成都七中21届高二理科数学上学期半期考试试卷及答案
因
p
是
q
的必要条件，故
2 a 1
a
1
，即
1
a
1
.
18.解：直线 AB 的方程为 y x 2 ，
联立
x2 2
y2Βιβλιοθήκη 1 ，消去y得
x2
8x
10
0
，且
24
0，
y x 2
(1) |AB|= 112 4 3 ， 1
(2) O 到直线 AB 的距离 d
| 2 | 12 12
2
，则
SOAB
若不存在，请说明理由.
22.抛物线 y2 x 上相异三点 A ， B ，C 的纵坐标分别为 y ， y ， y ，已知△ ABC 为
1
2
0
等腰直角三角形，且 C 为直角，
(1)若 y 0 ，求△ ABC 内切圆的圆心坐标；
0
(2)若 y 0 ，求 y1 y2 的取值范围.
0
y0
共3页 第3页
1
2
25 9
12
()
A. 9
B. 13
C. 14
D. 18
5.抛物线
2
x
2
py(
p
0)
上点
M
( x0 , 3)
到其焦点
F
的距离为
5
，则
p
(
)
A. 1 2
B. 1
C. 2
D. 4
6.圆
2
x
+y 2
6x
5
0
与圆
2
x
+y 2
2
y
8
0
的位置关系是(
A. 相交
B. 相切
C. 外离
) D. 内含
7.过点 P(1, 4) 作直线 l 交双曲线 y2 x2 1 于 A ， B 两点，而 P 恰为弦 AB 的中点，则 4
13.椭圆
2
9x
8y2
72
的短轴长为
.
14.直线 x
3y
0
被圆
2
x
+y 2
2x
0
所截弦长为
.
15.设 O 和 F 分别为抛物线 y 1 x2 的顶点和焦点，过 F 的动直线 l 与抛物线交于 A 、 2
B 两点，那么 S 的最小值为
.
OAB
16.设圆锥的底面直径与其母线等长，用一个与圆锥底面成 30 夹角的平面去截圆锥，
由平面几何可知 5 1 | OP | 5 1 ，(代数分析亦可)
……8 分
由题设知 |OP||PN|=|OP| |OP|2 ， 2
当 |OP|= 5 1 时， |OP||PN| 的最大值为 2 5 4 .
……10 分 ……12 分
1
……3 分
当 x 2 0 时，有 (x 1)2 y2 3 0 ，舍去，
……4 分
当 x 2 0 时，有 (x 1)2 y2 ( 5)2 ，此时 1 5 x 1 5 ，满足前提，
故动点 P 的轨迹方程为 (x 1)2 y2 ( 5)2 ，
……6 分
(2)点 P 的轨迹是以 (1,0) 为圆心， 5 为半径的圆，
成都七中 2019-2020 学年度上期高 2021 届半期考试
数学(理)试卷
考试时间：120 分钟
满分：150 分
一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)
1.命题“ x 1， x 2 ”的否定是( ) A. x 1 ， x 2 B. x 1 ， x 2 C. x 1， x 2 D. x 1， x 2
20.直线 l ：x 2 与 x 轴交于点 M ，过动点 P 作直线 l 的垂线交 l 于点 N ，若 |OM| 、|OP| 、 |PN| 成等比数列，其中 O 为坐标原点， (1)求动点 P 的轨迹方程； (2)求 |OP||PN| 的最大值.
21.椭圆 C
： x2 a2
by22
1(a
b 0) 的左顶点为
A
，左焦点为
F
，下顶点为
B ，上顶点 1
为
B 2
，若
FB 1
FA
1 ，
FB1
FB2
2 AF
，
(1)求 a 和 b 的值；
(2)纵截距为 2 的动直线 l 与椭圆 C 交于 M ，N 两点，设 OP OM ON ，其中 O 为
坐标原点，是否存在直线 l 使得点 P 也在椭圆 C 上？若存在，试确定 l 的方程；
由题设知
y0 x0
1 0
1 k
，
y0 1 2
k
x0 2
0
m
消去 x0 ，化简可得 (1 k 2 ) y0 1 k 2 ，即 y0 1 .
……4 分 ……8 分 ……12 分
20.解：(1)设 P(x, y) ，由 |OP|2 |OM ||PN| 得 x2 y2 2 | x 2 | ，
A
和
B
，若
PA
PB
4
，
则 cos APB ( )
A. 2 3
B. 2 1
C. 2 2
12.两动直线 y kx 1 与 y 2 x 1的交点轨迹是( ) k
A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 C. 抛物线的一部分
D. 3 2
D. 圆的一部分
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
1 2
d|AB|=2
6.
……3 分 ……6 分 ……10 分
……4 分 ……8 分 ……12 分
19.解：(1)联立
x2
4y
，消去 y 得 x2 4kx 4m 0 ，
y kx m
由题设知 (4k)2 4 4m 0 ，即 m k 2 ，
(2)设 E(x0 , y0 ) ，且 F (0,1) ，
要条件，求实数 a 的取值范围.
18.过点
(2，0)
，且倾斜角为
45
的直线与双曲线
x2
y2
1 交于
A
，
B
两点，
2
(1)求 |AB| ；
(2)设 O 为坐标原点，求△ OAB 的面积.
19.抛物线
C
：
2
x
4y
与直线
l
：
y
kx
m(k
0)
有唯一公共点，且
C
的焦点为
F
，
(1)用含 k 的式子表示 m ；
(2)若点 E 与 F 关于直线 l 对称，证明 E 的纵坐标为定值.
直线 l 的斜率为( )
A. 1 16
B. 1
C. 1 16
D. 1
8.双曲线
2
x
y2
1 左、右焦点分别为
F 、F
1
2
，双曲线上的点
P
满足 F PF 12
60
，则
| PF1 | | PF2 | ( )
A. 1
B. 4
C. 7
D. 9
共3页 第1页
9.抛物线
2
y
x
上的点到直线
x
y
1
0
的最短距离是(
2.抛物线
2
x
2 y
的焦点到其准线的距离是(
)
A. 4
B. 2
3.双曲线 x2 y2 1 的渐近线方程是( 2
C. 1 )
D. 1 2
A. y 1 x 2
B. y 2 x 2
C. y 2x
D. y 2x
4.设 F 、F 是椭圆 x2 y2 1 的左、右焦点，点 M 在该椭圆上，则△ MF F 的周长是
A. 3 8
B. 3 2 8
C. 5 8
) D. 5 2 8
10.设命题
p
：若
x
y
3
，则
x
2
或
y
1
，命题
q
：若
2
x
y2
1
，则
|
x
|
|
y
|
1
.
在命题① p q 、② p q 、③ p 、④ q 中，真命题是( )
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ③④
11.设
P
为圆
2
x
y2
=4
外一点，过
P
引圆的切线，两切点分别为
所得截口曲线是椭圆，则该椭圆的离心率为
.
共3页 第2页
三、解答题(本大题共 6 道小题，17 题 10 分，其余题目 12 分，共计 70 分，解答题 应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.设
p ：实数
x
满足
3 x 1 x2
1 ，q ：实数
x 满足
2
x
(1
2a)x
a2
a
0 ，若
p 是 q 的必
成都七中 2019-2020 学年度上期高 2021届半期数学(理)考试
参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
A
C
B
D
D
A
C
B
B
C
B
A
二、填空题 13. 4 2 14. 3
15. 1 16. 3
2
3
三、解答题
17.解：由 3 x 1 x2
1 ，得
2
x
1，
由 x2 (1 2a)x a2 a 0 ，得 a 1 x a ，
《精编》四川省成都七中高二数学上学期入学考试试题新人教A版.doc
成都七中2021-2021学年高二上学期入学考试数学试题一、选择题：(每题5分，共50分)1. 在∆ABC 中,以下名式一定成立的是( )A.a=bsinA cosBB.b=asinAsinBC.c=acosB+bcosAD.b=csinCsinB2. 在等比数列{a n }中,a n >0,假设a 1,a 99是方程x 2-10x+16=0的两个实数根,那么a 40a 50a 60=( )A.32B.64C.256D.±64 3. 不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是( )A.{x|0≤x<1}B.{x|x<0且x ≠-1}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<1且x ≠-1} 4. 假设数列{a n }满足a n+1=1- 1a n,且a 1=2,那么a 2021=( )12 C. 32 D. 125. 假设一个等差数列{a n }的前3项和为34,最后三项和为146,其所有项的和为390,那么这个数列有( )A. 10项B.12项C.13项D.14项6. 假设S n =1-2+3-4+⋯+(-1)n-1n(n ∈N *),那么S 17+S 33+S 50等于( )A.1B.-1C.2D.-27. 假设过点M(-1,0),且斜率为k 的直线与圆x 2+4x+y 2-5=0在第四象限内的圆弧有交点,那么k 的取值范围是( ) A.0<k<5 B. 0<k<13 C. 0<k< 5 D.-5<k<0 8. 在数列{a n }中,a n =43-3n,那么当S n 取最大值时,n=( )A.13B.14C.15D.14或15 9. 把直线3x-y+1=0绕点(0,1)旋转30︒,得到的直线方程为( )33y+3=0 C. x-3y+1=0或x=0 D. x-3y+3=0或x=010. 假设点P(a,b)在直线x+y-4=0上运动,那么a 2+b 2的最小值为( )A.4B.4 2C.8D.8 2 二、填空题：(每题5分，25分)11. 圆x 2+y 2=4,直线L:y=x+b,假设圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,那么b=___; 12. 假设集合A={(x,y)|⎩⎨⎧x-y+1≥0x+y-4≤0x ≥0y ≥0},B={(x,y)|(y-x)(y+x)≤0},M=A ∩B,那么M 的面积为=_____;13. x>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,那么(a+b)2cd 的最小值等于=______;14. 设点P 为直线x-2y-1=0上的动点,过点P 作圆(x+6)2+(y-4)2=5的切线,那么切线长的最小值是____;15. 以下结论中正确的有____________.● 在∆ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,(a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A-B),那么∆ABC 的形状是等腰直角三角形; ● 在∆ABC 中,a=33,b=3, ∠B=30︒,那么∠C=30︒ ;● 直线L 1:2x-y+1=0,L 2:3x-y=0,那么直线L 2关于L 1对称的直线的方程为13x-9y+14=0;● 圆x 2+y 2+2x+2y-2=0与圆x 2+y 2-4x-6y+4=0有3条公切线;●函数y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A,直线mx+ny+1=0经过点A,mn>0,那么1m +2n的最小值等于8. 三、解答题：(共75分)16. (12分)要将两种大小不同的钢板截成A 、B 、C 三种规格,第一种钢板可截得A 规格2块,B规格1块,C 规格1块,第二种钢板可截得A 规格1块,B 规格2块,C 规格3块,今需要A 、B 、C 三种规格的成品分别15,18,27块,应各截这两种钢板多少张可得所需A 、B 、C 三种规格成品,且使用钢板张数最少?17. (12分)点P(x 0,y 0),直线L:Ax+By+C=0,请写出并证明点P 到直线L 的距离公式.18. (12分)三角形的三边为a 、b 、c,设p=12(a+b+c),S 为三角形的面积,r 为三角形的内切圆半径,证明:(1) 秦九韶—海伦公式:S=p(p-a)(p-b)(p-c); (2) 三角形内切圆半径公式:r=p(p-a)(p-b)(p-c)p.19.n,b n分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数,如果a1=300,求a n.20.(13分)数列{a n}满足:a1=3,a n=2a n-1+2n-1(n≥2).(1)求{a n}的通项公式;(2)求{a n}的前n项和S n.21.(14分)圆C的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0.(1)求实数a组成的集合A.(2)圆C是否恒过定点?假设恒过定点,求出定点坐标;假设不恒过定点,请说明理由.(3)求证:当a1,a2∈A,且a1≠a2时,对应的圆C1与圆C2相切.(4)求证:存在直线L,使与圆C中的所有圆都相切.高二上期入学考试题(答案)一、选择题：(每题5分，共50分)二、填空题：(每题5分，25分)11. 圆x 2+y 2=4,直线L:y=x+b,假设圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,那么b=___; 12. 假设集合A={(x,y)|³£³³y0x0},B={(x,y)|(y-x)(y+x)0},M=A ∩B,那么M 的面积为=_____;213. x>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,那么cd a+b2的最小值等于=______;4 14. 设点P 为直线x-2y-1=0上的动点,过点P 作圆(x+6)2+(y-4)2=5的切线,那么切线长的最小值是____;15. 以下结论中正确的有____________.③④⑤二、 在ABC 中,a,b,c 分别是A,B,C 的对边,(a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A-B),那么ABC 的形状是等腰直角三角形;三、 在ABC 中,a=3,b=3, B=30,那么C=30 ;四、 直线L 1:2x-y+1=0,L 2:3x-y=0,那么直线L 2关于L 1对称的直线的方程为13x-9y+14=0;五、 圆x 2+y 2+2x+2y-2=0与圆x 2+y 2-4x-6y+4=0有3条公切线;六、 函数y=log a (x+3)-1(a>0,a 1)的图象恒过定点A,直线mx+ny+1=0经过点A,mn>0,那么m 1+n 2的最小值等于8. 三、解答题：(共75分)16. (12分)要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,第一种钢板可截得A规格2块,B规格1块,C规格1块,第二种钢板可截得A规格1块,B规格2块,C规格3块,今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块,应各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品,且使用钢板张数最少?17. (12分)点P(x0,y0),直线L:Ax+By+C=0,请写出并证明点P到直线L的距离公式.18. (理)(12分)三角形的三边为a 、b 、c,设p=21(a+b+c),S 为三角形的面积,r 为三角形的内切圆半径,证明:(1) 秦九韶—海伦公式:S=; (2) 三角形内切圆半径公式:r=p p-c.(文)(12分)在ABC 中, A 、B 、C 对边分别是 a 、b 、c,c=27,C=60,SABC=23,求a+b 的值.211n ,b n 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数,如果a 1=300,求a n .20. (13分)数列{a n }满足:a 1=3,a n =2a n-1+2n-1(n2).(1) 求证:{2n an-1}是等差数列,并求{a n }的通项公式; (2) 求{a n }的前n 项和S n .(1)a n=n2n+1;(2)S n=(n-1)2n+1+n+2.21. (14分)圆C的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0.(1) 求实数a组成的集合A.(2) 圆C是否恒过定点?假设恒过定点,求出定点坐标;假设不恒过定点,请说明理由.(3) 求证:当a1,a2A,且a1a2时,对应的圆C1与圆C2相切.(4) 求证:存在直线L,使与圆C中的所有圆都相切.。
四川省成都七中2020-2021学年度高二上期10月阶段性考试理科数学试题
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 与 作平行直线 和 ，分别交曲线 于点 、 和点 、 ，求四边形 面积的最大值.
