6种方法解决一道超经典几何题的证明
初一数学几何证明题的常见解题方法
初一数学几何证明题的常见解题方法初一数学几何证明题的常见解题方法初一是刚接触几何的知识，关于几何的证明题是很多的，这些该怎么解答呢？下面就是给大家的初一几何证明题内容，希望大家喜欢。
1)D是三角形ABC的BC边上的点且CD=AB，角ADB=角BAD，AE 是三角形ABD的中线，求证AC=2AE。
(2)在直角三角形ABC中，角C=90度，BD是角B的平分线，交AC于D，CE垂直AB于E，交BD于O，过O作FG平行AB，交BC 于F，交AC于G。
求证CD=GA。
延长AE至F，使AE=EF。
BE=ED，对顶角。
证明ABE全等于DEF。
=》AB=DF，角B=角EDF角ADB=角BAD=》AB=BD，CD=AB=》CD=DF。
角ADE=BAD+B=ADB+EDF。
AD=AD=》三角形ADF全等于ADC=》AC=AF=2AE。
题干中可能有笔误地方：第一题右边的E点应为C点，第二题求证的CD不可能等于GA，是否是求证CD=FA或CD=CO。
如上猜测准确，证法如下：第一题证明:设F是AB边上中点，连接EF角ADB=角BAD，则三角形ABD为等腰三角形，AB=BD;∵ AE是三角形ABD的中线，F是AB边上中点。
∴ EF为三角形ABD对应DA边的中位线，EF∥DA，则∠FED=∠ADC，且EF=1/2DA。
∵∠FED=∠ADC,且EF=1/2DA，AF=1/2AB=1/2CD∴△AFE∽△CDA∴ AE:CA=FE:DA=AF:CD=1:2AC=2AE得证第二题：证明:过D点作DH⊥AB交AB于H，连接OH，则∠DHB=90°;∵∠ACB=90°=∠DHB，且BD是角B的平分线，则∠DBC=∠DBH，直角△DBC与直角△DBH有公共边DB;∴△DBC≌△DBH，得∠CDB=∠HDB，CD=HD;∵ DH⊥AB，CE⊥AB;∴ DH∥CE，得∠HDB=∠COD=∠CDB，△CDO 为等腰三角形，CD=CO=DH;四边形CDHO中CO与DH两边平行且相等，则四边形CDHO为平行四边形，HO∥CD且HO=CD∵ GF∥AB，四边形AHOF中，AH∥OF，HO∥AF，则四边形AHOF为平行四边形，HO=FA∴CD=FA得证有很多题1.已知在三角形ABC中，BE,CF分别是角平分线，D是EF中点，若D到三角形三边BC,AB,AC的距离分别为x,y,z，求证：x=y+z 证明;过E点分别作AB,BC上的高交AB,BC于M,N点.过F点分别作AC,BC上的高交于P,Q点.根据角平分线上的点到角的2边距离相等可以知道FQ=FP,EM=EN.过D点做BC上的高交BC于O点.过D点作AB上的高交AB于H点,过D点作AB上的高交AC于J 点.则X=DO,Y=HY,Z=DJ.因为D 是中点,角ANE=角AHD=90度.所以HD平行ME，ME=2HD 同理可证FP=2DJ。
一道几何题的多种证明方法及启示
一道几何题的多种证法及启示在日常的教学工作中,有这样一个问题：已知如图在Rt ABC ∆中，90O ACB ∠=，30O B ∠=，,D E 分别是,AB CD 的中点，则12AE BC =. 这道题目的条件、结论都非常简单，具有数学问题的简洁美，而结论的证明也并不难。
经过分析探究，发现该题的证法比较丰富，同时能从不同的角度去训练学生思维能力。
不失为进行“一题多解”教学的一个好例题。
一、证法探究1．“长截短补”法.一般而言，当我们遇到解决两条或两条以上线段之间的数量关系问题时，均会采用这种方法。
