计算方法插值法(均差与牛顿插值公式)
为f ( x)关于节点 x0 , xk 一阶均差 (差商)
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5
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6
二、均差具有如下性质：
f [ x0 , x1 ,, xk 1 , xk ]
j 0
k
f (x j ) ( x j x0 )( x j x j 1 )(x j x j 1 )( x j xk )
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fk fk 1 fk 为f ( x)在 xk 处的二阶向前差分
2
依此类推
m f k m1 f k 1 m1 f k
为f ( x)在 xk 处的m阶向前差分
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差分表
xk f k 一阶差分 x0 f 0 x1 f 1 二阶差分 三阶差分 四阶差分
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等距节点插值公式
一、牛顿前插公式
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二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比
牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加 节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值 无法比的. 但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的 插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多 项式在节点处不可导等缺点.
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26
§
2.3.4 差分及其性质
一、差分
fk , 定义3. 设f ( x)在等距节点xk x0 kh 处的函数值为 k 0 ,1, , n , 称
f k f k 1 f k
k 0,1,, n 1
为f ( x)在 xk 处的一阶向前差分
f [ x2 , x3 ]
x3 f ( x3 )
f [ x3 , x4 ]
x4 f ( x 4 )
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规定函数值为零阶均差
11
例1:已知下表，计算三阶差商
xi
f ( xi )
解：列表计算
xi
1 0
3 2
4 15
7 12
f ( xi )
一阶差 二阶差商 商 1 13 4
三阶差 商
1 3 4
一阶差商 二阶差商 三阶差商
0 1 2
1 9 23 8 14 3
4
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3
-10
-8
11 4
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Newton插值多项式为
11 N3 ( x) 1 8( x 0) 3( x 0)( x 1) ( x 0)( x 1)( x 2) 4
（3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列，
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7
例
f ( x0 ) f ( x1 ) f0 f1 f [ x0 , x1 ] x0 x1 x1 x0 x0 x1
f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x1 x2
f0 f0 f1 f2 1 1 ( ) ( ) x1 x2 x0 x1 x1 x0 x1 x2 x0 x2 x2 x0
x
0
1
2
4
f(x)
1
9
23
3
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解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为
( x 1)( x 2)( x 4) 1 3 7 2 7 l0 ( x) x x x 1 (0 1)(0 2)(0 4) 8 8 4 ( x 0)( x 2)( x 4) 1 3 8 2 l1 ( x) x 2x x (1 0)(1 2)(1 4) 3 3 ( x 0)( x 1)( x 4) 1 3 5 2 l2 ( x) x x x (2 0)(2 1)(0 4) 4 4 ( x 0)( x 1)( x 2) 1 3 1 2 1 l3 ( x) x x x (4 0)(4 1)(4 2) 24 8 12
f0 f1 f2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
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这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关 (差商的对称性)。即
f [x0 , x1, , xk ] f [x1, x0 , x2 , , xk ]
Lagrange插值多项式为
L3 ( x) f ( xi )li ( x) l0 ( x) 9l1 ( x) 23l2 ( x) 3l3 ( x)
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11 3 45 2 1 x x x 1 4 4 2
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（2）Newton插值多项式：建立差商表为
f [x1, x2 , , xk , x0 ]
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9
性质3：若f(x)在[a,b]上存在n阶导数，且节点
x0 ,
xn [a, b], 则n阶均差与导数关系如下：
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10
三、均差的计算方法(表格法):
xk f ( xk ) 一阶差商 x0 f ( x0 )
f [ x0 , x1 ]
a3 , a4 , 依次可得到 2018/11/7
, an 。为写出系数的一般表达式，
4
现引入差商（均差）定义。
一、差商(均差)
定义2. 设f ( x)在互异的节点xi 处的函数值为 fi , i 0,1,, n 称
f ( xk ) f ( x0 ) f [ x0 , xk ] xk x0 (k 0)
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3
当
Pn ( x0 ) a0 f 0 Pn ( x1 ) a0 a1 ( x1 x0 ) f1 Pn ( x2 ) a0 a1 ( x2 x0 ) a2 ( x2 x0 )( x2 x1 ) f 2
