一些基本的数学建模示例
数学建模及典型案例分析
数学模型是人们为了认识客观对象在数量方面的特 征、定量地分析对象的内在规律、用数学的语言和符号 去近似地刻画要研究的那一部分现象时，所得到的一个 数学表述。 例如在牛顿力学中的公式f=ma, s=vt. 爱因斯坦 的质能方程E=mc2. 这些都是数学模型. 数学建模就是建立数学模型的过程。
数学模型的分类
按应用领域分类: 人口模型，环境模型、交通模型、生
态模型…… 按建模方法分类：初等模型、微分方程模型、差分方 法模型、统计回归模型、数学规划模型…… 按是否考虑随机因素分类：确定性模型和随机模型 按变量的连续性分类：连续模型和离散模型 按对对象内部规律了解程序分类：白箱模型、灰箱模 型和黑箱模型 按变量的基本关系分类：线性模型和非线性模型 按是否考虑时间变化分类：静态模型和动态模型
李志林，欧宜贵编著
化学工业出版社
广西民族大学数学与计算机科学学院
曹敦虔制作
目录
数学建模导言 2. 插值与拟合 3. 微分方程建模方法 4. 差分法建模 5. 计算机模拟 6. 层次分析法 7. 数据的统计描述与分析 8. 回归分析方法 9. 优化模型 10. 确定型时间序列预测法 11. 随机型时间序列预测法
示例1 鸭子过河
有只鸭子想游到河对岸的某个位置O，如果它的方向
始终朝着目标O。求这只鸭子的游动曲线。
示例1 鸭子过河
模型假设
1. 假设河的两岸为平行直线，河宽为h; 2. 鸭子游水的速率为b, 水流速率为a, 均为常数;
3. 初始时鸭子的位置为A;
4. 鸭子游动的方向始终指向O.
示例1 鸭子过河
数学建模的基本方法和步骤
实现对象
假设、抽象、表达
数学模型
验 证 、 应 用
数学建模比赛题目
数学建模比赛题目
数学建模比赛的题目通常涉及现实生活中的问题，需要参赛者运用数学方法和计算机技术来解决。
以下是一些可能的数学建模比赛题目示例：
1. 城市交通流量预测：给定一个城市的交通流量数据，要求参赛者预测未来的交通流量，以便为城市规划和交通管理提供依据。
2. 股票价格预测：给定历史股票价格数据，要求参赛者预测未来的股票价格变动，以便为投资者提供参考。
3. 天气预报：给定历史气象数据，要求参赛者预测未来的天气状况，以便为农业、航空和旅游等行业提供依据。
4. 人口增长预测：给定一个国家或地区的人口数据，要求参赛者预测未来的人口增长趋势，以便为政府制定政策和规划提供依据。
5. 物流优化：给定一个物流网络和相关数据，要求参赛者优化物流路线和资源分配，以便降低成本和提高效率。
6. 医疗数据分析：给定医院的医疗数据和病例信息，要求参赛者分析病情趋势和患者特征，以便为医疗研究和治疗提供依据。
7. 能源消耗预测：给定一个地区的能源消耗数据，要求参赛者预测未来的能源需求，以便为政府和企业制定能源政策和规划提供依据。
8. 机器学习算法设计：给定一组数据和任务，要求参赛者设计一种机器学习算法来解决该任务，例如分类、回归或聚类等。
这些题目只是数学建模比赛的一部分示例，实际上比赛的题目非常多样化，可以根据实际情况进行设计。
数学建模房贷还款问题
数学建模房贷还款问题房贷是大部分人买房的首选方式，但对于许多人来说，如何合理规划房贷还款方式并确保在还款期限内完成还款是一个挑战。
数学建模可以为我们提供一个优化的解决方案。
本文将探讨数学建模在房贷还款问题中的应用，帮助我们了解如何有效管理和规划房贷还款。
一、问题描述房贷还款问题可以被视为一种贷款利息问题。
假设我们购买了一套房子，假设贷款金额为P，贷款期限为n年，年利率为r。
我们需要确定每月的还款金额，以便在贷款期限内完成还款。
二、贷款本金首先，我们需要计算每月的贷款本金。
贷款本金是贷款金额除以还款期限的总月数。
例如，如果贷款金额为100万，还款期限为20年，则贷款本金为100万除以240个月，即4166.67元/月。
三、贷款利息其次，我们需要计算每月的贷款利息。
贷款利息是剩余贷款金额乘以月利率。
在每个月的还款后，剩余贷款金额会相应减少，因此每月的贷款利息也会随之变化。
例如，如果月利率为0.5%，剩余贷款金额为80万元，则每月的贷款利息为80万元乘以0.5%，即4000元。
四、月还款额最后，我们需要计算每月的还款金额。
每月的还款金额是贷款本金加上贷款利息。
例如，在上述例子中，每月的还款金额为4166.67元加上4000元，即8166.67元。
