极化恒等式专题(含试题详解)
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)
2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝
高考数学专题《极化恒等式》填选压轴题及答案
专题23 极化恒等式【方法点拨】极化恒等式：221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦.说明：（1）极化恒等式的几何意义是：设点D 是△ABC 边的中点，则22221||||4AB AC AD BC AD BD ⋅=-=-，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．（2）具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合.（3）遇到共起点的两向量的数量积问题，常取第三边的中点，从而运用极化恒等式加以解决. 特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．【典型例题】例1 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，,E F 是AD 上两个三等分点，4BA CA ⋅=，1BF CF ⋅=-，则BE CE ⋅的值是 ． 【答案】78【解析】设BD x =，DF y =由极化恒等式得222294BA CA AB AC AD BD y x ⋅=⋅=-=-=， 22221BF CF FB FC FD BD y x ⋅=⋅=-=-=-解之得可得2294a b -=，221a b -=-，因此2138x =，258y =，因此222451374888BE CE EB EC ED BD y x ⨯⋅=⋅=-=-=-=．点评：紧紧把握极化恒等式使用条件，三次使用极化恒等式求解.例2 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 是平面ABC 内一点，则(2)PA PB PC +的BC最小值为 ． 【答案】73-【分析】本题的难点在于如何将2PB PC +“二合一”？注意到两向量共起点且其系数和为3，可利用三点共线的方法将其“二合一”，然后使用极化恒等式. 【解析】设23PB PC PD +=，则2133PD PB PC =+，D 在BC 上 所以(2)=3PA PB PC PA PD +如图，取BC 中点为E ，由极化恒等式得221=4PA PD PE AD -在ABD ，由余弦定理得22242128=+2cos 422=9329AD AB BD AB BD ABD -⋅⋅∠=+-⋅⋅⋅ 所以当=0PE ，即P 为AD 中点时，()min7=9PA PD-所以(2)PA PB PC +的最小值73-，此时P 为AD 中点.例3 如图所示，矩形ABCD 的边AB =4，AD =2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧(含端点B 、E )上的一点，则P A → ·PB →的取值范围是 .【答案】【分析】取AB 的中点设为O ，则，然后利用平几知识确定PO 的取值范围，代入即可.【解析】取AB 的中点设为O ，则，当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为222PO =-；当P 与B （或E ）重合时，POEB [882,0]-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-2221=44PA PB PO AB PO ⋅-=-EBCAP D取得最大值为PO =2，所以的取值范围是.例4 半径为2的圆O 上有三点A ，B ，C ，满足++0OA AB AC =，点P 是圆内一点，则++PA PO PB PC ⋅的取值范围是（ ）A . [)4,14-B . (]4,14-C . [)4,4-D . (]4,4-【答案】A【分析】直接两次使用极化恒等式即可. 【解析】由++0OA AB AC =得+AB AC AO = 在平行四边形ABOC 中，OB OC =， 故易知四边形ABOC是菱形，且BC =设四边形ABOC 对角线的交点为E由极化恒等式得222114PA PO PE AO PE ⋅=-=-222134PB PC PE BC PE ⋅=-=-所以2++24PA PO PB PC PE ⋅=- 因为P 是圆内一点，所以03PE ≤<所以242414PE -≤-<，即4++14PA PO PB PC -≤⋅<，选A .例5 在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠AC B 为钝角，M ，＝1，若CM CN ⋅的N 是边AB 上的两个动点，且MN 最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ．【分析】取MN 的中点P ，由极化恒等式将“CM CN ⋅的最小值为34”转化为AB 边上的PA PB⋅[8-高CH =1，然后利用两角差的的余弦公式求解.【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=- ∵CM CN ⋅的最小值为34∴min 1CP =由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH =1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1358-.例6 已知直角三角形ABC 中，90A ∠=︒，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB PC ⋅的最大值为（ ）A ．161655+ B ．16855+ C ．165D ．565【答案】D【解析】设BC 中点为D ，则22221120544PB PC PD BC PD PD =-=-⨯=-，又因为max 49555PD AD r =+=+=，所以()max8156555PB PC =-=， 故选：D.例7 正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是四边形11AA D D 内一点（包含边界），且34FE FD ⋅=-，当三棱锥F AED -的体积最大时，EF 与平面11ABB A 所成H角的正弦值为（ ） A ．23B ．53C ．255D ．52【答案】A【分析】由条件34FE FD ⋅=-及极化恒等式入手，设DE 的中点为G ，则222153444FE FD FG DE FG ⋅=-=-=-，所以212FG =，故点F 的轨迹是以G 为球心，22为半径的球被面11AA D D 所截得的半圆，当点F 在半圆弧的最高点时，三棱锥F AED -的体积最大，此时易求得EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23. 【解析】设DE 的中点为G ，则由极化恒等式得222153444FE FD FG DE FG ⋅=-=-=-，所以212FG =， 故点F 的轨迹是以G 为球心，22为半径的球被面11AA D D 所截得的半圆， 当点F 在半圆弧的最高点时，三棱锥F AED -的体积最大， 此时易求得EF 与平面11ABB A 所成角的正弦值为23.【巩固练习】1. 如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB ―→·AD ―→＝－7，则BC ―→·DC ―→＝________.2．矩形中，为矩形所在平面内一点，,矩形对角线，则值为 .ABCD P ABCD 3,4PA PC ==6AC =PB PD ⋅3.若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________.4.已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，那么a ·b 的最大值为________．5.在中，已知，，则面积的最大值是 ．6.已知单位向量PA ，PB ，PC 满足2330PA PB PC ++=，则AB AC ⋅的值为（ ） A ．89B ．23C ．59D ．17. 已知2OA OB ==，且向量OA 与OB 的夹角为120°，又1PO =，则AP BP ⋅的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]1,3-C ．[]3,1-D ．[]3,3-8.已知平面向量,a b c ,满足1a =，12a b ⋅=，2a c ⋅=，22b c -=，那么b c ⋅的最小值为________．9.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．10.在ABC ∆中，︒=∠==60,4,3BAC AC AB ，若P 是ABC ∆所在平面内的一点，且2=AP ，则PC PB ⋅的最大值为_____.11.已知点P 是边长为32的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PB PA ⋅的取值范围为_____.12.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN → 的最小值为__________. 13.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当P A → ·PC →取得最小值时，sin ∠P AC 的值为________．14.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足P A → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．15.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC → ＋BC →2的最小值是__________．16.在半径为1的扇形AOB 中，若∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值是________．ABC ∆2BC =1AB AC •=ABC ∆ABC ∆6B π∠=BA BC ⋅17. 如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．18. 已知球O 的半径为1， ,A B是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是（ ） A ．31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案或提示】1.【答案】9【提示】两次使用极化恒等式，由224BD AB AD OA ⋅=-得=8BD ，2294BD BC DC OC ⋅=-=.2.【答案】 【提示】设矩形的对角线交点为O ，由222222346942AC PA PC PO PO +-⋅=-=-=，得272PO =，227119422BD PB PD PO ⋅=-=-=-.3.【答案】98-【解析】根据极化恒等式得：2228(2)(2)(2)99⋅=+--=+--≥a b a b a b a b ，故98⋅≥-a b ，所以⋅a b 的最小值为98-．4.【答案】－54【提示】 由a ·e ＝1，b ·e ＝－2得: a ·e －b ·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b |cos θ＝3 a ·b=14[|a ＋b |2－|a －b |2]≤－54 5.112-【提示】取BC 的中点为D ，则224BC AB AC AD •=-，所以2AD =因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故面积的最大值． 6.【答案】A【解析】∵2330PA PB PC ++=，∴23PB PC PA +=-， 如图，设BC 中点为D ，则()1123PD PB PC PA =+=-，且1PA PB PC ===， ∴,,P A D 三点共线，PD BC ⊥，1133PD PC ==，43AD =， ∴ABC 为等腰三角形， ∴22223CD PC PD =-=， ∴22224228339AB AC AD CD ⎛⎫⎛⎫⋅=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A. 7. 【答案】C【解析】连结A B 、，则=23AB 设AB 的中点为T ， 由222134PT AB PT AP BP ⋅==--，易知02PT ≤≤，所以2331PT -≤-≤ 故31AP BP -≤⋅≤，故选：C 8.【答案】58【解析】由12a b ⋅=，2a c ⋅=得23a b a c ⋅⋅=+，即(23a b c ⋅+)= 又(22cos a b c a b c θ⋅+)=+（其中θ为向量a 与2b c +的夹角） 所以32cos b c θ+= 所以2221195(2)(2)488cos 8b c b c b c θ⎛⎫⎡⎤⋅=+--=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭. ABC ∆29.【答案】 10.【答案】10237+ 【提示】方法同上. 11.【答案】[]3,6-12.【答案】716-13.【答案】392614.【答案】31,31⎡⎤-+⎣⎦15.【答案】4316.【解析】如图，取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →则PD 2则OD 2则PD 2则14则即求PD 的最小值．由图可知，当PD ⊥OB 时，PD min ＝34， 则OP →·BP →的最小值是－116.17.【答案】[0,2]【解析】 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0,2]． 18.【答案】B【解析】设,A B 的中点为C ，则12OC =33,32⎛⎤+ ⎥⎝⎦由极化恒等式得22213·44 PA PB PC AB PC=-=-因为12OC=，点P是球面上任意一点所以13 22PC≤≤所以13·,22PA PB⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,故选B.。