a0 f 0 f1 f 0 a1 x1 x0 f2 f0 f1 f 0 x2 x0 x1 x0 a2 x2 x1
2 f [ x , x ] f [ x , x ] f f i 1 i 2 i i 1 fi f [ xi , xi 1 , xi 2 ] i 1 i 2 xi 2 xi 2h 2h2
f [ xi , xi 1 , xi 2 , xi 3 ]
f [ xi 1 , xi 2 , xi 3 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ] xi 3 xi
3 f i 2 f i 1 2 f i 3 3!h 3 3 2h
2018/11/7 30
依此类推
m f i f [ xi , xi 1 ,, xi m ] m!h m k f 0 f [ x0 , x1 ,, xk ] k!h k
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The End
2018/11/7 35
本章作业
P48 1、8
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f 0
f 1
2 f0
3 f0
x2 f 2 x3 f 3 x4 f 4
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f 2
2 f1 f2
2
f1
3
4 f0
f 3
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二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系
f i fi 1 fi f [ xi , xi 1 ] h xi 1 xi
均差表
三阶差商 四阶差商
二阶差商
x1 f ( x1 ) x2 f ( x2 )
f [ x0 , x1 , x2 ]
f [ x1 , x2 ]
f [ x0 , x1 , x2 , x3 ] f [ x1 , x2 , x3 ] f [ x0 , x1 ,, x4 ] f [ x1 , x2 , x3 , x4 ] f [ x2 , x3 , x4 ]
我们称 Nn ( x) 为牛顿(Newton)均差插值多项式。
2018/11Βιβλιοθήκη 7称 Rn ( x) 为牛顿均差插值多项式的截断误差。
15
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16
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17
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显然：
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19
例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值
多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。
便得到
11 3 45 2 1 N 3 ( x) x x x 1 L3 ( x) 4 4 2
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23
练习：
已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2)
构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6， 试确定数据y。
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四、拉格朗日插值与牛顿插值的比较
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2
拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从 直线方程点斜式
f1 f 0 P ( x x0 ) 1 ( x) f 0 x1 x0 ( fi f ( xi ) yi )
出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值 多项式表示为
Pn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )(x x1 ) an ( x x0 )(x x1 )( x xn1 )
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0 2 15
7
12
-1
-3.5
-1.25
合集下载
计算方法-插值b
…………
2
f [ x , x 0 , x1 ]
x x1
f [ x , x 0 , ... , x n 1 ] f [ x 0 , ... , x n ] ( x x n ) f [ x , x 0 , ... , x n ]
n1
1
←
←
3
←……
←
n1
f ( x ) f ( x 0 ) f [ x 0 , x 1 ]( x x 0 ) f [ x 0 , x 1 , x 2 ]( x x 0 )( x x 1 ) ...
(k+1)阶差商：
f [ x0 , x1 , ... , xk ] f [ x1 , ... , xk , xk 1 ] f [ x0 , ... , xk 1 ] x 0 x k 1 f [ x0 , ... , xk 1 , xk ] f [ x0 , ... , xk 1 , xk 1 ] x k x k 1
( )
实际计算过程为
x0 x1 x2 …
xn1 xn
k !
, ( x min , x max )
f (x0) f (x1) f (x2) … f (xn1) f (xn)
xn+1 f (xn+1)
f [x0, x1] f [x1, x2] …… …… f [xn1, xn] f [xn, xn+1]
f [x0, x1 , x2] …… …… f [xn2, xn1, xn] f [xn1, xn, xn+1]
f [x0, …, xn] f [x1, …, xn+1]
f [x0, …, xn+1]
6.2 牛顿插值多项式
一阶均差 二阶均差 三阶均差 n阶均差 阶均差
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
x1 f [ x1 ] f [ x0 , x1 ]
x2 f [ x2 ] f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 , x2 ]
x3 f [ x 3 ]
… …… x f [ xn ]
n
f [ x2 , x3 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
N n ( x ) = a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )( x − x1 ) + L + an ( x − x0 )( x − x1 )L ( x − xn−1 )
ak ( k = 0,1,L , n) 为待定系数 形如上式的插值 待定系数.
