2017届南京市、盐城市高考数学一模试卷附解析

2017届南京市、盐城市高考数学一模试卷（附解析）2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B=．2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z 的虚部为．3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为．4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6．已知实数x，y满足，则的最小值是．7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．8．设是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=．9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是．11．在△ABC中，已知，，则的最大值为．12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx 的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．14．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E 分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ 的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1k2的值．18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．20．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列为“段比差数列”．（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m 与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCnk﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cnk﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B={﹣1}．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}2．设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z 的虚部为﹣1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．3．已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．4．如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．6．已知实数x，y满足，则的最小值是．【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．7．设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．8．设是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9=63．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．9．将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ=．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．10．将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O﹣EFG体积的最大值是4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值Vmax==．故答案为：4．11．在△ABC中，已知，，则的最大值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点Ak、Bk，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△AkBkAk+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是512．【考点】数列的求和．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x﹣3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．14．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【考点】余弦定理．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式可求S2≤﹣=﹣+c，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤﹣=﹣+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，﹣+c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；【分析】（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos （B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…又C∈（0，π），所以．…（2）因为，所以，所以，又，所以．…又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…=．…17．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ 的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1k2的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…则．…18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC 为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y ﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h﹣100＜0，即，从而h=25﹣2r…又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…19．设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（ex）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g （x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（ex）=0，可得ex=或ex=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=﹣（x0+）+6，∵h′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（1，2），∴h（x）不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．20．若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列满足则称数列为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列为“段比差数列”．（1）若的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的，并说明理由．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【分析】（1）①方法一：由的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒bn}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n方法二：由的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm（q ﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则qkm为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d即可．【解答】（1）①方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…②方法一：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n ﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…∵，∴，设，则λ≥（cn）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，…∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…方法二：∵的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知中删掉的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…以下同方法一．（2）方法一：设的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bqkm+1﹣bqkm=bqkm（q ﹣1）=d恒成立，…①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则qkm为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的的通项公式为bn=b或．…方法二：设的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则bn=b或，经检验均合题意．…②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则bn=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的的通项公式为bn=b或．…数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由切割线定理得：PDPA=PCPB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PDPA=PCPB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…又因为AB是半圆O的直径，故，…则在三角形PDB中有．…[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m 与λ的值．【考点】特征向量的定义．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…解得m=0，λ=﹣4．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l 的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…则圆C的圆心到直线l的距离为，…所以．…[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【考点】基本不等式．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）（x2+y2+z2），即，…又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（2）由题意得，．…所以X的概率分布表为：X012345P…所以，X的数学期望为．…26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCnk﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cnk﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．【考点】组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…②==．…（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…2017年2月1日。

