2020学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)
上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为 A ．11 B ．12 C ．13 D ．14【答案】C【解析】利用等差数列通项公式及前n 项和公式，即可得到结果. 【详解】∵等差数列{}n a 的公差为2，且10100S =， ∴1011091021002S a ⨯=+⨯= ∴11a =∴()7171213a =+-⨯=. 故选：C 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式，考查计算能力，属于基础题. 2．等比数列的前项和为，已知，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意可知，，，解得：，，求得，故选C.3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m =( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】由0m S =()112m m m a a S S -⇒=-=--=-又113m m m a S S ++=-=，可得公差11m m d a a +=-=，从而可得结果. 【详解】{}n a Q 是等差数列()102ms m m a a S +∴==()112m m m a a S S -⇒=-=--=- 又113m m m a S S ++=-=， ∴公差11m m d a a +=-=，11325m a a m m m +==+=-+⇒=，故选C ．【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 4．设02πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n xn x x n αα+===L ，则数列{}n x 是（ ） A ．递增数列B ．递减数列C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )x y a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。
【详解】 根据题意，02πα<<，则0sin 1a <<，指数函数(sin )x y a =为减函数1sin 0(sin )(sin )(sin )1a a a a ∴<<=即110(sin )1xx a <<<2110(sin )(sin )(sin )(sin )1,x x a a a a ∴<<<=即13201x x x <<<<32110(sin )(sin )(sin )(sin )(sin )1,x x x a a a a a ∴<<<<=即134201x x x x <<<<<324110(sin )(sin )(sin )(sin )(sin )(sin )1,x x x x a a a a a a ∴<<<<<=即1354201,,x x x x x <<<<<<L1357864201x x x x x x x x <<<<<<<<<<L ，数列{}n x 是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C. 【点睛】本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的大小，是一道中档题目。
二、填空题5．1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】1【解析】由1lim =0x n→∞即可求得【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n→∞→∞→∞--） 【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。
6．等差数列{}n a 中，若13,21,2n a a d ===，则n =___________. 【答案】10.【解析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解n 的值． 【详解】在等差数列{}n a 中，由13a =，21n a =，2d =， 且1(1)n a a n d =+-，所以1213192n a a n d ---===， 所以10n =． 故答案为：10. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求n ．7．数列{}n a 中，已知*41322,n n n a n N =-+∈•，50为第________项.【答案】4【解析】方程变为4132-48=0n n -•，设2n x =，解关于x 的二次方程可求得。
【详解】*41322,n n n a n N =-+∈•，则5041322n n =-+•，即4132-48=0n n -•设2n x =，则213480x x --=，有16x =或3x =- 取16x =得216n =，4n =，所以是第4项。
【点睛】发现242n n =（），原方程可通过换元，变为关于x 的一个二次方程。
对于指数结构242n n =（），293n n =（），2255n n =（）等，都可以通过换元变为二次形式研究。
8．{}n a 为等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______. 【答案】123n -•【解析】将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。
【详解】12326a a a ++=相当于211=26a q q ++（）， 4152a a -=相当于3211-1=(1)(1)52a q a q q q -++=（）， 上面两式相除得12,q -=3q ∴=代入就得12a =，123n n a -∴=g【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。
9．用数学归纳法证明*(1)(2)()213(21)()n n n n n n n N +++=⋅⋅⋅-∈L L 时，从“n k =到1n k =+”，左边需增乘的代数式是___________. 【答案】2(21)k ⋅+.【解析】从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)1k k k k k ++++++，化简即可得出． 【详解】假设n k =时命题成立，则(1)(2)(3)()2135(21)k k k k k k k ++++=⋅⋅⋅⋯-L ， 当1n k =+时，1(2)(3)(11)2135(21)k k k k k k ++++++=⋅⋅⋅⋯+L 从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是(1)(11)2(21)1k k k k k k +++++=++．故答案为：2(21)k ⋅+. 【点睛】本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 10．数列{}n a 满足1211,3,(2)(1,2,)n n a a a n a n λ+===-=L ，则3a 等于__________. 【答案】15.【解析】先由11a =，23a =，结合1(2)n n a n a λ+=-，求出λ，然后再求出3a ． 【详解】11a =Q ，23a =，1(2)n n a n a λ+=-， 223a λ∴=-=，1λ=-． 3(4)315a λ∴=-⋅=．故答案为：15. 【点睛】本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查基本运算求解能力．11．数列{}n x 满足*1112,2,,,n n n x x x n n N x a x b +-=-≥∈==，则2019x =_________.【答案】b a -.【解析】根据数列递推关系，列出前面几项，发现数列{}n x 是以6为周期的周期数列，然后根据周期数列的性质特点可得出2019x 的值． 【详解】由题干中递推公式，可得：1x a =， 2x b =，321x x x b a =-=-， 432x x x b a b a =-=--=-， 543()x x x a b a b =-=---=-， 654()x x x b a a b =-=---=-， 765()x x x a b b a =-=---=， 876()x x x a a b b =-=--=， 987x x x b a =-=-，L∴数列{}n x 是以6为最小正周期的周期数列．201963363÷=Q L ，20193x x b a ∴==-．故答案为：b a -. 【点睛】本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求数列任一项的值，考查不完全归纳法的应用，考查从特殊到一般的思想和基本的运算求解能力．12．数列{}n a 满足下列条件：11a =，且对于任意正整数n ，恒有2n n a a n =+，则512a =______. 【答案】512【解析】直接由2n n a a n =+，可得88785122562561281282562=128222a a a a a =+=+++=++=L ，这样推下去，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。
【详解】2n n a a n =+Q5122568256812878128128192562=128222122212112512a a a a a a ∴=+=+++=++==+++++-=+-=LL故选C 。
