则向量组,,212321122a a b a a a b +=-+=32134+3+2=a a a b也线性无关.河北工业大学线性代数作业（8）学院班级 姓名 学号一. 填空题1．设向量组r21a ,,a ,a 线性无关，则R {}=21r a a a ,,, .2．设a 为任一n 维向量，n21e ,,e ,e 为n 维单位向量，则向量组,,,21e e a ne , 线性____关.3.由一个方程0=+++21n x x x 构成的方程组的系数矩阵的秩r ____=，该方程组通解为.二.选择题1．向量组1M 和2M 的秩相等，则（ ）.()a 1M 与2M 等价； ()b 1M 与2M 所含向量个数相等；()c 1M 与2M 所含向量个数不等； ()d 以上结论都不对.2．设A 为n m ⨯矩阵，且R =)(A n m <，则（ ）.()a A 的行、列向量组均线性无关； ()b A 的行、列向量组均线性相关；()c A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关； ()d A 的行向量组线性无关，列向量组线性相关.三. 设[][]T a a a a ],,,[,],,,[,,,,,,,,03121100101010014321=-===T TT.（1）将4a 用321a ,a ,a 线性表示.（2）由定义判定321a ,a ,a 是向量组321a ,a ,a ,4a 的一个最大线性无关向量组.（3）指出向量组321a ,a ,a ,4a 的秩和矩阵=A [321a ,a ,a ,4a ]的秩.四.设向量组为[],,,,T=31211a [],,,,T---=65142a []Ta 74313---=,,,，[]T-=01124,,,a .求该向量组的秩，并具体找出一个最大线性无关组.再把不属于最大线性无关组的向量用最大线性无关组的向量表示出来.河北工业大学线性代数作业（9）学院班级 姓名 学号一．填空题1．在基[][][]TTT===213132321321,,,,,,,,a a a 下，坐标为210,,的向量为________.2．在n R 中取r 个线性无关的向量r a a a ,,, 21，r<n ，由r21a ,,a ,a 生成的子空间记为S ，则=S dim ，S 的一个基为___________.3. n 阶矩阵Α的秩为r ，则其解空间的维数是 .二．选择题1．设向量组ma a a ,,, 21线性相关，V 为由m21a ,,a ,a 生成的向量空间，则V dim （ ）.()a m =； ()b m <； ()c m ≤； ()d 无法确定.2. 向量空间W w {=[]},,,,a d cb a dc b a ==++=T0的维数为（ ）.()a 1 ()b 2； ()c 3； ()d 4.3．若齐次方程组0=x A 有非零解，则其基础解系是（ ）.()a 唯一的，其中的向量线性相关；()b 唯一的，其中的向量线性无关； ()c 不唯一，其中的向量线性相关；()d 不唯一，其中的向量线性无关.4．设有4⨯3矩阵A ，A 表示非齐次方程组b AX =的增广矩阵，则b AX =有解的充分条件为（ ）.()a R ()2≤A ； ()b R ()3≤A ； ()c R ()3=A ； ()d R ()3=A .6．设有5⨯5矩阵A ，A 表示非齐次方程组b AX =的增广矩阵，则b AX =有无穷多组解的充分条件是（ ）.()a ()5<A r ； ()b ()5=r ； ()c ()()5==A A r r ； ()d ()()4≤=A A r r .三．证明[],,,,T=00011a [],,,,T=00112a [][]TT==1111011143,,,,,,,a a 是4R 的一组基，并求向量[]T=4721,,,b 在这组基下的坐标.四 试求下列齐次方程组的基础解系，并说明解空间的维数1．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++-01117840246303542432143214321x x x x x x x x x x x x五． 求解下列非齐次方程组.⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+--=+352231232132131x x x x x x x x河北工业大学线性代数作业（10）学院班级 姓名 学号一．填空题 1．向量[]T11-1-1=,,,a 的规范化向量为=a e _____________.二．选择题1．设A ，B 为正交矩阵，则下列说法错误的是（ ）.()a 则1-A 和T A 也为正交矩阵，且有T -=A A 1；()b A 的每一行(列)向量都是单位向量，且其中的任意两个行(列)向量正交；()c AB 也为正交矩阵；()d B A +也是正交矩阵.三. 证明x V {=},,,),,(R x x x x x x x x x T ∈=++=3213213210构成3R 的一个子空间,并给出一组基.四．设[][][]TTT=-=-=103211112201,,,,,,,,,,,c b a ，1．求a 、b ，a 与b 的夹角；2．计算c b a b a ),(--23；3．证明c 与b ,a 都正交.五．}|{0==Ax x W 称为矩阵A 的零空间。
线性代数期末考试题库资料大全
.-期末考试一试题线性代数 I一、填空 （ 15分，每 3 分）31、 (12 3) 2 =。
2、若(0,2,4,t )T ， ( 0,3, t,9) T ， (1, t,2,3)T 性有关， t =。
13、 A 是 2 方 ， B 是 3 方 ， | A| 2，|B| 4， ||A| 1B | =。
4、若 A 是 3 方 ，且 2IA ，I A ， IA 均不行逆，A 的特点。
5、二次型 fx 12 4x 22 4x 322 x 1 x 22x 1 x 34x 2 x 3 是正定二次型，的取 范 是。
