2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件：2-10 平面解析几何
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2017届高考数学(理)(新课标)二轮专题复习课件：3-5解析几何
2 2 3 a －b 3 由 e＝ 得 2 ＝ ，解得 a2＝4. 2 a 4
x2 所以椭圆 G 的方程为 ＋y2＝1. 4
(2)因为 P 在长轴上，所以点 A，B，P，Q 在直线 l 上的顺序无 外乎两种：A，Q，P，B 或 A，P，Q，B，无论哪种顺序，由|AQ| ＝|BP|都有 AB 与 PQ 的中点重合． 因为 P，Q 不重合，直线 l 斜率存在，设其方程 y＝k(x－t)，且 k≠0. |kt| 由于直线 l 与圆 O 相切，则圆心 O 到 l 的距离 d＝ 2 ＝1， k ＋1 即 k2t2＝k2＋1.③ 1 2 → → 设切点 Q(x0， y0)， 由OQ· PQ＝0 得 x0(x0－t)＋y0 ＝0， 即 x0＝ ， t
2 2 x ＋4y ＝4， 联立 化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝ y＝k（x－t），
0. 8tk2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝ . 1＋4k2 8tk2 因为线段 AB， PQ 中点重合， 即有 x1＋x2＝t＋x0， 因此 1＋4k2 1 ＝t＋ .④ t 1 联立③④化简得 k ＝ ，将其代入③式，可得 t＝± 3. 2
2
调研二 定点、定值问题 x2 y2 (2016· 北京)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 a b 3 ，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB 的面积为 1. 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N. 求证：|AN|· |BM|为定值．
k2＋2 2 ∴ AB 的 中 点 P 的 坐 标 为 ( 2 ， ) ， |AB| ＝ x1 ＋ x2 ＋ 2 ＝ k k 4（k2＋1） . k2 k2＋2 1 2 1 又 l′的斜率为－ ， 其方程为 y－ ＝－ (x－ 2 )， 即 x＝－ky k k k k 2 ＋3＋ 2. k 2 x＝－ky＋3＋ 2， k 消去 x 并整理，得 y2＋4ky－4(3＋ 22)＝0. 由 k 2 y ＝4x， 2 2 其判别式 Δ2＝(4k)2＋16(3＋ 2)＝16( 2＋k2＋3)>0. k k
x2 所以椭圆 G 的方程为 ＋y2＝1. 4
(2)因为 P 在长轴上，所以点 A，B，P，Q 在直线 l 上的顺序无 外乎两种：A，Q，P，B 或 A，P，Q，B，无论哪种顺序，由|AQ| ＝|BP|都有 AB 与 PQ 的中点重合． 因为 P，Q 不重合，直线 l 斜率存在，设其方程 y＝k(x－t)，且 k≠0. |kt| 由于直线 l 与圆 O 相切，则圆心 O 到 l 的距离 d＝ 2 ＝1， k ＋1 即 k2t2＝k2＋1.③ 1 2 → → 设切点 Q(x0， y0)， 由OQ· PQ＝0 得 x0(x0－t)＋y0 ＝0， 即 x0＝ ， t
2 2 x ＋4y ＝4， 联立 化简得(1＋4k2)x2－8tk2x＋4(t2k2－1)＝ y＝k（x－t），
0. 8tk2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x1＋x2＝ . 1＋4k2 8tk2 因为线段 AB， PQ 中点重合， 即有 x1＋x2＝t＋x0， 因此 1＋4k2 1 ＝t＋ .④ t 1 联立③④化简得 k ＝ ，将其代入③式，可得 t＝± 3. 2
2
调研二 定点、定值问题 x2 y2 (2016· 北京)已知椭圆 C： 2＋ 2＝1(a>b>0)的离心率为 a b 3 ，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB 的面积为 1. 2 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是椭圆 C 上一点，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N. 求证：|AN|· |BM|为定值．
k2＋2 2 ∴ AB 的 中 点 P 的 坐 标 为 ( 2 ， ) ， |AB| ＝ x1 ＋ x2 ＋ 2 ＝ k k 4（k2＋1） . k2 k2＋2 1 2 1 又 l′的斜率为－ ， 其方程为 y－ ＝－ (x－ 2 )， 即 x＝－ky k k k k 2 ＋3＋ 2. k 2 x＝－ky＋3＋ 2， k 消去 x 并整理，得 y2＋4ky－4(3＋ 22)＝0. 由 k 2 y ＝4x， 2 2 其判别式 Δ2＝(4k)2＋16(3＋ 2)＝16( 2＋k2＋3)>0. k k
2017年高中数学第二章平面解析几何初步本章整合课件新人教B版必修2
(2)
������+2 ������+1
理解为动点(x,y)与定点(-1,-2)连线的斜率即可.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
解:(1)式子 (������-2)2 + ������2的几何意义是圆上的点与定点(2,0)的
距离.因为圆心(0,1)与定点(2,0)的距离是 22 + 12 = 5,
圆的半径是1,所以 (������-2)2 + ������2的最小值是 5 − 1.