下面看这道题的两个证明过程：证法1. 取BC 的中点F ,连接DF ,如图所示.则12BF BC =. 那么下面只要说明BF AE =或CF AE =. 在Rt ABC ∆中,90OACB ∠=,D 是AB 的中点,AD CD DB ∴==. CDB ∴∆是等腰三角形.30OB ∠= ,60OA ∴∠=.ACD ∴∆是等边三角形.又E 为CD 的中点,F 为BC 的中点.AE CD ∴⊥,DF BC ⊥.90O AED BFD ∴∠==∠. 30O EAD B ∠==∠ ,AED BFD ∴∆≅∆ ()AAS .12AE BF BC ∴==. 证毕.证法2. 延长AE 至点G ,使EG AE =,连接DG ,如图所示.易知AC AD CD DB ===. 又E 是CD 的中点,AE CD ∴⊥.AE EG = ,CD ∴是AG 的垂直平分线.DG AD ∴=,60O GDE ADE ∠=∠=.120O ADG CDB ∴∠==∠.再由DG AD CD BD ===,可得ADG CDB ∆≅∆()SASAG BC ∴=,12AE BC ∴=. 证毕. 点评：可以看出“长截短补”这种方法对于证明线段之间的数量关系是十分奏效的。
但是 “截ABBABA（补）”不能乱截（补），是有目的的截（补），要朝着题目的结论或条件进行以便于解题。
几何证明题的技巧
几何证明题的技巧1）证明线段相等，角相等的题，通常找到线段所在图形，证明全等2）隐藏条件：比如特殊图形的性质自己要清楚，有些时候几何题做不出来就是因为没有利用好隐藏条件3）辅助线起到关键作用4）几何证明步骤：依据—结论—定理切记勿忽略细微条件5）遇到面积问题，辅助线通常做高，遇到圆，多为做半径，切线6）个别题型做辅助线：1通过连结，延长，作垂直，作平行线等添加辅助线的方法，构造全等三角形。
2遇到有中点条件时，常常延长中线（即倍长中线），或以中点为旋转中心，使分散的条件汇集起来。
3遇到求边之间的和，差，倍数关系时，通常采用截长补短的方法，求角度之间的关系时，也一样。
要掌握初中数学几何证明题技巧，熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下，多做练习，熟能生巧，遇到几何证明题能想到采用哪一类型原理来解决问题。
一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。
4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。
5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。
6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。
7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。
8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。
*9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。
*10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。
11.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。
*12.两圆的内（外）公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
二、证明两个角相等1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。
5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。
*6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
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D 几何证明题的技巧1.几何证明是平面几何中的一个重要问题，它有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。
这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。
2.掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3）分析综合法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。
