中值定理的证明题
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型四、证明存在 ,使
方法：
思路：
(1)用罗尔定理
1)原函数法:
步骤：
例12、设 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 ，求证存在 使得
例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(Biblioteka Baidu,1)内可导，且
证明：在(0,1)内至少存在一点,使
例14、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a) g(x)在[a,b]上连续，试证对 .
（1）对于(-1,1)内的任意 ,存在唯一的 使得
成立
（2）
例29、试证明若 在[a,b]上存在二阶导数，且 ，则存在 使得
例30、设e<a<b,求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得
[证]
为证唯一性，再证
令
唯一性.
题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题
1）反证法
例30、设f(x)在[-2,2]上连续，在(-2,2)内二阶连续可导,且 .求证存在 ,使
题型六、双介值问题
方法：
例26、设 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， ，求证存在 使得
例27、（051，12分）已知函数 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
证明：（1）存在 ，使得
（2）存在两个不同的点 使得
题型七、综合题
例28、（011，7分）
设函数 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且 ，试证
例25、设f(x)在[－a, a]上具有三阶连续导数，且满足 ，
f (0)=0,证明:在[-a, a]内存在一点，使得
[证]由
= ，
知 ，
根据泰勒公式，有
其中 介于0与x之间， .
于是
其中M、m为 （由题设可推知 在[-a,a]上连续）在[-a, a]上的最大值、最小值.进一步有
故存在 ， 使得 ，即
例3、设 在[a,b]上连续且 ，证明存在 使得 。
例4、设 在[a,b]上连续，证明存在 使得
例5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1.证明： 在(0,1)内有且仅有一个实根。
例6、设实数 满足关系式 ，证明方程
，在 内至少有一实根。
例7、（0234，6分）
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 使得
证明：对任意实数 ,使得
(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理
例18、设 在 上连续，在 内可导，求证存在 ，使得
例19、设 在 上连续，在 内可导，求证存在 ，使得
例20、设 在 上连续，在 内可导 ，求证存在 ，使得
例21、设 在 上连续，在 内可导 ，求证存在 ，使得
题型五、含有 (或更高阶导数)的介值问题
（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值.
（2）零点定理
设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c (a、b)，使得f(c)=0
2、罗尔定理
若函数 满足：
（1） 在 上连续
（2） 在 内可导
（3）
则一定存在 使得
3、拉格朗日中值定理
例15、设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且 .
试证： 使得 .
[证] 令 ，则F(0)=F(1)=0.又
于是 ，使 ，即
设 则 ，使得
，即 .
2)常微分方程法:
适用:
步骤：
例16、设 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 ，证明存在 使得
例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=1,
若函数 满足：
（1） 在 上连续
（2） 在 内可导
则一定存在 ，使得
4、柯西中值定理
若函数 满足:
（1）在 上连续
（2）在 内可导
（3）
则至少有一点 使得
5、泰勒公式
如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶导数,则当 在 内时, 可以表示为 的一个 次多项式与一个余项 之和，即
其中 ( 介于 与 之间).
在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：
1．展开的基点；
2．展开的阶数；
3．余项的形式．
其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．
而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．
6、积分中值定理
若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得
题型二、验证满足某中值定理
例8、验证函数 ，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的
题型三、证明存在 ,使 (n=1,2,…)
方法：
思路：
例9、设 在[a,b]上可导且 ，证明至少存在一个
使得
例10、设 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且 ，证明存在一个 使得
例11、设 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且 ，证明存在 使得
[证]反证若对 不变号
1） , f(2)=f(0)+
与左端小于等于1矛盾.
2) f(-2)=f(0)-
,同理矛盾
变号，从而结论成立.
2）隐含问题
例31、（2000年）设f(x)在[0,1]上连续， , g(x)在[0,1]上有连续的导数且在(0,1)内 ，并且 证明：至少存在两个不同的点 ,使 .
f(x)dx=f(c)(b-a)
三、典型题型与例题
题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在 使 或方程f(x)=0有根）
方法：大多用介值定理f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.
思路：1）直接法
2）间接法或辅助函数法
例1、设 在[a,b]上连续， ，证明存在 ，使得
例2、设 在[a,b]上连续、单调递增，且 ，证明存在 使得
第五讲中值定理的证明技巧
一、考试要求
1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中值定理。掌握这三个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。
二、内容提要
1、介值定理（根的存在性定理）
方法：
例22、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0,试证至少存在一个 ,使
例23、（012，8分）设 在 上具有二阶连续导数，f(0)=0
(1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
(2)证明在 上至少存在一个 使得
例24、设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0,证明:在(-1,1)内存在一点，使得
方法：
思路：
(1)用罗尔定理
1)原函数法:
步骤：
例12、设 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 ，求证存在 使得
例13、（0134）设f(x)在[0,1]上连续，(Biblioteka Baidu,1)内可导，且
证明：在(0,1)内至少存在一点,使
例14、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)>0,f(a) g(x)在[a,b]上连续，试证对 .
（1）对于(-1,1)内的任意 ,存在唯一的 使得
成立
（2）
例29、试证明若 在[a,b]上存在二阶导数，且 ，则存在 使得
例30、设e<a<b,求证：在(a,b)内存在唯一的点ξ，使得
[证]
为证唯一性，再证
令
唯一性.