多项式称为牛顿 插值多项式. 多项式称为牛顿(Newton)插值多项式 牛顿 插值多项式 由插值条件 N n ( x j ) = f ( x j ) ( j = 0,1,L , n),
证毕. 证毕.
的离散数据如下表： 例 1 已知 f ( x ) = shx 的离散数据如下表：
xi
0.00
0.20 0.20134
0.30 0.30452
0.50 0.52110
f ( xi ) 0.00000
用 Newton插值多项式 计算 f (0.23) 的近似值并 插值多项式, 插值多项式 估计误差. 估计误差
解 均差计算的结果如下表
xi
0.00 0.20 0.30 0.50
f [ xi ]
0.00000 0.20134 0.30452 0.52110
一阶均差
二阶均差
三阶均差
1.0067 1.0318 1.0829
0.08367 0.17033
牛顿插值法原理及应用
牛顿插值法插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。
为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。
牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式：f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。
插值函数插值函数的概念及相关性质[1]定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。
若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数.称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。
定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序程序框图#include<stdio.h>void main(){float x[11],y[11][11],xx,temp,newton;int i,j,n;printf("Newton插值:\n请输入要运算的值:x=");scanf("%f",&xx);printf("请输入插值的次数(n<11):n=");scanf("%d",&n);printf("请输入%d组值:\n",n+1);for(i=0;i<n+1;i++){ printf("x%d=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y%d=",i);scanf("%f",&y[0][i]);}for(i=1;i<n+1;i++)for(j=i;j<n+1;j++){ if(i>1)y[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-i]);elsey[i][j]=(y[i-1][j]-y[i-1][j-1])/(x[j]-x[j-1]);printf("%f\n",y[i][i]);}temp=1;newton=y[0][0];for(i=1;i<n+1;i++){ temp=temp*(xx-x[i-1]);newton=newton+y[i][i]*temp;}printf("求得的结果为:N(%.4f)=%9f\n",xx,newton);牛顿插值法Matlab程序function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i));endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f);y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0);elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f, 6);endend牛顿插值法摘要：值法利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。
数值计算方法插值法讲解
又因为lk1(xk1) 1，故a(xk1 xk )(xk1 xk1) 1，得：
a
(xk 1
xk
1 )( xk 1
xk1) ，从而lk1(x)
(x (xk 1
xk xk
)(x xk1) ， )(xk1 xk1)
lk
(x)
(x ( xk
问题的提出
插值问题的数学提法：已知函数y f (x)在n 1个 点x0 , x1, , xn上的函数值yi f (xi ), (i 0,1, , n), 求一 个多项式y P(x)，使其满足P(xi ) yi , (i 0,1, , n). 即要求该多项式的函数曲线要经过y f (x)上已知的
平面上两点 xk , yk , xk1, yk1 ，求一条直线过该已
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P 1(x)
x xk1 xk xk 1
由于li (xk ) 0,k i，故li (x)有因子：
(x x0 ) (x xi1)(x xi1) (x xn )，因其已经是n 次多项式，故而仅相差一个常数因子。令：
li (x) a(x x0 ) (x xi1)(x xi1) (x xn )
插值法的概念
已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值 yi=f(xi ), (i=0,1,…,n) ，求一个简单函数y=P(x),使其满 足: P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。即要求该简单函数的 曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个 点： (x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),同时在其它 x∈[a,b]上要估计误差: R(x) = f(x) - P(x)
2.3均差与牛顿插值公式
可以进一步简化，计算也简单得多.
为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.