3.掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。
在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。
1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。
证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。
例1. 已知：如图1 所示，∆ABC 中，∠C = 90︒，AC =BC，AD =DB，AE =CF 。
求证：DE＝DF AEC F B图1分析：由∆ABC 是等腰直角三角形可知，∠A =∠B = 45︒，由D 是AB 中点，可考虑连结CD，易得CD =AD ，∠DCF = 45︒。
从而不难发现∆DCF ≅∆DAE证明：连结CDAC =BC∴∠A =∠B∠ACB = 90︒，AD =DB∴CD =BD =AD，∠DCB =∠B =∠AAE =CF，∠A =∠DCB，AD =CD∴∆ADE ≅∆CDF∴DE =DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中EF2 3 1线或高是常用的辅助线。
一道经典几何题的六种证明方法(郑荣国2012.5.9)
【例23】如图，已知等腰直角三角形ABC ，BD 平分ABC ∠，CE BD ⊥，垂足为E ，求证：2BD CE =．B AEDC【解析】解法一：如图，延长BA 、CE 于F ．B AEDCF∵FBE CBE ∠=∠，BE CF ⊥，∴12CE EF CF ==．∵90FCA F ∠+∠=︒，90DBA F ∠+∠=︒， ∴FCA DBA ∠=∠．又∵AC AB =，90FAC DAB ∠=∠=︒， ∴FCA DBA ∆∆≌， ∴CF BD =． ∵2CF CE =， ∴2BD CE =．解法二：如图，作ACB ∠的平分线CF ，则CF BD =．过D 作DH CF ⊥，垂足为H ，连接FD ．BA HFEDC∵ABC ACB ∠=∠，∴BD CF =，BF CD =， ∴FD BC ∥．∴45AFD ABC ∠=∠=︒，122.52DFC BCF ACB ∠=∠=∠=︒．∴DFC DCF ∠=∠，故DF DC =． ∴DH 是CF 的中垂线，∴1122HC HF CF BD ===．∵90ECD CDE ∠+∠=︒，90ABD ADB ∠+∠=︒，CDE ADB ∠=∠， ∴22.5ECD ABD ∠=∠=︒， ∴ECD HCD ∠=∠．又∵90DEC DHC ∠=∠=︒，DC 公共， ∴DCE DHC ∆∆≌，∴12CE HC BD ==，即2BD CE =．解法三：如图，过D 作DH BC ∥交AB 于H ．过H 作HF BD ⊥，垂足为F ．BA EDC HF∴45AHD ABC ∠=∠=︒，HDB DBC HBD ∠=∠=∠， ∴HB HD =．∴HF 是BD 的中垂线，∴12F BD =．又∵AH AD =，AB AC =，∴HB CD =．∵BHF BDA CDE ∠=∠=∠，∴Rt Rt BFH CED ∆∆≌．∴BF CE =，12CE BD =，即2BD CE =．解法四：如图，作BD 的中垂线GH 交BC 于H ，则BH DH =，HDG HBG ∠=∠．C DEABGH而ABG HBG ∠=∠，∴HDG ABG ∠=∠，从而HD AB ∥． ∴45DHC ABC ∠=∠=︒， ∴HD CD =，即BH CD =．又∵90ECD CDE ∠+∠=︒，90ABD ADB ∠+∠=︒，ADB CDE ∠=∠． ∴ECD ABD ∠=∠，即ECD GBH ∠=∠． ∴Rt Rt CED BGH ∆∆≌．∴12CE BG BD ==，故2BD CE =．解法五：如图，取BD 的中点F ，连接AF 、AE ．