Gabor纹理特征的提取
log-gabor 提取特征

log-gabor 提取特征
Log-Gabor提取特征是一种基于Gabor滤波器的图像特征提取方法。
由于Gabor滤波器具有良好的频率和方向选择性,可以在不同的方向和尺度上提取图像的局部特征。
而Log-Gabor滤波器则能够在频率域上均匀地分布,以达到更好的覆盖频率空间的目的。
Log-Gabor提取特征的步骤包括:首先对图像进行预处理,如进行归一化或将图像转换为灰度图像;然后,使用一组Log-Gabor滤波器对图像进行滤波,得到一组滤波后的图像;接着,对滤波后的图像进行非线性处理,如取幅值或平方,以增强图像的边缘和纹理信息;最后,将处理后的图像块划分为不同的区域,提取每个区域的统计特征,如均值、标准差、能量等,得到最终的特征向量。
Log-Gabor提取特征在图像分类、目标检测、人脸识别、纹理分析等领域得到了广泛应用。
与其他特征提取方法相比,Log-Gabor提取特征具有较好的鲁棒性和判别性能,能够有效地提取图像的局部特征,对于复杂图像的分析具有很好的效果。
gabor变换提取纹理特征

Gabor变换提取纹理特征1. 简介Gabor变换是一种基于滤波器的图像处理方法,可以用于提取图像中的纹理特征。
纹理特征是指图像中的局部结构和纹理模式,通过提取纹理特征可以帮助我们理解图像的结构、分类对象以及进行图像识别等任务。
Gabor变换的基本原理是利用一组Gabor滤波器对图像进行滤波操作,然后提取滤波后的图像的特征。
Gabor滤波器是一种带有正弦波和高斯函数的复合滤波器,可以通过调整滤波器的参数来适应不同的纹理特征。
2. Gabor滤波器Gabor滤波器是在频域和空域中都具有良好性质的一种滤波器。
它的频域响应和空域响应都是带有方向选择性的,可以有效地提取图像中的纹理特征。
Gabor滤波器的频域响应由一个正弦波和一个高斯函数的乘积组成,表示为:H(u,v)=e−u′2+v′22σ2⋅cos(2πfu′)其中,H(u,v)是滤波器的频域响应,u和v是频域中的坐标,u′和v′是经过旋转和缩放变换后的坐标,σ是高斯函数的标准差,f是正弦波的频率。
Gabor滤波器的空域响应可以通过对频域响应进行傅里叶逆变换得到。
3. Gabor变换Gabor变换是通过将图像与一组Gabor滤波器进行卷积操作来提取纹理特征的方法。
具体步骤如下:1.选择一组Gabor滤波器的参数,包括方向、频率、尺度等。
2.将图像与每个Gabor滤波器进行卷积操作,得到一组滤波后的图像。
3.对每个滤波后的图像进行特征提取,可以选择平均灰度、能量、方差等统计量作为纹理特征。
4.将提取的纹理特征进行组合,得到最终的纹理特征向量。
Gabor变换可以提取图像中的不同尺度和方向的纹理特征,因此在图像识别、纹理分类、目标检测等任务中具有广泛应用。
4. 纹理特征提取在Gabor变换中,纹理特征的提取是非常关键的一步。
常用的纹理特征包括平均灰度、能量、方差、对比度等。
平均灰度是指图像中像素灰度值的平均值,可以反映图像的整体亮度。
能量是指图像中像素灰度值的平方和,可以反映图像的纹理复杂度。
基于Gabor滤波器的掌纹纹理特征的提取

的 数 式即 ∞匹 兰 J{ 譬业i ( 成互 相 重叠的 9 , 图所 示 , “ 加权 组 ”, 圆圈 中的数字 代 函 形 ,: : { ‘ 2 J 1 p _ 兰 } ) 组 如 称为 特征 用
0 二( = 一D, L ,。 , k= 23…
r|
口。 例如, 包含{,,,} w4 1 34 特征抽取子窗E。 2 l现将图2 中的l个窗1分 6 3
旦 业 :
Sci ce en and Tec Ol gy n hn O I nove on ti Her l ad
T 技 术
基于 Ga r b 滤波 器 的掌纹纹 理特征 的提 取① o ②
蒲 鑫
( 长春理 工大学 光电信 息学院 吉林长春 1 0 1 ) 0 3 2
其中, ,为 正 弦 波的 波 长 , a为正 弦 波 的 方 向 , d为, a o ̄, , 个特征加 权组 。 则
用纹 理 作 为 特 征 向 量 , 果 表 明 此 方 法 可 以 较 好 的 提 取 掌 纹 的 特 征 。 结 关 键 词 : 纹 Ga o滤 波 纹 理 特 征 掌 br
中图分 类号 : P3 1 T 9
文献标 识 码 : A
文章编号 : 7 —0 8 2 l ) Ic一0 2 —0 I 4 9 x( 0 10 () 0 4 2 6
f1 2
、
表 , 为 , ,, 9 圆圈经过 的窗 口为该特 征加权 组所包 含的全 记 , 2…, 。 =1
部特征抽取子窗口。 Ⅱ以 浅 例女 ‘
