(完整版)平面向量极化恒等式
高三数学复习微专题之平面向量篇极化恒等式问题教师
极化恒等式这个概念虽在课本上没有涉及，但在处理一类向量数量积时有奇效，备受师生喜爱.1. 极化恒等式： 221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦ 2. 极化恒等式三角形模型：在中，D 为BC 的中点，则ABC ∆221||||4AB AC AD BC ⋅=- 3. 极化恒等式平行四边形模型：在平行四边形ABCD 中，221(||||)4AB AD AD BD ⋅=-类型一 利用极化恒等式求值典例1.如图在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E,F 是AD 上的两个三等分点，则4,1,BA CA BF CF ⋅=⋅=-值为______.BE CE ⋅【答案】78【解析】设2222,,||||94DC a DF b BA CA AD BD b a ==⋅=-=-= 2222||||1BF CF FD BD b a ⋅=-=-=- 解得22513,88b a == 22227||||48BE CE ED BD b a ∴⋅=-=-=高三数学复习微专题之平面向量篇第二讲：极化恒等式问题类型二 利用极化恒等式求最值或范围典例2 在三角形ABC 中，D 为AB 中点，，E,F 分别为BC,AC 上的动点，且90,4,3C AC BC ︒∠===EF=1，则最小值为______DE DF ⋅【答案】154【解析】设EF 的中点为M ，连接CM ，则 1||2CM =即点M 在如图所示的圆弧上，则222211115||||||||4244DE DF DM EM DM CD ⋅=-=---= ≧类型三 利用极化恒等式求参数典例3 设三角形ABC ，P 0是边AB 上的一定点，满足P 0B=AB,且对于边AB 上任一点P ，恒有14,则三角形ABC 形状为_______.00PB PC P B P C ⋅≥⋅【答案】C 为顶角的等腰三角形. 【解析】取BC 的中点D ，连接PD,P 0D.00PB PC P B P C ⋅⋅ …2222011||||||44PD BC P b BC ∴-- …,设O 为BC 的中点，0||PD P D ∴…0P D AB ∴⊥OC AB AC BC ∴⊥∴=即三角形ABC 为以C 为顶角的等腰三角形.模拟：1.已知是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则的最小值是_____ABC ∆()PA PB PC ⋅+【答案】 32-【解析】设BC 的中点为O ，OC 的中点为M,连接OP,PM,当且仅当M 与P 重合时取等号222133()22||||2||222PA PB PC PO PA PM AO PM ∴⋅+=⋅=-=-≥-2．直线与圆相交于两点M,N,若，P 为圆O 上任意一点，则0ax by c ++=220:16x y +=222c a b =+的取值范围为_______PM PN ⋅【答案】【解析】[6,10]-圆心O 到直线的距离为0ax by c ++=1d ==设MN 的中点为A ，222||||||15PM PN PA MA PA ⋅=-=-||||||||||OP OA PA OP OA -+ (2)3||5,||15[6,10]PA PM PN PA ∴⋅=-∈- ……3．如图，已知B,D 是直角C 两边上的动点，12,||,()6AD BD AD BAD CM CA CB π⊥=∠==+，则的最大值为______1()2CN CD CA =+CM CN ⋅【答案】【解析】14)4+设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，21||4CM CN CG ⋅=- 221||||16MN CG =-21111||||||4)22164CG CH HG CM CN ⎛+=+⋅+-= ⎝……所以的最大值为CM CN ⋅14)4+4.如图在同一平面内，点A 位于两平行直线m,n 的同侧，且A 到m,n 的距离分别为1，3，点B,C 分别在m,n上，且，则的最大值为______||5AB AC +=AB AC ⋅【答案】【解析】连接BC ，取BC 的中点D ，则，21422AB AC AD BD ⋅=- 又故15||22AD AB AC =+= 2225251444AB AC BD BC ⋅=-=- 又因为所以min312BC =-=21()4max AB AC ⋅= 5.在半径为1的扇形AOB 中，,C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则的最小值为60AOB ︒∠=OP BP ⋅_____【答案】 41-【解析】取OB 的中点D ，连接PD ，则于是只要求求PD 的最小值即可，22214OP BP PD OD PD ⋅=-=-由图可知，当时，即所求最小值为 PD AB ⊥ min PD =41-6.已知线段AB 的长为2，动点C 满足（为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，为半径的CA CB λ⋅= λ12圆内，则负数的最大值为______ λ【答案】 43-【解析】如图取AB 的中点为D ，连接CD,则21CA CB CD λ⋅=-=又由点C 总不在以点B 为圆心，为半径的圆内，，则负数的最大10CD λ=-< (1212)λ值为43-7.已知A(0,1)，曲线横过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且的最小值为2，则4:log C y x =AB AP ⋅α=______ 【答案】 e 【解析】如图，B （1，0），则，连接BP ，取BP 的中点C ，连接AC,AB =因为的最小值为2，则有上式等价于，AB AP ⋅ ()2222max2AC BCAB -===222AB BC AC +…即当且仅当P 与B 重合时取等号，此时曲线C 在B 处的切线斜率等于1，90ABP ︒∠…即11n ,e l a α==8.若平面向量满足，则的最小值为_____,a b |2|3a b -≤a b ⋅ 【答案】98-【解析】222222(2)(2)|2||2|0398888a b a b a b a b a b +--+---⋅==≥=-当且仅当，即时取最小值|2|0,|2|3a b a b +=-=33||,||,,42a b a b π==<>= a b ⋅ 98-9.在正方形ABCD 中，AB=1，A,D 分别在x,y 轴的非负半轴上滑动，则的最大值为_____OC OB ⋅【答案】 2【解析】如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，所以222224()()(2)(2)41OC OB OC OB OC OB OE BE OE ⋅=+--=-=- 214OC OB OE ⋅=- 而，113|||||||||||1222OE OF FE AD FE ≤+=+=+= 当且仅当时取等号，所以的最大值为2,OF AD OA OD ⊥=OC OB ⋅10.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点，以A 为圆心,AE 为半径作弧交AD 于F ，若P 为劣弧EF上的动点，则的最小值为______PC PD ⋅【答案】5-【解析】如图取CD 的中点M.222224()()(2)(2)44PC PD PC PD PC PD PM DM PM ⋅=+--=-=- 所以21PC PD PM ⋅=-而，当且仅当P,Q 重合时等号成立||1||||||PM PM AP AE +=+≥=所以的最小值为PC PD ⋅21)15--=-11.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，求的范围.PM PN ⋅【答案】 [0,2]【解析】如图当弦MN 的长度最大时，为内切球的直径，此时O 为MN 的中点，所以222224()()(2)(2)44PM PN PM PN PM PN PO OM PO ⋅=+--=-=- 21PM PN PO ⋅=-而，所以的范围为1||PO ≤≤PM PN ⋅ [0,2]。
第2讲 极化恒等式
第2讲极化恒等式结论：设a b、是两个平面向量，则有恒等式()()2214a b a b a b ⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦ ，在三角形中，也可以用三角形的中线来表示，22AB AC AM MB =- 。
极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差，因此，当两个向量之和或之差为定值时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解。