合集下载

江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试附加题答案

高考全真模拟卷汇编十三大市篇数学附加题智能化答案小手册使用建议:本答案(小手册)为偶数页活页装订。

学生训练完成或老师讲评完以后,可把每卷答案发给学生,供其自我验证、自我反思。

江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试21. A. 由切割线定理得PD·PA=PC·PB,则4×(2+4)=3×(3+BC),解得BC=5.(4分) 又因为AB是半圆O的直径,所以∠ADB=, (6分) 则在Rt△PDB中,BD=-=-=4.(10分) B. 由题意得--=λ-, (4分)则--(8分)解得m=0,λ=-4.(10分) C. 直线l:(t为参数)化为普通方程为4x-3y=0, (2分)圆C的极坐标方程ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, (4分) 则圆C的圆心到直线l的距离为d=-=, (6分) 所以AB=2-=.(10分) D. 由柯西不等式,得(x+2y+z)2≤(12+22+12)·(x2+y2+z2),即x+2y+z≤·.(5分)又因为x+2y+z=1,所以x 2+y 2+z 2≥,当且仅当 = =,即x=z=,y=时取等号. 综上,(x 2+y 2+z 2)min = .(10分) 22. (1) 甲班和乙班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为P=1- = . (4分)(2) 由题意得XB,P (X=k )=-,k=0,1,2,3,4,5. (6分)所以X 的概率分布列为(8分)故X 的数学期望为E (X )=5× =. (10分)23. (1) ①k -n - -=k ·- -n · -- -=- - -- -=0.(2分)②k 2 -n (n-1) - --n - -=k 2· - -n (n-1)· - - - -n · -- -=k · - - - - - -- -=- - - - --=0.(4分)(2) 方法一:由(1)可知当k ≥2时,(k+1)2 =(k 2+2k+1)=k 2 +2k +=[n (n-1) - - +n - - ]+2n - -+ =n (n-1) - -+3n - -+ .(6分)故12 +22 +32 +…+(k+1)2 +…+(n+1)2=(12 +22 )+n (n-1)( - + - +…+ -- )+3n ( - + - +…+ - -)+( + +…+ ) =(1+4n )+n (n-1)2n-2+3n (2n-1-1)+(2n -1-n ) =2n-2(n 2+5n+4).(10分)方法二:当n ≥3时,由二项式定理,有(1+x )n =1+ x+ x 2+…+ x k +…+ x n ,两边同乘以x ,得(1+x )n x=x+ x 2+ x 3+…+ x k+1+…+x n+1, 两边对x 求导,得(1+x )n +n (1+x )n-1x=1+2 x+3 x 2+…+(k+1) x k +…+(n+1) x n ,(6分)两边再同时乘以x ,得(1+x )n x+n (1+x )n-1x 2=x+2 x 2+3 x 3+…+(k+1) x k+1+…+(n+1)x n+1, 两边再对x 求导,得(1+x )n +n (1+x )n-1x+n (n-1)·(1+x )n-2x 2+2n (1+x )n-1x=1+22 x+32 x 2+…+(k+1)2 x k +…+(n+1)2x n .(8分)令x=1,得2n +n ·2n-1+n (n-1)·2n-2+2n ·2n-1=1+22 +32 +…+(k+1)2 +…+(n+1)2 ,即12 +22 +32 +…+(k+1)2 +…+(n+1)2=2n-2(n 2+5n+4). (10分)江苏省南通市、泰州市2017届高三第一次模拟考试21. A. 设CD=x,则CE=2x.因为CA=1,CB=3,由相交弦定理,得CA·CB=CD·CE,所以1×3=x×2x=2x2,所以x=.(2分) 取DE的中点H,连接OH,则OH⊥DE.因为OH2=OE2-EH2=4-=,所以OH=.(6分) 又因为CE=2x=,所以△OCE的面积S=OH·CE=××=.(10分)B. 设A=,因为向量-是矩阵A属于特征值-1的一个特征向量,所以-=(-1)-=-,所以---(4分)因为点P(1,1)在矩阵A对应的变换作用下变为点P'(3,3),所以=,所以(8分) 解得a=1,b=2,c=2,d=1,所以A=.(10分) C. 方法一:在ρ=4sin θ中,令θ=,得ρ=4sin =2,即AB=2.(10分) 方法二:以极点O为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.直线θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,①(3分) 曲线ρ=4sin θ的直角坐标方程为x2+y2-4y=0. ②(6分) 由①②得或(8分) 所以A(0,0),B(2,2),所以直线θ=(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长AB=2.(10分) D. y=3sin x+2=3sin x+4, (2分) 由柯西不等式得y2=(3sin x+4)2≤(32+42)(sin2x+cos2x)=25,(8分)所以y max=5,此时sin x=,所以函数y=3sin x+2的最大值为5.(10分) 22.以{,,}为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.(第22题)(1) 因为=(1,2,2),=(2,0,1),所以cos<,>===,所以AP与AQ所成角的余弦值为.(4分)(2) 由题意可知,=(0,0,2),=(2,0,2λ).设平面APQ的法向量为n=(x,y,z),则即令z=-2,则x=2λ,y=2-λ,所以n=(2λ,2-λ,-2).(6分) 又因为直线AA1与平面APQ所成的角为45°,所以|cos<n,>|==--=,可得5λ2-4λ=0.又因为λ≠0,所以λ=.(10分) 23. (1) 抛物线x2=2py(p>0)的准线方程为y=-,已知M(m,1),由抛物线定义,知MF=1+,所以1+=2,即p=2,所以抛物线的方程为x2=4y.(3分) (2) 因为y=x2,所以y'=x.设点E,t≠0,则抛物线在点E处的切线方程为y-=t(x-t).令y=0,则x=,即点P.因为P,F(0,1),所以直线PF的方程为y=--,即2x+ty-t=0,则点E到直线PF的距离为d=-=.(5分)联立方程组-消元,得t2y2-(2t2+16)y+t2=0.因为Δ=(2t2+16)2-4t4=64(t2+4)>0,所以y1=,y2=-,所以AB=y1+1+y2+1=y1+y2+2=+2=.(7分)所以△EAB的面积为S=××=×.不妨设g(x)=(x>0),则g'(x)=(2x2-4).当x∈(0,)时,g'(x)<0,所以g(x)在(0,)上单调递减;当x∈(,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(,+∞)上单调递增.所以当x=时,g(x)min==6.所以△EAB面积的最小值为3.(10分)江苏省无锡市2017届高三第一次模拟考试21. (1) 因为ρ=8sinθ,所以ρ2=8ρsinθ,所以x2+y2=8y,即x2+(y-4)2=16.(4分) (2) 直线的直角坐标方程为y=x+2.(6分) 曲线C为圆,则圆心(0,4)到直线的距离为,所以AB=2-=2.(10分)22. (1) 设M=,即=-,=-, (2分) 解得a=3,b=-,c=-4,d=4, (4分)所以M=--.(6分)(2) 设矩阵M的特征多项式为f(λ),所以f(λ)=--=(λ-3)(λ-4)-6=λ2-7λ+6, (8分)令f(λ)=0,则λ1=1,λ2=6.所以矩阵M的特征值为1和6.(10分) 23. (1) 由题意得+3x=1,所以x=,又++y=1,所以y=.(2分) 记“甲、乙两人所付的停车费相同”为事件A,则P(A)=×+×+×=,所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为.(4分)(2) 设甲、乙两人所付的停车费用之和为ζ,ζ可能取得的值为0,1,2,3,4,5,P(ζ=0)=,P(ζ=1)=×+×=,P(ζ=2)=×+×+×=,P(ζ=3)=×+×+×=,P(ζ=4)=×+×=,P(ζ=5)=×=.所以ζ(8分) 所以E(ζ)=0×+1×+2×+3×+4×+5×=.(10分)24. (1) 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).因为E,F,G分别为BC,PD,PC的中点,所以E,F,G,所以=-,=-,所以·=--+=-1, (2分) 所以cos<,>===-,即EF与DG所成角的余弦值为.(4分)(第24题)(2) 设平面PBC的法向量为n=(x,y,z),因为=(0,1,0),=(1,0,-1),由于n⊥,n⊥,所以-令x=1,所以n=(1,0,1), (6分) 则∥n.设M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2),所以---①因为点M,N分别是线段EF,DG上的点, 所以=λ,=t,λ∈R,t∈R.因为=--,所以=(x2,y2-2,z2),所以---且--(8分)所以y2-y1=-t-λ+,x2-x1=t+λ-1,z2-z1=t-λ,将上式代入①,得----解得所以点M,N的坐标分别为M,N.(10分)江苏省苏州市2017届高三第一次模拟考试21. A.由切割线定理得FG2=FA·FD.(2分) 又EF=FG,所以EF2=FA·FD,所以=.(5分)因为∠EFA=∠DFE,所以△DEF∽△EAF,故∠FED=∠FAE.(8分) 因为∠FAE=∠BCD,所以∠FED=∠BCD,所以EF∥CB.(10分) B.因为|A|=2×3-1×1=5, (2分)所以A-1=--.(6分)由AC=B,得(A-1A)C=A-1B, 所以C=A-1B=---=--.(10分)C.因为曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cosθ=0,所以ρ2sin2θ=4ρcos θ,即曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(4分)将直线l的参数方程-代入抛物线方程y2=4x,得=4-,即t2+8t=0, (8分) 解得t1=0,t2=-8.所以AB=|t1-t2|=8.(10分)D.因为a,b,x,y都是正数,所以(ax+by)(bx+ay)=ab(x2+y2)+xy(a2+b2) (4分) ≥ab·2xy+xy(a2+b2)=(a+b)2xy, (7分) 又因为a+b=1,所以(ax+by)(bx+ay)≥xy, (9分) 当且仅当x=y时等号成立.(10分) 22. (1) 依题意,随机变量ξ的可能取值是2,3,4,5,6.(2分) 因为P(ξ=2)==, (3分)P(ξ=3)==, (4分) P(ξ=4)==, (5分) P(ξ=5)==, (6分)P(ξ=6)==, (7分) 所以当ξ=4时,其发生的概率最大,最大值为.(8分) (2) 由(1)知E(ξ)=2×+3×+4×+5×+6×=,所以随机变量ξ的数学期望为.(10分) 23. (1) 由=t+(1-t)(t∈R),可知点C的轨迹是M,N两点所在的直线,所以点C的轨迹方程为y+3=--(x-1),即y=x-4.(2分)联立-消去y,化简得x2-12x+16=0, (3分)设点C的轨迹与抛物线y2=4x的交点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=12,x1x2=16,y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16,因为·=x1x2+y1y2=16-16=0,所以OA⊥OB.(5分)(2) 假设存在这样的点P,并设AB是过抛物线的弦,其方程为x=ny+m,代入y2=4x,得y2-4ny-4m=0, (6分) 此时y1+y2=4n,y1y2=-4m,所以k OA k OB=·=·==-=-1,所以m=4(定值),故存在这样的点P(4,0)满足题意.(8分) 设AB的中点为T(x,y),则y=(y1+y2)=2n,x=(x1+x2)=(ny1+4+ny2+4)=(y1+y2)+4=2n2+4,消去n,得y2=2x-8.所以圆心的轨迹方程为y2=2x-8.(10分)江苏省苏北四市2017届高三第一次模拟考试21. A. 连接CD,因为D为弧BC的中点,所以∠DBC=∠DAB,DC=DB.因为AB为半圆O的直径,所以∠ADB=90°,又E为BC的中点,所以EC=EB,所以DE⊥BC,所以△ABD∽△BDE,所以==,所以AB·BC=2AD·BD.(10分) B. 由条件知,Aα=2α,即-=2,即-=, (6分)所以-解得所以a,b的值分别为2,4.(10分) C. 由题意知直线l的直角坐标方程为x-y+m=0,圆C的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9, (5分) 圆心C到直线l的距离d==解得m=-1或m=-5.(10分) D.因为a>0,b>0,c>0,所以+++27abc≥3+27abc=+27abc≥2=18,当且仅当a=b=c=时,取“=”,所以m=18.(6分) 所以不等式|x+1|-2x<m,即|x+1|<2x+18,所以-2x-18<x+1<2x+18,解得x>-,所以原不等式的解集为-.(10分) 22. (1) 设“甲选做D题,且乙、丙都不选做D题”为事件E.甲选做D题的概率为=,乙、丙不选做D题的概率都是=,则P(E)=××=.答:甲选做D题,且乙、丙都不选做D题的概率为.(3分) (2) X的所有可能取值为0,1,2,3.(4分) P(X=0)=-××=,P(X=1)=×+-××-×=,P(X=2)=××-×+-××-=,P(X=3)=××-=.(8分) 所以X的概率分布列为故E(X)=0×+1×+2×+3×=.(10分) 23. (1) (1+x)2n-1的展开式中含x n的项的系数为-, (1分)由(1+x)n-1(1+x)n=(-+-x+…+--x n-1)(+x+…+x n)可知,(1+x)n-1(1+x)n的展开式中含x n的项的系数为-+--+…+--,所以-+--+…+--=-.(4分)(2) 当k∈N*时,k =k ·-=- -=n · - - -=n - -,(6分)所以 +2 +…+n=- -=- -- -(8分)由(1)知 - + - - +…+ - -= -, 即- -- 所以 +2 +…+n=n - . (10分)江苏省常州市2017届高三第一次模拟考试21. A. 如图,延长PO 交圆O 于点B ,连接OA ,设PC=x (x>0),则由PC∶PO=1∶3,得PO=3x , 则PB=5x.因为PA 是圆O 的切线, 所以PA 2=PC ·PB , 即(2 )2=x ·5x ,解得x=2. 所以OA=OC=4. (5分)因为PA 是圆O 的切线, 所以OA ⊥PA.又CD⊥PA,则OA∥CD,因此,==.又OA=4,所以CD=.(10分)(第21-A题)B.由A=,得A-1=--.(5分)由AX=B,得X=A-1B=--=.(10分)(也可由AX=B得到=,所以解得所以X=,也得5分)C. 圆ρ=4sin的直角坐标方程为(x-1)2+(y-)2=4,射线θ=θ0的直角坐标方程可以设为y=kx(x≥0,k>0), (3分) 圆心(1,)到直线y=kx的距离d=.(6分) 根据题意,得2--=2,解得k=.(9分) 即tanθ0=.又θ0∈,所以θ0=.(10分)D.方法一:根据柯西不等式,得[(2x)2+y2](12+12)≥(2x+y)2,化简得4x2+y2≥18, (5分) 当且仅当2x=y=3,即x=,y=3时取等号.因此,当x=,y=3时,4x2+y2取得最小值18.(10分)方法二:由2x+y=6,得y=6-2x,由x>0,y>0,得0<x<3,因此,4x2+y2=4x2+(6-2x)2=8x2-24x+36=-+18.(5分) 当x=,y=3时,4x2+y2取得最小值18.(10分) 22. (1) 根据条件,可得B(a,a,0),C(-a,a,0),D(-a,-a,0),V(0,0,h),E-,所以=--,=.(1分) 故cos<,>=-.(3分) 又因为cos<,>=-,则-=-,解得=.(4分) (2) 由=,可得=--,=,易得=(2a,0,0),=(0,2a,0).设平面BVC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),则--即则取y1=3,z1=2,则n1=(0,3,2), (6分) 同理可得平面DVC的一个法向量为n2=(-3,0,2), (8分) cos<n1,n2>===,结合图形,可以知道二面角B-VC-D的余弦值为-.(10分)23. (1) +-+…+=.(3分)考察等式当且仅当时为常数即等式左边常数项为而等式右边的常数项为所以成立分江苏省镇江市2017届高三第一次模拟考试21. A. 连接AE,EB,OE,由题意知∠AOE=∠BOE=90°.(2分) 因为∠APE是圆周角,∠AOE是同弧上的圆心角,所以∠APE=∠AOE=45°.(4分) 同理可得,∠BPE=∠BOE=45°, (6分)所以PE是∠APB的平分线.(8分) 又PC是∠APB的平分线,所以PC与PE重合,所以直线PC经过点E.(10分) B. 设直线x-y-1=0上任意一点P(x,y)在变换T A的作用下变成点P'(x',y'),由-=,得-(2分)因为P'(x',y')在直线x-y-1=0上,所以x'-y'-1=0,即(-1-b)x+(a-3)y-1=0, (4分) 又因为P(x,y)在直线x-y-1=0上,所以x-y-1=0.(6分)因此----(8分)解得a=2,b=-2.(10分) C. 圆ρ=2cosθ的直角坐标方程为x2+y2=2x, (2分) 即(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0); (4分)直线2ρsin=1的直角坐标方程为2=1, (6分) 即x+y-1=0.(8分) 故圆心到直线的距离为d=-=-.(10分) D.因为a>0,b>0,由均值不等式知a2+b2+ab≥3=3ab, (4分) ab2+a2b+1≥33ab, (8分) 两式相乘可得(a2+b2+ab)(ab2+a2b+1)≥9a2b2.(10分) 22. (1) 以{,,}为正交基底建立空间直角坐标系A-xyz,可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),由E为棱PC的中点,得E(1,1,1),故=(0,1,1),=(-1,2,0),=(1,0,-2), (1分) 设n=(x,y,z)为平面PBD的一个法向量,则n⊥,n⊥,即--不妨令y=1,可得n=(2,1,1)为平面PBD的一个法向量,(3分)于是cos<n,>===.(4分) 所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.(5分) (2) =(1,2,0),=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,0,0),由点F在棱PC上,可设=λ,0≤λ≤1,故=+=+λ=(1-2λ,2-2λ,2λ),由BF⊥AC,得·=0,因此2(1-2λ)+2(2-2λ)=0,解得λ=, (7分) 即=-,设n1=(x,y,z)为平面FAB的法向量,则n1·=0,n1·=0,即-不妨令z=1,可得n1=(0,-3,1)为平面FAB的一个法向量, (8分) 取平面ABP的法向量n2=(0,1,0),则cos<n1,n2>==-, (9分) 即sin<n1,n2>=.故二面角F-AB-P的正弦值为.(10分) 23. (1) 当n=1时,=2x>0,解得x2=16,又x>0,故x=4是方程的解.(2分) (2) 假设x=4是f k(x)=2x的解,即f k(4)=8,则n=k+1时,f k+1(4)==8=2×4.综合(1),(2)可知x=4是f k+1(x)=2x的解.(4分) 另一方面,当n=1时,y===在(0,+∞)上单调递减; (6分) 假设n=k时,y=在(0,+∞)上单调递减,则n=k+1时,y====在(0,+∞)上单调递减,故n=k+1时,y=在(0,+∞)上单调递减, (8分) 所以y=在(0,+∞)上单调递减,则=2在(0,+∞)上至多一解.综上,x=4是f n(x)=2x的唯一解.(10分) 江苏省扬州市2017届高三第一次模拟考试21.由题意得-=-,即---解得所以A=, (5分)所以矩阵A的特征多项式为f(λ)=----=λ2-8λ+15, 令f(λ)=0,解得λ=5或λ=3,即矩阵A的特征值为5和3.(10分) 22.将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得y=x, (2分) 将曲线C的参数方程化为普通方程可得y=2-x2(-1≤x≤1).(5分)由-得x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,又-1≤x≤1,所以x=1,所以直线l与曲线C的交点的直角坐标为(1,1).(10分) (注:结果多一解的扣2分)23. (1) 甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门,共有43=64种不同的选法,记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M,事件M共包含=24个基本事件,则P(M)==,所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为.(3分) (2) 方法一:X可能的取值为0,1,2,3, (4分) P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.(8分) 所以X的分布列为所以X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=.(10分) 方法二:甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门,可以看成三次独立重复试验,X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,则X~B,所以P(X=k)=-,k=0,1,2,3,所以X的分布列为所以X的数学期望E(X)=3×=.(10分) 24. (1) 因为f i(x)=x i(i∈N),所以F n(x)=(-1)0x0+(-1)1x1+…+(-1)n x n=(1-x)n,所以F2(1)=0, (1分) F2 017(2)=(1-2)2 017=-1.(3分)(2) 因为f i(x)=(x>0,i∈N),所以①当时--所以时结论成立分②假设当时结论成立即-则当时--------------------所以当n=k+1时,结论也成立.综合①②可知,F n(x)=(n∈N*).(10分)江苏省南京市、盐城市、连云港市2017届高三第二次模拟考试21. A. (1) 因为BC是圆O的切线,故由切割线定理得BC2=BM·BA.(2分) 设AM=t,因为AB=8,BC=4,所以42=8(8-t),解得t=6,即线段AM的长为6.(4分) (2) 因为四边形AMNC为圆内接四边形,所以∠A=∠MNB.(6分) 又因为∠B=∠B,所以△BMN∽△BCA, (8分) 所以=.因为AB=2AC,所以BN=2MN.(10分) B. 方法一:在直线l:ax+y-7=0上取点A(0,7),B(1,7-a).因为-=,--=--, (4分)所以A(0,7),B(1,7-a)在矩阵A对应的变换作用下分别得到点A'(0,7b),B'(3,b(7-a)-1).由题意知A',B'在直线l':9x+y-91=0上,所以----(8分)解得a=2,b=13.(10分) 方法二:设直线l上任意一点P(x,y),点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q(x',y').因为-=,所以-(4分) 又因为点Q(x',y')在直线l'上,所以9x'+y'-91=0,即27x+(-x+by)-91=0,所以26x+by-91=0.又点P(x,y)在直线l上,所以有ax+y-7=0, (8分) 所以==-,-解得a=2,b=13.(10分) C. 方法一:直线l的参数方程化为普通方程得4x-3y=4,将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x.(4分)-联立方程组解得或-所以A(4,4),B-, (8分) 所以AB=-=.(10分)方法二:将曲线C的参数方程化为普通方程得y2=4x.(2分) 直线l的参数方程代入抛物线C的方程得=4,即4t2-15t-25=0,所以t1+t2=,t1t2=-, (6分) 则AB=|t1-t2|=-==.(10分)D. a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4.(5分) 因为a≠b,所以(a-b)4>0,所以a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).(10分) 22.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,所以A1A⊥平面ABCD.