山东省济宁市嘉祥一中2020届高三下学期第一次质量检测数学试题(解析版)
2020年高考数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1＜x＜4}C．{1，2，3}D．{2，3}2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2C．i D．13．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3D．﹣4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若，则a+2b的最小值为（）A．6B．C．3D．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π二、多项选择题9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2三、填空题13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为尺．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝，的最小值为．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值18．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB ＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校比例等级学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%（Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）21．已知椭圆C：3x2+4y2＝12．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线x＝4相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论．22．已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1＜x＜4}C．{1，2，3}D．{2，3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．解：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤1}，∴∁U B＝{x|x＞1}，A∩（∁U B）＝{2，3}．故选：D．2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2C．i D．1【分析】根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可．解：依题意，因为复数z满足，所以z＝＝＝i，所以|z|＝1，故选：D．3．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3D．﹣【分析】先求得得＝＝（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．解：由题意可得＝＝（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m＝﹣3，故选：C．4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得f（x）为奇函数，排除B，结合函数的解析式可得当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除C，当x＞1时，f（x）＞0，排除D；据此即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B，当0＜x＜1时，ln|x|＝lnx＜0，x3＞0，则有f（x）＜0，排除C，当x＞1时，ln|x|＝lnx＞0，x3＞0，则有f（x）＞0，排除D，故选：A．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设f（x）＝a sin x+1，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，a sin x0+1＜0求得a的范围，可知“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的不必要条件；取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立，说明“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分条件．解：必要性：设f（x）＝a sin x+1，当a＞0时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜0，即a ＞1；当a＜0时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1．故a＞1或a＜﹣1；充分性：取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立．∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分不必要条件．故选：A．6．若，则a+2b的最小值为（）A．6B．C．3D．【分析】，变形log3（2a+b）＝1+log3ab，可得a，b＞0，+＝3，可得a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++），利用基本不等式的性质即可得出．解：，∴log3（2a+b）＝1+log3ab，∴2a+b＝3ab，a，b＞0．化为：+＝3．则a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++）≥（5+2×2）＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号．故选：C．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离d＝r，列方程求出离心率e＝的值．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，圆C：x2+y2﹣10y+21＝0化为标准方程是：x2+（y﹣5）2＝4，则圆心C（0，5）到直线bx﹣ay＝0的距离为d＝r；即＝＝2，解得＝，即双曲线的离心率是e＝．故选：C．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得，：r＝，∴r＝2，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可．解：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，所以A不正确；若ab＞0，bc﹣ad＞0，可得，即﹣＞0，所以B正确；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，所以C正确；若a＞b，c＞d＞0，则．不正确，反例a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣3，显然，，所以D不正确．故选：BC．10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论．解：A．由m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确；B．由m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定；C．由m⊥α，m⊥β，则α∥β正确D．由m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，因此不正确．故选：AC．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出．解：由AB＝2AD＝2DC知：∵，∴＝＝，故A选项正确．又∵，∴＝＝＝，故B选项正确．∵，∴＝，故C正确．∵＝＝，D不正确．故选：ABC．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，进而判断出结论．解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝．可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝4．【分析】先由余弦定理求出cos A的值，结合正弦定理进行化简即可．解：由b2+c2﹣a2＝bc得cos A＝＝＝，则sin A＝，若，则+＝＝1，即+＝1，得＝，得tan B＝4，故答案为：4．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为1.5尺．【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式去求解，即得．解：由题意知为单调递增的等差数列，设为a1，a2，…，a12，公差为d，，代入得，联立方程解得a1＝1.5，故答案为：1.5．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝8，的最小值为．【分析】先有焦点坐标求出p，再讨论当直线l的斜率不存在时，求出答案，当直线l的斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出+＝，代入，根据基本不等式即可求最小值解：抛物线y2＝2px的焦点F，因为F（4，0），∴＝4⇒p＝8⇒y2＝16x；当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4，由，可得M（4，8），N（4，﹣8），∴|MF|＝|NF|＝8，∴＝﹣＝；当直线l的斜率存在时，设过点F作直线l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x﹣（16+8k2）x+16k2＝0，∴x1+x2＝8+，x1x2＝16，∴|MF|＝x1+＝x1+4，|NF|＝x2+＝x2+4，∴+＝+＝＝＝．∴＝﹣4（﹣）＝+﹣1≥2﹣1＝．（当且仅当|NF|＝6时等号成立）．故答案为：8，．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a ≤2e﹣1}．【分析】由已知可得f（x）＝e x﹣x+t，且f（t）＝e t，进而可求t及f（x），然后代入已知不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【分析】（Ⅰ）由正弦定理得a sin B＝b sin A，结合a sin A＝4b sin B，得a＝2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cos A的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入a sin A＝4b sin B，得sin B，进一步求得cos B．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．18．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）S n＝3n2+8n，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝6n+5，n＝1时，a1＝S1＝11，∴a n＝6n+5；∵a n＝b n+b n+1，∴a n﹣1＝b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1＝b n+1﹣b n﹣1．∴2d＝6，∴d＝3，∵a1＝b1+b2，∴11＝2b1+3，∴b1＝4，∴b n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（Ⅱ）c n＝＝＝＝＝＝＝＝6（n+1）•2n，∴T n＝6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n＝6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n＝6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]＝12+6×﹣6（n+1）•2n+1＝（﹣6n）•2n+1＝﹣3n•2n+2，∴T n＝3n•2n+2．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB ＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出BC1⊥BC，AB⊥BC1，由此证明C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设在棱CA 上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，由＝λ，λ∈[0，1]，求出的坐标及平面A1B1E的法向量，利用法向量求出EM与平面A1B1E所成角的正弦值，列方程求出λ的值即可．【解答】（1）证明：∵BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，∴BC1＝，∴BC2+BC12＝CC12，得BC1⊥BC，又AB⊥侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，又AB∩BC＝B，∴C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），B1（﹣1，，0），A1（﹣1，，2），E（，，0），C（1，0，0）．则＝（﹣，，0），＝（0，0，2）．设平面A1EB1的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，求得＝（1，，0）．