高考数学大一轮复习 第2章 第8节 函数与方程 文 新人教版
零点个数是( )
A．0
B．1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．2
D．3
【解析】 因为 f′(x)＝2xln 2＋3x2>0，所以函数 f(x)＝
2x＋x3－2 在(0,1)上递增，且 f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2
＋1－2＝1>0，所以有 1 个零点．
【答案】 B
精品课件
3．(2014·福建高考)函数 f(x)＝x22x－－26，＋xl≤n x0，，x>0 的零点 个数是________．
[对点练习]
(1)方程|x|＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根
B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
(2)(2013·重庆高考)若 a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)·(x－b)
＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内
精品课件
【解析】 当 x≤0 时，令 x2－2＝0，解得 x＝－ 2(正根 舍去)，
所以在(－∞，0]上有一个零点． 当 x>0 时，f′(x)＝2＋1x>0 恒成立，所以 f(x)在(0，＋∞) 上是增函数．又因为 f(2) ＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0， f(2)·f(3)<0，所以 f(x)在(2,3)内有一个零点． 综上，函数 f(x)的零点个数为 2. 【答案】 2
精品课件
(2)函数 f(x)的零点个数即为函数 y＝|log0.5x|与 y＝21x图象 的交点个数．在同一坐标系中作出函数 y＝|log0.5x|与 y＝21x的 图象，如图，由图易知有 2 个交点．
【答案】 (1)D (2)B
精品课件
1．确定函数 f(x)零点所在区间的方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程， 再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区 间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)<0.若有，则 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给 定区间上是否有交点来判断．
精品课件
A.－94，－2∪0，12 B.－141，－2∪0，12 C.－94，－2∪0，23 D.－141，－2∪0，23 【思路点拨】 作出 f(x)的图象，根据题意，用数形结合 法解答．
精品课件
(2)(2013·天津高考)函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为
()
A．1
B．2
C．3
D．4
【思路点拨】 (1)求函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点等价于
求方程 f(x)＝－3＋x 的解，确定 f(x)后，解方程即可．
(2)转化为求函数 y＝|log0.5x|与 y＝21x图象交点个数问题解
精品课件
【答案】 (1)C (2)A
精品课件
考向二 函数零点的应用 [典例剖析]
【例 2】 (2014·重庆高考)已知函数 f(x)＝ x＋1 1－3，x∈－1，0]， 且 g(x)＝f(x)－mx－m 在(－1,1]内 x，x∈0，1]， 有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是( )
－4x＋4 的图象的交点个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
精品课件
【解析】 g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2， 在同一平面直角坐标系内画出函数 f(x)＝ln x 与 g(x)＝(x－2)2 的图象 (如图)．由图可得两个函数的 图象有 2 个交点．
【答案】 C
精品课件
2．(2012·天津高考)函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内的
第八节 函数与方程
精品课件
考纲要求：1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与 方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2. 根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
精品课件
[基础真题体验]
考查角度[函数的零点]
1．(2013·湖南高考)函数 f(x)＝ln x 的图象与函数 g(x)＝x2
精品课件
2．确定方程 f(x)＝g(x)在区间[a，b]上根的个数的方法 (1)解方程法：当对应方程 f(x)＝g(x)易解时，可先解方程， 看求得的根是否落在区间[a，b]上再判断． (2)数形结合法：通过画函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象，观 察其在区间[a，b]上交点个数来判断．
精品课件
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内 精品课件
【解析】 (1)如图所示，由图象可得两函数图象有两个 交点，故方程有且仅有两个根，故答案为 C.
(2)∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)， ∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c －b)， ∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0， ∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．
精品课件
[命题规律预测] 从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是 命题 高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中 规律 等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方 程的思想． 预测 2016 年高考仍以考查函数的零点、方程的根和两 考向 函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目 预测 有求零点的个数及取值范围、利用函数的零点求解参数 等.
答．
精品课件
【解析】 (1)令 x<0，则－x>0，所以 f(x)＝－f(－x)＝－ [(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.
求函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的零点等价于求方程 f(x)＝－3 ＋x 的解．
当 x≥0 时，x2－3x＝－3＋x，解得 x1＝3，x2＝1； 当 x<0 时，－x2－3x＝－3＋x，解得 x3＝－2－ 7.故选 D.
