三角函数与向量的基本概念及综合应用

★【※题3】①已知tan(-π)= ,则(2sin+cos)cos的值为（A）
A B C 1 D 0
②已知、∈（ ，πBaidu Nhomakorabea，sin(+)= ,sin(- )= ,则cos(+ )=__________(答案： ）
③已知（x)=2tanx- ,则是（ ）的值为（）
A 4 B C 4 D 8（解、（x)= ,则所求为8）
★例2、求证；G为△ABC的重心的充要条件是： + + =0
★例3、已知AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线， = , = ，则 =____
★例4、①已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若M,N,,P三点共线，O为坐标原点，且 =a31 +a2 (直线MP不过点O），则S32等于多少？
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经过长期观察,y=(t)曲线可以近似地看作函数y=Asinωt+k的图象
①根据以上数据,求出函数y=(t)的近似表达式;②一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m,如果该船想在同一天内安全进出港口,问它至多能在港内停留多长的时间(忽略进出港口所需时间)
解、①(x)=-sin（2x+ ）+1；②|a+(x)|<4恒成立[-4-(x)]max<a<[4-(x)]min
则a∈（-4， ）
★【※题7】①把函数y=cosx- sinx的图象向左平移m个单位之后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是（C）A B C D
②若(x)=asin(x+ )+3sin(x- )是偶函数，则a=______(答案:-3)
湖南省省级示范性高中-------洞口三中方锦昌提供
一、向量的基本概念：
1、向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量：
2、向量的表示： 、 、区别于| |、| |
3、向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则
★例题1、一艘船从A点出发以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h；求船实际航行的速度大小和方向。（答案：4km/h，方向与水流方向成60°角）
★例1、①已知 =(3,5) =(2,3), =(1,-2),求（ · )· （答案：（21，-42））
②已知 =(3,-1), =(-1,2),则-3 -2 的坐标为_____(答案:(-7,-1))
③已知| |=4,| |=3,(2 -3 )·(2 + )=61,求 与 的夹角.(为120°)
④已知| |=2,| |=9, · =-54 ,求 与 的夹角.(为135°)
2、变形时，要注意角与角之间的相互关系，最常用的有：切割化弦、高次降幂、异角化同角等；（化同名、化同次、化同角）
3、三角函数的图象和性质，要注意定义域、值域、奇偶性、图象对称性、周期性、单调性、最值；正、余弦函数作图的“五点法”，以及图象的变换。
4、解三角形时，要充分利用正弦定理、余弦定理，结合三角形的内角和定理，三角变形公式去处理问题；
★【※题2】①设O为平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足 = +( + ),∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( D )
A外心B垂心C内心D重心
②将上题中的条件改为 = +( + )则应选( C )
★例题3：（1）、化简下列各式：① + ；② + - ；③ + + ；④（ - ）+（ - ）其中结果为0的有①③④
解： · =sin2x;| + |= (sinx+cosx),(x）的最大值为1+2 ，最小值2
★例6、已知向量a=(sin,1),b=(1,cos),- << ,①若a⊥b,求出之值，②求出|a+b|的最大值。（答案：=- ，|a+b|的最大值 +1）
★例7、①已知向量 =(cos,sin),向量 =( ,-1)，求|2 - |的最大值。（答案为4）
★例2、①已知 =(1,2), =(x,1)且 +2 与2 - 平行，则x=_____(答案: )
②已知| |=2,| |=1, 与 的夹角为 ,求向量2 +3 与3 - 的夹角的余弦值.(答案: )；③已知向量 =(cos,sin), =(cos,sin),且 ≠± ,则 + 与 - 的夹角大小是____(90°)
②（2006年江西高考）已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若 =a1 +a200 ,且=A,B,C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（）
A 100 B101 C200 D 201
★例5、①若 的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则| |=_____
2已知 =(1,2), =(x,1),且 +2 与2 - 平行，则x之值为____
②已知向量 =(2,7), =(x,-3),当 与 的夹角为钝角时，求出x的取值范围；若 与 的夹角为锐角时，问x的取值范围又为多少？（答案：为钝角时x< ,x≠ ;为锐角时x> )
★例5、已知 =(cos ,sin ), =(sin ,cos ),x∈[0, ]，①求 · ；②求| + |，③设函数（x)= · + | + |，求出(x）的最大值和最小值。
④已知向量 与 的夹角为120°,且| |=3,| + |= ,则| |=_____
★例3已知 =(1,2), =(-3,2),当k为何值时,①k + 与 -3 垂直?②k + 与 -3 平行,平行时它们是同向还是反向?（解:①k=19;②k=-1/3,反向.）
★例4:①若向量 +3 垂直于向量7 -5 ,且向量 -4 垂直于向量7 -2 ,求向量 与 的夹角大小.(答案:60°)
③把曲线C:y=sin( -x)cos(x+ )向右平移a(a>0)个单位,得到曲线C′,若曲线C′关于点( ,0)对称,则a的最小值是_____(答案: )