设函数 y f ( x) 在等距节点 xk x0 kh (k 0,1,, n) 上
的值 f k f ( xk ) 为已知，这里 h 为常数，称为步长.
13
定义
记号 f k f k 1 f k ,
n j
（2）函数值可用差分表示，如 轾 n 骣 n j n n 犏 琪 f n+k = E f k = ( I +D ) fk = 邋 D fk = 琪 犏 j j =0 桫 臌
骣 n j 琪 D fk . 琪 j j =0 桫
n
15
f k 1 f k f k (3) 差商与差分关系，如： f [ xk , x k 1] , xk 1 xk h f [ xk 1, x k 2 ] f [ xk , x k 1] 2 f k f [ xk , x k 1, x k 2 ] , 2 xk 2 xk 2h
称为 f ( x) 在 x k处以 h 为步长的一阶（向前）差分. 利用一阶差分可定义二阶差分为
2 f k f k 1 f k f k 2 2 f k 1 f k .
一般地可定义 m 阶差分为
m f k m1 f k 1 m1 f k .
14
引进不变算子I：Ifk f k , 移位算子E : Ef k f k 1.
1 1 1 1 4 1 1 1 3 N 3 ( ) 1 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) 2 2 2 2 2 3 2 2 2
4 x( x 1)( x 2) 3
12
2.3.3 差分与等距节点插值
为了得到等距节点的插值公式，先介绍差分的概念.
设函数 y f ( x) 在等距节点 xk x0 kh (k 0,1,, n) 上
的值 f k f ( xk ) 为已知，这里 h 为常数，称为步长.
13
定义
记号 f k f k 1 f k ,
n j
（2）函数值可用差分表示，如 轾 n 骣 n j n n 犏 琪 f n+k = E f k = ( I +D ) fk = 邋 D fk = 琪 犏 j j =0 桫 臌
骣 n j 琪 D fk . 琪 j j =0 桫
n
15
f k 1 f k f k (3) 差商与差分关系，如： f [ xk , x k 1] , xk 1 xk h f [ xk 1, x k 2 ] f [ xk , x k 1] 2 f k f [ xk , x k 1, x k 2 ] , 2 xk 2 xk 2h
称为 f ( x) 在 x k处以 h 为步长的一阶（向前）差分. 利用一阶差分可定义二阶差分为
2 f k f k 1 f k f k 2 2 f k 1 f k .
一般地可定义 m 阶差分为
m f k m1 f k 1 m1 f k .
14
引进不变算子I：Ifk f k , 移位算子E : Ef k f k 1.
1 1 1 1 4 1 1 1 3 N 3 ( ) 1 2 2 ( 1) ( 1) ( 2) 2 2 2 2 2 3 2 2 2
4 x( x 1)( x 2) 3
12
2.3.3 差分与等距节点插值
计算方法 3 牛顿插值
计算方法（2016/2017 第一学期） 贾飞 西南科技大学 制造科学与工程学院
2
分析
显然， L2 ( x0 ) y0，L2 ( x1 ) y1；利用插值 条件， L2 ( x2 ) y2 y1 y0 y 2 y0 ( x2 x0 ) a ( x2 x0 )( x2 x1 ) x1 x0 y2 y0 y1 y0 x2 x0 x1 x0 y1 y0 a L2 y0 ( x x0 ) x2 x1 x1 x0 y2 y0 y1 y0 x2 x0 x1 x0 ( x x0 )( x x1 ) x2 x1
计算方法（2016/2017 第一学期） 贾飞 西南科技大学 制造科学与工程学院
9
牛顿基本插值公式
其中，线性部分 N 1 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) 满足 N 1 ( x0 ) f ( x 0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) N 1 ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 x0 ) f ( x1 ) x1 x0 N 1 ( x ) 为 f ( x ) 以 x0，x1 为插值结点的 线性插值函数，即： N （ 1 x ) L1 ( x )
西南科技大学
制造科学与工程学院
16
解：构造差商表如下，
xi -2 0 f(xi ) 1阶 17 1 -8 1 17 3 8 1.25 2阶 3阶
1
2
2
19