假设在棱CA上存在一点M（a，b，c），使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，不妨设＝λ，λ∈[0，1]．又＝（a﹣1，b，c），＝（﹣1，0，2），∴，∴M（1﹣λ，0，2λ），∴＝（﹣λ，﹣，2λ），又平面A1B1E的法向量为＝（1，，0），则EM与平面A1B1E所成角的正弦值为：|cos＜，＞|＝＝＝，化简得69λ2﹣38λ+5＝0，解得λ＝或λ＝．∴在棱CA上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为．此时＝或．20．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校学校学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H比例A等级优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%（Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）【分析】（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，即可得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出随机变量X的分布列．（Ⅲ）经过计算即可得出S12与S22的关系．解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．，所以随机变量X的分布列为：X012P（Ⅲ）S12＝S22．21．已知椭圆C：3x2+4y2＝12．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线x＝4相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论．【分析】（Ⅰ）将方程化成标准方程，可得a，b，c进而求出离心率；（Ⅱ）分两种方法解题，由题意求出A，B的坐标，设直线AP，BP与x＝4联立求出M，N的坐标，设x轴一点Q，使得＝0，求出Q的坐标，即为定点．解：（Ⅰ）由得，那么a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2﹣b2＝1，解得a＝2，c＝1所以离心率；（Ⅱ）解法一：A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则，直线AP的方程：，令x＝4，得，从而M点坐标为，直线BP的方程：，令x＝4，得，从而N点坐标为，设以MN为直径的圆经过x轴上的定点Q（x1，0），则MQ⊥NQ，由得，由①式得，代入②得，解得x1＝1或x1＝7，所以以MN为直径的圆是否经过x轴上的定点（1，0）和（7，0），解法二：A（﹣2，0），B（2，0）设P（x0，y0），则，，设直线AP的方程：y＝k（x+2），令x＝4，得y M＝6k，从而M点坐标为（4，6k），则直线BP的方程：，令x＝4，得，从而N点坐标为，设以MN为直径的圆经过x轴上的定点Q（x1，0），则MQ⊥NQ，由得，可得，解得x1＝1或x1＝7，所以以MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0）和（7，0）．22．已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．【分析】（1）将m＝1代入f（x）中，然后求导判断f（x）在（0，1）上的单调性；（2）由条件求出g（x）的解析式，然后求导判断g（x）在（0，e]上的单调性，再求出其最小值；（3）求出个零点x1，x2，得到，构造函数，根据函数的单调性证明即可．解：（1）当m＝1时，f（x）＝sin（1﹣x）+lnx，则f'（x）＝﹣cos（1﹣x）+，当x∈（0，1），f'（x）在（0，1）上单调递减，∴f'（x）＞f（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上单调递增．（2）当m＝0时，（，0＜x≤e），则＝，∵，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，e]上单调递减，∴．（3）当m＝0时，，∵x1，x2是函数的两个零点，∴，，．两式相减，可得，即，∴，∴，．令（0＜t＜1），则．记，则．∵0＜t＜1，∴F'（t）＞0恒成立，∴F（t）＜F（1），即．∴，故x1+x2＞1．。
2020年高考模拟山东省济宁市嘉祥一中高考数学第一次模拟试卷 含解析
2020年高考数学第一次模拟测试试卷一、选择题1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1＜x＜4}C．{1，2，3}D．{2，3}2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2C．i D．13．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3D．﹣4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若，则a+2b的最小值为（）A．6B．C．3D．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π二、多项选择题9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2三、填空题13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为尺．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝，的最小值为．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值18．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB ＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．20．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校比例等级学校A学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%（Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）21．已知椭圆C：3x2+4y2＝12．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线x＝4相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论．22．已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4}B．{x|1＜x＜4}C．{1，2，3}D．{2，3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．解：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤1}，∴∁U B＝{x|x＞1}，A∩（∁U B）＝{2，3}．故选：D．2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2C．i D．1【分析】根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可．解：依题意，因为复数z满足，所以z＝＝＝i，所以|z|＝1，故选：D．3．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3D．﹣【分析】先求得得＝＝（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．解：由题意可得＝＝（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m＝﹣3，故选：C．4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得f（x）为奇函数，排除B，结合函数的解析式可得当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除C，当x＞1时，f（x）＞0，排除D；据此即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B，当0＜x＜1时，ln|x|＝lnx＜0，x3＞0，则有f（x）＜0，排除C，当x＞1时，ln|x|＝lnx＞0，x3＞0，则有f（x）＞0，排除D，故选：A．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设f（x）＝a sin x+1，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，a sin x0+1＜0求得a的范围，可知“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的不必要条件；取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立，说明“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分条件．解：必要性：设f（x）＝a sin x+1，当a＞0时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜0，即a ＞1；当a＜0时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1．故a＞1或a＜﹣1；充分性：取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立．∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分不必要条件．故选：A．6．若，则a+2b的最小值为（）A．6B．C．3D．【分析】，变形log3（2a+b）＝1+log3ab，可得a，b＞0，+＝3，可得a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++），利用基本不等式的性质即可得出．解：，∴log3（2a+b）＝1+log3ab，∴2a+b＝3ab，a，b＞0．化为：+＝3．则a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++）≥（5+2×2）＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号．故选：C．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离d＝r，列方程求出离心率e＝的值．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，圆C：x2+y2﹣10y+21＝0化为标准方程是：x2+（y﹣5）2＝4，则圆心C（0，5）到直线bx﹣ay＝0的距离为d＝r；即＝＝2，解得＝，即双曲线的离心率是e＝．故选：C．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得，：r＝，∴r＝2，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可．解：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，所以A不正确；若ab＞0，bc﹣ad＞0，可得，即﹣＞0，所以B正确；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，所以C正确；若a＞b，c＞d＞0，则．不正确，反例a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣3，显然，，所以D不正确．故选：BC．10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论．解：A．由m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确；B．由m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定；C．由m⊥α，m⊥β，则α∥β正确D．由m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，因此不正确．故选：AC．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出．解：由AB＝2AD＝2DC知：∵，∴＝＝，故A选项正确．又∵，∴＝＝＝，故B选项正确．∵，∴＝，故C正确．∵＝＝，D不正确．故选：ABC．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，进而判断出结论．解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝．可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝4．【分析】先由余弦定理求出cos A的值，结合正弦定理进行化简即可．解：由b2+c2﹣a2＝bc得cos A＝＝＝，则sin A＝，若，则+＝＝1，即+＝1，得＝，得tan B＝4，故答案为：4．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为1.5尺．【分析】根据题意列等式，再用等差数列的通项公式和求和公式去求解，即得．解：由题意知为单调递增的等差数列，设为a1，a2，…，a12，公差为d，，代入得，联立方程解得a1＝1.5，故答案为：1.5．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝8，的最小值为．