二、 （ 15分，每3 分）1、已知 x n 列向量， x T x 1， Axx T ， In 位 ，。
A 、 A 2AB 、A 2IC 、A 2I D 、A 2A2、 A 是 4 方 ， A 的队列式 |A| 0， A 中。
A 、必有一列元素全 零B、必有两列元素 成比率C 、必有一列向量是其他列向量的 性 合D、任一列向量是其他列向量的 性 合3、 1 是 A 的特点 ， 。
A 、1是A 2的特点B 、2 是2A 的特点AAC 、2是A 2的特点 D、1 是2A 的特点AA4、 向量1，2，⋯ ,n 的秩 r， 此向量 中。
A 、随意 r 个向量 性没关B 、随意 r 个向量 性有关C 、随意 r1个向量 性有关D、随意 r1个向量 性有关5、二次型f ( x 1 , x 2 , x 3 ) 2x 12 4x 22 6x 32 4x 1 x 2 6x 2 x 3 的矩。
2 412 02 21 4 0 A 、 44 6 B 、 22 3C 、2 43D 、4260 66333666三、 算队列式： （ 16分，每8 分）41 2 312 3 ... n1 0 3 ... n1、 34 1 22 、120 ... n2 3 4 1123 4123 021 1 1 1 3 四、（10 分）求解矩 方程X 2 1 04 32 111.-五、（10 分）已知向量1 ，2 ,3， 4 性没关， 11t 1 2， 2 2t 2 3， 3 3 t 3 4 ，此中 t 1 ，t 2 ， t 3 是数， 向量 1 ， 2 ，3 性没关。
线性代数测试试卷及答案
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载线性代数测试试卷及答案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容线性代数（A卷）一﹑选择题(每小题3分,共15分)1. 设﹑是任意阶方阵,那么下列等式必成立的是( )(A) (B) (C) (D)2. 如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量,那么矩阵的秩为( )(A) (B) (C) (D) 以上答案都不正确3.如果三阶方阵的特征值为,那么及分别等于( )(A) (B) (C) (D)4. 设实二次型的矩阵为,那么( )(A) (B) (C) (D)5. 若方阵A的行列式，则( )(A) A的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A的行向量组线性相关,列向量组线性无关(C) A的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A的列向量组线性相关,行向量组线性无关二﹑填空题(每小题3分,共30分)1 如果行列式有两列的元对应成比例,那么该行列式等于；2. 设，是的伴随矩阵，则；3. 设,是非齐次线性方程组的解,若也是它的解, 那么；4. 设向量与向量正交,则；5. 设为正交矩阵,则；6. 设是互不相同的三个数,则行列式；7. 要使向量组线性相关，则；8. 三阶可逆矩阵的特征值分别为,那么的特征值分别为；9. 若二次型是正定的，则的取值范围为；10. 设为阶方阵,且满足,这里为阶单位矩阵,那么 .三﹑计算题（每小题9分，共27分）1. 已知，，求矩阵使之满足.2. 求行列式的值.3 求向量组的一个最大无关组和秩.四﹑(10分)设有齐次线性方程组问当取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解,并求出这些解.五﹑(12分)求一个正交变换,把下列二次型化成标准形:.六﹑(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为.线性代数（A卷）答案一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A二﹑1. 0 2. 3. 1 4. 3 5. 1或-16. 7. 0 8. 9. 10.三﹑1. 解由得. (2分)下面求. 由于(4分)而. (7分)所以. (9分)2. 解 (4分)(8分) (9分) .3. 解由于(6分)故向量组的秩是 3 ，是它的一个最大无关组。
合工大线性代数期末考试复习资料
根本概念1. 余子式ij M 与代数余子式ij A ，(1)i j ij ij A M +=-，(1)i j ij ij M A +=-。
2. 对称矩阵：T A A =。
3. 伴随矩阵，组成元素ij A ，书写格式：行元素的代数余子式写在列。
4. 逆矩阵AB BA E ==，称A 可逆。
假设A 可逆，那么11AA A A E --==.5. 分块对角阵，12A A A =⋅，。
6.初等行〔列〕变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k ；③ 某行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕。
7.等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵,P Q ，使得PAQ B =。
8.初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① (,)E i j ；② (())E i k ；③(,())E j i k 。
9.矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。
1()0,0k k r A k D D +=⇔∃≠∀=。
10. 线性表示：存在12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，等价于非齐次方程组Ax β=有解12,,,n k k k 。
11. 线性相关：存在不全为0的数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=，等价于齐次方程组0Ax =有非零解。