W,啦 w4 8 l{ 2 Ⅵ6
, 等
等。 Ⅳ代表 中包含特征抽 取子窗 口的个数 , 令 在这里 Ⅳ为 l 。 6 对每一 X和Y方 向上的标准差 , 这里 q= , 它决定 了高斯包络在空 间上 个特征 抽取子 窗 口都 应用式 () 行特征 抽取 。 3 进 设提 取的 特征值 为 , 的扩 展 方 向 。 们 将 滤 波 器 组 选 定 为 ( 我 6×4 大 小 , ) 即沿 行 方 向为 6 其中 f 代表第 i 个G b r , 器 ( , …,) J aot波  ̄ f 2 8 , 代表 第 个特征抽取 的 =l , 个尺 度 , 列 方 向 为4 方 向 。 向 的 确定 是 依 据 公 式 ( ) 定 的 , 量 ( = ,, ,4 。 沿 个 方 2确 , 1 … 6 ) 例如 , 于 , a o 滤波器为 时 , 2 对 当G b r 依次提取的特 由n =4, 以得 到 的4 方 向分 别 为( 。 4 。 9 。 1 5 ) 可 个 0 , 5 , 0 ,3。。 征为{ …, g …g 。 g g . } 令 , 为每个 的方差 , f代表 第 f个
医疗图像分析中的纹理特征提取算法研究

医疗图像分析中的纹理特征提取算法研究一、引言随着医疗技术的发展,医疗图像的获取和应用变得越来越重要。
医疗图像中的纹理特征是评估组织结构和病变程度的重要指标之一。
因此,研究高效准确的纹理特征提取算法对于医学影像诊断有着重要的意义。
二、纹理特征提取的重要性纹理是指具有一定规律性和重复性的物体表面所呈现出的特征。
医疗图像中的纹理包含了很多与病变相关的信息,如肿瘤的形态、密度、大小等。
通过提取纹理特征,可以辅助医生进行肿瘤的诊断和治疗方案的选择。
三、常用的纹理特征提取算法1. 灰度共生矩阵(GLCM)灰度共生矩阵是最早被广泛应用的纹理特征提取算法之一。
它通过计算图像中像素间的空间关系和灰度级的关系来描述图像的纹理特征。
通过对GLCM进行统计分析,可以得到一系列纹理特征,如能量、对比度、相关性、熵等。
2. Gabor滤波器Gabor滤波器是一种基于多尺度和多方向分析的纹理特征提取方法。
它通过将图像与一组Gabor小波进行卷积,得到图像在不同频率和不同方向上的特征响应。
这种方法对于提取细微纹理特征非常有效。
3. 小波变换小波变换是一种广泛应用于图像处理领域的分析工具。
它通过将图像分解成一系列具有不同频率和不同位置的小波基函数,得到图像在不同尺度和方向上的纹理特征。
小波变换具有良好的局部性和多尺度分析能力,因此在医疗图像分析中得到了广泛的应用。
4. 直方图特征直方图特征是通过统计图像中像素灰度级的分布来描述图像纹理的方法。
通过计算图像的灰度直方图,可以得到图像在不同灰度级上的纹理特征。
直方图特征简单直观,计算效率高,因此在一些特定场景下获得了广泛应用。
四、算法评估与比较在实际应用中,对于不同的医疗图像,选择合适的纹理特征提取算法至关重要。
为了评估和比较不同算法的性能,通常可以使用各种指标,如准确率、召回率、F值等。
此外,还可以通过与专业医生的视觉观察结果进行比对和验证。
五、应用案例1. 肿瘤识别通过提取医疗图像中肿瘤的纹理特征,可以帮助医生对肿瘤进行识别和分类。
基于人脸局部特征的识别—人脸gabor特征的提取

每个人的生物特征都是不同的,生物特征识别技术正是利用这一点,根据 每个人不同的生物特征对人身份进行识别和鉴定。根据人体不同部位的特征, 生物识别技术主要分为虹膜识别、语音识别、步态识别、人脸识别、以及融合 多种生物特征的识别等。由于生物特征是根据每个人内在的属性和人体各部位 的不同,因此具有较强的稳定性和差异性,是理想的身份鉴定依据。而由于人 脸识别技术拥有自然性、隐蔽性、非接触性等特点,在身份鉴定方面,不仅方 便快捷,而且直观性好,适应性强,因此得到人们的认可和广泛应用。相对于 人体别的部位生物特征识别(如虹膜、掌纹等),人脸识别主要优势有:
2.2.1图像的直方图均衡化 ....................................................................5 2.2.2人脸图像的去燥 ............................................................................5 2.2.3人脸图像的几何校正 ....................................................................6 2.3两种人脸特征提取方法 ...........................................................................6 