典型例题1．（2012浙江15）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，10BC =，则AB AC =．法1解：设AMB θ∠=，则AMC πθ∠=-．又AB MB MA =- ，AC MC MA =- ，∴(AB AC = )(MB MA - 2)MC MA MB MC MB MA MA MC MA -=--+，2553cos 35cos()916θπθ=--⨯-⨯-+=-，故答案为16-．法2：极化恒等式22223516AB AC AM MB =-=-=-2．如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA =，1BF CF =- ，则BE CE的值是．法1解：D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，∴BF BD DF =+ ，CF BD DF =-+ ，3BA BD DF =+ ，3CA BD DF =-+ ，∴221BF CF DF BD =-=- ，2294BA CA DF BD =-= ，∴258DF = ，2138BD = ，又 2BE BD DF =+ ，2CE BD DF =-+，∴22748BE CE DF BD =-= ，故答案为：78法2：极化恒等式FDAD BD FD CF BF BD AD CA BA 3142222=-=-=∙=-=∙分别解出FD ²和BD ²的值，即可求解CMDG O3．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，8AB =，6CD =，则MA MB的取值范围是．法1解：以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示；且圆O 的直径为AB ，设(,)M x y ，则(4,0)A ，(4,0)B -，(4,)MA x y =-- ，(4,)MB x y =--- ，222(4)(4)()16MA MB x x y x y =---+-=+-，又M 是圆O 的弦CD 上一动点，且6CD =，所以2216916x y -+ ，即22716x y + ，其中最小值在CD 的中点时取得，所以MA MB的取值范围是[9-，0]．故答案为：[9-，0]．法2直接使用极化恒等式22MA MB MO OA=-4MO ≤≤ ，4OA =[]9,0MA MB ∴∈-一课一练1．（2013•浙江二模）如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上（含原点）上滑动，则OB OC的最大值是．2.（2018•天津）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE的最小值为()A ．2116B ．32C ．2516D ．33、（2017•新课标Ⅱ）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-参考答案1）法1解：如图令OAD θ∠=，由于1AD =故0cos A θ=，sin OD θ=，如图2BAX πθ∠=-，1AB =，故cos cos()cos sin 2Bx πθθθθ=+-=+，sin()cos 2B y πθθ=-=故(cos sin ,cos )OB θθθ=+同理可求得(sin ,cos sin )C θθθ+，即(sin ,cos sin )OC θθθ=+，∴(cos sin OB OC θθ=+，cos )(sin θθ ，cos sin )1sin 2θθθ+=+，OB OC的最大值是2故答案是2法2：极化恒等式如图，取BC ，AD 中点E ，F ,22214OB OC OE EB OE =-=-根据极化恒等式13122OE OF EF ≤+=+=所以有最大值22）法1解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥ ，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==，1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 602BN AB =︒=，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan 302CM MB ∴=︒=，3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，32，C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =- ，3(2BE =- ，32m -，0m ，∴22233321(()224216416AE BE m m m =+-=-+-=-+ ，当m =2116．故选：A ．法2：极化恒等式22214EA EB EF FA EF =-=-当EF CD ⊥时，15144EF EK KF =+=+=251214416EA EB ⎛⎫=-=⎪⎝⎭最小3）法1解：建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．法2：极化恒等式222222()()()2PA PB PC PE EA PF FA PE PF +=-+-=+- 当P 位于EF 中点时，有最小值。
微专题01 平面向量
微专题01 平面向量秒杀总结结论1极化恒等式．1．平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b++-=+,,AB a AD b==证明：不妨设CA a b DB a b=+=-则，，()22222C2AC A a b a a b b==+=+⋅+（1）()222222DB DB a b a a b b==-=-⋅+（2）（1）（2）两式相加得：()()22222222AC DB a b AB AD+=+=+2．极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式（1）平行四边形模式：2214a b AC DB⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41。
（2）三角形模式：2214a b AM DB⋅=-（M为BD的中点）结论2矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等。
已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD+=+。
【证明】（坐标法）设,AB a AD b==，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，则(,0),(0,),(,)B a D bC a b，设(,)O x y，则AB CM222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+- 222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++- 2222OA OC OB OD ∴+=+结论3 三点共线的充要条件设OA 、OB 、OP 是三个不共线向量，则A 、B 、P 共线⇔存在R λ∈使(1)OP OA OB λλ=-+． 特别地，当P 为线段AB 的中点时，1122OP OA OB =+。
结论4 等和线 【基本定理】（一） 平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。
平面向量的极化恒等式及其应用
平面向量的极化恒等式及其应用2AB22AC2BC2则动点P的轨迹一定通过ABC的------A.外心B.内心C.重心D.垂心平面向量的极化恒等式及其应用一、极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
证法1（向量法）：设 $AB=a,AD=b$，则$AC=a+b,DB=a-b$，$AC+DB=2(a+b)=2(AB+AD)$。
证法2（解析法）：证法3（余弦定理）：推论1：由 $AC+DB=2(AB+AD)$ 知，$2AO+2OB=2(AB+AD)$，即 $AB+AD=2(AO+OB)$。
推论2：$a\cdot b=\dfrac{1}{4}(a+b)^2-\dfrac{1}{4}(a-b)^2$，即 $AB\cdot AD=AO-OB$。
推论3：在 $\triangle ABC$ 中，$O$ 是边 $BC$ 的中点，则 $AB\cdot AC=AO-OB$，即极化恒等式的几何意义。
二、平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍。
AC+DB=2(AB+AD)$。
三、三角形中线的一个性质AB+AC=2(AO+OB)$。
推论1：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-OB$。
推论2：$AO=\dfrac{1}{2}(AB+AC)-BC$。
应用】已知点 $P$ 是直角三角形 $ABC$ 斜边 $AB$ 上中线 $CD$ 的中点，则 $\dfrac{PA+PB}{PC^2}=-\dfrac{1}{2}$。
四、三角形“四心”的向量形态1.$O$ 是平面上一定点，$A,B,C$ 是平面上不同的三点，动点 $P$ 满足 $\dfrac{AP}{AB}+\dfrac{AP}{AC}=\infty$，则动点 $P$ 的轨迹一定通过 $\triangle ABC$ 的外心 $O$，即$OP=OA+\lambda\cdot\overrightarrow{AB}+\mu\cdot\overrighta rrow{AC}$，$\lambda,\mu\in\mathbb{R}$。