参考答案
1．C
【分析】
利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可．
【详解】
解：命题 ： ， ，为全称量词命题，其否定为存在量词命题，故 ： ，
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 为 的中点，求三棱锥 的体积．
21．已知两个定点A（0，4），B（0，1），动点P满足|PA|＝2|PB|，设动点P的轨迹为曲线E，直线l：y＝kx﹣4.
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）若l与曲线E交于不同的C、D两点，且 （O为坐标原点），求直线l的斜率；
（3）若k＝1，Q是直线l上的动点，过Q作曲线E的两条切线QM、QN，切点为M、N，探究：直线MN是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.
故选：C
【点睛】
本题考查命题的否定，存在量词命题与全称量词命题的否定关系，属于基础题．
2．C
【分析】
求出直线 所过的定点 的坐标，判断点 与圆的位置关系，由此可判断出直线 与圆的位置关系.
【详解】
直线 过定点 ，
，则点 在圆 内，
因此，直线 和圆 相交.
故选：C.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.
【详解】
解：因为圆 ： 的圆心 到直线 ： 的距离
，且圆的半径等于 ，
故圆上的点 到直线的最小距离为
故选：
【点睛】
本题考查圆上的点到直线的距离的最值问题，属于基础题.
成都七中高二上学期半期理数
一、单选题1．抛物线24y x =的准线方程是( )A. 1x =B. 1x =-C. 116y =D. 116y =- 2．“3a =”是“直线4y x =+与圆()()2238x a y -+-=相切”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3．设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 14．圆O 1： 2220x y x +-=和圆O 2： 2240x y y +-=的位置关系是A. 相离B. 相交C. 外切D. 内切5．已知F 是抛物线2y x =的焦点， A 、B 是该抛物线上的两点，且3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ） A. 34 B. 1 C. 54 D. 746．设椭圆2222x y m n+=1(0,0)m n >>的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为 A. 2211216x y += B. 2211612x y += C. 2214864x y += D. 2216448x y += 7．在同一坐标系中，方程22221m x n y +=与()200mx ny m n +=>>的曲线大致是（ ）A. B. C. D.8．如果实数x ， y 满足等式()2223x y -+=，那么 ）．A. B. C. D.912,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，点B 关于y 轴的对称点为点C ，则四边形12AFCF 的周长为（ ）A. 6B. 4mC. 12D. 10．设直线()():110l mx m y m R +--=∈，圆()22:14C x y -+=，则下列说法中正确的是（ ）A. 直线l 与圆C 有可能无公共点B. 若直线l 的一个方向向量为()1,2a =-，则1m =-C. 若直线l 平分圆C 的周长，则1m =或0n =D. 若直线l 与圆C 有两个不同交点,M N ，则线段MN 的长的最小值为11．左右焦点分别为12F F 、，与椭圆C 交于A B 、两点（A 点在x 轴上方）AF F B λ=，则λ的值等于（ ）A. B. 3 C. 2 D.12．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A. B. C. D.二、填空题13__________． 14．过点()4,1A 的圆C 与直线10x y --=相切于点()2,1B ，则圆C 的方程为__________．15．点F 的右焦点，以F 为圆心的圆过坐标原点O ，且与双曲线C 的两渐近线分别交于A B 、两点，若四边形OAFB 是菱形，则双曲线C 的离心率为__________． 16．在Rt ABC ∆中，斜边6BC =，以BC 的中点O 为圆心，作半径为2的圆，分别交17．若命题p :方程2210x m x ++=有两不等正根； q :方程()2223100x m x m +--+=无实根.求使p q ∨为真， p q ∧为假的实数m 的取值范围.三、解答题18．的长轴两端点为双曲线E 的焦点，且双曲线E 的离心率为（1）求双曲线E 的标准方程；（2）若斜率为1的直线l 交双曲线E 于,A B 两点，线段AB 的中点的横坐标为求直线l 的方程.19的椭圆C 的一个焦点坐标为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()0,2P 的直线l 与轨迹C 交于不同的两点E F 、，求PE PF ⋅的取值范围.20．已知点()2,2P ，圆22:80C x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为,M O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程； （2）当OP OM =时，求l 的方程及POM ∆的面积．21．已知斜率为 的直线 经过点 与抛物线 （ 为常数）交于不同的两点 ，当时，弦 的长为 .（1）求抛物线 的标准方程；（2）过点 的直线交抛物线于另一点 ，且直线 经过点 ，判断直线 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 22．已知左、右焦点分别为12F F 、的椭圆与直线1y =相交于A B 、两点，使得四边形12ABF F 为面积等于.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆1C 上一动点P （不在x 轴上）作圆22:1O x y +=的两条切线PC PD 、，切点分别为C D 、，直线CD 与椭圆1C 交于E G 、两点， O 为坐标原点，求OEG ∆的面积OEG S ∆的取值范围.参考答案1．D【解析】选D 由抛物线方程21x y 4=，可知抛物线的准线方程是1y=-16. 2．A或5a =-，所以“3a =”是“直线4y x =+与圆()()2238x a y -+-=相切”的充分不必要条件．故选A ．3．C【解析】双曲线的渐近线y ＝±3a x ，所以a ＝2，选C 项． 视频 4．B【解析】试题分析：由题意可知圆1O 的圆心()11,0O，半径11r =，圆2O 的圆心()20,2O ，半径12r =，又21122r r O O r -<=，所以圆1O 和圆2O 的位置关系是相交，故选B ． 考点：圆与圆的位置关系．5．C【解析】试题分析：：∵F 是抛物线y 2＝x 的焦点，F （14，0）准线方程x=−14， 设A ()11,x y ，B ()22,x y ，根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=114x +，|BF|=214x +， ∴|AF|+|BF|=1211344x x +++= 解得1252x x +=， ∴线段AB 的中点横坐标为54， ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为54． 考点：抛物线的简单性质6．B【解析】试题分析：因为抛物线的焦点为F(2,0),所以c=2,再由离心率为12，所以m=4,所以2224212,n=-=所以221 1612x y+=.考点：椭圆与抛物线的标准方程，及性质.点评：由抛物线的焦点，可得椭圆的半焦距c,再由离心率可知m,从而n=,因而椭圆方程确定.视频7．D【解析】0m n>>椭圆22221m x n y+=即，焦点在y轴上；抛物线20mx ny+=，即；焦点在x轴的非正半轴上；比较四个选项，综合分析可知选D8．C【解析】则y kx=与圆()2223x y-+=有交点，因此圆心到直线距离故选C．点睛：与圆上点(),x y有关代数式的最值的常见类型及解法．题，可转化为过点(),a b和点(),x y的直线的斜率的最值问题；②形如t ax by=+型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如()()22x a y b-+-型的最值问题，可转化为动点到定点(),a b的距离平方的最值问题．9．C【解析】∵过2F的直线与椭圆交于A B、两点，点B关于y轴的对称点为点C，∴四边形12AFCF，∵椭圆3a∴=，∴四边形12AFCF的周长为12．故选C．【点睛】本题考查椭圆的定义，考查四边形12AFCF 的周长，正确运用椭圆的定义是解题的关键．10．D【解析】对于A ， 0m ≠ 时，由已知，圆的圆心为10（，） ，半径为2，圆心到直线的距离为：12d =＜，所以直线与圆一定相交； A 错； 对于B ，直线l 的一个方向向量为()1,2a =-,则直线的斜率为2,- 则2,21m m m -=-∴=- 故B 错误； 对于C ，直线l 平分圆C 的周长，则直线过圆心10（，） , 则1m =，C 错；对于D ，若直线l 与圆C 有两个不同交点M N 、，线段MN 的长的最小时圆心到直线的距离最大，即0m =时的1d =，此时MN =；故D 正确．故选D ． 11．C【解析】由条件可知，直线l 过椭圆的左焦点()12,0F -.y 整理得232108630x x++=，设()()1122,,,A x y B x y ，由A 点在x 轴上方可得 ∵11AF F B λ=，∴()()11222,2,x y x y λ---=+,∴()1222x x λ--=+。
2021年高二上学期半期考试数学理试题 含答案
2021年高二上学期半期考试数学理试题含答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1．双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．2．命题“，均有”的否定为（）A．，均有B．，使得C．，使得D．，均有3．椭圆的左顶点到右焦点的距离为（）A．B．C．D．4．“方程表示焦点在轴的椭圆”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知点在抛物线的准线上，其焦点为，则直线的斜率是（）A．B．C．D．6．直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（）A． B．C．D．7．已知抛物线的焦点为，为抛物线上任意一点，若，则的最小值是（）A．B．C．D．8．中心在原点的椭圆长轴右顶点为，直线与椭圆相交于两点，中点的横坐标为，则此椭圆标准方程是（）A． B． C． D．9．已知圆台的下底面周长是上底面周长的3倍，母线长为3，且圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（）A．B．C．D．10.平行四边形的顶点为双曲线的中心，顶点为双曲线的右焦点，顶点在轴正半轴上，顶点恰好在该双曲线左支上，若，则此双曲线的离心率是（）A．B．C．D．11.已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线交椭圆于两点，若，点到直线的距离等于，则椭圆的焦距长为（）A．B．C．D．12．已知双曲线的离心率为，过左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于两点，则的值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.13．抛物线的准线方程为________14．已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，则它的表面积为________15．椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆的一个短轴端点为，直线与双曲线的一条渐近线平行，若椭圆与双曲线的离心率分别为，则的最小值为________16为，设，与相交于点.若，且的面积为，则的值为________三、解答题：（本大题共6个小题，共70上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17．（本小题满分10分）已知圆．（1）求圆的圆心坐标和半径；（2）直线过点、，求直线被圆截得的弦长．18．（本小题满分12分）设命题：不等式对恒成立，命题：关于的方程在上有解．（1）若为假命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．19.（本小题满分12分）双曲线的右焦点为．（1）若双曲线的一条渐近线方程为且，求双曲线的方程；（2）以原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为，过作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率．20.（本小题满分12分）已知椭圆:的离心率为，且右准线方程为．（1）求椭圆方程；（2）过椭圆右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，为椭圆上一动点，求面积的最大值．21．（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，是抛物线上位于轴两侧的两动点，且（为坐标原点）．（1）求抛物线方程； （2）证明：直线过定点；（3）过点作的垂线交抛物线于两点，求四边形的面积的最小值．22．（本小题满分12分）如图，椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，连接交椭圆于点，且的最小值为．（1）求椭圆方程；（2）若，求直线的方程；（3）为椭圆上关于轴对称的两点， 直线分别与轴交于， 求证：为定值．重庆南开中学高xx 级高二（上）半期考试数 学 试 题（理科）参考答案1-12：13．; 14．;15．; 16． 17．解：（1）圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为 （2）直线即，圆心到直线的距离，所以弦长 18．解：命题在单调递减，的最大值为，故 命题或（1）为假命题，则 （2）“”为假命题，“”为真命题，等价于真假，或者假真，则或实数的取值范围为 19．解：（1）由题意，，所求双曲线方程为（2）由题意，设，则，从而，， 将代入双曲线得：且0234)3)((4224222222=--∴=-+∴a b a b b a a b b a从而 20．解：（1），从而所以椭圆方程为 （2）右焦点，则直线与椭圆联立得： 设，则弦，设到直线24max 2|1)cos(3|2|1sin 2cos 5|=-+=--=φθθθd ，910162491621||21max max =⋅5⋅==∴∆d AB S PAB 法2：设与椭圆相切，联立得：得：，当时，即时与间的距离即为椭圆上动点到直线的最大距离，亦即为高的最大值910162491621||21max max =⋅5⋅==∴∆d AB S PAB 21．解：（1）抛物线方程为（2）设与抛物线联系得： 设，则（*） ，由得：即，，故直线过定点 法2：设，，由又有，，令得，所以直线过定点 （3）当时，由（*）得:, 同理有，从而)21)(2()11)(1(82222++⋅++=m m m m ，令，则，易知随着增加单调递增，故当即时 22．解：（1）由题意得，且，故椭圆方程为 （2）设与联立得：设，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+-=+>∆941694580221221m y y m m y y 由得，即（3）设，，则，令得同理得 （#） 又，，代入（#）得：21197 52CD 勍•37633 9301 錁|(V22090 564A 噊34338 8622 蘢37464 9258 鉘 F%29596 739C 玜22536 5808 堈38357 95D5 闕。
