极化恒等式

巧用极化恒等式秒杀高考向量题冷世平整理说明：由于前几天，大家经常提到极化恒等式，本人便收集整理了一些相关资料，相对较系统，且加入了群里大家讨论的部分题目，由于相当一部分内容非原创，所以只和大家分享一下自己整理的好东西而已，故不作投稿使用。

高中数学中存在着大量等量关系，如立方差(和)公式、二项展开式、两角和与差公式等.在高中数学中常能见到这些等量关系的身影，这也是高中教学重点关注的对象.但有些等量关系看似冷门，甚至课本上都不出现，但它在问题解决过程中却能起到立竿见影的效果，实现对问题的快速“秒杀”，极化恒等式就是可以“秒杀”高考向量题的一个有力工具。

1.极化恒等式极化恒等式最初出现于高等数学中的泛函分析，它表示数量积可以由它诱导出的范数来表示，把这个极化恒等式降维至二维平面即得：21()()4a b a b a b 2⎡⎤⋅=+--⎣⎦ ，有时也可将其写成。

224()(a b a b a b ⋅=+-- )注：21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣ 2⎤⎦表明向量的内积运算可以由向量线性运算的模导出(也是向量内积的另一种定义)，是沟通向量内积运算和线性运算的重要公式.若是实数，则恒等式,a b 21()()4a b a b a b ⎡⋅=+--⎣2⎤⎦也叫“广义平方差”公式； 极化恒等式的几何意义是:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14，即222214a b AD BC AM BM ⎡⎤⋅=-=-⎣⎦ （如图）在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22214a b AM BM AM BC ⋅=-=-2，它揭示了三角形的中线与边长的关系。

此恒等式的精妙之处在于建立起了向量与几何长度(数量)之间的桥梁，实现了向量与几何、代数的巧妙结合。

2．极化恒等式的应用自向量引入高中数学以后，由于它独特的性质(代数与几何的桥梁)，在近几年全国各地的高考中迅速成为创新题命制的出发点，向量试题有着越来越综合，越来越灵活的趋势，在浙江省数学高考中尤为突出，也出现了一些非常精美的向量题。

例1在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则______AB AC ⋅=（年浙江省数学高考理科试题第15题）2012【分析】该问题就是利用极化恒等式解决的极好范例，因为21925162AB AC AM BC ⋅=-=-=-。

下面我们再来看年浙江省数学高考选择题第题:20137例2设是边0,ABC P ∆AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点，恒有P00PB PC P B P C ⋅≥⋅.90A ABC ∠= ，则.9B BAC ∠= 0.C AB AC = .D AC BC =(年浙江省数学高考选择题第题)20137【分析】考生普遍反映该题无从入手，笔者认为主要原因有2个:⑴该题呈现方式比较新颖;⑵学生解题工具使用不当，以致费时费力且不得要领。

【解析1】如图，取BC 的中点D ，连接，在内使用极化恒等式得0,PD P D PBC ∆22PB PC PD BD ⋅=- ，在内使用极化恒等式得，由条件知恒有0P BC ∆22BD - 00P C P D ⋅= 0P B 0P D ≥PD ，即，故0P D AB ⊥AC BC =，故选D 。

【解析2】如图，取线段BC 的中点M ，则22224()4()4PB PC PB PC PB PC PM BC ⋅=+--=- ，要使的值最小，只需PB PC ⋅ PM 取得最小值，所以只有当MP AB ⊥时，PM取得最小值，且点与点必须重合，P 0P M 是线段BC 的中点，只有时才能成立，故选AC BC =D 。

很多一线教师都认为这个题目在10个选择题中是最难的，应该放在压轴的位置，笔者却不这样认为，其实这个题目只是在例1的基础上对极化恒等式的应用灵活化，步子迈得更大一些而己，这个题目的姊妹题也出现在年浙江省高中数学联赛中：2013例3如图，已知直线与抛物线交于点为的中点，C 为抛物线上一个动点，若满足AB 24y =x ,,A B M AB 0C {}00A C B CA CB ⋅=⋅min C，则下列一定成立的是（ ）0.A C M AB ⊥ 0.B C M l ⊥，其中l 为抛物线过点的切线0C 00.C C A C B ⊥ 01.2D C M AB =（20年浙江省高中数学联赛试题）13【解析1】由{}00min C A C B CA CB ⋅=⋅得00CA CB C A C B ⋅≥⋅ 220C M 2y ⑴，由极化恒等式知式⑴等价于，即，即抛物线22CM AM 220C M AM -≥- CM ≥ 4x =上所有点到M 的距离最近的点即，故以0C M 为圆心，0MC 为半径的圆与抛物线内切，故选B 。

【解析2】2244CB CA CM AB ⋅=- ，因为AB 给定，显然要使CB CA ⋅ 最小，只需CM最小，即，其中l 是抛物线过点的切线。

0C M l ⊥0C 需要说明的是，命题组并没有说明l 是一条什么样的直线，其实直线是:当以定点l M 为圆心的圆与抛物线相切时的公切线。

24y =x 例4在正中，ABC ∆D 是BC 上的点，3,1AB BD ==，则______AB AD ⋅=(年上海市数学高考试题第11题)2011【分析】这是极化恒等式的直接变式范例。

