平面向量与三角函数综合练习(2017年练)
三角函数和平面向量专题练习2
北
B
的位置 C 处 (1) 求该船的行驶速度.
西
A
45° θ
C D
东
(2) 若该船不改变航行方向,判断它是否会进入警戒 水域,并说明理由.
P E Q
20 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长, R 表示 ∆ABC 的外接圆半径 (1)如图在 O 以为圆心,半径为 2 的 O 中, BC , BA 分别是 O 的弦,其中 BC = 2, ∠ABC = 45° ,求 弦 AB 的长 (2)在 ∆ABC 中,若 ∠C 为钝角,求证: a 2 + b 2 ≤ 4 R 2 (3)给定三个正实数 a, b, R ,其中 a ≥ b ,问 a, b, R 满足怎样的关系是时,以 a, b 为边长,以 R 为外 接圆半径的 ∆ABC 不存在,存在一个,或存在两个(全等的 三角 形 算作同 一个 ), 在 ∆ABC 存 在的 情况 下 ,用 a, b, R 表 示c
uuu r uuur
1 2
16. 在三角形 ABC 中, 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长,已知
∠B = 45° , b = 10, cos C = 2 5 5
(1)求边长 BC 的值 (2 若 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的值.
2/8
π π 17. 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + − 2 cos x, x ∈ , π 6 2
2 n 为偶数时, ○
f n (θ ) = sin n θ + cos n θ ,∴ f n′ (θ ) = n sin n −1 θ ⋅ cos θ − n cos n −1 θ sin θ = n sin θ cos θ ( sin n − 2 θ − cos n − 2 θ )
三角函数及平面向量测试题
姓名________ 成绩________三角函数和平面向量综合测试题160分公式：βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±令βα=得αααcos sin 22sin =ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
1．设(1,2),(3,4),(3,2)a b c =-=-=，则(2)a b c +⋅=________.2．已知两点(2,0),(2,0)M N -，点P 为坐标平面内的动点， 满足0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 的轨迹方程为_____.3．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，2,a i j b i j λ=-=+，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________.4．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+= ． 5．设向量(1,0),(cos ,sin ),a b θθ==其中0θπ≤≤，则a b +的最大值是 ．6．设,i j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ∆面积的值等于 ．7．已知向量a 与b 的夹角为0120，1,3a b ==，则5a b -= ． 8．向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是_______. 9．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b t a +最小，则实数t 的值为___________. 10．向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b -的最大值是 ． 11．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP ，()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是________.12、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=⋅⋅其中为向量a 和b的夹角，若(2,0),(1,3),|*()|u u v u u v =-=-+则= .13 在______,02=∠=+⋅∆A AB ABC 则中，若.14.在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线交直线AB,AC 于不同两点M,N ，若有,,n m ==则m+n=______二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15. （本小题满分14分）（1）已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模。
高考数学专题复习优质试卷分项三角函数与解三角形平面向量