★【※题8】受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:
★【※题5】①设点P是函数(x)=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是 ,则(x)的最小正周期是_______(答案:π)
②已知函数(x)= sin (r>0)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆x2+y2=r2上,则(x)的最小正周期是______(答案:4)
【※题2】设函数(x)= · ,其中向量 =(2cosx,1), =(cosx, sin2x),①当(x)=1- ,且x∈[- , ],求x；②若函数y=2sin2x的图象按向量 =(m,n)(|m|< )平移后得到函数y=(x)的图象，求实数m,n之值。
解:①(x)=2sin(2x+ )+1,则x=- ；②m= ,n=1
⑩在△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，且a+c=2b,A-C= ，求sinB（答案： ）
★例8、已知向量 , ,且| |=4,| |=3,又(2 -3 )·(2 + )=61,则< , >=_____（120°）
★例9、已知两点M（-1，0），N（1，0），且点P使 · ， · ， · 成公差小于0的等差数列，①求点P的轨迹方程；②若点P的纵坐标为 ，求tan< , >之值。（答案：①x2+y2=3(x>0);② )
②已知向量 =(3,1),向量 =(x,-3),且 ⊥ ，求出x之值。（答案为1）
③已知| |=3,| |=2,且 与 的夹角为60°，当m为何值时，两向量3 +5 与m -3 互相垂直？（答案：m= ）
④已知| |=3,| |=8,向量 与 的夹角为120°，则| + |之值为多少？（答案：7）
⑤已知| |=| |=1,及|3 -2 |=3，求出|3 + |之值。（答案：2 ）
②已知非零向量 与 满足( + )· =0,且 · = ,则△ABC为(D )
A钝角△B Rt△C等腰非等边△D等边△
③已知 =(3,1), =(-1,2),若 ⊥ ,且 ∥ ,则 =________(答案:(14,7))
④已知向量 =(1,-2), =(1,),若 与 的夹角为锐角,则实数的取值范围是_____(答案:(-∞,-2)∪(-2, ))
★【※题4】①设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列，且c=2a,则cosB=(B)
A B C D
②已知某正弦函数y=Asin(ωx+)的部分图象如图示，则（x)的解析式为________(答案:y= y=-4sin( x+ )
③函数y=sin(2x- )的图象是由函数y=cos2x的图象经过下列哪种平移变换而得到的( D )A向左平移 个单位B向右平移 个单位C向左平移 个单位D向右平移 个单位
⑥已知 , 是非0向量，且满足 -2 ⊥ ,和 -2 ⊥ ，则 与 的夹角为多少？（答案：为60）；⑦已知向量 =(4,-3),| |=1,且 · =5,则 =_______（答案：（ ， ）
⑧若向量 与 的夹角为60°，且| |=4，又有( +2 )·( -3 )=-72，则向量 的模为多少？（答案：为6）；⑨已知点A（-2，0），点B（3，0），动点P（x,y)满足 · =x2,则动点P的轨迹方程为____（答案：y2=x+6)
3已知 =(3,4), ⊥ ,且 的起点坐标为(1,2)，终点坐标为(x,3x)，则 等于_____
4已知点M（3，-2），N（-5，-1），且 = ，则点P的坐标是____（答案：（-1， ）
巩固练习：（一）平面向量的坐标运算规律：①设 =(x1,y1), =(x2,y2),则 + =_________； - =__________, =______；②| |= = ；又 · =| |·| |·cos< , >=x1x2+y1y2则cos< , >= = ;③若 ∥ ⇔x1y2-x2y1=0;若 ⊥ ⇔x1x2+y1y2=0，
（2）、在平行四边形ABCD中， = ,DB= ,则有: = - , = + -
4、实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示：
1注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式：
5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角：
★例1、已知平行四边形OADB中， = , = ,AB与OD相交于点C，且|BM|= |BC|，|CN|= |CD|，用 、 表示 、 、和 。
③已知函数y=sin(ωx+)(ω>0,0<<π)是偶函数,其图象关于点M( ,0)对称,且在[0, ]上是单调函数,求ω和的值.(答案:= ;ω=2或 )
★【※题6】已知函数(x)= sinωxcosωx-cos2ωx+ (ω≠0)的最小正周期是π,且图象关于直线x= 对称,①求出ω之值;②若当x∈[0, ]时,|a+(x)|<4恒成立,求实数a的取值范围.
★例10、已知 =(1,-2), =(1,),①若 和 的夹角为锐角，求的取值范围；②若 和 垂直，求之值；③若 和 的夹角为钝角，求的取值范围；④若 和 同向，求的值；⑤若 和 反向，求的值；⑥若 和 共线，求的值。
★例11、已知 =(-3,2), =(2,1), =(3,-1),t∈R,①若 -t 与 共线，求实数t之值。②求出| +t |的最小值及相应的t之值。
四、三角与与向量的综合归纳
1、三角变形公式主要是：
①诱导公式；②sin(±),cos(±),tan(±);③sin2,cos2,tan2;③sin2,cos2;④asin+bcos;
⑤注意常数代换（如1=sin2+cos2; =sin30°=cos60°等；角的配凑（如=（+）-，2=（+）+（-），= + 等）
5、向量要注意选择几何、字符、坐标运算形式，力求简化运算过程；要将坐标运算与基底运算灵活
加以应用；向量的数量积是解决有关平行、垂直、夹角、模、投影等问题的重要工具；利用| |2= ·
= 2可以实现数量积与模的相互转化。
【※题1】①已知 =(1,1) 与 +2 的方向相同,则 · 的取值范围是_______(答案:(-1,+∞))