四川省成都市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024学年度上期高2025届半期考试高二数学试卷（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．5．考试结束后，只将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()(),2,2,3,4,2a x b =-=-，若a b ⊥，则x 的值为（）A.1B.4- C.4D.1-【答案】C 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.【详解】由()(),2,2,3,4,2a x b =-=- 得3840a b x ⋅=--= ，所以4x =，故选：C2.已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，则1l 与2l 之间的距离是（）A.45B.35C.25 D.15【答案】A 【解析】【分析】直接由两平行线之间的距离公式计算即可.【详解】因为已知直线1:3410l x y --=与2:3430l x y -+=，而()()34430⨯---⨯=，所以12l l //，所以由两平行线之间的距离公式可得1l 与2l 之间的距离是45d ==.故选：A.3.已知圆()()221:219C x y -++=与圆()()222:134C x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.内含【答案】B 【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径的关系即可求解.【详解】()()221:219C x y -++=的圆心为()2,1,3r -=，()()222:134C x y ++-=的圆心为()1,3,2R -=，由于125C C ==,125C C r =+=R ，所以1C 与圆2C 外切，故选：B4.若直线()1:410l x a y +-+=与2:20l bx y +-=垂直，则a b +的值为（）A.2 B.45C.23D.4【答案】D 【解析】【分析】根据直线垂直的条件求解．【详解】由题意40b a +-=，∴4a b +=．故选：D ．5.已知事件,A B 相互独立，且()()0.3,0.7P A P B ==，则()P AB =（）A.1 B.0.79C.0.7D.0.21【答案】D 【解析】【分析】由独立事件的概率乘法公式计算．【详解】由题意()()()0.30.70.21P AB P A P B ==⨯=，故选：D ．6.如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 为BC 中点，点N 在侧棱OA 上，且2ON NA =，则MN =（）A.121232a b c--+B.211322a b c-++C.211322a b c --D.111222a b c +-【答案】C 【解析】【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用,,OA a OB b OC c === 表示出MN.【详解】1221()2332MN MB BO ON CB OB OA OA OB OC OB=++=-+=+-- 211211322322OA OB OC a b c =--=--.故选：C7.已知椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，长轴为12A A ，过椭圆上一点M 向x 轴作垂线，垂足为P ，若212||13MP A P A P =⋅，则该椭圆的离心率为（）A.3B.3C.13D.23【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设()00,M xy ，表示出12,A P A P ，结合椭圆方程，代入计算，再由离心率公式，即可得到结果.【详解】设()00,M x y ，则2200221x y a b+=，()()()120,0,,0,,0A a A a P x -，则10A P x a =+，20A P x a =-，0MP y =所以222002201200||13a y y MP A P A x x a P x a+⋅=-==⋅-，且22x a <，所以22213y a x =-，即222003a x y -=，代入椭圆方程可得222002231a y y a b-+=，化简可得223a b =，则离心率为63e ===.故选：B8.现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是a ，该组数据扩大m 倍后的数据的平均值是b ，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大m 倍后的数据的方差三个量中，能用,,a b m 表示的量的个数是（）A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】设出原始数据，逐个计算求解即可.【详解】设该组数据为123,,n x x x x ⋅⋅⋅，则12nx x x x n++⋅⋅⋅+=.所以22212n x x x a n++⋅⋅⋅+=，12n mx mx mx mx b n ++⋅⋅⋅+==，所以b x m =.原数据的方差()()()()2222221212221212n n n x x x x x x x x x x x x x s xnn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+2222222b b a x x a x a a m m ⎛⎫=-+=-=-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.扩大m 倍后的数据的方差：()()()()()()2222221212222n n mx mx mx mx mx mx x x x x x x s m nn ⎡⎤-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦22222212b m s m a m a b m ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，可以用,,a b m 表示.平方后的数据的方差：()()()()2222222224441212221232n n n x a x a x aa x x x x x x s a nn n-+-+⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==-+44444422212122n n x x x x x x a a a n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-+=-.不能用,,a b m 表示.故选：C.二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．9.我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.图中的x 值为0.020B.这组数据的极差为50C.得分在80分及以上的人数为400D.这组数据的众数的估计值为82【答案】AC 【解析】【分析】根据频率值和为1即可判断A ；根据由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，即可判断B ；求出得分在80分及以上的频率，再乘以总人数，即可判断C ；根据频率分布直方图中众数即可判断D .【详解】解：()100.0050.0350.0300.0101x ⨯++++=，解得0.020x =，故A 正确；因为由频率分布直方图无法求出这组数据得极差，故B 错误；得分在80分及以上的频率为()100.0300.0100.4⨯+=，所以得分在80分及以上的人数为10000.4400⨯=，故C 正确；这组数据的众数的估计值为75，故D 错误.故选：AC .10.下列说法正确的是（）A.对任意向量,a b ，都有a b b a⋅=⋅B.若a b a c ⋅=⋅且0a ≠，则b c=C.对任意向量,,a b c，都有()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ D.对任意向量,,a b c ，都有()+⋅=⋅+⋅ a b c a c b c【答案】AD 【解析】【分析】可由数量积的定义及运算律可逐一判定选项.【详解】cos ,a b a b a b ⋅=，cos ,b a a b a b ⋅= ，可得a b b a ⋅=⋅，故选项A 正确；由a b a c ⋅=⋅ 可得()0a b c ⋅-=，又0a ≠ ，可得b c = 或()a cb ⊥- ，故选项B 错误；()()cos ,R a b c a b a b c c λλ⋅⋅==∈,()()cos ,R a b c c b c b a a μμ⋅⋅==∈所以()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 不一定成立，故选项C 错误；由向量数量积运算的分配律可知选项D 正确；故选：AD.11.甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（）A.平均数为67B.平均数为66C.方差为296D.方差为287【答案】BD 【解析】【分析】先利用比重计算全部队员体重的平均值，再利用平均值计算方差即可.【详解】依题意，甲的平均数160x =，乙的平均数268x =，而甲､乙两队的队员人数之比为1：3，所以甲队队员在所有队员中所占比重为14，乙队队员在所有队员中所占比重为34故甲、乙两队全部队员的体重的平均数为：1360686644x =⨯+⨯=；甲、乙两队全部队员的体重的方差为：()()22213200606630068665922828744s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=+=⎣⎦⎣⎦.故选：BD.12.已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（）A.该四面体相对的棱两两垂直B.该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心C.该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）D.该四面体三组对棱平方和相等【答案】ACD 【解析】【分析】设,,AB b AC c AD d ===，利用向量法AD 选项，用几何法判断BC 选项．【详解】选项A ，如图，四面体ABCD 中，,,,,,E F G H I J 是所在棱中点，EF GH IJ ==，设,,AB b AC c AD d === ，则111()()222EF AF AE AD AB AC d b c =-=-+=-- ，111()()222GH AH AG AC AD AB c d b =-=+-=+- ，EF GH =，即EF GH = ，所以11()()22d b c c d b --=+-，所以222222222222d b c b d c d b c d b c c d b d b c++-⋅-⋅+⋅=+++⋅-⋅-⋅c d b c ⋅=⋅ ，即()0c b d ⋅-= ，所以()c b d ⊥- ，即AC DB ⊥，所以AC BD ⊥，同理,AB CD AD BC ⊥⊥，A 正确；选项B ，设1AH ⊥平面BCD ，1H 是垂足，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，而1BH ⊂平面1ABH ，所以1CD BH ⊥，同理1BC DH ⊥，所以1H 是平面BCD 垂心，同理可得其它顶点在对面的射影是对面三角形的垂心，B 错；选项C ，如上图，1AH ⊥平面BCD ，2BH ⊥平面ACD ，3DH ⊥平面ABC ，123,,H H H 是垂足，先证明12,AH BH 相交，1AH ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以1AH CD ⊥，又AB CD ⊥，11,,AB AH A AB AH =⊂ 平面1ABH ，所以CD ⊥平面1ABH ，同理CD ⊥平面2ABH ，所以平面1ABH 和平面2ABH 重合，即12,AH BH 共面，它们必相交，设12AH BH H ⋂=，下面证明DH ⊥平面ABC ，与证明CD ⊥平面1ABH 同理可证得BC ⊥平面1ADH ，又DH ⊂平面1ADH ，所以BC DH ⊥，同理由2BH ⊥平面ACD 可证得DH AC ⊥，而,AC BC 是平面ABC 内两相交直线，所以DH ⊥平面ABC ，因此DH 与3DH 重合，同理可证CH ⊥平面ABD ，C 正确；选项D ，由选项A 的讨论同理可得b c b d c d ⋅=⋅=⋅，222222222()2AB CD AB CD b d c b c d c d +=+=+-=++-⋅ ，222222222()2AC BD AC BD c d b b c d b d +=+=+-=++-⋅，所以2222AB CD AC BD +=+，同理222222AB CD AC BD AD BC +=+=+，D 正确．故选：ACD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过()()0,2,1,0A B -两点的直线的方向向量为()1,k ，则k =______．【答案】2【解析】【分析】方向向量与BA平行，由此可得．【详解】由已知(1,2)BA =，()1,k 是直线AB 的方向向量，则2k =，故答案为：2.14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．【答案】38【解析】【分析】根据百分位数的定义即可求解.【详解】865% 5.2⨯=,故这组数据的第65百分位数为第6个数38，故答案为：3815.写出与圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=都相切的一条直线的方程__________．【答案】0x =##4y =-##430x y -=##34100x y ++=【解析】【分析】判断两个圆是相离的，得到应该有四条公切线，画出图形易得0x =或4y =-为公切线，设切线方程为y kx b =+，根据圆心到直线的距离等于半径列出关于,k b 方程组，求解.【详解】因为圆1C 的圆心为()11,3C --，半径11r =圆2C 的圆心为()23,1C -，半径23r =又因为124C C =所以圆1C 与圆2C 相离，所以有4条公切线.画图为：易得:0a x =或:4n y =-是圆221:(1)(3)1C x y +++=和222:(3)(1)9C x y -++=的公切线设另两条公切线方程为：y kx b =+圆1C 到直线y kxb =+的距离为1=圆2C 到直线y kxb =+3=所以3133k b b k ++=-+所以31339k b b k ++=-+或31339k b b k ++=-+-34k b =+或52b =-当52b =-1==所以34k =-，切线方程为34100x y ++=当34k b =+3==所以()()225249b b +=++所以240b b +=所以0b =或4b =-当0b =时43k =，切线方程为430x y -=当4b =-时0k =，切线方程为4y =-故答案为：0x =或4y =-或430x y -=或34100x y ++=16.已知P 为直线=2y -上一动点，过点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为______．【答案】52【解析】【分析】首先设点00(,)P x y ，求过点BC 的直线方程，并判断直线BC 过定点，再利用几何关系求最大值.【详解】设00(,)P x y ，过点P 引圆221x y +=的两条切线，切点分别为,B C ，则切点在以OP 为直径的圆上，圆心00,22x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径r =，则圆的方程是22220000224x y x y x y +⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理为：22000x y x x y y +--=，又点,B C 在圆221x y +=上，两圆方程相减得到001x x y y +=，即直线BC 的方程是001x x y y +=，因为02y =-，代入001x x y y +=得021x x y -=，则直线BC 恒过定点10,2N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以点()2,1A 到直线BC 的距离52d AN ≤==，所以点()2,1A 到直线BC 的距离的最大值为52.