【解析】设BD 的中点为E，则222222244AE 44113AB AD BD AO OE BD ⎡⎤⋅=-+-=+-=⎢⎥⎣⎦=，则152AB AD ⋅= 。

例5已知是平面内个互相垂直的单位向量，若向量,a b2c 满足()()a c b c 0-⋅-= ，则c 的最大值是( ).1A .2BC2D (年浙江省数学高考理科试题第题)20089【解析】本题从表面上看似乎和“极化恒等式”并没有关系，事实上，根据“极化恒等式”有，从而224()()()()()()a c b c a c b c a c b c ⎡⎤⎡-⋅-=-+-----⎣⎦⎣ ⎤⎦22()(22a b a b c +--=。

如图，设OA ，且为线段的中点，显然OB ⊥ ,,,OA a OB b OC c D ===AB 21,(222=a b a b a b ODDC c ++-==-=，上式表明，DC 是有固定起点，固定模长的动向量，即点C 的轨迹是以D 为起点，以2为半径的圆，因此，c ，故选C 。

事实上，类似的问题时有看到，只是很多时候用其他的方法取代了“极化恒等式”，或在无意中使用“极化恒等式”。

例6在中，是边ABC ∆2,3,AB AC D ==BC 的中点，则_____AD BC ⋅=(2年天津市数学高考文科试题第15题)007【解析】根据“极化恒等式”有2215()()22AB AC AD BC AC AB AC AB +⋅=⋅-=-=2。

本题的解决涉及到三角形的边及中线的关系，这可以看作是年浙江省数学高考试题第题的最初原型。

20137例7设正方形的边长为，动点在以为直径的圆弧ABCD 4P AB APB 上(如图所示)，则 PC PD ⋅的取值范围是【解析】取CD 中点E ，联结，在PE PDC ∆内使用极化恒等式得2222144PC PD PE ED PE CD ⋅=-=-- 2PE = ，由图可知，PE ⎡∈⎣，故。

[]0,16PC PD ⋅∈ 例8在中，点ABC ∆,E F 分别是线段,AB AC 的中点，点在直线P EF 上，若的面积为2，则的最小值是 ABC ∆2PC PB BC ⋅+(年江苏省南京市数学高考模拟试题)2012【分析】如图，取BC 的中点D ，在内使用极化恒等式得PBC ∆22214PC PB PD BD PD ⋅=-=- 2BC ，从而22234PC PB BC PD BC ⋅+=+ ，因为的面积为，所以的高ABC ∆2ABC ∆4h BC =，又EF 为ABC ∆的中位线，故PBC ∆的高为2BC ，从而2PD BC≥，因此22PB BC ⋅+ 2434PC BC BC ≥+≥,BC BC ⊥PD =例9如图,在半径为1的扇形中, AOB 60,AOB C ∠=︒为弧上的动点,与OC 交于点,则的最小值为 AB P OP BP ⋅【解析】如图，取OB 的中点D ，作DE AB ⊥于点E ，根据极化恒等式21()()4a b a b a b 2⎡⎤⋅=+--⎣⎦ 可知，2222211()()(2)4414P PO PO PB PO PB PD BO PD ⎡⎤⎡⎤⋅==+-=-=-⎣⎦⎣⎦ OP B PB ⋅ -，易知,42PD DE ⎡⎤∈=⎢⎣⎦⎣⎦AD ，则2111,4162OP BP PD ⎡⎤⋅=-∈-⎢⎥⎣⎦ OP BP ，故⋅ 的最小值为116-。

其实本题只需要等边三角形的条件，外面的圆弧完全没用，本题还可以求的取值范围。

AOB OP BP ⋅例10如图放置的边长为1的正方形顶点分别在ABCD x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB 的最大值为 OC ⋅【解析】取BC 中点为点E ，连接，如图所示：,OB OC由极化恒等式可知，222214412OB OC OB OC OB OC OE ⋅=+--=-≤+-= 4(1)18，因而有。

2OB OC ⋅≤3．极化恒等式带来的反思⑴极化恒等式源于教材又高于教材，在ABC ∆中，11(),(22AD AB AC BD AC AB =+=-)是课本上出现的个重要的向量三角关系，而极化恒等式无非就是这个公式的逆用；22⑵具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考虑尤为简单，让“秒杀向量”成为另一种可能； ⑶向量是连接代数与几何的桥梁，由于向量的坐标运算引入，向量与代数的互换运算可以说是深入人心，而与几何的运算联系略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个缺憾，可以说极化恒等式应该是把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致； ⑷实际上，“极化恒等式”在空间中同样可以发挥作用，下面举个例子。

2例11正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,MN 是它内切球的一条弦(把球面上任意个点之间的线段称为球的弦)，为正方体表面上的动点，当弦2P MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为_【解析】设球心为，球半径为O R ，则1R =，根据极化恒等式，得2244(2)PM PN PO R ⋅=-244PO = -，因为为正方体表面上的动点，所以P PO 的最大值为正方体对角线长的一半，，于是的最大值为。

PM PN ⋅2例12点是棱长为1的正方体P 1111ABCD A B C D -的底面1111A B C D 上一点，则PA PC ⋅的取值范围是 _(年北京市朝阳区高三数学二模试题)2013【解析】设AC 的中点为M ，根据“极化恒等式”得222444PA PC PM AC PM 2⋅=-=- ，因为32≤1PM ≤ ，所以112PA ≤⋅PC ≤。