专题03 三角函数与解三角形、平面向量一、选择题1. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】 已知向量b 与向量a 方向相反，且满足向量()1,2=-a ，=b ，则b 等于（ ）A ．()6,3-B ．(3,6)-C ．()3,6-D ．()3,6- 【答案】B2. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】在ABC △中，内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且0si n 2si n =+A b B a ，若2a c +=，则边b 的最小值为（ ）A ．4B 【答案】D【解析】由0sin 2sin =+A b B a 得2sin cos sin 0a B B b A +=，由正弦定理得2sin sin cos sin sin 0A B B B A +=，所以1cos 2B =-，2π3B =，由余弦定理得2222222cos ()4b a c ac B a c ac a c ac ac =+-=++=+-=-，由于2()12a c ac +≤=（当且仅当a c=时，取等号），所以23b ≥，即b ≥b D ．3. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】若点(,0)θ是函数()sin 3cos f x x x =+的一个对称中心，则cos2sin cos θθθ+=（ ） A ．1110 B ．1110- C ．910 D ．910- 【答案】B【解析】由辅助角公式得， ()sin 3cos f x x x =+)x ϕ=+（其中tan 3ϕ=），根据题意得k θϕ+=π，k ∈Z ，所以tan tan(π)tan 3k θϕϕ=-=-=-，cos2sin cos θθθ+=222222cos sin cos sin 1tan tan 11cos sin 1tan 10θθθθθθθθθ+-+-==-++，故选B ．4. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】已知锐角三角形ABC ，且3AB =，4AC =，则BC =（ ）A ．B ．6C ．5D 【命题意图】本题主要考查正弦定理与余弦定理，意在考查学生转化能力、运算求解能力． 【答案】D【解析】因为2sin BC R A =（R 为锐角三角形ABC 的外接圆半径），所以sin 2BC A R ==A 为锐角，所以3A π=，于是22234234cos 133BC π=+-⨯⨯=，所以BC =，故选D ． 5. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】已知点(4,3)P -在角ϕ的终边上，函数()cos()f x x ωϕ=+(0)ω>的图象上与y 轴最近的两个对称中心的距离为2π，则π()8f 的值为（ ）A ．10 B ．10C ．10-D ．10- 【命题意图】本题主要考查余弦函数的图象与性质、任意三角函数的定义，意在考查学生运算求解能力． 【答案】A6. 【2017年第一次全国大联考（山东卷）】设向量(2,1)=-a ，(1,3)+=-a b ，则cos ,<>=a b （ ）A ．35- B ．35 C ．5 D ．5- 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算以及夹角的求解等基础知识，意在考查基本的运算能力． 【答案】D【解析】由(1,3)+=-a b ，得()(3,4)=+-=-b a b a ．所以cos ,||||⋅<>===⨯a b a b a b D ．7. 【2017年第一次全国大联考（山东卷）】将函数π()2sin()3f x x =+图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩为原来的12，然后将所得函数图象再向右平移(0)m m >个单位长度，所得函数图象关于坐标原点对称，则m 的最小值为( ) A ．π12 B ．π3 C ．π6 D ．5π12【命题意图】本题考查三角恒等变换、三角函数图象平移变换、三角函数的对称性等，意在考查基本的逻辑推理与运算能力． 【答案】C8. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若3sin 2sin A B =，43b c =，则cos B = （ ）A ．4B ．34C ．16D ．1116【命题意图】本题考查余弦定理，正弦定理等基础知识，意在考查学生分析问题、解决问题的能力，基本运算能力及推理能力． 【答案】D【解析】因为3sin 2sin A B =，所以由正弦定理得32a b =，又因为43b c =，所以643a b c ==，令2,3,4a m b m c m ===，所以由余弦定理得222416911cos 22416m m m B m m +-==⨯⨯，选D.9. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】已知π1sin()23α+=，且α是第一象限的角，则tan 2α的值为【命题意图】本题考查诱导公式、半角公式等基础知识，意在考查运算求解能力． 6．D 【解析】由已知得31cos =α,因为π2π2π2k k α<<+，k ∈Z ，从而πππ24k k α<<+，k ∈Z ，所以2α在第一或第三象限，则tan 22α==故选D.10．【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】已知函数())f x x ωϕ=+ π(0,)2ωϕ><的图象过点3(0,)2A ，B C 、为该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则函数()f x 的单调递增区间为(A)24(2,2),33k k k -+∈Z ( B)24[2ππ,2ππ],33k k k -+∈Z(C) 51[4,4],33k k k -+∈Z ( D) 24[4ππ,4ππ],33k k k -+∈Z11．【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】已知向量,a b 满足()1,5=--b ，()3,7-=a b ，则||=a （ ）A ．8B ．4C ．D ．23．C 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算与模，意在考查学生的运算求解能力．【解析】由条件得()()2,2=-+=a a b b ，则||=a C ． 12．【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】已知点D 为ABC △外的一点，2222BC AB AD CD ====，120ADC ∠=︒，则ABC S ∆=（ ）A ．12B ．2C ．2D 10．