FBAE D C∵AF 是Rt ABD ∆斜边上的中线，∴12AF BF BD ==，245AFE ABF BAF ABF ABC ∠=∠+∠=∠=∠=︒．∵AB AC ⊥，CE BE ⊥，∴90BAC BEC ∠=∠=︒， ∴A 、B 、C 、E 4点共圆．∴45AEB ACB ∠=∠=︒，∴AF AE =． 又∵ABE EBC ∠=∠，∴AE CE =．即12CE BD =，∴2BD CE =．解法六：如图，作BC 的中线AM ，则A M B C ⊥，AM 平分BAC ∠，取CD 的中点F ，连接MF 、ME ，则12MF BD =．CDE ABFM∵ME 是Rt BCE ∆斜边上的中线，∴ME BM =，∴122.52MEB DBM ABC ∠=∠=∠=︒，∴45CME MEB DBM ∠=∠+∠=︒， ∴45CME MAF ∠=∠=︒．又∵90ECB CBE ∠+∠=︒，90ADB ABD ∠+∠=︒，CBE ABD ∠=∠， ∴ECB ADB ∠=∠．∵MF BD ∥，∴MFA ADB ∠=∠．即MFA ECB ∠=∠． ∴AMF MEC ∆∆≌，∴MF CE =，即12CE BD =，故2BD CE =．。
初中几何证明题的解题思路
初中几何证明题的解题思路初中几何证明题是初中几何中很重要的一部分，加强知识储备和运用技能也必须掌握几何证明题的解题思路和方法。
解决几何证明题，除了要掌握基础的定理、定义、规则和基本的计算技巧外，还应注意以下几点：一、熟练掌握几何证明的基本方法1.逆否命题法：当一个命题成立时，其逆命题不成立，反之亦然，因此，可用该法证明：先把命题的否定形式表达出来，然后用简单的数学推导证明它是有悖常理的，从而由“逆否律”证明原命题的正确性。
2.抽象法：有时可通过抽象的方法，让问题变得更容易解决。
比如，将几何问题抽象成代数问题，或者将几何图形抽象成抽象的风范，可以使得问题变得更加容易理解。
3.反证法：即依据一定的前提，证明假设不符合要求，即可以知识前提及充分条件，利用反证法，证明假设是错误的。
反证法按逻辑关系可分为“反证正确”和“反证错误”两类。
通过反证法，我们可以得到几何定理证明的结论，从而解决几何证明题。
4.归纳法：归纳法也称归绕法，是几何证明题的解决方法之一，是依据一个事实、一个特性或一个定理，从而推出其他一些事实或定理的过程。
它的解法具有一般性，可以应用在各种形式的几何证明题中。
二、逐步解决几何证明题1.第一步：识别几何图形：首先要明确几何图形的形状、大小、位置等特征，然后把图形上的角、弧、线段和点等标出来，注明它们的名称和特点，以及它们之间的关系。
2.第二步：分析题意：要弄清题目所提出的问题，明确要证明的是什么，并对问题和其它已知条件进行分析，总结出题目的本质，找出和解决问题的重点。
3.第三步：确定证明步骤：根据题目的条件和要证明的内容，结合定义、定理和基本性质，确定出证明步骤，并画出证明图形，默写证明式。
4.第四步：设立并证明中间结论：根据证明步骤，依次针对每一步进行证明，首先得出一个中间结论，然后按定义、定理及基本性质等，写出证明式，再根据前一步得出的中间结论，将其作为充分条件，以此推出下一步的中间结论，依次重复反复证明，最终推出原结论。
几何证明中常用的方法
几何证明中常用的方法在几何证明中，有很多常用的方法。
以下是其中一些常用的方法：1.直接证明法：这是最常见的证明方法之一，使用已知的事实和定义，逐步推导出结论。
这个方法通常用于证明简单的几何问题，例如两个角度相等、两个线段相等等。
2.反证法：也被称为间接证明法，这个方法假设待证明的结论是错误的，然后通过逻辑推理推出不可能的结论，从而反驳原本的假设。
这种证明方法常用于证明一个角度不可能是一些值或条线段不可能与另一条线段相等等问题。
3.构造法：这个方法通过构造出一个满足条件的几何图形来证明一个结论。
构造法对于证明条线段等于另一条线段、一些角度等于另一个角度等问题非常有效。
4.数学归纳法：这个方法通常用于证明一些结论对于所有正整数或自然数都成立。
证明从基础情况开始，然后通过推理证明结论对于所有数都成立。
5.三角形的证明方法：这些方法是专门用于证明三角形性质的。