2.3.1基于全局特征的人脸识别方法 ....................................................6 2.3.2基于局部特征的人脸识别方法 ....................................................7 第三章 基于Gabor变换的特征提取 .....................................................................9 3.1引言 ...........................................................................................................9 3.2 Gabor小波变换的定义 ............................................................................9 3.2.1二维Gabor小波 ............................................................................11 3.2.2二维Gabor滤波器组参数的选择 ................................................12 第四章 基于Gabor变换的人脸特征提取实验 ...................................................15 4.1人脸库简介 .............................................................................................15 4.2特征提取实验 .........................................................................................15 4.2.1特征提取结果 ..............................................................................16 4.3实验分析 .................................................................................................20 第五章 总结展望 .................................................................................................22 参考文献 ..............................................................................................................23 致谢 ......................................................................................................................23 附录 ......................................................................................................................26
一种采用Gabor小波的纹理特征提取方法

一种采用Gabor小波的纹理特征提取方法
张刚;马宗民
【期刊名称】《中国图象图形学报》
【年(卷),期】2010(015)002
【摘要】Gabor小波是一种重要的纹理特征提取方法.利用其基函数的正交
性,Gabor小波不仅可以有效地提取纹理特征,而且可以消除冗余信息.然而,采用Gabor小波方法计算得到的纹理特征向量具有较高的维数,因此,提出一种采用Gabor小波的纹理特征提取方法.该方法采用Gabor小波方法计算不同尺度和方向的能量信息,根据这些信息确定了显著峰集合.根据显著峰集合,确定了纹理特征向量,并且把显著性作为权重引入到相似性度量.实验结果表明,采用该方法的系统具有和采用直接Gabor小波变换方法的系统近似相同的检索性能,而纹理特征向量的维数仅为采用直接Gabor小波变换方法计算得到的纹理特征向量维数的6.1%.