C 【命题意图】本题考查余弦定理的应用，意在考查学生的转化能力、运算求解能力． 【解析】在ACD △中，2222cos 3AC AD CD AD DC ADC =+-⋅∠=，则在ABC △中222AB AC BC +=，所以90BAC ∠=︒，则12ABC S AB AC =⋅=△，故选C ． 13．【2017年第二次全国大联考（山东卷）】平面向量a 与b 的夹角为2π3，(2,0)=a ，=1b ，则2+=a b（A ）1 （B ）2 （C ）（D ）4 【答案】B【解析】由(2,0)=a 得=2a ，所以22212444421()442+=+⋅+=+⨯⨯⨯-+=a b a a b b ，所以22+=a b ．故选B ．14．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】若直线20x y +-=与直线0x y -=的交点P 在角α的终边上,则tan α的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12D 【命题意图】本题考查直线的交点,三角函数的定义等基础知识，意在考查学生的基本运算能力． 【答案】A15．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且1=a ，12=b ，则2-=a b (A) 1 (B)(C)2 (D)【命题意图】本题考查平面向量的数量积、向量的模等基础知识，意在考查运算求解能力．3.A 由已知条件得1π11cos234⋅=⨯⨯=a b ，所以2-=a b1==，故选A ．16．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】已知α为第二象限角，πsin()410α+=，则tan α的值为（ ） (A) 12-（B ）13 （C ） 43- （D ） 3- 【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系式等基础知识，意在考查运算求解能力．7.C 由πsin()410α+=得1sin cos 5αα+=，平方得112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-，从而249(sin cos )12sin cos 25αααα-=-⋅=，因为α为第二象限角，所以7sin cos 5αα-=，因此3cos 5α=-，4sin 5α=，则sin 4tan cos 3ααα==-，故选C ．17．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的图象过点1(0,)2．若()()12f x f π≤对x ∈R 恒成立，则ω的最小值为(A) 2(B) 10(C) 4(D) 1618．【2017年第三次全国大联考（山东卷）】设向量(3,4)=-a ，(,8)t =b ，若(⊥+a a b ），则t = (A) 73-(B) 73 (C) 3313 (D) 3313- 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、两向量垂直的条件等基础知识，意在考查基本的运算能力. 【答案】B【解析】由(3,4)=-a ，(3+,4)t +=a b ，由(⊥+a a b ）得33+16=0t ⨯-（），73t =，故选B . 19．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅰ）】在ABC △中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，3C π=，若()(,,c a b a b c =-=-+m n ，且∥m n ，则ABC △的面积为（ ）A ． 3B ．． 233 D ． 33 【命题意图】本题考查余弦定理，共线向量，解三角形等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力． 【答案】C【解析】由已知()(,,c a b a b c =--=-m n ，∥m n 可得226()c a b -=-，即22226c a b ab =+-+，3C π=，由余弦定理得222222cos 3c a b ab a b ab π=+-=+-，因此2222266a b ab a b ab ab +-=+-+⇒=，ABC △的面积为1sin 23ab π=C ．20．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅱ）】已知角π6α-的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，终边过点P （-5，12），则7πcos(+)12α=（ ）A.26-B.26-C.26D.266.B【解析】由题知，2212)5(||+-==OP r =13，根据三角函数定义知，πsin()6α-=1213，π5cos()613α-=-，∴7πcos()12α+=π3πcos[()]64α-+=π3ππ3πcos()cos sin()sin 6464αα---=512(132132-⨯--⨯=，故选B. 21．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅲ）】在△ABC 中，5AC =，115tantantan222AC B +=，则AB BC +=（ ）A ．6B ．7C ．8D ．922．【2017年原创押题预测卷01（山东卷）】已知函数的最小正周期为，的图象向左平移个单位后所得图象对应的函数为偶函数，则的最大值为（）A ．B ．C ．1D ．29.A【解析】因为函数的最小正周期为，所以，且其图象向左平移个单位后得到的为偶函数，则，又因为，所以，，则.故选A.23．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅲ）】已知△ABC 中,点D 为BC 中点,若向量()()1,2,2,3AB AC ==,则AD DC ⋅=( )A ．2B ．4C ．2-D ．4- 【答案】A24．