幂级数与收敛性课件课件PPT讲稿
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第7章 第4讲 幂级数及其收敛性
22
02
幂级数及其收敛性
∞
例7 求幂级数 的收敛区间.
=1
1
+1
= lim ( + 1)(1 + ) = +∞ ,
解 因为 = lim
→∞
→∞
所以幂级数的收敛半径为 = 0,
则级数仅在 = 0处收敛,
它的收敛域为{| = 0}.
23
02
幂级数及其收敛性
(2) ′ 若缺项,应用比值判别法或根值判别法
+1 ()
（即求 lim
→∞ ()
或 lim
→∞
| ()|）;
(3) 考察幂级数在两端点的收敛性, 写出收敛域.
27
02
幂级数及其收敛性
∞
( − 1)
例9 求幂级数
的收敛域.
2
=1
∞
解 令 = − 1, 原级数变为 .
又因为| − 2 − (−1)| = 1 < 2,
∞
(
+
1)
在 = −2处绝对收敛.
所以幂级数
故本题应选.
16
02
幂级数及其收敛性
∞
例4 已知幂级数 ( + 1) 在 = 0处收敛,
=1
∞
(
−
3)
在 = −2处发散,则幂级数
2
=1
的收敛域为 (1,5]
|1+|
= 1时, = 0或 = −2.
∞
(−1)
, 该级数收敛;
数学分析2课件：14-1 幂级数
n1 2
原级数的收敛域为 ( 2, 2).
定理3（Cauchy-Hadamard定理）
如果幂级数 an x n 的所有系数an 0 ,
n0
设
lim n
n
an
(1) 则当 0 时,R 1 ; (2) 当 0时,R ;
(3) 当 时,R 0 .
二、幂级数的一致收敛性
定理4 : 证
若 an xn收敛半径为R 0,则在( R, R)内的
n0
收敛，则 an xn在[0，R](或[ R,0])一致收敛。
n0
证 设 an xn在x R收敛，
n0
由 | an xn || an Rn |, 用优级数法，可否？
的正数 R 存在,它具有下列性质:
当 x R时,幂级数绝对收敛;
当 x R时,幂级数发散;
当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
定义: 正数R称为幂级数的收敛半径.
(-R, R)称为幂级数的收敛区间.
幂级数的收敛域为下列4种情况之一：
(R, R), [ R, R), (R, R], [ R, R].
收敛域(,).
(4) (1)n 2n ( x 1)n .
n1
n2
lim an1 lim 2 n 2 n an n n 1
R 1, 2
即 x 1 1 收敛, x (0,1)收敛,
22
当x 0时,
级数为
1,
n1 n
发散
当x 1时,
级数为
(1)n ,
n1 n
收敛
故收敛域为(0,1].
(3) 当 时,R 0 .
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
幂级数收敛域和函数-PPT
(3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论
收敛区间
R—收敛半径
2.收敛半径的求法
定理2
R lim an a n
n1
例 求收敛半径和收敛域
(证明略)
(1). (1)n1 xn
n1
n
收敛域是(－1，1] 1
R lim an lim n 1
a n n1
n 1
n 1
x
=1
时
n1
(1)n1
) x
x (1 x)2
( |x| <1 )
xn
(2). n0 n 1
设和函数为S(x)
则 xS(x) xn1 n0 n 1
( x xndx)
x
(
xn )dx
0 n0
0 n0
x 1 dx ln(1 x)
0 1 x
S ( x)
1 x
ln(1
x),
0 | x | 1
1,
n0
n0
n0
f (x) g(x)
利用乘法可以定义除法
an xn ( bn xn ) ( cn xn )
则
an xn
n0
cn xn
n0
n0
n0
bn xn n0
n0
注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多
2. 分析运算性质ຫໍສະໝຸດ 设an xn S(x)
n0
收敛半径为R, 则
(1) S(x) 在收敛域内连续;
大家有疑问的，可以询问和交
8
(4). (1)n1 (x 2)n
n1
n
设 x－2＝ t ,由(1)知
收敛域是(1,3]
(1)n1 t n
级数的收敛性PPT课件
3
.
11
例3. 判别下列级数的敛散性:
(1 )n 1 ln n n 1;
解: (1)
(2 )n 1 n (n 1 1 ).
Sn
ln 2 1
ln
3 2
ln 4 3
lnn1 n
( 2 l l 1 ) ( n n 3 l l 2 ) n n l n 1 n ) l n n (
n(an an1)S,
n1
k(ak ak1)
k1
n1
( a 1 a 0 ) 2 ( a 2 a 1 ) n ( a n a n 1 ) ak nan
n1
n
k0
aknna k(akak1)
k0
k1
n 1
n
即 ln i k m 0a kln i n m n aln i k m 1k(a k a k 1 )AS
S n u 1 u 2 u 3 u n
级数 u n 是否收敛即 nlimSn 是否存在.ຫໍສະໝຸດ n 1当级数收敛时, 称差值
r n S S n u n 1 u n 2
为级数的余项. 显然 limrn 0
n .