又AE⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以A1A⊥AE,A1A⊥AD.在菱形ABCD中,∠ABC=,则△ABC是等边三角形.因为E是BC的中点,所以BC⊥AE.因为BC∥AD,所以AE⊥AD.以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),A1(0,0,2),E(,0,0),F.(第22题)(1) 因为=(0,2,0),=-,所以·=1,故cos<,>==,所以异面直线EF,AD所成角的余弦值为.(4分) (2) 设M(x,y,z),由于点M在线段A1D上,且=λ,则=λ,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2),则M(0,2λ,2-2λ),=(-,2λ-1,2-2λ).(6分) 设平面AEF的法向量为n=(x0,y0,z0).因为=(,0,0),=,由得取y0=2,则z0=-1,平面AEF的一个法向量为n=(0,2,-1).(8分) 由于CM∥平面AEF,则n·=0,即2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得λ=.(10分) 23. (1) 由题意知P2==,即P2的值为.(3分) (2) 先排第n行,则最大数在第n行的概率为=; (5分) 去掉第n行已经排好的n个数,则余下的-n=-个数中最大数在第n-1行的概率为--=;…故P n=··…·=-=.(7分)由于2n=(1+1)n=+++…+≥++>+=,所以>,即P n>.(10分) 江苏省苏锡常镇2017届高三第二次模拟考试21. A. 如图,连接OC,由于l是圆的切线,故OC⊥l.因为AD⊥l,所以AD∥OC.(2分) 因为AB是圆O的直径,AB=6,BC=3,所以∠ABC=∠BCO=60°,则∠DAC=∠ACO=90°-60°=30°.(4分)(第21-A题)AC=6cos 30°=3,DC=AC sin 30°=,DA=AC cos 30°=.(7分) 由切割线定理知,DC2=DA·DE, (9分) 所以DE=,则AE=3.(10分) B. 设M=,M=8=,M-=-=--, (3分)所以---解得即M=.(5分)(2) 令特征多项式f(λ)=----=(λ-6)(λ-4)-8=0, (8分)解得λ1=8,λ2=2,所以矩阵M的另一个特征值为2.(10分) C. (1) 圆O1的直角坐标方程为x2+y2=4,①(3分)由ρ2-2ρcos-=2,得ρ2-2ρ(cos θ+sin θ)=2, (4分) 即x2+y2-2(x+y)=2,故圆O2的直角坐标方程为x2+y2-2x-2y-2=0. ②(6分) (2) 由(1)知②-①,得经过两圆交点的直线方程为x+y-1=0, (8分) 该直线的极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ-1=0.(10分)D. 因为(++)2≤(1+1+1)(3a+1+3b+1+3c+1), (7分)由于a+b+c=3,故++≤6,当且仅当a=b=c=1时, ++取得最大值6.(10分) 22. (1) 设AC,BD交于点O,在正四棱锥P-ABCD中,OP⊥平面ABCD.又PA=AB=2,所以OP=.以点O为坐标原点,,分别为x轴、y轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.(1分)(第22题)则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0,).故=+=+=-,==, (3分) 所以=-,=(-1,1,-),cos<,>==,所以MN与PC所成角的大小为.(5分) (2) 由(1)知=(-1,1,-),=(2,0,0),=-.设m=(x,y,z)是平面PCB的一个法向量,则m·=0,m·=0,得--令x=0,y=,z=1,则m=(0,,1).(7分) 设n=(x1,y1,z1)是平面PCN的法向量,则n·=0,n·=0,得---令x1=2,y1=4,z1=则n=(2,4,(9分) 因为cos<m,n>===,所以二面角N-PC-B的余弦值为.(10分) 23. (1) 因为a n=sin tan nθ.当n为偶数时,设n=2k,a n=a2k=sin·tan2kθ=sin kπ·tan2kθ=0,a n=0.(1分) 当n为奇数时,设n=2k-1,a n=a2k-1=sin-·tan nθ=sin-·tan nθ.当k=2m,m∈N*时,a n=a2k-1=sin-·tan nθ=sin-·tan nθ=-tan nθ,此时-=2m-1 ,a n=a2k-1=-tan nθ=(-1)2m-1·tan nθ=(-1-·tan nθ.(2分)当k=2m-1,m∈N*时,a n=a2k-1=sin-·tan nθ=sin-·tan nθ=tan nθ,此时-=2m-2, a n=a2k-1=tan nθ=(-1)2m-2·tan nθ=(-1-tan nθ.综上,当n为偶数时,a n=0;当n为奇数时,a n=--tan nθ.(3分)(2) 当n=1时,由(1)得S2=a1+a2=tan θ,sin 2θ[1+(-1)n+1tan2nθ]=sin 2θ·(1+tan2θ)=sin θ·cos θ·=tan θ,故当n=1时,命题成立.(5分) 假设当n=k时命题成立,即S2k=sin 2θ·[1+(-1)k+1tan2kθ].则当n=k+1时,由(1)得S2(k+1)=S2k+a2k+1+a2k+2=S2k+a2k+1=sin 2θ·[1+(-1)k+1tan2kθ]+(-1)k tan2k+1θ(6分) =sin 2θ·1+(-1)k+1tan2kθ+(-1)k·tan2k+1θ=sin 2θ·1+(-1)k+2tan2k+2θ·-=sin 2θ·1+(-1)k+2tan2k+2θ·-=sin 2θ·[1+(-1)k+2·tan2k+2θ],即当n=k+1时命题成立.(9分) 综上所述,对任意正整数n原命题成立.(10分) 江苏省通、泰、扬、徐、淮、宿2017届高三第二次模拟考试21. A. 如图,连续OC.(第21-A题)因为∠ACB=∠ADC,∠ABC=∠ADC,所以∠ACB=∠ABC.(3分) 因为OC=OD,所以∠OCD=∠ADC,所以∠ACB=∠OCD,所以△ABC∽△ODC, (8分) 所以=,即AC·CD=OC·BC.因为OC=AD,所以AD·BC=2AC·CD.(10分) B. 方法一:设矩阵A=,则=--,所以a=-1,2a+6b=-2,c=0,2c+6d=3.(4分) 解得b=0,d=,所以A=-.(6分)根据逆矩阵公式得矩阵A-1=-.(10分) 方法二:在A=--两边同时左乘逆矩阵A-1得,=A-1--.(4分) 设A-1=,则=--,所以-a=1,-2a+3b=2,-c=0,-2c+3d=6.(6分)解得a=-1,b=0,c=0,d=2,从而A-1=-.(10分) C. 方法一:将曲线(t为参数)化为普通方程为y2=8x.(3分)将直线-(l为参数)代入y2=8x,得l2-8l+24=0,(6分)解得l1=2,l2=6.则|l1-l2|=4,所以线段AB的长为4.(10分) 方法二:将曲线(t为参数)化为普通方程为y2=8x, (3分)将直线-(l为参数)化为普通方程为x-y+=0, (6分)联立-解得或所以AB=--=4.(10分) D. 因为x,y,z均为正实数,且xyz=1,所以+xy≥=2yz,+yz≥=2xz,+xz≥=2xy.(8分) 所以++≥xy+yz+zx.(10分)22. (1) 设“至少演唱1首原创新曲”为事件A,则事件A的对立事件为“没有1首原创新曲被演唱”.所以P(A)=1-P()=1-=.答:该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为.(4分)(2) 设随机变量x表示演唱原创新曲的首数,则x的所有可能值为0,1,2,3.依题意,X=ax+2a(4-x),故X的所有可能取值依次为8a,7a,6a,5a.则P(X=8a)=P(x=0)==,P(X=7a)=P(x=1)==,P(X=6a)=P(x=2)==,P(X=5a)=P(x=3)==.从而X的概率分布为(8分)所以X的数学期望E(X)=8a×+7a×+6a×+5a×= a.(10分) 23. (1) 依题意,(1,2,3,4,5,6,7,8,…,n)经第1次变换为(3,5,7,9,11,13,15,…,n+1),经第2次变换为(8,12,16,20,24,28,…,n+4),经第3次变换为(20,28,36,44,52,…,n+12),所以b3,5=52.(3分)(2) 下面用数学归纳法证明对m∈N*,b m,i=其中i=1,2,…,n.①当m=1时,b1,i=a i+a i+1=,其中i=1,2,…,n,结论成立;②假设当m=k(k∈N*)时,b k,i=,其中i=1,2,…,n.(5分)则当m=k+1时,b k+1,i=b k,i+b k,i+1==-=-+a i+k+1==,所以结论对m=k+1时也成立.由①②知,m∈N*,b m,i=,其中i=1,2,…,n.(10分)南师附中、天一、淮中、海门中学四校联考21. A. 如图,连接OA,因为OD⊥AB,OA=OB,所以∠BOD=∠AOD=∠AOB.(第21-A题)又因为∠ACB=∠AOB,所以∠ACB=∠DOB.(5分) 又因为∠BOP=180°-∠DOB,∠QCP=180°-∠ACB,所以∠BOP=∠QCP,所以B,O,C,Q四点共圆,所以∠OBP=∠CQP.(10分) B.由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=-,得-=-,即3a-b=3. ①(3分) 由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=,得=5,即a+b=5. ②(6分) 联立①②,解得即矩阵A=, (7分)根据逆矩阵公式得矩阵A的逆矩阵A-1=--.(10分)C. 将圆C:ρ=2cos化为直角坐标方程为x2+y2=-2y,即x2+(y+1)2=1, 圆心C(0,-1),半径r=1.(4分) 将直线l:ρsin=化为直角坐标方程为x+y=2.(7分) 因为圆心C到直线l的距离为d=--=,所以动点M到直线l的距离的最大值为+1.(10分) D. 因为x,y,z都是正数,所以+=≥.同理可得+≥,+≥,将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,得++≥++.(10分)22.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,以AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,AA1所在的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.已知AB=2,AA1=1,可得A(0,0,0),B(2,0,0),F(1,0,1).又AD⊥平面AA1B1B,从而BD与平面AA1B1B所成的角为∠DBA=30°,由AB=2,AE⊥BD,得AE=1,AD=,从而易得E,D.(2分)(1) 因为=,=(-1,0,1),所以cos<,>==-=-,所以异面直线AE与BF所成角的余弦值为.(5分)(第22题)(2) 易知平面AA1B1B的一个法向量m=(0,1,0),设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量,因为=-,=(-1,0,1).由n⊥,n⊥得即--解得令x=1,则y=z=1,即n=,因为cos<m,n>==,所以平面BDF与平面AA1B1B所成的二面角(锐角)的余弦值为.(10分)23. (1) 当n=6时,由a3≤a2+2,得当a2= 2时,有2个集合A满足条件;当a2= 3时,有2×2=4个集合A满足条件;当a2= 4时,有3×2=6个集合A满足条件;当a2= 5时,有4个集合A满足条件,故当n=6时,满足条件的集合A共有16个.(4分) (2) 因为a1<a2<a3且a3-a2≤2,所以a3-a2=1或a3-a2=2.①当a3-a2=1时,由题知1≤a1<a2≤n-1,即从n-1个元素中任取2个元素的组合数-;②当a3-a2=2时,由题知1≤a1<a2≤n-2,即从n-2个元素中任取2个元素的组合数-,综合①②可知,总的取法数为-+-=--+--=(n-2)2.江苏省南京市、淮安市2017届高三第三次模拟考试21. A. 如图,连接BE.因为AD是边BC上的高,AE是△ABC的外接圆的直径,所以∠ABE=∠ADC=90°.(4分)(第21-A题)又因为∠AEB=∠ACD, (6分) 所以△ABE∽△ADC, (8分) 所以=,即AB·AC=AD·AE, (10分)B. (1) 由题知AX=-=--.(2分)因为AX=,所以--解得x=3,y=0.(4分) (2) 由(1)知A=,又B=-,所以AB=-=.(6分) 设(AB)-1=,则=,即=, (8分) 所以解得a=,b=-,c=0,d=,即(AB)-1=-.(10分)(说明:逆矩阵也可以直接使用公式求解,但要求呈现公式的结构)C. 由于ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-8x+15=0,即(x-4)2+y2=1,所以曲线C是以(4,0)为圆心,1为半径的圆.(3分) 直线l的直角坐标方程为y=x,即x-y=0.(6分) 因为圆心(4,0)到直线l的距离d==2>1, (8分) 所以直线l与圆相离,从而PQ的最小值为d-1=2-1.(10分) D.因为x>0,所以x3+2=x3+1+1≥3=3x,当且仅当x3=1,即x=1时取“=”.(4分) 因为y2+1-2y=(y-1)2≥0,所以y2+1≥2y,当且仅当y=1时取“=”.(8分) 所以(x3+2)+(y2+1)≥3x+2y,即x3+y2+3≥3x+2y,当且仅当x=y=1时取“=”.(10分) 22. (1) 设P(x,y)为曲线C上任意一点,因为PS⊥l,垂足为S,又直线l:x=-1,所以S(-1,y).因为T(3,0),所以=(x,y),=(4,-y).又因为·=0,所以4x-y2=0,即y2=4x.所以曲线C的方程为y2=4x.(3分) (2) 因为直线PQ过点(1,0),故设直线PQ的方程为x=my+1,设P(x1,y1),Q(x2,y2).联立消去x,得y2-4my-4=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4.因为M为线段PQ的中点,所以点M的坐标为,即M(2m2+1,2m).又因为S(-1,y1),N(-1,0),所以=(2m2+2,2m-y1),=(x2+1,y2)=(my2+2,y2).(7分)因为(2m2+2)y2-(2m-y1)(my2+2)=(2m2+2)y2-2m2y2+my1y2-4m+2y1=2(y1+y2)+my1y2-4m=8m-4m-4m=0,所以向量与共线.(10分)23. (1) 由题意知,当n=2时,数列{a n}共有6项.要使得f(2)是2的整数倍,则这6项中,只能有0项、2项、4项、6项取1,故T2=+++=25=32.(3分)(2) 由题设易知,T n=+++…+.(4分) 当1≤k≤n,k∈N*时,=+-=-++-+-=2-++-=2(-+-)+ -++-+-=3(-+-)++-, (6分) 于是T n+1=+++…+=++3(++++…+-+-)+ T n-+T n-=2T n+3(23n-T n)=3×8n-T n.(8分) 下面用数学归纳法证明T n=[8n+2(-1)n].当n=1时,T1=+=2=[81+2(-1)1],即n=1 时,命题成立.假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,命题成立,即T k=[8k+2(-1)k].则当n=k+1时,T k+1=3×8k-T k=3×8k-[8k+2(-1)k]=[9×8k-8k-2(-1)k]=[8k+1+2(-1)k+1],即n=k+1时,命题也成立.于是当n∈N*,有T n=[8n+2(-1)n].(10分)江苏省南通市、泰州市、扬州市2017届高三第三次模拟考试21. A.如图,连接PA,PB,CD,BC.(第21-A题)因为∠PAB=∠PCB,又点P为弧AB的中点,所以∠PAB=∠PBA,所以∠PCB=∠PBA.(4分) 又∠DCB=∠DPB,所以∠PFE=∠PBA+∠DPB=∠PCB+∠DCB=∠PCD,所以E,F,D,C四点共圆.所以PE·PC=PF·PD.(10分)B. 由题意,--=--,即-----解得a=2,b=4,所以矩阵M=-.(5分)矩阵M的特征多项式为f(λ)=---=λ2-5λ+6.令f(λ)=0,得λ1=2,λ2=3,所以矩阵M的特征值为2和3.(10分) C. 方法一:因为圆心C在极轴上且过极点,所以设圆C的极坐标方程为ρ=a cos θ, (4分) 又因为点在圆C上,所以3=a cos,解得a=6,所以圆C的极坐标方程为ρ=6cos θ.(10分)方法二:点的直角坐标为(3,3),因为圆C过点(0,0),(3,3),所以圆心C在直线为x+y-3=0上.又圆心C在极轴上,所以圆C的直角坐标方程为(x-3)2+y2=9, (6分) 所以圆C的极坐标方程为ρ=6cos θ.(10分)D. 因为a,b,c,d是正实数,且abcd=1, 则a5+b+c+d≥4=4a. ①(4分)同理,b5+c+d+a≥4b,②c5+d+a+b≥4c,③d5+a+b+c≥4d,④将①②③④式相加并整理,即得a5+b5+c5+d5≥a+b+c+d.(10分) 22. (1) 以点D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,(第22题)则D(0,0,0),B(2,2,0),C(0,1,0),S(0,0,2),A(2,0,0),所以=(2,2,-2),=(0,1,-2),=(0,0,2).设平面SBC的法向量为n1=(x,y,z),由n1·=0,n1·=0,得2x+2y-2z=0且y-2z=0.取z=1,得x=-1,y=2,所以n1=(-1,2,1)是平面SBC的一个法向量.(2分) 因为SD⊥平面ABC,取平面ABC的一个法向量n2=(0,0,1).设二面角S-BC-A的大小为θ,所以===,由图可知二面角S-BC-A为锐二面角,所以二面角S-BC-A的余弦值为.(5分) (2) 由(1)知E(1,0,1),则=(2,1,0),=(1,-1,1).设=λ(0≤λ≤1),则=λ(2,1,0)=(2λ,λ,0),所以=-=(1-2λ,-1-λ,1).易知CD⊥平面SAD,所以=(0,1,0)是平面SAD的一个法向量.设PE与平面SAD所成的角为α,所以sin α===-, (8分)即-=,得λ=或λ=(舍去).所以=,=,所以线段CP的长为.(10分) 23. (1) f1(x)=f0'(x)='=- ,f2(x)=f1'(x)=-'=--.(2分)(2) 猜想f n(x)=----,n∈N*.(4分)证明如下:①当n=1时,由(1)知结论正确.②假设当n=k,k∈N*时结论正确,即有f k(x)=----.当n=k+1时,f k+1(x)=f'k(x)=----'=(-1)k-1·a k-1·(bc-ad)·k!-'=--,所以当n=k+1时结论也成立.由①②得对一切n∈N*结论正确.(10分)江苏省连云港市、宿迁市、徐州市2017届高三第三次模拟考试21. A. 如图,连接AN,DN.(第21-A题)因为A为弧MN的中点,所以∠ANM=∠ADN.又∠NAB=∠NDB,所以∠ANM+∠NAB=∠ADN+∠NDB,即∠BCN=∠ADB.(5分) 因为∠ACN=3∠ADB,所以∠ACN+∠BCN=3∠ADB+∠ADB=180°,所以∠ADB=45°.(10分)B. 因为A===,所以解得所以A=.(5分)所以矩阵A的特征多项式为f(λ)=----=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4,令f(λ)=0,解得矩阵A的特征值为λ1=-1,λ2=4.(10分) C. 以极点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,则点A的直角坐标为(0,2),直线l的直角坐标方程为x+y=0.(4分) 当AB最短时,点B为直线x-y+2=0与直线l的交点,由-得-所以点B的直角坐标为(-1,1).(8分)所以点B的极坐标为.(10分) D. 因为a3+b3+c3=a2b2c2≥3,所以abc≥3, (5分) 所以a+b+c≥3≥3,当且仅当a=b=c=时,取“=”.(10分)22. (1) 因为直线y=n与x=-1垂直,所以MP为点P到直线x=-1的距离.连接PF,因为P为线段MF的中垂线与直线y=n的交点,所以MP=PF.所以点P的轨迹是抛物线, (2分) 焦点为F(1,0),准线为x=-1.所以轨迹E的方程为y2=4x.(5分) (2) 由题意,过点M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为y-n=k(x+1),联立得ky2-4y+4k+4n=0,所以Δ1=16-4k(4k+4n)=0,即k2+nk-1=0,(*) (8分) 因为Δ2=n2+4>0,所以方程(*)存在两个不相等的实数根,设为k1,k2,因为k1·k2=-1,所以∠AMB=90°,为定值.(10分) 23. (1) f(2)=1,f(3)=6, (2分) f(4)=25.(4分) (2) 方法一:设集合A中有k个元素,k=1,2,3,…,n-1.则与集合A互斥的非空子集有2n-k-1个, (6分) 于是分因为所以f(n)=[(3n-2n-1)-(2n-2)]=(3n-2n+1+1).(10分)方法二:任意一个元素只能在集合A,B,C=∁U(A∪B)之一中,则这n个元素在集合A,B,C中,共有3n种; (6分) 其中A为空集的种数为2n,B为空集的种数为2n,所以A,B均为非空子集的种数为3n-2·2n+1.(8分) 又(A,B)与(B,A)为同一组“互斥子集”,所以f(n)=(3n-2n+1+1).(10分)江苏省苏锡常镇2017届高三第三次模拟考试21. A. 连接OD,设圆的半径为R,BE=x,则OD=R,DE=2BE=2x.(2分) 在Rt△ODE中,因为DC⊥OB,所以OD2=OC·OE,即R2=OC·(R+x),①又直线DE切圆O于点D,则DE2=BE·AE,即4x2=x·(2R+x),②(6分)所以x=,代入①,得R2=OC·,解得OC=, (8分) 所以BC=OB-OC=R-=,所以2OC=3BC.(10分)B. 由题知,-=--=-1·-=-⇒---(4分)所以a=2,b=2,M=.(6分) det(M)==1×2-2×3=-4, (8分)所以M-1=--.(10分)C. 将曲线C1的参数方程化为普通方程得(x-)2+(y-3)2=4, (4分) 由ρsin=a,得ρsinθ+ρcosθ=a,所以曲线C2的直角坐标方程为x+y-2a=0, (6分) 所以曲线C1的圆心到直线C2的距离为d=-=2, (8分) 所以|a-3|=2,所以a=1或a=5.(10分)D. 方法一:因为a+≥2b,b+≥2c,c+≥2a,所以a++b++c+≥2a+2b+2c, (6分) 所以++≥a+b+c.(10分)方法二:因为(a+b+c)++≥(b+c+a)2,所以++≥a+b+c.(10分) 22. (1) 设“在一局游戏中得3分”为事件A,则P(A)==.(2分) 答:在一局游戏中得3分的概率为.(3分) (2) X的所有可能取值为1,2,3,4.在一局游戏中得2分的概率为=, (5分) P(X=1)==;P(X=2)=×=;P(X=3)=×-×=;P(X=4)=×-×=.所以游戏结束时X(8分) 所以E(X)=1×+2×+3×+4×=.(10分) 23. (1) f1(x)=x-(x-1)=x-x+1=1; (1分) f2(x)=x2-(x-1)2+(x-2)2=x2-2(x2-2x+1)+(x2-4x+4)=2; (2分) f3(x)=x3-(x-1)3+(x-2)3-(x-3)3=x3-3(x-1)3+3(x-2)3-(x-3)3=6.(3分)(2) 猜测:f n(x)=n!, (4分)而k=k-=--,n--=n---=--,所以k=n--.(5分) 用数学归纳法证明结论成立.①当n=1时,f1(x)=1,所以结论成立.②假设当n=k时,结论成立,即f k(x)=x k-(x-1)k+…+(-1)k(x-k)k=k!,当n=k+1时,f k+1(x)=x k+1-(x-1)k+1+…+(-1)k+1(x-k-1)k+1=x k+1-(x-1)k(x-1)+…+(-1)k·(x-k)k(x-k)+(-1)k+1(x-k-1)k+1=x[x k-(x-1)k+…+(-1)k(x-k)k]+[(x-1)k-2(x-2)k+…+(-1)k+1·k·(x-k)k]+(-1)k+1(x-k-1)k+1=x[x k-(+)(x-1)k+…+(-1)k(+-)(x-k)k]+(k+1)·[(x-1)k-(x-2)k+…+(-1)k+1·-·(x-k)k]+(-1)k+1(x-k-1)k(x-k-1)=x[x k-(x-1)k+…+(-1)k(x-k)k]-x[(x-1)k+…+(-1)k-1·-(x-k)k]+(k+1)[(x-1)k-(x-2)k+…+(-1)k+1·-(x-k)k]+x(-1)k+1(x-k-1)k-(k+1)·(-1)k+1(x-k-1)k=x[x k-(x-1)k+…+(-1)k·(x-k)k]-x[(x-1)k+…+(-1)k-1-(x-k)k+(-1)k(x-k-1)k]+(k+1)[(x-1)k-(x-2)k+…+(-1)k-1-·(x-k)k+(-1)k(x-k-1)k].(*)由归纳假设知(*)式等于x·k!-x·k!+(k+1)·k!=(k+1)!,所以当n=k+1时,结论也成立.综合①②,f n(x)=n!成立.(10分)。