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅲ）】若函数ππ()sin()(0,0,,)22f x A x A x =+>>-<<∈R ωϕωϕ的部分图象如图所示,则π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭=( )A ．1B.1-C D.【答案】B【解析】由图可知()f x 的最大值为2,可得A =2.由2π5ππ4163ωω⎛⎫=⨯-⇒= ⎪⎝⎭,由πππ2sin 1336f φφ⎛⎫⎛⎫=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ππ22ϕ-<<）,所以()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则ππ2sin 136f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选B. 25．【2017年原创押题预测卷02（山东卷）】已知向量a ，b 满足||2||=b a ，且()+⊥a b a ，则,a b 的夹角等于 A ．2π3B ．5π6C ．π3D ．π63．A【解析】由()+⊥a b a 可得：()0+⋅=a b a ，即20+⋅=a a b ，即2⋅=-a b a ．故21cos ,||||||2||2⋅-<>===-⨯⨯a b a a b a b a a ，又,[0,π]<>∈a b ，所以2π,3<>=a b ．故选A ．26．【2017年原创押题预测卷02（山东卷）】已知函数()sin cos (0)f x x a x ωωω=+>的图象过点A ，且()()2f x f x π+=-，将其图象向右平移m （0m >）个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 A ．π2B ．π4C ．π3D ．5π128．D二、填空题1. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】已知a 是单位向量,若()2⋅+=a a b ,()4⋅+=b a b ,则=b .【解析】因为a 是单位向量,所以由()22121,⋅+=⇒+⋅=+⋅=⇒⋅=a a b a a b a b a b由()214⋅+=+=⇒=b a b b b 2. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】若向量()()2,3,,6m ==a b ，且⋅=a b a b ，则m =___________．【命题意图】本题主要考查向量平行的充要条件，意在考查学生运算求解能力． 【答案】4【解析】由⋅=a b a b ，知ab ，则由326m =⨯，解得4m =．3．【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】如图，在边长为2的菱形ABCD 中，π3B ∠=，EF 是以A 为圆心，1为半径的圆上的一段弧，且点M 是圆弧EF 上任意一点，MN AB ∥，设M A F θ∠=，则当MN NC +取得最小值时，θ=___________．【命题意图】本题主要考查三角函数的应用，意在考查学生运算求解能力以及数形结合思想． 【答案】3π4．【2017年第一次全国大联考（山东卷）】已知函数()4cos sin()6f x x x ωωπ=-（0ω>，5π[0,]12x ∈）的对称中心到对称轴距离的最小值为4π．则函数()f x 的最大值为________________． 【命题意图】本题考查三角函数恒等变换、三角函数的对称性与周期性以及三角函数的最值等，意在考查基本的运算能力、逻辑推理能力等． 【答案】1【解析】()2cos cos )f x x x x ωωω=-2sin 2cos x x x ωωω=-2(cos 21)x x ωω=-+2cos 21x x ωω=--12cos 2)12x x ωω=--2sin(2)16x ωπ=--．由已知，函数的最小正周期为44T π=⨯=π，即2π2ω=π，解得1ω=． 所以π()2sin(2)16f x x =--，令π26t x =-，因为5π[0,]12x ∈，所以π2π[,]63t ∈-． 显然，当π2t =，即π3x =时，πsin(2)6x -取得最大值1，此时()f x 取得最大值2111⨯-=．5．【2017年第一次全国大联考（山东卷）】已知函数1()2f x x =+，点O 为坐标原点, 点(,())()n A n f n n *∈N ，向量(0,1)=i ，n θ是向量n OA 与i 的夹角，则使得312123cos cos cos cos sin sin sin sin nnt θθθθθθθθ++++<恒成立的实数t 的取值范围为________________．【答案】3[,)4+∞【解析】因为1()2f n n =+，所以1(,)2n OA n n =+，所以1cos ||||n n nOA OAθ⋅==⨯i i ，因为0n θ≤≤π，所以sin n θ==，所以cos 1111()sin (2)22n n n n n n θθ==-++所以31121231cos cos cos cos cos sin sin sin sin sin n nn nθθθθθθθθθθ--+++++11111111111111(1)()()()()2322423521122n n n n =-+-+-++-+--++ 1111(1)2212n n =+--++31113()42124n n =-+<++．所以t 的取值范围为3[,)4+∞． 6．【2017年第一次全国大联考（江苏卷）】已知()sin 22f x x x =的图象向右平移ϕ（02ϕπ<<）个单位后，所得函数为偶函数，则ϕ=____________．【命题意图】本题考查函数偶函数性质，图象变换等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力． 【答案】5π12【解析】由题意得π2sin[2()]3y x ϕ=-+为偶函数，所以π2()32k k ϕπ-+=+π∈Z ，又π02ϕ<<，所以5π12ϕ=. 7．