精品课件
考向一 函数零点的求解与判断
[典例剖析]
【例 1】 (1)(2014·湖北高考)已知 f(x)是定义在 R 上的奇
函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2－3x，则函数 g(x)＝f(x)－x＋3 的
零点的集合为( )
A．{1,3}
B．{－3，－1,1,3}
C．{2－ 7，1,3}
D．{－2－ 7，1,3}
高考数学一轮复习 第2篇 第8节 函数与方程课件 文 新人教版
3.(2013 揭阳一中高三月考)若函数 f(x)=x3+x2-2x-2, 其参考数据如下: f(1)=-2,f(1.5)=0.625,f(1.25)≈-0.984,f(1.375)≈ -0.260,f(1.4375)≈0.162,f(1.40625)≈-0.054. 则利用二分法计算方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似值(精 确到 0.1)为( C ) (A)1.2 (B)1.3 (C)1.4 (D)1.5 解析:设函数 f(x)的零点为 x0,则由 f(1)·f(1.5)<0,得 x0∈(1,1.5),
第六页，共40页。
(3)计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)·f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)·f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). (4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<ε,则得到零 点近似值 a(或 b);否则重复②③④.
x
1 2
与
q(x)=
1 2
x
的
图象如图所示,两图象只有一
个交点,
∴函数 f(x)=
x
1 2
-
1 2
x
的零
点个数为 1.
故选 B.
第九页，共40页。
2.(2013 陕西西工大附中检测)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在区间是( A ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,4) 解析:因为 f(x)=ex+x-2 的图象是连续不断的且是 增函数, 又 f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0, 所以函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的区间为(0,1). 故选 A.
高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第8节函数与方程课件新人教A版
D.[1，2)
解析 依题意直线y＝a与y＝f(x)的图象有两个交点. 作出y＝a，y＝f(x)的图象，如图所示. 又当 x≤1 时，f(x)＝12|x|∈(0，1]； 当x>1时，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2， ∴当x＝2时，f(x)有最大值f(2)＝2. 结合图象，当 a∈0，12∪[1，2)时，两图象有 2 个交点. 此时，方程a＝f(x)有两个不同实根. 答案 B
【训练3】 (1)(角度1)(202X·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零
点，则a＝( )
A.－12
1 B.3
1
C.2
D.1
(2)(角度2)若函数y＝x＋log2(a－2x)＋2在R上有零点，则实数a的最小值为________.
解析 (1)f(x)＝(x－1)2－1＋a(ex－1＋e1－x)，则f(2－x)＝(2－x－1)2－1＋a[e2－x－1＋ e1－(2－x)]＝(1－x)2－1＋a(ex－1＋e1－x)＝f(x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称. 若 f(x)有唯一的零点，则只有 f(1)＝0，∴a＝12. 或：作出y＝a(ex－1＋e－x＋1)与y＝－x2＋2x的图象.
x0 所在的区间是________.
解析 (1)由函数 f(x)＝x－1 a为奇函数，可得 a＝0， 则 g(x)＝ln x－2f(x)＝ln x－2x. 又 g(2)＝ln 2－1<0，g(3)＝ln 3－23>0，
所以g(2)·g(3)<0. 故函数g(x)的零点所在区间为(2，3).
(2)设 f(x)＝x3－12x－2，则 x0 是函数 f(x)的零点，在同一坐 标系下画出函数 y＝x3 与 y＝12x－2的图象如图所示. 因为 f(1)＝1－12－1＝－1<0，f(2)＝8－120＝7>0， 所以f(1)·f(2)<0，所以x0∈(1，2). 答案 (1)C (2)(1，2)
2019届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第8讲函数与方程课件文新人教版
•第8讲 函数与方程
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最新考纲
常见题型
1.结合二次函数的图象，了解函数的零 多见于选择、 点与方程根的联系，判断一元二次方 填空题，比较
程根的存在性及根的个数．
简单，中、低
2.根据具体函数的图象，能够用二分法 档题目，占5分
求相应方程的近似解.