故答案为：52.【点睛】思路点睛：首先本题求以OP 为直径的圆，利用两圆相减，求得过两圆交点的直线方程，关键是发现直线BC 过定点，这样通过几何关系就容易求定点与动直线距离的最大值.四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的周长为()()14,3,0,3,0B C -．（1）求点A 的轨迹方程；（2）若AB AC ⊥，求ABC 的面积．【答案】（1）()2210167x y y +=≠（2）7【解析】【分析】（1）结合椭圆定义可得A 的轨迹方程.（2）利用AB AC ⊥及椭圆定义可列出方程，求解AC AB ⋅，即可算出ABC 的面积．【小问1详解】ABC 的周长为14且6,86BC AC AB BC =∴+=>=，根据椭圆的定义可知，点A 的轨迹是以()()3,0,3,0B C -为焦点，以8为长轴长的椭圆，即4,3,a c b ===A 的轨迹方程为221167x y+=，又A 为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为()2210167x y y +=≠．【小问2详解】222,||||36AB AC AB AC BC ⊥∴+== ①．A 点在椭圆()2210167x y y +=≠上，且()()3,0,3,0B C -为焦点，8AC AB ∴+=，故22||264AC AB AC AB ++⋅=②．由①②可得，14AC AB ⋅=，故172S AC AB =⋅⋅=．ABC ∴ 的面积为7．18.如图，四面体OABC 的所有棱长都为1,,D E 分别是,OA BC 的中点，连接DE ．（1）求DE 的长；（2）求点D 到平面ABC 的距离．【答案】18.219.3【解析】【分析】（1）利用基底,,OA OB OC 表示出向量DE，再根据向量数量积求长度的方法即可求出；（2）由该几何体特征可知，点O 在平面ABC 的射影为ABC 的中心，即可求出．【小问1详解】因为四面体OABC 的所有棱长都是1，所以该四面体为正四面体，()1111122222DE DA AB BE OA OB OA OC OB OA OB OC =++=+-+-=-++，而且12OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅= ，所以()()2211131442DE OA OB OC =--=-=，即2DE =，所以DE 的长为2．【小问2详解】因为四面体OABC 为正四面体，所以点O 在平面ABC 的射影O '为ABC 的中心，ABC 的外接圆半径为11sin6023︒⨯=，所以点O 到平面ABC 的距离为3d ==，由于D 点为线段OA 的中点，所以点D 到平面ABC 的距离为3．19.现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[)155160,，第二组[)160,165,⋅⋅⋅，第八组[]190195,．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A 表示随机抽取的两名男生不．在同一组．．．．，求()P A ．【答案】（1）第七组的频率为0.06，中位数为174.5cm（2）815【解析】【分析】（1）根据频率为和1，可得第七组的频率为0.06，设学校的800名男生的身高中位数为m ，根据中位数的定义可得()0040080217000405...m ..+++-⨯=,求解即可；（2）用列举法写出基本事件的总数和两名男生不在同一组所包含的基本事件，即可得解.【小问1详解】（1）由直方图的性质，易知第七组的频率为415(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06++0.008)=0.06505-⨯⨯．由于0.040.080.20.320.5,0.040.080.20.20.520.5++=<+++=>，设学校的800名男生的身高中位数为m ，则170175m <<，由()0040080217000405...m ..+++-⨯=,得1745m .=，所以学校的800名男生的身高的中位数为174.5cm ．【小问2详解】解：第六组[)180185,的人数为4，设为a b c d ,,,，第八组[]190195,的人数为0.0085502⨯⨯=，设为,A B ，则从中随机抽取两名男生有,,,,,,,,,,,,,dB,ab ac ad bc bd cd aA aB bA bB cA cB dA AB 共15种情况．事件A 表示随机抽取的两名男生不在同一组，所以事件A 包含的基本事件为,,,aA aB bA bB ，,,,cA cB dA dB 共8种情况．所以()815P A =．20.已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，且圆心在直线340x y --=上.（1）求圆C 的方程；（2）若平面上有两个点()6,0P -，()6,0Q ，点M 是圆C 上的点且满足2MP MQ=，求点M 的坐标.【答案】（1）()22420x y -+=（2）10,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M 满足的方程联立即可求得M 的坐标.【小问1详解】∵圆心在直线340x y --=上，设圆心()34,C a a +，已知圆C 经过点()0,2A ，()6,4B ，则由CA CB =，=解得0a =，所以圆心C 为()4,0，半径r CA ===所以圆C 的方程为()22420x y -+=；【小问2详解】设(),M x y ，∵M 在圆C 上，∴()22420x y -+=，又()6,0P -，()6,0Q ，由2MPMQ=可得：()()2222646x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()221064x y -+=，联立()()22224201064x y x y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩解得10411,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或10411,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.21.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1π,2,3,2BAC AB AC AA M ∠====是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点，点Q 在线段1A N 上．（1）若//PQ 平面1A CM ，请确定点Q 的位置；（2）请在下列条件中任选一个，求11A QA N的值；①平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53；②直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106．【答案】（1）Q 为1A N 靠近N 三等分点处（2）①1112A Q A N =；②1112A Q A N =【解析】【分析】（1）分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1A CM 的法向量n，由//PQ 平面1A CM 得PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅= ，求解11A QA N即可；（2）设()1101A Q A Nλλ=<<，求出平面BPQ 的法向量为m，平面ABC 的法向量，若选择①，利用平面与平面的夹角的向量求法求解；若选择②，由直线与平面所成角的向量求法求解.【小问1详解】分别以1,,AC AB AA 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，()()()()()130,0,3,2,0,0,0,1,0,1,1,3,1,1,,,,32A C M N P Q a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()1132,0,3,0,1,3,1,1,2A C A M PQ a a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭ ．设面1A CM 的法向量(),,n x y z =r ，则110A C n A M n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即23030x z y z -=⎧⎨-=⎩．令2z =，得()3,6,2n =．因为//PQ 平面1A CM ，所以PQ n ⊥ ，即0PQ n ⋅=．所以()()316130a a -+-+=，得23a =，122,,033A Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以13A Q = ．因为11123A Q A N A N ==，所以Q 为1A N 靠近N 三等分点处时，有//PQ 平面1A CM ．【小问2详解】设()1101A QA Nλλ=<<，则()11,,0A Q A N λλλ== ．所以1111331,1,,1,1,22PQ PA A Q PA A N PB λλλ⎛⎫⎛⎫=+=+=--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设平面BPQ 的法向量为()111,,m x y z =，则00PQ m PB m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()()11111131102302x y z x y z λλ⎧-+-+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩．令()141z λ=-，得()()()3,32,41m λλλ=--．注意到平面ABC 的法向量为()0,0,1，直线AC 的方向向量为()1,0,0，若选择①，平面BPQ 与平面ABC的夹角余弦值为53，则()10,0,1cos 53m mθ⋅==．即()2483001λλλ-+=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．若选择②，直线AC 与平面BPQ所成角的正弦值为106，则()21,0,0sin 106m mθ⋅==．即()2181713001λλλ+-=<<，解得12λ=，即1112A Q A N =．22.已知()()()2,3,2,0,2,0,A B C ABC -∠的内角平分线与y 轴相交于点E ．（1）求ABC 的外接圆的方程；（2）求点E 的坐标；（3）若P 为ABC 的外接圆劣弧 BC 上一动点，ABC ∠的内角平分线与直线AP 相交于点D ，记直线CD 的斜率为1k ，直线CP 的斜率为2k ，当1275k k =-时，判断点E 与经过,,P D C 三点的圆的位置关系，并说明理由．【答案】（1）2232524x y ⎛⎫+-=⎪⎝⎭（2）20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭（3）点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解圆心和半径，从而得解；（2）根据等面积法或者利用角平分线的性质可得AB AF BCCF=，即可求解长度得斜率，进而可求解直线方程，得解；（3）联立方程可得22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭，6743,3131k k D k k --⎛⎫ ⎪--⎝⎭，根据1275k k =-可得1k =，即可求解点的坐标，由点的坐标求解圆的方程，即可判定.【小问1详解】易知ABC 为C 为直角的直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB 边的中点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为52，所以外接圆的方程为2232524x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭．【小问2详解】设ABC ∠的内角平分线交AC 于点F ，根据角平分线性质定理，可知AB AF BCCF=，（利用11sin 22211sin 222ABFBCFABC AB BF AF BC S ABC S BC BF FC BC ∠⋅⋅==∠⋅⋅ 可得AB AF BC CF =）由结合3AF CF +=，5AB ==,4,3BC AC ==所以4133BD CF CF k BC =⇒==所以，ABC ∠的内角平分线方程为()123y x =+，令0x =，即可得点E 坐标20,3⎛⎫⎪⎝⎭．【小问3详解】点E 在经过,,P D C 三点的圆上，理由如下：由题意可知直线AP 的斜率存在，故设直线AP 的直线方程为()32y k x -=-，联立直线与圆的方程()223232524y k x x y ⎧-=-⎪⎨⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎩，可得()()22221344640kx k k x kk ++-+--=注意到,A P 两点是直线与圆的交点，所以2246421P k k x k --⋅=+222321P k k x k --∴=+，故22223234,11k k k P k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭．联立直线AP 与ABC ∠的内角平分线方程()321233y k x y x ⎧-=-⎪⎨=+⎪⎩，可得6731k x k -=-6743,3131k k D k k --⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭．此时221222243433434003443313111,6753423253422313111k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ----------++======------+----++，12343475,1435534k k k k k k k -+∴==-=-∴=-+．此时，点31,22P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点11,.22D P ⎛⎫- ⎪⎝⎭点满足在劣弧 BC 上．设经过,,P D C 三点的圆的方程为()2222040x y mx ny t m n t ++++=+->，则4205320120m t m n t m n t ++=⎧⎪--+=⎨⎪-++=⎩，解得5617673m n t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．所以，经过,,P D C 三点的圆的方程为2251770663x y x y +-+-=．将点20,3E ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入圆的方程成立，所以点E 在经过,,P D C 三点的圆上.。
成都七中(高新校区)高二上期理科数学测试卷含答案.doc