五、优化策略数学建模可以帮助我们优化房贷还款策略，以减少还款利息的支出，从而实现更快的还款。
下面是一些优化策略的示例：1. 提前还款：在贷款期限内提前偿还部分或全部贷款本金，可以减少剩余贷款金额，从而减少每月的贷款利息支出。
然而，有时提前还款可能会产生违约金或手续费等额外费用，因此需要综合考虑成本和收益。
2. 增加还款额：如果财务条件允许，可以适当增加每月的还款额。
通过提高还款额，可以更快地偿还贷款本金，并减少贷款利息支出。
3. 变更还款周期：可以选择较短的还款周期，如每两周还款一次。
较短的还款周期可以有效减少贷款利息支出。
4. 利率优化：如果贷款利率有一定的浮动范围，可以关注市场利率变动，并在利率较低时进行贷款利率重新协商。
复数乘除法的数学建模示例
复数乘除法的数学建模示例在数学中，复数乘法和除法是一个非常重要且广泛应用的概念。
复数是由实部和虚部组成的数，可以用形如a+bi的表达式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i2=−1。
复数乘法两个复数的乘法运算如下所示：假设有两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i，它们的乘积z1z2按照以下公式计算：z1z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i这个公式展示了复数乘法的实际操作过程，实部相乘减虚部相乘作为新的实部，而实部与虚部相乘后相加作为新的虚部。
复数除法两个复数的除法运算也是十分重要的，特别是在解决实际问题中的数学建模中。
两个复数z1=a1+b1i和z2=a2+b2i的除法运算$z_1\\div z_2$的计算方法如下：首先，求解分母的共轭复数$\\overline{z_2}=a_2-b_2i$，然后将分子与共轭复数相乘，再将结果除以分母模的平方：$z_1\\divz_2=\\frac{z_1\\overline{z_2}}{z_2\\overline{z_2}}=\\frac{(a_1a_2+b_1b_2) +(a_2b_1-a_1b_2)i}{a_2^2+b_2^2}$这个公式是复数除法的实际操作步骤，其中分子是z1和$\\overline{z_2}$的乘积，分母是z2与$\\overline{z_2}$模的平方。
实际应用复数乘除法在电路分析、信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用。
在电路分析中，复数乘法可以用来计算电阻、电容和电感的等效复阻抗，方便分析交流电路的性质；在信号处理中，复数除法可以用来实现频域信号的滤波和变换操作，更好地处理信号频谱；在图像处理中，复数乘法可以实现图像的平移、旋转和缩放等操作，使图像处理更加灵活。
综上所述，复数乘除法在数学建模中扮演着重要角色，通过理解复数乘除法的实际操作步骤和应用场景，可以更好地解决实际问题并进行数学建模分析。
高数数学建模题目
高数数学建模题目
以下是一个高数数学建模题目的示例：
题目：某品牌手机生产商生产了100万部手机，其中有5%的手机存在电池寿命不足的问题。
为了解决这个问题，生产商决定对所有手机进行电池更换。
每部手机更换电池的成本为30元，求总成本和平均每部手机更换电池的成本。
假设手机数量为 N=100万部，电池寿命不足的手机比例为 p=5%，更换电池的单价为 c=30元。
总成本可以通过以下公式计算：
总成本= N × p × c
其中，N 是手机数量，p 是电池寿命不足的手机比例，c 是更换电池的单价。
平均每部手机更换电池的成本可以通过以下公式计算：
平均成本 = 总成本 / N
请使用以上信息，求解总成本和平均每部手机更换电池的成本。
总成本为：元
平均每部手机更换电池的成本为：15 元。
放射性废料的处理问题模型数学建模
放射性废料的处理问题模型数学建模
放射性废料的处理问题模型可以利用数学建模方法进行描述和分析。
以下是一个简单的放射性废料处理问题模型的数学建模示例：
1.参数定义：
o T: 时间的变量，表示处理的时间范围；
o N: 放射性废料的数量；
o C: 废料浓度的变量，表示废料中放射性物质的浓度；
o R: 处理速率的变量，表示废料的处理速率；
o L: 放射性物质的半衰期。
2.假设和约束条件：
o废料的处理速率受设备容量、技术限制等因素的限制；