专题07 极化恒等式问题
专题 07 极化恒等式问题极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.1 ⎡2 2 ⎤1. 极化恒等式： a ⋅b = 4⎣(a + b ) - (a - b ) ⎦22 2.极化恒等式三角形模型：在∆ABC 中，D 为 BC 的中点，则 AB ⋅ AC =| AD | - | BC | 43. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形 ABCD 中， AB ⋅ AD = 1 (| AD |2 4- | BD |2 )类型一 利用极化恒等式求值典例 1.如图在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E,F 是 AD 上的两个三等分点，BA ⋅ CA = 4, BF ⋅ CF = -1, 则BE ⋅ C E 值为.17【答案】8【解析】2 2设DC =a, DF =b, BA ⋅CA =| AD |2 - | BD |2 = 9b -a = 42 2BF ⋅C F =| FD |2 - | BD |2 =b -a =-12解得b =5,213a =8 822227∴BE ⋅C E =| ED |- | BD | = 4b -a =8类型二利用极化恒等式求最值或范围典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C=90︒,AC=4,BC=3，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE ⋅DF 最小值为15【答案】4【解析】1设EF 的中点为M，连接CM，则| CM |=2即点 M 在如图所示的圆弧上，则 DE ⋅ DF =| DM |2 - | EM |2 =| DM |2 - 1≧| CD | - 1 4 2 - 1 =15 4 4类型三 利用极化恒等式求参数1 典例 3 设三角形 ABC ， P 0 是边 AB 上的一定点，满足 P 0 B =4PB ⋅ PC ≥ P 0 B ⋅ P 0C ,则三角形 ABC 形状为.【答案】C 为顶角的等腰三角形.【解析】AB, 且对于边 AB 上任一点 P ，恒有取 BC 的中点D ，连接 PD,P 0 D.PB ⋅ PC P 0 B ⋅ P 0C2 2 22 ∴| PD | - | BC | 4 P 0b - | BC | 4∴| PD | P 0 D∴ P 0 D ⊥ AB ,设O 为 BC 的中点，∴OC ⊥ AB ∴ AC = BC即三角形 ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.2 1 131. 已知∆ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 PA ⋅ (PB + PC ) 的最小值是【答案】 -2【解析】设 BC 的中点为 O ，OC 的中点为 M,连接 OP,PM,2 23 3 ∴ PA ⋅ (PB + PC ) = 2PO ⋅ PA = 2| PM | - | AO | = 2| PM | - ≥-2 2 2当且仅当 M 与 P 重合时取等号2.直线 ax + by + c = 0 与圆0 : x 2 + y 2 = 16 相交于两点 M,N,若c 2 = a 2 + b 2，P 为圆 O 上任意一点，则PM ⋅ PN 的取值范围为【答案】[-6,10]【解析】2 1a 2+ b2圆心 O 到直线 ax + by + c = 0 的距离为 d = | c |= 1设 MN 的中点为 A ，PM ⋅ PN =| PA |2 - | MA |2 =| PA |2 -15| OP | - | OA | | PA | | OP | + | OA |∴3 | PA | 5, PM ⋅ PN =| PA |2 -15 ∈[-6, 10]π13. 如图，已知 B,D 是直角 C 两边上的动点， AD ⊥ BD ,| AD |= 3, ∠BAD = 6, CM =2(CA + CB )1 CN = 2(CD + CA ) ，则CM ⋅ CN 的最大值为1【答案】 ( 4+ 4)【解析】13⎪2 1设 MN 的中点为 G ，BD 的中点为 H ， CM ⋅ CN =| CG | -4 22 1| MN | =| CG | -161 13 ⎛ 113 ⎫21 1| CG | | CH | + | HG |= + 2 4 ∴CM ⋅ CN 2 +- = ( 4 16 4 + 4)所以CM ⋅ CN 的最大值为 1( 4⎝ ⎭+ 4)4. 如图在同一平面内，点 A 位于两平行直线 m,n 的同侧，且 A 到m,n 的距离分别为 1，3，点 B,C 分别在 m,n上，且| AB + AC |= 5 ，则 AB ⋅ AC 的最大值为21 【答案】 4【解析】连接 BC ，取 BC 的中点 D ，则 AB ⋅ AC = AD 2 - BD 2，又 AD = 1 5| AB + AC |=2225 2 25 1 2 故 AB ⋅ AC = - BD = - BC4 4 413 1311 33又因为BC min = 3 -1 = 2 21所以( AB ⋅AC)max = 45.在半径为1 的扇形AOB 中，∠AOB = 60︒,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P，则OP ⋅BP 的最小值为【答案】-4【解析】2 2 21取 OB 的中点D，连接 PD，则OP ⋅BP =PD -OD=PD -4于是只要求求 PD 的最小值即可，由图可知，当PD ⊥AB 时，PDmin = 4即所求最小值为-46.已知线段AB 的长为 2，动点 C 满足CA ⋅C B =λ（λ为常数），且点 C 总不在以点 B 为圆心，1为半径的2圆内，则负数λ的最大值为【答案】-4【解析】如图取 AB 的中点为 D，连接 CD,则CA ⋅CB =CD2 -1 =λCD = 1+λ, -1 λ< 02 ()91 1 又由点 C 总不在以点 B 为圆心， 2为半径的圆内，故 1+ λ 1 ，则负数λ 的最大值为- 3247. 已知A(0,1)，曲线C : y = log 4 x 横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且 AB ⋅ AP 的最小值为2，则α =【答案】e【解析】如图，B （1，0），则 AB = ，连接 BP ，取 BP 的中点 C ，连接 AC,因为 AB ⋅ AP 的最小值为 2，则有 AC 2 - BC2= 2 = ( 2)2 = AB 2max上式等价于 AB 2 + BC 2 AC 2 ，即∠ABP 90︒当且仅当 P 与 B 重合时取等号，此时曲线 C 在B 处的切线斜率等于 1，即 = 1 ln α, a = e8. 若平面向量 a , b 满足| 2a - b |≤ 3 ，则 a ⋅ b 的最小值为【答案】 -8【解析】2 2(2a +b)2 - (2a -b)2 | 2a +b | - | 2a -b | 02 - 32 9a ⋅b ==≥=-8 8 8 8当且仅当| 29.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则OC ⋅O B 的最大值为【答案】2【解析】如图取 BC 的中点 E，取AD 的中点F，2 4OC ⋅OB = (OC +OB)2 - (OC -OB)2 = (2OE)2 - (2BE)2 = 4OE21-1所以OC ⋅OB =OE -41 1 3而| OE |≤| OF | + | FE |= || AD | + | FE |=+1 =，2 2 2当且仅当OF ⊥AD, OA =OD 时取等号，所以OC ⋅OB 的最大值为 210.已知正方形 ABCD 的边长为 2，点 E 为 AB 的中点，以 A 为圆心,AE 为半径作弧交 AD 于F，若 P 为劣弧EF 上的动点，则PC ⋅PD 的最小值为【答案】5 - 2 【解析】5a +b |= 0,| 2a -b |= 3，即||=3,| b |=3, <,>=π时⋅b取最小值-9a ab a4285 5如图取 CD 的中点 M.2 4PC ⋅ PD = (PC + PD )2 - (PC - PD )2 = (2PM )2 - (2DM )2= 4PM- 42 所以 PC ⋅ PD = PM -1而| PM | +1 =| PM | + | AP |≥| AE |= ，当且仅当 P,Q 重合时等号成立所以 PC ⋅ PD 的最小值为( -1)2 -1 = 5 - 211. 正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦 MN 的长度最大时，求 PM ⋅ PN 的范围. 【答案】[0, 2]【解析】如图当弦 MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时 O 为MN 的中点，524PM ⋅PN = (PM +PN )2 - (PM -PN )2 = (2PO)2 - (2OM )2 = 4PO - 42所以PM ⋅PN =PO-13而1 ≤| PO |≤，所以PM ⋅PN 的范围为[0, 2]。
2023高考数学----极化恒等式规律方法与典型例讲解
2023高考数学----极化恒等式规律方法与典型例讲解【规律方法】极化恒等式（1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++−=+证明：不妨设,AB a AD b == ，则C A a b =+，DB a b =−()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+ ① ()222222DB DB a b a a b b ==−=−⋅+ ② ①②两式相加得： ()()22222222AC DB a b AB AD +=+=+（2）极化恒等式： 上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+−−⎢⎥⎣⎦————极化恒等式 ①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=−⎣⎦ 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14． ②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=−（M 为BD 的中点）AB C M【典型例题】例1．（2022·山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM PN ⋅的取值范围是_________． 【答案】10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如下图所示：设正方形ABCD 的内切圆为圆O ，当弦MN 的长度最大时，MN 为圆O 的一条直径，()()22214PM PN PO OM PO OM PO OM PO ⋅=+⋅−=−=−， 当P 为正方形ABCD 的某边的中点时，min 12OP =，当P 与正方形ABCD 的顶点重合时，max OP =1222OP ≤≤， 因此，2110,44PM PN PO ⎡⎤⋅=−∈⎢⎥⎣⎦． 故答案为：10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 例2．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为 6 的可移动的线段，4=AD ，AB =12BC = ，则BE BF ⋅的取值范围为 ________________ ．