江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试数学含答案

.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试题（总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式:锥体体积公式:13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积，h 为高。

样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。

一、填空题（本大题共14小题,每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B = ▲ 。

2．设复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ▲ .3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ 。

4．如图是一个算法流程图,则输出的x 的值是 ▲ .开始x ←1y ←9x >y x ←x +4否是输出x+选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .6．已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则yx 的最小值是 ▲ .7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ 。

8．设{}na 是等差数列，若45621a a a ++=,则9S = ▲ 。

9．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ(02πϕ<<)个单位后,所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ .10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是 ▲ .11．在ABC ∆中,已知AB =3C π=,则CA CB ⋅的最大值为 ▲ .12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线)1y x =+上从左向右依次取点kA 、kB ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1kkk A B A +∆都是等边三角形,则101011A B A ∆的边长是 ▲ .13．在平面直角坐标系xOy 中,已知点P 为函数2ln y x =的图像与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点O ,P ，M ，则()y f x =的最大值为 ▲ 。

优质金卷：江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试数学试题(考试版)

绝密★启用前江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟考试考试范围：集合、函数、复数、概率、统计、算法、平面向量、三角函数、解三角形、数列、不等式、立体几何、解析几何、导数；附加：几何证明、矩阵、参数方程与极坐标、不等式、随机变量概率与数学期望、组合数性质；考试时间：120+30分钟；【名师解读】本卷难度中等，符合高考大纲命题要求，梯度设置合理．本卷试题常规，无偏难、怪出现，填空题重点内容重点考查：如第1-13题等，第14题注重考查三角形中最值问题，既考思想又考方法，有一定难度；解答题重视数学思想方法的考查，如第15题考查了空间想象能力、逻辑论证能力，第18题考查实际应用能力，第16，17,19题考查了等价转化的思想、方程的思想，第20题考查新情境下数列知识运用，难度较大．本卷一轮复习使用．附加常规：四选二，第22题注重考查概率，第23题考查组合数性质,有难度. 一、填空题1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I .2．设复数z 满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 .3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 .4．如图是一个算法流程图，则输出的x 值是 .. 5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 .6．已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则yx 的最小值是 .7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线倾斜角为30︒，则双曲线的离心率为 .8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = .9．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= .10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱， 3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是 .11．在ABC ∆中，已知AB =，3C π=，则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 .12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线)1y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是 .13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图象与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点,,O P M ，则()y f x =的最大值为 .14．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为．三、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证： 11B C ∥平面1A DE ；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.17．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b+=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.18．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=. （1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x-=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0x g e =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由. （参考数据：ln 20.6931≈，ln 3 1.0986≈）20．若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”. （1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.21（A ）．如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.21（B ）．设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值.21（C ）．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.21（D ）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.22．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E(X).23．设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈. （1）求值：①11k k n n kC nC ---；②()221211kk k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；（2）化简：()()2220212212311k nn n n n nC C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++.。

江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟试卷数学附加题答案

由相交弦定理%得%$'%&!%#'%1%
所以,#&!*#$*!$*$%所以*!槡$(!
"$分#
取 #1 的中点 3 %连接 '3%则 '3 *
#1!
" # 因为'3$!'1$+13$!"+
&$*
$
!
直线!
! "
"++#的直
角坐
标方
程
为
,!*%!#
"&分#
曲线!"134的直角坐标方程为*$%
"$2+,+2#
!$2+$"2$%'2%"#!
",-分#
方法二!当2)& 时%由二项式定理%有
",%*#2!,%52,*%52$*$%/%502*0%
/%522*2%
两边同乘以*%得",%*#2*!*%52,*$%
52$*&%/%502*0%,%/%522*2%,%
两边对 * 求导%得 ",%*#2 %2",%
高考全真模拟卷汇编!十三大市篇数学附加题智能化答案小手册
!!使用建议!本答案"小手册#为偶数页活页装订$学生训练完成或老师讲评完以后%可把每卷答案发给学生%供其自我验证&自我反思$
江苏省南京市&盐城市!"#$届高三第一次模拟考试
!#!%&由切割线定理得 "#'"$!"%'
则圆% 的圆心到直线) 的距离为-!