其中一种常用的方法是相似三角形的证明方法，利用三角形的相似性质来推导出结论。
6.平行线的证明方法：证明两条线段平行的方法有很多种。
其中一种常用的方法是使用平行线的性质，例如同位角、内错角、同旁内角等来证明两条线段平行。
7.垂直线的证明方法：证明两条线段垂直的方法也有很多种。
其中一种常用的方法是使用垂直线的性质，例如互补角、直角等来证明两条线段垂直。
8.三角形全等的证明方法：证明两个三角形全等的方法有很多种。
其中一种常用的方法是使用SSS（边边边）法则、SAS（边角边）法则、ASA （角边角）法则等来证明三角形全等。
9.圆的证明方法：证明圆的性质的方法也有很多种。
其中一种常用的方法是使用圆的定义和性质，例如圆心角、等弧、切线等来证明圆的性质。
总体而言，几何证明的方法有很多种，每种方法都有其特定的应用场景。
熟悉这些方法可以帮助我们更好地进行几何证明。
几何证明中的几种技巧(教师用)
几何证明中的几种技巧一．角平分线－－轴对称１．已知在ΔABC 中，Ｅ为ＢＣ的中点，ＡＤ平分BAC ∠，BD AD ⊥于Ｄ．ＡＢ＝９，ＡＣ＝１３．求ＤＥ的长．CBADECBADEF分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则ＢＤ＝ＤＦ．又ＢＥ＝ＥＣ，即ＤＥ为ΔBCF 的中位线．∴11()222DE FC AC AB ==-=．２．已知在ΔABC 中，108A ∠=，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC ∠．求证：ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．DABCDABCE分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得：18ABD DBE ∠=∠=，108A BED ∠=∠= ，36C ABC ∠=∠= ．∴72DEC EDC ∠=∠=，∴ＣＤ＝ＣＥ，∴ＢＣ＝ＡＢ＋ＣＤ．３．已知在ΔABC 中，100A ∠=，ＡＢ＝ＡＣ，ＢＤ平分ABC ∠．求证：ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．ABCDABCDEF分析：在ＢＣ上分别截取ＢＥ＝ＢＡ，ＢＦ＝ＢＤ．易证ΔABD ≌ΔEBD ．∴ＡＤ＝ＥＤ，100A BED ∠=∠= ．由已知可得：40C ∠= ，20DBF ∠= ．由∵ＢＦ＝ＢＤ，∴80BFD ∠=．由三角形外角性质可得：40CDF C ∠==∠．∴ＣＦ＝ＤＦ． ∵100BED ∠=，∴80BFD DEF ∠=∠=，∴ＥＤ＝ＦＤ＝ＣＦ，∴ＡＤ＝ＣＦ，∴ＢＣ＝ＢＤ＋ＡＤ．4．已知在ΔABC 中，AC BC ⊥，CE AB ⊥，ＡＦ平分CAB ∠，过Ｆ作ＦＤ∥ＢＣ ，交ＡＢ于Ｄ．求 证：ＡＣ＝ＡＤ．ACBEFDAC BEFDG分析：延长ＤＦ交ＡＣ于Ｇ．∵ＦＤ∥ＢＣ，ＢＣ⊥ＡＣ，∴ＦＧ⊥ＡＣ． 易证ΔAGF ≌ΔAEF ．∴ＥＦ＝ＦＧ．则易证ΔGFC ≌ΔEFD ．∴ＧＣ＝ＥＤ． ∴ＡＣ＝ＡＤ．５．如图（１）所示，ＢＤ和ＣＥ分别是ABC 的外角平分线，过点Ａ作ＡＦ⊥ＢＤ于Ｆ，ＡＧ⊥ＣＥ于Ｇ，延长ＡＦ及ＡＧ与ＢＣ相交，连接ＦＧ．（１）求证：1()2FG AB BC CA =++（２）若（a)ＢＤ与ＣＥ分别是ABC 的内角平分线（如图（２））；(b)ＢＤ是ΔABC 的内角平分线，ＣＥ是ΔABC 的外角平分线（如图（３））．则在图（２）与图（３）两种情况下，线段ＦＧ与ΔABC 的三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对其中的一种情况给予证明．GFABCE D HI FGA BCD E IHGFABCDE I H图（１） 图（２） 图（３）分析：图（１）中易证ΔABF ≌ΔIBF 及ΔACG ≌ΔHCG ．∴有ＡＢ＝ＢＩ，ＡＣ＝ＣＨ及ＡＤ＝ＩＤ，ＡＧ＝ＧＨ．∴ＧＦ为ΔAIH 的中位线．∴1()2FG AB BC CA =++．