【答案】[]99,148【解析】在BC 上取一点G ，使得4BG =，取EF 的中点P ，连接DG ，BP ， 如图所示：则DG =8GC =，16CD =，tan BCD ∠==60BCD ∠=． ()()()22222112944BE BF BE BF BE BF BP FE BP ⎡⎤⎡⎤⋅=+−−=−=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 当BP CD ⊥时，BP 取得最小值，此时12sin 6063BP =⨯= 所以()(2min 999BE BF ⋅=−=． 当F 与D 重合时，13CP =，12BC =，则22211213212131572BP =+−⨯⨯⨯=， 当E 与C 重合时，3CP =，12BC =，则222112*********BP =+−⨯⨯⨯=， 所以()max 1579148BE BF ⋅=−=，即BE BF ⋅的取值范围为[]99,148．故答案为：[]99,148例3．（2022·全国·高一）设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B =14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则三角形ABC 形状为___________．【答案】等腰三角形【解析】取BC 的中点D ，连接PD ，P 0D ，如图所示：22111224PB PC PD BC PD BC PD BC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅−=− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理2200014P B P C P D BC ⋅−=，00PB PC P B PC ⋅≥⋅， 222201144PD BC P D BC −≥∴− 0PD P D ∴≥0P D AB ∴⊥，设O 为AB 的中点，001//,2P B OB P D OC OC AB AC BC ∴=⇒⇒⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形．故答案为：等腰三角形．例4．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:2l y x a =+与圆()()222:0C x a yr r −+=>相切于点()01,M y −，设直线l 与x 轴的交点为A ，点P 为圆C 上的动点，则PA PM ⋅的最大值为______．【答案】36+【解析】圆()()222:0C x a y rr −+=>的圆心的为(),0a ，因为直线l 与圆C 相切于点()01,M y −则 021=−y a所以()()222,121r a a r =++−=⎩得2440a a −+=，所以2a =，r = 所以直线方程为4y x =+，圆的方程为()22218x y −+=，所以()4,0A −，()1,3M −， AM 的中点53,22Q ⎛⎫− ⎪⎝⎭， 则()()()22221144⋅=+⋅+=−≤+−PA PM PQ QA PQ QM PQ AM QC r AM因为=QC =AM所以()222221123644＝+−++−=+QC r AM QC r QC r AM 故36⋅≤+PA PMPA PM ⋅的最大值为36+故答案为：36+。
2025年高考数学一轮复习-极化恒等式、投影向量-专项训练【含答案】
2025年高考数学一轮复习-极化恒等式、投影向量-专项训练一、基本技能练1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于()A.1B.2C.3D.42.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →＝()A.－9B.21C.－21D.93.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF→＝2FO →，则FD →·FE →＝()A.－34B.－89C.－14D.－494.已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是()A.92B.2C.32D.345.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是()A.1B.2C.2D.226.已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值为()A.1B.2C.2D.227.已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(PA →＋PB →)·PC →的最小值为()A.－14B.－13C.－12D.－18.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为()A.－2B.－32C.－43D.－19.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________.10.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则PA →·PB →的最小值为________.11.在Rt △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________.12.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________.二、创新拓展练13.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为()A.2B.3C.6D.814.(多选)已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则()A.PB→·PC →＝PD →2－DB →2B.存在点P ，使|PD →|<|P 0D →|C.P 0C →·AB →＝0D.AC ＝BC15.在半径为1的扇形中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于P ，则OP →·BP →的最小值为________.16.如图，在平面四边形ABCD 中，AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°，∠ABC ＝90°，则BD→·BC →的最大值为________.参考答案与解析一、基本技能练1.答案A解析由极化恒等式得a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.2.答案D解析AB→·AD →＝|AO →|2－14|BD →|2＝－7，∴14|BD →|2＝16，BC →·DC →＝|CO →|2－14|BD →|2＝25－16＝9.3.答案B解析∵BF→＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13.法一FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＋0－1＝－89.法二由极化恒等式得FD →·FE →＝FO →2－14DE →2＝19－1＝－89.4.答案B解析如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD→·PC →＝PE →2－EC →2＝|PE →|2－12，所以当P 与A (B )重合时，|PE→|＝52最大，从而(PD →·PC →)max＝2.5.答案C解析由极化恒等式(a －c )·(b －c )＝14[(a ＋b －2c )2－(a －b )2]，∵(a －c )·(b －c )＝0，所以(a ＋b －2c )2＝(a －b )2，故c 2＝(a ＋b )·c ，又因为|a |＝|b |＝1，a ⊥b ，∴|a ＋b |＝2，于是|c |2≤|a ＋b ||c |＝2|c |，∴|c |≤ 2.6.答案A解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP 与直线x －y ＋2＝0垂直时，PA →·PB →有最小值，即PA →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.故选A.7.答案C解析∵PA→＋PB →＝2PO →，∴(PA →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D (图略)，由极化恒等式得，PO→·PC →＝|PD →|2－14|OC →|2＝|PD →|2－14，又|PD →|2min ＝0，∴(PA→＋PB →)·PC →的最小值为－12.8.答案B解析取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，取AD 的中点E ，连接PE .由△ABC 是边长为2的等边三角形，E 为中线AD 的中点得AE ＝12AD ＝32，则PA→·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(|PE →|2－|EA →|2)＝2|PE →|22＝－32，当且仅当|PE →|＝0时，取等号，∴PA →·(PB →＋PC →)的最小值为－32.9.答案16解析设AB 的中点为M ，则PA→·PB →＝PM →2－MA →2＝|PM →|2－9，所以要求PA →·PB →的最小值，只需求|PM →|的最小值，显然当点P 为线段MC 与圆的交点时，|PM →|取得最小值，最小值为|MC |－2.在△AMC 中，由余弦定理得|MC |2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，所以|MC |＝7，所以|PM →|的最小值为5，则PA →·PB →的最小值为16.11.答案32，2解析取MN 的中点为P ，由极化恒等式得CM →·CN →＝|CP →|2－14|MN |2＝|CP →|2－12.当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM→·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是32，2.12.答案[－9，0]解析如图，取CD 的中点G ，连接OG ，MO ，CO ，得OG ⊥CD ，MA→·MB →＝|MO →|2－14|BA →|2＝|MO →|2－16，∵|OC→|≥|OM →|≥|OG →|，∴7≤|OM →|≤4，∴MA→·MB →∈[－9，0].二、创新拓展练13.答案C解析如图，由已知OF ＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP→＝|PE→|2－14|OF →|2＝|PE →|2－14，∵当P 在椭圆右顶点时，|PE →|2有最大值，|PE →|2max＝254，∴OP →·FP →的最大值为6.14.答案AD解析如图所示，取BC 的中点D ，连接PD ，根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2.又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，所以|PD →|≥|P 0D →|，A 正确；B 错误；故由点P 为边AB 上任意一点知：点D 到边AB 上点的距离的最小值为|DP 0→|，从而DP 0⊥AB ，∴P 0C →·AB →≠0，C 错误；取AB 的中点E ，则由P 0B ＝14AB 知，CE ∥DP 0，故CE ⊥AB ，于是AC ＝BC ，D正确.15.答案－116解析取OB 的中点D ，作DE ⊥AB 于点E ，连接PD ，则OP→·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，易知|PD →|∈[|DE →|，|AD →|]＝34，32，则OP →·BP →＝PD →2－14∈－116，12，故所求最小值为－116.16.答案1解析取CD 的中点E ，连接EA ，EB ，∵AC＝AD＝2，∠DAC＝120°，∴AE⊥CD，DE＝AD sin60°＝3，由∠ABC＝∠AEC＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，且AC为直径，→·BC→＝|BE→|2－|ED→|2＝|BE→|2－(3)2≤|AC→|2－3＝22－3＝1，则BD→·BC→的最大值为1.所以BD。
极化恒等式(教师版)