极化恒等式
微专题一极化恒等式及其应 用随着高考对平面向量问题的研究的不断深入，极化恒等式在解决平面向量问题上取得一些进展，随着应用的推进，一些诸如 “动点”、“多动动”、 “曲线” ，“运动动态”、“极限状态”等平面向量复杂问题接踵而至，极化恒等式在2016年江苏高考以后的模拟练习中，经常出现，往往通过极化恒等恒等式能快速解决一些求数量积问题，在此要注意观察什么样的数量积适用于极化恒等式解决，首先:共起点(或其终点或可化成共起点或终点)，其次:有中线(没 有自己造) 极化恒等式1.平行四边形中的极化恒等式设a , b 是平面内的一组基底，如图所示， 由恒等式221()()4a b a b a b ⎡⎤⋅=+--⎣⎦可得：22221()()4a b AC BD AM BD →→→→⎡⎤⋅=-=-⎢⎥⎣⎦，即22AB AD AM DM →→→→⋅=-..此等式称为极化恒等式.其几何意义是向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. 2. 三角形中的极化恒等式在ABC ∆中，设D 为BC 的中点， 2,,AB AC AD AB AC CB →→→→→→+=-= 则22224,AB AC AD AB AC CB →→→→→→⎛⎫⎛⎫ ⎪+=-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 两式相减可得: 2244AB AC AD CB →→→→⋅=- ，化简得极化恒等式2214AB AC AD CB →→→→⋅=-.说明：1.极化恒等式源于教材又高于教材，在ABC∆中，11(?),()22AD AB AC BD AC AB →→→→→→=+=-是教材上出现的两个重要向量三角形关系，而极化恒等式无非就是这两个公式的逆用；2. 具有三角几何背景的数学问题利用极化恒等式考店尤为简单；3. 向量与代数的互换运算深入人心，而与几何的运算略显单薄，而极化恒等式恰恰弥补了这个缺憾，可以说极化恒等式把向量的数量积问题用形象的几何图形展示得淋漓尽致， 引例:在ABC ∆中，M 是线段BC 的中点，AM=3. BC=10， 则AB AC →→⋅的值为_______.目标一：掌握用极化恒等式求数量积的值例1.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BA CA →→⋅=，1BE CE →→⋅=-,则BF CF →→⋅=________.变式1.如图，在ABC ∆中，D ，E 是BC 上的两个三等分点，2AB AC →→⋅=，4AD AE →→⋅=,则BC →的模长是________.目标二：掌握用极化恒等式求数量积的范围、最值 例2.如图， ABC ∆是边长为点P 是平面内任意一点，则AP BP →→⋅的最小值为________.变式2.已知正三角形内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则PA PB →→⋅的取值范围是_______.例3.在边长为1的菱形ABCD 中，23A π∠=，若点P 为对角线AC 上的一点，则PB PD→→⋅的最大值为_______.变式3.在菱形ABCD中，对角线AC =1BD =,点P 是AD 边上的动点，则PB PC →→⋅的最小值为_______.巩固练习：1.在ABC ∆中，10BC =,16AB AC →→⋅=-,D 是边BC 的中点，则AD →的模为________. 2.设P 是ABC ∆的中线AD 的中点，D 为边BC 的中点，且AD=2，若3PB PC →→⋅=-,则AB AC →→⋅的值是________.3.如图，在ABC ∆中， 4AB AC →→⋅=，3BC →=,点M ，N 分别为边BC 上的两个三等分点，则AM AN →→⋅的值为________.4. .如图，在ABC ∆中，点D ，E ，F 依次为BC 上的四等分点，2AB AC →→⋅=，5AD AF →→⋅=,则AE________.5.已知AB 为圆C ：22(1)1x y -+=的直径，点P 为直线10x y -+=上任意一点，则PA PB →→⋅的最小值为________.6.已如圆O 的直径AB=2，C 为该圆上异于A 、B 的一点， P 是圆O 所在平面上任一个动点则 PA PB PC →→→⎛⎫ ⎪⎝⋅⎭+的最小值为________. 7. 已知点A(2, 0)， B(4, 0),动点P 在抛物线24y x =-上运动，则使AP BP →→⋅取得最小值的点P 的坐标为________.8.已知点M 是边长为2的正方形ABCD 的内切圆内(含边界)一动点则MA MB →→⋅的取值范围为________.9.在周长为16的ABC ∆中，BC=6，则AB AC →→⋅的取值范围为________.10.在等腰ABC ∆底边BC 上的中线长为1，底角60B >，则BA AC →→⋅的取值范围为________.11.点P 为椭圆2211615x y +=上的任意一点，EF 为圆(x-1)2 +y 2=4的一条直径，则PE PF →→⋅的取值范围为________.12.如图，在ABC ∆中，已知AB=3,AC=2,120BAC ∠=，点D 为边BC 的中点，若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB EC →→⋅的值为________.13. 如图，若AB 是圆O 的直径，点M 是为弦CD 上的一个动点，AB=8，CD=6，则MA MB →→⋅的取值范围为________.C B。
平面向量的极化恒等式及其应用
证法1 AC + DB2.2C\—|2AC + DB=2 AB + AD证法推论 由 |AC2■|DB知，2AO推论ab = R b 2—2极化恒等式.推论3 :在 ABC 中，O 是边BC 的中点,____ 2 _______AO -OBAB AC 二-■|BC极化平面向量的极化恒等式及其应用一.极化恒等式的由来定理：平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍(向量法)设 AB =a, AD =b.则 AC b,DB -b.___h _____ L _______ 2_______ AB AD = AO -OB亦即向量数量积的第二几何意义•二.平行四边形的一个重要结论平行四边形的对角线的平方和等于相邻两边平方和的两倍|AC 2-1—*l 222AB + A D =2] AO +O B 1 1I2三.三角形中线的一个性质： -2 -------------- AB + AC2=2 AO|OB 2.推论 AO =-f AB 2+ AC 2) LOB 2lJ21: 推论 —21 (22 )1 AO =AB + AC 12l丿 42:P 是直角三角形 ——2BC 【应用】 已知点 ABC 斜边AB 上中线CD 的中点，则2PA + PBPC2即证法3 （余弦定理） （解析a=a b i 亠 ia - b =2 2!=2 AB + AD+ 2OB+ AD一 22 AB + AD——2DB =2OP = OA …ABAC八三0, •：：，则动点P的轨迹一定通过ABC的OP = OA ■■■ /ABA B sin BACAC sin C0,则动点P的轨迹一定通过ABC的------A. 夕卜心B. 内心C. 重心D. 垂心3. O是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点，动点P满足OP =OA ，ABAB cosBACAC cosC则动点P的轨迹一定通过ABC的 A. 外心 B. 内心 C. 重心 D.垂心四•三角形“四心”的向量形态1. O是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点，动点P满足A.夕卜心B. 内心C. 重心D. 垂心2. O是平面上一定点，A, B,C是平面上不同的三点，动点P满足4. P是ABC所在平面上一点，若PA卩B=PB卩C = PC PA，P是ABC的------A.外心B. 内心C. 重心D. 垂心ABC2 2 2 2 2 25. O是ABC所在平面内的一点，满足AB OC = AC OB = BC OA，则点O是二ABC的——（） A.外心 B. 内心C. 重心 D.垂心五.典型案例分析问题1在ABC中，M是BC的中点，AM -3, BC =10，则AB・AC =-------------------------- 【变式】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，贝U DE * DA = ---------------- 问题2已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PA* PB的取值范围是------2 2【变式】（2010福建文11题）若点O和点F分别为椭圆—匚=1的中心和左焦点，点P4 3为椭圆上的任意一点，贝U OP *FP的最大值为（）A. 2B. 3C. 6D. 8C. AB = ACD. AC = BC【变式】（2008浙江理 C 为抛物线上一A. C °M _ ABB. C 0M _1，其中是抛物线过点的切线C.C 0A_C 0B D.C 0M =AB （ 2013年浙江省高中数学竞赛试题第5题）问题4 在正三角形CABC 中,D 是 BC 上的点，AB =3, BD =1,则 AB ・AD =-15 （2011年上海第11题）【2问题 5 在. ABC 中，AB =2, AC =3 , D 是 BC 的中点，贝U AD *BC ---5（2007年天津文科第15题）【5】2问题6正方体ABCD - AB J GD J 的棱长为2，MN 是它内切球的一条弦 （把球面上任意两 点之间的线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦最长时,PM *PN 的最大值为.