极化恒等式
极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖点二 求向量数量积的最值（范围）
磨尖点三 求参数及其他问题
磨尖课04 极化恒等式
1
4
1. 极化恒等式： ⋅ = [ +
2
2
− − 2 ].
（1）公式推导：
+
2
+ ሻ2 −
=
2
+ 2 ⋅ +
2 ,
−
2
=
2
− 2 ⋅
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差.
磨尖课04 极化恒等式
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磨尖点一 求向量数量积的定值
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典例1 （2023 ·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ⋅ =
( B ) .
A. 5
B.3
C.2 5
解析 设的中点为，由极化恒等式可得 ⋅ =
为△ 所在平面内的动点，且 = 1，则 ⋅ 的取值范围是( D ) .
A.[−5,3]
B.[−3,5]
C.[−6,4]
D.[−4,6]
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解析 （法一）依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 0,0 ， 3,0 ， 0,4 ，
磨尖课04 极化恒等式
4sin +
sin2
= 1 − 3cos − 4sin = 1 − 5sin + ，其中tan =
因为−1 ≤ sin + ≤ 1，所以−4 ≤ 1 − 5sin + ≤ 6，
3
，
4
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中线定理和极化恒等式
中线定理和极化恒等式中线定理和极化恒等式是数学中的两个重要定理，它们在不同的领域中都有着广泛的应用。
本文将分别介绍这两个定理的概念、证明和应用。
一、中线定理中线定理是指在一个三角形中，连接三角形两边中点的线段被称为中线，三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心。
中线定理指出，三角形的重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三边长之和的三分之一。
证明：设三角形ABC的三边长分别为a、b、c，三角形的重心为G，连接AG、BG、CG，分别交BC、AC、AB于D、E、F。
由于AD=BD=BC/2，BE=CE=AC/2，CF=AF=AB/2，所以三角形DEF是三角形ABC的中心三角形，且DEF的周长等于ABC的周长的一半。
因此，AG+BG+CG=2(GD+GE+GF)=2(DE+EF+FD)=3(AD+BE+CF)=3(a+b+c)/ 2。
应用：中线定理可以用于计算三角形的重心坐标，以及求解三角形的面积和周长等问题。
二、极化恒等式极化恒等式是指任意两个向量的内积可以表示为它们的模长和夹角的三角函数的乘积之和。
具体地，设向量a和b的模长分别为|a|和|b|，夹角为θ，则有a·b=|a||b|cosθ。
证明：设向量a和b的坐标分别为(a1,a2,a3)和(b1,b2,b3)，则有a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|(a1/|a|b1/|b|+a2/|a|b2/|b|+a3/|a|b3/|b|)cosθ=|a||b|cosθ。
应用：极化恒等式可以用于计算向量的内积、向量的模长和夹角等问题，也可以用于证明向量的正交性和判断向量的方向等问题。
中线定理和极化恒等式是数学中的两个重要定理，它们在不同的领域中都有着广泛的应用。
熟练掌握这两个定理的概念、证明和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都有着重要的意义。
极化恒等式的应用
极化恒等式的应用引言极化恒等式是数学中一条重要的关系式，它在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍极化恒等式的定义和性质，并给出一些具体的应用案例。
极化恒等式的定义极化恒等式是指在内积空间中，通过使用内积运算将双线性函数转化为一个向量上的光滑函数。
具体地，对于一个内积空间 V，其内积运算为 \< , \>，则对于任意两个向量v, w ∈ V，极化恒等式可以表示为：\< v, w \> = \frac{1}{4} \left(\|v + w\|^2 - \|v - w\|^2\right)其中，\|v\| 表示向量 v 的范数。
极化恒等式的性质极化恒等式具有以下一些重要的性质：1.对称性：对于任意的v, w ∈ V，极化恒等式成立。
2.线性性：极化恒等式中的向量 v 和 w 可以是任意的线性组合，对应的恒等式仍然成立。
3.正定性：当且仅当 V 是一个欧几里得空间时，极化恒等式成立。
极化恒等式在向量分析中的应用极化恒等式在向量分析中起着重要的作用，以下是一些常见的应用案例：1. 向量正交性证明假设有两个向量 v 和 w，在证明它们正交性时，可以利用极化恒等式。
通过计算 \< v, w \>，若等式右侧的值为 0，则可以得到 v 和 w 的正交性。
2. 向量长度计算对于一个给定的向量 v，可以利用极化恒等式计算其长度。
通过令 w = v，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 的长度，即 \|v\|。
