二次函数最值问题(含标准答案)

二次函数最值问题(含答案)

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二次函数最值问题

一．选择题（共8小题）

1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（）

A．2010 B．2011 C．2012 D．2013

2．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．6

3．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）

A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣3

4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在

5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）

A．3.125 B．4 C．2 D．0

6．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）

A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3

7．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）

A．B．2 C．D．

8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）

A．7 B．7.5 C．8 D．9

二．填空题（共2小题）

9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．

10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，

=6．当线段OM最长时，点M的坐标为．

点M在x轴负半轴上，S

△ABM

三．解答题（共3小题）

11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），

①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；

②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．

12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．

（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；

（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；

（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．

13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：

（1）满足条件的m值；

（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y 随x的增大而增大？

（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x 的增大而减小．

二次函数最值问题（含答案）

一．选择题（共8小题）

1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10．（﹣3，0）；三．解答题（共3小题）

11．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），

∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、

∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．

又∵A（2，0），点E在直线EA上，

∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．

∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，

∴点P的坐标是（3，3）．

②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．

设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．

由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．

又点A、E在直线EA上，

∴，解得，

∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．

∵点P为直线OF与直线EA的交点，

∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．

直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．

∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），

化简，得x=2﹣．有y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，

化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，

∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得m=或m=．

则m=或m=即为所求．

12.解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0，

故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）．

（2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k=0符合题意．

②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2）

∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．

综上，k的取值范围是k≤0．

（3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，

∵x的取值为全体实数，∴y无最小值，

若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3，

则=﹣3，且k＞0，

解得：k=符合题意，∴当k=时，函数存在最小值﹣3．13．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2，

解得m1=2，m2=﹣3，

所以满足条件的m值为2或﹣3；

（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，

所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；

（3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=﹣x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．