极化恒等式
极化恒等式向量公式
极化恒等式向量公式
极化恒等式向量公式是一种重要的数学公式，用于计算复数极化恒等式的极化矢量和复共轭矢量。
它是由英国数学家和物理学家威廉·爱迪生于1845年发现的，是他研究复数极化恒等式的结果。
它被广泛应用于电磁学，物理学和工程领域，为解决复杂的问题提供了方便的工具。
极化恒等式向量公式可以用来计算复数极化恒等式的极化矢量和复共轭矢量。
它的表达式如下：P = E + iH，其中E和H分别表示极化矢量和复共轭矢量，i是虚数单位。
极化恒等式向量公式被广泛应用于电磁学，物理学和工程领域。
在电磁学中，它可以用来计算电磁场的功率、功率密度和功率流等，从而分析电磁场的特性。
在物理学中，它可以用来计算物体的旋转矩、动量和动能等，从而分析物体运动的特性。
在工程领域，它可以用来计算电磁设备的功率损失、阻抗和噪声等，从而分析设备的性能。
极化恒等式向量公式可以帮助我们解决复杂的问题，它提供了一种方便的工具。
它不仅可以提高我们的计算效率，而且可以帮助我们更好地理解电磁学、物理学和工程领域的知识。
总之，极化恒等式向量公式是一种重要的数学工具，对于理解复数极化恒等式有着重要的意义。
中线定理和极化恒等式
中线定理和极化恒等式中线定理和极化恒等式是数学中的两个重要定理，它们在不同的领域中都有着广泛的应用。
本文将分别介绍这两个定理的概念、证明和应用。
一、中线定理中线定理是指在一个三角形中，连接三角形两边中点的线段被称为中线，三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
中线定理指出，三角形的重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三边长之和的三分之一。
证明：设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，三角形的重心为G，连接AG、BG、CG，分别交BC、AC、AB于D、E、F。
由于AD=BD=BC/2，BE=CE=AC/2，CF=AF=AB/2，所以三角形DEF是三角形ABC的中心三角形，且DEF的周长等于ABC的周长的一半。
因此，AG+BG+CG=2(GD+GE+GF)=2(DE+EF+FD)=3(AD+BE+CF)=3(a+b+c)/ 2。
应用：中线定理可以用于计算三角形的重心坐标，以及求解三角形的面积和周长等问题。
二、极化恒等式极化恒等式是指任意两个向量的内积可以表示为它们的模长和夹角的三角函数的乘积之和。
具体地，设向量a和b的模长分别为|a|和|b|，夹角为θ，则有a·b=|a||b|cosθ。
证明：设向量a和b的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，则有a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|(a1/|a|b1/|b|+a2/|a|b2/|b|+a3/|a|b3/|b|)cosθ=|a||b|cosθ。
应用：极化恒等式可以用于计算向量的内积、向量的模长和夹角等问题，也可以用于证明向量的正交性和判断向量的方向等问题。
中线定理和极化恒等式是数学中的两个重要定理，它们在不同的领域中都有着广泛的应用。
熟练掌握这两个定理的概念、证明和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都有着重要的意义。
向量数量积替代方式--极化恒等式
向量数量积替代方式--极化恒等式在向量运算中，数量积是一种常见的操作，用于计算两个向量之间的数量关系。
然而，当我们处理复杂的运算时，使用极化恒等式可以简化计算过程，提高效率。
本文将介绍向量数量积替代方式--极化恒等式的原理和应用。
1. 极化恒等式的原理极化恒等式是基于向量的线性性质和数量积的定义而推导出来的。
根据极化恒等式，任何一个向量数量积都可以表示为两个向量的线性组合。
具体而言，对于任意向量a和b，其数量积可以表示为a与b的和与差的线性组合。
2. 极化恒等式的应用极化恒等式在向量运算和证明中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：2.1 向量的模长计算根据极化恒等式，可以将向量的模长计算转化为数量积的计算。
通过取向量与自身的数量积开根号，即可得到向量的模长。
