极化恒等式(矩形大法)
平面向量常考方法总结
平面向量中的基本方法一、向量基本不等式向量基本不等式：b a b a ⋅≥+222，()42b a b a +≤⋅当且仅当b a =时取等【例1】已知平面向量a 、b 满足1422=+⋅+b b a a，则a +2的最大值是.【练习1】已知平面向量a 、b 满足12922=+⋅+b b a a，则a +3的最大值是.【例2】已知平面向量a 、b满足32≤a ，则b a ⋅的最小值是.【练习2】已知平面向量a 、b满足323≤-a ，则b a ⋅的最小值是.向量三角不等式：+≤±≤-，当向量a 、b 共线时，取等推论：y x y x y x +≤±≤-，Ry x ∈,{}y x y x y x -+=+,max ，{}y x y x y x -+=-,min【例3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且12=-a ，2=-，则-的最大值是.【练习3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且22=+a ，310=-，则的最大值是.【例4】已知平面向量a 、b 1=2=，若对任意单位向量e ，6≤+，ba ⋅的取值范围是.【练习4】已知平面向量a 、b 1=21=，若对任意单位向量e 26≤+，b a ⋅的取值范围是.向量回路恒等式：CBAD CD AB +=+【例5】在平面凸四边形ABCD 中，已知2=AB ，N M ,分别是边BC AD ,的中点，且23=MN .若()1=-⋅BC AD MN ，则=⋅CD AB .【练习5】在平面四边形ABCD 中，设3=AC ,2=BD ，则()()=++AD BC CD AB .四、向量对角线定理向量对角线定理：记D C B A 、、、是空间中的任意四点，则有⎪⎭⎫--+=⋅21BD AC 【例6】在四边形ABCD 中，已知F E ,分别是边BC AD ,的中点，且m BC AD =⋅，n BD AC =⋅,2=AB ,1=EF ,3=CD ，则=-n m .五、互换系数恒等式若向量a ，b =，则有a a μλ+=+【例7】已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，且b a ⊥，b a +++23的最小值为.【练习7】已知a ，b ，c o60=，的最小值为.六、极化恒等式极化恒等式的代数形式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⋅2241b a b a b a 极化恒等式的对偶形式：()()22222b a b a b a -++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，的取值范围是.【练习8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤3≤+，的取值范围是.【例9】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，则b a ⋅的取值范围是.【例10】在四边形ABCD 中，已知O 分别是边BD 的中点，且7-=⋅AD AB ,3=OA ,5=OC ，则=⋅DC BC .【练习9】在ABC ∆中，已知D 分别是边BC 的中点，F E ,分别是边AD 的两个三等份点，且4=⋅CA BA ,1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE .【练习10】如图，在同一平面内，点A 位于两直线n m ,同侧，且A 到于两直线n m ,的距离分别为3,1点C B ,分别在n m ,5=+，则AC AB ⋅最大值为.【例11】在ABC ∆中，F E ,分别是边AC AB ,的中点，P 在EF 的上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅最小值为.【练习11】已知AB 中为圆O 的直径，M 为弦CD 的一点，8=AB ,6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围是.七、矩形大法点O 矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有：2222OD OB OC OA +=+【例12】在直角ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，P 为CD=.【练习12】在平面内,若21AB AB ⊥1==,21AB AB AP +=21＜的取值范围是.。
极化恒等式课件-2025届高三数学一轮复习
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖点二 求向量数量积的最值（范围）
磨尖点三 求参数及其他问题
磨尖课04 极化恒等式
1
4
1. 极化恒等式： ⋅ = [ +
2
2
− − 2 ].
（1）公式推导：
+
2
+ ሻ2 −
=
2
+ 2 ⋅ +
2 ,
−
2
=
2
− 2 ⋅
（3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边边长的一半的平方差.
磨尖课04 极化恒等式
4
磨尖点一 求向量数量积的定值
磨尖课04 极化恒等式
6
典例1 （2023 ·全国乙卷）正方形的边长是2，是的中点，则 ⋅ =
( B ) .
A. 5
B.3
C.2 5
解析 设的中点为，由极化恒等式可得 ⋅ =
为△ 所在平面内的动点，且 = 1，则 ⋅ 的取值范围是( D ) .