【点睛】利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题是一道中等难度题目。
13．数列{}n a 定义为11cos ,sin cos ,1n n a a a n n θθθ+=+=+≥，则21n S +=_______.【答案】()2sin (1)cos n n n θθ+++【解析】由已知得两式112sin cos ,+1sin cos n n n n a a n a a n θθθθ++++=++=+（），，相减可发现原数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的和，再相加得原数列前21n +的和 【详解】112sin cos ,+1sin cos n n n n a a n a a n θθθθ++++=+∴+=+Q （）， 两式相减得2s n ,-i n n a a θ+=数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，12sin cos a a θθ+=+，，21sin cos sin cos cos sin a a θθθθθθ+-+-===21cos (1)sin n a n θθ-=+-，2sin (1)sin sin n a n n θθθ=+-=，数列的前2n 项中所有奇数项的和为：(1cos +sin 2n n n θθ-）， 数列的前2n 项中所有偶数项的和为：sin +sin +sin 22n n n n θθθ=（）（1）2121(1+sin cos +sin 22(1+sin cos +sin cos +sin 22(1)cos (1)sin n n n n n n S n a n n n n n n n n n θθθθθθθθθθ++-=++-=++=+++）（1））（1）【点睛】对于递推式为2-n n a d a +=，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论，分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为2a ，而奇数项的首项为1a .14．已知数列{}n a 是正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若11n n n n a b S S ++=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，则99T =_______.【答案】910【解析】利用1n n n a S S -=-将112n n nS a a ⎛⎫=+⎪⎝⎭变为11112)2n n n n n S S S n S S ----⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭（，整理发现数列{2n S }为等差数列，求出2n S ，进一步可以求出n a ，再将n a ，n S 代入n b ，发现可以裂项求n b 的前99项和。
上海市中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析
上海市中学2020年高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设数列{a n}的前n项和为S n，a4=7且4S n=n（a n+a n+1），则a5等于（）A．8 B．9 C．10 D．11参考答案：B【考点】8H：数列递推式．【分析】利用已知条件逐步求解即可．【解答】解：4S n=n（a n+a n+1），可得4S2=2（a2+a3），4S1=a1+a2，a2=3a1，a3=5a1，从而36a1=3（5a1+7），a1=1，a2=3，a3=5，a4=7，4S4=4（a4+a5），解得a5=9．故选：B．2. =（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】D4：排列及排列数公式．【分析】根据排列数公式计算即可．【解答】解： ===．故选：D．3. 某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：千瓦·时）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（）A. 56千瓦·时B. 62千瓦·时C. 64千瓦·时D. 68千瓦·时参考答案：A【分析】根据回归直线方程经过样本中心点，求得，代入回归直线可求得；代入回归方程后，可预报当气温为℃时，当天的用电量。
【详解】代入回归直线方程，求得所以回归直线方程为当温度为2℃时，代入求得千瓦·时所以选A【点睛】本题考查了回归方程的简单应用，注意回归直线方程一定经过样本的中心点，而不是样本的某个点，属于基础题。
4. 复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为（）A．﹣5i B．5i C．﹣5 D．5参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得的答案．【解答】解：∵z=（1﹣i）（4﹣i）=3﹣5i，∴，则复数z=（1﹣i）（4﹣i）的共轭复数的虚部为5．故选：D．5. 若等于（）A．2 B．－2 C．D．参考答案：D略6. 设f n（x）是等比数列1，﹣x，x2，…，（﹣x）n的各项和，则f2016（2）等于（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：∵f n（x）是等比数列1，﹣x，x2，…，（﹣x）n的各项和，x≠﹣1时，∴f n（x）=．∴f2016（2）==．故选：C．7. 已知集合，，则（）A． B． C．D．参考答案：C8. 动点到点及点的距离之差为，则点的轨迹是（）A．双曲线 B 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线参考答案：D略9. 设函数，若数列是单调递减数列，则实数a的取值范围为（）A．（-，2）B．（-，C．（-，）D．参考答案：B略10. 双曲线的渐近线的方程和离心率分别为( )A. B.C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知log2a＋log2b≥1，则3a＋9b的最小值为_______．参考答案：1812. 由直线,,与曲线所围成的封闭图形的面积为 .参考答案：略13. 已知实数满足则的最小值是.参考答案：-514. 某单位有甲、乙、丙三个部门，分别有职员27人、63人和81人，现按分层抽样的方法从各部门中抽取组建一个代表队参加上级部门组织的某项活动；其中乙部门抽取7人，则该单位共抽取__________人。
2020年上海市淞浦高级中学高二数学理下学期期末试题含解析
2020年上海市淞浦高级中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 直线与圆C：切于点p（-1,2），则a+b的值为（） A.1 B.-1 C.3 D.-3参考答案：C2. 圆截直线所得的弦长是（）A．2 B．1 C． D．参考答案：A3. △ABC中，若=，则该三角形一定是( )A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式变形后，利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定出三角形形状．【解答】解：由已知等式变形得：acosA=bcosB，利用正弦定理化简得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．∴2A=2B或2A+2B=180°，∴A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了正弦定理，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．4. 已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°参考答案：D【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】△ABC中由条件利用正弦定理求得sinB的值，再根据及大边对大角求得B的值．【解答】解：△ABC中，a=4，b=4，A=30°，由正弦定理可得，即=，解得sinB=．再由b＞a，大边对大角可得B＞A，∴B=60°或120°，故选D．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，以及大边对大角、根据三角函数的值求角，属于中档题．5. 已知椭圆的长轴在y轴上，且焦距为4，则m等于( )A.4B.5C.7D.8参考答案：D6. 如图，在边长为的正方形内有不规则图形. 向正方形内随机撒豆子，若撒在图形内和正方形内的豆子数分别为，则图形面积的估计值为( )A． B． C． D．参考答案：D7. 以下四个命题中，正确的是（）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若A、B、C、D、共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面C．若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面参考答案：A8. 计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A．2,3 B．2,2 C．0,0 D．3,2参考答案：A运行程序可得，所以输出的结果为2,3。
2020学年上海市第二中学高二下学期期末数学试题(解析版)