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用1若不同的两点P,Q的坐标分别为(a,B),(3-B,3-a),则线段PQ
的垂直平分线l的斜率为
;圆(x-2)2+(y-3)2=1关于直线l对
称的圆的方程为
.
提示:(1)l1⊥l2⇔k1k2=-1;(2)求出圆心(2,3)关于l的对称点即可.
解析:kPQ=
������-(3-������) ������-(3-������)
= =
-2,所以点 7.
P'的坐标为(-2,7).
(2)设直线 l1:y=x-2 关于直线 l 对称的直线为 l2,则 l1 上任一点
P1(x1,y1)关于 l 的对称点 P2(x2,y2)一定在 l2 上,反之也成立.故
������1+������2 2
=
3
×
������1+������2 2
������1-������2 ������1-������2
专题一
专题二
专题三
专题四
专题五
应用 1 讨论直线 y=x+B 与曲线 y= 4-������2的交点的个数.
2017年高考全国新课标数学文大二轮复习课件专题整合突破 专题六 解析几何2-6-2a 精品
解析
4．[2016· 黄冈质检]在以 O 为中心，F1，F2 为焦点的椭 → → → 圆上存在一点 M，满足|MF1|＝2|MO|＝2|MF2|，则该椭圆的 离心率为( 2 A. 2 6 C. 3 ) 3 B. 3 2 D. 4
解析 延长 MO 与椭圆交于 N，因为 MN 与 F1F2 互相 平分，则四边形 NMF1F2 为平行四边形，则|MN|2＋|F1F2|2 ＝ |MF1|2 ＋ |MF2|2 ＋ |NF1|2 ＋ |NF2|2 ，又 |MF1| ＋ |MF2| ＝ 2|MF2| 2 4 ＋|MF2|＝3|MF2|＝2a，故|NF1|＝|MF2|＝3a，|NF2|＝|MF1|＝3
x 解析 令点 P(x0， y0)， 因为该双曲线的渐近线分别是 3 x x 0 0 － y ＋ y 0 0 3 3 x －y＝0， ＋y＝0， 所以可取|PA|＝ ， |PB|＝ ， 3 1 1 3＋1 3＋1 π 1 又 cos∠APB＝－cos∠AOB＝－cos2∠AOx＝－cos3＝－2， x2 0 2 －y0 1 1 3 3 → → → → － － 所以PA· PB＝|PA|· |PB|· cos∠APB＝ 4 · ＝ × ＝ 2 2 4 3 3 －8，选 A.
4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 a a，|F1F2|＝2c，所以3a ＋3a ＋3a ＋3a ＝ ＋ (2 c ) ， 3
c2 2 6 即a2＝3，故 e F1(－3,0)，F2(3,0)为焦点的双 曲线与直线 y＝x－1 有公共点， 则该双曲线的离心率的最小 值为( 6 A. 2 3 C.2 ) 3 5 B. 5 D. 3
大二轮· 文
高考PPT [平面解析几何]
![高考PPT [平面解析几何]](https://img.taocdn.com/s3/m/4509861ba6c30c2259019e35.png)
，点 A，B 分别为椭圆 E： （2017•莆田一模）已知点 P（0，﹣2）
+
=1（a＞ = ．
且 △ABP 是等腰直角三角形， 直线 BP 交 E 于点 Q， 的左右顶点， b＞0） （1）求 E 的方程；
（2）设过点的动直线 l 与 E 相交于 M，N 两点，当坐标原点 O 位于 MN 以为直 径的圆外时，求直线 l 斜率的取值范围．
△=64k2m2﹣4（1+4k2） （4m2﹣4）=64k2﹣16m2+16＞0 所以 m2＜4k2+1 可得 r2＜ 4 令 P （ x1 ， y1 ） ， Q （ x2 ， y2 ） ， 则 x1+x2= ， x1x2= ，…（8 分）
若 OP 与 OQ 能垂直，则 ∴
=x1x2+y1y2=0，…（9 分） ， （1+k2） + +m2=0，…（
消去 y 得（1+4k2）x2﹣4kx﹣3=0．
∴x1+x2=
，x1x2=
， ，
直线 MN′的方程
依据椭圆的对称性，若直线 MN'过定点，定点一定在 y 轴上， 令 = x=0 = ， ．
当直线 MN 斜率不存在时，直线 MN′的方程为 x=0，显然过点（0，﹣2） ． 直线 MN'过定点（0 ，﹣2）
解： （1）由题意题意△ABP 是等腰直角三角形，a=2，B（2，0） ， 设 Q（x0，y0） ，由 ，
则
，
代入椭圆方程，解得 b2=1， ∴椭圆方程为 ；
（2） 由题意可知， 直线 l 的斜率存在， 方程为 y=kx﹣2， M （x1， y1） ， N （x2， y2） ， 则 ，整理得： （1+4k2）x2﹣16kx+12=0，
专题4.2 平面解析几何 -2017年全国高考数学考前复习大串讲
【知识网络】【考点聚焦】一. 直线的倾斜角与斜率1.【原题】（必修2第85页例题1） 如图，已知A (3,2)，B (－4,1)，C (0，－1)， 求直线AB ，BC ，CA 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．【原题解读】（1）知识上；直线斜率的概念及运算公式；（2）思路方法上；由斜率的概念，根据题目的条件可运用：1. tan k α=；2. 2121AB y y k x x -=-，算出直线的斜率。
（3）考察概念理解和运算能力。