同理可得图（２）中1()2FG AB CA BC =+-；图（３）中1()2FG BC CA AB =+-６．如图，ΔABC 中，Ｅ是ＢＣ边上的中点，ＤＥ⊥ＢＣ于Ｅ，交BAC ∠的平分线ＡＤ于Ｄ，过Ｄ作ＤＭ⊥ＡＢ于Ｍ，作ＤＮ⊥ＡＣ于Ｎ．求证：ＢＭ＝ＣＮ．ABCEDNMC BAEDNM分析：连接ＤＢ与ＤＣ．∵ＤＥ垂直平分ＢＣ，∴ＤＢ＝ＤＣ．易证ΔAMD ≌ΔAND ． ∴有ＤＭ＝ＤＮ．∴ΔBMD ≌ΔCND （ＨＬ）．∴ＢＭ＝ＣＮ．７．如图，在ΔABC 中，2B C ∠=∠，ＡＤ平分BAC ∠．求证：ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．ABCDABCDE分析：在ＡＣ上截取ＡＥ＝ＡＢ，连接ＤＥ．则有ΔABD ≌ΔAED ．∴ＢＤ＝ＤＥ． ∴B AED C EDC ∠=∠=∠+∠．又∵2B C ∠=∠，∴C EDC ∠=∠． ∴ＤＥ＝ＣＥ．∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＤ．８．在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ平分BAD ∠，过Ｃ作ＣＥ⊥ＡＢ于Ｅ，且1()2AE AB AD =+．求ABC ADC ∠+∠的度数．CAE BDCAE B DF分析：延长ＡＢ到Ｆ，使得ＢＦ＝ＡＤ．则有ＣＥ垂直平分ＡＦ，∴ＡＣ＝ＦＣ． ∴F CAE DAC ∠=∠=∠．∴有ΔCBF ≌ΔCDA （ＳＡＳ）．∴CBF D ∠=∠． ∴180ABC ADC ∠+∠=．二．旋转１．如图，已知在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ上，Ｆ在ＤＣ上，ＢＥ＋ＤＦ＝ＥＦ． 求证：45EAF ∠=．BD A C FEBD A CGFE分析：将ΔADF 绕Ａ顺时针旋转90得ABG ．∴GAB FAD ∠=∠．易证ΔAGE ≌ΔAFE ．∴ 1452FAE GAE FAG ∠=∠=∠=２如图，在ABC 中，90ACB ∠=，ＡＢ＝ＢＣ，Ｄ为ＡＣ中点．ＡＢ的延长线上任意一点Ｅ．ＦＤ⊥ＥＤ交ＢＣ延长线于Ｆ．求证：ＤＥ＝ＤＦ．AB CFEDABCFED分析：连接ＢＤ．则BDE 可视为CDF 绕Ｄ顺时针旋转90所得．易证ＢＤ⊥ＤＣ与ＢＤ＝ＣＤ．则BDE CDF ∠=∠．又易证135DBE DCF ∠=∠=．∴ΔBDE ≌ΔCDF ．∴ＤＥ＝ＤＦ．３．如图，点Ｅ在ΔABC 外部，Ｄ在边ＢＣ上，ＤＥ交ＡＣ于Ｆ．若123∠=∠=∠， ＡＣ＝ＡＥ．求证：ΔABC ≌ΔADE ．213EDCB A分析：若ΔABC ≌ΔADE ，则ΔADE 可视为ΔABC 绕Ａ逆时针旋转1∠所得．则有B ADE ∠=∠． ∵12B ADE ∠+∠=∠+∠，且12∠=∠．∴B ADE ∠=∠．又∵13∠=∠． ∴BAC DAE ∠=∠．再∵ＡＣ＝ＡＥ．∴ΔABC ≌ΔADE ．４．如图，ΔABC 与ΔEDC 均为等腰直角三角形，且Ｃ在ＡＤ上．ＡＥ的延长线交ＢＤ于Ｆ．请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程．AE C BDF分析：将Rt ΔBCD 视为Rt ΔACE 绕Ｃ顺时针旋转90即可．５．如图，点Ｅ为正方形ＡＢＣＤ的边ＣＤ上一点，点Ｆ为ＣＢ的延长线上的一点，且ＥＡ⊥ＡＦ．求证：ＤＥ＝ＢＦ．BD ACFE分析：将ΔABF 视为ΔADE 绕Ａ顺时针旋转90即可．∵90FAB BAE EAD BAE ∠+∠=∠+∠=．∴FBA EDA ∠=∠．又∵90FBA EDA ∠=∠=，ＡＢ＝ＡＤ．∴ΔABF ≌ΔADE ．（ＡＳＡ）∴ＤＥ＝ＤＦ．三．平移１．如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＢＤ⊥ＡＣ，ＡＣ＝８，ＢＤ＝１５．求梯形ＡＢＣＤ的中位线长．ACBDACBDE分析：延长ＤＣ到Ｅ使得ＣＥ＝ＡＢ．连接ＢＥ．可得ACEB ．可视为将ＡＣ平移到ＢＥ．ＡＢ平移到ＣＥ．由勾股定理可得ＤＥ＝１７．∴梯形ＡＢＣＤ中位线长为８．５．２．