巧用极化恒等式秒杀向量高考题一、极化恒等式：1.极化恒等式：设b a ,是两个平面向量，则有恒等式])()[(4122b a b a b a --+=⋅ （1） 2.极化恒等式的几何意义：向量a 和b 的数量积b a ⋅等于以a 和b 为邻边的平行四边形的“和对角线”的平方减去“差对角线”的平方的41，即 ][41])[(41])()[(41222222BC AD BC AD b a b a b a -=-=--+=⋅在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即22222241])2[(41])()[(41BC AM BC AM b a b a b a -=-=--+=⋅极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的平方差的四分之一，因此，当两个向量的“和向量”与“差向量”为定向量时，常常可以考虑极化恒等式进行转化求解 二、极化恒等式的应用1.（2012年浙江高考15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则=⋅AC AB解法1：（基底法）)()()()(MA MB MA MB MA MC MA MB AC AB --⋅-=-⋅-=⋅1625922-=-=-=MB MA解法2：（坐标法）以点M 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,5(),0,5(C B -，设)sin 3,cos 3(θθA ，则)sin 3,cos 35(),sin 3,cos 35(θθθθ--=---=AC AB16259sin 925cos 9)sin 3()cos 35)(cos 35(222-=-=+-=-+---=⋅θθθθθAC AB 解法3：（极化恒等式）=⋅AC AB 161004194122-=⨯-=-BC AM2.（2011年上海高考11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，3=AB ，1=BD ，则=⋅AD AB解法1：（基底法）)3132(AC AB AB AD AB +⋅=⋅ AC AB AB ⋅+=313222152********=⨯⨯⨯+⨯= 解法2：（基底法）)(BA BD BA AD AB -⋅-=⋅215921132=+⨯⨯-=+⋅-=BA BD BA解法3：（坐标法）以BC 的中点O 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,23(-B , )233,0(),0,21(A D -，所以)233,21(),233,23(--=--=AD AB所以21542743=+=⋅AD AB 解法4：（转化为其它向量的数量积）取BC 的中点E ，则BD AE ⊥所以=⋅AD AB ED EB AE EB ED AE AE ED AE EB AE ⋅+⋅+⋅+=+⋅+2)()(2152123)233(22=⨯+=⋅+=ED EB AE 解法5：（极化恒等式）取BD 的中点M ，则由极化恒等式知215411)233(412222=-+=-=⋅BD AM AD AB 3.（2016年江苏高考13题）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，F E ,是AD 上两个三等分点，4=⋅CA BA ，1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE解法1：（基底法）设b AC a AB ==,，则4=⋅=⋅=⋅b a AC AB CA BA ①)32()32()()(AC AD AB AD AC AF AB AF CF BF -⋅-=-⋅-=⋅1)22(91)3231()3231()3131()3131(22-=--⋅=-⋅-=-+⋅-+=b a b a b a a b b b a a b a ② 联立①②得229,2=+b a所以))(61[])(61[)()(b b a a b a AC AE AB AE CE BE -+⋅-+=-⋅-=⋅87)5526(36122=--⋅=b a b a解法2：（基底法）设a DF b BD ==,，则49)3()3()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DA DB DA CA BA ① 1)()()()(22-=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DF DB DF CF BF ②联立①②得813,852==b a 所以874)2()2()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DE DB DE CE BE 解法3：（坐标法）以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设)0,(a B -， ),(),2,2(),3,3(),0,(y x F y x E y x A a C ，则4)(9)3,3()3,3(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CA BA ① 4)(),(),(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CF BF ②联立①②得813,85222==+a y x 所以813)(4)2,2()2,2(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CE BE 解法4：（极化恒等式）设a FD EF AE ===，则4419412222=-=-=⋅=⋅BC a BC AD AC AB CA BA ①141412222-=-=-=⋅=⋅BC a BC FD FC FB CF BF ②联立①②得81341,8522==BC a所以=⋅CE BE 87813820414412222=-=-=-=⋅=BC a BC ED EC EB4.若AB 是圆O 的直径，M 是圆O 的弦CD 上的一个动点，8=AB ，6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）设点)0,4(),0,4(B A -，设),(y x M ，则由OC OM OG ≤≤知16722≤+≤y x所以]0,9[1622-∈-+=⋅y x MB MA解法2：（极化恒等式）1641222-=-=⋅MO BC MO MB MA又OC OM OG ≤≤，即]4,7[∈OM ，所以]0,9[-∈⋅MB MA5.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上一动点，延长AE 交圆O 与点F ，则FB FA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）建系如图，)1,3(),1,3(B A --， 设]2,6[),sin 2,cos 2(ππθθθ-∈F ，所以 ]6,0[sin 42)sin 21,cos 23()sin 21,cos 23(∈+=---⋅----=⋅θθθθθFB FA解法2：（极化恒等式）341222-=-=⋅FD BC FD FB FA 因为CD FD BD ≤≤，即]3,3[∈FD ，所以FB FA ⋅]6,0[∈ 6.如图，放置的边长为1的正方形ABCD ，顶点D A ,分别在x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则OC OB ⋅的最大值为解法1：（坐标法）设)90,0(0∈=∠θODA ，则)0,(sin θA ，)cos ,0(θD ，)sin cos ,(cos ),sin ,cos (sin θθθθθθ++C B所以22sin 1)cos (sin cos cos )cos (sin ≤+=+++=⋅θθθθθθθOC OB 当且仅当045=θ时等号成立，所以OC OB ⋅的最大值为2 解法2：（极化恒等式）取AD BC ,的中点N M ,，则4141222-=-=⋅OM BC OM OC OB ，又23121=+=+≤MN ON OM所以241)23(2=-≤⋅OC OB ，即OC OB ⋅的最大值为27.（2012年南京模拟）在ABC ∆中，点F E ,分别为线段AC AB ,的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅的最小值是 解析：（极化恒等式）由题意知4221=⋅⇒=⋅=∆h BC h BC S ABC 2222224341BC PO BC BC PO BC PC PB +=+-=+⋅322343)2(22≥⋅≥+≥h BC BC h8.（2012年安徽高考题）平面向量b a ,满足32≤-b a ，则b a ⋅的最小值为 解法1：222249494432b a b a b a b a b a +=+⋅⇒≤⋅-+⇒≤- 由基本不等式得894449422-≥⋅⇒⋅-≥≥+=+⋅b a b a b a b a b a ，当且仅当略 所以b a ⋅的最小值为89-解法2：（极化恒等式）]92[81]22[81)2(21222-+≥--+=⋅=⋅b a b a b a b a b a89)90(81-=-≥，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+3202b a b a 即b a ,反向共线且43=a 时等号成立， 所以b a ⋅的最小值为89-巩固练习：1.（2007年天津高考15题）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，D 是边BC 的中点，则=⋅BC AD解析：=⋅BC AD 25)49(21)(21)(222=-=-=-⋅+AB AC AB AC AC AB 2.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的动点，则PB PA ⋅的取值范围为 解析：过点C 作AB CD ⊥于点D ，则点D 为AB 的中点，32===BC AC AB ，PB PA ⋅341222-=-=PD AB PD因为31≤≤PD ，所以PB PA ⋅]6,2[-∈3.设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则PC PD ⋅的取值范围为解析：取CD 的中点E ，则441222-=-=⋅PE CD PE PC PD因为522≤≤PE ，所以]160[ ∈⋅PC PD4.（2015年南通三调）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 为半径作圆交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PD PC ⋅的最小值为解法1：（坐标法）解法2：（极化恒等式）取CD 的中点G ，则141222-=-=⋅PG CD PG PD PC又215≤≤-PG ，所以PD PC ⋅]3,525[-∈，所以PD PC ⋅的最小值为525- 5.已知AB 是圆O 的直径，2=AB ，C 是圆O 上异于，点B A ,的一点，P 是圆O 所在的平面上任意一点，则PC PB PA ⋅+)(的最小值为解析：取OC 的中点D ，则21212)41(22)(222-≥-=-⨯=⋅=⋅+PD OC PD PC PO PC PB PA6.（2017年南通二模）如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3=OA ，5=OC ，若7-=⋅AD AB ，则=⋅DC BC解析：16417419412222=⇒-=-=-=⋅BD BD BD AO AD AB916254122=-=-=⋅=⋅BD CO CD CB DC BC7.如图，在ABC ∆中，已知4=AB ，6=AC ，060=∠BAC ，点E D ,分别在边AC AB ,上，且AD AB 2=，AE AC 3=，若F 为DE 的中点，则DE BF ⋅的值为 解法1：（极化恒等式）取BD 的中点N ，连接EB NF ,，则AE BE ⊥，所以32=BE 因为NF 是DBE ∆的中位线，所以3=FN4)1(2)41(22222=-=-=⋅=⋅FN DB FN FD FB DE BF解法2：（基底法）略 解法3：（坐标法）略备选题：1.（2008年浙江高考9题）已知b a ,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量0)()(=-⋅-c b c a ，则c 的最大值为（ ）A.1B.2C.2D.22 解法1：（代数法）c b a c b a c b a c c b c a ⋅+=⇒=⋅+⋅+-=-⋅-)(0)()()(22所以2cos 2cos 2≤=⇒+=θθc c b a c ，故选C解法2：（坐标法）设),(),1,0(),0,1(y x OC c b a ====，则)1,(),,1(y x c b y x c a --=---=-所以21)21()21(0)1()1()()(22=-+-⇒=----=-⋅-y x y y x x c b c a所以点C 在以点)21,21(为圆心，222≤解法3：（几何法）设b a OD c OC b OB a OA +====,,,2==所以0)()(=-⋅-c b c a CB CA CB CA OC OB OC OA ⊥⇒=⋅⇒=-⋅-⇒00)()(所以点C 在以AB 的最大值为22.（2013年浙江高考7题）设点0P 是ABC ∆的边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00⋅≥⋅，则（ ）A.090=∠ABC B.090=∠BAC C.AC AB = D.BC AC = 解析：取BC 的中点M ，则22022004141BC M P BC PM C P B P PC PB -≥-⇒⋅≥⋅ 所以M P PM 0≥，所以AB MP ⊥0，所以BC AC =，故选D3.