成都七中（高新校区）高二上期数学测试卷（12. 4）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1. 直线诵x —y+a=O 的倾斜角为（）A. 30°B. 60°C. 150°D. 120° 【答案】B2. 圆x 2 + y 2 - 2x-8y +13 = 0的圆心到直线ax + -1 = 0的距离为1,则a-（ ）4 3 t~A • —B • —C • V 3D • 23 4【答案】A3. 椭圆^2+my 2= 1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则加的值为（ ）1 1 小A. — B ・一 C ・2 D ・44 2【答案】A4. 三个人踢毬子，互相传递，每人每次只能踢一下.由甲开始踢，经过3次传递后，毬子又 被踢回给甲.则不同的传递方式共有（）A.5种B.2种C.3种D.4种答案B5. 下列命题正确的个数是（ ）（1） 命题“若加＞0则方程x 2+x-m = 0有实根”的逆否命题为：“若方程 x 2+x-m = 0 无实根则（2） 对于命题p ： “mxw /?使得F+x + lv 0”，则“ V 兀 w/?,均有兀 2+x + ino” （3） “兀工1”是“兀2_3兀+ 2工0”的充分不必要条件 （4） 若p\q 为假命题，则均为假命题 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C6. 在某电视台举行的大型联欢会晚上，需抽调部分观众参加互动，已知全部观众有900人, 现需要采用系统抽样方法抽取30人，根据观众的座位号将观众编号为123,…，900号, 分组后在第一组，采用简单随机抽样的方法抽到的号码为3,抽到的30人中，编号落入区 间［1,360］的人与主持人A —组，编号落入区间［361,720］的人与支持人B —组，其余的 人与支持人C 一组，则抽到的人中，在C 组的人数为（ ） A. 12 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下: 8177 7A. 甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B. 甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的屮位数C. 甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值D. 甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定 【答案】D7 10 4下列四个结论中，不正确的是（• • • 7.某赛季甲、根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较,8.已知直线厶：兀一 2y-l = 0,直线 l 2:ax-by + ] = O,其中 a,处{1,2,3,4,5,6} •则直线厶与厶的交点位于第一象限的概率为()1111 A. — B. — C. — D.—6 4 3 2 【答案】A9. 过抛物线y 2 = 4x 的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为A , B'两点,以线段A'B'为直径的圆C 过点(-2,3),则圆C 的 方程为( )A.(兀_1)2 + ()一3尸二9B. (x + l)2+(y_l)2=5C.(兀+ ir+(y + l)2=17D ・ x 2+(y-2)2=5【答案】B10. 数字“2015〃中，各位数字相加和为8,称该数为“如意四位数〃，则用数字0, 1., 2, 3, 4, 5组成的无重复数字且大于2015的"如意四位数〃有( )个.右支上的点，APFf?的内切圆的圆心为I ，且圆I 与兀轴相切于点A ,过厲作直线PI 的垂线，垂足为B,若幺为双曲线的离心率，贝9( ) A. \OB\=e\OA\ B. \OA\=e\OB\ C. | OB |=| OA | D. \OA\^\OB\关系不确定 【答案】C12. 设直线/与抛物线相交于A, B 两点，与圆(x-5)2 + y 2 = r 2(r>0)相切于点 M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线/恰有4条，则厂的取值范围是( ) A. (1,3) B. (1,4) C. (2,3) D. (2,4)【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分. 13. 已知直线厶：(3+m)x+4y=5 — 3m, 2兀+(5+加)y=8平行，则实数加= ________ .【答案】_714. 某皐位从包括甲、乙在内的4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 _________________•【答案】f63x - y - 6 < 015. 设满足约束条件< % - y + 2 > 0 .若z = ax-\- by(a > 0,/? > 0)的最大值为12,则x>0,y>02 3的最小值是 __________a b25【答案】—6A. 24 【答案】BB. 23C. 21D. 129X 11-已知双曲线1*• = 1的左右焦点分别为耳、O 为双曲线的屮心，P 是双曲线16.已知直线)=心+鲁)与曲线尸仁恰有两个不同的交点，记k的所有可能取值构成集合A； P(x,y),是椭圆話+*=1上一动点，P\ (Xj, )与点P关于直线y=x+l对称,记罟的所有可能取值构成集合B,若随机的从集合A, B 屮分别抽出一个元素入，仏， 则入 > 仏的概率是 __________________ 【方法一】 【答案】44三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)已知ae /?,命题[1,2],>0,命题q : 3A : G /?, x 8 9 + lax + 2-。
四川省成都市第七中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题(含答案)
成都七中2023~2024学年度上期10月阶段性测试数学试题考试时间：120分钟总分：150分一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知点()0,3A ，点()1,23B -，则直线AB 的倾斜角为（）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒2．已知直线,a b 的方向向量分别为()()1,0,1,1,1,0a b =-=-，且直线,a b 均平行于平面α，平面α的单位法向量为（）A ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭B ．333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭C ．()1,1,1D ．333,,333⎛⎫⎪⎝⎭或333,,333⎛⎫--- ⎪⎝⎭3．有2位同学在游艺楼的底层进入电梯，电梯共6层。
假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这2个人在不同层离开电梯的概率是（）A ．15B ．45C ．56D ．164．如图，在斜棱柱1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点为点,,M AB a AD b == ，1AA c = ，则1MC =（）A ．1122a b c++ B ．1122a b c---C ．1122a b c-++D ．1122a b c--+5．成都七中高二年级15个班参加合唱比赛，得分从小到大排序依次为：85，85，86，87，88，89，90，91，91，91，92，93，94，96，98，则这组数据的80%分位数是（）A ．90B ．93.5C ．86D ．936．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A ．平均数为2，方差为2.4B ．中位数为3，方差为1.6C ．中位数为3，众数为2D ．平均数为3，中位数为27．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是（）A ．23535B ．66565C ．1315D ．358．已知正方体1111ABCD A B C D -，设其棱长为1（单位：m ）．平面α与正方体的每条棱所成的角均相等，记为θ．平面α与正方体表面相交形成的多边形记为M ，下列结论正确的是（）A ．M 可能为三角形，四边形或六边形B ．3cos 3θ=C ．M 235m 4D ．正方体1111ABCD A B C D -内可以放下直径为1.2m 的圆二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．下列命题中是真命题的为（）A ．若p 与,a b 共面，则存在实数,x y ，使p xa yb =+B ．若存在实数,x y ，使向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面C ．若点,,,P M A B 四点共面，则存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+D ．若存在实数,x y ，使MP xMA yMB =+，则点,,,P M A B 四点共面10.已知e为直线l 的方向向量，12,n n 分别为平面,αβ的法向量（,αβ不重合），并且直线l 均不在平面,αβ内，那么下列说法中正确的有（）A ．1e n l α⊥⇔∥B ．12n n αβ⊥⇔⊥C ．12n n αβ⇔∥∥D ．1e n l α⊥⇔⊥11．以下结论正确的是（）A ．“事件A ，B 互斥”是“事件A ，B 对立”的充分不必要条件．B ．假设()()0.7,0.8P A P B ==，且A 与B 相互独立，则()0.56P A B =C ．若()()0,0P A P B >>，则事件,A B 相互独立与事件,A B 互斥不能同时成立D ．6个相同的小球，分别标有1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球，设A =“第一次取出球的数字是1”，B =“两次取出的球的数字之和是7”，则A 与B 相互独立12．如图，已知矩形,4,2,ABCD AB AD E ==为AB 中点，F 为线段EB （端点除外）上某一点．沿直线DF 沿ADF △翻折成PDF △，则下列结论正确的是（）A ．翻折过程中，动点P 在圆弧上运动B ．翻折过程中，动点P 在平面BCDF 的射影的轨迹为一段圆弧C ．翻折过程中，二面角P DF B --的平面角记为α，直线PA 与平面BCDF 所成角记为β，则2αβ>．D ．当平面PDC ⊥平面BCDF 时，在平面PDC 内过点P 作,PK DC K ⊥为垂足，则DK 的取值范围为()1,2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．正方体各面所在平面将空间分成________部分．14．某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为__________．15．如图，两条异面直线,a b 所成的角为3π，在直线,a b 上分别取点,A E '和点,A F ，使AA a '⊥，且AA b '⊥（AA '称为异面直线,a b 的公垂线）．已知，1,2A E AF ='=，5EF =，则公垂线AA '=__________．16．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形围成（如图所示），若它所有棱的长都为2，则该该二十四等边体的外接球的表面积为__________．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．2023年8月8日，世界大学生运动会在成都成功举行闭幕式。
四川省成都市成都市第七中学2021-2022高二数学上学期期中试题 文(含解析)
四川省成都市成都市第七中学2021-2022高二数学上学期期中试题文（含解析）一、选择题（本大题共8小题）1.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利x ，忘记了n的值，但输出v 用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x时只记得1的值为56，则可推断出输入n的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 无法推断出【答案】C【解析】 【分析】由题意，模拟程序的运行过程，依次写出每次循环得到的i ，v 的值，当1i =-时，不满足条件0i ≥时跳出循环，输出v 的值，由此列方程求出n 的值． 【详解】解：初始值为n ，1x =，模拟程序运行过程如下；1v =，1i n =-满足条件0i ≥，111v n n =⨯+-=，2i n =- 满足条件0i ≥，1222v n n n =⨯+-=-，3i n =- 满足条件0i ≥，()221335v n n n =-⨯+-=-，4i n =-⋯满足条件0i ≥，()()()()111232112n n v n n n -=+-+-+-+⋯++=+，0i =满足条件0i ≥，()()11110122n n n n v ⎛⎫--=+⨯+=+⎪⎝⎭，1i =- 不满足条件0i ≥，退出循环，输出v 的值为()11562n n -+=，即()1110n n -=，解得11n =． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用问题，正确依次写出每次循环得到的i ，v 值是解题的关键，属于中档题．2.有4本不同的书，平均分给甲、乙2人，则不同的分法种数有（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲；②剩下的2本送给乙；由分步计数原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，将4本不同的书，平均分给甲、乙2人，每人得2本， 分2步进行分析：①在4本书中任选2本，分给甲，有246C =种情况，②剩下的2本送给乙，有1种情况，则有6种不同的分法； 故选：B ．【点睛】本题考查分步计数原理的应用，属于基础题．3.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[20,45]岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )A. 31.6岁B. 32.6岁C. 33.6岁D. 36.6岁【答案】C 【解析】 【分析】先根据频率分布直方图中频率之和为1计算出数据位于[)25,30的频率，再利用频率分布直方图中求中位数的原则求出中位数．【详解】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为1，所以，数据位于[)25,30的频率为()10.010.070.060.0250.2-+++⨯=， 前两个矩形的面积之和为0.0150.20.25⨯+=， 前三个矩形的面积之和为0.050.20.0750.6++⨯=， 所以，中位数位于区间[)30,35，设中位数为a ，则有()0.050.2300.070.5a ++-⨯=，解得33.6a ≈（岁），故选C ．【点睛】本题考查频率分布直方图的性质和频率分布直方图中中位数的计算，计算时要充分利用频率分布直方图中中位数的计算原理来计算，考查计算能力，属于中等题．4.大学生小赵计划利用假期进行一次短期职业体验，已知小赵想去某单位体验，单位领导告知每天上班的时间(单位：小时)和工资(单位：元)如下表所示：则小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为（ ） A. 5818377y x =+B.11.4 5.9y x =+ C. 804077y x =+D.8.624.1y x =+【答案】B 【解析】 【分析】由已知表格中的数据求得b 与a 的值，则线性回归方程可求． 【详解】解：()12358912 6.56x =+++++=，()130406090120140806y =+++++=．616222222222162303405608909120121406 6.58011.423589126 6.56i i i i i x y xy b x x ==-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===+++++-⨯-∑∑，8011.4 6.5 5.9a y b x =-=-⨯=．∴小赵这段时间每天工资y 与每天工作时间x 满足的线性回归方程为11.4 5.9y x =+．故选：B ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题． 5.