已知在ΔABC 中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＡＢ上一点，Ｅ为ＡＣ延长线一点，且ＢＤ＝ＣＥ．求证：ＤＭ＝ＥＭ．MABC ED M ABC EDF分析：作ＤＦ∥ＡＣ交ＢＣ于Ｆ．易证ＤＦ＝ＢＤ＝ＣＥ．则ＤＦ可视为ＣＥ平移所得． ∴四边形ＤＣＥＦ为DCEF ．∴ＤＭ＝ＥＭ．四．中点的联想 （一）倍长１．已知，ＡＤ为ABC 的中线．求证：ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．DBCADEBCA分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＥ＝２ＡＤ．连接ＢＥ易证ΔBDE ≌ΔCDA ． ∴ＢＥ＝ＡＣ．∴ＡＢ＋ＡＣ>２ＡＤ．２．如图，ＡＤ为ΔABC 的角平分线且ＢＤ＝ＣＤ．求证：ＡＢ＝ＡＣ．DBACDBACE分析：延长ＡＤ到Ｅ使得ＡＤ＝ＥＤ．易证ΔABD ≌ΔECD ．∴ＥＣ＝ＡＢ． ∵BAD CAD ∠=∠．∴E CAD ∠=∠．∴ＡＣ＝ＥＣ＝ＡＢ．３．已知在等边三角形ＡＢＣ中，Ｄ和Ｅ分别为ＢＣ与ＡＣ上的点，且ＡＥ＝ＣＤ．连接ＡＤ与ＢＥ交于点Ｐ，作ＢＱ⊥ＡＤ于Ｑ．求证：ＢＰ＝２ＰＱ．D P CBAEQD P CBAFEQ分析：延长ＰＤ到Ｆ使得ＦＱ＝ＰＱ．在等边三角形ＡＢＣ中ＡＢ＝ＢＣ＝ＡＣ，60ABD C ∠=∠=．又∵ＡＥ＝ＣＤ，∴ＢＤ＝ＣＥ．∴ΔABD ≌ΔBCE ．∴CBE BAD ∠=∠．∴60BPQ PBA PAB PBA DBP ∠=∠+∠=∠+∠=． 易证ΔBPQ ≌ΔBFQ ．得ＢＰ＝ＢＦ，又60BPD ∠=．∴ΔBPF 为等边三角形． ∴ＢＰ＝２ＰＱ．（二）中位线１．已知在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ和Ｆ分别为ＢＤ与ＡＣ的中点．求证：1()2EF BC AD =-．CA D BEFCA DBEFG分析：取ＤＣ中点Ｇ，连接ＥＧ与ＦＧ．则ＥＧ为ΔBCD 中位线，ＦＧ为ΔACD 的中位线．∴ＥＧ∥＝12BC ，ＦＧ∥＝12AD ．∵ＡＤ∥ＢＣ．∴过一点Ｇ有且只有一条直线平行于已知直线ＢＣ，即Ｅ、Ｆ、Ｇ共线．∴1()2EF BC AD =-．（三）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半１．已知，在ABCD 中12AB BD =．Ｅ为ＯＡ的中点，Ｆ为ＯＤ中点，Ｇ为ＢＣ中点．求证：ＥＦ＝ＥＧ．O C DBAEFGO CDBAEFG分析：连接ＢE ．∵12AB BD =，ＡＥ＝ＯＥ．∴ＢＥ⊥ＣＥ，∵ＢＧ＝ＣＧ．∴12EG BC =．又ＥＦ为ΔAOD 的中位线．∴12EF AD =．∴ＥＦ＝ＥＧ．２．在ΔABC 中，ＡＤ是高，ＣＥ是中线，ＤＣ＝ＢＥ，ＤＧ⊥ＣＥ于Ｇ． 求证：（１）ＣＧ＝ＥＧ．（２）2B BCE ∠=∠．ECDGABECDGAB分析：（１）连接ＤＥ．则有ＤＥ＝ＢＥ＝ＤＣ．∴Rt ΔCDG ≌Rt ΔEDG （ＨＬ）． ∴ＥＧ＝ＣＧ．（２）∵ＤＥ＝ＢＥ．∴B BDE DEC BCE ∠=∠=∠+∠． ∵ＤＥ＝ＣＤ．∴DEC BCE ∠=∠．∴2B BCE ∠=∠．３．已知：在等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，60BOC ∠=．Ｅ、Ｆ、Ｇ分别是ＯＡ、ＯＢ、ＣＤ的中点．求证：ΔEFG 是等边三角形．CO BDA E F GCOBDA E FG分析：连接ＥＤ、ＦＣ．易证ΔAOD 与ΔBOC 均为正三角形．由已知可得12EF AB =．在Rt ΔCDE 与Rt ΔCDF 中，有12FG EG DC ==．∴ＥＦ＝ＥＧ＝ＦＧ．即EFG 是等边三角形．六．等面积法１．已知在ΔABC 中，90BAC ∠=，ＡＤ⊥ＢＣ于Ｄ．ＡＢ＝８，ＡＣ＝１５． 求ＡＤ的长．AB CD分析：1122ABC S AB AC BC AD == ．２．已知Ｐ为矩形ＡＢＣＤ中ＡＤ上的动点（Ｐ不与Ａ或Ｄ重合）．ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，ＰＦ⊥ＢＤ于Ｆ．AB a =，BC b =．问：ＰＥ＋ＰＦ的值是否为一定值？若是，求出此值并证明；若不是，说明理由．OABCDPEFOABCDPEF分析：连接ＰＢ、ＰＣ．易得APC APB S S = ．∴12APC APB ABD S S S ab +==．又2212APC S PE a b =+ ，2212DPB S PF a b =+ ．∴22ab PE PF a b +=+．３．已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＤＥ＝ＦＧ，ＧＰ⊥ＤＥ于Ｐ，ＤＱ⊥ＦＧ于Ｑ． 求证：Ｔ在DOG ∠的平分线上．DTOA BCE F P QDTOA B CEF P Q分析：连接ＥＧ、ＦＤ及ＯＴ．∵1122DGE S DG BC DE PG == 及1122DGF S DG BC GF QD == ．又∵ＤＥ＝ＦＧ，∴ＰＧ＝ＱＤ．易证RT ΔPGD ≌Rt ΔQDG （ＨＬ）．∴QDG PGD ∠=∠，ＰＤ＝ＱＧ，PDG QGD ∠=∠． ∴Rt ΔPDT ≌Rt ΔQGT （ＡＳＡ）．∴ＰＴ＝ＱＴ． 即Ｔ在DOG ∠的平分线上．。
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学霸数学
学霸数学 6种方法解决一道超经典几何证明題
如图，在ABC中，ABC=600，ACB=400，点P为ABC与
ACB的平分线的交点．求证：AB=PC
点评：要证明线段等量关系，第一
A
想到全等三角形，但题目中并没有全等
的三角形，辅助线是少不了的。
DAC=BAC-BAD=200 =PCA
P
PAC=ACD，AC=AC故ACD CAP
PC=AD故AB=PC
B
C
D
学霸数学 6种方法解决一道超经典几何证明題
如图，在ABC中，ABC=600，ACB=400，点P为ABC与
ACB的平分线的交点．求证：AB=PC
A
方法二：内心性质，构造等边三角形
P
B
E
ACB的平分线的交点．求证：AB=PC
A
方法四：构造等腰三角形
解：连接AP并延长至F，使BCF=200
易得AE=EC=CF，CPF=ABE，
P
PCF=BAE=400，
ABE CPF，故AB=PC
B
E
C
F
学霸数学 6种方法解决一道超经典几何证明題
如图，与
ACB的平分线的交点．求证：AB=PC
方法五：构造直角三角形2
A
过点A作BC的垂线，连接AP并延长，过点C作AE的垂线
先证ADE CFE，再证ADB CFP
P
B
E
C
D
F
学霸数学 6种方法解决一道超经典几何证明題
如图，在ABC中，ABC=600，ACB=400，点P为ABC与
ACB的平分线的交点．求证：AB=PC
方法六：直接构全等
A
过A作BAD=200，连接AP并延长
可证ABD CPE
P
B
DE
C
解：连接AP并延长至F，使PF=PC 由内心的性质可知APC=1200，故CPF=600 易知PCF为等边三角形PC=CF ACB=EAC=400，故EA=EC
C BAE=ECF，ABE=EFC
ECF EAB，CF=AB，故AB=PC
F
学霸数学 6种方法解决一道超经典几何证明題
如图，在ABC中，ABC=600，ACB=400，点P为ABC与
ACB的平分线的交点．求证：AB=PC
A P
方法三：构造等腰三角形
解：连接AP,作等腰AGC，使AG=AC G=400，PAC=400； GAB=ACP=200，故GAB ACP AB=PC
GB
C
学霸数学 6种方法解决一道超经典几何证明題
如图，在ABC中，ABC=600，ACB=400，点P为ABC与
P B
如何作辅助线是题目的关键，同学 们可以结合已知条件中，特殊的角进行 联想。
C
学霸数学 6种方法解决一道超经典几何证明題
如图，在ABC中，ABC=600，ACB=400，点P为ABC与
ACB的平分线的交点．求证：AB=PC
方法一：构造等边三角形
A 解：连接PA，在BC截取BD=BA，连接AD
由ABC=600易知ABD为等边三角形