上海市第二中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．为客观了解上海市民家庭存书量，上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查，成功访问了2007位市民，在这项调查中，总体、样本及样本的容量分别是（ ）A.总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007B.总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007C.总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民，样本的容量是2007D.总体是上海市民家庭总数量，样本是2007位市民，样本的容量是2007 【答案】B【解析】根据总体、样本及样本的容量的概念，得到答案. 【详解】 根据题目可知，总体是上海市民家庭的存书量，样本是2007位市民家庭的存书量，样本的容量是2007 故选B 项. 【点睛】本题考查总体、样本及样本的容量的概念，属于简单题.2．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上是单调递减的函数为（ ） A.y x = B.3y x =-C.12log y x= D.1y x x=+【答案】B 【解析】【详解】由题意得，对于函数y x =和函数12log y x =都是非奇非偶函数，排除A 、C ．又函数1y x x=+在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞单调递增，排除D ，故选B ． 3．设，则的值为（ ） A ．2 B ．0C ．D ．1【解析】分别令和即可求得结果.【详解】令，可得：令，可得：故选： 【点睛】本题考查二项展开式系数和的相关计算，关键是采用赋值的方式构造出所求式子的形式.4．设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，()1f 的可能值只能是（ ）． A.0 332【答案】C【解析】先阅读理解题意，则问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合，再结合函数的定义逐一检验即可. 【详解】解：由题意可得：问题可转化为圆上有12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合，则通过代入和赋值的方法，当3(1)3,f =时，此时得到圆心角为,,036ππ，然而此时0x =或1x =时，都有2个y 与之对应，根据函数的定义，自变量与应变量只能“一对一”或“多对一”，不能“一对多”，因此，只有当3x =时，此时旋转6π，满足一个x 对应一个y ，所以()1f 的可能值只能是3，故选:C.本题考查了函数的定义，重点考查了函数的对应关系，属基础题. 二、填空题5．已知集合{}|12A x x =->，则R C A =_______. 【答案】[]1,3-【解析】先求出集合A ，再求R C A 得解. 【详解】由题得{}|31A x x x =><-或， 所以R C A =[]1,3-. 故答案为：[]1,3- 【点睛】本题主要考查集合的补集运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.6．若函数()3f x x a =+为奇函数，则()1f =______．【答案】1【解析】由函数()3f x x a =+在0x =时有意义，且()f x 为奇函数，由奇函数的性质可得()00f =，求出,a 再代入求解即可. 【详解】解：因为函数()3f x x a =+为奇函数，所以()3000f a =+=，即0a =， 所以()3f x x =， 所以()3111f ==，故答案为：1. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，重点考查了奇函数的性质，属基础题. 7．四个整数1，3，3，5的方差为______． 【答案】2【解析】由方差公式2222121[()()...()]n S x x x x x x n =-+-++-，将数据代入运算即可.解：因为1，3，3，5的平均数为133534+++=， 由方差公式可得222221[(13)(33)(33)(53)]24S =-+-+-+-=，故答案为：2. 【点睛】本题考查了平均数及方差公式，重点考查了运算能力，属基础题.8．函数f （x 的定义域是 ． 【答案】（0，3］【解析】试题分析：要使函数解析式有意义需满足31log 00x x -≥⎧⎨>⎩，即03x <≤，故定义域为（0，3］. 【考点】对数函数.9．在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项的值为______．【答案】84【解析】由921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式99319921()r r r r rr T C x C x x --+==，再由930r -=求解即可.【详解】解：由921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式99319921()r r r r rr T C x C x x --+==，令930r -=，即3r =，即展开式的常数项为3984C =，故答案为：84. 【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题. 10．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______．【解析】先由勾股定理求圆锥的高，再结合圆锥的体积公式13V S h =底运算即可得解.解：设圆锥的高为h ，由勾股定理可得h =，由圆锥的体积可得21133V π=⨯=，故答案为：3. 【点睛】本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了勾股定理，属基础题.11．已知函数24y x ax =-在[]1,3上单调递增，则实数a 的取值范围______．【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】函数24y x ax =-在[]1,3上单调递增，等价于'240y x a =-≥在[]1,3x ∈恒成立， 再利用最值法运算即可. 【详解】解：因为24y x ax =-，所以'24y x a =-，因为函数24y x ax =-在[]1,3上单调递增，所以'240y x a =-≥在[]1,3x ∈恒成立， 即2xa ≤在[]1,3x ∈恒成立， 又 当1x =时，2x取最小值12， 即12a ≤， 故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了利用函数的单调性求参数的范围，重点考查了导数的应用，属基础题.12．地球的半径为R ，在北纬45︒东经30°有一座城市A ，在北纬45︒东经120︒有一座城市B ，飞机从城市A 上空飞到城市B 上空的最短距离______． 【答案】3R π即可. 【详解】解：由地球的半径为R ，则北纬45︒的纬线圈半径为cos 452R =o ， 又两座城市的经度分别为30°，120︒，故经度差为90︒，则连接两座城市的弦2R =，则,A B 两地与地球球心连线夹角为60o ，即3π，则,A B 两地之间的距离是3Rπ, 故答案为：3Rπ. 【点睛】本题考查了球面距离，重点考查了弧所对应的圆心角及弧长公式，属基础题.13．已知a 常数，则12lim 2nn n nnn a C C C →+∞++++=L ______．【答案】1【解析】由二项式系数性质可得012...2n nn n n n C C C C ++++=，再结合数列极限的求法即可得解. 【详解】因为012...2n nn n n n C C C C ++++=， 则12...21n nn n n C C C +++=-，所以12lim 2nn n n n n a C C C →+∞++++=L 12lim 2nn n a →+∞-+=1lim (1)12n n a →+∞-+=， 故答案为：1. 【点睛】本题考查了二项式系数及数列极限，属基础题.14．已知函数()f x =，()g x =，则函数()()y f x g x =+的值域______．【答案】【解析】先由函数定义域的求法得函数()()y f x g x =+的定义域为[]1,1-， 再将解析式两边平方，再结合二次函数值域的求法即可得解.解：因为函数()f x =，()g x =，所以()()y f x g x =+=1010x x +≥⎧⎨-≥⎩ 且2010x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得：11x -≤≤，即y = (11)x -≤≤，则233y =+=+又11x -≤≤，则21990()244x ≤--+≤，即 236y ≤≤，又0y >，即y ，即函数的值域为，故答案为：.【点睛】本题考查了函数定义域的求法及根式函数值域的求法，重点考查了运算能力，属中档题.15．已知a ，b 是正整数，a b ¹，当(),0,x y ∈∞时，则有()222a b a bx y x y++≥+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，利用上述结论求2912y x x =+-，10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的最小值______． 【答案】25【解析】先分析题意，再结合不等式的结构配凑，当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，29491212x x x x+=+--， 再结合不等式的性质即可得解. 