【总页数】8页(P247-254)
【作者】张刚;马宗民
【作者单位】东北大学信息科学与工程学院,沈阳,110004;沈阳工业大学软件学院,沈阳,110023;东北大学信息科学与工程学院,沈阳,110004
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.4
【相关文献】
1.基于Gabor小波的频域快速纹理特征提取 [J], 李秀秀;陈露;林怡茂
2.改进的Gabor变换图像纹理特征提取方法应用研究 [J], 解洪胜;王连国;李长松
3.结合FFT和Gabor滤波器的织物纹理特征提取方法 [J], 任静;周华;郭超;王妍;梅再欢
4.基于Gabor小波和LPP的浮选过程泡沫纹理特征提取及应用 [J], 赵洪伟;谢永芳;曹斌芳;蒋朝辉
5.一种基于改进双树复小波变换的地形纹理特征提取方法 [J], 陶旸;王春;蒋圣因版权原因,仅展示原文概要,查看原文内容请购买。
如何利用计算机视觉技术进行纹理分析

如何利用计算机视觉技术进行纹理分析计算机视觉技术是指通过图像或视频等视觉数据,对其中的结构、特征进行分析和处理的一门技术。
其中,纹理分析是计算机视觉领域中的重要研究方向之一。
通过纹理分析,我们可以对图像或者视频中的纹理特征进行提取和分类,进而应用于许多领域,如图像处理、目标检测和识别、医学影像分析等。
一、纹理特征的提取纹理特征是指图像中由于物体表面颜色、形状、方向等局部变化所形成的连续性分布。
计算机视觉技术通过一系列算法和方法,可以从图像或者视频中提取出丰富的纹理特征。
1. Gabor滤波器Gabor滤波器是常用的纹理特征提取工具之一。
它通过使用一系列正弦函数和高斯函数相乘,对图像进行卷积运算,从而得到具有多个尺度和多个方向的纹理特征响应。
Gabor滤波器可以同时考虑图像中的空间和频率域信息,提取到的纹理特征更加细致和准确。
2. 尺度不变特征变换(Scale-Invariant Feature Transform,SIFT)SIFT算法是一种常用的纹理特征提取算法。
它通过检测图像中的局部特征点,并提取出这些特征点周围的描述子,用于表示图像中不同区域的纹理特征。
SIFT算法具有良好的尺度不变性和旋转不变性,能够较好地适应图像中不同纹理特征的变化。
二、纹理特征的分类纹理特征的分类是通过对提取到的特征进行进一步处理和分析,将图像或视频中的纹理区域划分为不同的类别。
直方图是一种常用的纹理分类方法。
它将图像或视频中出现的纹理特征按照不同的灰度级别进行统计,并绘制成直方图图像。
通过比较不同图像或视频间直方图的相似性,可以将它们分为同一类别或不同类别。
2. 统计特征统计特征是一种基于特征的概率分布,用于表示图像或视频中的纹理信息。
常用的统计特征包括均值、方差、相关性等。
通过对图像纹理区域的统计特征进行提取和比较,可以实现纹理的分类和识别。
三、纹理分析的应用利用计算机视觉技术进行纹理分析在许多领域都具有重要的应用价值。
一种采用Gabor小波的纹理特征提取方法

一种采用Gabor小波的纹理特征提取方法一、本文概述纹理分析是计算机视觉领域中的一个重要研究方向,广泛应用于图像识别、目标检测、模式识别等多个领域。
纹理特征提取作为纹理分析的核心环节,其准确性和有效性对于后续处理步骤至关重要。
近年来,随着小波变换理论的深入研究和应用,Gabor小波因其良好的空间频率特性和方向选择性,在纹理特征提取方面展现出独特的优势。
本文旨在探讨一种采用Gabor小波的纹理特征提取方法,以期提高纹理识别的准确性和鲁棒性。
本文首先简要介绍纹理特征提取的背景和意义,然后重点阐述Gabor小波的基本理论及其在纹理特征提取中的应用。
接着,详细介绍本文提出的基于Gabor小波的纹理特征提取方法,包括Gabor滤波器的设计、特征向量的构建以及特征提取的具体步骤。
通过实验验证所提方法的有效性和性能,并与现有方法进行对比分析。
本文旨在为相关领域的研究者提供一种新的纹理特征提取思路和方法,推动纹理分析技术的进一步发展。
二、Gabor小波变换原理Gabor小波变换是一种线性滤波方法,其基本思想是通过一组Gabor滤波器对图像进行卷积,从而提取出图像的局部特征。
Gabor 滤波器是一种具有特定频率、方向和尺度的线性滤波器,其冲激响应函数可以表示为二维高斯函数与复正弦函数的乘积。
g(x,y;λ,θ,φ,σ,γ) = exp(-(x'² + γ²y'²)/(2σ²)) * exp(i(2πx'/λ + φ))其中,(x,y)表示空间坐标,λ表示波长,θ表示方向,φ表示相位偏移,σ表示高斯包络函数的标准差,γ表示空间纵横比,用于控制滤波器的椭圆形状。
x'和y'是旋转后的坐标,通过旋转矩阵实现。
Gabor小波变换的核心思想是将图像与一组Gabor滤波器进行卷积,每个滤波器都可以提取出图像在特定频率、方向和尺度下的局部特征。
这样,通过对所有滤波器输出的组合,就可以得到图像的完整纹理特征。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
0 1
(5)
上式右边第 1 项控制曲线的平滑性,第 2 项将曲线吸引至物体边界上去.α和 β均为非负实数,用来控制两项 的权重.Caselles 指出 :最小化该能量函数的过程就是在一个黎曼空间中寻找一条最短的、保持光滑的测地线, 其长度被定义为
∗
Received 2005-05-26; Accepted 2006-04-20