在平面直角坐标系xOy 中，B A ,分别在y x ,正半轴上移动，2=AB ，若点P 满足2=⋅PB PA ，则OP 解析1：（坐标法）设),0(),0,(b B a A ，),(y x P ，则422=+b a2),(),(22=--+=-⋅-=⋅=⋅by ax y x b y x y a x BP AP PB PA by ax y x +=-+⇒222324324)(4))(()()2(222222222222+≤+≤-⇒+=++≤+=-+⇒y x y x y x b a by ax y x]13,13[22+-∈+=y x解析2：（极化恒等式）取AB 的中点Q ，则121==AB OQ⇒=-=-=⋅∴2141222PQ AB PQ PB PA 3=，1313+≤+≤=≤=-∴4.梯形ABCD 中，满足AD // BC ，1=AD ，3=BC ，2=⋅DC AB ，则=⋅BD AC 解析：取BC 的两个三等分点F E ,，G 在CB 的延长线上，且1==AD BG ，则321412222=⇒=-=-=⋅=⋅AE AE BF AE AF AB DC AB=⋅BD AC 1)43()41(22=--=--=⋅-GC AE AG AC5.（2016年南京三模）在半径为1的扇形AOB 中，060=∠AOB ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则BP OP ⋅的最小值为 解析：取OB 的中点D ，则41)43(41412222-≥-=-=⋅=⋅PD OB PD PB PO BP OP 161-=6.在等腰直角ABC ∆中，1==AC AB ，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则)()(AM AC AM AE -⋅-的取值范围为解析：取CE 中点D ，则]42343[，∈MD]1167[8141)()(222，∈-=-=⋅=-⋅-MD CE MD MC ME AM AC AM AE7.已知B A ,是圆O ：122=+y x 上的两个点，P 是线段AB 上的动点，当AOB ∆的面积最大时，2AP AP AO -⋅的最大值为 解析：当AOB ∆的面积最大时，OB OA ⊥，所以PO PA PO AP AP AO AP AP AP AO ⋅-=⋅=-⋅=-⋅)(2取OA 的中点，则222241)41(PM OA PM PO PA AP AP AO -=--=⋅-=-⋅81)42(412=-≤。
极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】(解析版)
极化恒等式与等和(高)线定理【四大题型】【题型1利用极化恒等式求值】【题型2利用极化恒等式求最值(范围)】【题型3利用等和线求基底系数和的值】【题型4利用等和线求基底系数和的最值(范围)】1.极化恒等式与等和(高)线定理极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和(高)线定理是平面向量中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值(范围)中有着重要作用.【知识点1极化恒等式】1.极化恒等式的证明过程与几何意义(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a |2+|b |2).证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -b，AC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①，DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②，①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2.(2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b2-a -b 2 ----极化恒等式平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2 .2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．(1)平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角线长”平方差的14，即14a +b2-a -b 2 (如图).(2)三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即(M 为BC 的中点)(如图).极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.【知识点2等和(高)线定理】1.等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若(λ,μ∈R )，则λ+μ=1，由△OAB 与△OA 'B '相似，必存在一个常数k ,k ∈R ，使得，则，又(x ,y ∈R )，∴x +y =kλ+kμ=k ；反之也成立.(2)平面内一个基底及任一向量，(λ,μ∈R )，若点P '在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线.①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数；⑥定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比.【题型1利用极化恒等式求值】1.(2024·贵州毕节·三模)如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，若BA⋅CA =7，BE ⋅CE =2，则BF ⋅CF =()A.-2B.-1C.1D.2【解题思路】利用几何关系将BA ,CA ,BE ,CE 均用BC ,AD 表示出来，进而将BA ⋅CA ，BF ⋅CF表示成与FD ,BC 相关，可以求出FD 2=1,BC 2=8，同时BF ,CF 的数量积也可用FD ,BC 表示，即可求出结果.【解答过程】依题意，D 是BC 边的中点，E ，F 是线段AD 的两个三等分点，则BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC -AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC 24=7，BE ⋅CE =12BC -23AD ⋅-12BC -23AD =49AD 2-14BC 2=16FD 2-BC 24=2，因此FD 2=1,BC 2=8，BF ⋅CF =12BC -FD ⋅-12BC -FD =4FD 2-BC 24=4×1-84=-1.故选：B .2.(23-24高三上·福建厦门·期末)如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF =2FO ，则FD ⋅FE=()A.-34B.-89 C.-14 D.-49【解题思路】根据题意，得到FD ⋅FE =-(OE +OF )⋅(OE -OF)，进行求解即可.【解答过程】因为圆半径为1BC 是直径，BF =2FO，所以|OF |=13，根据向量加法和减法法则知：FD =OD -OF ,FE =OE -OF；又DE 是直径，所以OD =-OE ,|OD |=|OE|=1，则FD ⋅FE =(OD -OF )⋅(OE -OF )=(-OE -OF )⋅(OE -OF )=-(OE +OF )⋅(OE -OF )=|OF |2-|OE |2=19-1=-89.故选B .3.(2024高三·江苏·专题练习)如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA =3，OC =5.若AB⋅AD =-7，则BC ⋅DC 的值是9．【解题思路】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用AB ⋅AD =(AO +OB )⋅(AO +OD ),求出|OB |=|OD |=4，再利用BC ⋅DC =(BO +OC )⋅(DO +OC )，运算可求出结果.【解答过程】在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA =3,OC =5,∴OB +OD =0，若AB ⋅AD=-7，则(AO +OB )⋅(AO +OD )=AO 2+AO ⋅OD +AO ⋅OB +OB ⋅OD =AO 2+OA ⋅(OD +OB )-OB 2=32-OB 2=-7，∴OB 2=16，∴|OB |=|OD |=4，∴BC ⋅DC =(BO +OC )⋅(DO +OC )=BO ⋅DO +BO ⋅OC +OD ⋅OC +OC 2=-BO 2+OC ⋅(BO +OD )+OC 2=-42+0+52=9.故答案为：9.4.(23-24高二下·湖南长沙·开学考试)如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF ⋅FG +GH ⋅HE 等于32．【解题思路】在平行四边形ABCD 中，取HF 的中点O ，根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算求解.【解答过程】如图：在平行四边形ABCD 中，取HF 的中点O ，则EF ⋅FG =EF ⋅EH =EO +OF ⋅EO +OH =EO 2-OH 2=1-122=34，GH ⋅HE =GH ⋅GF =GO +OH ⋅GO +OF ==GO 2-OH 2=1-12 2=34，则EF ⋅FG +GH ⋅HE =32.故答案为：32.【题型2利用极化恒等式求最值(范围)】5.(2024高三·全国·专题练习)半径为2的圆O 上有三点A 、B 、C 满足OA +AB +AC =0，点P 是圆内一点，则P A ⋅PO +PB ⋅PC 的取值范围为()A.[-4，14) B.[0，4)C.[4，14]D.[4，16]【解题思路】设OA 与BC 交于点D ，由OA +AB +AC =0得四边形OBAC 是菱形，D 是对角线中点，P A ,PO ,PB ,PC 用PD 和其他向量表示并计算数量积后可得P A ⋅PO +PB ⋅PC =2PD 2-4，由点与的位置关系可得PD 的取值范围，得结论．【解答过程】如图，OA 与BC 交于点D ，由OA +AB +AC =0 得：OB +AC =0 ，所以四边形OBAC 是菱形，且OA =OB =2，则AD =OD =1，BD =DC =3，由图知PB =PD +DB ，PC =PD +DC ，而DB =-DC，∴PB ⋅PC =PD 2-DB 2=|PD |2-|DB |2=|PD|2-3，同理P A =PD +DA ，PO =PD +DO ，而DA =-DO ，∴P A ⋅PO =PD 2-DO 2=|PD |2-|DO |2=|PD|2-1，∴P A ⋅PO +PB ⋅PC =2|PD|2-4，∵点P 是圆内一点，则0≤|PD |<3，∴-4≤P A ⋅PO +PB ⋅PC<14，故选：A .6.(23-24高一下·江苏南通·期中)正三角形ABC 的边长为3，点D 在边AB 上，且BD =2DA ，三角形ABC 的外接圆的一条弦MN 过点D ，点P 为边BC 上的动点，当弦MN 的长度最短时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[-1,5]B.[-1,7]C.[0,2]D.[1,5]【解题思路】设O 为△ABC 外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得MN =22，再由极化恒等式推出PM ⋅PN =PD 2-14NM 2，于是问题转化为求|PD |的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可得解．【解答过程】解：设O 为△ABC 外接圆的圆心，因为BD =2DA ，所以OD =13AC =1，当弦MN 的长度最短时，MN ⊥OD ，在△ABC 中，由正弦定理知，外接圆半径R =12⋅AB sin C =12⋅332=3，即OM =3，所以MN =2MD =2OM 2-OD 2=23 2-12=22，因为PM +PN 2=PM -PN 2+4PM ⋅PN ，即2PD 2=NM 2+4PM ⋅PN ，所以PM ⋅PN =PD 2-14NM 2=PD 2-14⋅22 2=PD 2-2，因为点P 为线段BC 上的动点，所以当点P 与点Q 重合DQ ⊥BC 时，|PD |min =DQ =BD sin60°=2×32=3；当点P 与点C 重合时，|PD|max =CD ，在△BCD 中，由余弦定理知，CD |2= BC |2+|BD 2-2BC ⋅BD cos ∠ABC =9+4-2×3×2×12=7，所以|PD|max =CD =7，综上，PD∈[3,7]，所以PM ⋅PN =PD 2-2∈[1,5]．故选：D ．7.(2024·重庆·模拟预测)已知△OAB 的面积为1,AB =2，动点P ,Q 在线段AB 上滑动，且PQ =1，则OP⋅OQ 的最小值为34.