【详解】解：由当(),0,x y ∈∞时，则有()222a b a b x y x y++≥+成立，当且仅当“a b x y =”取等号，则当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，22949(23)2512122(12)x x x x x x ++=+≥=--+-，当且仅当故答案为：25. 【点睛】本题考查了运算能力，重点考查了类比能力及分析处理数据的能力，属基础题.16．已知2()22f x x x b =++是定义在[-1,0]上的函数, 若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是_______【答案】13[28,--）【解析】由函数定义域及复合函数的关系可得110210b b ⎧-≤-≤⎪⎨⎪-≤≤⎩，解得1,02b ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，设()00f x y =，则()00f y x =且00y x ≠，所以函数()222f x x x b =++图像上存在两点关于直线y x =对称，由y x m =-+与抛物线联立，解得中点在y x =得32m =-，从而232302x x b +++=在[]1,0-有两不等的实数根，利用二次函数根的分布列不等式组求解即可. 【详解】因为()min 1122f x f b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，()()()max 01f x f f b ==-=，所以1101,02210b b b ⎧-≤-≤⎪⎡⎤⇒∈-⎨⎢⎥⎣⎦⎪-≤≤⎩时满足()0f f x ⎡⎤≤⎣⎦； 设()00f x y =，则()00f y x =且00y x ≠，所以函数()222f x x x b =++图像上存在两点关于直线y x =对称，令:l y x m =-+由2223022y x m x x b m y x x b=-+⎧⇒++-=⎨=++⎩ 设()11,M x y 、()22,N x y 为直线与抛物线的交点，线段MN 中点为(),E E E x y ，所以()1298032b m x x ⎧∆=-->⎪⎨+=-⎪⎩，所以33,44E m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，而E 在y x =上，所以32m =-，从而232302x x b +++=在[]1,0-有两不等的实数根， 令()23232h x x x b =+++，所以()()39802110132,2830023104b h b b h b ⎧⎛⎫∆=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪-=+≥⎪⎪⎡⎫⇒∈--⎨⎪⎢⎣⎭⎪=+≥⎪⎪⎪-<-<⎪⎩。
2020学年上海市松江区高二第二学期期末考试数学试题(解析版)
上海市松江区高二第二学期期末考试数学试题一、 单选题1．若向量(1,2,2)a =-，(2,4,4)b =--，则向量a 与b （） A ．相交 B ．垂直 C ．平行 D ．以上都不对【答案】C【解析】根据向量平行的坐标关系得解. 【详解】122244-==-- ，所以向量a 与b 平行. 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.2．若点P 为两条异面直线a 、b 外的任意一点，则下列说法一定正确的是（） A ．过点P 有且仅有一条直接与a 、b 都平行 B ．过点P 有且仅有一条直线与a 、b 都垂直 C ．过点P 有且仅有一条直线与a 、b 都相交 D ．过点P 有且仅有一条直线与a 、b 都异面 【答案】B【解析】从与两异面直线垂直、平行、异面、相交的直线中找到成立的依据和不成立的反例得解. 【详解】设过点P 的直线c ，若c 与a 平行，c 与b 平行，则a 与b 平行与a 与b 异面相矛盾，所以答案A 错误；答案B 正确，此条直线就是a 、b 的公垂线；过点P 不一定存在与a 、b 都相交的直线,所以答案C 错误； 过点P 不只存在一条与a 、b 都异面的直线,所以答案D 错误. 【点睛】本题考查与两异面直线的垂直、平行、异面、相交等关系的问题，关键要能举出结论不成立的反例，属于中档题.3．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）A ．36B ．64C ．80D ．96【答案】C【解析】把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】每一个“田”字里有4个“L ”形，如图因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题.4．已知复数1cos 2()z x f x i =+，)23cos z x x i =++，x ∈R .在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为（）A ．14-B ．14 C ．12-D ．12【答案】B【解析】根据向量垂直关系的坐标运算和三角函数的最值求解. 【详解】据条件，()1cos ,2()Z x f x ，)23cos ,1Z x x +，且12OZ OZ ⊥，所以，)cos 3cos 2()0x x x f x ⋅++=，化简得，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，11()sin 2264f x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭取得最大值为14.【点睛】本题考查向量的数量积运算和三角函数的最值，属于基础题. 二、填空题5．3-的平方根是________.【答案】【解析】根据()23=-得解.【详解】由()23=-得解.【点睛】本题考查虚数的概念，属于基础题.6．若552x C C =，则实数x =________.【答案】2或3【解析】根据组合数的性质得解. 【详解】由组合数的性质得2x =或25x +=， 所以2x =或 3.x = 【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题.7．高二（1）班有男生18人，女生12人，现用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为5的样本，则抽取的男生人数为____. 【答案】3【解析】根据分层抽样的比例求得. 【详解】由分层抽样得抽取男生的人数为18531812⨯=+人，故得解. 【点睛】本题考查分层抽样，属于基础题.8．二项式61(2x )x-的展开式中常数项为______(用数字表示)．【答案】-160【解析】二项式612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为66621661(2)()(1)2r r r r r rr r T C x C x x---+=-=-⋅⋅⋅，0,1,2,,6r =．令3r =，可得33346(1)2160T C =-⋅⋅=-，即展开式中常数项为160-． 答案：160-9．若正方体的表面积为6，则它的外接球的表面积为________. 【答案】3π【解析】由正方体的外接球的直径与正方体的棱长之间的关系求解. 【详解】由已知得正方体的棱长为1，又因为正方体的外接球的直径等于正方体的体对角线的长，所以正方体的外接球的半径2R ==，所以外接球的表面积224432S R πππ⎛==⨯= ⎝⎭，故得解. 【点睛】本题考查正方体的外接球，属于基础题.10．某校生物研究社共8人，他们的生物等级考成绩如下：3人70分，3人67分，1人64分，1 人61分，则他们的生物等级考成绩的标准差为________. 【答案】3【解析】先求出样本的平均数，再求出其标准差. 【详解】这八个人生物成绩的平均分为370367164161678x ⨯+⨯+⨯+⨯== ，所以这八个人生物成绩的标准差为3s ==故得解. 【点睛】本题考查样本的标准差，属于基础题.11．已知正三棱锥底面边长为2，侧棱长为3，则它的侧面与底面所成二面角的余弦值为________.【答案】612【解析】先做出二面角的平面角，再运用余弦定理求得二面角的余弦值。
2019-2020学年上海市徐汇区高二下学期期末数学试卷 (解析版)
平移直线y＝x﹣z，当直线y＝x﹣z经过点A时，直线y＝x﹣z的截距最小，此时z最大，
故答案为：1．
9．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，则四面体C﹣A1BC1的体积为 ．
【分析】由已知利用等体积法可知四面体C﹣A1BC1的体积是三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积的三分之一，则答案可求．
9．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，则四面体C﹣A1BC1的体积为．
10．已知双曲线 的焦点坐标为 ，则a的值为．
11．从m（m∈N*，且m≥4）个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则m＝．
解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+ ，
S＝ （1+ +1）×2＝3+ ．
故选：C．
16．如图，点A是曲线y＝ （y≤2）上的任意一点，P（0，﹣2），Q（0，2），射线QA交曲线y＝ 于B点，BC垂直于直线y＝3，垂足为点C．则下列判断：①|AP|﹣|AQ|为定值2 ；②|QB|+|BC|为定值5．其中正确的说法是（ ）
2019-2020学年上海市徐汇区高二第二学期期末数学试卷
一、填空题（共12小题）.