A.[−5,3]
B.[−3,5]
C.[−6,4]
D.[−4,6]
磨尖课04 极化恒等式
11
解析 （法一）依题意建立如图所示的平面直角坐标系，则 0,0 ， 3,0 ， 0,4 ，
磨尖课04 极化恒等式
4sin +
sin2
= 1 − 3cos − 4sin = 1 − 5sin + ，其中tan =
因为−1 ≤ sin + ≤ 1，所以−4 ≤ 1 − 5sin + ≤ 6，
3
，
4
磨尖课04 极化恒等式
13
极化恒等式
例2 2013 浙江省理科第7题
在
ABC
中，
P0
是边
AB
上一定点，满足
P0 B
1 4
AB
，且对
于边 AB 上任一点 P ，恒有 PB PC P0B P0C ，则（ D ）
A. ABC 90 B.BAC 90 C. AB AC D. AC BC
C
A
P
P0 B
（2011 年上海数学竞赛）在正三角形 ABC中， D 是 BC 上点，
a b
1 4
ab
2
a
b
2
向量数量积
平行四边形模型 三角形模型
（2）两大思想：数形结合 等价转化
例：如图，边长为1正方形ABCD顶点A, D分别在x轴, y轴(含原点)滑动， 则OB OC的最大值为
解：4OB OC (OB OC )2 (OB OC )2 4 | OE |2 1 4(1 1 )2 1 8 2
因而有 : OB OC 2
法二：建系，令OAD＝， OB＝(cos sin , cos ),OC＝(sin , cos sin )
(2016年测试卷)已知向量a,b及实数t，满足 | a tb | 3, 若a b 2，则t的最大值为
2t a tb 1 [(a tb)2 (a tb)2 ] 9 | a |2 9
练一练：
1.（2014年7月学考）：已知RT ABC的斜边AB的长为4，
设P是以C为圆心，1为半径的圆上任意一点，
求PA PB的取值范围。
PA PB[3,5]
2.在ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，P点在平面ABC内，
且PB PC＝－9，则 | PA |的取值范围为
高中数学《极化恒等式》教学课件
边长关系
利用极化恒等式，可以推导出三角 形边长之间的关系，从而解决一些 与三角形边长相关的问题。
角度关系
通过极化恒等式，可以推导出三角 形角度之间的关系，有助于解决与 角度相关的问题。
在向量中的应用
向量模的平方
向量线性关系
利用极化恒等式，可以表示向量的模 的平方，从而简化向量的运算。
利用极化恒等式，可以推导出向量线 性关系，有助于解决向量线性相关的 问题。
谢谢聆听
极化恒等式的定义
极化恒等式的定义
极化恒等式是高中数学中一个重要的恒等式 ，它表示的是向量内积的运算性质。具体定 义为：对于任意两个向量$mathbf{a}$和 $mathbf{b}$，有$mathbf{a} cdot mathbf{b} = |mathbf{a}| |mathbf{b}| cos theta$，其中$theta$是向量$mathbf{a}$ 和$mathbf{b}$之间的夹角。
mathbf{b} cdot mathbf{b}$。将这两个等 式代入点积的性质中，即可得到极化恒等式
。
极化恒等式的性质
01
极化恒等式的性质1
极化恒等式揭示了向量内积和向量模长之间的关系，它 表明两个向量的内积等于它们模长的乘积乘以它们之间 的夹角的余弦值。
02
极化恒等式的性质2
极化恒等式具有对称性，即交换两个明
极化恒等式的证明方法
01
02
03
代数证明法
通过代数运算和恒等变换 ，逐步推导极化恒等式的 成立。
几何证明法
利用几何图形和空间向量 的性质，通过直观的方式 证明极化恒等式。
归纳法
通过对特殊情况的证明， 逐步归纳出一般情况的证 明方法。
极化恒等式 面积-概述说明以及解释
极化恒等式面积-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在数学领域中，极化恒等式是一种重要的数学工具，用于研究向量空间中的内积和范数。
同时，面积是几何学中一个重要的概念，用于描述平面图形的大小和形态。
本文将介绍极化恒等式和面积的基本概念，并探讨它们在数学和几何学中的应用。
首先，我们将详细介绍极化恒等式。
极化恒等式是一种将内积运算与范数运算联系起来的重要定理。
它表明，在一个向量空间中，任意两个非零向量的内积可以通过它们的范数和角度来表示。
具体来说，对于一个向量空间V中的任意两个非零向量x和y，极化恒等式可以表示为：⟨x, y⟨ = x y cosθ其中，⟨x, y⟨表示向量x和y的内积，x 和y 分别表示x和y的范数，θ表示x和y之间的夹角。
在接下来的部分中，我们将探讨面积的概念。
面积是几何学中描述平面图形大小的一种度量。
不同的形状和图形具有不同的计算方法。
对于简单的几何形状，如正方形、长方形和圆形，面积可以通过一些基本公式直接计算得到。
而对于复杂的曲线和曲面，面积的计算可能需要使用积分和微分等数学工具。
最后，我们将探讨极化恒等式和面积的应用。
极化恒等式在向量分析、线性代数和泛函分析等领域中具有广泛的应用。
通过使用极化恒等式，我们可以研究向量空间中的正交性、投影性质和内积的性质。
而面积的计算则广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。
通过计算图形的面积，我们可以研究物体的形状、表面积以及它们之间的关系。
总之，本文将详细介绍极化恒等式和面积的基本概念，并探讨它们在数学和几何学中的应用。
通过对这些概念的理解和应用，我们可以更好地理解向量空间和平面图形的性质，为进一步的研究和应用打下坚实的基础。
1.2文章结构文章结构的设计对于一篇长文非常重要，它能够帮助读者更好地理解和掌握文章的内容。
在本文中，我们将介绍极化恒等式和面积这两个主要部分。
2. 正文2.1 极化恒等式在本节中，我们将详细介绍极化恒等式的概念和相关理论。
高考数学复习考点题型专题讲解6 极化恒等式、投影向量
高考数学复习考点题型专题讲解专题6 极化恒等式、投影向量极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2].(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.(2)在平行四边形PMQN 中，O 是对角线交点，则： ①PM →·PN →＝14[|PQ →|2－|NM →|2](平行四边形模式)；②PM →·PN →＝|PO →|2－14|NM →|2(三角形模式).类型一 投影向量的应用由投影与投影所在的向量共线，问题转化为求向量间的投影数量与投影所在向量方向上单位向量的积.例1 已知|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a 在向量e 上的投影向量是________；向量e 在向量a 上的投影向量是________. 