3. 向量夹角计算给定两个向量 v 和 w，可以利用极化恒等式计算它们之间的夹角。
通过令 w = v - w，代入极化恒等式并求解，即可得到向量 v 和 w 之间的夹角。
极化恒等式在物理学中的应用极化恒等式在物理学中也有广泛的应用，以下是一些常见的应用案例：1. 电场的计算对于一个给定的电场分布，利用极化恒等式可以计算电场的能量密度。
通过令v 和 w 分别为电场和电位移向量，在极化恒等式中代入并求解，即可得到电场的能量密度。
有道数学关旭极化恒等式
关旭：极化恒等式
1极化恒等式的推导：
(如图，有向量OA与向量OB,两向量之和为OD,其中E为AB,OD的中点)
2使用条件：共起点内积
3适用于：平面向量，空间向量
3使用方法：找斜边中点，再使用公式代入
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例1：
解析：取BC的中点E，AD的中点为F
=
−→
−
⋅
−→
−
OC
OB
2
2−→
−
-
−→
−
EC
OE
=2
−→
−
OE
-
2
2
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
由三角形两边和大于第三边可以得到：
OE ≤OF+EF
OF 为直角三角形OAD 的中线，所以OF=2
1 EF=1
所以：−→−⋅−→−OC
OB 的最大值为2
例2：
我们在此题的基础上增加一点难度：求−→−⋅−→−PD
PC 的最小值和最大值 解答：根据“极化恒等式”的方法，我们找到斜边CD 的中点O 点，则
−→−⋅−→−PD
PC =22−→−-−→−OD PO 其中OD=1 故我们只需要判断PO 的最大值与最小值
根据三角形两边和大于第三边，我们得到：
1）PO ≤AP+AO
2）PO+AO ≥AO
(其中AP=1,AO=5)
所以PO 的最大值为（5+1），最小值为（5-1）
故：−→−⋅−→−PD
PC 的最大值为（5+25），最小值为（5+25）。
第2讲 极化恒等式
第2讲极化恒等式结论：设a b、是两个平面向量，则有恒等式()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ ，在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22AB AC AM MB =- 。
极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差，因此，当两个向量之和或之差为定值时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解。
典型例题1．（2012浙江15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB AC =．法1解：设AMB θ∠=，则AMC πθ∠=-．又AB MB MA =- ，AC MC MA =- ，∴(AB AC = )(MB MA - 2)MC MA MB MC MB MA MA MC MA -=--+，2553cos 35cos()916θπθ=--⨯-⨯-+=-，故答案为16-．法2：极化恒等式22223516AB AC AM MB =-=-=-2．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA =，1BF CF =- ，则BE CE的值是．法1解：D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF BD DF =+ ，CF BD DF =-+ ，3BA BD DF =+ ，3CA BD DF =-+ ，∴221BF CF DF BD =-=- ，2294BA CA DF BD =-= ，∴258DF = ，2138BD = ，又 2BE BD DF =+ ，2CE BD DF =-+，∴22748BE CE DF BD =-= ，故答案为：78法2：极化恒等式FDAD BD FD CF BF BD AD CA BA 3142222=-=-=∙=-=∙分别解出FD ²和BD ²的值，即可求解CMDG O3．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB的取值范围是．法1解：以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O 的直径为AB ，设(,)M x y ，则(4,0)A ，(4,0)B -，(4,)MA x y =-- ，(4,)MB x y =--- ，222(4)(4)()16MA MB x x y x y =---+-=+-，又M 是圆O 的弦CD 上一动点，且6CD =，所以2216916x y -+ ，即22716x y + ，其中最小值在CD 的中点时取得，所以MA MB的取值范围是[9-，0]．故答案为：[9-，0]．法2直接使用极化恒等式22MA MB MO OA=-4MO ≤≤ ，4OA =[]9,0MA MB ∴∈-一课一练1．（2013•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC的最大值是．2.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为()A ．2116B ．32C ．2516D ．