【2017年第一次全国大联考（江苏卷）】已知锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 若2cos c a a B -=，则2sin sin()AB A -的取值范围是____________． 【答案】1(2 【解析】由正弦定理得sin sin 2sin cosC A A B -=,即sin()sin 2sin cos ,sin sin()A B A A B A B A +-==-，由锐角三角形ABC 得,2B B A B A =-=，且由πππ0,0,0222A B C <<<<<<得ππ,64A <<因为2sin sin sin()A A B A =-，1sin 22A << ,所以2sin sin()AB A -的取值范围是1(2.8．【2017年第一次全国大联考（江苏卷）】已知四边形ABCD ，若2,AC BD AB CD ⋅=⋅=则AD BC ⋅值为____________．【命题意图】本题考查向量数量积等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力及推理能力． 【答案】0【解析】因为()()()AC BD AB BC BC CD AB CD AB BC CD BC AB CD AD BC ⋅=+⋅+=⋅+++⋅=⋅+⋅,所以0AD BC AC BD AB CD ⋅=⋅-⋅=.9．【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】设m ∈R ，向量(2,1)m =+a ，(1,2)m =-b ，且⊥a b ，则m ＝ .【命题意图】本题主要考查平面向量的线性运算，向量垂直的充要条件等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】2【解析】02202m m m ⊥⇒⋅=⇒+-=⇒=a b a b .10．【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】已知向量=m ，向量=n m 与n 的夹角为π4，且λ-n m 与m 垂直，则实数λ的值为__________．【命题意图】本题考查平面向量的数量积、向量垂直的充要条件等基础知识，意在考查运算求解能力．14．2【解析】因为λ-n m 与m 垂直，所以()0λ-⋅n m m =，即20λ⋅-n m m =．因为⋅n m =cos ⋅⋅<⋅>=n m n m 222=，所以22λ==⋅m n m． 11．【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】若函数()tan()f x x ωθ=+的最小正周期为4π，且图象关于点7(,0)24π成中心对称，则正数θ的最小值为___________． 14．3π【命题意图】本题考查正切函数的图象与性质，意在考查学生的运算求解能力．12．【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】如图，已知扇形的圆心角23AOB π∠=，半径为若C 为弧AB 的上一个动点（不与点A ，B 重合），则四边形OACB 的面积最大值为___________．16．力．【解析】连接OC ，并设AOC θ∠=，则23BOC θπ∠=-，AOC BOC OACB S S S =+△△四边形＝12θ⨯＋12sin()23θπ⨯-＝24sin 4sin()3θθπ+-＝6sin θθ+＝6θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又由203θπ<<，得5666θπππ<+<，则当62θππ+=，即3θπ=时，四边形OACB的面积取得最大值，且为13．【2017年第二次全国大联考（江苏卷）】 已知π1sin()33x += ，则5ππsin()cos(2)33x x ---的值为_______.【命题意图】本题考查三角给值求值,诱导公式,二倍角公式等基础知识，意在考查学生分析能力及基本运算能力． 【答案】49【解析】5πππππππsin()cos(2)sin[2π()]cos 2[()]sin()cos 2()3333233x x x x x x ---=-+-+-=-+++ 2ππ124sin()12sin ()133399x x =-++-+=-+-=14．【2017年第二次全国大联考（江苏卷）】,,A B C 为单位圆上三个不同的点，若π,,(,)4ABC OB mOA nOC m n ∠==+∈R ，则m n +最小值为_______.15．【2017年第二次全国大联考（江苏卷）】在锐角三角形ABC 中，若tan ,tan ,tan A B C 依次成等差数列，则tan tan tan A B C 的取值范围为 ．【命题意图】本题考查两角和正切公式，基本不等式，等差数列性质等基础知识，意在考查运用等价转化思想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】)+∞ 【解析】由题意得tan tan 2tan tan tan 2tan()tan tan 2tan tan 1tan tan A CB AC A C A C A C A C+=+⇒-+=+⇒-=+-因为锐角三角形ABC ，所以tan 0,tan 0A C >>，因此tan tan 3A C =，2tan tan B B ≥⇒≥（当且仅当tan tan A C =时取等号），从而tan tan tan A B C ≥15．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】在矩形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于点O ，E 为BO 的中点，若AE AB AD λμ=+（,λμ为实数），则λμ= .5048464442OOOOEADCB【命题意图】本题主要考查平面向量的线性运算等基础知识，意在考查基本运算能力． 【答案】31616．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）()()cos sin 2344f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象 .