对具有线性相关关系的两个变量x ，y ，测得一组数据如表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为10.5 1.5y x =+，则m n += （ ）A. 119B. 120C. 129D. 130【答案】B 【解析】 【分析】由已知表格中的数据求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解m n +的值． 【详解】解：()12456855x =++++=，()115020607055m ny m n ++=++++=， ∴样本点的中心的坐标为1505,5m n ++⎛⎫⎪⎝⎭，代入线性回归方程，得15010.55 1.55m n++=⨯+，解得120m n +=．故选：B ．【点睛】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题． 6.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为0m ，平均值为x ，则（ ）A. e m =0m =xB. e m =0m <xC. e m <0m <xD. 0m <e m <x【答案】D 【解析】试题分析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数（分别为5,6）的平均数，即e m ＝5.5,5出现的次数最多，故0m ＝5，23341056637282921030x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈5.97于是得0m <e m <x . 考点：统计初步.7.在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的四位数中，大于3145且小于4231的数共有（）A. 27个B. 28个C. 29个D. 30个【答案】B【解析】【分析】根据题意，按四位数的千位数字不同,分2种情况讨论：求出每种情况下四位数的个数，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况，①四位数的千位数字为3，其百位数字1时，有3152,3154符合条件，其百位数字可以为2、4、5时，有3种情况，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有236A=种情况，此时,有23620+⨯=个符合条件的四位数；②四位数的千位数字为4，其百位数字为1时，在剩下的3个数字中任选2个，安排在十位、个位，有236A=种情况，其百位数字为2时，只有4213、4215符合条件，此时有628+=个符合条件的四位数；则有20828+=个符合条件的四位数；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．8.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A. 192B. 336C. 600D. 以上答案均不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合计数原理，先排E ，F ，G ，然后根据A ，B ，C ，D 的情况讨论． 【详解】解：E ，F ，G 分别有4，3，2种方法，①当A 与F 相同时，A 有1种方法，此时B 有2种，()1C 若与F 相同有C 有1种方法，同时D 有3种方法， ()2若C 与F 不同，则此时D 有2种方法，故此时共有：()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；②当A 与G 相同时，A 有1种方法，此时B 有3种方法，()1若C 与F 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法，()2若C 与F 不同，则D 有1种方法，故此时共有：()432131211216⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种方法；③当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种方法，()1若B 与F 相同，则C 必须与A 相同，同时D 有2种方法； ()2若B 不同于F ，则B 有1种方法，(Ⅰ)若C 与F 相同则C 有1种方法同时D 有2种方法；(Ⅱ)若C 与F 不同则必与A 相同，C 有1种方法，同时D 有2种方法；故此时共有：()432111*********⎡⎤⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=⎣⎦种方法； 综上共有240216144600++=种方法． 故选：C ．【点睛】本题考查了计数原理，考查了分类讨论思想的应用，分类时要做到不重不漏．本题属于难题．二、填空题（本大题共4小题）9.如果执行如图所示的程序框图，输入正整数7n =，3m =，那么输出的p 等于______.【答案】210 【解析】 【分析】讨论k 从1开始取，分别求出p 的值，直到不满足3k <，退出循环，从而求出p 的值. 【详解】解：模拟程序的运行，可得7n =，3m =，1k =，1p =5p =，满足条件3k <，执行循环体，2k =，30p = 满足条件3k <，执行循环体，3k =，210p = 不满足条件3k <，退出循环，输出p 的值为210．故答案为：210．【点睛】本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，解题的关键是弄清循环次数，属于基础题．10.某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数是______．【答案】46 【解析】 【分析】由茎叶图和中位数的性质能求出该样本的中位数． 【详解】解：由茎叶图得： 该样本的中位数是：4547462+=． 故答案为：46．【点睛】本题考查中位数的求法，考查茎叶图和中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.把半椭圆()221043x y x +=≥与圆弧22(1)4(0)x y x -+=<合成的曲线称作“曲圆”，其中F 为半椭圆的右焦点，A 是圆弧22(1)4(0)x y x -+=<与x 轴的交点，过点F 的直线交“曲圆”于P ，Q 两点，则APQ 的周长取值范围为______ 【答案】(]6,8 【解析】 【分析】首先判断直线PQ 的斜率不能为0，设直线PQ 的倾斜角为θ，()0,θπ∈，求得F ，A 的坐标，以及圆的圆心和半径，求得直线PQ 经过圆与y 轴的交点B ，C 的倾斜角，分别讨论①当πθ0,3时，②当2(3πθ∈，)π时，③当2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，P ，Q 的位置，结合椭圆的定义和圆的定义和等腰三角形的性质，可得APQ 的周长的范围．【详解】解：显然直线PQ 的斜率不能为0，设直线PQ 的倾斜角为θ，()0,θπ∈，由半椭圆方程为()221043x y x +=≥可得()1,0F ，圆弧方程为：22(1)4(0)x y x -+=<的圆心为()1,0，半径为2，且()1,0A -恰为椭圆的左焦点，24PA PF a +==， 与y 轴的两个交点为(0,3B -，(3C ， 当直线PQ 经过B 时，3PQ k tan θ=3πθ=；当直线PQ 经过C 时，3PQ k tan θ==-23πθ=． ①当πθ0,3时，Q 、P 分别在圆弧：22(1)4(0)x y x -+=<、 半椭圆()221043x y x +=≥上，AFQ △为腰为2的等腰三角形，则2sin 422AQ QF sinθθ==，APQ 的周长()424646,822L QA QF PF AP sinsin θθ=+++=++=+∈；②当2,3πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，P 、Q 分别在圆弧：22(1)4(0)x y x -+=<、 半椭圆()221043x y x +=≥上，APF 为腰为2的等腰三角形，且2sin 90422AP FP cos θθ⎛⎫=︒-= ⎪⎝⎭，APQ 的周长()42646,82L QA QF PF AP AP cosθ=+++=++=+∈；③当2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，P 、Q 在半椭圆()221043x y x +=≥上， APQ 的周长428L QA QF PF AP =+++=⨯=．综上可得，APQ 的周长取值范围为(]6,8． 故答案为：(]6,8．【点睛】本题是圆与椭圆的综合问题，考查椭圆和圆的定义和性质，以及直线的倾斜角的范围，考查分类讨论思想和数形结合思想，化简运算能力，属于中档题．12.4名大学生毕业到3个用人单位应聘，若每个单位至少录用其中一人，则不同的录用情况的种数是______ 【答案】60 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，4名大学生中录用3人，②，4名大学生全部录用，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：①4名大学生中录用3人，有3443224A =⨯⨯=种录取情况； ②4名大学生全部录用，有23436636C A =⨯=种录取情况， 则有243660+=种录用种数； 故答案为：60．【点睛】本题考查分步计数原理应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 三、解答题（本大题共3小题）13.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：组频数 6 26 38 22 8（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【答案】（1）见解析；（2）平均数100，方差为104；（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.【解析】【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.质量指标值的样本方差为22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104s=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.14.为了分析某个高三学生的学习状态．现对他前5次考试的数学成绩x，物理成绩y进行分析．下面是该生前5次考试的成绩．数学120 118 116 122 124物理79 79 77 82 83附()121(),()ni iiniix x y yb a y b xx x==--==--∑∑．22121()1()ni iiniiy yRy y==-=--∑∑．()1已知该生物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，求物理成绩y与数学成绩x的回归直线方程；()2我们常用2R 来刻画回归的效果，其中2R 越接近于1，表示回归效果越好．求2R ．()3已知第6次考试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次考试他的物理成绩大约是多少？ 【答案】（1）3104y x =-；（2）0.9375；（3）89分.【解析】 【分析】()1计算x 、y ，求出回归系数b 、a ，写出回归方程； ()2利用回归方程计算y 对应的y 值，求出相关系数2R 的值；()3利用回归方程计算132x =时y 的值即可．【详解】解：()1计算()11201181161221241205x =⨯++++=， ()17979778283805y =⨯++++=；()()()()()()5152222221()01214322433(1)(1)(3)234()i i i i i x x y y b x x ==--⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯===-+-+-++-∑∑； 380120104a yb x =-=-⨯=-，所以y 关于x 的线性回归方程是3104y x =-；()2由题意，填表得y计算相关系数2222212222221()(1)0.500.501151110.9375(1)(1)(3)231616()ni i i n i i y y Ry y ==--++++=-=-=-==-+-+-++-∑∑；所以2R 接近于1，表示回归效果越好；()3第6次考试该生的数学成绩达到132，计算3310132108944y x =-=⨯-=，预测他的物理成绩为89分．【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也看出来相关系数的应用问题，是中档题．15.如图，椭圆221132x y C +=：，抛物线222(0)C y px p =>：，过2C 上一点(P 异于原点)O 作2C 的切线l 交1C 于A ，B 两点，切线l 交x 轴于点Q ．()1若点P 的横坐标为1，且1112AQ BQ -=，求p 的值． ()2求OAB 的面积的最大值，并求证当OAB 面积取最大值时，对任意的0p >，直线l 均与一个定椭圆相切． 【答案】（1）6；（2）62. 【解析】 【分析】()1不妨设(2.P p 计算出AQ ，BQ 的长度代入条件计算出p 值；()2设()00,P x y 则()0,0.Q x -令0y t p=，则l ：0.x ty x =-表示出OAB 的面积，求出其最大值，验证直线l 与椭圆221.322x y +=相切；【详解】解：()1点(1,P，由对称性不妨设(P ．于是l px p =+，于是()1,0.Q -所以点Q 是1C 的左焦点． 设.AQO α∠=焦准距为2m =．类比抛物线的焦半径算法可得,11m m AQ BQ cos cos eeαα==-+． 于是11212cos cos AQ BQ m αα-====6p =． ()2设()00,.P x y 于是l ：00y y px px =+．于是()0,0.Q x -令0y t p=，则l ：0x ty x =-． 联立()22222000123426032x y t y x ty x x ty x⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩． 设()11,A x y ，()()22220,.2423B x y t x =-+．()22200122311622OABx t x SOQ y y x +-+=-==≤=．当且仅当220232t x +=取等，且满足0.>所以OAB ．注意到220232t x +=即为2202320.t x +-=这个等式类似于()22012223t x =-+；于是猜想椭圆221.322x y +=联立2201322x y x ty x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得：()22200234230t y tx y x +-+-=；()()()222222000164223122230t x t x t x =-+-=-+=；故当OAB面积取最大值时，直线l均与一个定椭圆221322x y+=相切．【点睛】本题考查圆锥曲线的切线，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积的最值，均值不等式求最值，属于难题．。
2021-2022学年四川省成都七中高二(上)期中数学试卷(理科)(附答案详解)