变式1. 【2016太原五中】直线21)10()x a y a R +++=∈（的倾斜角的取值范围是（ ） A ．，4π] B ．43π，πC ．0，4π]∪（2π，πD ．4π，2π∪43π，π【答案】B【解析】直线可化为：221111y x a a =--++，倾斜角θ，θ∈0, π),则tanθ=211a -+, 因为2221111,01, 1.11a a a +≥∴<≤∴-≥-++即tanθ≥-1,所以θ∈3[,)4ππ.所以选B.变式2. 【2016山西省康杰中学】在平面直角坐标系中,已知)1,2(),4,3(---B A ,如果直线2:++=k kx y l 与线段AB 总是相交,那么实数的取值范围是（ ）A.]3,1[-B. [)(]1,00,3-⋃C. [][)1,03,-⋃+∞D. (][),13,-∞-⋃+∞ 【答案】D二. 两条直线平行与垂直的判定1.【原题】（必修2第87页例题4）已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A (0,0)，B (2，－1)，C (4,2)，D (2,3)，试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明．【解析】：AB 边所在直线的斜率k AB ＝－12，CD 边所在直线的斜率k CD ＝－12， BC 边所在直线的斜率k BC ＝32， DA 边所在直线的斜率k DA ＝32.因为k AB ＝k CD ，k BC ＝k DA ，所以AB ∥CD ，BC ∥DA . 因此，四边形ABCD 是平行四边形．2.【原题】（必修2第89页例题6）已知A (5，－1)，B (1,1)，C (2,3)三点，试判断△ABC 的形状．【原题解读】（1）知识上；由直线斜率判断两直线平行与垂直；（2）思路方法上；由直线的斜率，根据结论：1.121212l l k k l l ⎧=⇔⎨⎩P 与重合；2. 12121k k l l ⋅=-⇔⊥，推出两直线的位置关系。
专题05 平面解析几何-2017年高考文数考纲揭秘及预测
（四）平面解析几何初步1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.（2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.（3）能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.（4）掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系.（5）能用解方程组的方法求两相交直线的交点坐标.（6）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.2．圆与方程（1）掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.（2）能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系.（3）能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.（4）初步了解用代数方法处理几何问题的思想.3．空间直角坐标系（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置.（2）会简单应用空间两点间的距离公式.（十五）圆锥曲线与方程1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）.3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）.4．理解数形结合的思想.5．了解圆锥曲线的简单应用.对于直线与圆的考查：1．从考查题型来看，涉及本专题的题目一般在选择题、填空题中出现，考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程、圆的方程、直线与直线、直线与圆的位置关系等.2．从考查内容来看，主要考查直线与圆的方程，判断直线与圆的位置关系，及直线、圆与其他知识点相结合.3．从考查热点来看，直线与圆的位置关系是高考命题的热点，通过几何图形判断直线与圆的位置关系，利用代数方程的形式进行代数化推理判断，是对直线与圆位置关系的最好的判断，体现了数形结合的思想.对于圆锥曲线的考查：1．从考查题型来看，涉及本专题的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解.解答题中则常综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等.学，科。
2017高考数学文科二轮(通用版)复习课件第一部分专题六解析几何第2讲
2 2 2 2 2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x2 1＋4y1＝4b ，x2＋4y2＝4b ，
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0， y1－y2 1 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝ ＝. x 1 －x 2 2 1 因此直线AB的方程为y＝2(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0. 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝
热点题型突破
题型一 椭圆及其性质
命 题 规 律 高考中常从以下四个角度设计考题： (1)求离心率及离心率的范围． (2)椭圆定义及其应用． (3)求椭圆的标准方程． (4)椭圆及其性质的综合应用． 选择、填空、解答题均会考查，难度中等．
方 法 点 拨
(1)求椭圆的离心率除了定义外，经常需要找到关于基本量a，b，c的 进一步求离心率． (2)求椭圆方程通常有两种方法：定义法和待定系数法．其中待定系 再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b 果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便， 设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． (3)注意数形结合，提倡画出合理草图.