【分析】先有焦点坐标求出p，再讨论当直线l的斜率不存在时，求出答案，当直线l的斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出+＝，代入，根据基本不等式即可求最小值解：抛物线y2＝2px的焦点F，因为F（4，0），∴＝4⇒p＝8⇒y2＝16x；当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4，由，可得M（4，8），N（4，﹣8），∴|MF|＝|NF|＝8，∴＝﹣＝；当直线l的斜率存在时，设过点F作直线l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x﹣（16+8k2）x+16k2＝0，∴x1+x2＝8+，x1x2＝16，∴|MF|＝x1+＝x1+4，|NF|＝x2+＝x2+4，∴+＝+＝＝＝．∴＝﹣4（﹣）＝+﹣1≥2﹣1＝．（当且仅当|NF|＝6时等号成立）．故答案为：8，．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a ≤2e﹣1}．【分析】由已知可得f（x）＝e x﹣x+t，且f（t）＝e t，进而可求t及f（x），然后代入已知不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值【分析】（Ⅰ）由正弦定理得a sin B＝b sin A，结合a sin A＝4b sin B，得a＝2b．再由，得，代入余弦定理的推论可求cos A的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，代入a sin A＝4b sin B，得sin B，进一步求得cos B．利用倍角公式求sin2B，cos2B，展开两角差的正弦可得sin（2B﹣A）的值．【解答】（Ⅰ）解：由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，∴a＝2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A＝4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．18．已知数列{a n}的前n项和S n＝3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n＝b n+b n+1．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）令c n＝，求数列{c n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．解：（Ⅰ）S n＝3n2+8n，∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝6n+5，n＝1时，a1＝S1＝11，∴a n＝6n+5；∵a n＝b n+b n+1，∴a n﹣1＝b n﹣1+b n，∴a n﹣a n﹣1＝b n+1﹣b n﹣1．∴2d＝6，∴d＝3，∵a1＝b1+b2，∴11＝2b1+3，∴b1＝4，∴b n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（Ⅱ）c n＝＝＝＝＝＝＝＝6（n+1）•2n，∴T n＝6[2•2+3•22+…+（n+1）•2n]①，∴2T n＝6[2•22+3•23+…+n•2n+（n+1）•2n+1]②，①﹣②可得﹣T n＝6[2•2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1]＝12+6×﹣6（n+1）•2n+1＝（﹣6n）•2n+1＝﹣3n•2n+2，∴T n＝3n•2n+2．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，已知∠BCC1＝，BC＝1，AB ＝C1C＝2，点E是棱C1C的中点．（1）求证：C1B⊥平面ABC；（2）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）推导出BC1⊥BC，AB⊥BC1，由此证明C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设在棱CA 上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，由＝λ，λ∈[0，1]，求出的坐标及平面A1B1E的法向量，利用法向量求出EM与平面A1B1E所成角的正弦值，列方程求出λ的值即可．【解答】（1）证明：∵BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝，∴BC1＝，∴BC2+BC12＝CC12，得BC1⊥BC，又AB⊥侧面BB1C1C，∴AB⊥BC1，又AB∩BC＝B，∴C1B⊥平面ABC；（2）以B为原点，BC，BC1，BA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），A（0，0，2），B1（﹣1，，0），A1（﹣1，，2），E（，，0），C（1，0，0）．则＝（﹣，，0），＝（0，0，2）．设平面A1EB1的法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，求得＝（1，，0）．假设在棱CA上存在一点M（a，b，c），使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为，不妨设＝λ，λ∈[0，1]．又＝（a﹣1，b，c），＝（﹣1，0，2），∴，∴M（1﹣λ，0，2λ），∴＝（﹣λ，﹣，2λ），又平面A1B1E的法向量为＝（1，，0），则EM与平面A1B1E所成角的正弦值为：|cos＜，＞|＝＝＝，化简得69λ2﹣38λ+5＝0，解得λ＝或λ＝．∴在棱CA上存在点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值为．此时＝或．20．为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格．良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校．各等级学生人数占该校学生总人数的比例如表：学校学校学校B学校C学校D学校E学校F学校G学校H比例A等级优秀8%3%2%9%1%22%2%3%良好37%50%23%30%45%46%37%35%及格22%30%33%26%22%17%23%38%不及格33%17%42%35%32%15%38%24%（Ⅰ）从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；（Ⅱ）从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）设8所学校优秀比例的方差为S12，良好及其以下比例之和的方差为S22，比较S12与S22的大小．（只写出结果）【分析】（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，即可得出从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．利用超几何分布列即可得出随机变量X的分布列．（Ⅲ）经过计算即可得出S12与S22的关系．解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40%，所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为．（Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B、F、H三所，所以X的取值为0，1，2．，所以随机变量X的分布列为：X012P（Ⅲ）S12＝S22．21．已知椭圆C：3x2+4y2＝12．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上，直线AP，BP分别与直线x＝4相交于点M，N．当点P运动时，以M，N为直径的圆是否经过x轴上的定点？试证明你的结论．【分析】（Ⅰ）将方程化成标准方程，可得a，b，c进而求出离心率；（Ⅱ）分两种方法解题，由题意求出A，B的坐标，设直线AP，BP与x＝4联立求出M，N的坐标，设x轴一点Q，使得＝0，求出Q的坐标，即为定点．解：（Ⅰ）由得，那么a2＝4，b2＝3，所以c2＝a2﹣b2＝1，解得a＝2，c＝1所以离心率；（Ⅱ）解法一：A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则，直线AP的方程：，令x＝4，得，从而M点坐标为，直线BP的方程：，令x＝4，得，从而N点坐标为，设以MN为直径的圆经过x轴上的定点Q（x1，0），则MQ⊥NQ，由得，由①式得，代入②得，解得x1＝1或x1＝7，所以以MN为直径的圆是否经过x轴上的定点（1，0）和（7，0），解法二：A（﹣2，0），B（2，0）设P（x0，y0），则，，设直线AP的方程：y＝k（x+2），令x＝4，得y M＝6k，从而M点坐标为（4，6k），则直线BP的方程：，令x＝4，得，从而N点坐标为，设以MN为直径的圆经过x轴上的定点Q（x1，0），则MQ⊥NQ，由得，可得，解得x1＝1或x1＝7，所以以MN为直径的圆经过x轴上的定点（1，0）和（7，0）．22．已知函数f（x）＝m sin（1﹣x）+lnx．（1）当m＝1时，求函数f（x）在（0，1）的单调性；（2）当m＝0且时，，求函数g（x）在（0，e]上的最小值；（3）当m＝0时，有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1．【分析】（1）将m＝1代入f（x）中，然后求导判断f（x）在（0，1）上的单调性；（2）由条件求出g（x）的解析式，然后求导判断g（x）在（0，e]上的单调性，再求出其最小值；（3）求出个零点x1，x2，得到，构造函数，根据函数的单调性证明即可．解：（1）当m＝1时，f（x）＝sin（1﹣x）+lnx，则f'（x）＝﹣cos（1﹣x）+，当x∈（0，1），f'（x）在（0，1）上单调递减，∴f'（x）＞f（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，f（x）在（0，1）上单调递增．（2）当m＝0时，（，0＜x≤e），则＝，∵，∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，e]上单调递减，∴．（3）当m＝0时，，∵x1，x2是函数的两个零点，∴，，．两式相减，可得，即，∴，∴，．令（0＜t＜1），则．记，则．∵0＜t＜1，∴F'（t）＞0恒成立，∴F（t）＜F（1），即．∴，故x1+x2＞1．。
山东省济宁市嘉祥一中2020届高三数学下学期第一次质量检测试题(含解析)
当 时,由 得 ，
∴ 函数 有3个零点 ,B对;
(3）当 时，由 得 ，
当 时，由 得 ，
∴ 的解集为 ,C对；
（4）当 时，由 得 ，
由 得 ，由 得 ，
∴ 函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴函数在 上有最小值 ，且 ，
又∵ 当 时， 时 ，函数在 上只有一个零点，
∴当 时，函数 的值域为 ，
，A对；
∵ ,∴ ，
∴ ，
又F为AE的中点，∴ ,B对；
∴ ，C对；
∴ ，D错；
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查向量加法的三角形法则、数乘运算，考查平面向量基本定理，属于基础题．
12。已知函数 是定义在R上的奇函数，当 时， ,则下列命题正确的是( ）
A。 当 时，
B. 函数 有3个零点
C。 的解集为
A。 B. C。 D。
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量共线坐标表示得方程，解得结果。
【详解】因为 ，所以 , 选C.
【点睛】本题考查向量共线，考查基本分析与求解能力，属基础题。
4.函数 的部分图象是( ）
A。 B.
C。 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性排除B，当 时， ,排除CD，得到答案.
由 ，及余弦定理，得 .
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得 ，代入 ，得 。
由（Ⅰ）知，A为钝角，所以 .于是 ，
，故
。
考点：正弦定理、余弦定理、解三角形
【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式,结合正、余弦定理解题.
2020年山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题