12. 线性无关：11220n n k k k ααα+++=成立120n k k k ⇒====，等价于齐次方程组0Ax =仅有零解。
13. 极大无关组：12,,,n ααα中r 个向量12,,,r βββ满足：① 线性无关；②12,,,n ααα中任意向量可由其表示或12,,,n ααα中任意1r +个向量线性无关，那么称12,,,r βββ为12,,,n ααα的极大无关组。
14. 向量组12,,,n ααα可由向量组12,,,m βββ表示：12,,,n ααα中任意一个向量可由12,,,m βββ表示，等价于BX A =有解，12(,,,)m B βββ=，12(,,,)n A ααα=。
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河北工业大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、3-；2、12d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭； 3、k(12ξξ-),k ∈R ； 4、3； 5、 3. 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、D 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分） 1、1323333112513232011251A A A ----+=-- ………………………………………………………………（3分）0= ………………………………………………………………（8分） 2、由X AX B =+ 得()E A X B -= ……………………………………………………………（2分）因(,)E A B -=110111012010253--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭～101200111100333-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭～100310102000111-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………（6分） 所以X=312011-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（8分）3、 因*112A A A A --==， ……………………………………………………………（2分）所以*1111()233A A A A ---+=+ …………………………………………………………（4分）=15A - =5n1A - …………………………………………………………（6分）=5n1A -=52n………………………………………………………………（8分） 4、记()123,,A ααα=，设112233x x x βααα=++. ……………………………………… （2分）解法一： 1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～111101000a b a b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………… …………………（4分） 故当 0a ≠且b a ≠时，方程组有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一； ………（6分）此时，(,)A β ～1100110100010a a ⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1211(1)a aβαα=-+. ………………… …………………（8分）解法二：111222()032A a b a a b aa b-=+--=--+ ………………… …………………（2分）故当 0a ≠且b a ≠时，方程组（1）有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一；……（4分）此时，1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～111101000a b a b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭～1100110100010a a ⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………… …………………（4分）1211(1)a aβαα=-+ ………… ……………………………………（8分）四（14分）、系数矩阵为 111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵为113112112a a B a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， （1）解法一B～2112011001133a a a a a a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭～112011000(1)(2)33a a a a a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭… …………………（4分） 当1a ≠且2a ≠-时，()()3R B R A ==，方程组有唯一解；当2a =-时，B ～112203300009--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，()3,()2R B R A ==，方程组无解；当1a =时，B ～111200000000-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，()()13R B R A ==<，方程组有无穷多个解。