8
例1. 讨论等比级数 (又称几何级数)
a q n a a q a q 2 a q n (a 0 )
1 2112(n1)1(n2)
进行拆项相消
limSn
n
1, 4
这说明原级数收(敛2),n 其1和n3为314 n1. 22n
.
26
(3)
Sn
12SnSn1 22322532
n 2
n
1
1 22 3 22 5 32n 2n 1 2 1 22 3 32 5 42 2 n n 1 1
幂级数及其收敛性(精)
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
求下列幂级数的收敛区间: n x ( 2) ( nx )n ; (1) ( 1)n ; n n 1 n 1
xn ( 3) ; n 1 n!
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1
应用达朗贝尔判别法
n 1 un1 ( x ) 1 2 2 lim lim x , 2 n 1 n u ( x ) n x 2 n n 2 1 2 即 x 2时, 级数收敛, 当 x 1, 2
x
2 n 1
© Copyright NJAUMATH 2009
DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
证明 对级数 an x n 应用达朗贝尔判别法
n 0
a n1 设 lim n a n
(或 lim n an )
n
lim
n
a n 1 x n 1 an x n
a n 1 lim x x, n a n
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R , 收敛区间( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
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DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
定理 2 如果幂级数
n a x n 的所有系数an 0 , n 0
1 (1) 则当 0 时, R ; (2) 当 0 时,R ; (3) 当 时,R 0 .
从而级数 an x 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n n 0
( 3) 如果 ,
06-幂级数收敛域的求法PPT
8
Z (2) ( - nx ) n ；
n=1
an
解：由于p = lim
n—8
则 R = 0. 故收敛域为{0}.
=lim n = +8,
ns
8n
(3)R n!；
---->>w^
• n=1 n
板书)
解：由于p
=
lim
n—8
“n+l
an
=lim 1 is n +1
0,
则R = +8.
故收敛域为(-8,+8)・
故收敛域为（0,1].
板书
8 2 n-1
例2、求幂级数£ r的收敛域. n=1 2
解：级数缺少偶次幂的项，由达朗贝尔判别
法,
lim 〃n+1（
ns X ）
x2n+1 /
/2 n+1
X, 1
=lim
_
1
当1
uXn（2 <X）1
,即n|一x8|<x421n时-/12/,级n 数收2敛.
当1 / > 1 ,即|x| >41时，级数发散.
n—8
n—8 an
1 ⑴若0 V p V +8 ,则当日I x |< 1,即I x Iv 一时, p
8
级数£ anxn绝对收敛.
n=0
当p\x |> 1,即| x |>一时，级数£8 anxn发散
P
n=0
板书
1
从而收敛半径R =丄. P
---8
板书
(2)若 p = 0,贝lj Vx 了 0, p x = 0 v 1,
一、幂级数收敛半径的确定
-幂级数优秀PPT
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .
发散 .
收敛;
14
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
1
R lim an lim n an1 n
n! 1
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2) R lim an lim n ! n an1 n (n 1) !
于是存在
常数 M > 0, 使
发散
收敛 发散
收O 敛
发散x
9
阿贝尔
an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
当 x x0 时,
收敛,
也收敛,
故原幂级数绝对收敛 .
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前 面的证明可知, 级数在点 x0 也应收敛, 与所设矛盾,
求收敛半径时直接用比值法或根值法,
例3
也可通过换元化为标准型再求 .
例4
2. 幂级数的性质
1) 两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与
乘法运算. 30
常用已知和函数的幂级数
(1) xn
1
;
n0
1 x
(2)
(1)n
n0
x2n
1 1 x2
;
(3)
n0
x2n
1
1 x2
;
(4) xn e x;
n1
n1
记 s( x) n(n 1)xn1 1 x 1
则
n1 x
s1( x) s( x)dx (n 1)xn
幂级数
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
n!
( x x0 ) lim S n1 ( x )
n n
x ( x0 ) x ( x0 )
n
S n1 ( x) f ( x) Rn ( x) lim S n1 ( x) f ( x)
S ( x) C e
x x
e
x
S ( x) 0
由S (0) 1 得 S ( x) e ,
故得
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n n 1 n 1
x x 1 x
f (0) f (0) x
x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
内具有 定理1 设 f (x) 在 x0 的某一邻域 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
n n ! ( n 1) !
对任何有限数 x , 其余项满足
e
3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
注:据此定理
的收敛半径为 R lim
an an 1
n
例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim
an an 1
n
lim
n
n 1 n 1
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幂级数收敛 .
2
区间端点处:
当 x = 0 时，幂 级 数化 为 1 ,它是发散的;
n0
当x 4时，幂级数 化为 (1)n ,也是发散的 . n0
因此幂级数
( 1)n
n0
(x
2)n 2n
的收敛区间为 (0,4) .
8.2.2、 函数的幂级数展开
一、 麦克劳林 (Maclaurin) 公式 二、 直接展开法 三、 间接展开法
f (x) Sn1(x) rn (x) .
于是，当
lim
n
rn
(
x
)
0
时，有
lim
n
Sn1
(
x)
f
(x) ,
反之，若
lim
n
Sn1
(
x)
f (x) .