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={-1，0，1}，B=（-∞，0），则A∩B= ______ ．【答案】{-1}【解析】解：∵A={-1，0，1}，B=（-∞，0），∴A∩B={-1}，故答案为：{-1}由A与B，求出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为______ ．【答案】-1【解析】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为-1．故答案为-1．把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1-i．整理后可得复数z的虚部．本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3.已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为______ ．【答案】12【解析】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．利用方差性质求解．本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4.如图是一个算法流程图，则输出的x的值是______ ．【答案】9【解析】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．模拟执行程序，即可得出结论．本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为______ ．【答案】【解析】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1-=．故答案为：．基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6.已知实数x，y满足＞，则的最小值是______ ．【答案】【解析】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7.设双曲线＞的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为______ ．【答案】【解析】解：双曲线＞的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8.设{a n}是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= ______ ．【答案】63【解析】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9.将函数的图象向右平移φ（＜＜）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ______ ．【答案】【解析】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x-φ）+]=3sin（2x+-2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则-2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=-+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．若所得函数为偶函数，则-2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10.将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是______ ．【答案】4【解析】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O-EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．三棱锥O-EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O-EFG体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O-EFG体积的最大值．本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11.在△ABC中，已知，，则的最大值为______ ．【答案】【解析】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线上从左向右依次取点A k、B k，k=1，2，…，其中A1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A10B10A11的边长是______ ．【答案】512【解析】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（-，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13.在平面直角坐标系x O y中，已知点P为函数y=2lnx的图象与圆M：（x-3）2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=f（x）的图象经过点O，P，M，则y=f（x）的最大值为______ ．【答案】【解析】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y-y0=（x-x0），即为x-y+y0-2=0；圆M：（x-3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0-3）（x-3）+yy0=r2，即有（x0-3）x+yy0+9-3x0-r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3-x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3-x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3-x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14.在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为______ ．【答案】【解析】解：由三角形面积公式可得：S=absin C，可得：S2=a2b2（1-cos2C）=a2b2[1-（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8-2c2，∴S2=a2b2[1-（）2]=a2b2[1-（）2]=a2b2-≤-=-+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，-+c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2-，进而利用基本不等式可求S2≤-=-+c，从而利用二次函数的性质可求最值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题(本大题共12小题，共162.0分)15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【答案】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【解析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csin B．（1）求角C；（2）若，求sin A的值．【答案】解：（1）由bsin2C=csin B，根据正弦定理，得2sin B sin C cos C=sin C sin B，…（2分）因为sin B＞0，sin C＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，，所以，，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[-（B-）]…（12分）=．…（14分）【解析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sin B sin C cos C=sin C sin B，结合sin B＞0，sin C＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B-）的值，由于A=-（B-），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.在平面直角坐标系x O y中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆：（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（-1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2-2k2=1时，求k1•k2的值．【答案】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x0，y0），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-4=0，所以，又2m2-2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【解析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18.如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【答案】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y-4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=1.5米＜2.5米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y-4b=0，由，解得b=h+2r或b=h-2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25-2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为（30，2.5），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y-=-（x-30），即3x+4y-100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l1的下方，则3r+4h-100＜0，即，从而h=25-2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【解析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25-2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+-3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h （x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）．【答案】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=或1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+-3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x-3）lnx，h′（x）=lnx-+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x0）=0，即lnx0=-1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x0，+∞）上单调递增，∴h（x）min=h（x0）=-（x0+）+6，∵h′（1）＜0，h′（2）＞0，∴x0∈（1，2），∴h（x）不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【解析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+-3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20.若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{a n}满足，，则称数列{a n}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n}为“段比差数列”．（1）若{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{b n}的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{b n}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{b n}，并说明理由．【答案】（1）①方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{b n}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2-b3n-1=（b3n+1+d）-b3n-1=（qb3n+d）-b3n-1=[q（b3n-1+d）+d]-b3n-1=2d=6，∴{b3n-1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n-2+b3n-1+b3n=（b3n-1-d）+b3n-1+（b3n-1+d）=3b3n-1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n-2+b3n-1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设∠，则λ≥（c n）max，又，当n=1时，3n2-2n-2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2-2n-2＞0，c n+1＜c n，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（c n）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{b n}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3-b3n=b3n+3-b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{b n}中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{b n}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2-b km+1=d，即bq km+1-bq km=bq km（q-1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=-1，k为偶数，d=-2b，；经检验，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则b n=b或，经检验均合题意．…（13分）综上①②，满足条件的{b n}的通项公式为b n=b或．…（16分）【解析】（1）①方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒b n}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2-b3n-1=（b3n+1+d）-b3n-1=（qb3n+d）-b3n-1=[q（b3n-1+d）+d]-b3n-1=2d=6，⇒{b3n-1}是等差数列，又∵b3n-2+b3n-1+b3n=（b3n-1-d）+b3n-1+（b3n-1+d）=3b3n-1，即可求S3n方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3-b3n=b3n+3-b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2-b km+1=d，即bq km+1-bq km=bq km（q-1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=-1，k为偶数，d=-2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d即可．本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．21.如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【答案】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故∠，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【解析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【答案】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=-4．…（10分）【解析】推导出，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．23.在平面直角坐标系x O y中，已知直线：为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【答案】解：直线：为参数）化为普通方程为4x-3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【解析】直线：为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．24.若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【答案】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即，时取等号．综上，．…（10分）【解析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．25.某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【答案】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得～，，，，，，，，．…（6分）所以X的概率分布表为：…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【解析】（1）利用对立事件的概率关系求解；立重复试验，服从二项分布．本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26.设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①k C n k-n C n-1k-1；②k2C n k-n（n-1）C n-2k-2-n C n-1k-1（k≥2）；（2）化简：12C n0+22C n1+32C n2+…+（k+1）2C n k+…+（n+1）2C n n．【答案】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n-1）2n-2+3n（2n-1-1）+（2n-1-n）=2n-2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n-1x+n（n-1）（1+x）n-2x2+2n（1+x）n-1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n-1+n（n-1）2n-2+2n2n-1=，即=2n-2（n2+5n+4）．…（10分）【解析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n-1x+n（n-1）（1+x）n-2x2+2n（1+x）n-1x=．令x=1，即可得出．本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

江苏省南京市、盐城市高三数学第一次模拟考试试题

南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学试题(总分160分，考试时间120分钟)注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分160分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面积,h 为高；柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面积,h 为高.样本数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑.一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1．已知集合{}1,0,1A =-，(,0)B =-∞，则A B =I ▲ . 2．设复数z 满足(1i)2z -=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 ▲ .3．已知样本数据12345,,,,x x x x x 的方差23s =，则样本数据123452,2,2,2,2x x x x x 的方差为 ▲ . 4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是 ▲ . 5．在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为 ▲ .6．已知实数,x y 满足0722x x y x y>⎧⎪+≤⎨⎪+≤⎩，则y x 的最小值是 ▲ .7．设双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线的倾斜角为30︒，则该双曲线的离心率为 ▲ . 8．设{}n a 是等差数列，若45621a a a ++=，则9S = ▲ .9．将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移ϕ（02πϕ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ= ▲ .10．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，3AB =，2BC =，圆柱上底面圆心为O ，EFG ∆为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O EFG -体积的最大值是 ▲ .开始结束x ←1 y ←9x >y x ←x +4 y ←y -2否是输出x 第4题图+11．在ABC ∆中，已知3AB =，3C π=，则CA CB ⋅uu r uu r的最大值为 ▲ .12．如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线()313y x =+上从左向右依次取点k A 、k B ，1,2,k =⋅⋅⋅，其中1A 是坐标原点，使1k k k A B A +∆ 都是等边三角形，则101011A B A ∆的边长是 ▲ .13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数2ln y x =的图像与圆222:(3)M x y r -+=的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数()y f x =的图象经过点O ，P ，M ，则()y f x =的最大值为 ▲ .14．在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，BC AC ⊥，D ,E 分别是AB ,AC 的中点．（1）求证：11B C ∥平面1A DE ；（2）求证：平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．(本小题满分14分)在ABC ∆中，a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边，且sin 2sin b C c B =．（1）求角C ；（2）若3sin()35B π-=，求sin A 的值.17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b+=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.A BC A 1B 1C 1D E第15题图 A 1 A 2 A 3A 4B 1B 2B 3…xy18．(本小题满分16分)如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=. （1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．(本小题满分16分)设函数()ln f x x =，1()3a g x ax x -=+-（a R ∈）. （1）当2a =时，解关于x 的方程()0xg e =（其中e 为自然对数的底数）；（2）求函数()()()x f x g x ϕ=+的单调增区间；（3）当1a =时，记()()()h x f x g x =⋅，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式2()h x λ≥有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈）F 第18题图B20．(本小题满分16分)若存在常数*(,2)k k N k ∈≥、q 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1,,,,n n n n a d N k a n qa N k *+*⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩则称数列{}n a 为“段比差数列”，其中常数k 、q 、d 分别叫做段长、段比、段差. 设数列{}n b 为“段比差数列”.（1）若{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q 、3.①当0q =时，求2016b ；②当1q =时，设{}n b 的前3n 项和为3n S ，若不等式133n n S λ-≤⋅对n N *∈恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分（本部分满分40分，考试时间30分钟）21．[选做题]（在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）A .（选修4-1：几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 为半圆O 外一点，,PA PB 分别交半圆O 于点,D C .若2AD =，4PD =，3PC =，求BD 的长.B .（选修4-2：矩阵与变换）设矩阵 22 3m ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，求m 与λ的值.ABCPDO · 第21(A)图C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数). 现以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长.D ．(选修4-5：不等式选讲）若实数,,x y z 满足21x y z ++=，求222x y z ++的最小值.[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内） 22．（本小题满分10分）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程. （1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X ，求X 的概率分布表与数学期望E(X). 23．（本小题满分10分）设*n N ∈，3n ≥，*k N ∈. （1）求值：①11k k n n kC nC ---；②()221211kk k n n n k C n n C nC -------（2k ≥）；（2）化简：()()222212212311knn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++.南京市、盐城市2017届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.1. {}1-2. 13. 124. 95. 566. 347.2338. 63 9. 512π 10. 4 11. 32 12.512 13. 9814.25 二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．证明：（1）因为D ,E 分别是AB ,AC 的中点，所以//DE BC ， ...............2分又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE . ...............4分又11B C ⊄平面1A DE，DE ⊂平面1A DE，所以11B C ∥平面1A DE . ...............6分（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC，所以1CC DE ⊥. ...............8分又BC AC⊥，//DE BC，所以DE AC ⊥， ...............10分又1,CC AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =I ，所以DE ⊥平面11ACC A . ...............12分又DE ⊂平面1A DE，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ． ...............14分（注：第（2）小题也可以用面面垂直的性质定理证明DE ⊥平面11ACC A ，类似给分） 16．解：（1）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =， …………2分因为sin 0,sin 0B C >>，所以1cos 2C =， …………4分又(0,)C π∈，所以3C π=. …………6分（2）因为3C π=，所以2(0,)3B π∈，所以(,)333B πππ-∈-，又3sin()35B π-=，所以24cos()1sin ()335B B ππ-=--=. …………8分又23A B π+=，即23A B π=-，所以2sin sin()3A B π=-sin(())sin cos()cos sin()333333B B B ππππππ=--=--- ………12分3413433252510=⨯-⨯=.…………14分17．解：（1）因02b <<，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222:O x y b+=经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =， ……………3分所以224b =，即22b =，所以椭圆E的方程为22142x y +=. ……………6分（2）方法一：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(12)4240k x kmx m +++-=，所以122412km x x k +=-+，又22221m k -=，所以12x x +2k m=-，所以0k x m=-，012k y m k m m=-⋅=， ……………10分则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m⋅=⋅===-----+--. ……………14分方法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，00(,)T x y ，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差，得()()()()12121212042x x x x y y y y +-+-+=，又1202x x x +=，1202y y y +=，∴()()01201202x x x y y y -+-=，∴()01201202y y y x x x -+=-，又11(,)P x y ，22(,)Q x y 在直线y kx m =+上，∴1212y y k x x -=-，∴0020x ky +=，① 又00(,)T x y 在直线y kx m =+上，∴00y kx m =+，②由①②可得02212kmx k=-+，0212my k=+. ……………10分以下同方法一.18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为(9,6)H ，半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +-=， ...............2分则由22934=+，解得24b =或32b =（舍）. 故太阳光线所在直线方程为3244y x =-+，...............5分令30x =，得 1.5EG =米 2.5<米. 所以此时能保证上述采光要求................7分（2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为(,)H r h ，半径为r ．方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +-=2234r =+，解得2b h r=+或2b h r=-（舍）. ...............9分故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++，令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-. ...............11分所以222133222(252)222S rh r rh r r r r π=+=+⨯≤-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为(30,2.5)，设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为y －52＝－34(x －30)，即341000x y +-=． ...............10分由直线1l 与半圆H 相切，得|34100|5r h r +-=．而点H (r ，h )在直线1l 的下方，则3r ＋4h －100＜0，即341005r h r +-=-，从而252h r =-． ...............13分又221322(252)22S rh r r r r π=+=-+⨯225550(10)25025022r r r =-+=--+≤.当且仅当10r =时取等号.所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大. ...............16分19．解：（1）当2a =时，方程()0xg e =即为1230xx e e+-=，去分母，得 22()310x x e e -+=，解得1x e =或12x e =， ……………2分故所求方程的根为x =或ln 2x =-. ……………4分（2）因为1()()()ln 3(0)a x f x g x x ax x x ϕ-=+=++->，所以222211(1)((1))(1)()a ax x a ax a x x a x x x x ϕ-+----+'=+-==（0x >）， ……………6分①当0a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；②当1a >时，由()0x ϕ'>，解得1a x a->； ③当01a <<时，由()0x ϕ'>，解得0x >；④当1a =时，由()0x ϕ'>，解得0x >；⑤当0a <时，由()0x ϕ'>，解得10a x a -<<. 综上所述，当0a <时，()x ϕ的增区间为1(0,)a a-；当01a ≤≤时，()x ϕ的增区间为(0,)+∞；1a >时，()x ϕ的增区间为1(,)a a-+∞. .……………10分（3）方法一：当1a =时，()3g x x =-，()(3)ln h x x x =-，所以3()ln 1h x x x '=+-单调递增，33()ln 12022h '=+-<，3(2)ln 2102h '=+->，所以存在唯一03(,2)2x ∈，使得0()0h x '=，即003ln 10x x +-=， .……………12分当0(0,)x x ∈时，()0h x '<，当0(,)x x ∈+∞时，()0h x '>，所以20min 00000000(3)39()()(3)ln (3)(1)6()x h x h x x x x x x x x -==-=--=-=-+，记函数9()6()r x x x =-+，则()r x 在3(,2)2上单调递增， .……………14分所以03()()(2)2r h x r <<，即031()(,)22h x ∈--，由322λ≥-，且λ为整数，得0λ≥，所以存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. .……………16分方法二：当1a =时，()3g x x =-，所以()(3)ln h x x x =-，由(1)0h =得，当0λ=时，不等式2()h x λ≥有解， .……………12分下证：当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立，即证(3)ln 2x x ->-恒成立.显然当(0,1][3,)x ∈+∞U 时，不等式恒成立，只需证明当(1,3)x ∈时，(3)ln 2x x ->-恒成立. 即证明2ln 03x x +<-.令2()ln 3m x x x =+-，所以2221289()(3)(3)x x m x x x x x -+'=-=--，由()0m x '=，得47x = .……………14分当(1,47)x ∈，()0m x '>；当(47,3)x ∈-，()0m x '<；所以max 7121()(47)ln(47)ln(42)ln 21033m x m +==-<--=-<. 所以当1λ≤-时，()2h x λ>恒成立.综上所述，存在整数λ满足题意，且λ的最小值为0. .……………16分20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，2014201300b b ∴=⨯=，2015201433b b ∴=+=，2016201536b b ∴=+=. ……………3分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=，…∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列.∴201666b b ==. ……………3分②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴()()()32313131331313126n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+-----=+-=+-=++-==⎡⎤⎣⎦，∴{}31n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又()()32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b ------++=-+++=Q ，()()()312345632313n n n n S b b b b b b b b b --∴=+++++++++L()()2253113346932n n n b b b n n n --⎡⎤=++=+⨯=+⎢⎥⎣⎦L ， ……………6分133n n S λ-≤⋅Q ，313n n S λ-∴≤，设313nn n S c -=，则()max n c λ≥，又()()()2221112322913193333n n n n n n n n n n n c c +-----++++-=-=，当1n =时，23220n n --<，12c c <；当2n ≥时，23220n n -->，1n n c c +<，∴123c c c <>>⋅⋅⋅，∴()2max 14n c c ==， ……………9分∴14λ≥，得[)14,λ∈+∞. ……………10分方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++-=-==，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列，∴()2363176342n n n b b b n n n -+++=+⨯=+L ，易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，()21245323122121362n n n n b b b b b b n n n ---∴++++++=⨯+⨯=-L ， ()()222334693n S n n n n n n ∴=++-=+， ………………6分以下同方法一.（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=，当m N*∈时，21k m k m b b d++-=，即()11km km km bq bq bq q d +-=-=恒成立， ……………12分①若1q =，则0d =，n b b =；②若1q ≠，则()1kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，()11n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b=或()11n n b b -=-. ……………16分方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，()3b b d q =+，()4b b d q d =++，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得()()2b d q b d q d +=++，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或()11n n b b -=-，经检验均合题意. …………13分②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得()()22b d b b d +=+，得0d =，则n b b =，经检验适合题意.综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b=或()11n n b b -=-. ……………16分附加题答案21. A 、解：由切割线定理得：PD PA PC PB ⋅=⋅则4(24)3(3)BC ⨯+=⨯+，解得5BC =， …………4分又因为AB是半圆O 的直径，故2π=∠ADB , …………6分则在三角形PDB 中有34166422=-=-=PD PB BD . …………10分B、解：由题意得2112 322m λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………4分则4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩， …………8分解得0m =，4λ=-. …………10分C、解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)化为普通方程为034=-y x ， …………2分圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为()1122=+-y x ， …………4分则圆C的圆心到直线l 的距离为()5434422=-+=d ， …………6分所以56122=-=d AB . …………10分D 、解：由柯西不等式，得2222222(2)(121)()x y z x y z ++≤++⋅++，即2x y z ++≤， …………5分又因为21x y z ++=，所以61222≥++z y x ，当且仅当121x y z ==，即11,63x z y ===时取等号. 综上，()61min222=++z y x. …………10分22．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P =-=⨯. …………4分（2）由题意得1~(5,)3X B ，5512(),0,1,2,3,4,533kkk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. …………6分所以X X 01 2 3 4 5P32243802438024340243102431243………8分所以，X的数学期望为15()533E X =⨯=. …………10分23.解：（1）①()()()()111!!!!1!!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯--- ()()()()!!01!!1!!n n k n k k n k =-=----. ……………2分②()()()()()()2212212!!11!!2!!kk k n n n n n k C n n C nC k n n k n k k n k --------=⨯--⨯--- ()()()1!1!!n n k n k --⨯--()()()()()()!!!1!!2!!1!!n n n k k n k k n k k n k =⨯--------()()!1102!!11n k k n k k k ⎛⎫=--= ⎪----⎝⎭. ………………4分（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时()()2221212kkkkkn n n n n k C k k C k C kC C +=++=++()()21121211211213k k k k k k kn n n n n n n n n C nC nC C n n C nC C ----------⎡⎤=-+++=-++⎣⎦. ……………6分故()()222212212311knn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()()()()20210121212221111213n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C --------=++-+++++++L L ()23n n n n C C C ++++L ()()()()21141232121n n n n n n n n --=++-+-+--()22254n n n -=++. ……………10分方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有()12211nkknnn n n n x C x C x C x C x +=++++++L L ，两边同乘以x ，得()1223111nkk n n n n n n x x x C x C x C xC x +++=++++++L L ，两边对x求导，得()()()()11221112311nn k k n nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++L L ，……………6分两边再同乘以x ，得()()()()12122311112311n n k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x-+++++=++++++++L L ，两边再对x 求导，得()()()()()1212111121n n n n x n x x n n x x n x x ---++++-+++()()222122212311k k n nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++L L . ……………8分令1x =，得()121221222n n n n n n n n ---++-+()()22212212311k nnn n n C C k C n C =+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++，即()()2220212212311k nn n n n n C C C k C n C +++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++()22254n n n -=++. …………10分。