突破点拨 (1)利用原点到直线的距离，列关于a，c的方程求解． (2)利用(1)得出椭圆方程(含有字母b)，再利用弦AB的长等于圆M的直径求解．
解析：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距 bc bc 离d＝ 2 2＝ a ， b ＋c 1 c 3 2 2 由d＝2c，得a＝2b＝2 a －c ，解得离心率a＝ 2 .
2 y (2)双曲线 x2－ ＝1 的右焦点为 F(2,0)， 3
两式相减并结合x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2，得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0， y1－y2 1 易知AB与x轴不垂直，则x1≠x2，所以AB的斜率kAB＝ ＝. x 1 －x 2 2 1 因此直线AB的方程为y＝2(x＋2)＋1，代入②得x2＋4x＋8－2b2＝0. 所以x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝
热点题型突破
题型一 椭圆及其性质
命 题 规 律 高考中常从以下四个角度设计考题： (1)求离心率及离心率的范围． (2)椭圆定义及其应用． (3)求椭圆的标准方程． (4)椭圆及其性质的综合应用． 选择、填空、解答题均会考查，难度中等．
方 法 点 拨
(1)求椭圆的离心率除了定义外，经常需要找到关于基本量a，b，c的 进一步求离心率． (2)求椭圆方程通常有两种方法：定义法和待定系数法．其中待定系 再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b 果焦点位置不确定，那么要考虑是否有两解．有时为了解题方便， 设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． (3)注意数形结合，提倡画出合理草图.
突破点拨 (1)利用原点到直线的距离，列关于a，c的方程求解． (2)利用(1)得出椭圆方程(含有字母b)，再利用弦AB的长等于圆M的直径求解．
解析：(1)过点(c,0)，(0，b)的直线方程为bx＋cy－bc＝0，则原点O到该直线的距 bc bc 离d＝ 2 2＝ a ， b ＋c 1 c 3 2 2 由d＝2c，得a＝2b＝2 a －c ，解得离心率a＝ 2 .
2 y (2)双曲线 x2－ ＝1 的右焦点为 F(2,0)， 3
2017版高考数学一轮总复习课件：第9章 平面解析几何 第二节
第二十一页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
[点评] 解决此类问题的关键是设出圆的方程利用待定系 数法求解，或利用圆的几何性质求出圆心及半径.
第二十二页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
直线与圆的位置关系求解方略
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0. 由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程. (2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程， 由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出. 注：若以上方法只求出一条切线，则说明过圆外一点(x0，y0)的 圆的切线不存在，应补充上x＝x0.
第八页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
位置关系 相交 相切 相离
方法 几何法
d<r d＝ r d> r
代数法
Δ> 0 Δ＝ 0 Δ< 0
第九页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
2.圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
第十五页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
解析 过点 M 的最短弦与 CM 垂直，圆 C：x2＋y2－4x－2y ＝0 的圆心为 C(2，1)，∵kCM＝12－ －01＝1，∴最短弦所在直线 的方程为 y－0＝－(x－1)，即 x＋y－1＝0. 答案 x＋y－1＝0
第十六页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
1 22＋（－1）2
＝
5 5
，
故
弦
长
[点评] 解决此类问题的关键是设出圆的方程利用待定系 数法求解，或利用圆的几何性质求出圆心及半径.
第二十二页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
直线与圆的位置关系求解方略
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程 (1)几何方法：当斜率存在时，设为k，切线方程为 y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0. 由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程. (2)代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即 y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得一个关于x的一元二次方程， 由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出. 注：若以上方法只求出一条切线，则说明过圆外一点(x0，y0)的 圆的切线不存在，应补充上x＝x0.
第八页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
位置关系 相交 相切 相离
方法 几何法
d<r d＝ r d> r
代数法
Δ> 0 Δ＝ 0 Δ< 0
第九页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
2.圆与圆的位置关系
设圆 O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)， 圆 O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).