【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数图象的变换等基础知识，意在考查数形结合思想，分析问题、解决问题的能力和基本运算能力． 【答案】向右平移3π个单位长度【解析】由()()cos sin 2344f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2=x 3π个单位长度得到函.故填向右平移3π个单位长度. 17．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】在ABC △中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，o60C =，则B =_____．【命题意图】本题考查正弦定理、三角恒等变换等基础知识，意在考查运算求解能力．14.π6【解析】由正弦定理得sin 2sin A B =，则s i n()2s i n B C B +=，展开得1sin 2sin 2B B B +=，整理得tan 3B =，因为(0,π)B ∈，所以π6B =． 18．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】在菱形ABCD 中，()2,3AC =-，()1,2BD x =-，则x =____________．13．4【命题意图】本题主要考查平面向量的垂直的条件，意在考查运算求解能力与转化能力． 【解析】由菱形的性质知AC BD ⊥，则 ()()21320AC BD x ⋅=-+-⨯=，解得4x =．19．【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】已知函数())sin 03f x x ωωπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭＞的最小正周期为π，若0,3x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()()()21110f x a f x a ---+≤∈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦R 恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【解析】由22T ωπ==，得()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1f x ≤≤()1t f x =-，则1t --≤-，且210t at -+≤恒成立，整理可得1a t t ≤+，而函数1y t t=+在区间1⎡-⎣上单调递增，所以1y tt=+(112++-=-，则a ≤． 20．【2017年第三次全国大联考（江苏卷）】将函数ππ()sin(2)()22f x x θθ=+-<<的图象向右平移(0π)ϕϕ<<个单位长度后得到函数()g x 的图象，若(),()f x g x 的图象都经过点P ，则ϕ的值为_____________．【答案】5π6【解析】由题意得sin 2θ=因为ππ22θ-<<，所以π3θ=，因为π()sin(22)3g x x ϕ=-+，所以πsin(23ϕ-+0πϕ<<，所以π5πππ4π5π2(,),2,.333336ϕϕϕ-+∈--+=-= 21．【2017年第三次全国大联考（江苏卷）】四边形ABCD 中，O 为对角线,AC BD 的交点，若||4,12,,2AC BA BC AO OC BO OD =⋅===，则DA DC ⋅=_____________．【命题意图】本题考查向量数量积等基础知识，意在考查利用函数与方程分析问题的能力、基本运算能力及推理能力．【答案】0【解析】22222412,16,4BA BC BO AO BO BO OD ⋅=-=-===，因此22DA DC DO AO ⋅=-=440-=．22．【2017年第三次全国大联考（江苏卷）】平面四边形ABCD 中，,3,5,4,2====DA CD BC AB 则平面四边形ABCD 面积的最大值为_____________．【命题意图】本小题主要考查余弦定理、三角形面积公式、两角和余弦公式等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力．【答案】【解析】由余弦定理得D DC AD DC AD B BC AB BC AB AC cos 2cos 222222⋅-+=⋅-+=， 即D B cos 53253cos 422422222⨯⨯-+=⨯⨯-+，即7cos 8cos 15=-B D ， 又平面四边形ABCD 面积D B D B S sin 215sin 4sin 5321sin 4221+=⨯⨯+⨯⨯=， 因此)cos(2408157)2(2222D B S +-+=+，即120)cos(60602≤+-=D B S ，当且仅当B D +=π时取等号，故平面四边形ABCD 面积的最大值为.30223．【2017年第三次全国大联考（江苏卷）】已知P 为单位圆O 上的点，,M N 为圆2216x y +=上两点，函数()||()f x MP xMN x =-∈R ，若函数()f x 的最小值为t ，且当点P 在单位圆上运动时，t 的最大值为3，则线段MN 的长度为_____________．【命题意图】本小题主要考查向量数量积、向量投影、一元二次函数最值等基础知识，意在考查分析问题的能力、基本运算能力． 【答案】【解析】222()2(),f x MN x MN MP x MP =-⋅+24t MN==222(||cos )(||sin )P MN MP MP MP d θθ--==，由题意得max ()3,P MN d -=因此2O MN d -=，||MN ==24．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅰ）】若3sin()35α-=π，则sin(2)6απ-=_____________．