何源 等:基于测地线活动区域模型的非监督式纹理分割
593
滤波器能够很好地模拟哺乳动物视皮层简单细胞的感受域 ,符合视觉生理的特点 ;其次 ,Gabor 滤波器能够获得 频率域和空间域的最佳联合分辨率.基于 Gabor 滤波器的特征提取和应用可参考文献[6].由于纹理在方向、频 率、精细程度上是多种多样的 ,而小波变换的窗口大小可以随着窗口中心频率的变化而自适应地调节 ,因此 , 我 们通常采用 Gabor 小波族来代替单一的 Gabor 滤波器进行纹理特征提取. 用 Gabor 小波族滤波得到一个多维的特征图像后,问题转化为如何在这个多维空间中进行分割.Kass 等人 提出的活动轮廓模型(active contour model,或 Snakes),是目前被广泛研究和应用的一种图像分割方法,具有良好 的边界检测和抵抗噪声的性能.它包括基于能量的参数型和基于曲线、曲面运动的几何型两种[7];Caselles 在二 者的基础上提出了测地线活动轮廓模型(geodesic active contours)[8],将图像空间表示为一个用图像固有信息来 定义测度的黎曼空间 ,而能量最小化的过程就是在该空间中寻找一条测地线 .测地线的寻找可以利用基于平均 曲率和梯度流的几何模型来计算 . 该模型已被应用于纹理分割 [9].在测地线活动轮廓模型中加入区域信息 ,则称 为测地线活动区域(geodesic active regions)模型[10]. 最初 ,这些模型都只用于灰度图像 ,这是因为在多维图像中难以计算梯度流 .向量空间的梯度流计算一般有 两种途径 : 其一是先对每个通道单独处理 , 再将结果融合得到最终梯度流 , 但融合过程难度较大 , 缺乏一个统一 的标准 ;另一种方法是直接考虑向量信息 ,通过计算张量矩阵的特征值、特征向量来得到梯度流 ,其缺点是计算 量很大.Paragios 用一种监督式的方法来获得边界和区域信息,从而将测地线活动区域模型应用于纹理分割[10]. 本文提出一种非监督式纹理分割方法 ,分割前不需要提供先验知识 .主要思路是 :通过用一个多维的高斯混 合模型来描述特征图像的统计分布 ,从中得到每个像素分别位于各区域内部和边界上的概率 ;然后 ,从这两种概 率中计算出梯度流 ; 最后 , 应用测地线活动区域模型 , 使得初始曲线经过变形被吸引到目标边界上 . 算法的实现 采用了水平集(level set)[11]的方法. 本文第 1 节和第 2 节简要介绍 Gabor 小波和测地线活动区域模型.第 3 节详细介绍本文提出的纹理分割方 法.第 4 节列举一些实验结果,并在最后一节中给出结论.
−m −m −m
(3)
为尺度因子;S 和 K 为尺度和方向的数目,m=0,1,…,
S−1,n=0,1,…,K−1.通过改变 m 和 n 的值,就可以得到一组方向和尺度不同的 Gabor 滤波器.假设小波族包含 S 个 尺度,K 个方向,并且频率范围为[Ul,Uh],一种参数选择方法如下[12]:
594
multidimensional feature space is achieved by using a Gabor filter bank to extract texture features. To avoid deforming contours directly in a vector-valued space, a Gaussian mixture model (GMM) is used to describe the statistical distribution of the space and get the boundary and region probabilities. Then a framework of geodesic active regions is applied based on them to get final results. In the end, the experimental results demonstrate that this method can obtain satisfied boundaries between different texture regions. Key words: 摘 要: texture segmentation; Gabor filter; snakes; geodesic active regions
提出了一种基于曲线演化的非监督式纹理分割算法.在用 Gabor 小波库提取纹理特征之后,可以得到一个
多维的特征图像.为了避免直接在多维空间中应用曲线演化模型,采用高斯混合模型(Gaussian mixture model,简称 GMM)来描述该特征图像的概率分布,再从分布模型中计算得到每个像素点的区域信息和边界信息.综合两种信息, 并应用测地线活动区域模型来获得最终分割结果.实验结果显示,这种方法能够获得良好的区域边界. 关键词: 纹理分割;Gabor 小波;活动轮廓模型;测地线活动区域模型 文献标识码: A 中图法分类号: TP391
ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW Journal of Software, Vol.18, No.3, March 2007, pp.592−599 DOI: 10.1360/jos180592 © 2007 by Journal of Software. All rights reserved.