………………（7分）解法二21111(2)(1),11a A a a a a==+- … ………… … …………………（4分）当1a ≠且2a ≠-时，0A ≠,()3()R A R B ==，方程组有唯一解；当2a =-时，211512121122B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ ～112203300009--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，()3,()2R B R A ==，方程组无解；当1a =时，111211121112B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ～111200000000-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，()()13R B R A ==<，方程组有无穷多个解。
… …………… ……………… ………………（7分）(2) 在方程组有无穷多个解时，得同解方程组1232x x x =---，取230x x ==，得原方程组一特解()*2,0,0Tη=-； ………………………………………………………………（9分） 在123x x x =--中取()()()23,1,0,0,1T T Tx x =，得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为()11,1,0Tξ=-，()21,0,1Tξ=-； ………………………………………………（12分）所以原方程组的通解为*1122x c c ξξη=++，12,c c 为任意常数。
…………………………………（14分）注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。
五（14分）、（1）f 的矩阵5222A ⎛⎫= ⎪⎝⎭； …………………………………………………………………（2分）（2）因52104022A ==-≠，()2R A =,所以f 的秩为2； …………………………………………（3分） （3）由 52(1)(6)22A E λλλλλ--==---，得A 的特征值为11λ=，26λ=。
……………（6分）当11λ=时，解方程()0A E x -=，由6A E -=4221⎛⎫⎪⎝⎭～2100⎛⎫⎪⎝⎭，得基础解系1(1,2)T ξ=-；当26λ=时，解方程(6)0A E x -=，由6A E -=1224-⎛⎫⎪-⎝⎭～1200-⎛⎫⎪⎝⎭，得基础解系2(2,1)T ξ= ；把1,2ξξ单位化，得112p -⎫=⎪⎭，221p ⎫=⎪⎭…………………………………………（12分）则有正交阵1221P ⎛ -⎫ ==⎪⎭ ⎝和正交变换 x Py =，把f 化为标准形 22126f y y =+. ………………………………………………………………………（14分）注：此题基础解系有很多种表示形式，故正交阵P 有多种形式，改卷时需注意。
六、证明题1、（6分）证法一：由其次线性方程组解的性质知1123βααα=++，2234βααα=++，3341βααα=++，434βαα=+ 都是0Ax =的解； ……………………………………………………………（2分） 则有B AK =, B =1234(,,,)ββββ, 1234(,,,)A αααα=,1010110011110111K ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 因10,K =-≠所以 K 可逆， 或 K ～ 1010011000110001⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎪-⎝⎭，()4,R K =所以 K 可逆，从而()()R B R A = .又因为1234,,,αααα是0Ax =的一个基础解系，故它们线性无关，()4R A =，于是()4R B =，解向量组1234,,,ββββ线性无关，故是该方程组的一个基础解系。
………………………………………………（6分）证法二：由其次线性方程组解的性质知1123βααα=++，2234βααα=++，3341βααα=++，434βαα=+ 都是Ax =的解； ……………………………………………………………（2分） 设112233440k k k k ββββ+++=，则有131122123432344()()()()0k k k k k k k k k k k αααα++++++++++=，因为1234,,,αααα是0Ax =的一个基础解系，它们线性无关，故有131223412340000k k k k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+++=⎩ 其系数行列式为10101100111110111=-, 方程组有唯一零解12340k k k k ====，所以解向量组1234,,,ββββ线性无关，故是该方程组的一个基础解系。
………………………………………………（6分）2、证法一：因为,0T A A E A =>,所以1A =， ……………………………………………………………（1分）则有21(1)T n A E A E A E A A E A E +-=-=-=--=--， 故有0A E -=。
………………………………………………………………………………（4分）证法二：21(1)T n A E A E A A E A A A E A A E +-=-=-=--=-，因此(1)0A A E +-=。
………………………………………………………………………………（3分）又因为A >，所以有0A E -=。
………………………………………………………………（4分）。