（2013年浙江省湖州市高三数学二模）【2】.问题7点P 是上一点，贝U PA *PC 的取值范围是问题3 （ 2013浙江理7）在.；ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0BAB ，且对于边 4JIA. ABC =2JIB. . BAC =29题）已知a,b 是平面内的两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足问题3已知直线AB 与抛物线y 2 =4x 交于点A, B ，点M 为AB 的中点,个动点，若C 0满足C 0A ・C 0B =minCA-CB 』，则下列一定成立的是AB 上任一点P ，恒有PB^PC _P 0B *F 0C ，则a —c ・b —c = 0，贝U C 的最大值是 （） A. 1 B. 2 C.•、2 D.22（2013年北京市朝阳区高三数学二模）【丄,1_2问题8如图，在平行四边形ABCD中，已知AB =8, AD = 5 , CP 二3PD，则AP • BP = 2. AB • AD 的值为-----.(2014 年高考江苏一 一 1AB 与OC 交于点P ，则OP ・BP 二2最小值为——【一】• 2 X 2 y 2问题10已知M X o ,y 。
培优点 向量极化恒等式
培优点 向量极化恒等式平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化恒等式、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．考点一 向量极化恒等式极化恒等式：a ·b ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b 22－⎝⎛⎭⎫a －b 22.变式：(1)a ·b ＝(a ＋b )24－(a －b )24，a ·b ＝|a ＋b |24－|a －b |24.(2)如图，在△ABC 中，设M 为BC 的中点，则AB →·AC →＝AM →2－14CB →2＝AM →2－MB →2.考向1 利用向量极化恒等式求值例1 (1)如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝45，AD ＝8，E ，O ，F 为线段BD 的四等分点，则AE →·AF →＝________.答案 27解析 BD ＝AB 2＋AD 2＝12， ∴AO ＝6，OE ＝3， ∴由极化恒等式知AE →·AF →＝AO →2－OE →2＝36－9＝27.(2)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78解析 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ， 则AD ＝3n .根据向量的极化恒等式，得AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4，① FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1.② 联立①②，解得n 2＝58，m 2＝138.因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78.即BE →·CE →＝78.考向2 利用向量极化恒等式求最值、范围例2 (1)已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值是________． 答案 －12解析 如图所示，取OC 的中点D ，连接PD ，因为O 为AB 中点，所以(P A →＋PB →)·PC → ＝2PO →·PC →， 由极化恒等式得PO →·PC →＝PD →2－DO →2＝PD →2－14，因此当P 为OC 的中点，即|PD →|＝0时， (P A →＋PB →)·PC →取得最小值－12.(2)平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________． 答案 －98解析 由向量极化恒等式知a ·b ＝(2a ＋b )2－(2a －b )28＝|2a ＋b |2－|2a －b |28≥02－328＝－98，当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，〈a ，b 〉＝π时，a ·b 取最小值．规律方法 利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，含有线段中点的向量问题．跟踪演练1 (1)如图，在四边形ABCD 中，B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．答案 16 132解析 依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°， 由AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos ∠BAD ＝－32|AD →|＝－32，得|AD →|＝1，因此λ＝AD →BC→＝16.取MN 的中点E ，连接DE (图略)， 则DM →＋DN →＝2DE →，DM →·DN →＝14[(DM →＋DN →)2－(DM →－DN →)2]＝DE →2－14NM →2＝DE →2－14.当点M ，N 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距离， 即AB ·sin B ＝332，因此DE →2－14的最小值为⎝⎛⎭⎫3322－14＝132，即DM →·DN →的最小值为132.(2)如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时， PM →·PN →的取值范围是________．答案 [0,2]解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2 3.当弦MN 的长度最大时，MN 为内切球的直径．设内切球的球心为O ， 则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1.由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]， 所以PM →·PN →∈[0,2]．考点二 等和(高)线解基底系数和(差)问题等和(高)线平面内一组基底OA →，OB →及任一向量OP ′--→，OP ′--→＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，若点P ′在直线AB 上或在平行于AB 的直线上，则λ＋μ＝k (定值)；反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和(高)线． (1)当等和线恰为直线AB 时，k ＝1；(2)当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)； (3)当直线AB 在O 点和等和线之间时，k ∈(1，＋∞)； (4)当等和线过O 点时，k ＝0；(5)若两等和线关于O 点对称，则定值k 1，k 2互为相反数； (6)定值k 的变化与等和线到O 点的距离成正比．例3 (1)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值为( ) A.12 B.13 C.14 D ．1 答案 A解析 方法一 设BM →＝tBC →(0≤t ≤1)， 则AN →＝12AM →＝12(AB →＋BM →)＝12AB →＋12BM →＝12AB →＋t 2BC →＝12AB →＋t 2(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎫12－t 2AB →＋t 2AC →， 所以λ＝12－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝12.方法二 如图，过N 作BC 的平行线， 设λ＋μ＝k ，则k ＝|AN →||AM →|.由图易知，|AN →||AM →|＝12.(2)如图，圆O 是边长为23的等边△ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM →＝xBA →＋yBD →(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的最大值为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．