第十五页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
解析 过点 M 的最短弦与 CM 垂直，圆 C：x2＋y2－4x－2y ＝0 的圆心为 C(2，1)，∵kCM＝12－ －01＝1，∴最短弦所在直线 的方程为 y－0＝－(x－1)，即 x＋y－1＝0. 答案 x＋y－1＝0
第十六页，编辑于星期六：十九点 五十七分。
1 22＋（－1）2
＝
5 5
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故
弦
长
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2
3 |AB| ＝－ ，则直线 l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝ 3 cos30° ＝4. 【答案】 4
(3)(2016· 合肥调研)过点 P(－4，0)作直线 l 与圆 x2＋y2＋2x －4y－20＝0 交于 A，B 两点，若|AB|＝8，则 l 的方程为( A．5x＋12y＋20＝0 B．5x－12y＋20＝0 C．5x＋12y＋20＝0 或 x＋4＝0 D．5x－12y＋20＝0 或 x＋4＝0 )
【解析】 由题意，设 A(1＋cosθ，sinθ)，P(x，x＋1)，则 → ＝(1＋cosθ－x，sinθ－x－1)，PB → B(1－cosθ，－sinθ)，∴PA → ·PB → ＝(1＋cosθ－x)(1 ＝(1－cosθ－x，－sinθ－x－1)，∴PA －cosθ－x)＋(sinθ－x－1)(－sinθ－x－1)＝(1－x)2－cos2θ＋ (－x－1)2－sin2θ＝2x2＋1≥1，当且仅当 x＝0 时，等号成立，故 选 A. 【答案】 A
|－3k－2－2k－3| 4 3 2 ＝1⇒12k ＋25k＋12＝0⇒k＝－ ，或 k＝－ ， 2 3 4 k ＋1 故选 D 项． 【答案】 D
(1)给定直线 l：Ax＋By＋C＝0，则 l1：Ax＋By＋C1＝0(C1 ≠C)与 l 平行，l2：Bx－Ay＋C2＝0 与 l 垂直． (2)判定两直线平行的方法． ①判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式， 若 k1＝k2，且 b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判 定是否重合．
3 2 (3)(2016· 长沙调研)已知点 P 是函数 f(x)＝ x －lnx 图像上一 2 3 5 点，若点 P 到直线 2x－y－a＝0 的最小距离为 ，则 a＝( 10 A．－2 或 1 C．1 1 B. 2 D．2 或－1 )
【解析】 由题意可知，当距离最小值，函数图像在点 P 处 1 的切线平行于 2x－y－a＝0，则 f′(x)＝3x－ ＝2，可得 x＝1，x x 1 3 ＝－ (舍去)，此时 P(1， )，所以点 P 到直线 2x－y－a＝0 的最 3 2 3 |2³1－ －a| 2 3 5 小距离为 ＝ ，可得 a＝2 或－1. 10 5 【答案】 D
(2)(2016· 新课标全国Ⅱ)已知直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 与 圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴 交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________．
【解析】 设圆心到直线 l： mx＋y＋3m－ 3＝0 的距离为 d， |3m－ 3| 则弦长|AB|＝2 12－d ＝2 3，得 d＝3，即 ＝3，解得 m 2 m ＋1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)(2016· 济南调研)设直线 l：x＋y－4＝0 被半径为 3 的圆 C 截得的弦 AB 的中点为 P(3，1)，且弦长|AB|＝2 7，则圆 C 的标 准方程是________．
【解析】 设圆心坐标为(a， b)， 由半径为 3， 弦长|AB|＝2 7， 得圆心到直线的距离为 2.圆心到直线 l： x＋y－4＝0 的距离又可 |a＋b－4| 表示为 d＝ ＝ 2，圆心和点 P 的连线与直线 l 垂直，则 2
考向二 圆的方程 命题方向： 1．求圆的方程； 2．直线与圆的位置关系； 3．圆与圆的位置关系．
[求圆的方程] (1)(2016· 长沙四校联考)已知在平面直角坐标系中，O(0，0)， A(2，4)，B(6，2)，则三角形 OAB 的外接圆的方程是________．
【解析】 设三角形 OAB 的外接圆方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey F＝0， F＝0， ＋F＝0， 依题意可得4＋16＋2D＋4E＋F＝0，解得D＝－6，故 36＋4＋6D＋2E＋F＝0 E＝－2 三角形 OAB 的外接圆的方程是 x2＋y2－6x－2y＝0. 【答案】 x2＋y2－6x－2y＝0
(4)(2016· 济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经 y 轴反 射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1 相切，则反射光线所在直线的斜率 为( ) 5 3 A．－ 或－ 3 5 5 4 C．－ 或－ 4 5 3 2 B．－ 或－ 2 3 4 3 D．－ 或－ 3 4
【解析】 如图，作出点 P(－2，－3)关 于 y 轴的对称点 P0(2，－3)．由题意知反射 光线与圆相切， 其反向延长线过点 P0.故设反 射光线为 y＝k(x－2)－3，即 kx－y－2k－3 ＝ 0.∴ 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ＝
2 (2)(2016· 太原调研)圆心在曲线 y＝ (x>0)上， 且与直线 2x＋y x ＋1＝0 相切的面积最小的圆的方程为________．
【解析】
2 由于圆心在曲线 y＝ (x>0)上，设圆坐标为 (a， x
2 )(a>0)，又圆与直线 2x＋y＋1＝0 相切，所以圆心到直线的距离 a 2 2a＋ ＋1 4＋1 a d 等于圆的半径 r.由 a>0 得到，d＝ ≥ ＝ 5，当且仅 5 5 2 当 2a＝ ，即 a＝1 时取等号，所以圆心为(1，2)，半径 r＝ 5， a 则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 【答案】 (x－1)2＋(y－2)2＝5
[直线与圆] (1)(2016· 湖北七市联考)已知直线 ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被 圆 x2＋y2－2x－4y＝0 截得的弦长为 2 5， 则 ab 的最大值是( A．9 C．4 9 B. 2 5 D. 2 )
【解析】 将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2 ＝5，圆心坐标为(1，2)，半径 r＝ 5，故直线过圆心，即 a＋2b 9 ＝6，∴a＋2b＝6≥2 a· 2b，可得 ab≤ ，当且仅当 a＝2b＝3 时 2 9 等号成立，即 ab 的最大值是 ，故选 B. 2 【答案】 B
【回顾】 (1)过一点作直线与圆相交，若弦长等于直径，只 有一条；若弦长小于直径，则一定有两条． (2)有关圆的弦长的求法． 已知直线的斜率为 k，直线与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，点 C 到 l 的距离为 d，圆的半径为 r. 代数法：弦长|AB|＝ 1＋k2|x2－x1|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2. 几何法：弦长|AB|＝2 r2－d2.