33、（2017•新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-参考答案1）法1解：如图令OAD θ∠=，由于1AD =故0cos A θ=，sin OD θ=，如图2BAX πθ∠=-，1AB =，故cos cos()cos sin 2Bx πθθθθ=+-=+，sin()cos 2B y πθθ=-=故(cos sin ,cos )OB θθθ=+同理可求得(sin ,cos sin )C θθθ+，即(sin ,cos sin )OC θθθ=+，∴(cos sin OB OC θθ=+，cos )(sin θθ ，cos sin )1sin 2θθθ+=+，OB OC的最大值是2故答案是2法2：极化恒等式如图，取BC ，AD 中点E ，F ,22214OB OC OE EB OE =-=-根据极化恒等式13122OE OF EF ≤+=+=所以有最大值22）法1解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥ ，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 602BN AB =︒=，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan 302CM MB ∴=︒=，3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，32，C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =- ，3(2BE =- ，32m -，0m ，∴22233321(()224216416AE BE m m m =+-=-+-=-+ ，当m =2116．故选：A ．法2：极化恒等式22214EA EB EF FA EF =-=-当EF CD ⊥时，15144EF EK KF =+=+=251214416EA EB ⎛⎫=-=⎪⎝⎭最小3）法1解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．法2：极化恒等式222222()()()2PA PB PC PE EA PF FA PE PF +=-+-=+- 当P 位于EF 中点时，有最小值。
极化恒等式(教师版)
巧用极化恒等式秒杀向量高考题一、极化恒等式：1.极化恒等式：设b a ,是两个平面向量，则有恒等式])()[(4122b a b a b a --+=⋅ （1） 2.极化恒等式的几何意义：向量a 和b 的数量积b a ⋅等于以a 和b 为邻边的平行四边形的“和对角线”的平方减去“差对角线”的平方的41，即 ][41])[(41])()[(41222222BC AD BC AD b a b a b a -=-=--+=⋅在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，即22222241])2[(41])()[(41BC AM BC AM b a b a b a -=-=--+=⋅极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”的平方差的四分之一，因此，当两个向量的“和向量”与“差向量”为定向量时，常常可以考虑极化恒等式进行转化求解 二、极化恒等式的应用1.（2012年浙江高考15题）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3=AM ，10=BC ，则=⋅AC AB解法1：（基底法）)()()()(MA MB MA MB MA MC MA MB AC AB --⋅-=-⋅-=⋅1625922-=-=-=MB MA解法2：（坐标法）以点M 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,5(),0,5(C B -，设)sin 3,cos 3(θθA ，则)sin 3,cos 35(),sin 3,cos 35(θθθθ--=---=AC AB16259sin 925cos 9)sin 3()cos 35)(cos 35(222-=-=+-=-+---=⋅θθθθθAC AB 解法3：（极化恒等式）=⋅AC AB 161004194122-=⨯-=-BC AM2.（2011年上海高考11题）在正ABC ∆中，D 是BC 上的点，3=AB ，1=BD ，则=⋅AD AB解法1：（基底法）)3132(AC AB AB AD AB +⋅=⋅ AC AB AB ⋅+=313222152********=⨯⨯⨯+⨯= 解法2：（基底法）)(BA BD BA AD AB -⋅-=⋅215921132=+⨯⨯-=+⋅-=BA BD BA解法3：（坐标法）以BC 的中点O 为原点，BC 为x 轴建立平面直角坐标系，则)0,23(-B , )233,0(),0,21(A D -，所以)233,21(),233,23(--=--=AD AB所以21542743=+=⋅AD AB 解法4：（转化为其它向量的数量积）取BC 的中点E ，则BD AE ⊥所以=⋅AD AB ED EB AE EB ED AE AE ED AE EB AE ⋅+⋅+⋅+=+⋅+2)()(2152123)233(22=⨯+=⋅+=ED EB AE 解法5：（极化恒等式）取BD 的中点M ，则由极化恒等式知215411)233(412222=-+=-=⋅BD AM AD AB 3.