答案 －2e －18a解析 由|a |＝4，e 为单位向量，它们的夹角为2π3， 向量a 在向量e 上的投影数量：|a |cos 23π＝－2，向量e 在向量a 上的投影数量：|e |cos 23π＝－12，故向量a 在向量e 上的投影向量：－2e ， 向量e 在向量a 上的投影向量：－12×a |a |＝－18a .训练1 (1)已知向量a 与b 的夹角为34π，且|a |＝2，|b |＝3，则a 在b 方向上的投影向量与投影向量的长度分别是( ) A.23b ，2B.23b ，－ 2 C.－23b ，2D.－23b ，－ 2 (2)已知向量a ＝(1，2)，A (6，4)，B (4，3)，b 为向量AB →在向量a 上的投影向量，则|b |＝________. 答案 (1)D (2)455解析 (1)设a 在b 方向上的投影向量为λb (λ∈R )，则a ·b ＝λb ·b ， 故λ＝a ·b b 2＝|a |cos 34π|b |＝－23.故a 在b 方向上的投影向量为－23b ，a 在b 方向上的投影向量的长度为|a | cos 34π＝－ 2.(2)AB →＝(－2，－1)， 由投影公式可知|b |＝|AB →·a ||a |＝|－2×1＋（－1）×2|5＝455.类型二 利用极化恒等式求向量的数量积利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤： (1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.例2 (1)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点.BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________.(2)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________.答案 (1)78 (2)32解析 (1)设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ， 则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1，联立解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.(2)连接EG ，FH 交于点O (图略)， 则EF →·FG →＝EO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，GH →·HE →＝GO →2－OH →2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32.训练2 (1)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________.(2)如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠BAC ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝3AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________.答案 (1)－16 (2)4解析 (1)因为M 是BC 的中点， 由极化恒等式得AB →·AC →＝|AM →|2－14|BC →|2＝9－14×100＝－16.(2)取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，因AB ＝4，AE ＝2，∠BAC ＝60°，故BE ⊥AE ，所以BE ＝2 3. 在△DEB 中，FN 綉12BE ，所以FN ＝3，故BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫FN →2－14DB →2＝2(3－1)＝4.类型三 利用极化恒等式求数量积的最值(范围)(1)利用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.(2)难点在于求中线长的最值(范围)，可通过观察图形或用点到直线的距离等求解.例3 (1)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________.(2)(2022·济南调研)在△ABC 中，点E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB →·PC →＋BC →2的最小值为________. 答案 (1)214 (2)2 3解析 (1)法一(极化恒等式法)连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD →2－BD →2， 又AD ＝12|AB →＋AC →|＝52，故AB →·AC →＝254－BD →2＝254－14BC →2，又因为BC min ＝3－1＝2， 所以(AB →·AC →)max ＝214.法二(坐标法)以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图，则A (0，3)，C (c ，0)，B (b ，2)， 则AB →＝(b ，－1)，AC →＝(c ，－3) 从而(b ＋c )2＋(－4)2＝52， 即(b ＋c )2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤（b ＋c ）24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立. (2)取BC 中点O ，PB →·PC →＝PO →2－14BC →2⇒PB →·PC →＋BC →2＝PO →2＋34BC →2≥2PO →2·34BC →2＝3|PO →||BC →|，当且仅当PO ＝32BC 时等号成立.∵PO ≥12h ，∴3|PO →||BC →|≥32h |BC →|＝3S △ABC ＝23，∴PB →·PC →＋BC →2的最小值为2 3.训练3 (1)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________.(2)如图所示，正方形ABCD的边长为1，A，D分别在x轴，y轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC→·OB→的最大值是________.答案(1)[0，2] (2)2解析(1)由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN的长度最大时，MN为球的直径.设内切球的球心为O，则PM→·PN→＝PO→2－ON→2＝|PO→2|－1.由于P为正方体表面上的动点，故|OP|∈[1，3]，所以PM→·PN→∈[0，2].(2)如图，取BC的中点M，AD的中点N，连接MN，ON，则OC →·OB →＝OM →2－14＝|OM →|2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号. 