2020年山东省济宁市第一中学高三下学期一轮质量检测数学试题一、选择题1.在复平面上，复数24i1i++对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|2B x y x ⎧==⎨⎬-⎩⎭，则()R A C B ⋂=（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|13}x x << C ．{|23}x x ≤<D ．{|12}x x <<3.过点(1,2)P 的直线与圆221x y +=相切，且与直线10ax y +-=垂直，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．43-C ．0或43D ．434.某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学､物理分数对应如下表:学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数y7277808488909395绘出散点图如下:根据以上信息，判断下列结论:①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（ ）.A ．0B ．3C ．2D ．15.函数()3cos 1x f x x+=的部分图像大致是（ ） A ． B ．C ．D ．6.设0a >，0b >，lg 2是lg 4a 与lg 2b的等差中项，则21a b+的最小值为（ ） A ．22B ．3C ．4D ．97.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形）、一块正方形和一块平行四边形组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，现从该正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．316 B ．38C ．14D ．188.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两顶点为1A ，2A ，虚轴两端点为1B ，2B ，两焦点为1F ，2F ，若以12A A为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，则双曲线的离心率是（ ） A ．51- B．35+ C ．51+ D ．31+二、填空题9.已知12,e e →→为单位向量且夹角为3π ，设12a e e →→→=+，2b e →→=，a →在b →方向上的投影为______ ．10.在32nx x ⎛-⎪⎝⎭的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．11.如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．12.已知定义域为R 的函数()f x 满足:当(1,1]x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<≤⎪=+⎨⎪-<≤⎩，且(2)()f x f x +=对任意的x ∈R 恒成立，若函数()()(1)g x f x m x =-+在区间[1,5]-内有6个零点，则实数m 的取值范围是________. 三、解答题13.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4.（1）求{a n }的通项公式；（2）设c n =a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和.14.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x xx ．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A 所对边19a =，角B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积．15.如图所示，直角梯形AB C D 中，//AD BC ，AD AB ⊥，22AB BC AD ===，四边形ED C F 为矩形，3CF =，平面EDCF ⊥平面ABCD ．（1）求证：DF 平面ABE ；（2）求平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值．（3）在线段DF 上是否存在点P ，使得直线BP 与平面ABE 3，若存在，求出线段BP 的长，若不存在，请说明理由．16.某班级体育课进行一次篮球定点投篮测试，规定每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立.在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分，否则得0分.将学生得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就判定为通过测试，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止.现有两种投篮方案:方案1:先在A 处投一球，以后都在B 处投；方案2:都在B 处投篮.已知甲同学在A 处投篮的命中率为14，在B 处投篮的命中率为45. （1）若甲同学选择方案1，求他测试结束后所得总分X 的分布列和数学期望()E X ； （2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大?说明理由.17.已知抛物线C ：x 2=−2py 经过点（2，−1）．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =−1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．18.已知函数)f x =（a e 2x +（a ﹣2） e x ﹣x . （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 四、不定项选择题19.（多选）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ）A ．0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为820.已知函数2()sin 22sin 1f x x x =-+，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）.A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 C ．函数()f x 的图象关于直线8x π=对称:D ．函数()f x 的图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移4π个单位得到 21.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，给出下列命题，其中所有正确命题为（ ）.A ．(3)0f =B ．直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴C ．函数()y f x =在[9,6]--上为增函数D ．函数()y f x =在[9,9]-上有四个零点22.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，F 是棱11A D 上动点，下列说法正确的是（ ）.A ．对任意动点F ，在平面11ADD A 内存在与平面CBF 平行的直线B ．对任意动点F ，在平面ABCD 内存在与平面CBF 垂直的直线C ．当点F 从1A 运动到1D 的过程中，FC 与平面ABCD 所成的角变大D．当点F从1A运动到1D的过程中，点D到平面CBF的距离逐渐变小参考答案1.【解析】24i (24i)(1i)62i3i 1i (1i)(1i)2++-+===+++-，对应点为(3,1)在第一象限. 故答案选A 【答案】A2.0>,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞, 所以()R A C B ⋂=(1,2]. 故选:A 【答案】A3.【解析】当0a ≠时，过点()1,2P且与直线10ax y +-=垂直的直线斜率为1a，可设该直线方程为12(1)y x a -=-，即210x ay a -+-=，再根据直线与圆相切，即圆心到直线距离为11=，解得43a =.故本题正确答案为C ． 【答案】C4.【解析】对于①，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，①正确；对于②，根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系， 不是一次函数关系，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，所以③错误．综上，正确的命题是①，只有1个． 故选：D ． 【答案】D5.【解析】函数()f x 的定义域为()()00+，，-∞∞.()()()3cos +13cos +1x x f x f x xx--==-=--,所以()f x 为奇函数，故排除选项A ． 由当0x >且0x →时，()f x →+∞，故排除选项D ． 由23034f ππ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，故排除选项C ． 故选：B 【答案】B6.【解析】∵lg4a 与lg2b 的等差中项，∴lg 4lg 2a b =+， 即2lg 2lg 42lg 2aba b+=⋅=，∴21a b +=．所以212122()(2)559b aa b a b a b a b+=++=++≥+= 当且仅当22b a a b =即13a b ==时取等号， ∴21a b+的最小值为9． 【答案】D7.【解析】设2AB =，则1BC CD DE EF====.∴112224BCI S ∆=⨯⨯=，112242BCI EFGH S S ∆==⨯=平行四边形∴所求的概率为113422216P +==⨯ 故选A ． 【答案】A8.【解析】由题意可得()1,0A a -，()2,0A a ，()10,Bb ，()20,B b -， ()1,0Fc -，()2,0F c ，且222a b c +=，菱形1122F B F B 的边长为22b c +，由以12A A 为直径的圆内切于菱形1122F B F B ，切点分别为A ，B ，C ，D ． 由面积相等，可得221122422b c a b c ⋅⋅=⋅+， 即为()22222b c abc =+，即有442230c a a c +-=， 由e ca=，可得42e 3e 10-+=， 解得235e 2±=， 可得15e 2+=，或51e 2-=（舍去） 故选：C ． 【答案】C9.【解析】由题可知1,b = 故，a 在b 方向上的投影为即答案为32. 【答案】3210.【解析】根据题意可得8n =，88831883()()(1)?2?2r r r r r r r r r x T C C x x----+=-=-，令48063r r -==，，可得常数项为7. 【答案】711.【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-. 63-12.【解析】()()2f x f x +=对x ∀∈R 恒成立，∴函数()f x 的周期为2．又当(]1,1x ∈-时，2,10()122,01x xx f x x x -⎧--<⎪=+⎨⎪-<⎩ ∴函数()f x 的图象如下图所示：令函数()()()10g x f x m x =-+=， 则()()=+1f x m x ，若函数()()()1g x f x m x =-+在区间内有6个零点，则()=y f x 与()=+1y m x 的图象在区间[-1,5]内有6个交点．()1y m x =+恒过点()-1,0，过()1,0-，()4,2点的直线斜率为25， 过()1,0-，()2,2点的直线斜率为23，根据图象可得：22,53m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：22,.53⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】22,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭13.【解析】（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2=3，b 3=9，可得323b q b ==， 所以b n =b 2q n -2=3·3n -2=3n -1， 又由a 1=b 1=1，a 14=b 4=27，所以1412141a a d -==-，所以数列{a n }的通项公式为a n =a 1+（n -1）×d =1+2（n -1）=2n -1； （2）由题意知c n =a n +b n =（2n -1）+3n -1， 设数列{c n }的前n 项和为n S ，则[13(21)](13931)n S n n =++⋯+-++++⋯+-2(121)13312132n n n n n +---=+=+-. 【答案】（1）21n a n =-；（2）2312nn -+. 14.【解析】（1）依题意2211()cos sin cos 20,π22f x x xxx ，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 0238a cb B ac +-==-<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=【答案】（1）,2；（2 15.【解析】（Ⅰ）取D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()1,0,0A ，()1,2,0B ，(E ，(F -，∴(1,BE =--，()0,2,0AB =，设平面ABE 的法向量(),,n x y z =，∴20,20,x y y ⎧--+=⎪⎨=⎪⎩不妨设()3,0,1n =，又(1,DF =-，∴30DF n ⋅=-+=，∴DF n ⊥，又∵DF ⊄平面ABE ，∴//DF 平面ABE ．（Ⅱ）∵()1,2,3BE =--，()2,0,3BF =-，设平面BEF 的法向量(),,m x y z=，∴230,230,x y z x z ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩不妨设()23,3,4m =，∴531cos 231m n m n θ⋅===⋅⋅，∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值为531． （Ⅲ）设()1,2,3DP DF λλ==- (),2,3λλλ=-，[]0,1λ∈，∴(),2,3P λλλ-， ∴()1,22,3BP λλλ=---，又∵平面ABE 的法向量()3,0,1n =，∴()()2223333sin cos ,21223BP n λλθλλλ--+===++-+，∴28610λλ-+=，∴12λ=或14λ=． 当12λ=时，33,1,2BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =；当14λ=时，533,,42BP ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2BP =． 综上，2BP =．【答案】（I ）见解析（II 531（III ）2BP = 16.【解析】（1）设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件(1,2)i B i =，由已知1()4P A =，()45i P B =. X 的取值为0，2，3，4.