左右.
x－2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标
系下画出函数y＝x3与y＝
1 2
x－2的图象如图所示．因为f(1)＝1－
1 2
－1
＝－1＜0，f(2)＝8－120＝7＞0，所以f(1)f(2)＜0，所以x0∈(1,2)． [答案] (1,2)
方法感悟 确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法 1．利用函数零点的存在性定理： 首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． 2．数形结合法： 通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判 断．
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝
ax2＋bx＋c (a
＞0)的图象
与x轴的交点 零点个数
(x1,0) (x2,0) 2
(x1,0) 1
无交点 0
[知识感悟] 1．辨明两个易误点 (1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y ＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标． (2)函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必 要条件．
定理
＝f(x)在(a，b)内存在零点．
解方程f(x)＝0 函数存在零点的
2024届新高考一轮总复习人教版 第二章 第8节 函数与方程 课件(35张)
[必记结论] 1．若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点．函数的 零点不是一个“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根． 2.由函数 y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0， 如图所示，所以“f(a)·f(b)<0”是“y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件．
2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
与 x 轴的交点 零点个数
__(x_1_，__0_)_，__(x_2_，__0_)___ __2_
(x1，0) _1__
无交点 __0_
3.二分法 (1)定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且___f(_a_)_f(_b_)_<_0___的函数 y＝f(x)，通过不 断地把它的零点所在区间_一__分__为__二___，使所得区间的两个端点逐步逼近_零__点___，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法． (2)给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点 x0 的近似值的一般步骤如下： ①确定零点 x0 的初始区间[a，b]，验证 f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点 c.
③计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (ⅰ)若 f(c)＝0(此时 x0＝c)，则 c 就是函数的零点； (ⅱ)若 f(a)f(c)<0(此时 x0∈(a，c))，则令 b＝c； (ⅲ)若 f(c)f(b)<0(此时 x0∈(c，b))，则令 a＝c. ④判断是否达到精确度 ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复②～④.
(新课标)2020年高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用2_8函数与方程课件理新人教A版
跟踪训练 (1)设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间( )
A．(－1,0)
B．(0,1)
C．(1,2)
D．(2,3)
答案：C
(2)(2017·西安五校联考)函数y＝ln(x＋1)与y＝
1 x
的图象交点的横坐标所在区间为
() A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
D．(3,4)
第八节 函数与方程
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教材回顾 考点突破
最新考纲
考情考向分析
结合二次函数的图 利用函数零点的存在性定理或函数的图
象，了解函数的零 象，对函数是否存在零点进行判断或利
点与方程根的联 用零点(方程实根)的存在情况求相关参
系，判断一元二次 数的范围是高考的热点，题型以选择、
方程根的存在性及 填空为主，也可和导数等知识交汇出现
．
答案：(1,1.5)
考点一|判定函数零点区间 (方法突破)
方法1 使用零点存在性定理判断区间
【例1】
(2017·安徽芜湖模拟)函数f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
的零点所在的大致区间是
() A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
[解析]
f(x)＝
2 x
＋ln
1 x－1
＝
2 x
－ln(x－1)，当1＜x＜2时，ln(x－1)＜0，
2 x
＞0，所以
f(x)＞0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝23－ln 2＝2－33ln 2
＝
2－ln 3
8 .∵
8 ＝2
2 ≈2.828＞e，∴8＞e2，即ln
高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第8节 函数与方程课件 文
12/11/2021
第十九页，共四十九页。
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[规律方法] 判断函数零点所在区间的 3 种方法
(1)解方程法：当对应方程 f(x)＝0 易解时，可先解方程，然后再
看求得的根是否落在给定区间上．
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课堂 题型全突破
12/11/2021
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判断函数零点(línɡ diǎn)所在的区间
1．若 a＜b＜c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－ c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
点值所具有的性质．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画
出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不
同的值，就有几个不同的零点．
12/11/2021
第二十七页，共四十九页。
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x2＋x－2，x≤0， (1) 函 数 f(x) ＝ －1＋ln x，x＞0 的 零 点 个 数 为
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5．函数 f(x)＝ax＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数 a 的取值范围是________．
13，1 [∵函数 f(x)的图像为直线，由题意可得 f(－1)f(1)＜0，∴(－ 3a＋1)·(1－a)＜0，解得13＜a＜1，∴实数 a 的取值范围是13，1
12/11/2021
高考数学统考一轮复习第二章2-8函数与方程课件文新人教版
解析：令f(x)＝2ln x－3＋x，则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数f(x)在(1，2)内有
零点，即a在区间(1，2)内．
2．[2021·河北石家庄检测]已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝ax＋
实数a的取值范围是______________________．
0， − ∪ − ，
6
8
24
3．若函数f(x)＝24ax2 ＋4x－1在区间(－1,1)内恰有一个零点，则
1
1
5
实数a的取值范围是______________________．
0， − ∪ − ，
6
8
24
三、易错易混
4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数
解析：由函数零点存在定理知，函数f(x)的图象在[a，b]内与x轴
只有一个交点，即方程f(x)＝0在[a，b]内只有一个实根．
(
四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅲ]函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为
)
A．2
B．3
C．4
D．5
解析：由f(x)＝2sin x－sin 2x＝2sin x－2sin x cos x＝2sin x(1－cos
x－b的零点所在的区间是(
)
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
1
x
解析：因为a>1，0<b<1，f(x)＝a ＋x－b，所以f(－1)＝ －1－
a
b<0，f(0)＝1－b>0，所以f(x)的零点在区间(－1，0)内．故选B项．