（2016年江苏高考13题）在ABC ∆中，D 是BC 上的点，F E ,是AD 上两个三等分点，4=⋅CA BA ，1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE解法1：（基底法）设b AC a AB ==,，则4=⋅=⋅=⋅b a AC AB CA BA ①)32()32()()(AC AD AB AD AC AF AB AF CF BF -⋅-=-⋅-=⋅1)22(91)3231()3231()3131()3131(22-=--⋅=-⋅-=-+⋅-+=b a b a b a a b b b a a b a ② 联立①②得229,2=+b a所以))(61[])(61[)()(b b a a b a AC AE AB AE CE BE -+⋅-+=-⋅-=⋅87)5526(36122=--⋅=b a b a解法2：（基底法）设a DF b BD ==,，则49)3()3()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DA DB DA CA BA ① 1)()()()(22-=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DF DB DF CF BF ②联立①②得813,852==b a 所以874)2()2()()(22=-=+⋅-=-⋅-=⋅b a b a b a DC DE DB DE CE BE 解法3：（坐标法）以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设)0,(a B -， ),(),2,2(),3,3(),0,(y x F y x E y x A a C ，则4)(9)3,3()3,3(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CA BA ① 4)(),(),(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CF BF ②联立①②得813,85222==+a y x 所以813)(4)2,2()2,2(222=-+=-⋅+=⋅a y x y a x y a x CE BE 解法4：（极化恒等式）设a FD EF AE ===，则4419412222=-=-=⋅=⋅BC a BC AD AC AB CA BA ①141412222-=-=-=⋅=⋅BC a BC FD FC FB CF BF ②联立①②得81341,8522==BC a所以=⋅CE BE 87813820414412222=-=-=-=⋅=BC a BC ED EC EB4.若AB 是圆O 的直径，M 是圆O 的弦CD 上的一个动点，8=AB ，6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）设点)0,4(),0,4(B A -，设),(y x M ，则由OC OM OG ≤≤知16722≤+≤y x所以]0,9[1622-∈-+=⋅y x MB MA解法2：（极化恒等式）1641222-=-=⋅MO BC MO MB MA又OC OM OG ≤≤，即]4,7[∈OM ，所以]0,9[-∈⋅MB MA5.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上一动点，延长AE 交圆O 与点F ，则FB FA ⋅的取值范围为解法1：（坐标法）建系如图，)1,3(),1,3(B A --， 设]2,6[),sin 2,cos 2(ππθθθ-∈F ，所以 ]6,0[sin 42)sin 21,cos 23()sin 21,cos 23(∈+=---⋅----=⋅θθθθθFB FA解法2：（极化恒等式）341222-=-=⋅FD BC FD FB FA 因为CD FD BD ≤≤，即]3,3[∈FD ，所以FB FA ⋅]6,0[∈ 6.如图，放置的边长为1的正方形ABCD ，顶点D A ,分别在x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则OC OB ⋅的最大值为解法1：（坐标法）设)90,0(0∈=∠θODA ，则)0,(sin θA ，)cos ,0(θD ，)sin cos ,(cos ),sin ,cos (sin θθθθθθ++C B所以22sin 1)cos (sin cos cos )cos (sin ≤+=+++=⋅θθθθθθθOC OB 当且仅当045=θ时等号成立，所以OC OB ⋅的最大值为2 解法2：（极化恒等式）取AD BC ,的中点N M ,，则4141222-=-=⋅OM BC OM OC OB ，又23121=+=+≤MN ON OM所以241)23(2=-≤⋅OC OB ，即OC OB ⋅的最大值为27.（2012年南京模拟）在ABC ∆中，点F E ,分别为线段AC AB ,的中点，点P 在直线EF 上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅的最小值是 解析：（极化恒等式）由题意知4221=⋅⇒=⋅=∆h BC h BC S ABC 2222224341BC PO BC BC PO BC PC PB +=+-=+⋅322343)2(22≥⋅≥+≥h BC BC h8.（2012年安徽高考题）平面向量b a ,满足32≤-b a ，则b a ⋅的最小值为 解法1：222249494432b a b a b a b a b a +=+⋅⇒≤⋅-+⇒≤- 由基本不等式得894449422-≥⋅⇒⋅-≥≥+=+⋅b a b a b a b a b a ，当且仅当略 所以b a ⋅的最小值为89-解法2：（极化恒等式）]92[81]22[81)2(21222-+≥--+=⋅=⋅b a b a b a b a b a89)90(81-=-≥，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+3202b a b a 即b a ,反向共线且43=a 时等号成立， 所以b a ⋅的最小值为89-巩固练习：1.