1．已知直线l的一个方向向量是（1，2），则它的斜率为．
2．抛物线C：y2＝4x的准线方程为．
3．直线l1：2x﹣y+1＝0与直线l2：x+2y+1＝0的夹角为．
4．已知长方体ABCD点A到棱B1C1的距离为．
5．若O为坐标原点，P是直线x﹣y+2＝0上的动点，则|OP|的最小值为．
2020年下海市闵行区数学高二第二学期期末统考试题含解析
2020年下海市闵行区数学高二第二学期期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．θ为第三象限角，1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ） A ．355-B ．155-C ．355D ．155【答案】B 【解析】分析：先由两角和的正切公式求出tan θ，再利用同角三角函数基本关系式进行求解． 详解：由1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得 1+1ππ3tan tan[()]=214413θθ=-+=-，由同角三角函数基本关系式，得22sin 2cos sin cos 1θθθθ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 解得2212cos ,55sin θθ== 又因为θ为第三象限角， 所以255sin ,cos 55θθ=-=-， 则5sin cos θθ-=-． 点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：ππ=(),2()()44θθααβαβ-+=++-、2=()()βαβαβ+--；2.利用同角三角函数基本关系式中的“22sin cos 1αα+=”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号． 2．已知双曲线的左、右焦点分别为，过作的渐近线的垂线，垂足为点，则的离心率为A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出，利用勾股定理求出，由锐角三角函数得出，由诱导公式得出，在利用余弦定理可得出、、的齐次方程，可解出双曲线离心率的值。
【详解】如下图所示，双曲线的右焦点，渐近线的方程为，由点到直线的距离公式可得，由勾股定理得，在中，，，在中，，，，，由余弦定理得，化简得，，即，因此，双曲线的离心率为，故选：D。
【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属于中等题。
求离心率是圆锥曲线一类常考题，也是一个重点、难点问题，求解椭圆或双曲线的离心率，一般有以下几种方法： ①直接求出、，可计算出离心率； ②构造、的齐次方程，求出离心率；③利用离心率的定义以及椭圆、双曲线的定义来求解。
2019-2020学年上海市第二中学高二下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市第二中学高二下学期期末数学试题一、单选题1．在空间中，“直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件【答案】A【解析】若“直线m ⊥平面α”则“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”，正确；反之，若“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”则“直线m ⊥平面α”是错误的，故直线m ⊥平面α”是“直线m 与平面α内无穷多条直线都垂直 ”的充分非必要条件. 故选A.2．某样本平均数为a ，总体平均数为m ，那么（ ） A ．a m = B ．a m >C ．a m <D ．a 是m 的估计值 【答案】D【分析】统计学中利用样本数据估计总体数据，可知样本平均数是总体平均数的估计值. 【详解】解：样本平均数为a ，总体平均数为m ， 统计学中，利用样本数据估计总体数据， ∴样本平均数a 是总体平均数m 的估计值. 故选：D.【点睛】本题考查了利用样本数据估计总体数据的应用问题，是基础题. 3．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2π＋3B ．4π＋3C ．2π＋23D ．4π＋23【答案】C【详解】试题分析：由三视图知几何体是一个简单的组合体，上面是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个正方形，对角线长是2，侧棱长2，高是2213-=，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是2，高是2，所以组合体的体积是2112322312232ππ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=+，故选C. 【解析】几何体的三视图及体积的计算. 【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体，得到几何体的数量关系是解答的关键，属于基础题.4．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，AD ⊥AB ，∠BCD ＝45°，将△ABD 沿对角线BD 折起，设折起后点A 的位置为A ′，使二面角A ′—BD —C 为直二面角，给出下面四个命题：①A ′D ⊥BC ；②三棱锥A ′—BCD 的体积为2；③CD ⊥平面A ′BD ；④平面A ′BC ⊥平面A ′D C ．其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据//AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ︒∠=， 易得 CD BD ⊥，再根据，平面A BD '⊥平面BCD ，得CD ⊥平面A BD '，可判断③的正误；由二面角A BD C '--为直二面角，可得A H '⊥平面BCD ，则可求出A BDC V '-，进而可判断②的正误；根据CD ⊥平面A BD '，有CD A B '⊥，,A B A D ''⊥得A B '⊥平面CDA '，④利用面面垂直的判定定理判断④的正误；根据CD ⊥平面A BD '，有CD A D '⊥，若A D BC '⊥，则可证A D '⊥平面BCD ，则得到A D BD '⊥，与已知矛盾，进而可判断①的正误.【详解】由题意，取BD 中点H ，连接A H '，则折叠后的图形如图所示：由二面角A BD C '--为直二面角，可得A H '⊥平面BCD ，则A H CD '⊥，∴A BDC V '-＝1221326⨯⨯=，②正确， ∵CD BD ⊥，A H CD '⊥，且A H BD H '=，∴CD ⊥平面A BD '，故③正确，∵1A B '=，由几何关系可得3A C '=，2BC =， ∴2222132A B A C BC ''+=+==，∴A B A C ''⊥， 由CD ⊥平面A BD '，得CD A B '⊥，又A C CD C '=∴A B '⊥平面A DC '，∵A B '⊂平面A BC '， ∴ 平面A BC '⊥平面A DC '，④正确，CD ⊥平面A BD '，CD A D '∴⊥，若A D BC '⊥，则可证A D '⊥平面BCD ，则得到A D BD '⊥，与已知矛盾，所以①错误. 故选C .【点睛】本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，解题关键是利用好直线与平面，平面与平面垂直关系的转化关系，属于中档题.二、填空题5．将三封录取通知书投入四个邮筒共有_____________种不同的投递方式. 【答案】64【分析】每封录取通知书放入邮筒有4种不同的投递方式，然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】由题意知，每封录取通知书放入邮筒有4种不同的投递方式，由分步乘法计数原理可知，将三封录取通知书投入四个邮筒共有3464=种不同的投递方式. 故答案为64.【点睛】本题考查分步乘法计数原理的应用，考查计算能力，属于基础题. 6．已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______. 【答案】9π【分析】由球的体积，得到球的半径，进而可得出大圆的面积. 【详解】因为球的体积为36π，设球的半径为r ， 则34363r ππ=，解得：3r =， 因为球的大圆即是过球心的截面圆， 因此大圆的面积为29S r ππ==. 故答案为：9π.【点睛】本题主要考查球的相关计算，熟记球的体积公式，以及圆的面积公式即可，属于基础题型.7．已知向量(0,2,1)a =，(1,1,2)b =-，则a 与b 的夹角为________【答案】 【分析】利用空间向量的坐标运算求解即可.【详解】解：由已知224a b ⋅=+=，41a =+=11b =++=cos ,56a b a b a b⋅===⋅⋅，则a 与b 的夹角为.故答案为：. 【点睛】本题考查空间向量夹角的求解，是基础题.8．在62x⎛⎝二项式展开式中，常数项为__________.【答案】60【分析】求得二项式展开式的通项为12362162r rr r T C x--+=⋅，令4r =，即可求解，得到答案.【详解】由题意，二项式62x⎛⎝展开式的通项为123662166(2)2rrrr r rr T C x C x ---+==⋅， 令4r =，可得2456241560T C =⋅=⨯=，即展开式的常数项为60.故答案为：60.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，合理赋值是解答的关键，着重考查了推理与计算能力..9．