o放射性物质的半衰期决定了其衰变速率。
3.目标函数：目标是最小化放射性废料的总浓度，即最小化
废料处理过程中放射性物质的累积数量和浓度。
4.模型表达：
o废料变化方程：dN/dt = -R，表示废料数量随时间的变化；
o浓度变化方程：dC/dt = -R/N，表示废料浓度随时间的变化；
o放射性物质衰变方程：dN/dt = -λN，其中λ = ln(2)/L，
表示放射性物质的衰变速率；
o处理速率约束条件：R <= R_max，表示处理速率不超过设备容量。
5.求解方法：可以使用常微分方程的数值解法，如欧拉方法、
四阶龙格-库塔方法等，来求解废料变化和浓度变化的微
分方程，从而获得废料处理过程中的废料数量和浓度的变
化情况。
这是一个简单的放射性废料处理问题的数学建模示例。
实际的问题可能还涉及更多的变量、约束条件和目标函数，需要根据具体情况进行具体建模。
数学建模可以帮助分析废料处理过程中的放射性物质浓度和废料数量的变化趋势，为废料处理策略的制定和优化提供参考。
数学建模算法C语言示例
数学建模算法C语言示例数学建模是将实际问题转化为数学模型，并利用数学方法进行求解和预测的一种方法。
数学建模算法的核心是将实际问题抽象成为数学方程或模型，并通过计算机程序进行求解。
下面将给出一个使用C语言编写的数学建模算法示例。
问题描述：城市的一座公园中有一片草地，公园管理员需要选择一种合理的草坪管理方案。
为了降低管理成本，管理员希望能够合理地确定草地的初始状态以及不同管理策略下的生长和消耗速率。
现已知该草地的面积为A平方米，初始草地的高度为h0米（设为整数），每天的生长速率为g毫米/天（设为整数），每天的消耗速率为c毫米/天（设为整数）。
管理员希望通过数学建模算法来确定初始状态和合理的管理策略，以达到尽可能减少成本的目的。
解决思路：1.首先，定义一个结构体用来保存草地的初始状态和管理策略的参数。
```ctypedef structint A;int h0;int g;int c;} Grassland;```2. 接下来，实现一个函数来计算草地在不同管理策略下的消耗和生长情况。
该函数接受一个Grassland结构体作为参数，并返回一个包含消耗和生长情况的结构体。
```ctypedef structint consumption;int growth;} Result;Result calculate(Grassland grassland)Result result;result.consumption = grassland.c * grassland.A;result.growth = grassland.g * grassland.A;return result;```3.编写主函数，利用输入输出函数来获取和显示用户输入的参数和结果。
```c#include <stdio.h>Grassland getParameterGrassland grassland;printf("请输入草地面积（平方米）：");scanf("%d", &grassland.A);printf("请输入初始草地高度（米）：");scanf("%d", &grassland.h0);printf("请输入每天的生长速率（毫米/天）：");scanf("%d", &grassland.g);printf("请输入每天的消耗速率（毫米/天）：");scanf("%d", &grassland.c);return grassland;void displayResult(Result result)printf("每天的消耗量为：%d 毫米\n", result.consumption); printf("每天的生长量为：%d 毫米\n", result.growth);int maiGrassland grassland = getParameters(;Result result = calculate(grassland);displayResult(result);return 0;```以上代码实现了一个简单的草地管理方案的数学建模算法。
数学建模课件
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物. 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征.