则()()()12123113(0)()455100P X P AB B P A P B P B ====⨯⨯=， ()()11223413146(2)45545525P X P AB B P AB B ==+=⨯⨯+⨯⨯=， 1(3)()4P X P A ===，()1234412(4)45525P X P AB B ===⨯⨯=，X 的分布列为:X 的数学期望为:()0234 3.1510025425100E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. （2）甲同学选择方案1通过测试的概率为1P ，选择方案2通过测试的概率为2P ， 则111273(3)(4)0.73425100P P X P X ==+==+==， ()()()2121231234414441455555555P P B B P B B B P B B B =++=⨯+⨯⨯+⨯⨯1120.896125==, ∵21P P >，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大.【答案】（1）分布列见解析，3.15（2）方案2，理由见解析17.【解析】（Ⅰ）将点()2,1-代入抛物线方程：()2221p =⨯-可得：2p =，故抛物线方程为：24x y =-，其准线方程为：1y =. （Ⅱ）很明显直线l 的斜率存在，焦点坐标为()0,1-，设直线方程为1y kx =-，与抛物线方程24x y =-联立可得：2440x kx +-=. 故：12124,4x x k x x +=-=-.设221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,44OM ON x x k k =-=-，直线OM 的方程为14x y x =-，与1y =-联立可得：14,1A x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理可得24,1B x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，易知以AB 为直径的圆的圆心坐标为：1222,1x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，圆的半径为：1222x x -， 且：()1212122222x x k x x x x ++==，12222x x -==则圆的方程为：()()()2222141x k y k -++=+，令0x =整理可得：2230y y +-=，解得：123,1y y =-=，即以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点()()0,3,0,1-. 【答案】（Ⅰ） 24x y =-，1y =； （Ⅱ）见解析.18.【解析】（1）()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()()2221121x x x x f x ae a e ae e =+---'=+，（ⅰ）若0a ≤，则()0f x '<，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （ⅱ）若0a >，则由()0f x '=得ln x a =-.当(),ln x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(),ln a -∞-单调递减，在()ln ,a -+∞单调递增.（2）（ⅰ）若0a ≤，由（1）知，()f x 至多有一个零点.（ⅱ）若0a >，由（1）知，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，最小值为()1ln 1ln f a a a-=-+. ①当1a =时，由于()ln 0f a -=，故()f x 只有一个零点； ②当()1,a ∈+∞时，由于11ln 0a a-+>，即()ln 0f a ->，故()f x 没有零点； ③当()0,1a ∈时，11ln 0a a-+<，即()ln 0f a -<. 又()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>，故()f x 在(),ln a -∞-有一个零点. 设正整数0n 满足03ln 1n a ⎛⎫>-⎪⎝⎭，则()()00000000e e 2e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->. 由于3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭，因此()f x 在()ln ,a -+∞有一个零点. 综上，a 的取值范围为()0,1. 【答案】（1）见解析；（2）(0,1).19.【解析】由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，因为753a a =，可得()11634a d a d +=+，解得13a d =-，又由等差数列{}n a 是递增数列，可知0d >，则10a <，故,A B 正确； 因为22172222n d d d d S n a n n n ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭， 由7722d nn d -=-=可知，当3n =或4时n S 最小，故C 错误， 令27022n d dS n n =->，解得0n <或7n >，即0n S >时n 的最小值为8，故D 正确. 故选：ABD 【答案】ABD20.【解析】2()sin 22sin 1sin 2cos 224f x x x x x x π⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎝⎭A 选项，因为2ω=，则()f x 的最小正周期T π=，结论错误；B 选项，当5,88x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，32,422x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，结论正确；C 选项，因为8f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x 的最大值，则()f x 的图象关于直线8x π=对称，结论正确； D 选项，设()2g x x =，则()22sin 22cos 2442g x x x x f x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结论错误．故选：BC ． 【答案】BC21.【解析】A ：令3x =-，则由()()()63f x f x f +=+，得()()()()33323f f f f =-+=， 故()30f =,A 正确；B ：由()30f =得：()()6f x f x +=，故()f x 以6为周期． 又()f x 为偶函数即关于直线0x =对称，故直线6x =-是函数()y f x =的图象的一条对称轴，B 正确； C ：因为当1x ，[]20,3x ∈，12x x ≠时，有()()12120f x f x x x ->-成立，故()f x 在[]0,3上为增函数， 又()f x 为偶函数， 故在[]3,0-上为减函数， 又周期为6．故在[]9,6--上为减函数， C 错误；该抽象函数图象草图如下：D ：函数()f x 周期为6，故()()93f f -=-()()390f f ===，故()y f x =在[]9,9-上有四个零点， D 正确．故答案为：ABD ． 【答案】ABD22.【解析】因为AD 在平面11ADD A 内，且平行平面CBF ，故A 正确；平面CBF 即平面11A D CB ，又平面11A D CB 与平面ABCD 斜相交，所以在平面ABCD 内不存在与平面CBF 垂直的直线，故B 错误；F 到平面ABCD 的距离不变且FC 变小，FC 与平面ABCD 所成的角变大，故C 正确； 平面CBF 即平面11A D CB ，点D 到平面11A D CB 的距离为定值，故D 错误． 故选：AC ． 【答案】AC。
2020年济宁市嘉祥县中考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年济宁市嘉祥县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2017的绝对值是()A. 2017B. 12017C. −2017 D. −120172.下列计算正确的是()A. 4a+2a=8aB. (a4)2=a6C. a4⋅a2=a6D. a4÷a2=a3.一组数据2、3、3、4、5中众数和中位数分别是()A. 2、3B. 3、4C. 3、3D. 5、34.计算6x36x2=()A. 6xB. 16x C. 30x D. 130x5.如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹MN⏜是()A. 以点B为圆心，OD为半径的圆B. 以点B为圆心，DC为半径的圆C. 以点E为圆心，OD为半径的圆D. 以点E为圆心，DC为半径的圆6.如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF=3，则AC的长为()A. 32B. 3C. 6D. 97.下列函数中，当x>0时，y的值随x的值增大而增大的是()A. y=−x2B. y=x−1C. y=−x+1D. y=1x8.圆锥的母线长为9，底面圆的直径为8，则圆锥的侧面积为()A. 18πB. 36πC. 54πD. 72π9.如图，AB为半圆O的直径，C、D是半圆上的两点，且D是AC⏜的中点，连接AC，若∠B=70°，则∠DAB的度数为()A. 54°B. 55°C. 56°D. 57°10.平面直角坐标系中，点P(x,y)在第三象限，且P到x轴和y轴的距离分别为3，4，则点P的坐标为()A. (−4,−3)B. (3,4)C. (−3,−4)D. (4,3)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.根据中央“精准扶贫”规划，每年要减贫约1170万人，将数据1170万用科学记数法表示为__________．12.分解因式：5a3−10a2=______ ；a2−9=______ ．13.如图，菱形OABC的顶点O是原点，点B在y轴正半轴上，函数y=−6(x<0)的图象经过点A，则菱形OABC的面积为______ ．x14.如果一个扇形的圆心角为135°，半径为8，那么该扇形的弧长是______．15.如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°，若∠B=30°，BC=10，则四边形AECF的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）)−216.计算：6sin60°+(π−4)0−√27−(1217.如图，已知A(−3,−3)，B(−2,−1)，C(−1,−2)是平面直角坐标系上三点．(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A2B2C2；(3)在(1)中，若△ABC上有一点P(m,n)，请直接写出对应点P1的坐标．18.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线，已知起跳点A距地面的高度为1米，弹跳的最大高度距地面4.75米，距起跳点A的水平距离为2.5米，建立如图所示的平面直角坐标系，(1)求演员身体运行路线的抛物线的解析式？(2)已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．19.今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级(1)班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表(如表)和扇形统计图(如图)，根据图表中的信息解答下列问题：(1)求全班学生人数和m的值．(2)直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．(3)该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用“列表法”或“画树状图法”求出恰好选到一男一女的概率．分组分数段(分)频数A36≤x<412B41≤x<465C46≤x<5115D51≤x<56mE56≤x<611020.已知：如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，CD⊥AB于D.若AE=AC，BE交⊙O于点F，连接CF、DE．求证：(1)AE2=AD⋅AB；(2)∠ACF=∠AED．21.某校为美化校园，计划对面积为1660m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为600m2区域的绿化时，甲队比乙队少用5天．(1)求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？(2)若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.3万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过10万元，至少应安排甲队工作多少天？22.问题背景：如图(1)，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________；探索延伸：如图(2)，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．∠EAF=12【答案与解析】1.答案：A解析：解：−2017的绝对值是2017．故选：A．根据绝对值的性质解答即可．此题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2.答案：C解析：本题主要考查整式的计算，解题的关键是掌握合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法、除法的运算法则．分别根据合并同类项法则、幂的乘方、同底数幂的乘法、除法计算可得．解：A、4a+2a=6a，此选项错误；B、(a4)2=a8，此选项错误；C、a4⋅a2=a6，此选项正确；D、a4÷a2=a2，此选项错误；故选：C．3.答案：C解析：本题主要考查了众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；众数是一组数据中出现次数最多的数．先将数据重新排列，再根据中位数、众数的定义求解即可．