题型八、有关介值证明的几类特殊处理问题
1）反证法
例30、设f(x)在[-2,2]上连续，在(-2,2)内二阶连续可导,且 .求证存在 ,使
题型六、双介值问题
方法：
例26、设 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， ，求证存在 使得
例27、（051，12分）已知函数 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且
证明：（1）存在 ，使得
（2）存在两个不同的点 使得
题型七、综合题
例28、（011，7分）
设函数 在（-1,1）内具有二阶连续导数，且 ，试证
例25、设f(x)在[－a, a]上具有三阶连续导数，且满足 ，
f (0)=0,证明:在[-a, a]内存在一点，使得
[证]由
= ，
知 ，
根据泰勒公式，有
其中 介于0与x之间， .
于是
其中M、m为 （由题设可推知 在[-a,a]上连续）在[-a, a]上的最大值、最小值.进一步有
故存在 ， 使得 ，即
例3、设 在[a,b]上连续且 ，证明存在 使得 。
例4、设 在[a,b]上连续，证明存在 使得
例5、设f(x)在[0,1]上连续，且f(x)<1.证明： 在(0,1)内有且仅有一个实根。
例6、设实数 满足关系式 ，证明方程
，在 内至少有一实根。
例7、（0234，6分）
设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且g(x)>0,利用闭区间上连续函数的性质，证明存在一点 使得
证明：对任意实数 ,使得
(2)直接用拉格朗日或柯西中值定理
例18、设 在 上连续，在 内可导，求证存在 ，使得
例19、设 在 上连续，在 内可导，求证存在 ，使得
例20、设 在 上连续，在 内可导 ，求证存在 ，使得
例21、设 在 上连续，在 内可导 ，求证存在 ，使得
题型五、含有 (或更高阶导数)的介值问题
（1）介值定理 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值 M 与最小值m之间的任何值.
（2）零点定理
设f(x)在[a、b]连续，且f(a)f(b)＜0，则至少存在一点,c (a、b)，使得f(c)=0
2、罗尔定理
若函数 满足：
（1） 在 上连续
（2） 在 内可导
（3）
则一定存在 使得
3、拉格朗日中值定理
例15、设f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内一阶可导，且 .
试证： 使得 .
[证] 令 ，则F(0)=F(1)=0.又
于是 ，使 ，即
设 则 ，使得
，即 .
2)常微分方程法:
适用:
步骤：
例16、设 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 ，证明存在 使得
例17、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0, f(1)=1,
若函数 满足：
（1） 在 上连续
（2） 在 内可导
则一定存在 ，使得
4、柯西中值定理
若函数 满足:
（1）在 上连续
（2）在 内可导
（3）
则至少有一点 使得
5、泰勒公式
如果函数 在含有 的某个开区间 内具有直到 阶导数,则当 在 内时, 可以表示为 的一个 次多项式与一个余项 之和，即
其中 ( 介于 与 之间).
在需要用到泰勒公式时，必须要搞清楚三点：
1．展开的基点；
2．展开的阶数；
3．余项的形式．
其中余项的形式，一般在求极限时用的是带皮亚诺余项的泰勒公式，在证明不等式时用的是带拉格朗日余项的泰勒公式．
而基点和阶数，要根据具体的问题来确定．
6、积分中值定理
若f(x)在[a、b]上连续，则至少存在一点c∈[a、b]，使得
题型二、验证满足某中值定理
例8、验证函数 ，在[0，2]上满足拉格朗日中值定理，并求满足定理的
题型三、证明存在 ,使 (n=1,2,…)
方法：
思路：
例9、设 在[a,b]上可导且 ，证明至少存在一个
使得
例10、设 在[0,3]上连续，在（0,3）内可导，且 ，证明存在一个 使得
例11、设 在[0,2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数且 ，证明存在 使得
[证]反证若对 不变号
1） , f(2)=f(0)+
与左端小于等于1矛盾.
2) f(-2)=f(0)-
,同理矛盾
变号，从而结论成立.
2）隐含问题
例31、（2000年）设f(x)在[0,1]上连续， , g(x)在[0,1]上有连续的导数且在(0,1)内 ，并且 证明：至少存在两个不同的点 ,使 .
f(x)dx=f(c)(b-a)
三、典型题型与例题
题型一 、与连续函数相关的问题（证明存在 使 或方程f(x)=0有根）
方法：大多用介值定理f(x)满足：在[a,b]上连续；f(a)f(b)<0.
思路：1）直接法
2）间接法或辅助函数法
例1、设 在[a,b]上连续， ，证明存在 ，使得
例2、设 在[a,b]上连续、单调递增，且 ，证明存在 使得
第五讲中值定理的证明技巧
一、考试要求
1、 理解闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，有界性定理，介值定理），并会应用这些性质。
2、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理(泰勒定理），了解并会用柯西中值定理。掌握这三个定理的简单应用（经济）。
3、 了解定积分中值定理。
二、内容提要
1、介值定理（根的存在性定理）
方法：
例22、设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0,试证至少存在一个 ,使
例23、（012，8分）设 在 上具有二阶连续导数，f(0)=0
(1)写出f(x)的带拉氏余项的一阶麦克劳林公式。
(2)证明在 上至少存在一个 使得
例24、设f(x)在[－1, 1]上具有三阶连续导数，且f(-1)=0, f(1)=1, f(0)=0,证明:在(-1,1)内存在一点，使得