所以OC →·OB →的最大值为2.一、基本技能练1.设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A解析 由极化恒等式得a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14×(10－6)＝1.2.如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →＝( )A.－9B.21C.－21D.9答案 D解析 AB →·AD →＝|AO →|2－14|BD →|2＝－7，∴14|BD →|2＝16，BC →·DC →＝|CO →|2－14|BD →|2＝25－16＝9.3.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →＝( )A.－34B.－89C.－14D.－49答案 B解析 ∵BF →＝2FO →，圆O 的半径为1，∴|FO →|＝13.法一 FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2＋FO →·(OE →＋OD →)＋OD →·OE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89.法二 由极化恒等式得FD →·FE →＝FO →2－14DE →2＝19－1＝－89.4.已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是( ) A.92B.2 C.32D.34 答案 B解析 如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD →·PC →＝PE →2－EC →2＝|PE →|2－12，所以当P 与A (B )重合时，|PE →|＝52最大，从而(PD →·PC →)max ＝2. 5.已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A.1 B.2 C.2D.22答案 C解析 由极化恒等式(a －c )·(b －c )＝14[(a ＋b －2c )2－(a －b )2]，∵(a －c )·(b －c )＝0， 所以(a ＋b －2c )2＝(a －b )2， 故c 2＝(a ＋b )·c ， 又因为|a |＝|b |＝1，a ⊥b ， ∴|a ＋b |＝2，于是|c |2≤|a ＋b ||c |＝2|c |， ∴|c |≤ 2.6.已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA →·PB →的最小值为( )A.1B. 2C.2D.2 2答案 A解析如图所示，由极化恒等式易知，当OP与直线x－y＋2＝0垂直时，PA→·PB→有最小值，即PA→·PB→＝PO→2－OB→2＝(2)2－12＝1.故选A.7.已知AB是圆O的直径，AB长为2，C是圆O上异于A，B的一点，P是圆O所在平面上任意一点，则(PA→＋PB→)·PC→的最小值为( )A.－14B.－13C.－12D.－1答案 C解析∵PA→＋PB→＝2PO→，∴(PA→＋PB→)·PC→＝2PO→·PC→，取OC中点D(图略)，由极化恒等式得，PO→·PC→＝|PD→|2－14|OC→|2＝|PD→|2－14，又|PD →|2min ＝0，∴(PA →＋PB →)·PC →的最小值为－12.8.已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →)的最小值为( ) A.－2 B.－32C.－43D.－1答案 B解析 取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，取AD 的中点E ，连接PE .由△ABC 是边长为2的等边三角形，E 为中线AD 的中点得AE ＝12AD ＝32，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →＝2(|PE →|2－|EA →|2) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤|PE →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎫322≥2×⎝⎛⎭⎪⎫0－34＝－32， 当且仅当|PE →|＝0时，取等号， ∴PA →·(PB →＋PC →)的最小值为－32.9.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________. 答案 1解析 取AE 中点O ，设AE ＝x (0≤x ≤1)，则AO ＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO →|2－14|AE |2＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－14x 2＝1. 10.在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，A ＝120°，动点P 在以C 为圆心，2为半径的圆上，则PA →·PB →的最小值为________. 答案 16解析 设AB 的中点为M ，则PA →·PB →＝PM →2－MA →2＝|PM →|2－9， 所以要求PA →·PB →的最小值，只需求|PM →|的最小值，显然当点P 为线段MC 与圆的交点时，|PM →|取得最小值，最小值为|MC |－2. 在△AMC 中，由余弦定理得|MC |2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49， 所以|MC |＝7，所以|PM →|的最小值为5， 则PA →·PB →的最小值为16.11.在Rt△ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2解析 取MN 的中点为P ，由极化恒等式得 CM →·CN →＝|CP →|2－14|MN |2＝|CP →|2－12.当P 为AB 的中点时，|CP →|取最小值为2，则CM →·CN →的最小值为32；当M 与A (或N 与B )重合时，|CP →|取最大值为102，则CM →·CN →的最大值为2，所以CM →·CN →的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2.12.已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________. 答案 [－9，0]解析 如图，取CD 的中点G ，连接OG ，MO ，CO ，得OG ⊥CD ，MA →·MB →＝|MO →|2－14|BA →|2＝|MO →|2－16，∵|OC →|≥|OM →|≥|OG →|， ∴7≤|OM →|≤4， ∴MA →·MB →∈[－9，0]. 