解：把这组数据从小到大排列：2、3、3、4、5，3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3.处于中间位置的那个数是3，由中位数的定义可知，这组数据的中位数是3.故选C. 4.答案：B解析：解：6x36x2=16x；故选：B．根据分式的性质，分子分母约去6x即可得出答案．此题考查了约分，熟练掌握分式的性质是解题的关键，是一道基础题．5.答案：D解析：解：作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知，①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D；②以点B为圆心，以OC为半径画EF⏜，交射线BO于点E；③以点E为圆心，以CD为半径画MN⏜，交EF⏜于点F，④连接BF即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB．故选：D．根据作一个角等于已知角的作法进行解答即可．本题考查的是基本作图，熟知作一个角等于已知角的基本步骤是解答此题的关键．6.答案：C解析：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．三角形中位线的定理是：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．首先根据条件D、E分别是AC、BC的中点可得DE//AB，再求出∠2=∠3，根据角平分线的定义推知∠1=∠3，则∠1=∠2，所以由等角对等边可得到DA=DF=12AC．解：如图，∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE//AB，∴∠2=∠3，又∵AF平分∠CAB，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2，∴AD=DF=3，∴AC=2AD=6．故选：C．7.答案：B解析：根据二次函数的性质对A进行判断；根据一次函数的性质对B、C进行判断；根据反比例函数性质对D进行判断．本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线；抛物线的顶点式为y=a(x−b2a )2+4ac−b24a，对称轴为直线x=−b2a，顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，当a>0，抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c).也考查了一次函数和反比例函数的性质．解：A、y=−x2，当x>0时，y的值随x的值增大而减小，所以A选项错误；B、y=x−1，x>0时，y的值随x的值增大而增大，所以B选项正确；C、y=−x+1，当x>0时，y的值随x的值增大而减小，所以C选项错误；D、y=1x，当x>0时，y的值随x的值增大而减小，所以D选项错误．故选B．8.答案：B解析：解：∵底面圆的直径为8，∴底面圆的半径为4，∴圆锥的侧面积=12×4×2π×9=36π．故选：B．根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长进行计算．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．9.答案：B解析：解：连接BD，如图，∵D是AC⏜的中点，∴AD⏜=CD⏜，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC=12×70°=35°，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB=90°−∠ABD=90°−35°=55°．故选B．连接BD，如图，利用圆周角定理得到∠ABD=∠CBD=12∠ABC═35°，∠ADB=90°，然后利用互余计算∠DAB的度数．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．10.答案：A解析：解：∵点P在第三象限，且点P到x轴和y轴的距离分别为3，4，∴点P的横坐标是−4，纵坐标是−3，即点P的坐标为(−4,−3)．故选：A．根据点的坐标的几何意义及点在第三象限内的坐标符号的特点解答即可．本题主要考查了点在第三象限时点的坐标的符号，以及横坐标的绝对值就是到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x轴的距离．11.答案：1.17×107解析：此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．解：11700000=1.17×107．故答案为：1.17×107．12.答案：5a2(a−2)；(a+3)(a−3)解析：解：5a3−10a2=5a2(a−2)，a2−9=(a+3)(a−3)．故答案为：5a2(a−2)，(a+3)(a−3)．直接利用提取公因式法以及利用平方差公式分解因式得出即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．13.答案：12解析：解：过点A作AD⊥OB于点D，(x<0)的图象经过点A，∵函数y=−6x∴S△AOD=3．∵四边形OABC是菱形，=4S△AOD=12．∴S菱形OABC故答案为：12．过点A作AD⊥OB于点D，根据反比例函数系数k的几何意义得出△AOD的面积，再由菱形的性质即可得出结论．的图象上任意一点向坐标轴作本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数y=kx|k|，且保持不变是解答此题的关键．垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是1214.答案：6π解析：本题考查弧长公式．弧长公式是l=nπr，代入就可以求出弧长．180=6π．解：弧长是：135π⋅8180故答案为6π．15.答案：25√32解析：本题主要考查了菱形的判定与性质，证得四边形AECF为菱形是解题的关键．由条件可先证得四边形AECF为菱形，连接EF交AC于点O，解直角三角形求出AC、AB，由三角形中位线定理求出OE，AC⋅EF，即可得出结果．得出EF，菱形AECF的面积=12解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC边的中点，∴AE=1BC=CE，2AD=CF，同理，AF=12∴AE=CE=AF=CF，∴四边形AECF是菱形，连接EF交AC于点O，如图所示：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，BC=10，∴AC=12BC=5，AB=√3AC=5√3，∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12AB=5√32，∴EF=5√3，∴S菱形AECF =12AC⋅EF=12×5×5√3=25√32，故答案为25√32．16.答案：解：原式=6×√32+1−3√3−4=3√3−3√3−3=−3．解析：直接利用特殊角的三角函数值和零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．17.答案：解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；(2)如图，△A2B2C2即为所求；(3)∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，P(m,n)，∴P1(m,−n)．解析：本题考查的是作图−旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．(1)分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接各点即可；(2)根据图形旋转的性质画出△A2B2C2即可；(3)根据关于x轴对称的点的坐标特点即可得出结论．18.答案：解：(1)如图所示：由题意可得抛物线的顶点坐标为：(2.5,4.75)，且图象过(0,1)，故y=a(x−2.5)2+4.75，则1=a(0−2.5)2+4.75，解得：a=−0.6，故y=−0.6(x−2.5)2+4.75；(2)当x=4时，y=−0.6×(4−2.5)2+4.75=3.4=BC，故这次表演成功．解析：(1)利用顶点式求出二次函数解析式即可；(2)利用当x=4时，求出答案即可．此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．19.答案：解：(1)由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50(人)；m=50−2−5−15−10=18(人)；(2)∵全班学生人数：50人，∴第25和第26个数据的平均数是中位数，∴中位数落在51−56分数段；(3)如图所示：将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1P(一男一女)=46=23．解析：(1)利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；(2)利用中位数的定义得出中位数的位置；(3)利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键．20.答案：证明：(1)连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵CD⊥AB，∴△ACD∽△ABC．∴ACAD =ABAC．∵AC=AE，∴AE2=AD⋅AB．(2)∵AE2=AD⋅AB，∠EAD=∠BAE，∴△ADE∽△AEB．∴∠AED=∠ABF．∵∠ACF=∠ABF，∴∠ACF=∠AED．解析：(1)根据AE=AC，可以把结论转化为证明AC2=AD⋅AB，只需连接BC，证明△ACD∽△ABC 即可．根据直径所对的圆周角是直角，即可分析得到两个角对应相等；(2)根据(1)中的结论，即可证明三角形ADE相似于三角形AEB，得到∠AED=∠ABF，再根据同弧所对的圆周角相等即可证明．本题主要考查了对相似三角形的判定和性质的掌握和应用．21.答案：解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5xm2，根据题意得：600x −6001.5x=5，解得：x=40，经检验，x=40是原分式方程的解，且符合题意，∴1.5x=60．答：甲工程队每天能完成绿化的面积60m2，乙工程队每天能完成绿化的面积40m2．(2)设应安排甲队工作a天，则需安排乙队工作1660−60a40天，根据题意得：0.3a+0.25×1660−60a40≤10，解得：a≥5．答：至少应安排甲队工作5天．解析：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，则甲工程队每天能完成绿化的面积是1.5xm2，根据工作时间=总工作量÷工作效率，结合在独立完成面积为600m2区域的绿化时甲队比乙队少用5天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设应安排甲队工作a天，则需安排乙队工作1660−60a40天，根据总费用=每天费用×工作时间，结合这次的绿化总费用不超过10万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．22.答案：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立.证明如下：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG，在△ABE和△ADG中，{BE=DG,∠B=∠ADG, AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS)，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD−∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△AGF中，{AE=AG,∠EAF=∠GAF, AF=AF,∴△AEF≌△AGF(SAS)，∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF．解析：本题考查了全等三角形的判定与性质．问题背景：利用HL证得Rt△ABE≌Rt△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠GAD，进而得到∠GAF= 60°，从而利用SAS证得△AEF≌△AGF，得到EF=GF，进而得到结论；探索延伸：延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等得到∠B=∠ADG，利用SAS证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，根据∠EAF=12∠BAD，进而得到∠EAF=∠GAF，利用SAS证得△AEF≌△AGF，得到EF=GF，进而得到结论．证明：问题背景：EF=BE+DF，证明如下：如图，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，在Rt△ABE和Rt△ADG中，{AB=ADBE=DG,∴Rt△ABE≌Rt△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠GAD，∵∠BAD=120°，∠EAF=60°，∴∠BAE+∠DAF=60°，∴∠GAD+∠DAF=60°，即：∠GAF=60°，在△AEF和△AGF中，{AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF,∴△AEF≌△AGF，∴EF=GF，∵GF=DG+DF，∴EF=GF=DG+DF=BE+DF，故答案为EF=BE+DF；探索延伸：见答案．。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
2020年山东省济宁市高考数学一模试卷(文科)
A. （0，1]
B. （0，1）
C. （1，+∞）
Байду номын сангаас
D. [1，+∞）
12. 已知双曲线
的左,右焦点分别为 , ,圆
与双
曲线在第一象限内的交点为 M,若
,则该双曲线的离心率为( )
A. 2
B. 3
C.