第10讲 平面解析几何
热 点 调 研
调研一 直线与圆 考向一 直线方程 命题方向： 1．求直线的倾斜角与斜率； 2．求直线的方程； 3．两直线的位置关系．
[直线方程] π (1)(2016· 湖北四地七校联考)已知 f(x)＝asinx－bcosx，若 f( 4 π －x)＝f( ＋x)，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为( 4 π 4 π B. 3 3π D. 4
【解析】 依题意，圆心(－1，2)到直线 x－y－1＝0 的距离 |－1－2－1| d＝ ＝2 2，因为圆的半径为 2，故所求最大距离为 1＋1 2 2＋ 2＝3 2. 【答案】 C
(5)(2016· 长春质量监测)已知 AB 为圆 O：(x－1)2＋y2＝1 的 → ²PB → 的最小值 直径，点 P 为直线 x－y＋1＝0 上任意一点，则PA 为( ) A．1 C．2 B. 2 D．2 2
②直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(A1B1 ≠0，A2B2≠0) l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0.
(3)判定两直线垂直的方法． ①判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式， 若 k1·k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一 条直线的斜率为 0，此时两直线也垂直． ②直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 ⇔A1A2＋B1B2＝0.
2 2
＝0.又直线 x＋4＝0 也符合，故直线 l 的方程为 5x＋12y＋20＝0 或 x＋4＝0. 【答案】 C
(4)(2016· 芜湖模拟)点 P 是圆 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 上任一 点，则点 P 到直线 x－y－1＝0 距离的最大值为( A. 2 C．3 2 B．2 2 D．2＋2 2 )
(3)有关弦的中点问题． ①圆心与弦的中点连线和弦所在直线垂直，利用这条性质可 确定某些等量关系． ②弦心距、半径、半弦长组成直角三角形． (4)设圆的半径为 r，圆心到直线 l 的距离为 d， ①若 l 与圆相离，则圆上一点到直线距离最大值为 d＋r，最 小值为 d－r. ②若 l 与圆相交，则圆上一点到直线距离最大值为 d＋r，最 小值为 0.
(6)(2016· 河北七校)已知圆的方程为 x2＋y2－6x－8y＝0，设 该圆过点 P(3，5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( A．10 6 C．30 6 ) B．20 6 D．40 6
【解析】 圆 x2＋y2－6x－8y＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝25， 圆心坐标为 (3 ， 4) ，半径为 5. 最长弦 AC ＝ 10 ，最短弦 BD＝ 2 52－[（3－3）2＋（5－4）2]＝4 6， 四边形 ABCD 的面积 S＝ 1 ³10³4 6＝20 6. 2 【答案】 B
【解析】
圆 x2＋y2＋2x－4y－20＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2
＝25，圆心坐标为(－1，2)，半径为 5.设直线 l：y＝k(x＋4)，圆 |3k－2| |3k－2| 2 |AB| 2 2 2 心到直线 l 的距离 d＝ 2 .由 d ＋ ( ) ＝r ，得( 2 ) ＋ 2 k ＋1 k ＋1 5 5 4 ＝5 .解得 k＝－ ，∴直线 l：y＝－ (x＋4)，即 5x＋12y＋20 12 12
[圆的切线] (1)(2016· 武昌调研)已知点 A(1，0)，过点 A 可作圆 x2＋y2＋ mx＋1＝0 的两条切线，则 m 的取值范围是________．
3 |AB| ＝－ ，则直线 l：x－ 3y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝ 3 cos30° ＝4. 【答案】 4
(3)(2016· 合肥调研)过点 P(－4，0)作直线 l 与圆 x2＋y2＋2x －4y－20＝0 交于 A，B 两点，若|AB|＝8，则 l 的方程为( A．5x＋12y＋20＝0 B．5x－12y＋20＝0 C．5x＋12y＋20＝0 或 x＋4＝0 D．5x－12y＋20＝0 或 x＋4＝0 )
【解析】 由题意，设 A(1＋cosθ，sinθ)，P(x，x＋1)，则 → ＝(1＋cosθ－x，sinθ－x－1)，PB → B(1－cosθ，－sinθ)，∴PA → ·PB → ＝(1＋cosθ－x)(1 ＝(1－cosθ－x，－sinθ－x－1)，∴PA －cosθ－x)＋(sinθ－x－1)(－sinθ－x－1)＝(1－x)2－cos2θ＋ (－x－1)2－sin2θ＝2x2＋1≥1，当且仅当 x＝0 时，等号成立，故 选 A. 【答案】 A
|－3k－2－2k－3| 4 3 2 ＝1⇒12k ＋25k＋12＝0⇒k＝－ ，或 k＝－ ， 2 3 4 k ＋1 故选 D 项． 【答案】 D