【江苏省南京市、盐城市】2017年高考一模数学试卷（附答案与解析）

江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知集合A={T,0,l},3=(-8,0),则A B=.2.设复数z满足(l+i)z=2,其中i为虚数单位，则z的虚部为.3.已知样本数据X,,x2,x3,x4,x5的方差s2=3,则样本数据2X],2x2,2x3,2x4,2x5的方差为.4.如图是一个算法流程图，则输出的x的值是.开始)—95.在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为.x>06.己知实数X,，满足<x+y<7,则/的最小值是.x+2<2y X7.设双曲线二-》2=1怎>0)的一条渐近线的倾斜角为30。

，则该双曲线的离心率为.a8.设{%}是等差数列，若a4+a5+a6=21,则S9=.9.将函数y=3sin(2x+：)的图象向右平移^(0<^<|)个单位后，所得函数为偶函数，则"10.将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3,BC=2,圆柱上底面圆心为。

，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O-EFG体积的最大值是.11.在/XABC中，己知AB=也,C=|,则CA C3的最大值为.12.如图，在平面直角坐标系中，分别在x轴与直线>=季3+1)上从左向右依次取点A*侦，k=l,2,…,其中A是坐标原点，使aa,b,4+1都是等边三角形，则AAoSwAi的边长是.13.在平面直角坐标系xQy中，已知点P为函数y=21nr的图象与圆M:(X-3)2+y2=r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y=/W的图象经过点。

，P,M,则y=fM的最大值为.14.在中，A、B、。

所对的边分别为a、b、c,若a2+b2+2c2=8,则ZVIBC面积的最大值为.二、解答题(本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内)15.如图，在直三棱柱A3C-A0G中，BC±AC,D,E分别是A3,AC的中点.(1)求证：B\CJ/平面A.DE；(2)求证：平面A.DE1.平面ACC,4.16.在AA3C中，a,b,c分别为内角*,B,。

江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷[1]