He Y, Luo YP, Hu DC. Unsupervised texture segmentation based on geodesic active regions. Journal of Software, 2007,18(3):592−599. /1000-9825/18/592.htm Abstract: This paper proposes an algorithm based on curve evolution for unsupervised texture segmentation. A
Journal of Software 软件学报 Vol.18, No.3, March 2007
a = (U h / U l ) −1 /( S −1) n U ( n ) = a U l σ u ( n ) = (a − 1)U ( n ) (a + 1) 2 ln 2 2 = tan(mπ /(2 K )) U ( n ) − 2 ln 2(σ u σ 2 ln 2 − (2σ u ( n ) ln 2 / U ( n ) ) 2 (n) / U (n) ) v(n) 用 Gabor 小波族对图像进行处理之后,选择其中分类效果最明显的几个通道组成特征空间.
小;W 为复正弦函数在横轴上的频率. 将 Gabor 函数分解为实部 hR(x,y)和虚部 hI(x,y)两个分量,则用它滤波得到的图像为
S ( x, y ) = ( hR * I )( x, y ) 2 + ( hI * I )( x, y ) 2
(2)
其中,(h*I)表示图像 I 和滤波器 h 的卷积.S(x,y)经过高斯平滑,即为该 Gabor 滤波器提取出的特征图像. 如果以 h(x,y)为母小波 , 通过对其进行适当的尺度变换和旋转变换 , 我们可以得到一组自相似的滤波器 ,称 为 Gabor 小波. hmn(x,y)=a−mh(x′,y′), a>1, m,n∈Z 其中:x′=a (xcosθ+ysinθ),y′=a (−xcosθ+ysinθ),θ=nπ/K;a
HE Yuan+, LUO Yu-Pin, HU Dong-Cheng
(Department of Automation, Tsinghua University, Beijing 100084, China)
+ Corresponding author: Phn: +86-10-62792482, E-mail: heyuan97@
纹理是表达物体表面或结构的基本属性 ,但是 ,由于其形式上的广泛性和多样性 ,目前对纹理还没有一个明 确而又统一的定义 . 一般我们认为 , 纹理是图像灰度或色彩在空间上的变化或重复 . 一直以来 , 基于纹理的分析 和应用是机器视觉和图像处理领域的一个重要课题 . 而纹理分割 [1] 是纹理分析和应用的基础 , 一般的基于色彩 或灰度信息的图像分割理论 ,其分割特征在每个像素上具有独立性 ,可以认为是基于像素的 ;而纹理是像素在空 间中有规律分布的体现 , 其分割特征是基于区域的 . 因此 , 对于纹理分割的一般思路是 : 首先 , 通过特征提取将图 像转化到特征空间 ;然后 ,再对其进行分割 . 目前被广泛用于纹理特征提取的方法是基于二阶灰度信息的统计特 征的,例如 Markov 随机场、Gibbs 随机场、Gabor 滤波器、Gabor 小波[2,3]以及结构张量[4,5]. 近十几年来,Gabor 滤波器被广泛应用于图像表示、 恢复和分割等领域,其依据主要有以下两点:首先,Gabor
[8]
LR = ∫ g (| ∇I (C ( p)) |) | C ′( p) | dp
0
1
(6)
用 ∂R 表示区域 R 的边界,如果用 pBound(R)(I(x,y))来表示点 I(x,y)位于区域 R 边界上的概率,则测地线长度可 以被定义为
[
[
]
(4)]Biblioteka 2测地线活动区域模型