N 3 ( x ) 17 8( x 2) 3( x 2) x 1.25( x 2) x ( x 1) f 0.9 N 3 (0.9) 1.30375, R3 0.9 1.25 0.9 2 0.9 0.9 1 0.9 2 0.358875
2
分析
显然， L2 ( x0 ) y0，L2 ( x1 ) y1；利用插值 条件， L2 ( x2 ) y2 y1 y0 y 2 y0 ( x2 x0 ) a ( x2 x0 )( x2 x1 ) x1 x0 y2 y0 y1 y0 x2 x0 x1 x0 y1 y0 a L2 y0 ( x x0 ) x2 x1 x1 x0 y2 y0 y1 y0 x2 x0 x1 x0 ( x x0 )( x x1 ) x2 x1
计算方法（2016/2017 第一学期） 贾飞 西南科技大学 制造科学与工程学院
9
牛顿基本插值公式
其中，线性部分 N 1 ( x ) f ( x0 ) f [ x0 , x1 ]( x x0 ) 满足 N 1 ( x0 ) f ( x 0 ) f ( x1 ) f ( x0 ) N 1 ( x1 ) f ( x0 ) ( x1 x0 ) f ( x1 ) x1 x0 N 1 ( x ) 为 f ( x ) 以 x0，x1 为插值结点的 线性插值函数，即： N （ 1 x ) L1 ( x )
西南科技大学
制造科学与工程学院
16
解：构造差商表如下，
xi -2 0 f(xi ) 1阶 17 1 -8 1 17 3 8 1.25 2阶 3阶
1
2
2
19
N 3 ( x ) 17 8( x 2) 3( x 2) x 1.25( x 2) x ( x 1) f 0.9 N 3 (0.9) 1.30375, R3 0.9 1.25 0.9 2 0.9 0.9 1 0.9 2 0.358875
计算方法与误差理论-4
插值法
n+1元线性方程组
根据插值多项式的定义，可得n+1个方程 组成的方程组
a 0 a1 x0 a n x y 0
n 0
a 0 a1 x1 a x y1
n n 1
a 0 a1 x n a n x y n
n n
插值法
定理1：满足条件Pn(xj)=yj(j=0,1,…,n)的 n次多项式Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn 是存在而且唯一的 即：n+1个插值条件唯一确定一个n次多 项式 注意：如果不限制多项式的次数，插值 多项式并不唯一
L2 ( x)
( x x0 )(x x2 ) ( x x0 )(x x1 ) ( x x1 )(x x2 ) y0 y1 y2 ( x0 x1 )(x0 x2 ) ( x1 x0 )(x1 x2 ) ( x2 x0 )(x2 x1 )
零阶差商：f(xi)为f(x)关于节点xi的零阶差 商f[xi]
插值法—牛顿插值多项式
差商性质
k阶差商f[x0,x1,…xk]是由函数值f(x0),f(x1), f(x2),…f(xk)线性组合而成的，即：
f [ x0 , x1 ,, x k ]
k
f ( xm )
m 0
(x
i 0 im
k
m
xi )
插值法—牛顿插值多项式
差商性质
差商具有对称性，即在k阶差商f[x0,x1,…xk] 中任意调换2个节点xl和xm的顺序，其值不 变。（只改变求和次序） k阶差商和k阶导数之间有如下重要关系： (k ) f ( ) f [ x0 , x1 ,, xk ] k! (min{x0 , x1 ,, xk }, max{x0 , x1 ,, xk })
计算方法—插值法
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lk ( x) lk 1 ( x) 1
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2.2 拉格朗日插值
Chapter2 插值法
L1(X)
L1(X)
∴ lg2.718 ≈L1 (2.718)=0.43428
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值
利用线性插值法对函数y=f(x) 进行逼近时，即用直线y=L1(x)代替 曲线y=f(x)。
Chapter2 插值法
显然当插值区间较大或曲线[x0,x1]凸凹变化大时，线 性插值的误差很大。 为了减小这种误差，我们用简单的曲线(抛物线)去近似
代替复杂曲线y=f(x) 。二次多项式函数的曲线为抛物线， 所以我们构造插值函数L2(x) ，即n=2。
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2.2 拉格朗日插值
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2.1 引言