（2007年天津高考15题）在ABC ∆中，2=AB ，3=AC ，D 是边BC 的中点，则=⋅BC AD解析：=⋅BC AD 25)49(21)(21)(222=-=-=-⋅+AB AC AB AC AC AB 2.已知正ABC ∆内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的动点，则PB PA ⋅的取值范围为 解析：过点C 作AB CD ⊥于点D ，则点D 为AB 的中点，32===BC AC AB ，PB PA ⋅341222-=-=PD AB PD因为31≤≤PD ，所以PB PA ⋅]6,2[-∈3.设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的圆弧APB 上（如图所示），则PC PD ⋅的取值范围为解析：取CD 的中点E ，则441222-=-=⋅PE CD PE PC PD因为522≤≤PE ，所以]160[ ∈⋅PC PD4.（2015年南通三调）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 为半径作圆交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PD PC ⋅的最小值为解法1：（坐标法）解法2：（极化恒等式）取CD 的中点G ，则141222-=-=⋅PG CD PG PD PC又215≤≤-PG ，所以PD PC ⋅]3,525[-∈，所以PD PC ⋅的最小值为525- 5.已知AB 是圆O 的直径，2=AB ，C 是圆O 上异于，点B A ,的一点，P 是圆O 所在的平面上任意一点，则PC PB PA ⋅+)(的最小值为解析：取OC 的中点D ，则21212)41(22)(222-≥-=-⨯=⋅=⋅+PD OC PD PC PO PC PB PA6.（2017年南通二模）如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且3=OA ，5=OC ，若7-=⋅AD AB ，则=⋅DC BC解析：16417419412222=⇒-=-=-=⋅BD BD BD AO AD AB916254122=-=-=⋅=⋅BD CO CD CB DC BC7.如图，在ABC ∆中，已知4=AB ，6=AC ，060=∠BAC ，点E D ,分别在边AC AB ,上，且AD AB 2=，AE AC 3=，若F 为DE 的中点，则DE BF ⋅的值为 解法1：（极化恒等式）取BD 的中点N ，连接EB NF ,，则AE BE ⊥，所以32=BE 因为NF 是DBE ∆的中位线，所以3=FN4)1(2)41(22222=-=-=⋅=⋅FN DB FN FD FB DE BF解法2：（基底法）略 解法3：（坐标法）略备选题：1.（2008年浙江高考9题）已知b a ,是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量0)()(=-⋅-c b c a ，则c 的最大值为（ ）A.1B.2C.2D.22 解法1：（代数法）c b a c b a c b a c c b c a ⋅+=⇒=⋅+⋅+-=-⋅-)(0)()()(22所以2cos 2cos 2≤=⇒+=θθc c b a c ，故选C解法2：（坐标法）设),(),1,0(),0,1(y x OC c b a ====，则)1,(),,1(y x c b y x c a --=---=-所以21)21()21(0)1()1()()(22=-+-⇒=----=-⋅-y x y y x x c b c a所以点C 在以点)21,21(为圆心，222≤解法3：（几何法）设b a OD c OC b OB a OA +====,,,2==所以0)()(=-⋅-c b c a CB CA CB CA OC OB OC OA ⊥⇒=⋅⇒=-⋅-⇒00)()(所以点C 在以AB 的最大值为22.（2013年浙江高考7题）设点0P 是ABC ∆的边AB 上一定点，满足AB B P 410=，且对于AB 上任一点P ，恒有C P B P PC PB 00⋅≥⋅，则（ ）A.090=∠ABC B.090=∠BAC C.AC AB = D.BC AC = 解析：取BC 的中点M ，则22022004141BC M P BC PM C P B P PC PB -≥-⇒⋅≥⋅ 所以M P PM 0≥，所以AB MP ⊥0，所以BC AC =，故选D3.在平面直角坐标系xOy 中，B A ,分别在y x ,正半轴上移动，2=AB ，若点P 满足2=⋅PB PA ，则OP 解析1：（坐标法）设),0(),0,(b B a A ，),(y x P ，则422=+b a2),(),(22=--+=-⋅-=⋅=⋅by ax y x b y x y a x BP AP PB PA by ax y x +=-+⇒222324324)(4))(()()2(222222222222+≤+≤-⇒+=++≤+=-+⇒y x y x y x b a by ax y x]13,13[22+-∈+=y x解析2：（极化恒等式）取AB 的中点Q ，则121==AB OQ⇒=-=-=⋅∴2141222PQ AB PQ PB PA 3=，1313+≤+≤=≤=-∴4.