高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考，已知这位同学在物理、化学、政治科目考试中达A 的概率分别为56、78、34，这三门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A 的概率为____ 【答案】191192【分析】先求对立事件概率：三门科目考试成绩都不是A ，再根据对立事件概率关系求结果.【详解】这位考生三门科目考试成绩都不是A 的概率为5731(1)(1)(1)684192---=， 所以这位考生至少得1个A 的概率为11911192192-= 故答案为：191192【点睛】本题考查利用对立事件求概率，考查基本分析求解能力，属基础题.10．一个袋子中装有8个球，其中2个红球，6个黑球，若从袋中拿出两个球，记下颜色，则两个球中至少有一个是红球的概率是________（用数字表示） 【答案】1328【分析】根据题意，袋中有２个红球和６个黑球，由组合数公式可得从中取出2个的情况数目，若两个球中至少有一个是红球，即一红一黑，或者两红，由分步计数原理可得其情况数目，由等可能事件的概率，计算可得答案.【详解】解：根据题意，袋中有２个红球和６个黑球，共８个球，从中取出2个，有2828C =种情况，两个球中至少有一个是红球，即一红一黑，或者两红的情况有11226213C C C +=种，则两个球中至少有一个是红球的概率为1328P =， 故答案为：1328. 【点睛】本题考查等可能事件的概率的计算，是简单题，关键在于正确应用排列、组合公式.11．若在1()nx x-展开式中，若奇数项的系数之和为32，则含4x 的系数是______. 【答案】-6【分析】由题意可知，奇数项的系数之和为1232n -=，求出6n =，然后求出展开式的通项，利用x 的指数为4，求出参数的值，然后将参数的值代入通项，即可求出含4x 项的系数.【详解】1n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()211kk k n k kn k n n C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，奇数项的系数为0241232n n n n C C C -+++==，解得6n =，61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()6626611kk k k kk C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令624k -=，得1k =，因此，展开式中含4x 的系数为()11616C ⋅-=-.故答案为：6-.【点睛】关键点点睛：二项式问题通常先求通项，由通项确定所求量，然后再写出关系式计算.12．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是__. 【答案】[﹣12，0] 【分析】建立空间直角坐标系，设出点P 的坐标为（x ，y ，z ），则由题意可得0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1，计算PA •1PC =x 2﹣x ，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【详解】解：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示； 则点A （1，0，0），C 1（0，1，1），设点P 的坐标为（x ，y ，z ），由题意可得 0≤x ≤1，0≤y ≤1，z ＝1；∴PA =（1﹣x ，﹣y ，﹣1），1PC =（﹣x ，1﹣y ，0），∴PA •1PC =-x （1﹣x ）﹣y （1﹣y ）+0＝x 2﹣x +y 2﹣y 22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二次函数的性质可得，当x ＝y 12=时，PA •1PC 取得最小值为12-；当x ＝0或1，且y ＝0或1时，PA •1PC 取得最大值为0， 则PA •1PC 的取值范围是[12-，0]． 故答案为：[12-，0]．【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用与向量的数量积运算问题，是综合性题目． 13．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1:2，则它们的体积比是_____________． 【答案】10【分析】设圆锥母线长为l ，小圆锥半径为r 、高为h ，大圆锥半径为R ，高为H ，根据侧面积之比可得2R r =，再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到3l r =，利用勾股定理得到,h H 关于r 的式子，从而将两个圆锥的体积都表示成r 的式子，，求出它们的比值.【详解】设圆锥母线长为l ，侧面积较小的圆锥半径为r ， 侧面积较大的圆锥半径为R ，它们的高分别为,h H ， 则:1:2rl Rl ππ=，得2R r =， 两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，22r Rlππ+∴=⨯，得3l r =，再由勾股定理，得h ==，同理可得，H =，∴两个圆锥的体积之比为2211:433r r ππ⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为【点睛】本题主要考查圆锥的性质与侧面积，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于中档题.14．已知x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，则xy 的最大值是_____________.【答案】128【分析】由组合数的性质得出()208y x x =≤≤或217x y +=，然后利用二次函数的性质或基本不等式求出xy 的最大值，并比较大小可得出结论.【详解】x 、y 满足组合数方程21717x yC C =，()208y x x ∴=≤≤或217x y +=，当2y x =时，则[]220,128xy x =∈；当217x y +=时，222172892224x y xy +⎛⎫⎛⎫≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因此，当216x y ==时，xy 取得最大值128. 故答案为128.【点睛】本题考查组合数基本性质的应用，同时也考查了两数乘积最大值的计算，考查了二次函数的基本性质的应用以及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题15．若一圆锥的底面半径为4，体积是16π. （1）求该圆锥的母线长；（2）已知该圆锥的顶点为O ，并且OA 、OB 为圆锥的两个母线，求线段AB 长度为何值时，△OAB 的面积取得最大值？【答案】（1）5；（2）【分析】（1）先根据体积求高，再根据母线与高的关系求结果；（2）先确定△OAB 的面积最大值何时取得，再根据勾股定理求AB 长度. 【详解】（1）因为圆锥的底面半径为4，体积是16π，所以2116433h h ππ=⋅⋅∴=； （2）△OAB 的面积125sin sin 22S OA OB AOB AOB =⋅⋅∠=∠ 因为3(0,2arcsin ]5AOB ∠∈，所以当2AOB π∠=时，△OAB的面积取最大值，此时AB 【点睛】本题考查圆锥的体积以及截面积，考查基本分析求解能力，属基础题.16．21(2)nx x+的展开式一共有13项.（1）求展开式中二项式系数之和； （2）求展开式中的常数项 【答案】（1）122；（2）7920【分析】先由21(2)nx x+的展开式一共有13项得12n =，则直接可得（1）的结果，（2）根据展开式的通项122431122r rr r T C x --+=⋅⋅，令2430r -=，即可求出常数项. 【详解】解：由21(2)nx x+的展开式一共有13项得12n =，（1）由2121(2)x x+得展开式中二项式系数之和为122；（2）由2121(2)x x+得展开式的通项为()1221224311212122rrrr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭， 令2430r -=，得8r =， 所以展开式中的常数项为81281227920C -⋅=.【点睛】本题考查二项式定理及其应用，其中()na b +的展开式通项1C r n r rr n T a b -+=的熟练运用是关键，是基础题.17．已知二项式n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）8；（2）358；（3）437x . 【分析】（1）根据等差中项的性质列方程可得出n 的值；（2）根据二项式系数的对称性和单调性可得出二项式系数最大的项；（3）由1188118811221122r rr rr rr rC CC C++--⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，求出r的取值范围，即可得出系数最大项对应的项的序数.【详解】（1）二项式n展开式的通项为2312r r n rn rr rn nC C x--⎛⎫⋅⋅=⋅⋅⎪⎝⎭，由于展开式系数的绝对值成等差数列，则10211224n n nC C C⋅=+⋅，即()118n nn-=+，整理得2980n n-+=，2n ≥，解得8n=；（2）第1r+项的二项式系数为8rC，因此，第5项的二项式系数最大，此时，4r=；（3）由1188118811221122r rr rr rr rC CC C++--⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，得()()()()()()28!8!!81!7!8!28!!81!9!r r r rr r r r⨯⎧≥⎪-+-⎪⎨⨯⎪≥⎪---⎩！！