二、创新拓展练13.若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8答案 C解析 如图，由已知OF ＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE →|2－14|OF →|2＝|PE →|2－14，∵当P 在椭圆右顶点时，|PE →|2有最大值，|PE →|2max＝254， ∴OP →·FP →的最大值为6.14.(多选)(2022·苏北四市调研)已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( ) A.PB →·PC →＝PD →2－DB →2B.存在点P ，使|PD →|<|P 0D →| C.P 0C →·AB →＝0 D.AC ＝BC 答案 AD解析 如图所示，取BC 的中点D ，连接PD ，根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，所以|PD →|≥|P 0D →|，A 正确；B 错误；故由点P 为边AB 上任意一点知：点D 到边AB 上点的距离的最小值为|DP 0→|，从而DP 0⊥AB ， ∴P 0C →·AB →≠0，C 错误；取AB 的中点E ，则由P 0B ＝14AB 知，CE ∥DP 0，故CE ⊥AB ，于是AC ＝BC ，D 正确.15.(2022·宁波模拟)AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，|AB |＝6，若点P 为⊙C 上一动点，则PA →·PB →的取值范围是( ) A.[0，100] B.[－12，48] C.[－9，64] D.[－8，72] 答案 D解析 如图，取AB 中点为Q ，连接PQ .∴PA →＋PB →＝2PQ →，PA →－PB →＝BA →，∴PA →·PB →＝14[(PA →＋PB →)2－(PA →－PB →)2]＝14(4|PQ →|2－|BA →|2).又∵|BA →|＝6，|CQ |＝25－⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝4，∴PA →·PB →＝|PQ →|2－9， ∵点P 为⊙C 上一动点， ∴|PQ |max ＝5＋|CQ |＝9， |PQ |min ＝5－|CQ |＝1，∴PA →·PB →的取值范围为[－8，72].16.在半径为1的扇形中，∠AOB ＝60°，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于P ，则OP →·BP →的最小值为________. 答案 －116解析 取OB 的中点D ，作DE ⊥AB 于点E ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，易知|PD →|∈[]|DE →|，|AD →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，32，则OP →·BP →＝PD →2－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－116，12，故所求最小值为－116.17.如图，在平面四边形ABCD 中，AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°，∠ABC ＝90°，则BD →·BC →的最大值为________.答案 1解析 取CD 的中点E ，连接EA ，EB ，∵AC ＝AD ＝2，∠DAC ＝120°， ∴AE ⊥CD ，DE ＝AD sin 60°＝3， 由∠ABC ＝∠AEC ＝90°，∴A ，B ，C ，E 四点共圆，且AC 为直径，则BD →·BC →＝|BE →|2－|ED →|2＝|BE →|2－(3)2≤|AC →|2－3＝22－3＝1， 所以BD →·BC →的最大值为1.18.(2022·金丽衢12校联考)已知平面向量a ，b ，c ，d 满足|a |＝|b |＝2，a·b ＝0，|b ＋2c |＝2，若(d －a )·(d ＋2b )≤4，则|c ＋d |的取值范围为________. 答案 [0，10＋4]解析 如图，因为|a |＝|b |＝2，a ·b ＝0，所以不妨设a ＝OA →＝(2，0)，b ＝OB →＝(0，2).设c ＝OC →，d ＝OD →.因为|b ＋2c |＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12b ＝1，所以可知点C 在以(0，－1)为圆心，1为半径的圆上.设E (0，－4)，M 为AE 的中点，由(d －a )·(d ＋2b )＝AD →·ED →＝DM →2－AM →2＝DM →2－5≤4，可得点D 在以M (1，－2)为圆心，3为半径的圆内(包含边界)， 所以|c ＋d |＝|d －(－c )|＝|OD →－OC ′→|＝|C ′D →|∈[0，10＋4].。
高中数学《极化恒等式》PPT教学课件
已知RTABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心， 1为半径的圆上任意一点，求PA PB的取值范围。
解：PA
PB＝(
PA
P B ) 2 －(
P A－P B ) 2＝P M
在正三角形 ABC中， D 是 BC上点， AB 3, BD 1，
则 AB AD
。
解：取
BD的中点
E
，
AB
AD
2
AE
1
2
BD
(3
3 )2 1 1 15
4
2
42
如图，在半径为1的扇形AOB 中，AOB ＝60 ，C为弧上的动点， AB与OC相交于点P，则OP BP的最小值是 1
巧用极化恒等式，妙解高考向量题
想一想
在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别 在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀”某些高 考向量题，那就是向量的极化恒等式。
M
极化恒等式的几何意义：
4a b (a b)2 (a b)2 a b (a b)2 (a b)2 4
| BC |
| BC |
| BC |
从而原式 |
PD |2
3 4
|
BC |2
|
4 BC |2
3 4
|
BC |2
2
3
当且仅当PD BC，| BC |＝4 4时等号成立。 3
A. ABC 90o B. BAC 90o
C. AB AC
D. AC BC
极化恒等式-教师版