【解题思路】根据题意，记线段PQ 的中点为H ，由S △OAB =1且AB =2，可得点O 到直线AB 的距离为d =1，由OP ⋅OQ =14[(OP +OQ )2-(OP -OQ )2]，根据向量的运算代入求解即可.【解答过程】记线段PQ 的中点为H ，点O 到直线AB 的距离为d ，则有S △OAB =12AB ⋅d =1，解得d =1，由极化恒等式可得：OP ⋅OQ =14[(OP +OQ )2-(OP -OQ )2]=OH 2-PH 2=OH 2-14≥d 2-14=34.故答案为：34.8.(23-24高三上·上海浦东新·阶段练习)在面积为2的平行四边形中ABCD 中，∠DAB =π6，点P 是AD 所在直线上的一个动点，则PB 2+PC 2-PB ⋅PC的最小值为23．【解题思路】取BC 的中点Q ，连接PQ ，利用极化恒等式可得PB 2+PC 2-PB ⋅PC =PQ 2+34BC 2，结合基本不等式与四边形面积可得最小值.【解答过程】取BC 的中点Q ，连接PQ ，则PB +PC =2PQ ，PB ⋅PC =14[(PB +PC )2-(PB -PC )2]=144PQ2-CB 2，∴PB 2+PC 2-PB ⋅PC =(PB +PC )2-3PB ⋅PC =4PQ 2-344PQ 2-CB 2，=PQ 2+34BC 2≥2PQ ⋅32BC =3PQ ⋅BC ≥3S ABCD =23当且仅当|PQ |=32|BC |且PQ ⊥BC 时取等号，故答案为：2 3.【题型3利用等和线求基底系数和的值】9.(2024·四川成都·模拟预测)如图，在平行四边形ABCD 中，BE =23BC ，DF =34DE ，若AF =λAB +μAD ，则λ+μ=()A.32B.-112C.112D.0【解题思路】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．【解答过程】在平行四边形ABCD 中，BE =23BC ，DF =34DE ，所以AF =AD +DF =AD +34DE =AD +34DC +CE=AD +34AB -13AD =34AB +34AD ，若AF =λAB +μAD ，则λ=μ=34，则λ+μ=32．故选：A ．10.(2023·河北沧州·模拟预测)在△ABC 中，BE =12EC ,BF =12BA +BC ，点P 为AE 与BF 的交点，AP =λAB +μAC ，则λ+μ=() A.0B.14C.12 D.34【解题思路】利用平面向量基本定理得到AP =1-k AB +12kAC ，AP =13mAC +23mAB，从而列出方程组，求出k ,m ，得到λ=12,μ=14，求出答案.【解答过程】因为BF =12BA +BC，所以F 为AC 中点，B ,P ,F 三点共线，故可设BP =kBF ，即AP -AB =k AF -AB，整理得AP =kAF +1-k AB =1-k AB +12kAC，因为BE =12EC ，所以AE -AB =12AC -12AE ，即AE =13AC +23AB ，A ,P ,E 三点共线，可得AP =mAE =m 13AC +23AB =13mAC +23mAB ，所以2m 3=1-k m 3=12k ，解得k =12m =34，可得AP =12AB +14AC ，则λ=12,μ=14，λ+μ=34.故选：D .11.(23-24高一上·江苏常州·期末)在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 在线段DC 上，且CF =2DF ．若AC =λAE +μAF ，λ,μ均为实数，则λ+μ的值为75．【解题思路】设AB =a ,AD =b ，结合几何性质用a ,b表示AE ,AF ,结合已知条件，构造方程组，即可求解λ,μ的值，即可求解.【解答过程】解：设AB =a ,AD =b，∵在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 在线段DC 上，且CF =2DF ，∴AE =a +12b ,AF =13a +b ，∵AC =λAE +μAF ，λ,μ均为实数，AC =a +b ，∴AC=a +b =λa +12b +μ13a +b ，∴λ+μ3=1λ2+μ=1，解得:λ=45,μ=35，∴λ+μ=75．故答案为：75．12.(23-24高一上·江苏苏州·期末)如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若MN=λ1AM +λ2BN ，λ1,λ2∈R ，则λ1+λ2的值为25.【解题思路】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.【解答过程】因为M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，所以MN =12BD =12(AD -AB )=12AD -12AB ,AM =AB +BM =AB +12AD ,BN =BC +CN =AD -12AB ,所以MN =λ1AM +λ2BN =λ1AB +12AD +λ2AD -12AB =λ1-12λ2 AB +12λ1+λ2 AD ,所以λ1-12λ2=-12 12λ1+λ2=12，解得λ1=-15λ2=35，所以λ1+λ2=-15+35=25，所以λ1+λ2的值为25.故答案为：25.【题型4利用等和线求基底系数和的最值(范围)】13.(2024·山东烟台·三模)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB+yAC ，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.1【解题思路】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.【解答过程】作BC 的平行线与圆相交于点P ，与直线AB 相交于点E ，与直线AC 相交于点F ，设AP =λAE +μAF ，则λ+μ=1，∵BC ⎳EF ，∴设AE AB =AF AC =k ，则k ∈0,43∴AE =kAB ,AF =kAC ，AP =λAE +μAF =λkAB +μkAC ∴x =λk ,y =μk∴2x +2y =2(λ+μ)k =2k ≤83故选：A .14.(23-24高三上·河北沧州·期中)如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABCD 内任意一点(含边界)，且AP =λAB +μACλ,μ∈R ，则λ+μ的取值范围是()A.0,1B.0,2C.0,3D.0,4【解题思路】根据题意，将图形特殊化，设AD 垂直平分BC 于点O ，的DO =2AO ，当点P 与点A 重合和点P 与点D 重合时，分别求得λ+μ的最值，即可求解.【解答过程】根据题意，将图形特殊化，设AD 垂直平分BC 于点O ，因为△BCD 与△ABC 的面积之比为2，则DO =2AO ，当点P 与点A 重合时，可得AP =0，此时λ=μ=0，即λ+μ的最小值为0；当点P 与点D 重合时，可得AP =3AO =3×12AB +12AC =32AB +32AC，此时λ=μ=32，即λ+μ，此时为最大值为3，所以λ+μ的取值范围为0,3 .故选：C .15.(23-24高一下·福建泉州·阶段练习)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC (λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是[0,1].【解题思路】根据题意，设AN =tAM，然后分t =0与0<t ≤1讨论，结合三点共线定理代入计算，即可得到结果.【解答过程】由题意，设AN =tAM，0≤t ≤1 ，当t =0时，AN =0 ，所以λAB +μAC =0，所以λ=μ=0，从而有λ+μ=0；当0<t ≤1时，因为AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，所以tAM =λAB +μAC ，即AM =λt AB +μtAC ，因为M 、B 、C 三点共线，所以λt +μt=1，即λ+μ=t ∈0,1 .综上，λ+μ的取值范围是[0,1].故答案为：[0,1].16.(23-24高一下·广西桂林·期末)已知O 为△ABC 内一点，且4OA +8OB +5OC =0 ，点M 在△OBC 内(不含边界)，若AM =λAB +μAC ，则λ+μ的取值范围是1317,1．【解题思路】设AO =mAB +nAC ，根据题意结合平面向量基本定理可得AO =817AB +517AC，设OM =xOB +yOC ，且0<x +y <1x >0y >0，整理可得AM =817+917x -817y AB +517-517x +1217y AC，进而可得结果.【解答过程】设AO =mAB +nAC ,m ,n ∈R ，即OA =-AO =-mAB -nAC，可得OB =OA +AB =1-m AB -nAC ,OC =OA +AC =-mAB +1-n AC ，因为4OA +8OB +5OC =0 ，即4-mAB -nAC +81-m AB -nAC +5-mAB +1-n AC =0，整理可得8-17m AB +5-17n AC =0，且AB ,AC 不共线，则8-17m =5-17n =0，解得m =817,n =517，即AO =817AB +517AC ，OB =917AB -517AC ,OC =-817AB +1217AC ，又因为点M 在△OBC 内(不含边界)，设OM =xOB +yOC,x ,y ∈R ，且0<x +y <1x >0y >0，可得OM =917x -817y AB +-517x +1217y AC ，则AM =AO +OM =817+917x -817y AB +517-517x +1217y AC ，可得λ=817+917x -817y μ=517-517x +1217y，可得λ+μ=1317+417x +y ，且0<x +y <1，可得λ+μ=1317+417x +y ∈1317,1，所以λ+μ的取值范围是1317,1.故答案为：1317,1.一、单选题1.(2024·四川绵阳·三模)如图，在△ABC 中，AF =BF =6,EF =5，则EA ⋅EB=()A.-11B.-13C.-15D.15【解题思路】根据极化恒等式，结合已知数据，直接求解即可.【解答过程】因为a ⋅b=a +b 2 2-a -b 22，故EA ⋅EB =EA +EB 2 2-EA -EB22=EF 2-BF 2=25-36=-11.故选：A .2.(2024·陕西西安·一模)在△ABC 中，点D 是线段AC 上一点，点P 是线段BD 上一点，且CD =DA ，AP=23AB+λAC ，则λ=()A.16B.13C.23 D.56【解题思路】依题意可得AC =2AD ，即可得到AP =23AB +2λAD ，再根据平面向量共线定理的推论得到23+2λ=1，解得即可.【解答过程】因为CD =DA ，所以AD =12AC ，即AC =2AD，又AP =23AB +λAC ，所以AP =23AB +2λAD ，因为点P 是线段BD 上一点，即B 、P 、D 三点共线，所以23+2λ=1，解得λ=16.故选：A .3.(2024高三·全国·专题练习)在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，且AE =13AD ，AF =2AE ，AB ⋅AC =6，FB ⋅FC =-2，则EB ⋅EC =()A.-1B.2C.-12D.1【解题思路】利用向量的线性运算及向量的数量的运算律即可求解.【解答过程】AB ⋅AC =AD +DB ⋅AD -DB =AD 2-DB 2=6，同理可得FB ⋅FC =FD 2-DB 2=-2，又AE =13AD ，AF =2AE ，所以AD 2=9FD 2，所以FD 2=1，DB 2=3，EB ⋅EC =ED 2-DB 2=4FD 2-DB 2=4×1-3=1.故选：D .4.(2024·陕西榆林·三模)在△ABC 中，E 在边BC 上，且EC =3BE ,D 是边AB 上任意一点，AE 与CD 交于点P ，若CP =xCA +yCB，则3x +4y =()A.34B.-34C.3D.-3【解题思路】利用向量的线性运算，得CP =CE +EP =tCA +34-34t CB，再利用平面向量基本定理，可得x =t ,y =34-34t ，然后就可得到结果.【解答过程】∵A 、P 、E 三点共线，设EP =tEA(0<t <1)，则CP =CE +EP =34CB +tEA =34CB +t CA -34CB =tCA +34-34t CB ，又∵CP =xCA +yCB ，所以x =t ,y =34-34t ，即3x +4y =3.故选：C .5.(23-24高三下·湖南长沙·阶段练习)向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a ⋅b =14AD 2-BC 2，我们称为极化恒等式.已知在△ABC 中，M 是BC 中点，AM =3，BC =10，则AB ⋅AC=()A.-16B.16C.-8D.8【解题思路】可以把三角形补形为平行四边形，AM =12AD,利用已知条件求解即可.