2 2答案 C解析 如图，作出定值k 为1的等和线DE ，AC 是过圆上的点最远的等和线， 则BM →＝xBA →＋yBD →＝2x ·12BA →·＋yBD →＝2xBE →＋yBD →，当M 在N 点所在的位置时，2x ＋y 最大，设2x ＋y ＝k ，则k ＝|NB →||PB →|＝2，所以2x ＋y 取得最大值2.易错提醒 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k ＝1时的等和(高)线，以此来求其他的等和(高)线．跟踪演练2 给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为2π3，如图所示，点C 在以O 为圆心的AB ︵上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的最大值是________．答案 2解析 方法一 以O 为坐标原点，OA →所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，如图(1)所示， 则A (1,0)，B ⎝⎛⎭⎫－12，32，设∠AOC ＝α⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3， 则C (cos α，sin α)．由OC →＝xOA →＋yOB →，得⎩⎨⎧cos α＝x －12y ，sin α＝32y ，所以x ＝cos α＋33sin α，y ＝233sin α， 所以x ＋y ＝cos α＋3sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6， 又α∈⎣⎡⎦⎤0，2π3， 所以当α＝π3时，x ＋y 取得最大值2.图(1) 图(2)方法二 令x ＋y ＝k ，在所有与直线AB 平行的直线中，切线离圆心最远，如图(2)，即此时k 取得最大值，结合角度，不难得到k ＝|OD →||OE →|＝2.专题强化练1．已知正方形ABCD 的面积为2，点P 在边AB 上，则PD →·PC →的最大值是( ) A.92 B ．2 C.32 D.34 答案 B解析 如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，由极化恒等式可得PD →·PC →＝PE →2－EC →2＝PE →2－12，所以当P 与A (B )重合时，|PE |＝102最大，从而(PD →·PC →)max ＝2. 2.如图，在四边形MNPQ 中，若NO →＝OQ →，|OM →|＝6，|OP →|＝10，MN →·MQ →＝－28，则NP →·QP →等于( )A ．64B ．42C ．36D ．28 答案 C解析 由MN →·MQ →＝MO →2－ON →2 ＝36－ON →2＝－28，解得ON →2＝64， 所以OQ →2＝64，所以NP →·QP →＝PQ →·PN →＝PO →2－OQ →2＝100－64＝36.3．若A ，B 为双曲线x 216－y 24＝1上经过原点的一条动弦，M 为圆C ：x 2＋(y －2)2＝1上的一个动点，则MA →·MB →的最大值为( ) A.154 B ．7 C ．－7 D ．－16答案 C解析 如图，O 为AB 的中点，MA →·MB →＝MO →2－14BA →2，|MO |max ＝|OC |＋1＝3， |AB |min ＝2a ＝8， 所以()MA →·MB→max ＝9－14×64＝－7. 4.如图，△BCD 与△ABC 的面积之比为2，点P 是区域ABDC 内任意一点(含边界)，且AP →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．[0,3]D ．[0,4]答案 C解析 如图，当P 位于点A 时，(λ＋μ)min ＝0， 当P 位于点D 时，(λ＋μ)max ＝3.5．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B --→·P 0C --→，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC D ．AC ＝BC答案 D解析 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，连接DP 0，DP ， 则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE . 根据向量的极化恒等式， 有PB →·PC →＝PD →2－DB →2， P 0B --→·P 0C --→＝P 0D --→2－DB →2. 又PB →·PC →≥P 0B --→·P 0C --→， 则|PD →|≥|P 0D --→|恒成立， 必有DP 0⊥AB .因此CE ⊥AB ， 又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC .6．已知等边△ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是______． 答案 [－2,6]解析 如图所示，取AB 的中点D ，连接CD ，因为△ABC 为等边三角形，所以O 为△ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝2 3.又由极化恒等式得P A →·PB →＝ PD →2－14BA →2＝PD →2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2,6]．7.如图所示，正方形ABCD 的边长为1，A ，D 分别在x 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC →·OB →的最大值是______．答案 2解析 如图，取BC 的中点M ，AD 的中点N ，连接MN ，ON ，则OC →·OB →＝OM →2－14.因为OM ≤ON ＋NM ＝12AD ＋AB ＝32，当且仅当O ，N ，M 三点共线时取等号． 所以OC →·OB →的最大值为2.8.如图，已知点P 为等边△ABC 外接圆上一点，点Q 是该三角形内切圆上的一点，若AP →＝x 1AB →＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|的最大值为________．答案 73解析 由等和线定理知当点P ，Q 分别在如图所示的位置时，x 1＋y 1取最大值，x 2＋y 2取最小值，且x 1＋y 1的最大值为AP AM ＝43，x 2＋y 2的最小值为AQ AM ＝13.故|(2x 1－x 2)＋(2y 1－y 2)|＝|2(x 1＋y 1)－(x 2＋y 2)|≤83－13＝73.。
专题一 平面向量的极化恒等式(含解析)
专题八 平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2． 三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． 记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 考点一 平面向量数量积的定值问题 【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1] (1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A 解析 通法 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2) (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．AABC图(2)答案 －16 解析 因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．3答案 C 解析 连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案 32 解析 连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78 解析 极化恒等式法 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法 以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b ) BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4 BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝()2a －c ，2b ·()2a －c ，2b ＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量 BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC答案 4 解析 过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=，AC ⋅ 2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=．