极化恒等式知识精讲：1.极化恒等式:a ⃗ ⋅b ⃗ =14[(a ⃗ +b ⃗ )2−(a ⃗ −b⃗ )2] 2.极化恒等式的几何意义是：设点M 是△ABC 边的中点，则AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AM 2−BM 2，即：向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差．1.已知A 为椭圆x 29+y 25=1上的动点，MN 为圆(x −1)2+y 2=1的一条直径，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为________.备注：极化恒等式的典型应用BC2. （三星）（2017全国2理）已知ΔABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )的最小值是（ ）A.−2B.−32 C. −43 D.−1 解：方法一：建系法连接OP ，OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0)，OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0). PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−x,−y )⋅(−x,√3−y) ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−√3y =x 2+(y −√32)2−34 ∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−34，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32 ∴最小值为−32方法二：均值法∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 由上图可知：OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；两边平方可得3=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∵ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2≥−2PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ 2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32∴ PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≥−32，∴最小值为−32 解法三：配凑法 ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(PO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22=(PO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2−(AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )22≥−32∴最小值为−323．在∆ABC 中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是∆ABC 所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为 A ．1B ．2C ．-2D ．-1【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则A (0,2)．设点P 的坐标为x y (,)，则(,2),(,)PA x y PO x y =−−=−−， 故()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+−22=+−−≥−x y 2[(1)]2222，当且仅当==x y 0,1时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅的最小值为−2．选C ．4. （武汉二中高二）已知圆M:x 2+(y −1)2=1, 圆N:x 2+(y +1)2=1, 直线l 1、l 2分别过圆心M ,且l 1与圆M 相交于A 、B , l 2与圆N 相交于C 、D , P 是椭圆x 23+y 24=1上的任意一动点, 则PA → ⋅PB → +PC → ⋅PD →的最小值为______________.6 备注：用到极化恒等式5．在平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，若BE →=EF →=FG →=GC →，则2AE →∙DC →+AE →∙AF →=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA →∙PC →取最小值时，则cos ∠PDC 的值为_____．解：∵平面四边形ABCD 中，===AB BC CD 22，∠ABC =60∘,∠ADC =90∘，∴△ABC 是边长为2的等边三角， 在Rt △ADC 中，AC =2,CD =1，所以∠ACD =60∘，又BE →=EF →=FG →=GC →， ∴E,F,G 是BC 边的四等分点．如图建立坐标系：则：A(0,√3),B (−1,0),C (1,0)， D (32,√32),E (−12,0),F (0,0),G (12,0)， 所以2AE →DC →+AE →AF →=2(−12,−√3)(−12,−√32)+(−12,−√3)(0,−√3)=132，再设P (x,0)，则−1≤x ≤1，∴PA →PC →=(−x,√3)(1−x,0)=x 2−x =(x −12)2−14，显然x =12时，PA →PC →最小，此时P (12，0)，∴cos ∠PDC =cos ⟨DP →，DC →⟩=(−1，−√3)⋅(−1，−√3)(−1)+(−√32)(−12)+(−√32)=5√714．故答案为：132，5√714．6．在△OAB 中，OA =OB =2，AB =2√3，动点P 位于直线OA 上，当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时，向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角余弦值为（ ）A ．−3√77B ．7C ．−√217D ．