2.2 向量的垂直判定对于两个向量a和b，如果它们的数量积为零，则可以判断它们是垂直的。
这是因为根据极化恒等式，数量积为零意味着两个向量的和与差相等，即它们的夹角为90度。
2.3 向量的投影计算通过极化恒等式，可以将向量的投影计算转化为数量积的计算。
具体而言，将待投影向量与投影方向的单位向量进行数量积运算，即可得到向量在该方向上的投影长度。
3. 总结极化恒等式是一种简化向量运算的有效方法。
通过将数量积表示为两个向量的线性组合，我们可以利用向量的线性性质进行更加简洁和高效的计算。
在实际应用中，极化恒等式常用于向量的模长计算、垂直判定和投影计算等问题。
希望本文对您理解向量数量积替代方式--极化恒等式有所帮助。
极化恒等式的应用
极化恒等式的应用引言极化恒等式是数学中一条重要的关系式，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍极化恒等式的定义和性质，并给出一些具体的应用案例。
极化恒等式的定义极化恒等式是指在内积空间中，通过使用内积运算将双线性函数转化为一个向量上的光滑函数。
具体地，对于一个内积空间 V，其内积运算为 \< , \>，则对于任意两个向量v, w ∈ V，极化恒等式可以表示为：\< v, w \> = \frac{1}{4} \left(\|v + w\|^2 - \|v - w\|^2\right)其中，\|v\| 表示向量 v 的范数。
极化恒等式的性质极化恒等式具有以下一些重要的性质：1.对称性：对于任意的v, w ∈ V，极化恒等式成立。
2.线性性：极化恒等式中的向量 v 和 w 可以是任意的线性组合，对应的恒等式仍然成立。
3.正定性：当且仅当 V 是一个欧几里得空间时，极化恒等式成立。
极化恒等式在向量分析中的应用极化恒等式在向量分析中起着重要的作用，以下是一些常见的应用案例：1. 向量正交性证明假设有两个向量 v 和 w，在证明它们正交性时，可以利用极化恒等式。
通过计算 \< v, w \>，若等式右侧的值为 0，则可以得到 v 和 w 的正交性。
2. 向量长度计算对于一个给定的向量 v，可以利用极化恒等式计算其长度。
通过令 w = v，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 的长度，即 \|v\|。
3. 向量夹角计算给定两个向量 v 和 w，可以利用极化恒等式计算它们之间的夹角。
通过令 w = v - w，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 和 w 之间的夹角。
极化恒等式在物理学中的应用极化恒等式在物理学中也有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 电场的计算对于一个给定的电场分布，利用极化恒等式可以计算电场的能量密度。
通过令v 和 w 分别为电场和电位移向量，在极化恒等式中代入并求解，即可得到电场的能量密度。
三角函数与解三角形：向量极化恒等式
由极化恒等式可得P→D·P→C＝P→E2－E→C2＝P→E2－12，
所以当 P 与 A(B)重合时，|PE|＝ 从而(P→D·P→C)max＝2.
52最大，
1234
2.已知在△ABC 中，P0 是边 AB 上一定点，满足 P0B＝14AB，且对于边 AB
上任一点 P，恒有P→B·P→C≥P→0B·P→0C，则
解析 如图所示，由极化恒等式易知， 当 OP 垂直直线时，P→A·P→B有最小值， 即P→A·P→B＝P→O2－O→B2＝( 2)2－12＝1.
(2)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2， MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之 间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当
根据向量的极化恒等式，
得A→B·A→C＝A→D2－D→B2＝9n2－m2＝4，
①
F→B·F→C＝F→D2－D→B2＝n2－m2＝－1.
②
联立①②，解得 n2＝58，m2＝183.
因此E→B·E→C＝E→D2－D→B2＝4n2－m2＝78.
即B→E·C→E＝78.
例 2 (1)已知 AB 为圆 x2＋y2＝1 的一条直径，点 P 为直线 x－y＋2＝0 上 任意一点，则P→A·P→B的最小值是___1__.