(1)给定直线 l：Ax＋By＋C＝0，则 l1：Ax＋By＋C1＝0(C1 ≠C)与 l 平行，l2：Bx－Ay＋C2＝0 与 l 垂直． (2)判定两直线平行的方法． ①判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式， 若 k1＝k2，且 b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判 定是否重合．
3 2 (3)(2016· 长沙调研)已知点 P 是函数 f(x)＝ x －lnx 图像上一 2 3 5 点，若点 P 到直线 2x－y－a＝0 的最小距离为 ，则 a＝( 10 A．－2 或 1 C．1 1 B. 2 D．2 或－1 )
【解析】 由题意可知，当距离最小值，函数图像在点 P 处 1 的切线平行于 2x－y－a＝0，则 f′(x)＝3x－ ＝2，可得 x＝1，x x 1 3 ＝－ (舍去)，此时 P(1， )，所以点 P 到直线 2x－y－a＝0 的最 3 2 3 |2³1－ －a| 2 3 5 小距离为 ＝ ，可得 a＝2 或－1. 10 5 【答案】 D
(2)(2016· 新课标全国Ⅱ)已知直线 l：mx＋y＋3m－ 3＝0 与 圆 x2＋y2＝12 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作 l 的垂线与 x 轴 交于 C，D 两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝________．
【解析】 设圆心到直线 l： mx＋y＋3m－ 3＝0 的距离为 d， |3m－ 3| 则弦长|AB|＝2 12－d ＝2 3，得 d＝3，即 ＝3，解得 m 2 m ＋1
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(3)(2016· 济南调研)设直线 l：x＋y－4＝0 被半径为 3 的圆 C 截得的弦 AB 的中点为 P(3，1)，且弦长|AB|＝2 7，则圆 C 的标 准方程是________．
【解析】 设圆心坐标为(a， b)， 由半径为 3， 弦长|AB|＝2 7， 得圆心到直线的距离为 2.圆心到直线 l： x＋y－4＝0 的距离又可 |a＋b－4| 表示为 d＝ ＝ 2，圆心和点 P 的连线与直线 l 垂直，则 2
考向二 圆的方程 命题方向： 1．求圆的方程； 2．直线与圆的位置关系； 3．圆与圆的位置关系．
[求圆的方程] (1)(2016· 长沙四校联考)已知在平面直角坐标系中，O(0，0)， A(2，4)，B(6，2)，则三角形 OAB 的外接圆的方程是________．
【解析】 设三角形 OAB 的外接圆方程是 x2＋y2＋Dx＋Ey F＝0， F＝0， ＋F＝0， 依题意可得4＋16＋2D＋4E＋F＝0，解得D＝－6，故 36＋4＋6D＋2E＋F＝0 E＝－2 三角形 OAB 的外接圆的方程是 x2＋y2－6x－2y＝0. 【答案】 x2＋y2－6x－2y＝0
(4)(2016· 济南调研)一条光线从点(－2，－3)射出，经 y 轴反 射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1 相切，则反射光线所在直线的斜率 为( ) 5 3 A．－ 或－ 3 5 5 4 C．－ 或－ 4 5 3 2 B．－ 或－ 2 3 4 3 D．－ 或－ 3 4
【解析】 如图，作出点 P(－2，－3)关 于 y 轴的对称点 P0(2，－3)．由题意知反射 光线与圆相切， 其反向延长线过点 P0.故设反 射光线为 y＝k(x－2)－3，即 kx－y－2k－3 ＝ 0.∴ 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ＝
2 (2)(2016· 太原调研)圆心在曲线 y＝ (x>0)上， 且与直线 2x＋y x ＋1＝0 相切的面积最小的圆的方程为________．
【解析】
2 由于圆心在曲线 y＝ (x>0)上，设圆坐标为 (a， x
2 )(a>0)，又圆与直线 2x＋y＋1＝0 相切，所以圆心到直线的距离 a 2 2a＋ ＋1 4＋1 a d 等于圆的半径 r.由 a>0 得到，d＝ ≥ ＝ 5，当且仅 5 5 2 当 2a＝ ，即 a＝1 时取等号，所以圆心为(1，2)，半径 r＝ 5， a 则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5. 【答案】 (x－1)2＋(y－2)2＝5
[直线与圆] (1)(2016· 湖北七市联考)已知直线 ax＋by－6＝0(a>0，b>0)被 圆 x2＋y2－2x－4y＝0 截得的弦长为 2 5， 则 ab 的最大值是( A．9 C．4 9 B. 2 5 D. 2 )
【解析】 将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)2＋(y－2)2 ＝5，圆心坐标为(1，2)，半径 r＝ 5，故直线过圆心，即 a＋2b 9 ＝6，∴a＋2b＝6≥2 a· 2b，可得 ab≤ ，当且仅当 a＝2b＝3 时 2 9 等号成立，即 ab 的最大值是 ，故选 B. 2 【答案】 B
【回顾】 (1)过一点作直线与圆相交，若弦长等于直径，只 有一条；若弦长小于直径，则一定有两条． (2)有关圆的弦长的求法． 已知直线的斜率为 k，直线与圆 C 相交于 A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，点 C 到 l 的距离为 d，圆的半径为 r. 代数法：弦长|AB|＝ 1＋k2|x2－x1|＝ 1＋k2· （x1＋x2）2－4x1x2. 几何法：弦长|AB|＝2 r2－d2.