2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A ∩B= ．2．（5分）设复数z 满足（1+i ）z=2，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为． 3．（5分）已知样本数据x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的方差s 2=3，则样本数据2x 1，2x 2，2x 3，2x 4，2x 5的方差为．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是．5．（5分）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．6．（5分）已知实数x ，y 满足，则的最小值是．7．（5分）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为． 8．（5分）设{a n }是等差数列，若a 4+a 5+a 6=21，则S 9= ．9．（5分）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ． 10．（5分）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是．11．（5分）在△ABC 中，已知，，则的最大值为．12．（5分）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为．14．（5分）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．（14分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．17．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．18．（16分）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）19．（16分）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈，ln3≈）．20．（16分）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an}满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l 与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．26．设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．2017年江苏省南京市、盐城市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）（2017•盐城一模）已知集合A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），则A∩B= {﹣1} ．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2017•盐城一模）设复数z满足（1+i）z=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为﹣1 ．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题是基础题．3．（5分）（2017•盐城一模）已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，则样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为12 ．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．【点评】本题考查样本数据方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．4．（5分）（2017•盐城一模）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是9 ．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．【点评】本题考查程序框图，考查学生的计算能力，比较基础．5．（5分）（2017•盐城一模）在数字1、2、3、4中随机选两个数字，则选中的数字中至少有一个是偶数的概率为．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．6．（5分）（2017•盐城一模）已知实数x，y满足，则的最小值是．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．【点评】本题主要考查了线性规划在求解最值中的应用，解题的关键是发现所求的式子的几何意义是平面区域内的点与原点的连线的斜率．7．（5分）（2017•盐城一模）设双曲线的一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．8．（5分）（2017•盐城一模）设{an }是等差数列，若a4+a5+a6=21，则S9= 63 ．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n }是等差数列，a 4+a 5+a 6=21， ∴a 4+a 5+a 6=3a 5=21，解得a 5=7， ∴=63．故答案为：63．【点评】本题考查等差数列的前9项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．9．（5分）（2017•盐城一模）将函数的图象向右平移φ（）个单位后，所得函数为偶函数，则φ= ．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k ∈Z ，进而可得答案．【解答】解：把函数f （x ）=3sin （2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x ﹣φ）+]=3sin （2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k ∈Z ，解得：φ=﹣+kπ，k ∈Z ，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，难度中档．10．（5分）（2017•盐城一模）将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值是 4 ．【分析】三棱锥O ﹣EFG 的高为圆柱的高，即高为ABC ，当三棱锥O ﹣EFG 体积取最大值时，△EFG 的面积最大，当EF 为直径，且G 在EF 的垂直平分线上时，（S△EFG）max =，由此能求出三棱锥O ﹣EFG 体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG ）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值Vmax==．故答案为：4．【点评】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，已知，，则的最大值为．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．【点评】考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，以及不等式a2+b2≥2ab的运用．12．（5分）（2017•盐城一模）如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线上从左向右依次取点A k 、B k ，k=1，2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k+1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是 512 ．【分析】设直线与x 轴交点坐标为P ，由直线的倾斜角为300，又△A 1B 1A 2是等边三角形，求出△A 2B 2A 3、…找出规律，就可以求出△A 10B 10A 11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x 轴交点坐标为P （﹣1，0），又∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴∠B 1A 1A 2=600，B 1A 1=1，PA 2=2， ∴△A 2B 2A 3的边长为PA 2=2，同理 B 2A 2=PA 3=4，…以此类推 B 10A 10=PA 10=512，∴△A 10B 10A 11的边长是512，故答案为：512．【点评】本题考查了直线的倾斜角，等边三角形的性质，及归纳推理的能力，属于基础题．13．（5分）（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 为函数y=2lnx 的图象与圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的公共点，且它们在点P 处有公切线，若二次函数y=f （x ）的图象经过点O ，P ，M ，则y=f （x ）的最大值为．【分析】设P （x 0，y 0），求得y=2lnx 的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x （3﹣x ），满足经过点P ，O ，M ，即可得到所求最大值．【解答】解：设P （x 0，y 0），函数y=2lnx 的导数为y′=，函数y=2lnx 在点P 处的切线方程为y ﹣y 0=（x ﹣x 0），即为x ﹣y+y 0﹣2=0；圆M ：（x ﹣3）2+y 2=r 2的上点P 处的切线方程为（x 0﹣3）（x ﹣3）+yy 0=r 2，即有（x 0﹣3）x+yy 0+9﹣3x 0﹣r 2=0；由切线重合，可得 ==，即x0（3﹣x）=2y，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．【点评】本题考查圆的方程、导数的几何意义和二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）（2017•盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式，从而可求S2≤﹣（c2﹣）2，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤（4﹣c2）2﹣=﹣+c2=﹣（c2﹣）2，当且仅当a=b时等号成立，∴当c2=时，﹣+c2取得最大值，S的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）（2017•盐城一模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点．（1）求证：B1C1∥平面A1DE；（2）求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分）又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分）又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分）（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分）又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分）又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16．（14分）（2017•盐城一模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且bsin2C=csinB．（1）求角C；（2）若，求sinA的值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB ＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．【解答】解：（1）由bsin2C=csinB，根据正弦定理，得2sinBsinCcosC=sinCsinB，…（2分）因为sinB＞0，sinC＞0，所以，…（4分）又C∈（0，π），所以．…（6分）（2）因为，所以，所以，又，所以．…（8分）又，即，所以=sin[﹣（B﹣）]…（12分）=．…（14分）【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17．（14分）（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=b2经过椭圆（0＜b＜2）的焦点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（﹣1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k1，k2，当2m2﹣2k2=1时，求k1•k2的值．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．【解答】解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，又圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）所以2b2=4，即b2=2，所以椭圆E的方程为．…（6分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），T（x，y），联立，消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣4=0，所以，又2m2﹣2k2=1，所以x1+x2=，所以，，…（10分）则．…（14分）【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．18．（16分）（2017•盐城一模）如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE=30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足．（1）若设计AB=18米，AD=6米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=米＜米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，即可求出截面面积最大【解答】解：如图所示，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB=18，AD=6，所以半圆的圆心为H（9，6），半径r=9．设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，…（2分）则由，解得b=24或（舍）．故太阳光线所在直线方程为，…（5分）令x=30，得EG=米＜米．所以此时能保证上述采光要求…（7分）（2）设AD=h米，AB=2r米，则半圆的圆心为H（r，h），半径为r．方法一：设太阳光线所在直线方程为，即3x+4y﹣4b=0，由，解得b=h+2r或b=h﹣2r（舍）…（9分）故太阳光线所在直线方程为，令x=30，得，由，得h≤25﹣2r…（11分）所以=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为米，则此时点G为（30，），设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y﹣=﹣（x﹣30），即3x+4y﹣100=0…（10分）由直线l1与半圆H相切，得．而点H（r，h）在直线l的下方，则3r+4h﹣100＜0，1即，从而h=25﹣2r…（13分）又=．当且仅当r=10时取等号．所以当AB=20米且AD=5米时，可使得活动中心的截面面积最大…（16分）【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（16分）（2017•盐城一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+﹣3（a∈R）．（1）当a=2时，解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）当a=1时，记h（x）=f（x）•g（x），是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解？若存在，请求出λ的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：ln2≈，ln3≈）．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）当a=2时，g（x）=0，可得x=1，g（e x）=0，可得e x=或e x=1，∴x=﹣ln2或0；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=①a=0，φ′（x）=＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；②a=1，φ′（x）=•x＞0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；③0＜a＜1，x=＜0，函数的单调递增区间是（0，+∞）；④a＞1，x=＞0，函数的单调递增区间是（，+∞）；⑤a＜0，x=＞0，函数的单调递增区间是（0，）；（3）a=1，h（x）=（x﹣3）lnx，h′（x）=lnx﹣+1，h″（x）=+＞0恒成立，∴h′（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0，h′（x）=0，即lnx=﹣1+，h（x）在（0，x0）上单调递减，（x，+∞）上单调递增，∴h（x）min =h（x）=﹣（x+）+6，∵h′（）＜0，h′（2）＞0，∴x∈（，2），∴h（x）∈（﹣，﹣），∴存在λ的最小值0，使得关于x的不等式2λ≥h（x）有解．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）（2017•盐城一模）若存在常数k（k∈N*，k≥2）、q、d，使得无穷数列{an }满足则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k、q、d分别叫做段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．（1）若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、q、3．①当q=0时，求b2016；②当q=1时，设{bn }的前3n项和为S3n，若不等式对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；（2）设{bn }为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．【分析】（1）①方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{bn }的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b 5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒bn}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{bn }的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n +d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，即可求S3n方法二：由{bn }的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n }是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d 即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d 即可．【解答】（1）①方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b2014=0×b2013=0，∴b2015=b2014+3=3，∴b2016=b2015+3=6．…（3分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…∴当n≥4时，{bn}是周期为3的周期数列．∴b2016=b6=6．…（3分）②方法一：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n﹣1+d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，∴{b3n﹣1}是以b2=4为首项、6为公差的等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，∴S3n=（b1+b2+b3）+（b4+b5+b6）+…+（b3n﹣2+b3n﹣1+b3n）=，…（6分）∵，∴，设，则λ≥（cn）max，又，当n=1时，3n2﹣2n﹣2＜0，c1＜c2；当n≥2时，3n2﹣2n﹣2＞0，cn+1＜cn，∴c1＜c2＞c3＞…，∴（cn）max=c2=14，…（9分）∴λ≥14，得λ∈[14，+∞）．…（10分）方法二：∵{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列，∴，易知{bn }中删掉{b3n}的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列，∴，∴，…（6分）以下同方法一．（2）方法一：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，则等比数列{bn}的公比为，由等比数列的通项公式有，当m∈N*时，bkm+2﹣bkm+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，…（12分）①若q=1，则d=0，bn=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；经检验，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）方法二：设{bn}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，联立两式，得或，则bn=b或，经检验均合题意．…（13分）②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，得（b+d）2=b（b+2d），得d=0，则bn=b，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{bn }的通项公式为bn=b或．…（16分）【点评】本题考查了等差等比数列的运算及性质，考查了学生的推理和分析能力，属于难题．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）[选修4-1：几何证明选讲]21．（2017•盐城一模）如图，AB是半圆O的直径，点P为半圆O外一点，PA，PB分别交半圆O于点D，C．若AD=2，PD=4，PC=3，求BD的长．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．【解答】解：由切割线定理得：PD•PA=PC•PB则4×（2+4）=3×（3+BC），解得BC=5，…（4分）又因为AB是半圆O的直径，故，…（6分）则在三角形PDB中有．…（10分）【点评】本题考查切割线定理的运用，考查勾股定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-2：矩阵与变换]22．（2017•盐城一模）设矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，求m与λ的值．【分析】推导出，由此能求出结果．【解答】解：∵矩阵M=的一个特征值λ对应的特征向量为，∴，…（8分）解得m=0，λ=﹣4．…（10分）【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特征向量的性质的合理运用．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2017•盐城一模）在平面直角坐标系xOy中，已知直线为参数）．现以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，设圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l与圆C交于A，B两点，求弦AB的长．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．【解答】解：直线为参数）化为普通方程为4x﹣3y=0，…（2分）圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，…（4分）则圆C的圆心到直线l的距离为，…（6分）所以．…（10分）【点评】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的转化，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2017•盐城一模）若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．【解答】解：由柯西不等式，得（x+2y+z）2≤（12+22+12）•（x2+y2+z2），即，…（5分）又因为x+2y+z=1，所以，当且仅当，即时取等号．综上，．…（10分）【点评】本题主要考查了函数的最值，以及柯西不等式的应用，解题的关键是利用（x+2y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解决．[必做题]（第25、26题，每小题0分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）25．（2017•盐城一模）某年级星期一至星期五每天下午排3节课，每天下午随机选择1节作为综合实践课（上午不排该课程），张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程．（1）求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率；（2）设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X，求X的概率分布表与数学期望E（X）．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．【解答】解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为．…（4分）（2）由题意得，．…（6分）所以X的概率分布表为：X012345P…（8分）所以，X的数学期望为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型的概率，独立重复试验的分布列、期望，属于中档题．26．（2017•盐城一模）设n∈N*，n≥3，k∈N*．（1）求值：①kCn k﹣nCn﹣1k﹣1；②k2Cn k﹣n（n﹣1）Cn﹣2k﹣2﹣nCn﹣1k﹣1（k≥2）；（2）化简：12Cn 0+22Cn1+32Cn2+…+（k+1）2Cnk+…+（n+1）2Cnn．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．【解答】解：（1）①=．…（2分）②==．…（4分）（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．（6分）故==（1+4n）+n（n﹣1）2n﹣2+3n（2n﹣1﹣1）+（2n﹣1﹣n）=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，…（6分）两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．…（8分）令x=1，得2n+n2n﹣1+n（n﹣1）2n﹣2+2n2n﹣1=，即=2n﹣2（n2+5n+4）．…（10分）【点评】本题考查了组合数的计算公式及其性质、利用导数的运算法则化简证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有：sllwyn；sxs123；zlzhan；lcb001；qiss；w3239003；wkl197822；陈远才；双曲线；刘老师；沂蒙松（排名不分先后）菁优网2017年3月4日。