A.∠ABC＝90°
B.∠BAC＝90°
C.AB＝AC
√D.AC＝BC
1234
解析 如图所示，取AB的中点E， 因为 P0B＝14AB，所以 P0 为 EB 的中点，取 BC 的中点 D， 则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE. 根据向量的极化恒等式，
有P→B·P→C＝P→D2－D→B2，P→0B·P→0C＝P→0D2－D→B2. 又P→B·P→C≥P→0B·P→0C，则|P→D|≥|P→0D|恒成立，
第2讲 极化恒等式
第2讲极化恒等式结论：设a b、是两个平面向量，则有恒等式()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ ，在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22AB AC AM MB =- 。
极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差，因此，当两个向量之和或之差为定值时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解。
典型例题1．（2012浙江15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB AC =．法1解：设AMB θ∠=，则AMC πθ∠=-．又AB MB MA =- ，AC MC MA =- ，∴(AB AC = )(MB MA - 2)MC MA MB MC MB MA MA MC MA -=--+，2553cos 35cos()916θπθ=--⨯-⨯-+=-，故答案为16-．法2：极化恒等式22223516AB AC AM MB =-=-=-2．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA =，1BF CF =- ，则BE CE的值是．法1解：D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF BD DF =+ ，CF BD DF =-+ ，3BA BD DF =+ ，3CA BD DF =-+ ，∴221BF CF DF BD =-=- ，2294BA CA DF BD =-= ，∴258DF = ，2138BD = ，又 2BE BD DF =+ ，2CE BD DF =-+，∴22748BE CE DF BD =-= ，故答案为：78法2：极化恒等式FDAD BD FD CF BF BD AD CA BA 3142222=-=-=∙=-=∙分别解出FD ²和BD ²的值，即可求解CMDG O3．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB的取值范围是．法1解：以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O 的直径为AB ，设(,)M x y ，则(4,0)A ，(4,0)B -，(4,)MA x y =-- ，(4,)MB x y =--- ，222(4)(4)()16MA MB x x y x y =---+-=+-，又M 是圆O 的弦CD 上一动点，且6CD =，所以2216916x y -+ ，即22716x y + ，其中最小值在CD 的中点时取得，所以MA MB的取值范围是[9-，0]．故答案为：[9-，0]．法2直接使用极化恒等式22MA MB MO OA=-4MO ≤≤ ，4OA =[]9,0MA MB ∴∈-一课一练1．（2013•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC的最大值是．2.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为()A ．2116B ．32C ．2516D ．33、（2017•新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-参考答案1）法1解：如图令OAD θ∠=，由于1AD =故0cos A θ=，sin OD θ=，如图2BAX πθ∠=-，1AB =，故cos cos()cos sin 2Bx πθθθθ=+-=+，sin()cos 2B y πθθ=-=故(cos sin ,cos )OB θθθ=+同理可求得(sin ,cos sin )C θθθ+，即(sin ,cos sin )OC θθθ=+，∴(cos sin OB OC θθ=+，cos )(sin θθ ，cos sin )1sin 2θθθ+=+，OB OC的最大值是2故答案是2法2：极化恒等式如图，取BC ，AD 中点E ，F ,22214OB OC OE EB OE =-=-根据极化恒等式13122OE OF EF ≤+=+=所以有最大值22）法1解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥ ，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 602BN AB =︒=，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan 302CM MB ∴=︒=，3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，32，C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =- ，3(2BE =- ，32m -，0m ，∴22233321(()224216416AE BE m m m =+-=-+-=-+ ，当m =2116．故选：A ．法2：极化恒等式22214EA EB EF FA EF =-=-当EF CD ⊥时，15144EF EK KF =+=+=251214416EA EB ⎛⎫=-=⎪⎝⎭最小3）法1解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．法2：极化恒等式222222()()()2PA PB PC PE EA PF FA PE PF +=-+-=+- 当P 位于EF 中点时，有最小值。
极化恒等式
极化恒等式
1极化恒等式的推导：
(如图，有向量OA与向量OB,两向量之和为OD,其中E为AB,OD的中点) 2使用条件：共起点内积
3适用于：平面向量，空间向量
3使用方法：找斜边中点，再使用公式代入
4
例1：
解析：取BC的中点E，AD的中点为F
=
−→
−
⋅
−→
−
OC
OB
2
2−→
−
-
−→
−
EC
OE
=2
−→
−
OE
-
2
2
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
由三角形两边和大于第三边可以得到：
OE ≤OF+EF
OF 为直角三角形OAD 的中线，所以OF=2
1 EF=1
所以：−→−⋅−→−OC OB 的最大值为2
例2：
我们在此题的基础上增加一点难度：求−→−⋅−→−PD
PC 的最小值和最大值 解答：根据“极化恒等式”的方法，我们找到斜边CD 的中点O 点，则 −→−⋅−→−PD PC =22−→−-−→−OD