2021-2022学年四川省成都七中高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知：直线l1：ax+y+3=0，l2：x−y+l=0，若l1//l2，则a的值为()A. 1B. −1C. −13D. 132.双曲线x22−y2=1的渐近线方程为()A. y=±√22x B. y=±√2x C. y=±x D. y=±2x 3.若直线l的方程为2x+y+3=0，则直线l的纵截距为()A. 32B. −32C. 3D. −34.若方程x2+y2−ax+2y−54a=0表示圆，则a的取值范围为()A. (1,4)B. (−4,−1)C. (−∞,−4)∪(−1,+∞)D. (−∞,1)∪(4,+∞)5.焦点为(−2,0)，(2,0)，离心率为√22的椭圆的标准方程为()A. x26+y22=1 B. x28+y24=1 C. x26+y24=1 D. x28+y22=16.已知抛物线x2=4y的焦点为F，若抛物线上一点P到y轴的距离为2，则|PF|的值为()A. 1B. 2C. 3D. 47.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2−2x−3=0相切，则p的值为()A. 12B. 1C. 2D. 48.已知椭圆C：y2a +x2b=1(a>b>0)的半焦距为c，原点O到经过两点(0,c)，(b,0)的直线的距离为12c，则椭圆C的离心率为()A. 12B. 14C. 34D. √329.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C：y2=2x有且只有一个公共点，则这样的直线l共有()A. 一条B. 两条C. 三条D. 四条10. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F(c,0)，满足b >√3c ，若点P 为椭圆上一点，记|PF|的最大值为m ，记|PF|最小值为n ，则mn 的取值范围为( )A. (1,3)B. (1,2)C. (2,+∞)D. (3,+∞)11. 如图，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，AB 是圆M ：(x +2)2+(y −1)2=52的一条直径，若双曲线C 过A ，B 两点，且离心率为2，则直线AB 的方程为( )A. 6x +y +11=0B. 4x +y +7=0C. 3x +y +5=0D. 2x +y +3=012. 已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2−y 2b 2=1(b >0)的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，I 为△F 1PF 2的内心，点G 满足：GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，若GI ⃗⃗⃗⃗ =λF 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)且cos∠F 1PF 2=35，记△PF 1F 2的外接圆半径为R ，则R 的值为( )A. 52B. 2C. 3D. 1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如果直线y =x +a 与圆x 2+y 2=1有公共点，则实数a 的取值范围是______． 14. 平面上一动点P(x,y)满足√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4，则P 的轨迹方程为______．15. 已知焦点在x 轴的双曲线的渐近线为y =±2x ，半焦距为5，则双曲线的标准方程为______．16. 动圆P 与圆M ：(x −2)2+y 2=25和圆N ：(x +2)2+y 2=1同时相切，则动圆P 的圆心的轨迹方程为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知直线l 1：x +y +3=0，直线l 2：x −y +1=0，记两条直线的交点为P ．(Ⅰ)求两条直线交点P 的坐标；(Ⅱ)若过点P 的直线l 被圆x 2+y 2=9截得的弦长为2√5，求直线l 的方程．18.已知圆M经过三点A(2,1)，B(4,3)，C(−2,3)．(Ⅰ)求圆M的一般方程；(Ⅱ)已知圆P：x2+y2−6x−4y+9=0，判断圆P和圆M的位置关系，并说明理由．19.如图，双曲线C：x2−y2=1的焦点为F1、F2，过左焦3点F1倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点．(Ⅰ)求弦长|AB|的值；(Ⅱ)求△ABF2的周长．20.已知椭圆的长轴为2√2，短轴为2，焦点在x轴上．(Ⅰ)求椭圆的标准方程；(Ⅱ)过点P(2,0)斜率不为零的直线l与椭圆相交于A，B两不同点．(ⅰ)若k=1，求弦长|AB|的值；2(ⅱ)记O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．21.如图抛物线C：x2=2py经过定点A(2,1)，过x轴上一点B(2,0)的直线l与抛物线C交于两不同点D，E，直线AD交x轴于点M，直线AE交x轴于点N．(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围；=−3，求直线l的方程．(Ⅱ)记点M，N的横坐标分别为x M，x N，若x Mx N22.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线x22−y2=1的焦距相同，且椭圆Γ经过点P(√3,12).(Ⅰ)求椭圆Γ的标准方程；(Ⅱ)如图1，椭圆Γ的长轴两个端点为A1，A2，垂直于x轴的直线x=m与椭圆Γ相交于C，D两点(D在C的上方)，记k A1D =k1，k A2C=k2，求证：k1⋅k2为定值，并求9k1+k2的最小值；(Ⅲ)如图2，已知过G(23,0)的动直线与椭圆Γ相交于M，N两点，求证：直线A1M，A2N 的交点在一条定直线上运动．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵l1//l2，∴−a−1=0，解得a=−1．经过验证两条直线平行，∴a=−1．故选：B．由l1//l2，可得−a−1=0，解得a并且经过验证即可得出．本题考查了直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由题双曲线x22−y2=1.可知a=√2，b=1，渐近线方程为y=±ba x=±√22x，故选：A．直接利用双曲线的标准方程求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：直线l的方程为2x+y+3=0，化为：y=−2x−3，则直线l的纵截距为−3．故选：D．化为斜截式即可得出．本题考查了直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：方程x2+y2−ax+2y−54a=0表示圆，则须满足D2+E2−4F>0，即(−a)2+4−4×(−54a)>0，解得a<−4或a>−1，故选：C．由题意方程x2+y2−ax+2y−54a=0表示圆，只须满足D2+E2−4F>0，再求a的范围即可．本题考查圆的一般方程，属于容易题．5.【答案】B【解析】解：焦点为(−2,0)，(2,0)，离心率为√22，可得c=2，a=2√2，所以b=√a2−c2=2，所以椭圆方程为：x28+y24=1．故选：B．利用椭圆的焦点坐标结合离心率，求解a，b，得到椭圆方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基础题．6.【答案】B【解析】解：抛物线上一点P到y轴的距离为2，所以点P的横坐标为±2，又抛物线的方程为x2=4y，则点P的纵坐标为1，抛物线的准线方程为y=−1，由抛物线的定义可知，|PF|=1+1=2．故选：B．先求出点P的纵坐标，然后利用抛物线的定义求解即可．本题考查了抛物线标准方程的理解与应用，抛物线定义的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：圆x 2+y 2−2x −3=0化成标准方程，得(x −1)2+y 2=4， ∴圆心为C(1,0)，半径r =2， 又∵抛物线y 2=2px(p >0)， ∴抛物线的准线为x =−p2， ∵抛物线的准线与圆相切，∴圆心到准线的距离等于半径，得|1−(−p2)|=2，解得p =2或p =−6(舍负)． 故选：C ．将圆化成标准方程，得到圆心为C(1,0)，半径r =2.再由抛物线方程求得抛物线的准线为x =−p2，根据准线与圆相切建立关于p 的等式，求解可得p 的值． 本题考查抛物线的几何性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．8.【答案】D【解析】解：因为经过两点(0,c)，(b,0)的直线的方程为cx +by −bc =0， 又原点到直线cx +by −bc =0的距离为12c ，所以√c 2+b 2=12c ，整理得c 2=3b 2，所以a 2=b 2+c 2=4b 2， 所以e 2=c 2a 2=3b 24b 2=34.又0<e <1，所以e =√32，故选：D ．先求得经过两点(0,c)，(b,0)的直线的方程，再运用点到直线的距离公式整理求得c 2=3b 2，由椭圆的离心率公式计算可得选项． 本题主要考查椭圆离心率的求解，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：①设直线l 的斜率存在且等于k ，则当k =0时，直线l 的方程为y =2，满足直线与抛物线y 2=2x 仅有一个公共点； 当k ≠0时，直线l 是抛物线的切线，设直线l 的方程为y =kx +2， 代入抛物线的方程可得：k 2x 2+(4k −2)x +4=0，由△=(4k −2)2−4k 2⋅4=0得k =14，故切线方程为y =14x +2．②当斜率不存在时，直线方程为x =0，经过检验可得此时直线也与抛物线y 2=2x 相切．故选：C ．设直线l 的斜率等于k ，则当k =0时，直线l 与其对称轴平行，所以此时直线与抛物线只有一个公共点；再讨论直线与抛物线相切的情况，注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论．本题考查直线与圆锥曲线的关系，解决本题的关键是熟练掌握只有一个公共点的概念，即直线与抛物线相切或者直线与抛物线的对称轴平行，易错点在于忽视与对称轴平行的情况，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：因为b >√3c ，所以√a 2−c 2>√3c ，即a 2>4c 2，所以0<e =ca <12， 由已知得|PF|的最大值为m =a +c ，|PF|最小值为n =a −c ， 则mn =a+ca−c =1+e1−e =−1+21−e ，又由0<e <12得12<1−e <1，所以1<11−e <2，所以2<21−e <4，所以1<−1+21−e <3，所以mn 的取值范围为(1,3)， 故选：A ．由已知得a 2>4c 2，即可求得0<e <12，继而由m =a +c ，n =a −c ，表示mn =−1+21−e ，由此可求得mn 的取值范围得选项．本题主要考查椭圆的定义及其应用，椭圆中的范围问题等知识，属于中等题．11.【答案】A【解析】解：由题意可知，双曲线的离心率为2， 则e =ca =2，令a =m ，c =2m ， 则b 2=c 2−a 2=3m 2， 所以双曲线的方程为x 2m 2−y 23m 2=1，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 因为点A ，B 在双曲线上，则3x 12−y 12=3m 2①，3x 22−y 22=3m 2②，①−②可得，3(x 1+x 2)(x 1−x 2)=(y 1+y 2)(y 1−y 2)③， 因为AB 为圆M 的直径， 则M(−2,1)为AB 的中点， 所以x 1+x 22=−2,y 1+y 22=1代入③可得，y 1−y 2x1−x 2=3×(−4)÷2=−6，所以直线AB 的斜率为−6， 又直线经过点M(−2,1)，所以直线AB 的方程为y −1=−6(x +2)，即6x +y +11=0． 故选：A ．由离心率将双曲线方程化为x 2m 2−y 23m 2=1，然后利用“点差法”求解直线AB 的斜率，由点斜式求解直线AB 的方程即可．本题考查了双曲线标准方程的应用，双曲线离心率定义的应用，圆的标准方程的运用，圆与双曲线位置关系以及直线与双曲线位置关系的应用，“点差法”的理解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P(x 0,y 0)， 由题意得，a =1，sin∠F 1PF 2=45， ∵点G 满足：GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，∴点G 为△PF 1F 2的重心，则G(x 03,y3)，又∵GI ⃗⃗⃗⃗ =λF 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)， ∴GI ⃗⃗⃗⃗ //x 轴，则I 的坐标轴为y 03 ∴S △PF 1F 2=12|F 1F 2|⋅|y 0|=c ⋅|y 0|， 设|PF 1|=m ，则|PF 2|=m +2a =m +2， ∴S △PF 1F 2=12(|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|)⋅|y 0|3=12(2m +2+2c)⋅|y 0|3，∴c ⋅|y 0|=12(2m +2+2c)⋅|y 0|3，∴2c =m +1，由余弦定理得cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=m 2+(m+2)2−4c 22m⋅(m+2)=35，∴m 2+(m+2)2−(m+1)22m(m+2)=35，整理得m 2+2m −15=0， 解得m =3或−5(舍去)， ∴c =m+12=2，由正弦定理知2R =2csin∠F 1PF 2=445=5，∴R =52， 故选：A ．设F 1(−c,0)，F 2(c,0)，P(x 0,y 0)，根据点G 满足：GP ⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，可得G(x 03,y03)，再由GI ⃗⃗⃗⃗ =λF 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 得I 的坐标轴为y 03，设|PF 1|=m ，则|PF 2|=m +2a =m +2，利用△PF 1F 2的面积得到2c =m +1，结合椭圆定义，由余弦定理可求出m 的值，进而得到c 的值，再利用正弦定理即可求出△PF 1F 2的外接圆半径．本题主要考查了双曲线的定义，考查了三角形重心和内心的性质，以及余弦定理和正弦定理的应用，是中档题．13.【答案】−√2≤a ≤√2【解析】解：由题意可知圆的圆心坐标为(0,0)，半径为1，因为直线y =x +a 与圆x 2+y 2=1有公共点，所以√12+(−1)2≤1， 解得−√2≤a ≤ √2． 故答案为：−√2≤a ≤√2．由题意利用点到直线的距离小于半径，求出a 的范围即可．本题是中档题，考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，转化思想的应用．14.【答案】x 24+y 23=1【解析】解：动点P(x,y)的坐标满足√(x +1)2+y 2+√(x −1)2+y 2=4， ∴动点P(x,y)到A(−1,0)和B(1,0)的距离之和等于4>|AB|=2， ∴动点P 的轨迹是以点A ，B 为焦点的椭圆，设其方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题得c =1，2a =4，∴a =2，b 2=4−1=3．∴动点P的轨迹方程是x24+y23=1．故答案为：x24+y23=1．分析得到动点P的轨迹是以点A，B为焦点的椭圆，再利用待定系数法分析求解．本题主要考查椭圆的定义，轨迹方程的求解，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．15.【答案】x25−y220=1【解析】解：设焦点在x轴的双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，由渐近线为y=±2x，半焦距为5，可得ba=2，a2+b2=c2=25，解得a=√5，b=2√5，所以双曲线的方程为x25−y220=1．故答案为：x25−y220=1．设焦点在x轴的双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，由渐近线方程和a，b，c的关系，可得a，b的方程组，解方程可得所求．本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】x29+y24=1【解析】解：圆M圆心为M(2,0)，半径为5，圆N的圆心为N(−2,0)，半径为1，圆M：(x−2)2+y2=25和圆N：(x+2)2+y2=1内切，∵P与圆M：(x−2)2+y2=25和圆N：(x+2)2+y2=1同时相切，∴|PN|−1=5−|PM|，|PM|+|PN|=6∴P的轨迹为到定点M，N距离和为常数6的点的集合，即M的轨迹是椭圆：a=3，c=2，则b=√5，P的轨方程为：x29+y24=1．