梯形ABCD 中，满足AD // BC ，1=AD ，3=BC ，2=⋅DC AB ，则=⋅BD AC 解析：取BC 的两个三等分点F E ,，G 在CB 的延长线上，且1==AD BG ，则321412222=⇒=-=-=⋅=⋅AE AE BF AE AF AB DC AB=⋅BD AC 1)43()41(22=--=--=⋅-GC AE AG AC5.（2016年南京三模）在半径为1的扇形AOB 中，060=∠AOB ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则BP OP ⋅的最小值为 解析：取OB 的中点D ，则41)43(41412222-≥-=-=⋅=⋅PD OB PD PB PO BP OP 161-=6.在等腰直角ABC ∆中，1==AC AB ，点E 为斜边BC 的中点，点M 在线段AB 上运动，则)()(AM AC AM AE -⋅-的取值范围为解析：取CE 中点D ，则]42343[，∈MD]1167[8141)()(222，∈-=-=⋅=-⋅-MD CE MD MC ME AM AC AM AE7.已知B A ,是圆O ：122=+y x 上的两个点，P 是线段AB 上的动点，当AOB ∆的面积最大时，2AP AP AO -⋅的最大值为 解析：当AOB ∆的面积最大时，OB OA ⊥，所以PO PA PO AP AP AO AP AP AP AO ⋅-=⋅=-⋅=-⋅)(2取OA 的中点，则222241)41(PM OA PM PO PA AP AP AO -=--=⋅-=-⋅81)42(412=-≤。
极化恒等式
极化恒等式
1极化恒等式的推导：
(如图，有向量OA与向量OB,两向量之和为OD,其中E为AB,OD的中点) 2使用条件：共起点内积
3适用于：平面向量，空间向量
3使用方法：找斜边中点，再使用公式代入
4
例1：
解析：取BC的中点E，AD的中点为F
=
−→
−
⋅
−→
−
OC
OB
2
2−→
−
-
−→
−
EC
OE
=2
−→
−
OE
-
2
2
1
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
由三角形两边和大于第三边可以得到：
OE ≤OF+EF
OF 为直角三角形OAD 的中线，所以OF=2
1 EF=1
所以：−→−⋅−→−OC OB 的最大值为2
例2：
我们在此题的基础上增加一点难度：求−→−⋅−→−PD
PC 的最小值和最大值 解答：根据“极化恒等式”的方法，我们找到斜边CD 的中点O 点，则 −→−⋅−→−PD PC =22−→−-−→−OD
PO 其中OD=1
故我们只需要判断PO 的最大值与最小值
根据三角形两边和大于第三边，我们得到：
1）PO ≤AP+AO 2）PO+AO ≥AO
(其中AP=1,AO=5)
所以PO 的最大值为（5+1），最小值为（5-1）
故：−→−⋅−→−PD
PC 的最大值为（5+25），最小值为（5+25）。
极化恒等式平行四边形
极化恒等式平行四边形
极化恒等式是解析几何中的一个基本概念，它描述了一个点关于一个圆的极坐标与该点到圆心的距离的平方之间的关系。
在平面直角坐标系中，极化恒等式可以表示为：$x^2+y^2=r^2 cdot cos^2 theta$。
平行四边形是几何学中的一个重要概念，它是由两组平行线所夹的四边形。
一个平行四边形的两对相邻边互相平行，且对角线相交于其中心点。
在解析几何中，我们可以利用极化恒等式来推导平行四边形的性质。
具体地，对于一个平行四边形ABCD，我们可以选择其中一个角
点作为圆心O，以该点到不相邻的两条边所在直线的距离作为半径r，再利用极化恒等式可以得到ABCD的对角线相交于圆心O，且对角线
的长度相等，即AC=BD。
此外，我们还可以利用极化恒等式证明平行四边形的两条对角线平分彼此，即AO=CO，BO=DO。
具体来说，我们可以选择其中一条对
角线所在的直线作为极轴，根据极化恒等式可以得到另一条对角线上的点关于该极轴的极坐标相等，从而证明两条对角线平分彼此。
总之，极化恒等式是解析几何中一个非常重要的基本概念，它不仅可以用来描述点和圆之间的关系，还可以应用于证明平行四边形的性质。
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活跃在高考中的一个恒等式——极化恒等式
01何谓极化恒等式
()()
14⎡
⎤⋅=
+--⎢
⎥⎣⎦22a b a b a b
三角形模型：
在
ABC 中，D 为BC 的中点：
.⋅=-=-=-2
2
2
2
2
21
4
AB AC AD BD AD CD AD BC
平行四边形模型
在平行四边形ABCD 中：()
⋅=-221
4
AB AD AC BD
02极化恒等式应用
例1，（2017全国II ，理12）已知
ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，
则()
⋅+PA PB PC 的最小值是（ ）
A. 2-
B. 32-
C. 4
3
- D. 1- 解法1（坐标法）：
以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线y 轴建立平面直角坐标系，()()(1,0,1,0,3C A B -，设(),P x y ，则()
3,x y =-PA ()1,x y =---PB ，()1,x y =--PC
()()
()32,2x y x y ⋅+=-⋅--=PA PB PC ∴
2
222
332+23222x y x y ⎡⎤⎛⎢⎥=+-- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
当且仅当30,x y ==30,2P ⎛ ⎝⎭
，()
⋅+PA PB PC 取得最小值32-.