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第八节函数与方程及应用课件新人教版
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为
(B ) A．2
B．3
C．4
D．5
题型一 函数零点个数或所在区间的判定 自主探究
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为
(B ) A．2
B．3
C．4
D．5
2．(2021·揭阳模拟)曲线y＝13x与y＝ 的交点横坐标所在区间为( B )
A.0，31
B．31，21
C.12，23
D．23，1
解析：设f(x)＝31x－ ，易知f(x)单调递减， ∵f13f21＜0， ∴函数零点所在区间为13，12，即所求交点横坐标所在区间为13，12.
3．(多选题)已知f(x)是定义域为R的偶函数，在(－∞，0)上单调递减，
有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零 点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
必明易错 1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标． 2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件； 判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面
积最大，则隔墙的长度为________．
解析：设隔墙的长度为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，则y＝x×
24－4x 2
＝
2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y最大．
新人教版通用2019高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第8节函数与方程教师用书文新人教A版
第八节函数与方程————————————————————————————————[考纲传真] 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x ∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是( )A．0 B．1C ．2D ．3B [∵f (－1)＝1e －3＜0，f (0)＝1＞0，∴f (x )在(－1,0)内有零点，又f (x )为增函数，∴函数f (x )有且只有一个零点．]3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点，只有y ＝cos x 是偶函数又有零点．]4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(－2，－1)D ．(－1,0)D [∵f (－2)＝－359，f (－1)＝－23，f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，∴f (0)f (1)＞0，f (1)f (2)＞0，f (－2)f (－1)＞0，f (－1)f (0)＜0，故选D.]5．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．【导学号：31222059】⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [∵函数f (x )的图象为直线，由题意可得f (－1)f (1)＜0，∴(－3a ＋1)·(1－a )＜0，解得13＜a ＜1，∴实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.]A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)(2)函数f (x )＝x 2－3x －18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. 【导学号：31222060】(1)B (2)存在 [(1)函数f (x )的零点所在的区间可转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)． (2)法一：∵f (1)＝12－3×1－18＝－20＜0，f (8)＝82－3×8－18＝22＞0，∴f (1)·f (8)＜0，又f (x )＝x 2－3x －18，x ∈[1,8]的图象是连续的， 故f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点． 法二：令f (x )＝0，得x 2－3x －18＝0， ∴(x －6)(x ＋3)＝0.∵x ＝6∈[1,8]，x ＝－3∉[1,8]，∴f (x )＝x 2－3x －18在x ∈[1,8]上存在零点．] [规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．[变式训练1] 已知函数f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)C [∵f (x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在(0，＋∞)上是增函数，又f (1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2＜0，f (2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＜0，f (3)＝ln 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫121＞0，∴x 0∈(2,3)，故选C.]0.5A ．1B ．2C ．3D ．4(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f (x )＝{ ln x －x 2＋2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0的零点个数是________．(1)B (2)3 [(1)令f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0，可得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．(2)当x ＞0时，作函数y ＝ln x 和y ＝x 2－2x 的图象， 由图知，当x ＞0时，f (x )有2个零点； 当x ≤0时，由f (x )＝0得x ＝－14，综上，f (x )有3个零点．][规律方法] 判断函数零点个数的方法：(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________．2 [f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，由f (x )＝0，得sin2x ＝x 2.设y 1＝sin 2x ，y 2＝x 2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f (x )有两个零点．](2017·昆明模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x －4)＝f (x )，且在区间[0,2]上f (x )＝x ，若关于x 的方程f (x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围．[思路点拨] 先作出函数f (x )的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件． [解] 由f (x －4)＝f (x )知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f (x －4)＝f (x )＝f (4－x )，3分所以函数图象关于x ＝2对称，且f (2)＝f (6)＝f (10)＝2，要使方程f (x )＝log a x 有三个不同的根，则满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，f＜2，f＞2，8分如图，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，log a 6＜2，log a 10＞2，解得6＜a ＜10.故a 的取值范围是(6，10).12分[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．[变式训练3] (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)(2016·山东高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________．(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f (x )＝2x－2x－a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，∴(－a )(4－1－a )＜0，即a (a－3)＜0，∴0＜a ＜3.(2)作出f (x )的图象如图所示．当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.][思想与方法]1．转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．2．判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断．(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．