，整理得22892r rr r+≥-⎧⎨-≥⎩，解得23r≤≤，所以当2r或3时，项的系数最大.因此，展开式中系数最大的项为2442338172C x x⎛⎫⋅⋅=⎪⎝⎭.【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式系数的定义和基本性质，同时也考查了项的系数最大项的求解，考查运算求解能力，属于中等题.18．已知数列{}n a（*n∈N）的通项公式为1na n=-（*n∈N）.（1）分别求11(1)ax-的二项展开式中的二项式系数之和与系数之和；（2）求201(12)ax+的二项展开式中的系数最大的项；（3）记1245kakd+=⨯（*k∈N），求集合1{|,}k kx d x d x+<<∈Z的元素个数（写出具体的表达式）.【答案】（1）102，0；（2）133133200(2)C x，134134200(2)C x；（3）164(1)5k k+⋅+-.【分析】（1）根据二项展开式()na b+直接得二项式系数之和为2n，利用赋值法求二项第 11 页 共 11 页 展开式中的系数之和；（2）根据二项展开式通项公式得系数，再列方程组解得系数最大的项；（3）先根据二项式定理将k d 展开成整数与小数，再根据k 奇偶性分类讨论元素个数，最后根据符号数列合并通项.【详解】（1）1110(1)(1)a x x -=-∴二项展开式中的二项式系数之和为102， 令1x =得二项展开式中的系数之和为10(11)=0-；（2）2012001200(12)(12)2a r r r r x x T C x ++=+∴=⋅设二项展开式中的系数最大的项数为1,[0,200],r r r N +∈∈则112002001120020012(200)22133134133,1342(201)22r r r r r r r r r r C C r r r r C C ++--⎧+≥-⋅≥⋅⎧∴∴≤≤∴=⎨⎨-≥⋅≥⋅⎩⎩， 因此二项展开式中的系数最大的项为133133200(2)C x ，134134200(2)C x （3）1224455k a k k d Z +=⨯=⨯∉ 1111222(51)(555(1))(1)555k k k k k k k k k d C C ---=⨯-=⨯-++⨯⨯-+- 1121122[55(1)](1)5k k k k k k k C C ----=-++⨯-+- 所以当k 为偶数时，集合1{|,}k k x d x d x +<<∈Z 的元素个数为1111211112[55(1)]2[55(1)]1k k k k k k k k k k k k C C C C -----++=-++⨯---++⨯--12261[(51)1][(51)1]145555k k k +=-+----=⋅- 当k 为奇数时，集合1{|,}k k x d x d x +<<∈Z 的元素个数为1111211112[55(1)]2[55(1)]1k k k k k k k k k k k k C C C C -----++=-++⨯---++⨯-+12261[(51)1][(51)1]145555k k k +=----++=⋅+ 综上，元素个数为164(1)5k k +⋅+- 【点睛】本题考查二项式系数之和、二项式展开式各项系数之和、二项式展开式中系数最大项以及利用二项式展开式计数，考查综合分析求解与应用能力，属较难题.。
2020学年上海市宝山区高二下学期期末统考数学试题(解析版) (2)
上海市宝山区高二下学期期末统考数学试题一、单选题1．已知ABC ∆的边BC 上有一点D D 满足4BD DC =u u u v u u u v ，则AD u u u v可表示为( )A ．1344AD AB AC =+u u u v u u u v u u u vB ．3144AD AB AC =+u u u v u u u v u u u vC ．4155AD AB AC u u u v u u u v u u u v=+D ．1455AD AB AC =+u u u v u u u v u u u v【答案】D【解析】由AD AB BD =+u u ur u u u r u u u v ，结合题中条件即可得解.【详解】 由题意可知()44145555AD AB BD AB BC AB AC AB AD AB AC =+=+=+-==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v u u u v u u u v u u u v.故选D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，熟练掌握向量的加减法及数乘运算是解题的关键，属于基础题.2．设l 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线，则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的（ ）条件 A.充要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要【答案】A【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可。
【详解】因为m 是平面α内的任意一条直线，m 具有任意性，若l m ⊥，由线面垂直的判断定理，则l α⊥，所以充分性成立；反过来，若l α⊥，m 是平面α内的任意一条直线，则l m ⊥，所以必要性成立，故“l m ⊥”是“l α⊥”成立的充要条件。
故选：A 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，意在考查考生对基本概念的掌握情况。
3．已知单位向量,OA OB u u u r u u u r 的夹角为60o ，若2OC OA OB u u u r u u u r u u u r=+，则ABC ∆为（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】2,2,OC OA OB BC OC OB OA AC OC OA OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u Q u v u u u v=+∴=-==-=+，22222,23BC OA AC OA OB OA OB u u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ∴===++⋅=，AC OA ∴=Q u u u v u u u v 与OB uuu r 夹角为60o，且1,1OA OB AB u u u v u u u v u u u v ==∴=，222,AB AC BC ABC +=∴∆u u u v u u u v u u u v 为直角三角形，故选C.4．在等比数列{}n a中，若2a =，3a =115721a a a a +=+ A.12B.23C.32D.2【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q，则32a q a ==()611511566721115181162a a a a a a a a q q ⎛⎫++=====++.故选A. 二、填空题5．已知3i 12i z =-（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为________ 【答案】2i -【解析】根据复数的四则运算以及共轭复数的概念即可求解。
上海市金山中学2020届高二下期末考试数学试卷及解析
上海市金山中学2020届第二学期期末考试高二数学一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1. 的展开式中项的系数为______．【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为______.【答案】1【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合,,若，则实数的值为___________.【答案】2【解析】试题分析：由题意，则，由得，解得．考点：集合的运算．4. 若变量满足约束条件则的最小值为_________.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得，由图可知，当直线过点时，直线在y轴上的截距最小，有最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_____________.【答案】或.【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_______.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．则该校学生上学所需时间的均值估计为______________．（精确到分钟）.【答案】34................点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种________.【答案】186【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，，，，则该三棱锥的体积V的取值范围是______．【答案】【解析】由于平面，，在中，，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积V的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值等于_________.