B【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．1．答案 1 解析 取AE 中点O ，设|AE |＝x (0≤x ≤1)，则|AO |＝12x ，∴DE →·DA →＝|DO |2－|AO |2＝12＋⎝⎛⎭⎫12x 2 －14x 2＝1． 2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝ ( )A ．1B ．116C ．14D ．－122．答案 B 解析 取AO 中点Q ，连接PQ ，AP →·OP →＝P A →·PO →＝PQ 2－AQ 2＝516－14＝116．3．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值 是________．3．答案 9 解析 因为AB →·AD →＝AO →2－OD →2＝9－OD →2＝－7⇒OD →2＝16，所以BC →·DC →＝CO →2－OD →2＝25 －16＝9．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____． A ．0 B ．2 C ．3 D ．64．答案 C 解析 如图，点A ，B 分别在直线x ＝1，x ＝3上，|AB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，AB 的 中点在x 轴上，OA →·OB →＝OM →2－BM →2＝4－4＝0．5．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于( ) A ．16 B ．29 C ．1318 D ．135．答案 C 解析 解法一：因为D ，E 是边BC 的两个三等分点，所以BD ＝DE ＝CE ＝13，在△ABD 中，AD 2＝BD 2＋AB 2－2BD ·AB ·cos60°＝⎝⎛⎭⎫132＋12－2×13×1×12＝79，即AD ＝73，同理可得AE ＝73，在△ADE 中，由余弦定理得cos ∠DAE ＝AD 2＋AE 2－DE 22AD ·AE ＝79＋79－⎝⎛⎭⎫1322×73×73＝1314，所以AD →·AE →＝|AD →|·|AE →|cos ∠DAE ＝73×73×1314＝1318． 解法二：如图，建立平面直角坐标系，由正三角形的性质易得A ⎝⎛⎭⎫，32，D ⎝⎛⎭⎫－16，0，E ⎝⎛⎭⎫16，0，所以AD →＝(－16，－32)，AE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32，所以AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫－16，－32·⎝⎛⎭⎫16，－32＝－136＋34＝1318．极化恒等式法 取DE 中点F ，连接AF ，则AD →·AE →＝|AF |2－|DF |2＝34－136＝1318．6．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．2696．答案 B 解析 坐标法 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，化简得AB →·AC →＝0，又因为AB 和AC 为三角形的两 条边，它们的长不可能为0，所以AB 与AC 垂直，所以△ABC 为直角三角形．以A 为原点，以AC 所在直线为x 轴，以AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0，0)，B (0，2)，C (1，0)．不妨令E 为BC 的靠近C 的三等分点，则E ⎝⎛⎭⎫23，23，F ⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →＝⎝⎛⎭⎫23，23，AF →＝⎝⎛⎭⎫13，43，所以AE →·AF →＝23×13＋23×43＝109．极化恒等式法 取EF 中点M ，连接AM ，则AE →·AF →＝|AM |2－|EM |2＝54－536＝109．7．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．727．答案 B 解析 如图，取AB 中点E ，连接EP 并延长，交AD 延长线于F ，AP →·BP →＝EP 2－AE 2＝EP 2－16＝2，∴EP ＝32，又∵CP →＝3PD →，AE →＝EB →，AB →＝DC →，∴AE ＝2DP ，即△F AE 中，DP 为中位线，AF ＝2AD ＝10，AE ＝12AB ＝4，FE ＝2PE ＝62，AP 2＝40，AD →·AB →＝AF →·AE →＝AP 2－EP 2＝40－(32)2＝22．8．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．A BD CE F8．答案 4 解析 取BD 的中点N ，连接NF ，EB ，则BE ⊥AE ，∴BE ＝23．在△DEB 中．FN ∥12EB ．∴FN＝3．BF →·DE →＝2FB →·FD →＝2(FN 2－DN 2)＝4．AB DCE FN9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ， 则EB →·EC →＝________．9．答案 －277 解析 由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2 AB ·AC ·cos120°＝19，即BC ＝19，因为AB →·AC →AD 2－CD 2＝|AB |·|AC |·cos120°＝－3，所以|AD |＝72，因为S △ABC ＝2S △ADC ，则12|AB |·|AC |·sin120°＝2·12|AD ||CE |，解得|CE |＝3217，在Rt △DEC 中，|DE |＝CD 2－CE 2＝5714，所以EB →·EC →＝|ED |2－|CD |2＝－277．B10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC →＝15．则AC →·BD →的值为________．10．答案 解析 极化恒等式 如图，取, , , AB AC CD BD 中点, , , H I J K ，四边形ABCD 中，易知, , EF KI HJ 三线共点于O ，2215154AD BC HK HI HO IO ⋅=⇒⋅==-，又4AC BD HE HF ⋅=⋅=()224HO FO -，在EFI ∆中，12,2EF EI FI ===，由中线长公式知214IO =,从而24HO =，AC BD ⋅=14(4)142-=．基向量法2EF AB DC =+，22242EF AB DC AB DC ∴=++⋅， AB DC EF =又=1,1AB DC ∴⋅=，15 ()()15AD BC AC CD BD DC ⋅=∴+⋅+=，，则2AC BD AC DC CD BD DC ⋅+⋅+⋅-15=，可化为()()515AC BD AB BC DC CD BC CD ⋅++⋅+⋅+-=，15, AC BD AB DC ⋅+⋅= AC BD ⋅故=14．BCADE OF考点二 平面向量数量积的最值(范围)问题 【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案 －98 解析 a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，< a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析 坐标法 以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A ()0，3，C ()c ，0，B ()b ，2，则AB →＝()b ，－1，AC →＝()c ，－3，从而()b ＋c 2＋()－42＝52，即()b ＋c 2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤()b ＋c 24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式 连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12||AB →＋AC →＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →) max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法 设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PD →·P A →＝2|PM→|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [－2，6] 解析 取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min ＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析 通法 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213． 