(3)将函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数转化为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象公共点的个数来判断．3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法． [易错与防范]1．函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．课时分层训练(十一) 函数与方程A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) 【导学号：31222061】A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－12.]2．函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)C [因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，故f (0)·f (1)＜0，故选C.]3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3B [由指数函数、幂函数的性质可知，f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内单调递增，且f (0)＝－1＜0，f (2)＝10＞0，所以f (0)·f (2)＜0，即函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0,1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)D [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]5．(2016·湖北七校2月联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )A.14B.18 C ．－78D ．－38C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C.]二、填空题6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．【导学号：31222062】(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]7．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.]8．(2015·湖南高考)若函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．(0,2) [由f (x )＝|2x－2|－b ＝0得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x－2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0<b <2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x－2|－b 有两个零点．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.[证明] 令g (x )＝f (x )－x .2分 ∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0.7分 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上连续， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0， 即f (x 0)＝x 0.12分10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． [解] (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题． 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根.3分因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.5分(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧ f －，f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，7分即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.10分故实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，2x －1，x ＞0(a ∈R)，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．[－1,0)D ．(0,1]D [因为当x ＞0时，f (x )＝2x －1， 由f (x )＝0得x ＝12.所以要使f (x )在R 上有两个零点，则必须2x－a ＝0在(－∞，0]上有唯一实数解． 又当x ∈(－∞，0]时，2x∈(0,1]，且y ＝2x 在(－∞，0]上单调递增， 故所求a 的取值范围是(0,1]．]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为________．【导学号：31222063】⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2 [由题意知f [f (x )]＝－1，由f (x )＝－1得x ＝－2或x ＝12，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点就是使f (x )＝－2或f (x )＝12的x 的值．解f (x )＝－2得x ＝－3或x ＝14，解f (x )＝12得x ＝－12或x ＝2，从而函数y ＝f [f (x )]＋1的零点构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.]3．若关于x 的方程22x ＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． [解] 法一(换元法)：设t ＝2x (t ＞0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.3分 ①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－a ＋，t 1＋t 2＝－a ＞0，t 1·t 2＝a ＋1＞0，解得－1＜a ≤2－22；6分②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1＜0，解得a ＜－1；9分③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f (0)＝0且－a 2＞0，解得a ＝－1. 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22].12分法二(分离变量法)：由方程，解得a ＝－22x ＋12x ＋1，3分 设t ＝2x (t ＞0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1 ＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤t ＋＋2t ＋1，其中t ＋1＞1，9分 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.12分。
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第二章 函 数第8节 函数的图象
项 D,当 x=3 时,y= sin 3>0,与图象不符,故排除 D;对于选项 C,当
+
0<x< 时,y=
≤
=cos x≤1,与图象在 y 轴右侧最高点大于
1 不符,所以排除 C.故选 A.
函数图象的辨识可从以下方面入手
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断
度得到.( × )
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.
(
× )
(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象
关于y轴对称.(
× )
,
<
0,
2.下列图象是函数y=
的图象的是(
-, ≥
)
√
解析:其图象是由y=x2图象中x<0的部分和 y=x-1图象中x≥0的部分
组成,故C符合题意.故选C.
3.函数y= |-| 的图象大致是(
)
√
解析:y= |-| >0,排除B,C;当x=0时,y=
,当x=2时,y=3,A不
满足,排除.故选D.
4.函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,再把y=f(x)的
图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=
其次,列表(尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐标
轴的交点等),描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换
(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用
“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,