【答案】9【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，，，再根据双曲线的定义得的最大值为.考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为1的正方体及其内部一动点，集合,则集合构成的几何体表面积为___________.【答案】【解析】试题分析：.考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_______________.【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，，则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分．∴阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）A. 2B. 0C. -2D. -2【答案】C【解析】∵复数是纯虚数，∴，化为，解得，∴，∴，∴的虚部为，故选C.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B【解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选B.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在轴上，平行于轴，侧棱平行于轴．当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）A. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；B. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；C. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；D. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化．【答案】B【解析】A、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影，随点得运动发生变化，故错误；B、设是z轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变．故正确；C、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误．D、与矛盾．故错误；故选B.点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系．本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中C点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断：①到、、、四点的距离之和为定值；②曲线关于直线、均对称；③曲线所围区域面积必小于．上述判断中正确命题的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】对于①，若点在椭圆上，到、两点的距离之和为定值、到、两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于③，曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；故选C.三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17. 已知复数满足，（其中是虚数单位），若，求的取值范围．【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解出的范围.试题解析：，，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，，，是棱上一点，，，，，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，，，，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，，，因此，得证.（1）以原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.则，，，. 3分于是,,, 异面直线与所成的角的大小等于. 6分（2）过作交于，在中，，，则，，，，10分，.又，平面. 12分考点：（1）异面直线所成的角；（2）线面垂直.19. 如图，圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，．（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离.试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，，∴圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，∵不在平面，平面，∴平面，∴C到平面的距离即直线到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，∴，∴直线到平面的距离为．20. 阅读：已知，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，，求证：.【答案】（1）9（2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1），2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆．已知椭圆，其左顶点为、右顶点为．（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，当为何值时取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆．椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上．【答案】（1）或；（2）当时，取得最小值．（3）见解析【解析】试题分析：（1）运用“相似椭圆”的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标，可得直线与直线的方程，代入椭圆的方程，运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；设的垂心的坐标为，运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为，化简整理，可得的坐标，代入椭圆的方程即可得证．试题解析：（1）由题意得或，分别解得或.（2）由题意知：，，直线，直线，联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ①联立方程，整理得：.因为直线与椭圆仅有一个公共点，所以. ②由①②得：.所以，此时，即.（3）由题意知：，所以，且.设垂心，则，即 . 又点在上，有，. 则，所以的垂心在椭圆上.。
2020-2021学年上海市青浦区高二下学期期末考试数学试卷及解析
2020-2021学年上海市青浦区高二下学期期末考试数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、填空题1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝．解：∵z＝＝，∴|z|＝．故答案为：．2．抛物线x2＝﹣y的焦点到准线的距离是．解：抛物线的焦点为（0，﹣），准线方程为y＝，所以抛物线x2＝﹣y的焦点到准线的距离﹣（﹣）＝，故答案为：．3．双曲线﹣＝1的渐近线方程是y＝±x．解：∵双曲线方程为﹣＝1的，则渐近线方程为线﹣＝0，即y＝±，故答案为y＝±．4．在（2x+）6的二项展开式中，常数项为60 ．解：∵（2x+）6的二项展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•，令6﹣＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项为•22＝60，故答案为：60．5．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD，且，则该四棱锥P﹣ABCD的体积为．解：因为PA⊥底面ABCD，且，所以四棱锥P﹣ABCD的体积为：V＝•S正方形ABCD•PA＝×22×2＝．四棱锥P﹣ABCD故答案为：．6．已知两条直线l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝ 3 ．解：两条直线l1：ax﹣2y﹣3＝0，l2：4x+6y﹣3＝0，∵l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，∴l1⊥l2，∴a×4﹣2×6＝0，解得a＝3．故答案为：3．7．已知抛物线y2＝8x的焦点（a＞0）的右焦点重合，则a＝．解：抛物线的焦点坐标为（2，0），因为抛物线y2＝8x的焦点（a＞0）的右焦点重合，所以c＝2，所以a2＝b2+c2＝1+4＝5，所以a＝，故答案为：．8．现有《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》各一本，分给甲、乙、丙、丁、戊5名同学，每人一本，若甲乙都没有拿到《诗经》，且乙也没拿到《春秋》，则所有可能的分配方案有54 种．解：根据题意，分2种情况讨论：。