D.
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 曲线 f（x）=xex+2 在点（0，f（0））处的切线方程为______．
22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M 的直角坐标为（1，0），直线 l 的参数方程
为
（t 为参数）；以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=2cosθ． （Ⅰ）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，求
3.【答案】D
【解析】【分析】 本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法、数乘和数量积的运算．
2.【答案】C
【解析】【分析】 本题考查了集合的化简与运算问题，考查计算能力，是基础题目．化简集合 A、B，求 出 A∩B 即可． 【解答】 解：∵集合 A={x|x2-2x-3≤0}={x|-1≤x≤3}=[-1，3]， B={x|y=ln（2-x）}={x|2-x＞0}={x|x＜2}=（-∞，2）； ∴A∩B=[-1，2）． 故选 C．
14. 若变量 x，y 满足则目标函数
则目标函数 z=x+4y 的最大值为______
． 15. 若圆 C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4 上恰好有 3 个点到直线 y＝2x+b 的距离等于 1，
山东省济宁市第一中学2020届高三下学期一轮质量检测数学试题答案
济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题答案1.A2.B3.C4.D5.A6.D7.A8.C9.ABD 10.BC 11.ABD 12.AC 13.3214.715.√6−√316.[25,23)17.解：(1)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，由b 2=3，b 3=9，可得q =b3b 2=3，b n =b 2·q n−2=3·3n−2=3n−1； 即有a 1=b 1=1，a 14=b 4=27， 则d =a 14−a 113=2，则a n =a 1+(n −1)d =1+2(n −1)=2n −1； (2)c n =a n +b n =2n −1+3n−1， 则数列{c n }的前n 项和为：[1+3+⋯+(2n −1)]+(1+3+9+⋯+3n−1) =2n 2·n +1−3n1−3=n 2+3n −12．18.解：(1)函数f(x)=cos 2x −sin 2x +12=cos2x +12，x ∈(0,π)，由2kπ−π≤2x ≤2kπ，k ∈Z ， 解得kπ−12π≤x ≤kπ，k ∈Z ， 当k =1时，12π≤x ≤π， 可得f(x)的单调递增区间为[π2,π)； (2)设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b =5， 若f(A)=0，即有cos2A +12=0， 解得2A =23π，即A =13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 化为c 2−5c +6=0， 解得c =2或3，若c =2，则cosB =2×√19×2<0， 即有B 为钝角， ∴c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为S =12bcsinA =12×5×3×√32=15√34． 19.解：(Ⅰ)证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ，∵平面EDCF ⊥平面ABCD ， 平面EDCF ∩平面ABCD =CD ， DE ⊂平面EDCF ， ∴DE ⊥平面ABCD ．由题意，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，过D 作平行于AB 直线为y 轴， DE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示：则A(1,0，0)，B(1,2，0)，E(0,0，√3)，F(−1,2，√3)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面ABE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， ∴{−x −2y +√3z =02y =0, ∴y =0，令z =1，则x =√3，所以平面ABE 的法向量为n ⃗ =(√3,0，1)， 又DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，√3)，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3+0+√3=0， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ；又∵DF ⊄平面ABE ， ∴DF//平面ABE ；(Ⅱ)∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−2，√3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，√3)， 设平面BEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， ∴{−a −2b +√3c =0−2a +√3c =0,令c =4，则a =2√3,b =√3，则平面BEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(2√3,√3,4)， 设平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角为θ， ∴cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√31×2=5√3131， ∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值是5√3131； (Ⅲ)设DP⃗⃗⃗⃗⃗ =λDF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1,2，√3) =(−λ,2λ,√3λ)，λ∈[0,1]； ∴P(−λ,2λ,√3λ)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ−1,2λ−2,√3λ)，又平面ABE 的法向量为n ⃗ =(√3,0，1)，设直线BP 与平面ABE 所成角为α， ∴sinα=|cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√3(−λ√3λ|√(−λ−1)2+(2λ−2)2+(√3λ)2×2=√34， 化简得8λ2−6λ+1=0， 解得λ=12或λ=14；当λ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−1,√32)，∴|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2；当λ=14时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54,−32,√34)，∴|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2；综上，|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2．20.解：(Ⅰ)设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件B i (i =1,2)，由已知P(A)=14,P(B i )=45.X 的取值为0，2，3，4．则P(X =0)=1B 2)=P(A)P(B 1)P(B 2)=34×15×15=3100，P(X =2)=P(AB 1B 2)+P(AB 1B 2)=34×45×15+34×15×45=625，P(X =3)=P(A)=14，P(X =4)=P(AB 1B 2)=34×45×45=1225， X 的分布列为：X 的数学期望为：E(X)=0×3100+2×625+3×14+4×1225=315100=3.15． (Ⅱ)甲同学选择方案1通过测试的概率为P 1，选择方案2通过测试的概率为P 2，则P1=P(X=3)+P(X=4)=14+1225=73100=0.73，P2=P(B1B2)+P(B1B2B3)+P(B1B2B3)=45×45+15×45×45+45×15×45=112125=0.896，∵P2>P1，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．21.解：(Ⅰ)抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1).可得4=2p，即p=2，可得抛物线C的方程为x2=−4y，准线方程为y=1；(Ⅱ)证明：抛物线x2=−4y的焦点为F(0,−1)，设直线方程为y=kx−1，联立抛物线方程，可得x2+4kx−4=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得x1+x2=−4k，x1x2=−4，直线OM的方程为y=y1x1x，即y=−x14x，直线ON的方程为y=y2x2x，即y=−x24x，可得A(4x1,−1)，B(4x2,−1)，可得AB的中点的横坐标为2(1x1+1x2)=2⋅−4k−4=2k，即有AB为直径的圆心为(2k,−1)，半径为|AB|2=12|4x1−4x2|=2⋅√16k2+164=2√1+k2，可得圆的方程为(x−2k)2+(y+1)2=4(1+k2)，化为x2−4kx+(y+1)2=4，由x=0，可得y=1或−3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)，(0,−3)．22.解：(1)由f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，则，导函数中2e x+1>0恒成立，当a≤0时，ae x−1<0恒成立，所以在x∈R上有，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；当a>0时，令0'/>，，令，解得，∴在上，f(x)单调递减，在上，f(x)单调递增．综上可知：当a≤0时，f(x)在R单调递减，当a>0时，f(x)在(−∞,ln1a )是减函数，在(ln1a,+∞)是增函数；(2)若a≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，所以a≤0不符合题意；当a>0时，f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，函数有两个零点，f(x)的最小值必须小于0，由(1)知，，f(x)min<0，即，令，0'/>，所以ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，又因为ℎ(1)=0，此时解得0<a<1．接下来说明0<a<1时f(x)存在两个零点：当x<0时，ae2x>0，(a−2)e x>a−2，此时f(x)>a−2−x，故f(a−2)>0，又f(x)在上单调递减，，故存在，使得f(x1)=0，当时，易证−x>−e x，此时f(x)>ae2x+(a−3)e x=ae x[e x+(a−3)a]，故，且满足，又f(x)在上单调递增，，故存在使得f(x2)=0，所以当0<a<1时，f(x)存在两个零点．综上所述，a的取值范围是(0,1)．。
【附加15套高考模拟试卷】山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案
山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()ln 2f x x x x a =-+，若函数()y f x =与()()y ff x =有相同的值域，则a 的取值范围是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．(],1-∞ C ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．[)1,+∞ 2．已知幂函数()a f x x =的图象过点13,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()()()21g x x f x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．2-D ．323．已知点()mod N n m ≡表示N 除以m 余n ，例如()71mod6≡，()133mod5≡，则如图所示的程序框图的功能是（ ）A ．求被5除余1且被7除余3的最小正整数B ．求被7除余1且被5除余3的最小正整数C ．求被5除余1且被7除余3的最小正奇数D ．求被7除余1且被5除余3的最小正奇数4．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差为2，等比数列{}n b 的公比为-2，则（ ）A ．14n n a a b b --=B ．14n n a a b b -=C ．14n n a a b b --=-D ．14nn a a b b -=- 5．设函数()322ln f x x ex mx x =-+-，记()()f xg x x =，若函数()g x 至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．21,e e ⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦ B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ D ．2211e ,e e e ⎛⎤--+ ⎥⎝⎦ 6．已知x ∈R，sin 3cos x x -=tan2x =( )A ．43B ．34C ．34-D ．43-7．设[]x 表示不超过x 的最大整数（如5[2]2,[]14==），对于给定的*n N ∈，定义(1)([]1)(1)([]1)x n n n n x C x x x x -⋅⋅⋅-+=-⋅⋅⋅-+，[1,)x ∈+∞，则当3[,3)2x ∈时，函数8x C 的值域是（ ） A ．16[,28]3 B ．16[,56)3 C ．28(4,)[28,56)3⋃ D ．1628(4,](,28]33⋃8．若直线y=2x 上存在点（x ，y ）满足约束条件30230x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则实数m 的最大值为A ．-1B ．1C ．32 D ．29．将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，再把所得函数图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ） A ．4x π= B ．1912x π= C ．1312x π= D ．6x π= 10．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n +的最小值为 A．3+B．3C．2+ D ．311．等比数列{a n }中，11,28aq ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14±D ．14 12．如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，矩形的四个顶点A ，B ，C ，D 在球O 的同一个大圆上，且球的表面积为16π，点P 在球面上，则四棱锥P ABCD -体积的最大值为（ ）A ．8B ．83C ．16D ．163二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟数学试卷(九模)-学生用卷