极化恒等式法 设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·P A →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案 23 解析 取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解 取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·||BC →·2h ＝2⇒||BC→＝2h，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →2＝⎝⎛⎭⎫PM →2－14BC →2＋BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h2≥23(当且仅当||PM →＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点， 则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－11．答案 C 解析 P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →，取OC 中点D ，由极化恒等式得，PO →·PC →＝|PD |2－|CD |2＝|PD |2－14，又|PD |2min ＝0，∴(P A →＋PB →)·PC →的最小值为－12．2．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]2．答案 A 解析 建立平面直角坐标系如图所示，可得O (0，0)，A (－2，0)，C (－1，0)，设B (2cos θ， 2sin θ)．θ∈[0，2π)．则CO →·CB →＝(1，0)·(2cos θ＋1，2sin θ)＝2cos θ＋1∈[－1，3]．故选A ．极化恒等式法 连接OB ，取OB 的中D ，连接CD ，则CO →·CB →＝|CD |2－|BD |2＝CD 2－1，又|CD |2min ＝0，∴CO →·CB →的最小值为－1．|CD |2max ＝2，∴CO →·CB →的最大值为3．3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．3．答案 －116 解析 取OB 的中点D ，连接PD ，则OP →·BP →＝|PD →|2－|OD →|2＝|PD →|2－14，于是只要求求PD 的最小值即可，由图可知，当PD ⊥AB ，时，PD ＝34，即所求最小值为－116．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．4．答案 16 132 解析 第1空 因为AD →＝λBC →，所以AD ∥BC ，则∠BAD ＝120°，所以AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos 120°＝－32，解得|AD →|＝1．因为AD →，BC →同向，且BC ＝6，所以AD →＝16BC →，即λ＝16．第2空 通法 在四边形ABCD 中，作AO ⊥BC 于点O ，则BO ＝AB ·cos 60°＝32，AO ＝AB ·sin 60°＝332．以O 为坐标原点，以BC 和AO 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．如图，设M (a ，0)，不妨设点N 在点M 右侧，则N (a ＋1，0)，且－32≤a ≤72．又D ⎝⎛⎭⎫1，332，所以DM →＝⎝⎛⎭⎫a －1，－332，DN →＝⎝⎛⎭⎫a ，－332，所以DM →·DN→＝a 2－a ＋274＝⎝⎛⎭⎫a －122＋132．所以当a ＝12时，DM →·DN →取得最小值132． 极化恒等式法 如图，取MN 的中点P ，连接PD ，则DM →·DN →＝PD →2－MP →2＝PD →2－14，当PD →⊥BC →时，|PD→|2取最小值274，所以DM →·DN →的最小值为132．BC5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN ⋅的最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．5．答案解析 取MN 的中点P ，则由极化恒等式得2221144CM CN CP MN CP ⋅=-=-，∵ CM CN ⋅的最小值为34，∴min 1CP =，由平几知识知：当CP ⊥AB 时，CP 最小，如图，作CH ⊥AB ，H 为垂足，则CH ＝1，又AC ＝2BC ＝4，所以∠B ＝30o ，sin A =14，所以cos ∠ACB ＝cos （150o －A ）．6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 6．答案 [－9，0] 解析 如图，MA →·MB →＝MO →2－AO →2＝MO →2－16，∵|OG →|≤|OM →|≤|OC →|，∴7≤|OM →|≤4，∴MA →·MB →的取值范围是[－9，0]．7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______． 7．答案 [0，16] 解析 如图取CD 的中点E ，连接PE ，PC →·PD →＝PE →2－DE →2＝OE →2－2，2≤|PE →|≤25， 所以PC →·PD →的取值范围为[0，16]．8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，AE 交圆O 于点F ，则F A →·FB →的取值范围是________．8．答案 [0，6] 解析 取AB 的中点D 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：F A →·FB →＝|FD |2－|AD |2＝|FD |2－3，因为F 在劣弧BC 上，所以当F 在点C 处时，|FD |max ＝3，当F 在点B 处时， |PD |min ＝3，所以P A →·PB →∈[0，6]．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则P A →·PB →的取 值范围为_________．9．答案 [－6，10] 解析 极化恒等式法 设AB 的中点为C ，连接CP ，则P A →·PB →＝|PC →|2－|AC →|2＝|PC →|2－15．|PC →|2－15≥25－15＝10，|PC →|2－15≤9－15＝－6．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．10．答案 15 解析 取K 为MN 中点，由极化恒等式，AM →·AN →＝|AK |2－1，显然K 的轨迹是以点C 为圆心，1为半径的圆周在矩形内部的圆弧，所以|AK |min ＝5－1＝4，所以AM →·AN →的最小值为15．AD11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．11．答案 32解析 设D 是AB 的中点，连接CD ，点O 是△ABC 的外心，连接DO 并延长交圆O 于C ´，由△ABC ´是等边三角形，∵AD ＝32，∴C ´D ＝32，则CA →·CB →＝|CD →|2－|DA →|2＝|CD →|2－(32)2≤|C ´D →|2－34＝(32)2－34＝32．∴(CA →·CB →)max ＝32．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC12．答案 D 解析 如图所示，取AB 的中点E ，因为P 0B ＝14AB ，所以P 0为EB 的中点，取BC 的中点D ，则DP 0为△CEB 的中位线，DP 0∥CE ．根据向量的极化恒等式，有PB →·PC →＝PD →2－DB →2，P 0B →·P 0C →＝P 0D →2－DB →2．又PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则|PD →|≥|P 0D →|恒成立，必有DP 0⊥AB ．因此CE ⊥AB ，又E 为AB 的中点，所以AC ＝BC ．13．在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB →的最大值为______．13．答案 2 解析 如图取BC 的中点E ，取AD 的中点F ，OC →·OB →＝OE →2－BE →2＝OE →2－14，而|OE →|≤|OF →|＋|FE →|＝12||AD →|＋|FE →||＝12＋1＝32，当且仅当O ，F ，E 三点共线时取等号．，所以OC →·OB →的最大值为2．14．