解法2（极化恒等式）：
设BC 的重点为O ，OC 的中点为M ，连接OP ，PM ，
()
22⋅+=⋅=-=2
212PA PB PC PO PA PM AO ∴33
222
-≥-2PM ， 当且仅当M 与P 重合始去等号.
例2在ABC 中，已知90,4,3,C AC BC D ∠===是AB 的中点，E ，F 分别是BC ，AC 上的动
点，且EF = 1，则⋅DE DF 的最小值为（ ） A.
5154 C. 17
4
17 解法1（坐标法）
以AC 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()34,0,0,3,2,,2A B D ⎛⎫
⎪⎝⎭
设()()0,,,0,E b F a 则221a b +=，332,,2,22b a ⎛⎫⎛
⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭DE DF ，
()2532512434242
b DE DF a a b ∴⋅=
--=-+， 由柯西不等式可得：()()()2
22224343a b a b ++≥+，即435a b +≤，当且仅当43,55a b ==时取
等号，()25125515
4342424
DE DF a b ∴⋅=
-+≥-=，故选B
解法2（极化恒等式）
设EF 的中点为M ，连接CM ，则1
2
=
CM ，即点M 在如图所示的圆弧上，则 2
2
2
2
11115
4244
DE DF DM EM DM CD ⋅=-=-≥--=,故选B
本题也可用三角换元法解决
例3，（2013浙江）设
ABC ，0P 是边AB 上的一定点，满足01
4
P B AB =
，且对于边AB 上任一点P ，恒有00
PB PC P B PC ⋅≥⋅，则（ ） A. 90ABC ∠= B. AB AC = C. 90BAC ∠= D. AC BC =
解法1（坐标法）
以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，设()()4,,,,0AB C a b P x =，则()()()()()()()000
1,0,2,0,2,0,2,0,,,1,0,1,P A B PB x PC a x b P B PC a b -=-=--==-， ()()00,21PB PC P B PC x a x a ⋅≥⋅∴--≥-恒成立，即：()()110x a x ---≥恒成立，
11,a ∴-=即：0a =，∴点C 在y 轴上，AC BC ∴=,故选D
解法2（基地法）
解法3（极化恒等式）
例4、（2016江苏）如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F
是AD上的两个三等分点，4,1
⋅=⋅=-，则
BA CA BF CF
⋅值为
BE CE
解法1（坐标法）
以BC为x，D为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系
解法2（基底法）
解法3（极化恒等式）
例5、（2018宝鸡一模）直线0ax by c ++=与圆22:16O x y +=相交于两点M ，N ，若222c a b =+，
P 为圆O 上任意一点，则PM PN ⋅的取值范围为 解法1（坐标法）
以O 为坐标原点，MN 的平行线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，
解法2（基底法）
解法3（极化恒等式）
例
6，如图，已知
B ，D
是直角
C
两边上的动点，
,3,6
AD BD AD BAD π
⊥=∠=
,()()
11
,22
CM CA CB CN CD CA =
+=+，则CM CN ⋅的最大值为
解法1（坐标法）
以C为坐标原点，BC为x轴，建立如图所示的直角坐标系，
解法2（基底法）
解法3（极化恒等式）：。