你碰到过的数学模型——“航行问题”
甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h， 从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少? 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
数学建模的重要意义
―数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”. 数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强 经济竞争力具有重要意义”.
―计算和建模重新成为中心课题，它们是数学 科学技术转化的主要途径” .
数学建模的具体应用
• 分析与设计
• 预报与决策
•
控制与优化
• 规划与管理
数学建模
如虎添翼
计算机技术
评注和思考
建模的关键： 用表示椅子的位置 用 f(), g()表示椅脚与地面的距离 假设条件中哪些是本质的, 哪些是非本质的? 考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4). 证明过程的粗糙之处： 椅子的旋转轴在哪里，它在旋转过程中怎样 变化？
1.3.2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏) 随从们密约, 在河的任 一岸, 一旦随从的人数 比商人多, 就杀人越货. 乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河? 问题分析 多步决策过程
(ln 2) / 6 0.1155 (1 / h)
结果及分析
1200 1000 x(t) 800
胃肠道药量 x(t ) 1100 e 0.1386t
(e 0.1155t e 0.1386t ) 血液系统药量 y(t ) 6600 血液总量2000ml 血药浓度100μg/ml y(t) =200mg
认为血液系统内药物的分布，即血药浓度是均匀的， 可以将血液系统看作一个房室，建立“一室模型” . 血液系统对药物的吸收率 (胃肠道到血液系统的转移 率) 和排除率可以由半衰期确定. 半衰期可以从药品说明书上查到.
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1.3 一些基本的数学建模示例1.3.1椅子的摆放问题1.3.2 双层玻璃的功效问题1.3.3 搭积木问题1.3.4 四足动物的身长和体重关系问题1.3.5 圆杆堆垛问题1.3.6 公平的席位分配问题1.3.7 中国人重姓名问题1.3.8实物交换问题椅子能在不平的地面上放稳吗？下面用数学建模的方法解决此问题。
模型准备仔细分析本问题的实质，发现本问题与椅子腿、地面及椅子腿和地面是否接触有关。
如果把椅子腿看成平面上的点，并引入椅子腿和地面距离的函数关系就可以将问题1与平面几何和连续函数联系起来，从而可以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模。
为讨论问题方便，我们对问题进行简化，先做出如下3个假设：模型假设1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。
（对地面的假设）3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）根据上述假设做本问题的模型构成：模型构成Array用变量表示椅子的位置，引入平面图形及坐标系如图1-1。
图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为椅子的四只脚的对角线。
于是由假设2，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度θ来唯一表示，而且椅子脚与地面的垂直距离就成为θ的函数。
注意到正方形的中心对称性，可以用椅子的相对两个脚与地面的距离之和来表示这对应两个脚与地面的距离关系，这样，用一个函数就可以描述椅子两个脚是否着地情况。
本题引入两个函数即可以描述椅子四图1-1个脚是否着地情况。
记函数f(θ)为椅脚A和C与地面的垂直距离之和。
函数g(θ)为椅脚B 和D与地面的垂直距离之和。
则显然有f(θ)≥0、 g(θ)≥0，且它们都是θ的连续函数（假设2）。
由假设3，对任意的θ，有f(θ)、 g(θ)至少有一个为0，不妨设当θ=0时，f(0)>0、 g(0)=0，故问题1可以归为证明如下数学命题：数学命题（问题1的数学模型）已知f(θ)、 g(θ)都是θ的非负连续函数，对任意的θ，有f(θ) g(θ)=0，且f(0) >0、 g(0)=0 ，则有存在θ0，使f(θ)= g(θ)=0。