【解答过程】由题设，△ABC 可以补形为平行四边形ABDC ，由已知得AM =3, BC =10,AB ⋅AC =144AM |2- BC |2 =14×36-100 =-16．故选：A ．6.(2024·全国·模拟预测)如图，在△ABC 中，AN =tNC (t >0)，BP =λPN (λ>0)，若AP =34AC -14BC ，则λ+t 的值为()A.7B.6C.5D.4【解题思路】表达出AP，利用平面向量基本定理求出λ,t ，即可求出λ+t 的值.【解答过程】由题意及图可得，∵BP =λPN ，∴AP =AB +BP =AB +λλ+1BN =AB +λλ+1-AB +AN =AB 1+λ+λAN1+λ，∵AN =tNC(t >0)，∴AN =t t +1AC ,AP =AB1+λ+tλ(1+t )(1+λ)AC ．∵AP =34AC -14BC =34AC -14-AB +AC =14AB +12AC ，∴11+λ=14，tλ(1+t )(1+λ)=12，解得：λ=3，t =2，λ+t =5，故选：C ．7.(23-24高三上·山东潍坊·期末)已知正方形ABCD 的边长为2，MN 是它的内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是()A.[0，1]B.0,2C.[1，2]D.-1,1【解题思路】作出图形，考虑P 是线段AB 上的任意一点，可得出PO ∈1,2 ，以及PM =PO +OM ，PN=PO -OM ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得PM ⋅PN 的取值范围.【解答过程】如下图所示：考虑P 是线段AB 上的任意一点，PM =PO +OM ，PN =PO +ON =PO -OM ，圆O 的半径长为1，由于P 是线段AB 上的任意一点，则PO∈1,2 ，所以，PM ⋅PN =PO +OM ⋅PO -OM =PO 2-OM 2∈0,1 .故选：A .8.(2024·河北沧州·三模)对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△ABC 中，AB =2，以三条边为直径向外作三个半圆，M 是三个半圆弧上的一动点，若BM =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.12B.33C.1D.32【解题思路】过点M 作MP ⎳BC ，设AP =kAB ，AQ =kAC ，得到BM =kx -1 AB +kyAC ，再由BM=λAB +μAC ，求得λ+μ=k -1，结合圆的性质，当PM 与半圆BC 相切时，k 最大，分别求得AB ,AE 的长，即可求解.【解答过程】如图所示，过点M 作MP ⎳BC ，交直线AB ,AC 于点P ,Q ，设AM =xAP +yAQ ，可得x +y =1.设AP =kAB ，AQ =kAC ，则BM =AM -AB =kx -1 AB +kyAC ，因为BM =λAB +μAC ，所以λ+μ=kx -1+ky =k -1，由图可知，当PM 与半圆BC 相切时，k 最大，又由AB =2，BE =1sin π3=233，可得AE =2+233=6+233，所以k =AE AB=3+33，即k 最大为3+33，所以λ+μ的最大值为33.故选：B .二、多选题9.(23-24高一下·江苏南京·期中)在△ABC 中，点D 是线段BC 上任意一点，点M 是线段AD 的中点，若存在λ,μ∈R 使BM =λAB +μAC，则λ,μ的取值可能是()A.λ=-35,μ=110 B.λ=1,μ=-32 C.λ=-910,μ=25 D.λ=-710,μ=35【解题思路】令BD =mBC 且m ∈[0,1]，根据向量对应线段的位置、数量关系用AB ,AC 表示BM，进而得到m 与λ,μ关系，最后求λ,μ范围和数量关系，即可得答案.【解答过程】令BD =mBC 且m ∈[0,1]，而BM =12(BA +BD )=12(BA+mBC )，又BC =BA +AC ，则BM =12[BA +m (BA +AC )]=-1+m 2AB +m 2AC，所以λ=-1+m2μ=m2，则λ∈-1,-12 ，μ∈0,12且λ+μ=-12，故A 、C 满足，B 、D 不满足.故选：AC .10.(23-24高一下·四川成都·阶段练习)如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，M 为线段AD 上的动点，若BM =λBE +μBD ，则λ+μ的值可以是()A.32B.12C.1D.2【解题思路】设AM =kAD ，其中0≤k ≤1，利用平面向量的线性运算可得出λ=21-kμ=k ，求出λ+μ的取值范围，即可得出合适的选项.【解答过程】因为M 在线段AD 上，设AM =kAD ，其中0≤k ≤1，则BM -BA =k BD -BA，所以，BM =1-k BA +kBD ，因为E 为BA 的中点，则BA =2BE ，所以，BM =21-k BE +kBD，又因为BM =λBE +μBD 且BE 、BD 不共线，则λ=21-kμ=k ，所以，λ+μ=21-k +k =2-k ∈1,2 ，故ACD 选项满足条件.故选：ACD .11.(23-24高一下·陕西西安·阶段练习)(多选)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD =λBC λ∈R ，AD ⋅AB =-32，则()A.AB ·BC =9B.实数λ的值为16C.四边形ABCD 是梯形D.若M ，N 是线段BC 上的动点，且MN =1，则DM ⋅DN 的最小值为132【解题思路】利用数量积的定义，结合已知条件，计算判断AB ；取λ=1说明判断C ；取MN 的中点E ，利用数量积的运算律建立函数关系并求出最小值.【解答过程】对于A ，AB ⋅BC =|AB ||BC |cos120°=3×6×-12=-9，A 错误；对于B ，由AD =λBC，得AD ⎳BC ，∠A =120°，此时λ>0，AD ⋅AB =|AD ||AB |cos A =3|AD |cos120°=-32，则|AD |=1=16|BC |，即λ=16，B 正确；对于C ，由选项B 得AD =16BC，即有AD ⎳BC ,AD <BC ，则四边形ABCD 是梯形，C 正确；对于D ，取MN 的中点E ，连接DE ，则DM ⋅DN =(DE +EM )⋅(DE +EN)=DE 2-EM 2=DE 2-14，由AD ⎳BC ，得点D 到直线BC 距离等于点A 到直线BC 距离AB sin60°=332，即|DE |min =332，所以DM ⋅DN 的最小值为332 2-14=132，D 正确.故选：BCD .三、填空题12.(2024·新疆·二模)在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC ，点E 是线段BC 的中点，若AE =λAB +μAD ，则λ+μ=54.【解题思路】连接CF ,依题意可得▱AFCD ,利用平面向量基本定理，将AE 用AB 和AD表示出来即得.【解答过程】如图，取AB 的中点F ，连接CF ，则由题意可得CF ∥AD ，且CF =AD .∵AE =AB +BE =AB +12BC =AB +12FC -FB =AB +12AD -12AB =34AB +12AD ，∴λ=34,μ=12,λ+μ=54.故答案为：54.13.(23-24高一下·黑龙江大庆·期末)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点BA ⋅CA =5，BF ⋅CF =-2，则BE ⋅CE 的值是58.【解题思路】将BA ,CA ,BF ,CF 均用BC ,AD 表示出来，进而将BA ⋅CA ，BF ⋅CF 表示成与FD ,BC相关，可以求出FD 2=78,BC 2=232，同时BE ⋅CE 可用FD ,BC表示，即可求出结果.【解答过程】因为BA ⋅CA =12BC -AD ⋅-12BC -AD =4AD 2-BC 24=36FD 2-BC 24=5，BF ⋅CF =12BC -13AD ⋅-12BC -13AD =4FD 2-BC 24=-2，因此FD 2=78,BC 2=232，BE ⋅CE =12BC -ED ⋅-12BC -ED =4ED 2-BC 24=16FD 2-BC 24=58.故答案为：58.14.(23-24高三·广东阳江·阶段练习)在面积为2的平行四边形ABCD 中，点P 为直线AD 上的动点，则PB ⋅PC +BC 2的最小值是23．【解题思路】根据向量的数量积运算律，可得PB ⋅PC +BC 2=PQ 2+34BC 2，进而根据基本不等式即可求解最值.【解答过程】取BC 的中点Q ，连接PQ ，因为平行四边形ABCD ，面积为2，所以PQ BC ≥2，PC +PB =2PQ ,PB ⋅PC =14PC +PB2-PC -PB 2，∴PB ⋅PC +BC 2=14PC +PB 2-PC -PB 2 +BC 2=PQ 2+34BC 2≥234PQ 2⋅BC 2≥23，此时PQ ⊥BC ，且PQ =32BC，故答案为:2 3.四、解答题15.(23-24高一下·甘肃白银·阶段练习)如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．(1)用AB ，AD 方表示AE ；(2)若AF =λAB +μAD ，求λ+μ的值．【解题思路】(1)根据平面向量的线性运算即可得解；(2)由三角形相似得DF =13AB，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解.【解答过程】(1)由题意得，ED =14BD ，所以AE ⃗=AD ⃗+DE ⃗=AD ⃗+14DB ⃗=AD ⃗+14(AB ⃗-AD ⃗)=14AB ⃗+34AD ⃗；(2)如图，因为DC ⎳AB ，所以DF ⎳AB ，所以△DEF 与△BEA 相似，所以FD AB=DE BE =13,所以DF =13AB ，所以AF =AD +DF =AD +13AB ，因为AF =λAB +μAD ，所以λ=13,μ=1，所以λ+μ=43.16.(23-24高一下·江苏苏州·期中)阅读一下一段文字：a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2，a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2，两式相减得(a +b )2-(a -b )2=4a ·b ⇒a ·b =14[(a +b )2-(a -b)2]我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．(1)若AD =6，BC =4，求AB ⋅AC 的值；(2)若AB ⋅AC =4，FB ⋅FC =-1，求EB ⋅EC 的值．【解题思路】(1)根据“极化恒等式”列出式子计算即可(2)设AD ⃑=3m ,BC ⃑=2n (m >0,n >0)，根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于m ,n 的方程组，解出m ,n ，再根据“极化恒等式”计算出EB ⋅EC的值【解答过程】(1)AB ·AC =14[(AB +AC )2-(AB -AC )2]=AD 2-14CB 2=36-4=32(2)设AD ⃑=3m ,BC ⃑=2n (m >0,n >0)∵AB ⋅AC =4，由(1)知AD 2-14CB 2=4，即9m 2-n 2=4①∵FB ·FC =-1,同理可得FD 2-14CB 2=-1，即m 2-n 2=-1②由①②解得m 2=58,n 2=138∴EB ·EC =ED 2-14BC 2=4m 2-n 2=208-138=78.17.(23-24高一上·辽宁大连·期末)在三角形ABC 中，AB =a ，AC =b ，BE =2EC，D 为线段AC 上任意一点，BD 交AE 于O .(1)若CD =2DA .①用a ，b表示AE ；②若AO =λAE ，求λ的值；(2)若BO =xBA +yBC ，求12x +13y +1的最小值.【解题思路】(1)①利用向量的几何运算求解；②设BO =tBD 0<t <1 ，然后用AB ,AC 表示AO，然通过AO =λAE ，将AO 也用AB ,AC 表示，然后利用系数对应相等列方程组求解；(2)设AO =mAE 0<m <1 ，将BO 用BA ,BC 表示，然后利用系数对应相等将x ,y 用m 表示，然后利用基本不等式求最值.【解答过程】(1)①因为BE =2EC ，所以BE =23BC ，故在△ABE 中，AE =AB +BE =AB +23BC =AB +23AC -AB =AB -23AB +23AC =13AB+23AC =13a +23b ；②因为B ，O ，D 三点共线，设BO =tBD0<t <1 ，所以AO =AB +BO =AB +tBD =AB +t AD -AB =1-t AB +tAD ，因为CD =2DA ，所以AD =13AC ，所以AO =1-t AB +t 3AC又由①及已知，AO =λAE =λ3AB +2λ3AC，所以1-t =λ3t 3=2λ3，解得λ=37；(2)因为BE =2EC ，又A ，O ，E 三点共线，设AO =mAE0<m <1 ，所以BO =BA +AO =BA +mAE =BA +m BE -BA =BA +m 23BC -BA=1-m BA +2m 3BC ，又因为BO =xBA +yBC ，所以x =1-my =2m3，12x +13y +1=121-m +12m +1=13121-m +12m +121-m +2m +1 =132+2m +12-2m +2-2m 2m +1 ≥132+22m +12-2m ×2-2m 2m +1=43，当且仅当2m +12-2m =2-2m 2m +1，即m =14时取得等号，所以12x +13y +1的最小值为43.18.