故答案为：x29+y24=1．利用动圆P同时与圆M及圆N相切，判断两个圆的位置关系，可得的轨迹为到定点M，N 距离和为常数6的点的集合，从而可得方程．本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)联立{x +y +3=0x −y +1=0，可知：x =−2且y =−1，∴点P 的坐标为P(−2,−1)；(2)设过点P(−2,−1)的直线l 的方程为：y +1=k(x +2)，整理可得：kx −y +2k −1=0，由直线l 被圆x 2+y 2=9截得的弦长为2√5，可得圆心到直线l 的距离为2，由点到直线的距离公式可得：d =2=2，解得k =−34， ∴所求直线方程为3x +4y +10=0；当直线l 的斜率不存在时，即x =−2时，满足条件； 综上：所求直线l 的方程为x =−2或3x +4y +10=0．【解析】(1)先联立直线x +y +3=0与x −y +1=0的方程，求交点坐标； (2)利用圆中的弦长公式先求出圆心O 到直线l 的距离，再利用点到线的距离公式可求直线l 的方程．本题考查求直线的交点坐标与直线与圆的位置关系，属基础题．18.【答案】解：(I)设圆的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，将A(2,1)，B(4,3)，C(−2,3)代入方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0， 可得{2D +E +F =−54D +3E +F =−25,−2D +3E +F =−13解得D =−2，E =−8，F =7，故所求的圆的方程为：x 2+y 2−2x −8y +7=0． (II)∵圆P ：x 2+y 2−6x −4y +9=0， 将其化为标准方程为(x −3)2+(y −2)2=4， 记圆P 的圆心为 O 1，半径为r 1． 可知该圆的圆心O 1(3,2)，半径r 1=2． 同理将圆M ：x 2+y 2−2x −8y +7=0， 将其化为标准方程为(x −1)2+(y −4)2=10， 记圆M 的園心为O 2，半径为r 2， 可知该圆的圆心O 2(1,4)，半径r 2=√10．∵√10−2<|O 1O 2|=2√2<√10+2， ∴圆M 与圆P 两圆相交．【解析】(1)由题意利用待定系数法求圆的一般方程即可， (2)由两圆的半径的大小与圆心距判断即可．本题考查圆的一般方程及圆与圆的位置关系，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)双曲线C ：x 2−y 23=1的焦点为F 1(−2,0)，过左焦点F 1倾斜角为30°的直线l 的方程为y =√33(x +2)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，x 1<x 2，联立方程组{y =√33(x +2)3x 2−y 2=3，可得8x 2−4x −13=0， 所以{△>0x 1+x 2=12x 1x 2=−138，所以|x 2−x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√(12)2−4×(−138)=√274=3√32， 故|AB|=2|x 2−x 1|=√1+13×3√32=3；(Ⅱ)记△ABF 2的周长为C △ABF 2， 则C △ABF 2=|AB|+|AF 2|+|BF 2|，因为|BF 2|=√(x 2−2)2+y 22， 又y 22=3x 22−3，所以|BF 2|=√4x 22−4x 2+1=|2x 2−1|，因为点B 在双曲线的右支，则|BF 2|=2x 2−1，同理可得，点A 在左支上，所以|AF 2|=|2x 1−1|=−(2x 1−1)， 故|BF 2|+|AF 2|=2(x 2−x 1)=2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2×3√32=3√3，所以C △ABF 2=|AB|+|AF 2|+|BF 2|=3√3+3， 故△ABF 2的周长为3√3+3．【解析】(Ⅰ)求出双曲线的焦点，求出直线方程，与双曲线方程联立，得到韦达定理，由弦长公式求解即可；(Ⅱ)利用两点间距离公式以及点在双曲线上，分别求出|BF 2|，|AF 2|，结合韦达定理求解即可．本题考查了双曲线标准方程的应用、直线与双曲线位置关系的应用，弦长公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)由题意，2a =2√2，2b =2，则a =√2，b =1．∴椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；(Ⅱ)(ⅰ)由题意可得k 存在且k ≠0，设直线l ：y =k(x −2)， 联立{y =k(x −2)x 2+2y 2=2，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2=0． 由Δ=64k 4−4(1+2k 2)(8k 2−2)>0，解得−√22<k <√22．x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，则|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√(8k 21+2k 2)2−4(8k 2−2)1+2k 2=2√2⋅√1+k 2⋅√1−2k 21+2k 2．当k =12时，|AB|=2√53；(ⅱ)由(ⅰ)知，|AB|=2√2⋅√1+k 2⋅√1−2k 21+2k2， 坐标原点O 到直线l 的距离d =2，则S △AOB =12|AB|⋅d =2√2⋅√1+k 2⋅√1−2k 21+2k 2√1+k2=2√2⋅|k|√1−2k 21+2k 2．令1k =m ，可得|m|>√2，则S △AOB =2√2⋅√m 2−2m 2+2， 令√m 2−2=t(t >0)，则S △AOB =2√2⋅t t 2+4=2√2⋅1t+4t≤√22． 当且仅当t =2，即m =±√6，k =±√66时上式等号成立．∴△AOB 面积的最大值为√22．【解析】(Ⅰ)由题意求得a 与b 的值，则椭圆方程可求；(Ⅱ)(ⅰ)由题意可得k 存在且k ≠0，设直线l ：y =k(x −2)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式即可求得|AB|； (ⅱ)由(ⅰ)知，|AB|，再求出原点O 到直线l 的距离，代入三角形面积公式，利用换元法与基本不等式求△AOB 面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)代点A(2,1)入抛物线方程，易知抛物线的方程为x 2=4y ，不妨设直线l ：y =k(x −2)，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，x 1<x 2， 联立{y =k(x −2)x 2=4y ，可得x 2−4kx +8k =0， 所以{△>0x 1+x 2=4k x 1x 2=8k ，由△>0可知k >2或k <0，因为直线l 不过点(−2,1)，故k ≠−14，综上，k 的取值范围为(2,+∞)∪(−∞,−14)∪(−14,0)．(Ⅱ)因为k AD =y 1−1x 1−2=x 1+24，所以y −y 1=x 1+24(x −x 1)，令y =0，可知x M =−4y 1x 1+2+x 1=2x 1x 1+2，同理x N =2x 2x2+2，所以xMx N=2x 1x1+2⋅x 2+22x 2=x 1x 2+2x1x 1x 2+2x 2=−3，所以2x 1x 2+x 1+3x 2=0，又xMx N=−3，可知x 1<0，x 2>0， 所以k <0，所以x 1−x 2=−√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=−4√k 2−2k ， 所以x 1+x 2=4k ，故x 2=2k +2√k 2−2k ， 可知12k +2√k 2−2k =0，即−6k =√k 2−2k ， 所以35k 2=−2k ，解得k 1=0(舍)或k 2=−235，满足△>0且k <0， 所以直线l 的方程为y =−235(x −2)．【解析】(Ⅰ)由题意知抛物线的方程为x 2=4y ，不妨设直线l ：y =k(x −2)，设D(x 1,y 1)，E(x 2,y 2)，x 1<x 2，联立直线与抛物线的方程，得关于x 的一元二次方程，由韦达定理可得{△>0x 1+x 2=4k x 1x 2=8k，即可得出答案． (Ⅱ)写出直线AD 的方程y −y 1=x 1+24(x −x 1)，令y =0，可知x M ，同理x N ，则xMx N=2x 1x1+2⋅x 2+22x 2=x 1x 2+2x1x 1x 2+2x 2=−3，即可解得k ，进而可得答案．本题考查直线与抛物线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】(Ⅰ)解：因为椭圆和双曲线的焦距相同，则c 2=a 2−b 2=3①，将点P(√3,12)代入椭圆的方程，可得3a +14b =1②，由①②可得，a 2=4，b 2=1， 所以椭圆的方程为x 24+y 2=1；(Ⅱ)解：不妨设D(x 1,y 1)，则C(x 1,−y 1)，则k 1=y 1x 1+2,k 2=−y1x 1−2，由题意可知，k 1>0，k 2>0， 所以k 1k 2=−y 12x 12−4=14(x 12−4)x 12−4=14， 则9k 1+k 2≥2√9k 1k 2=3，当且仅当9k 1=k 2，即k 1=16,k 2=32时取等号， 所以k 1⋅k 2为定值14，9k 1+k 2的最小值为3；(Ⅲ)证明：不妨设直线MN 的方程为x −23=my ，M(x 2,y 2)，N(x 3,y 3)， 联立方程组{x −23=myx 2+4y 2=4， 可得9(m 2+4)y 2+12my −32=0， 所以{△>0y 2+y 3=−12m 9(m 2+4)y 2y 3=−329(m 2+4)，因为k A 1M =y2x 2+2，则直线A1M的方程为y=y2x2+2(x+2)，同理可得，直线A2N的方程为y=y3x3−2(x−2)，因为k A2N k A1N=−14，则y3x3−2=−14⋅x3+2y3，所以x+2x−2=−14(x3+2)(x2+2)y3y2，因为(x3+2)(x2+2)y2y3=(my3+83)(my2+83)y2y3=−8，所以x+2x−2=−14×(−8)=2，解得x=6，故直线A1M，A2N的交点在一条定直线x=6上运动．【解析】(Ⅰ)利用焦点坐标以及点在椭圆上，列出关于a，b的方程组，求解即可；(Ⅱ)利用两点间斜率公式表示出k1，k2，计算k1⋅k2即可，然后利用基本不等式求解最值，即可得到答案；(Ⅲ)设直线MN的方程，与椭圆方程联立，得到韦达定理，求出直线A1M，A2N的方程，再利用k A2N k A1N=−14，表示出x+2x−2，结合韦达定理进行化简，即可证明．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。
四川省成都市第七中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析
四川省成都市第七中学2021年高二数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象是（）的.A．关于直线对称Ｂ．关于x轴对称Ｃ．关于y轴对称Ｄ．关于原点对称参考答案：C略2. 函数f（x）=+lg的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4] C．（2，3）∪（3，4] D．（﹣1，3）∪（3，6]参考答案：C【考点】33：函数的定义域及其求法．【分析】根据函数成立的条件进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则，即，＞0等价为①即，即x＞3，②，即，此时2＜x＜3，即2＜x＜3或x＞3，∵﹣4≤x≤4，∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，故选：C3. 设椭圆()的离心率，右焦点，方程的两个根分别为，，则点在( )A．圆内B．圆上C．圆外D．以上都有可能参考答案：A略4. 已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于y轴对称，则（）A. 函数f(x)的周期为2πB. 函数f(x)图象关于点对称C. 函数f(x)图象关于直线对称D. 函数f(x)在上单调参考答案：D【分析】根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得；再平移后，根据关于y轴对称可求得的值，进而求得解析式。
根据解析式判断各选项是否正确。
【详解】因为函数图象相邻两条对称轴之间距离为所以周期，则所以函数函数的图象向左平移单位，得到的解析式为因为图象关于y轴对称，所以，即，k∈ Z因为所以即所以周期，所以A错误对称中心满足，解得，所以B错误对称轴满足，解得，所以C错误单调增区间满足，解得，而在内，所以D正确所以选D【点睛】本题考查了三角函数的综合应用，周期、平移变化及单调区间的求法，属于基础题。
5. 已知数列{a n}的通项公式，设其前n项和为S n，则使S n<－5成立的正整数n ( )A．有最小值63 B．有最大值63C．有最小值31 D．有最大值31参考答案：A6. 完成一项装修工程，请木工需要付工资每人50元，请瓦工需要付工资每人40元，现有工人工资2000元，设木工x人，瓦工y人，则所请工人的约束条件是（）Ａ．5x+4y<200 Ｂ．5x+4y≥200Ｃ5x+4y＝200 Ｄ．5x+4y≤200参考答案：D7. 在有限数列{a n}中，S n是{a n}的前n项和，若把称为数列{a n}的“优化和”，现有一个共2006项的数列{a n}：a1，a2，a3，…，a2006-，若其“优化和”为2007，则有2007项的数列1，a1，a2，a3，…，a2006-的“优化和”为（）A．2005 B．2006 C．2007 D．2008参考答案：C8. 程序框图如下：如果上述程序运行的结果S的值比2018小，若使输出的S最大，那么判断框中应填入( )A. B. C. D.参考答案：C9. 设是公比为正数的等比数列，若，则数列的前5项和为A．15 B．31 C．32 D．41参考答案：B10. 已知命题p：?x∈R，sinx≤1．则￢p是（）A．?x∈R，sinx≥1B．?x∈R，sinx＞1 C．?x∈R，sinx≥1D．?x∈R，sinx＞1参考答案：B【考点】特称命题；命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得命题的否定为?x∈R，使得sinx＞1．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题可得，命题p：?x∈R，sinx≤1的否定是?x∈R，使得sinx＞1故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在抛物线上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为________．参考答案：12. 将边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，在折起后形成的三棱锥中，给出下列三个命题：①面是等边三角形；②；③三棱锥的体积是.其中正确命题的序号是___________.（写出所有正确命题的序号）参考答案：①②略13. {a n}是首项为a1=1，公差为d=3的等差数列，如果a n=2005，则序号n等于.参考答案：66914. 集合，集合，若，则实数k= ____. 参考答案：0，2，－2【分析】解出集合A，由可得集合B的几种情况，分情况讨论即可得解.【详解】,若，则，当时，；当时，；当时，；当时，无值存在；故答案为0，2，.【点睛】本题考查了集合子集的应用，注意分类讨论要全面，空集的情况易漏掉. 15. 在△ABC中，若则参考答案：16. 曲线在处的切线斜率为；参考答案：略17. 设正数数列{a n}的前n项之和是，数列{b n}前n项之积是，且，则数列中最接近108的项是第项．参考答案：10略三、解答题：本大题共5小题，共72分。