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________． 14．答案154 解析 设EF 的中点为M ，连接CM ，则|CM →|＝12，即点M 在如图所示的圆弧上，则DE →·DF → ＝|DM →|2－|EM →|2＝|DM →|2－14≥||CD |－12|2－14＝154．ABC DE M15．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若点A ，B 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OA →·OC →的最大值为________．15．答案 18 解析 如图取AC 的中点M ，取AB 的中点N ，则OA →·OC →＝OM →2－AM →2＝OM →2－(32)2≤(ON →2－NM →2)－(32)2＝(2＋52)2－(32)2＝18．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 为AB 的中点，以A 为圆心，AF 为半径作弧交AD 于E ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为______．16．答案 5－25 解析 如图取CD 的中点M ，PC →·PD →＝PM 2－DM 2＝PM 2－1，而|PM |＋1＝|PM |＋|AP |≥|AM |＝5，当且仅当P ，Q 重合时等号成立，所以PC →·PD →的最小值为(5－1)2－1＝5－25．C17．如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________．ABCDMN17．答案13＋44 解析 设MN 的中点为G ，BD 的中点为H ，CM →·CN →＝|CG →|2－|GN →|2＝|CG →|2－116， ∵|CG →|≤|CH →|＋|HG →|＝12＋134，∴CM →·CN →≤(12＋134)2－116＝13＋44．所以CM →·CN →的最大值为13＋44．AB CD MNG H18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23．若点M 为边BC上的动点，则AM →·DM →的最小值为________．B C18．答案214解析 设E 是AD 的中点，作EN ⊥BC 于N ，延长CB 交DA 的延长线于F ，由题意可得： FD ＝3CD ＝6，FC ＝2CD ＝43，∴BF ＝23，∴AB ＝2，F A ＝4，∴AD ＝2，EN AB ＝EF F A ＝54，EN ＝52．则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．另解 设E 是AD 的中点，作EF ⊥BC 于F ，作AG ⊥EF 于G ，∵AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∴四边形ABCD 共圆，如图，由圆的对称性及∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23，可知∠BCA ＝∠DCA ＝30°，∴AB ＝2，∵∠GAE ＝30°，∴GE ＝12，∴EF ＝2＋12＝52，则AM →·DM →＝MA →·MD →＝|ME →|2－|EA →|2＝|ME →|2－1≥EN 2－1＝(52)2－1＝214．∴AM →·DM →＝214．C19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．19．答案2116解析 通法 如图，以D 为坐标原点建立直角坐标系．连接AC ，由题意知∠CAD ＝∠CAB ＝60°，∠ACD ＝∠ACB ＝30°，则D (0，0)，A (1，0)，B ⎝⎛⎭⎫32，32，C (0，3)．设E (0，y )(0≤y ≤3)，则AE →＝(－1，y )，BE →＝⎝⎛⎭⎫－32，y －32，所以AE →·BE →＝32＋y 2－32y ＝⎝⎛⎭⎫y －342＋2116，所以当y ＝34时，AE →·BE→有最小值2116．极化恒等式法 如图，取AB 的中点P ，连接PE ，则AE →·BE →＝PE →2－AP →2＝PE →2－14，当PE →⊥CD →时，|PE→|取最小值，由几何关系可知，此时，PE →2＝2516，所以DM →·DN →的最小值为2116．20．如图，圆O 为Rt △ABC 的内切圆，已知AC ＝3，BC ＝4，C ＝π2，过圆心O 的直线l 交圆于P ，Q 两点，则BP →·CQ →的取值范围为________．20．答案 [－7，1] 解析 易知，圆的半径为1，BP →·CQ →＝(BC →＋CP →)·CQ →＝BC →·CQ →＋CP →·CQ →＝CP →·CQ →－CB →·CQ →，CP →·CQ →＝CO →2－OP →2＝2－1＝1．CB →·CQ →＝|CB →||CQ →|cos ∠BCQ ＝2|CQ →|cos ∠BCQ ，(|CQ →|cos ∠BCQ )min ＝0，(|CQ →|cos ∠BCQ )max ＝4．所以BP →·CQ →的取值范围为[－7，1]．21．在三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，点M 为三棱锥S －ABC 的外接球面上任意一点，则MA →·MB →的最大值为________．21．答案 23＋2 解析 如图，MA →·MB →＝MO 1→2－2．当M ，A ，B 在同一个大圆上且MO 1⊥AB ，点M 与线段AB 在球心的异侧时，|MO 1→|最大，又2R ＝22＋22＋22＝23，所以R ＝3．|MO 1→|max ＝3＋1，MO 1→2－2的最大值为23＋2．A22．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________．22．答案 [0，2] 解析 由正方体的棱长为2，得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为23．当弦MN 的长度最大时，MN 为球的直径．设内切球的球心为O ，则PM →·PN →＝PO →2－ON →2＝PO →2－1．由于P 为正方体表面上的动点，故OP ∈[1，3]，所以PM →·PN →∈[0，2]．23．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为________．23．答案 －34解析 如图取AB 的中点为D ，连接CD ，则CA →·CB →＝|CD →|2－1＝λ，|CD →|＝1＋λ，()－1≤λ<0， 又由点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，故1＋λ≤12，则负数λ的最大值为－34．24．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．824．答案 C 解析 如图，由已知|OF |＝1，取FO 中点E ，连接PE ，由极化恒等式得：OP →·FP →＝|PE |2－14|OF |2＝|PE |2－14，∵|PE |2max ＝254，∴OP →·FP →的最大值为6．。
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巧用极化恒等式，妙解一类向量题
如图，AB a, AD b， 试证明平行四边形四边 和对角线性质。
2
2
2
2
2
AC AC a b a 2a b b
2
2
2
2
2
DB DB a b a 2a b b
（1） （2）
（1）+（2）得：
2பைடு நூலகம்
AC
2
DB
2
2
a
b 2
最小值为 A．-2
B．-1
C．-3
D．-4
4
跟踪练习： 1.正ABC边 长 为4，P为AC上 一 点 ， 则(BP CP)min
3.在RtABC中 ，AC 2, BC 2,已 知 点P是ABC 内 一 点 ， 则PC (PA PB)的 最 小 值 是_______
2
2
AB
AD 2
（1）—（2）得：
a
b
＝
1 4
a
b
2
ab
2
————极化恒等式
应用一：求值 例1.(2012浙江15)在ABC中，M是BC的中点， AM 3, BC 10,则AB AC
A
B
M
C
应用二：求范围
例2.已 知 正 三 角 形ABC内 接 于 半 径 为2的 圆O， 点P是圆O上的一个动点，则PA PB的取值 范 围 是____;
C
P
A
D
B
跟踪练习： AB 4, AC 2, BAC 60o , AP 2, 则(PB PC )max _______
跟踪练习：
例 3.（2013 浙江理 7）在 ABC 中, P0 是边 AB 上一定点，
满足
P0 B
1 4
AB
，且对于边
AB
上任一点
P
，恒有
uuur uuur uuur uuur
PB PC P0B P0C 。则( )
A. ABC 90o B. BAC 90o
C. AB AC
D. AC BC
变4. 3 ．（浙江省五校联盟 2013 第二次联考）已知圆 O 的半径为 2, A、B 是圆上两点且 AOB 2 , MN 是一条直径,点 C 在
3
圆内且满足 OC OA (1 )OB (0 1) ,则 CM CN 的