(23-24高一下·湖南邵阳·期末)如图，已知四边形ABDE 为平行四边形，点C 在AB 延长线上，点M 在线段AD 上，且AB =12BC ,AM =13AD ，设AB =a ,AE =b .21(1)用向量a ，b 表示CD ；(2)若线段CM 上存在一动点P ，且AP =ma +nb m ,n ∈R ，求n 2+mn 的最大值.【解题思路】(1)根据向量的运算法则，结合CD =CB +BD =-2AB +AE ，即可求解；(2)由M ,P ,C 三点共线，得到AP =tAM +(1-t )AC ，化简得到AP =3-8t 3 a +t 3b ，根据AP =ma +nb ，求得m =3-8t 3，n =t 3，令f t =n 2+mn =-79t 2+t ，结合二次函数的性质，即可求解.【解答过程】(1)因为四边形ABDE 为平行四边形，可得BD =AE ，且AB =12BC ,AM =13AD ，由向量的运算法则，可得CD =CB +BD =-2AB +AE =-2a +b ．(2)由AM =13AD =13AB +AE =13a +b ，AC =3AB =3a 因为点P 在线段CM 上，即点M ,P ,C 三点共线，所以存在唯一的实数t ，其中t ∈0,1 ，使得AP =tAM +(1-t )AC ,所以AP =t ×13a +b +(1-t )⋅3a =3-8t3 a +t 3b ，又因为AP =ma +nb ，所以m =3-8t 3，n =t 3，令f t =n 2+mn =t 29+t 33-8t 3 =-79t 2+t ，可得函数f t 对称轴为直线t =914∈0,1 ，故f t max =-79×914 2+914=928，即n 2+mn 的最大值为92819.(23-24高一下·广东潮州·阶段练习)阅读以下材料，解决本题：我们知道①(a +b )2=a 2+2a ⋅b +b 2；②(a -b )2=a 2-2a ⋅b +b 2.由①-②得(a +b )2-(a -b )2=4a ⋅b ⇔a ⋅b =(a +b )2-(a -b )24，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形ABCD 中，BD =8,AB ⋅AD =48，E 为BD 中点.22(1)若cos ∠BAD =1213，求△ABD 的面积；(2)若2AE =EC ，求CB ⋅CD 的值；(3)若P 为平面ABCD 内一点，求P A ⋅PB +PD 的最小值.【解题思路】(1)结合数量积的定义和三角形面积公式求解；(2)根据“极化恒等式”列出式子计算即可(3)连接P A ，PE ，取AE 的中点H ，连接PH ，将P A ⋅PB +PD 进行转化求最值.【解答过程】(1)因为AB ⋅AD =48，所以AB AD cos ∠BAD =48，即AB AD ×1213=48，所以AB AD =52，又cos ∠BAD =1213，所以sin ∠BAD =513，所以S △ABD =12AB AD sin ∠BAD =12×52×513=10；(2)因为AB ⋅AD =48，BD =8，由极化恒等式得AB ⋅AD =(AB +AD )2-(AB -AD )24=(2AE )2-BD 24=AE 2-BD 24=AE 2-16=48，所以AE =8，又2AE =EC ，所以EC =2AE =16，由极化恒等式得CB ⋅CD =(CB +CD )2-(CB -CD )24=(2CE )2-BD 24=CE 2-BD 24=256-16=240；(3)连接P A ，PE ，取AE 的中点H ，连接PH ，由AE =8，EH =12AE =4，则P A ·PB +PD =P A ⋅2PE =2P A ⋅PE =2PH 2-EH 2 =2PH 2-42 ≥2×0-16 =-32，所以当点P 与H 重合时，P A ·PB +PD min =-32.。
高中数学极化恒等式专题习题含答案(图片版)
向量之极化恒等式专题一、极化恒等式原理：代数原理：22()()4a b a b ab +--=向量原理：22()()4a b a b a b +--⋅=ABDC 中有如下向量关系：2222()()44AB AC AB AC AD CB AB AC +---⋅==即：平行四边形临边对应的向量的数量积等于和对角线平方与差对角线平方之差的四分之一在ABC 中有如下向量关系：2222222222()()41=444414AB AC AB AC AD CB AE CB AB AC AE CBAB AC AE CB+----⋅===-⇒⋅=-即：在三角形中相邻两边所在向量的数量积等于相应中线的平方与四分之一对边平方之差。
极化恒等式构建了向量的数量积和几何图形之间的关系，对高考中向量的一类问题可以起到“秒杀”的作用。
备注：ABDC 中还有一组关系22222()AD CB AB AC +=+ ,同学们可以自行推导。
二、极化恒等式秒杀一类向量题赏析：例1.已知Rt ABC ∆的斜边AB 的长为4，设P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则PA PB ⋅的取值范围是例2.如图，圆O 为Rt ABC ∆的内切圆，已知03,4,90AC BC C ==∠=，过圆心O 的直线l 交圆于,P Q 两点，则BP CQ ⋅的取值范围是例3.已知点,A B 分别在直线1,3x x ==上，4OA OB -= ,当OA OB +取得最小值时，OA OB ⋅的值为例4.在Rt ABC ∆中，090,3,4,ACB AC AB ∠===若点,A B 分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，OA OC ⋅的最大值是例5.已知,A B 为椭圆2214x y +=的一条动弦，且经过原点，M 为直线34150x y --=上的一个动点，则MA MB ⋅的最小值为例6.在锐角ABC 中，已知3B π∠=，2AB AC -= ，则AB AC ⋅ 的最值范围是例7.在平面上，2121,1AB AB AP AB AB +===⊥21<的取值范围是例8.已知向量c b a ,,()()0,12=-⋅-===c b c a-的取值范围是Ans ：7.⎥⎦⎤⎝⎛227，8..[]17,1-7+，三、牛刀小试1.在ABC 中，M 是BC 的中点，3,10,AM BC AB AC ==⋅=则2.设ABC ，0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则（）A.090ABC ∠= B.090BAC ∠= C.AB AC = D.AC BC=3.如图，已知直线AB 与抛物线24y x =交于点,.A B M 为AB 的中点，C 为抛物线上一个动点，若0C 满足{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅，则下列一定成立的是（）A.0C M AB ⊥B.00,C M l l C ⊥其中为抛物线过点的切线C.00C A C B⊥ D.012C M AB =4.在正ABC 中，D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则AB AD ⋅=5.已知,a b 是平面内2个互相垂直的单位向量，若向量c满足()()0a c b c -⋅-= ，则c的最大值是6.设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧 APB 上（如图所示），则PC PD ⋅的取值范围是7.（2012苏模拟）在ABC 中，点,E F 分别是线段,AB AC 的中点，点P 在直线EF上，若ABC 的面积为2，则2PC PB BC ⋅+ 的最小值是8.如图，在半径为1的扇形AOB 中，060AOB ∠=，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值为9.如图放置的边长为1的正方形ABCD 顶点分别在x 轴，y 轴的正半轴（含原点）滑动，则OB OC ⋅的最大值为10.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为11.点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅的取值范围是12.若平面向量b a ,满足23a b -≤，则b a ⋅的最小值是13.已知B A ,是单位圆上的两点，O 为圆心，且32π=∠AOB ，MN 是圆O 的一条直径，点O 在圆内，且满足())10(1<<-+=λλλOB OA OC ，则CN CM ⋅的取值范围是14.已知AB 是圆O 的直径,AB 长为2,C 是圆O 上异于,A B 的一点,P 是圆O 所在平面上任意一点,则()PA PB PC +⋅的最小值为Ans ：1.16- 2.D 3.B4.2155.26.[]16,07.328.161-9.210.211.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2112.49-13.⎪⎭⎫⎢⎣⎡-0,4314.21-。
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极化恒等式作业详解 1. 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，90,4,
3C AC BC ︒∠===，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且EF=1，则DE DF ⋅最小值为______
【答案】154
【解析】 设EF 的中点为M ，连接CM ，则1||2
CM =，即点M 在如图所示的圆弧上， 则2222
11115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---=≧ 2. 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=14
AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅,则三角形ABC 形状为_______.
【答案】C 为顶角的等腰三角形.
【解析】
取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B PC ⋅⋅
222
2011||||||44
PD BC P b BC ∴--0||PD P D ∴ 0P D AB ∴⊥,设O 为BC 的中点，OC AB AC BC ∴⊥∴=
即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.
3. 已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一
点，则()PA PB PC ⋅+的最小值是_____
【答案】32
- 【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,
222133()22||||2||222
PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥- 当且仅当M 与P 重合时取等号
4. 直线0ax by c ++=与圆22
0:16x y +=相交于两
点M,N,若222c a b =+，P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为_______
【答案】[6,10]- 【解析】 圆心O 到直线0ax by c ++=的距离为22||
1c d a b ==+
设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-
||||||||||OP OA PA OP OA -+
23||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈-
5. 如图，已知B,D 是直角C 两边上的动点，
,||3,AD BD AD ⊥=,6BAD π
∠=
12()CM CA CB =+1()2
CN CD CA =+，则CM CN ⋅的最大值为______
【答案】1(134)4
+ 【解析】
设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，22213()(3)246
11HG =+= 21||4CM CN CG ⋅=-221||||16
MN CG =- 2
11311311||||||(134)2424164CG CH HG CM CN ⎛⎫+=+∴⋅+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭
所以CM CN ⋅的最大值为
1(134)4+。