2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟数学试卷（九模）-学生用卷一、单选题本大题共8小题，每小题5分，共40分1、【来源】 2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟（九模）第1题5分2020~2021学年11月西藏拉萨城关区西藏自治区拉萨中学高三上学期月考文科第1题5分2020~2021学年11月广东广州荔湾区高三上学期月考第2题5分2016年河北衡水桃城区衡水第一中学高三调研测试第二次已知集合A={1,3,4,5}，集合B={x∈Z|x2−4x−5<0}，则A∩B的子集个数为()A. 2B. 4C. 8D. 162、【来源】 2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟（九模）第2题5分2019~2020学年河南郑州郑东新区郑州市第四十七中学高二上学期开学考试第7题5分2020~2021学年上海徐汇区上海市南洋模范中学高一上学期期末第14题5分2017~2018学年山东济南历下区山东师范大学附属中学高一上学期期末第6题5分已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为（）．A. t⩽−1B. t<−1C. t⩽−3D. t⩾−33、【来源】 2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟（九模）第3题5分2020~2021学年陕西西安未央区西安中学高二下学期期末文科第5题3.5分在一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，⋯，(x n,y n)（n⩾2，x1，x2,⋯,x n不全相等）的散点图中，若所有样本点(x i,y i)(i=1,2,⋯,n)都在直线y=−3x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（）．A. −3B. 0C. −1D. 14、【来源】 2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟（九模）第4题5分我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S=√1 4[a2c2−(a2+c2−b22)2]，若a2sinC=5sinA，(a+c)2=16+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为（）．A. √32B. √3C. 12D. 25、【来源】 2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟（九模）第5题5分如图是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ2时的三种正态曲线，那么σ1，σ2，σ2的大小关系是（）．A. σ1>σ3>σ2>0B. 0<σ1<σ3<σ2C. σ1>σ2>σ3>0D. 0<σ1<σ2<σ36、【来源】 2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟（九模）第6题5分设数列{a n}，{b n}，均为等差数列，它们的前n项和分别为S n，T n，若S n Tn =2n−33n+4，则a5b5=（）．A. 719B. 1531C. 1734D. 19377、【来源】 2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟（九模）第7题5分2019年广东佛山高三一模理科第11题5分双曲线C的左、右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线C与该抛物线的个交点为A，若|AF2|=|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）．A. 1+√2B. 1+√3C. 2+√2D. 2+√38、【来源】 2020年山东济宁嘉祥县嘉祥县第一中学高三下学期高考模拟（九模）第8题5分2019~2020学年12月安徽亳州谯城区亳州市第二完全中学高三上学期月考理科第12题5分<0，则函数g(x)=设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数，当x≠0时，f′(x)+3f(x)xf(x)−1的零点个数为（）．x3A. 3B. 2C. 1D. 0二、多选题本大题共4小题，每小题5分，共20分。
【附28套精选模拟试卷】山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学(理)试题及答案
山东省济宁市2020届高三第一次模拟考试数学（理）试题及答案 本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共5页．满分150分．考试用时120分钟，考试结束 后，将试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号填写在答题纸上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题纸各题指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)如果事件A 、B 独立，那么P(AB)=P(A)·P(B)第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数211i z i +=+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合{}211,3402x A x B x x x A B ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=-->⋂⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则等于A.{}0x x >B. {}0x x x <-1>或C.{}4x x >D. {}4x x -1≤≤ A.88 88B.90 89C.89 88D.89 90 4.若点(),P x y 满足线性约束条件20220,40x y x y z x y y -≤⎧⎪-+≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值为A.1B.2C.3D.45.给出命题p ：直线()3102110ax y x a y ++=+++=与直线互相平行的充要条件是3a =-；命题q ：若210mx mx --<恒成立，则40m -<<.关于以上两个命题，下列结论正确的是A.命题“p q ∧”为真B. 命题“p q ∨”为假C.命题“p q ∧⌝”为真D. 命题“p q ∨⌝”为真 6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c.若sin sin 3sin sin .aA c C a C bB +-=则角B 等于A.56πB.23π C.3π D.6π 7.函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象大致是8.已知向量()()11,1,1,2,0,0,//a m n b m n a b m n=-=>>+其中若，则的最小值是 A.22 B.322+ C.42 D.32 9.设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(]0,3上有三个零点，则实数a 的取值范围是A.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.ln 3,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.ln 30,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.ln 31,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 10.已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两个焦点，点P 是该双曲线和圆2222x y a b +=+的一个交点，若1221sin 2sin PF F PF F ∠=∠，则该双曲线的离心率是A.10B.5C.10D.10 第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1lg 123x y x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的定义域是 ▲ . 12.阅读如图所示的程序框图，若输出()f x 的范围是2,2⎡⎤⎣⎦，则输入实数x 的范围应是 ▲ .13.已知在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11A B 的中点，则直线AE 与平面11BDD B 所成角的正弦值是 ▲ .14.若()()()()()234525012345411111x x a a x a x a x a x a x a +=+-+-+-+-+-，则 = ▲ .15.设区域Ω是由直线0,=1x x y π==±和所围成的平面图形，区域D 是由余弦曲线y=cosx 和直线x=0,x=π和y=1±所围成的平面图形，在区域Ω内随机抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域D 的概率是 ▲ .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数()3sin cos .34f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ （I ）当,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域； （II ）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原的12倍，纵坐标保持不变，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的表达式及对称轴方程. 17.（本小题满分12分）如图，已知斜三棱柱ABC 111A B C -的底面是正三角形，点M 、N 分别是1111B C A B 和的中点，112,60AA AB BM A AB ===∠=o .（I ）求证：BN ⊥平面111A B C ；（II ）求二面角1A AB M --的余弦值.18.（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A 、B 、C 、D 、E 五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A 高校，他除选A 校外，在B 、C 、D 、E 中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可.（I ）求甲同学未选中E 高校且乙、丙都选中E 高校的概率；（II ）记为甲、乙、丙三名同学中未参加E 校自主招生考试的人数，求的分布列及数学期望.19.（本小题满分12分）在等比数列{}121342,,n a a a a a a =+中，已知，且成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）设数列{}2n n a a -的前n 项和为2,nn n n S b S =记，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分13分） 已知抛物线214x y =的焦点与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的一个焦点重合，12F F 、是椭圆C 的左、右焦点，Q 是椭圆C 上任意一点，且12QF QF ⋅u u u r u u u u r 的最大值是3.（I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）过右焦点2F 作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点(),0P m ，使得PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m 的取值范围；如果不存在，请说明理由.21.（本小题14分）设函数()()2ln f x ax x a R =--∈.（I ）若()()(),f x e f e 在点处的切线为20,x ey e a --=求的值；（II ）求()f x 的单调区间；（III ）当()0.x x f x ax e >0-+>时，求证：高考模拟数学试卷第Ⅰ卷注意事项：第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分。