必有
lim
n
rn
(
x
)
0
.
这表明，麦克劳林级数 ③ 以 f(x) 为和函数的 充要条件，是麦克劳林公式② 中的余项 rn (x) 0 (当 n 时 . 这样，我们就得到了函数 f(x) 的幂级数展开式 ：
(1)n xn 1 x x2 (1)n xn
n0
是不缺项的幂级数.
定理 设 幂 级 数 an xn 是 不 缺 项 的. n1
即an 0 . 如果
r lim an1 ,
n an
则当
x
1 r
时
,
该幂级数收敛;
当
x
1 r
时
,
该幂级数发散. 1 称为幂级数的收敛半径,
r
记作 R ,
2!
n!
rn ( x) . ②
rn ( x)
f (n1) ( x) x n1
(n 1)!
②式称为麦克劳林公式 .
(0 θ 1) .
幂级数
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn ,
2!
n!
③
我们称之为麦克劳林级数 .
函数 f(x) 为和函数呢 ?
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
2!
n!
④
它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 .
了函数的 幂级数展开式是唯一的 .
显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，
一般项 an x n 不趋近于零 .
必要条 件可知该幂级数发散.
由级数收敛的
例 2 试求幂级数 2n x n 的收敛区间 .
n1 n
解 所给的幂级数为不缺项的，
可
运用上述定理求收敛半径 2n
R
lim
n
n 2n1
1. 2
n1
当 x 1 时, 幂级数为正项级数 1 .
1 R= .
r即
R lim an
a n n1
证 因为在幂级数 an xn 中 ,
若
将 x 看成
n1
那么就得到一个数项级数，
因是为一个确定的值， 它不一定是正项级数，
为此，我们可对幂级数
的各项取绝对值得，
a0 a1 x a2 x2 an xn ,
这是一个正项级数. 运用比值审敛法. 因为
我们考虑级数 (1)n
x2n
x2n ,
n0
2n 1 n1 2n 1
对此正项级数利用比值审敛法
x 2(n1)
ρ
lim
n
2(n 1) 1 x2n
x2
.
2n 1
因为当 ρ 1 ,即 x2 1 , 也即 x 1时 ,
所求幂级
数绝对收敛 .
当 x 1时 ,
代入得级数
(1)n 收敛.
n0 2n 1
2
n1 n
此为调和级数， 它是发散的.
当
x1时,
幂级数为收敛的交错级数
（ 1）n .
2
n1 n
所以 , 幂级数 2n xn 的收敛区间为 1 , 1）.
n1 n
22
例 3
求幂级数 (1)n
x2n
的收敛区间 .
n0
2n 1
解 所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，是一个
缺项幂级数，因此不能直接利用公式求收敛半径 R.
它显然可以通过变量代换 y = x x0 方法化为式② .
设幂级数 an xn 中 an 0 (n 0,1,2, ) n0
则称幂级 否则称为缺项的幂级数. 例如幂级数
数为不缺项的，
(1)n x2n 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
n0
缺 x 的奇次幂，叫缺项的幂级数，又如
所以幂级数 (1)n
x2n
的收敛区间
n0
2n 1
为[1,1] .
例 4
求幂级数 (1)n
n0
(
x
2)n 2n
的收敛区间.
解 运用正项级数的比值审敛法 .
(1)n1
(
x
2)n1 2n1
ρ lim
n(1)nFra bibliotek(x2)n 2n
x2
.
2
当 ρ 1 ,即 x 2 1 , 也即 0 x 4 时 ,
一、 麦克劳林(Maclaurin)公式
泰勒 (Taylor) 公式 如果函数 f(x) 在 x = 的某x一0 领域内, 有直到 (n + 1) 阶的导数，
则在这个领域内有如下公式 :
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n)( x0 n!
ρ lim an1 xn1 n an xn
lim an1 x n an
rx .
所以当 ρ r x 1 , 即 x 1 时,级数收敛. r
这表明幂级数 an xn 绝对收敛 , 因此它 n1
必然收敛 .
当 ρ r x 1 ,即 x 1 时 , 也就是说 r
lim an1 xn1 1 . n an x n
)
(
x
x0
)n
rn
(
x)
.
①
其
中
rn ( x)
f (n1) (ξ ) (n 1)!
(
x
x0
)n1
(ξ 在 x0 与 x 之间) .
称为拉格朗日型余项 . ① 式称为泰勒公式 .
如果令 x0 0 , 就得到
f ( x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn
那么它是否以
若令麦克劳林级数 ③ 的前n + 1 项和为Sn1 ( x) ,
即
Sn1( x)
f (0)
f (0)x
f (0) x2 2!
f (n)(0) xn . n!
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim
n
Sn1
(
x)
f (x) .
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关系， 可知
幂级数与收敛性课件课件
一、幂级数及其收敛性
一般形式为
a0 a1 x a2 x 2 an x n . ② (其中a0 , a1 , a2 ,an , 是任意实常数)的级数 称为 幂级数，其中的a0 , a1 , a2 , an 称为幂级数 对应项的系数 .
幂级数更一般的形式为 a0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 an ( x x0 )n .