√213【详解】∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即8−2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2， 设OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λOA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(λ−1)OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2 =−2(1−λ)+4λ(λ−1)=4λ2−2λ−2=(2λ−12)2−94，当λ=14时，PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值−94，此时|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32， |PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=116OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116×22+22−12×(−2)=214，所以，|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√212，则cos <PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−9432×√212=−√217. 故选：C.7. （三星）在锐角∆ABC 中已知B= 3，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是__________.解：法一：极化恒等式；法二：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，因为设A（x ，0）因为△ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°，即A 在如图的线段DE 上（不与D ，E 重合），所以1＜x ＜4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2﹣x=（x ﹣12）2﹣14，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为（0，12）．方法2∵∠B=π3， △ABC 是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A ＜90°=a=2由正弦定理可得()−==A B a b csin 120sinA sin 0∴=b ,=−Ac A sin 2sin 1200)( ∴120cos cos AB AC c b A A ===+=+⎝⎭−AA Asin tan 32202)(∵∈tanA0,3)( ∴(0,12AB AC ∈)8.在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34，则cos ∠ACB ＝ ． 【答案】1−3√58【解析】取MN 的中点P ，则由极化恒等式得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−14∵CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为34∴|CP ⃗⃗⃗⃗⃗ |min 由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小. 如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH=1 又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sinA=14 所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）=1−3√58.9.如图所示，矩形ABCD 的边AB=4，AD=2，以点C 为圆心，CB 为半径的圆与CD 交于点E ，若点P 是圆弧EB ̂ (含端点B 、E)上的一点，则PA → ·PB → 的取值范围是 .H【解析】取AB 的中点设为O ，则， 当O 、P 、C 共线时， PO 取得最小值为PO =2√2−2；当P 与B （或E ）重合时，PO 取得最大值为PO=2， 所以的取值范围是.10.如图，是边长为P 是以C 为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 最小值是_____.－111.（三星）如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4,BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1,则BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是________.备注：极化恒等式的典型应用2221=4PA PB PO AB PO ⋅−=−4PA PB ⋅−[8∆ABC CA BP12.若平面向量a ，b 满足|2a －b|≤3，则a·b 的最小值为________.【解析】根据极化恒等式得：8a ⋅b =(2a +b)2−(2a −b)2=(2a +b)2−9≥−9，故a ⋅b ≥−98，所以a ⋅b 的最小值为−98．13.已知平面向量a ，b ，e 满足|e|＝1，a·e ＝1，b·e ＝－2，|a ＋b|＝2，那么a·b 的最大值为________． 解： 由a·e ＝1，b·e ＝－2得: a·e －b·e ＝3，即（a －b ）·e ＝3，|a －b|cos θ＝3a·b=14[|a ＋b|2－|a －b|2]≤－5414.在中，已知，，则面积的最大值是 ．解：取BC 的中点为D ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD 2−BC24，所以AD =√2因为BC 边上的高线长不大于中线长，当中线就是高线时，面积最大，故．15.已知平面向量a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2，|2b ⃗ −c ⃗ |=2，那么b⃗ ⋅c ⃗ 的最小值为________． 【解析】由a ⃗ ⋅b ⃗ =12，a ⃗ ⋅c ⃗ =2得2a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ =3，即a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=3 又a ⃗ ⋅(2b ⃗ +c ⃗ )=|a ⃗ ||2b ⃗ +c ⃗ |cos θ（其中θ为向量a ⃗ 与2b ⃗ +c ⃗ 的夹角） 所以|2b⃗ +c ⃗ |=3cos θ所以b⃗ ⋅c ⃗ =18[(2b ⃗ +c ⃗ )2−(2b ⃗ −c ⃗ )2]=18(9cos 2θ−4)≥58.∆ABC =BC 21AB AC •=∆ABC ∆ABC16.已知锐角的外接圆的半径为1， ，则的取值范围为__________．17.已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA → ⋅PB →的取值范围是_____.