【江苏省南京、盐城】2017学年高考一模数学年试题

江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷答案1．{}1- 2．1- 3．12 4．95．56 6．3478．639．512π 10．4 11．3212．13．981415．证明：（1）因为D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以//DE BC ，又因为在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，所以11//B C DE ，又11B C ⊄平面1A DE ，DE ⊂平面1A DE ，所以11//B C 平面1A DE ．（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，又DE ⊂底面ABC ，所以1CC DE ⊥，又BC AC ⊥，//DE BC ，所以DE AC ⊥，又1CC ，AC ⊂平面11ACC A ，且1CC AC C =，所以DE ⊥平面11ACC A ，又DE ⊂平面1A DE ，所以平面1A DE ⊥平面11ACC A ．16．解：（1）由sin 2sin b C c B =，根据正弦定理，得2sin sin cos sin sin B C C C B =，因为sin 0B ＞，sin 0C ＞，所以1cos 2C =，又0πC ∈(,)，所以π3C =．（2）因为π3C =，所以2π(0,)3B ∈，所以πππ(,)333B -∈-，又π3sin()35B -=，所以π4cos()35B -==．又2π3A B +=，即2π3A B =-，所以2πππ413sin sin()sin[()]333525A B B =-=--=-⨯=． 17．解：（1）因02b ＜＜，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆222O x y b +=:经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c b =，所以224b =，即22b =，所以椭圆E 的方程为22142x y +=．（2）设11P x y (,)，22Q x y (,)，00T x y (,)，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222124240k x kmx m +++=()-，所以122412km x x k +=-+，又22221m k =-，所以122k x x m+=-，所以0kx m=-，012k y m k m m =-=，则1222221111122442(22)211m m k k k k k m m k m m====-----+--． 18．解：如图所示，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系．（1）因为18AB =，6AD =，所以半圆的圆心为96H (,)，半径9r =．设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +=-，9=，解得24b =或32b =（舍）．故太阳光线所在直线方程为3244y x =-+，令30x =，得 1.5EG =米 2.5＜米．所以此时能保证上述采光要求．（2）设AD h =米，2AB r =米，则半圆的圆心为H r h (,)，半径为r ．方法一：设太阳光线所在直线方程为34y x b =-+，即3440x y b +=-r =，解得2b h r =+或2b h r =-（舍）故太阳光线所在直线方程为324y x h r =-++，令30x =，得4522EG r h =+-，由52EG ≤，得252h r ≤-所以2222213355222(252)50(10)25025022222S rh r rh r r r r r r r π=+=+⨯≤-+⨯=-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG 恰为2.5米，则此时点G 为302.5(,)，设过点G 的上述太阳光线为1l ，则1l 所在直线方程为533024y x =--(-)，即341000x y +=-由直线1l 与半圆H 相切，得341005r h r +-=．而点H r h (,)在直线1l 的下方，则341000r h +-＜，即341005r h r +-=-，从而252h r =-又2222135522(252)50(10)2502502222S rh r r r r r r r π=+=-+⨯=-+=--+≤．当且仅当10r =时取等号．所以当20AB =米且5AD =米时，可使得活动中心的截面面积最大19．解：（1）当2a =时，0g x =()，可得12x =或1， 0x g e =()，可得12x e =或1x e =， ∴ln 2x =-或0；（2）1ln 3a x f x g x x ax xϕ-=+=++()()()-，2[(1)](1)ax a x x x ϕ--+'=()①0a =，210x x x ϕ+'=()＞，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ②1a =，210x x x x ϕ+'=()＞，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ③01a ＜＜，10a x a-=＜，函数的单调递增区间是0+∞(,)； ④1a ＞，10a x a-=＞，函数的单调递增区间是1(,)a a -+∞； ⑤0a ＜，10a x a -=＞，函数的单调递增区间是1(0,)a a-；（3）1a =，3ln h x x x =()(-)，3ln 1h x x x'=+()-， 2130h x x x "=+()＞恒成立，∴h x '()在0+∞(,)上单调递增，∴存在0x ，00h x '=()，即003ln 1x x =+-， h x ()在00x (,)上单调递减，0x +∞(,)上单调递增，∴00096min h x h x x x ==++()()-()， ∵10h '()＜，20h '()＞，∴012x ∈(,)， ∴h x ()不存在最小值，∴不存在整数λ，使得关于x 的不等式2h x λ≥()有解．20．（1）①方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴2014201300b b =⨯=，∴2015201433b b =+=，∴2016201536b b =+=．方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、0、3，∴11b =，24b =，37b =，4300b b =⨯=，5433b b =+=，6536b b =+=，7600b b =⨯=， ∴当4n ≥时，{}n b 是周期为3的周期数列． ∴201666b b ==．②方法一：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴32313131331313126[]n n n n n n n n b b b d b qb d b q b d d b d +-+---=+=+=++==--()-()-()-， ∴31{}n b -是以24b =为首项、6为公差的等差数列，又∵32313313131313n n n n n n n b b b b d b b d b -----++=+++=﹣(-)()，∴3123456n S bb b b b b =+++++()() 2323132531(1)3)3[46]932n n n n n n b b b b b b n n n --++++=++=+⨯=+--()(， ∵133n n S λ-≤，∴313n n S λ-≤，设2ADB π∠=，则n max c λ≥()，又2221119(1)3(1)932(322)333n n n n n n n n n n n c c +--++++----=-=，当1n =时，23220n n --＜，12c c ＜；当2n ≥时，23220n n --＞，1n n c c +＜， ∴123c c c ＜＜＜，∴214n max c c ==()，∴14λ≥，得14[,λ∈+∞)．方法二：∵{}n b 的首项、段长、段比、段差分别为1、3、1、3，∴313n n b b +=，∴333333126n n n n b b b b d +++===--，∴{}3n b 是首项为37b =、公差为6的等差数列， ∴2363(1)76342n n n b b b n n n -++=+⨯=+，易知{}n b 中删掉{}3n b 的项后按原来的顺序构成一个首项为1公差为3的等差数列， ∴2124532312(21)21362n n n n b b b b b b n n n ---++++++=⨯+⨯=-， ∴2223(34)(6)93n S n n n n n n =++-=+，以下同方法一．（2）方法一：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，则等比数列{}n b 的公比为1k kb q b +=，由等比数列的通项公式有1n n b bq -=，当*m N ∈时，21km km b b d ++=-，即11km km km bq bq bq q d +==-(-)恒成立，② 若1q =，则0d =，n b b =； ②若1q ≠，则(1)kmd qq b=-，则kmq 为常数，则1q =-，k 为偶数，2d b =-，1(1)n n b b -=-；经检验，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或1(1)n n b b -=-．方法二：设{}n b 的段长、段比、段差分别为k 、q 、d ，①若2k =，则1b b =，2b b d =+，3b b d q =+()，4b b d q d =++()，由2132b b b =，得b d bq +=；由2243b b b =，得2b d q b d q d +=++()()，联立两式，得01d q =⎧⎨=⎩或21d b q =-⎧⎨=-⎩，则n b b =或1(1)n n b b -=-，经检验均合题意．②若3k ≥，则1b b =，2b b d =+，32b b d =+，由2132b b b =，得22b d b b d +=+()()，得0d =，则n b b =，经检验适合题意．综上①②，满足条件的{}n b 的通项公式为n b b =或1(1)n n b b -=-．21．解：由切割线定理得：PD PA PC PB = 则42433BC ⨯+=⨯+()()，解得5BC =，又因为AB 是半圆O 的直径，故2ADB π∠=，则在三角形PDB中有BD ==． 22．解：∵矩阵223m M =-的一个特征值λ对应的特征向量为12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， ∴4262m λλ-=⎧⎨+=-⎩，解得0m =，4λ=-．23．解：直线35:(45x t l t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）化为普通方程为430x y =-，圆C 的极坐标方程2cos ρθ=化为直角坐标方程为2211x y +=(-)，则圆C 的圆心到直线l的距离为45d ==，所以65AB ==． 24．解：由柯西不等式，得22222222121x y z x y z ++≤++++()()()，即222x y z x y ++≤++又因为21x y z ++=，所以22216x y z ++≥，当且仅当121x y z ==，即16x z ==，13y =时取等号．综上，222min 1()6x y z ++=．25．解：（1）这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率为321333P =-=⨯．（2）由题意得1(5,)3XB ，5512()()()33k k k P X kC -==，0,1,2,3,4,5k =．所以X 的概率分布表为：所以，X 的数学期望为()533E X =⨯=．26．解：（1）①11!(1)!!()!(1)!()!k k n n n n kC nC k n k n k k n k ----=⨯-⨯---!!0(1)!()!(1)!()!n n k n k k n k =-=----．②221221!(2)!(1)!(1)(1)!()!(2)!()!(1)!()!k k k n n n n n n k C n n C nC k n n n k n k k n k k n k ---------=⨯--⨯-⨯-----!!!(1)!()!(2)!()!(1)!()!n n n k k n k k n k k n k =⨯--------!1(1)0(2)!()!11n k k n k k k =--=----．（2）方法一：由（1）可知当2k ≥时，222211211(1)(21)C 2[(1)]2k k k k k k k k k n n n n n n n n n k C k k k C kC C n n C nC nC C ------+=++=++=-+++2121(1)3k k k n n n n n C nC C ----=-++．故20212222123(1)(1)knn n n n nC C C k C n C ++++++++202101212123222111(12)(1)()3()(C )n n n n n n n n n n n n n n C C n n C C C n C C C C C --------=++-+++++++++++2122(14)(1)23(21)(21)2(54)n n n n n n n n n n n ---=++-+-+--=++．方法二：当3n ≥时，由二项式定理，有122(1)1n k k n nn n n n x C x C x C x C x +=++++++，两边同乘以x ，得122311(1)n k k n n n n n n x x x C x C x C x C x +++=++++++，两边对x 求导，得1122(1)(1)123(1)(1)n n k kn nn n n n x n x x C x C x k C x n C x -+++=++++++++，两边再同乘以x ，得12122311(1)(1)23(1)(1)n n k k n n n n n n x x n x x x C x C x k C x n C x -+++++=++++++++，两边再对x 求导，得1221111121n n n n x n x x n n x x n x x +++++++---()()(-)()()2122222123(1)(1)k kn nn n n n C x C x k C x n C x =++++++++．令1x =，得121212222221222123(k 1)(1)n n n n knn n n n n n n n C C C n C --+++=++++++++-(-)，即20212222222123(k 1)(1)54knn n n n n n C C C n n n C C -++++=++++++()．江苏省南京市、盐城市2017年高考一模数学试卷解析1．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B=（﹣∞，0），∴A∩B={﹣1}，故答案为：{﹣1}2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把给出的等式两边同时乘以，然后运用复数的除法进行运算，分子分母同时乘以1﹣i．整理后可得复数z的虚部．【解答】解：由（1+i）z=2，得：．所以，z的虚部为﹣1．故答案为﹣1．3．【考点】极差、方差与标准差．【分析】利用方差性质求解．【解答】解：∵样本数据x1，x2，x3，x4，x5的方差s2=3，∴样本数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差为：22s2=4×3=12．故答案为：12．4．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，即可得出结论．【解答】解：由题意，x=1，y=9，x＜y，第1次循环，x=5，y=7，x＜y，第2次循环，x=9，y=5，x＞y，退出循环，输出9．故答案为9．5．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，由此能求出选中的数字中至少有一个是偶数的概率．【解答】解：在数字1、2、3、4中随机选两个数字，基本事件总数n=，选中的数字中至少有一个是偶数的对立事件是选中的两个数字都是奇数，∴选中的数字中至少有一个是偶数的概率为p=1﹣=．故答案为：．6．【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组所表示的平面区域，由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可求斜率最大值【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如图所示：由于可以看做平面区域内的点与原点的连线的斜率，结合图形可知，当直线过OA时斜率最小．由于可得A（4，3），此时k=．故答案为：．7．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，可得a=，则c==2，再由离心率公式，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，则tan30°=即为a=，则c==2，即有e=．故答案为．8．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的通项公式求出a5=7，再由等差数列的前n项和公式得，由此能求出结果．【解答】解：∵{a n}是等差数列，a4+a5+a6=21，∴a4+a5+a6=3a5=21，解得a5=7，∴=63．故答案为：63．9．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，进而可得答案．【解答】解：把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，可得函数y=3sin[2（x﹣φ）+]=3sin（2x+﹣2φ）的图象，若所得函数为偶函数，则﹣2φ=+kπ，k∈Z，解得：φ=﹣+kπ，k∈Z，当k=1时，φ的最小正值为．故答案为：．10．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，由此能求出三棱锥O﹣EFG体积的最大值．【解答】解：∵将矩形ABCD绕边AB旋转一周得到一个圆柱，AB=3，BC=2，圆柱上底面圆心为O，△EFG为下底面圆的一个内接直角三角形，∴三棱锥O﹣EFG的高为圆柱的高，即高为ABC，∴当三棱锥O﹣EFG体积取最大值时，△EFG的面积最大，当EF为直径，且G在EF的垂直平分线上时，（S△EFG）max=，∴三棱锥O﹣EFG体积的最大值V max==．故答案为：4．11．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可先画出图形，对的两边平方，进行数量积的运算即可得到，根据不等式a2+b2≥2ab即可得到，这样便可求出的最大值．【解答】解：如图，；∴；∴；即；∴=；∴的最大值为．故答案为：．12．【考点】数列的求和．【分析】设直线与x轴交点坐标为P，由直线的倾斜角为300，又△A1B1A2是等边三角形，求出△A2B2A3、…找出规律，就可以求出△A10B10A11的边长．【解答】解：∵直线的倾斜角为300，且直线与x轴交点坐标为P（﹣，0），又∵△A1B1A2是等边三角形，∴∠B1A1A2=600，B1A1=，PA2=2，∴△A2B2A3的边长为PA2=2，同理B2A2=PA3=4，…以此类推B10A10=PA10=512，∴△A10B10A11的边长是512，故答案为：512．13．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设P（x0，y0），求得y=2lnx的导数，可得切线的斜率和切线方程；求得圆上一点的切线方程，由直线重合的条件，可得二次函数y=x（3﹣x），满足经过点P，O，M，即可得到所求最大值．【解答】解：设P（x0，y0），函数y=2lnx的导数为y′=，函数y=2lnx在点P处的切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），即为x﹣y+y0﹣2=0；圆M：（x﹣3）2+y2=r2的上点P处的切线方程为（x0﹣3）（x﹣3）+yy0=r2，即有（x0﹣3）x+yy0+9﹣3x0﹣r2=0；由切线重合，可得==，即x0（3﹣x0）=2y0，则P为二次函数y=x（3﹣x）图象上的点，且该二次函数图象过O，M，则当x=时，二次函数取得最大值，故答案为：．14．【考点】余弦定理．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=a2b2﹣，进而利用基本不等式可求S2≤﹣=﹣+c，从而利用二次函数的性质可求最值．【解答】解：由三角形面积公式可得：S=absinC，可得：S2=a2b2（1﹣cos2C）=a2b2[1﹣（）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，∴S2=a2b2[1﹣（）2]=a2b2[1﹣（）2]=a2b2﹣≤﹣=﹣+c，当且仅当a=b时等号成立，∴当c=时，﹣ +c取得最大值，S的最大值为．故答案为：．15．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE；（2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．16．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式得2sinBsinCcosC=sinCsinB，结合sinB＞0，sinC＞0，可求，结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cos（B﹣）的值，由于A=﹣（B﹣），利用两角差的正弦函数公式即可计算求值得解．17．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x2+y2=b2经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b2=4，即b2=2，即可求出椭圆E的方程；（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k1•k2的值．18．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即可得出结论；（2）方法一：设太阳光线所在直线方程为，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得h≤25﹣2r，即可求出截面面积最大；方法二：欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大19．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时，求出g（x）=0的解，即可解关于x的方程g（e x）=0（其中e为自然对数的底数）；（2）φ（x）=f（x）+g（x）=lnx+ax+﹣3，φ′（x）=，分类讨论，利用导数的正负，求函数φ（x）=f（x）+g（x）的单调增区间；（3）判断h（x）不存在最小值，即可得出结论．20．【考点】数列的应用；等比数列的性质．【分析】（1）①方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差可得b2014=0×b2013=0，再由b2015=b2014+3，b2016=b2015+3即可；方法二：根据{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b1=1，b2=4，b3=7，b4=0×b3=0，b5=b4+3=3，b6=b5+3=6，b7=0×b6=0，…⇒b n}是周期为3的周期数列即可；②方法一：由{b n}的首项、段长、段比、段差，⇒b3n+2﹣b3n﹣1=（b3n+1+d）﹣b3n﹣1=（qb3n+d）﹣b3n﹣1=[q（b3n +d）+d]﹣b3n﹣1=2d=6，⇒{b3n﹣1}是等差数列，又∵b3n﹣2+b3n﹣1+b3n=（b3n﹣1﹣d）+b3n﹣1+（b3n﹣1+d）=3b3n﹣1，﹣1即可求S3n方法二：由{b n}的首项、段长、段比、段差⇒b3n+1=b3n，∴b3n+3﹣b3n=b3n+3﹣b3n+1=2d=6，∴{b3n}是首项为b3=7、公差为6的等差数列即可，（2）方法一：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，⇒等比数列的通项公式有，当m∈N*时，b km+2﹣b km+1=d，即bq km+1﹣bq km=bq km（q﹣1）=d恒成立，①若q=1，则d=0，b n=b；②若q≠1，则，则q km为常数，则q=﹣1，k为偶数，d=﹣2b，；方法二：设{b n}的段长、段比、段差分别为k、q、d，①若k=2，则b1=b，b2=b+d，b3=（b+d）q，b4=（b+d）q+d，由，得b+d=bq；由，得（b+d）q2=（b+d）q+d，求得得d即可②若k≥3，则b1=b，b2=b+d，b3=b+2d，由，求得得d即可．数学附加题部分（本部分满分0分，考试时间30分钟）[选做题]（在21、22、23、24四小题中只能选做2题，每小题0分，计20分）21．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由切割线定理得：PD•PA=PC•PB，求出BC，利用勾股定理，求BD的长．22．【考点】特征向量的定义．【分析】推导出，由此能求出结果．23．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】直线为参数）化为普通方程，圆C的极坐标方程ρ=2cosθ化为直角坐标方程，求出圆C的圆心到直线l的距离，即可求弦AB的长．24．若实数x，y，z满足x+2y+z=1，求x2+y2+z2的最小值．【考点】基本不等式．【分析】利用条件x+2y+z=1，构造柯西不等式（x+y+z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+12）进行解题即可．25．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）利用对立事件的概率关系求解；（2）两个班“在一星期的任一天同时上综合实践课”的概率为，一周中5天是5次独立重复试验，服从二项分布．26．【考点】组合及组合数公式．【分析】（1）利用组合数的计算公式即可得出．（2）方法一：由（1）可知当k≥2时=．代入化简即可得出．方法二：当n≥3时，由二项式定理，有，两边同乘以x，得，两边对x求导，得，两边再同乘以x，得，两边再对x求导，得（1+x）n+n（1+x）n﹣1x+n（n﹣1）（1+x）n﹣2x2+2n（1+x）n﹣1x=．令x=1，即可得出．。

江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟试卷数学试卷

" 少有一个是偶数的概率为!!!!!
" " " "
'%$$ "!若变量%' 满足约束条件&%,'%(则%'的最小值是!!!!!
(%,%%%'
" " 封
(!设双曲线%(%%*'%)!($$的一条渐近线的倾斜角为.$/则该双曲线
" 的离心率为!!!!!
第%题
" "
0!设()是等差数列*)
!!姓名!
!"
!" !$届高三第一次模拟考试
!"
" "
数!!学
"
" 注意事项 " " !#本试卷共!"$分考试时间!%$分钟#
" "
%#答题前考生务必将自己的学校班级姓名写在密封线内#
" 一填空题本大题共!&小题每小题'分共($分!
" "
!!已知集合 ")*!$!#)*+$则 "##)!!!!!
"
使 *"1#1"1,! 都是等边三角形则 *"!$#!$ "!! 的边长是
" "
!!!!!
第#!题
" !.!在平面直角坐标系%0' 中已知点2 为函数')%43% 的图象与圆 3 %*.%,'%)4%
" "
的公共点且它们在点2 处有公切线若二次函数')5%的图象经过点023则')
南京!盐城高三数学试卷!第!' 页"共"页#

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。