PO 其中OD=1
故我们只需要判断PO 的最大值与最小值
根据三角形两边和大于第三边，我们得到：
1）PO ≤AP+AO 2）PO+AO ≥AO
(其中AP=1,AO=5)
所以PO 的最大值为（5+1），最小值为（5-1）
故：−→−⋅−→−PD
PC 的最大值为（5+25），最小值为（5+25）。
极化恒等式PDF
极化恒等式补充1极化恒等式：()()2214a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎢⎥⎣⎦极化恒等式的几何意义是：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦ 2极化恒等式的应用例1ABC M BC AM=3BC=10AB AC=∆⋅ 在中，是的中点，，，则解析：221925162AB AC AM BC ⋅=-=-=- 00001ABC P AB P B=AB AB P 4PB PC P B P C ∆⋅≥⋅ 例2：设，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则0.90A ABC ∠=0.90B BAC ∠=.C AB AC =.D AC BC=22022000000BC D PD P D PBC PB PC=PD BD P BC P B P C=P D ,PD P D P D AB AC=BCBD ∆⋅-∆⋅-≥⊥ 解析：取中点，连接，，在内使用极化恒等式得在内使用极化恒等式得由条件知，即，故3ABCD P AB APB PC PD f⋅ 例：设正方形的边长为4,动点在以为直径的圆弧上，则第三题图第四题图解析：[]24,225016.PC PD PE PE PC PD ⎡⎤⋅=-∈⋅∈⎣⎦由图知，，，故，2min ABC 4ABC E F AB AC P EF S =2PC PB+BC =∆⋅ 例：在中，点，分别是线段，的中点，点在直线上，若，则2222222421322,,,44434+BC 23PD BC BC=.43BCPBC PC PB PD BC PC PB BC PD BC h PD BC BC PC PB BC ⋅=-⋅+=+=≥⋅+≥≥⊥ 解析：因此，当且仅当，时等号成立051AOB AOB=60C AB OC P OP BP ∠⋅ 例：如图，在半径为的扇形中，，为弧上的动点，与交于点，则的最小值为解析：如上图所示，213311,PD ,442162OP BP PD OP BP ⎡⎤⎡⎤⋅=-∈⋅∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 易知，，则()6ABCD OB OC ⋅ 例：如图放置的边长为1的正方形顶点分别在x轴，y轴正半轴含原点滑动，则的最大值为22111OB OC=OE 12424⎛⎫⋅-≤+-= ⎪⎝⎭ 解析：。
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向量极化恒等式
1、 b a ⋅＝()()
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+2241————极化恒等式 (1)向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41.即：[]224
1DB AC b a -=⋅（平行四边形模式） (2)224
1DB AM -=⋅（三角形模式） 例 1.(2012年浙江文15)在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则A B A C ⋅= ____ .
2.2O O ________.
ABC P PA PB ⋅ 例已知正三角形内接于半径为的圆，点是圆上的一个动点，则的取值范围是 8
.6.3.2.)
(13
4)112010(2
2D C B A P y x F O 的最大值为则为椭圆上的任意一点，的中心和左焦点，点分别为椭圆和点若点福建文⋅=+
例3.（2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足014
P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅ 。
则( ) A . 90ABC ∠= B . 90BAC ∠= C . AB AC = D . AC BC =
课堂练习
已知△ABC ，AB=7，AC=8，BC=9，P 为平面ABC 内一点，满足7PA PC ⋅=- ，则||PB
的取值范围是_____________.
A B C
M
. 2
2
.2.2.1.)(,0)()(2,)92008(D C B A c b c a c b a 满足，若向量个互相垂直的单位向量是平面内已知浙江理=-⋅-
,2(++)(+)a b c a b c a c ⋅ 已知是平面内个互相垂直的单位向量，向量是单位向量，则的最大值是________.
1.在ABC ∆中，60BAC ∠=
若2AB =
，BC =，D 在线段AC 上运动，⋅的最小值为
2.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()
PA PB PC +⋅ 的最小值为（ ） A. 14- B. 13- C. 12
- D. 1- 3．在ABC ∆中，3AB =，4AC =，60BAC ∠= ，若P 是ABC ∆所在平面内一点，且
2AP =，则PB PC ⋅ 的最大值为
4． 若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2
221(0)x y a a
-=>的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上任意一点则OP FP ⋅ 的取值范围是 .
5．在Rt ABC ∆，2AC BC ==，已知点P 是ABC ∆内一点，则(PB +⋅的最小 值是 .
6.已知B A 、是单位圆上的两点，O 为圆心，且MN AOB o ,120=∠是圆O 的一条直径，点C 在圆内，且满足)10()1(<<-+=λλλOB OA OC ，则⋅的取值范围是（ ）
A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-1,21
B ．[)1,1-
C ．⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-0,43 D ．[)0,1- 7. 正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则⋅的取值范围是（ ） A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
23,23 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,23 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,21 D. ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-21,21 8．在锐角ABC ∆中，已知3B π=，2AB AC -= ，则A B A C ⋅ 的取值范围是 ．。