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调研一 直线与圆 考向一 直线方程 命题方向： 1．求直线的倾斜角与斜率； 2．求直线的方程； 3．两直线的位置关系．
[直线方程] π (1)(2016· 湖北四地七校联考)已知 f(x)＝asinx－bcosx，若 f( 4 π －x)＝f( ＋x)，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为( 4 π 4 π B. 3 3π D. 4
【解析】 依题意，圆心(－1，2)到直线 x－y－1＝0 的距离 |－1－2－1| d＝ ＝2 2，因为圆的半径为 2，故所求最大距离为 1＋1 2 2＋ 2＝3 2. 【答案】 C
(5)(2016· 长春质量监测)已知 AB 为圆 O：(x－1)2＋y2＝1 的 → ²PB → 的最小值 直径，点 P 为直线 x－y＋1＝0 上任意一点，则PA 为( ) A．1 C．2 B. 2 D．2 2
②直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，(A1B1 ≠0，A2B2≠0) l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0 且 B1C2－B2C1≠0.
(3)判定两直线垂直的方法． ①判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式， 若 k1·k2＝－1，则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一 条直线的斜率为 0，此时两直线也垂直． ②直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行讨论： 设直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2 ⇔A1A2＋B1B2＝0.
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＝0.又直线 x＋4＝0 也符合，故直线 l 的方程为 5x＋12y＋20＝0 或 x＋4＝0. 【答案】 C
(4)(2016· 芜湖模拟)点 P 是圆 x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 上任一 点，则点 P 到直线 x－y－1＝0 距离的最大值为( A. 2 C．3 2 B．2 2 D．2＋2 2 )
(3)有关弦的中点问题． ①圆心与弦的中点连线和弦所在直线垂直，利用这条性质可 确定某些等量关系． ②弦心距、半径、半弦长组成直角三角形． (4)设圆的半径为 r，圆心到直线 l 的距离为 d， ①若 l 与圆相离，则圆上一点到直线距离最大值为 d＋r，最 小值为 d－r. ②若 l 与圆相交，则圆上一点到直线距离最大值为 d＋r，最 小值为 0.
(6)(2016· 河北七校)已知圆的方程为 x2＋y2－6x－8y＝0，设 该圆过点 P(3，5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为( A．10 6 C．30 6 ) B．20 6 D．40 6
【解析】 圆 x2＋y2－6x－8y＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝25， 圆心坐标为 (3 ， 4) ，半径为 5. 最长弦 AC ＝ 10 ，最短弦 BD＝ 2 52－[（3－3）2＋（5－4）2]＝4 6， 四边形 ABCD 的面积 S＝ 1 ³10³4 6＝20 6. 2 【答案】 B
【解析】
圆 x2＋y2＋2x－4y－20＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2
＝25，圆心坐标为(－1，2)，半径为 5.设直线 l：y＝k(x＋4)，圆 |3k－2| |3k－2| 2 |AB| 2 2 2 心到直线 l 的距离 d＝ 2 .由 d ＋ ( ) ＝r ，得( 2 ) ＋ 2 k ＋1 k ＋1 5 5 4 ＝5 .解得 k＝－ ，∴直线 l：y＝－ (x＋4)，即 5x＋12y＋20 12 12
[圆的切线] (1)(2016· 武昌调研)已知点 A(1，0)，过点 A 可作圆 x2＋y2＋ mx＋1＝0 的两条切线，则 m 的取值范围是________．