模型求解证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由f(0)>0、 g(0)=0 变为f(π/2) =0、 g(π/2) >0构造函数 h(θ)=f(θ) - g(θ), 则有h(0) >0和h(π/2) <0且h(θ)也是连续函数，显然，它在闭区间[0，π/2]上连续。
由连续函数的零点定理，必存在一个θ0∈（0，π/2），使h(θ0)=0，即存在θ0∈（0，π/2），使f(θ0)= g(θ)。
由于对任意的θ，有f(θ) g(θ)=0，特别有f(θ) g(θ)=0。
于是有f(θ)、 g(θ)至少有一个为0，从而有f(θ0)= g(θ)=0。
证毕。
简评：问题1初看起来是乎与数学没有什么关系，不好用数学建模来解决，但通过如上处理把问题变为一个数学定理的证明从而使其可以用数学建模来解决，从中可以看到数学建模威力。
本题给出的启示是对于一些表面上与数学没有什么关系的实际问题也可以用数学建模的方法来解决，此类问题建模的着眼点是寻找和分析问题中出现的主要对象及其隐含的数量关系，通过适当简化和联想来将其变为数学问题。
1.3.2 双层玻璃的功效问题北方城镇的窗户玻璃是双层的,这样做主要是为室内保温目的,试用数学建模的方法给出双层玻璃能减少热量损失的定量分析结果。
模型准备本问题与热量的传播形式、温度有关。
检索有关的资料得到与热量传播有关的一个结果，它就是热传导物理定律:厚度为d的均匀介质,两侧温度差为∆T,则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与∆T成正比,与d成反比,即:Q=k ∆T/dk为热传导系数。
模型假设(根据上定律做假设)1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单位面积的热量是常数)3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数)模型构成引入图1-2，其中的符号表示:d:玻璃厚度 T 1:室内温度, T 2:室外温度T a :靠近内层玻璃温度, T 2:靠近外层玻璃的温度 L:玻璃之间的距离 k 1:玻璃热传导系数 k 2:空气热传导系数图1-2 对中间有缝隙的双层玻璃，由热量守恒定律有穿过内层玻璃的热量=穿过中间空气层的热量=穿过外层玻璃的热量 根据热传导物理定律，得d k L k d k Q 2b 1b a 2a 11T -T T -T T -T ===消去不方便测量的T a ,T b ,有dh k h s s d k Q L ,k ,)2(T -T 21211==+=对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d 的单层玻璃,根据热传导物理定律，有d k Q 2T -T 211='而Q Q s Q '<⇒+='22Q此式说明双层玻璃比单层玻璃保温。
为得定量结果,考虑的s 的值,查资料有常用玻璃: k 1=4⨯10-3~8⨯10-3 (焦耳/厘米.秒.度)静止的干燥空气: k 2=2.5⨯10 - 4 (焦耳/厘米.秒.度)若取最保守的估计,有dL h h Q k k =+='=,181Q ,1621由于 Q 'Q可以反映双层玻璃在减少热量损失的功效, 在最保守的估计下，它是h 的函数。
下面从图形考察它的取值情况。
从图1-3中可知此函数无极小值,且当h 从0变大时,Q/Q ' 迅速下降,但h 超过4后下降变慢。
从节约材料方面考虑，h 不易选择过大,以免浪费材料。
如果取h ≈4,有 图1-3Q 'Q≈3%此说明在最保守的估计下，玻璃之间的距离约为玻璃厚度4倍时，双层玻璃比单层玻璃避免热量损失达97%。
简评: 问题2给出的启示是：对于不太熟悉的问题，可以用根据实际问题涉及的概念着手去搜索有利于进行数学建模的结论来建模，此时建模中的假设要以相应有用结论成立的条件给出。
此外，本题对减少热量损失功效的处理给我指出了怎样处理没有极值的求极值问题的一个解决方法。
1.3.3 搭积木问题将一块积木作为基础，在它上面叠放其他积木，问上下积木之间的“向右前伸”可以达到多少？ 模型准备这个问题涉计到重心的概念。
关于重心的结果有：设xoy 平面上有n 个质点，它们的坐标分别为 (x 1 ,y 1)，(x 2,y 2)，…, (x n ,y n )，对应的质量分别为m 1,m 2,…,m n , 则该质点系的重心坐标),(y x 满足关系式∑∑∑∑====⋅=⋅=ni ini ii ni ini ii m y m y m x m x 1111,此外，每个刚性的物体都有重心。