[－2,6]18.在ΔABC 中，AB =3,AC =4,∠BAC =60°，若P 是ΔABC 所在平面内的一点，且AP =2，则PB → ⋅PC →的最大值为_____.10+2√3719.已知点P 是边长为2√3的正三角形ABC 内切圆上的一点，则PA → ⋅PB →的取值范围为_____.[−3,6]20.已知正方形ABCD 的边长为1，中心为O ，直线l 经过中心O ，交AB 于点M ，交CD 于点N ，P 为平面上一点，若2OP → ＝λOB → ＋(1－λ)OC → ，则PM → ·PN →的最小值为__________.−71621.设点P 为正三角形△ABC 的边BC 上的一个动点，当PA → ·PC →取得最小值时，sin ∠PAC 的值为________．√392622.在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴正半轴上移动，AB ＝2，若点P 满足PA → ·PB →＝2，则OP 的取值范围为________．[√3−1,√3+1]23.在△ABC 中，E ，F 分别是线段AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，若△ABC 的面积为2，则PB → ·PC →＋BC →2的最小值是__________．4√3∆ABC ∠=πB 6BA BC⋅⎝ ⎛23,3。
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极化恒等式与矩形大法
一、 知识清单
1. 极化恒等式：如图，AB AC 2AD += ① A B A C
CB -= ②,则：
①2
+②2
得：222
2
42++=AB AD BC AC ；①2-②2
得：22
44-=⋅AB AD BC AC
推广：222
2
+-=⋅⋅⋅=AB AB AC cosA AB AC BC AC
速记方法：22()()
4a b a b a b +--⋅==，22
22()()2
a b a b a b +-+=+=
2. 矩形大法：如图，由极化恒等式可得
222
2
4PD PB 2PO BD ++=①2222
4PA PC 2
PO AC ++= ②
因为BD=AC ，所以2222+=+PD PB PA PC ，
速记方法：矩形外一点到矩形对角顶点的平方和相等。
推广1：若ABCD 为平行四边形，则有22
2
2
2
2
BD ()2
AC -+-+=PA PC PD PB
推广2：若P 为平面外一点，上述性质仍成立。
二、 典型例题
1．（2012浙江文15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则A B A C ⋅= _________．
解析：由极化恒等式有：22
4AB 164
AM BC AC -=
⋅=- 2. （2013浙江理7）在ABC ∆中,0P 是边AB 上一定点，满足01
4
P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，
恒有00
PB PC P B PC ⋅≥⋅。
则( ) A.90ABC ∠= B. 90BAC ∠= C.AB AC = D. AC BC =
解析：D 为BC 中点，由极化恒等式有：22
4PB 4
PD BC PC -⋅=则当PD 最小时，PB
⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小， 所以过D 作AB 垂线，垂足即为P 0,作AB 中点E ，则CE ⊥AB ，即AC=BC 。
3. 已知向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()1a b a b e a b ===⋅-++求a b -的范围？
解析：由0,()1a b e a b =⋅-++得0()()a e b e =-⋅-
如图，,,OA a OB b OE e === ，构造矩形ACBE ，由矩形大法有
2222OE OC OA OB +=+，则OC =
[,]1]a b AB CE OC OE OC OE -==∈-+=
4.向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量． 2,3,0,()2a b a b e a b ===⋅-++求a b -，a b ⋅范围？ 解析：由题得1()()a e b e =--⋅-，,,OA a OB b OE e === ，构造平行四边形ACBE ，
由极化恒等式：22
1()()4
a EA EC AB e
b e EB =--=-⋅-⋅=
由平行四边形大法：22
2
2
2
2
()()22
EC AB OE OC OA OB -+-+=
=-，即10OC =
2a b AB -=
==
2
2
2
2
()13()
[101]22
a b a b a b a b +----⋅==∈-
三、 强化练习
1. 设正ABC ∆的面积为2，边,AB AC 的中点分别为,D E ，M 为线段DE 上的动点，则
2
MB MC BC ⋅+的最小值为 .
2.ABC ∆外接圆O 半径为1，且120AOB ∠=，则AC CB ⋅的取值范围是 . 31[,0)(0,]22
-
3.已知平行四边形ABCD 的面积为6，2AB =，点P 是平行四边形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足2PC =，则PA PB ⋅的最小值 .C
A ．4-
B ．2-
C ．0
D ．2
4. 如图，C ，D 以AB 为直径的圆O 上的动点，已知AB =2，则AC BD ⋅的最大值是 （ ）A
A. 1
2
5. 已知∆ABC ，满足
3219()
||
++=||||+AB AC AB AC AB AC AB AC ，点D 为线段AB 上一动点，若⋅DA DC 的最小值为3-，则∆ABC 的面积=S （ ）D
A.9
B.
6.记M 的最大值和最小值分别为max M 和min M .若平面向量,,a b c 满足a b a b ==⋅()
222
c a b c =⋅+-=. 则（ ）A
max
3.2A a c
-=
max 3.2B a c +=
min
3.2C a c
-=
min 3.D a c +=
7.点P 是底边长为2的正三棱柱表面上的动点，MN 是该棱柱内切球的一条直径，则
PM PN 的取值范围是 . []0,4
8．向量,,a b e 是平面向量，e 是单位向量．若()()
2,0,a b a e b e ==-⋅-=则a b -的最小值是( )A
A 1
B 1
C ．3
D ．3
9.如图，已知圆O 的半径为2，P 是圆内一定点，OP=1，圆O 上的两动点A ，B 满足PA PB ⊥，存在
点C 使PACB 构成矩形，则OC OP ⋅的取值范围是 [
10.向量,,a b c 满足21b c a ===,则()()
c a c b ⋅--的最大值是 ； 最小值是 . 1
[,3]8
-。