多项式插值
Chapter2 插值法
对于n+1个基点的插值问题，如果要求插值函数是次 数不超过n的多项式，记为Pn(x)，则相应的问题就是多项 式插值，并且把Pn(x)称为插值多项式。 实际上，我们所考虑的插值函数通常都是多项式函数
或分段多项式函数。由于次数不超过n的多项式的一般形 式为： Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn
当n=20,在109次/秒的计算机上计算需几万年！
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2.2 拉格朗日插值
2-2 线性插值与抛物插值 已知函数y=f(x)的函数 插值法
y yk
yk+1
求次数不超过1的多项式L1(x)=a0+a1x 满足插值条件L1(xk)=yk, L1(xk+1)=yk+1。
2.2 牛顿插值法
f ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x 1 ]( x - x 0 ) + f [ x , x 0 , x 1 ]( x - x 0 )( x - x 1 )
又
f [ x , x 0 , x1 , x 2 ] =
f [ x 0 , x1 , x 2 ] - f [ x , x 0 , x1 ] x2 - x
a2=
依次递推可得到a3, …, an. 为写出系数 ak的一般表达式, 均差定义
2.3.2 均差及其性质
1、均差的定义 称 f [ x0 , xk ] =
f ( xk ) - f ( x0 ) xk - x0
为 f ( x ) 关于点 x 0 , x k 的一阶差商。 称 f [ x 0 , x1 , x k ] =
注：均差与节点的排列次序无关——均差 的对称性
f[x0,x1,…,xn]= f[x1,x0,x2,…,xn]=… = f[x1, …, xn ,x0]
因此 f [ x 0 , x 1 , , x k ] = f [ x 1 , x k - 1 , x 0 , x k ]
= f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x k ] - f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x 0 ] xk - x0 f [ x 1 , x 2 , , x k -1 , x k ] - f [ x 0 , x 1 , x 2 , , x k -1 ] xk - x0
f (xj)
k
j=0
j=0
( x j - xi )
i=0 j i
1ºn 阶均差可表示为函数值f(x0), f(x1),…, f(xn) 的线性组合
数值计算方法插值法
f[x1,x2,x3] …
f[x0,x1,x2 ,x3]
例阶2.1差1商求值f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各
解xi :
计算得如下表 f[xi] f[xi,xi+1]
f[xi,xi+1,xi+2 ]
f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2]
00
28
80 4 20
27 8 19 19 4 5
an x0 n an1x0 n1 a1x0 a0 f (x0 )
an x1n
an1
x n1 1
a1x1 a0
f (x1 )
an xn n an1xn n1 a1xn a0 f (xn )
这是惟一一个性关说于明待，定不参论数用何种方法来构a造的0，,n+也a11阶不, 线论性用, 方何an种形式来表示插值多项式,
由线性代数知,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数
1, x x0 , (x x0 )(x x1 ),, (x x0 )(x x1 )(x xn1 )
的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n)的n次插值多项式, 写成如下形式
a0 a1(x x0) a2(x x0)(x x1) an (x x0)(x x1)(x xn1)
f[x0 , x1]=
f(x1)- f(x0) x1 – x0
f[x1 , x0]
f(x0)- f(x1) =
x0 – x1
f x0 , x1, x2 f x1, x2 , x0 f x0 , x2 , x1
性质3 若f[x, x0, x1 , …, xk ]是 x 的 m 次多项式, 则 f[x, x0, x1 ,…, xk , xk+1]是 x 的 m-1 次多项式