重心的意义在于：当物体A 被物体B 支撑时，只要它的重心位于物体B 的正上方，A 就会获得很好的平衡；如果A 的重心超出了B 的边缘，A 就会落下来。
对于均匀密度的物体，其实际重心就是几何中心。
因为本题主要与重心的水平位置（重心的x 坐标）有关，与垂直位置（重心的y 坐标）无关，因此只要研究重心的水平坐标即可。
模型假设1． 所有积木的长度和重量均为一个单位 2． 参与叠放的积木有足够多3． 每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同 4． 最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上 模型构成1．考虑两块积木的叠放情况。
对只有两块积木的叠放，注意到，此时使叠放后的积木平衡主要取决于上面的积木，而下面的积木只起到支撑作用。
假设在叠放平衡的前提下，上面的积木超过下面积木右端的最大前伸距离为x 。
选择下面积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图1-4）。
因为积木是均匀的，因此它的重心在其中心位置，且其 质量可以认为是集中在重心的。
于是每个积木可以认为是质量为1且其坐标在重心位置的质点。
因为下面的积木总 是稳定的，于是要想上面的积木与下面的积木离开最大的位移且不掉下来，则上面的积木中心应该恰好在底下积木 图1-4的右边最顶端位置。
因此，可以得到上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积木的长度是1)，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离为1/2。
2．考虑n 块积木的叠放情况两块积木的情况解决了，如果再加一块积木的叠放情况如何呢？如果增加的积木放在原来两块积木的上边，那么此积木是不能再向右前伸了（为什么），除非再移动底下的积木，但这样会使问题复杂化，因为，这里讨论的是建模问题，不是怎样搭积木的问题。
为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作一个整体且不再移动它们之间的相对位置，而把增加的积木插入在最底下的积木下方。
于是，我们的问题又归结为两块积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的两块积木叠放问题。
这个处理可以推广到n+1块积木的叠放问题：即假设已经叠放好n （n>1）块积木后，再加一块积木的怎样叠放问题。
下面我们就n+1（n>1）块积木的叠放问题来讨论。
假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图1-5）。
考虑上面的n 块 图1-5 积木的重心关系。
我们把上面的n 块积木分成两部分：1） 从最高层开始的前n-1块积木，记它们的水平重心为x1,总质量为n-1 2） 与最底层积木相连的第n 块积木, 记它的水平重心为x2,质量为1此外，我们也把上面的n 块积木看作一个整体，并记它的重心水平坐标x ，显然n 块积木的质量为n 。
那么，在保证平衡的前提下，上面的n 块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的右端，即有x =0；假设第n 块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z,同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n-1块积木的总重心的水平坐标为z ，即有 x1=z ，而第n 块积木的水平重心在距第n 块积木左端的21处，于是在图1-5的坐标系下，有第n 块积木的水平重心坐标为x2= 21z 。
由重心的关系，有)21()1(12)1(1=-+-⋅=⋅+-⋅=nz n z nx n x xn z z n z 210)21()1(=⇒=-+-⋅于是有，对三块积木n=2, 第3块积木的右端到第1块积木的右端距离最远可以前伸4121+对四块积木n=3, 第4块积木的右端到第1块积木的右端距离最远可以前伸614121++设从第n+1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为1+n d ，则有n d n 2141211+++=+当∞→n 时，有∞→n d 。
这说明，随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无限远的地方。
简评: 本题给出的启示是：当问题涉及到较多对象时，对考虑的进行合理的分类进行解决，往往会使问题变得清晰。