【答案】725-【解析】因为3sin 35α⎛⎫-=⎪⎝⎭π，3sin sin cos 32665ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππ，27sin 2sin 2cos 2cos 22cos 162336625ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+=+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝πππππ⎭⎝⎭⎝⎭π．25．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅱ）】已知向量a ，b 满足||2=a ，(2)⊥+a b a ，向量a 在向量b 方向上的投影为1-，则|+2|=a b . 13.572【解析】因为(2)⊥+a b a ，所以2(2)2||⋅+=+⋅a b a a a b =0，所以22||8⋅=-=-a b a ，因为向量a 在向量b 方向上的投影为1||⋅=-a bb ，所以||b =-⋅a b =8，所以2|+2|=a b 22||+44||⋅+a a b b =2284842⨯+⨯-=228，所以|+2|=a b 572.26．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅱ）】已知c b a ,,是ABC △的内角C B A ,,所对的边，A C c C a A a cos sin 22sin sin 2+=，则角A 的取值范围是 .15.（0，π3] 【解析】∵A C c C a A a cos sin 22sin sin 2+=，∴C A C C A A 22sin cos cos sin sin sin +==)sin cos cos (sin sin C A C A C +=)sin(sin C A C +=B C sin sin ,∴2a bc =，∴cos A =2222b c a bc+-=222b c bc bc+-≥22bc bc bc -=12（当且仅当b c =时，取等号），∵0πA <<，∴π03A <≤,∴角A 的取值范围是（0，π3]. 27．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅲ）】设单位向量a ，b 的夹角为锐角，若对于任意的{}(,)(,)|||1,0x y x y x y xy ∈+=≥a b ，都有|2|x y +≤，则⋅a b 的最小值为________________.【解析】设a ，b 的夹角为θ，则02θπ<<.由||1x y +=a b 得，222cos 1x y xy θ++=.又设2x y t +=，则2x t y =-，代入222cos 1x y xy θ++=，得22(54cos )(2cos 4)10y ty t θθ-+-+-=.所以0∆≥，即222(2cos 4)4(54cos )(1)0t t θθ----≥，整理得2254cos 1cos t θθ-≤-，所以254cos 641cos 15θθ-≤-，解得111cos 416θ≤≤，于是⋅a b 1cos 4θ=≥.经检验，此时0xy ≥，符合要求，故⋅a b 的最小值为14. 28．【2017年原创押题预测卷01（山东卷）】已知平面向量，则与的夹角等于 . 12.【解析】设与的夹角为，由题意，得，则,，则，又因为，所以，即与的夹角等于.29．【2017年原创押题预测卷01（江苏卷）】将函数sin(2)6y x =-π的图象向右平移(0)m m >个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为 ． 7．6π30．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅰ）】已知32)2sin(sin =+παα，则=α2cos ． 13．31±【解析】由32)2sin(sin =+παα得3222sin =α，所以312sin 12cos 2±=-±=αα．31．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅰ）】已知单位向量1e ，2e 满足213e e a -=，且a 在2e 上的投影为21，则向量1e ，2e 的夹角为 ． 14．3π【解析】由已知，得21||22=⋅e e a ，即21)3(221=⋅-e e e ，设向量1e ，2e 的夹角为θ，则211c o s 3=-θ，解得21cos =θ，又],0[π∈θ，故3π=θ．32．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅰ）】在ABC △中，E D ,分别为线段AC AB ,上的点，且AB AD 21=，AC AE 32=，若CD BE ⊥，则A sin 的最大值为 ． 16．21【解析】由CD BE ⊥得0=⋅CD BE ，即0)21()32(=-⋅-，整理得222183+=⋅，设x AB =||，y =||，则222183cos y x A xy +=， ∴23218322183cos =⨯≥⋅+⋅=x y y x A ，当且仅当y x 23=时取等号，∴41cos 1sin 22≤-=A A ，即A sin 的最大值为21．33．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅱ）】已知向量a ，b 满足||1=a ，||-=a b ()⊥+a a b ，则|b |= . 13．2【解析】因为()⊥+a a b ，所以2()||⋅+=+⋅a a b a a b =0，所以2||1⋅=-=-a b a ，因为||-=a b所以2227||2||12||=-⋅+=++a a b b b ，所以||b =2.34．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅱ）】已知函数)(x f =)cos()sin(2ϕωϕω++x x A （4π||,30,0<<<>ϕωA ）的最大值为2，函数)(x f 的图象与y 轴的交点为（0，1），现将)(x f 的图象向右平移6π个单位，得到函数)(x g 的图象，若)(x g 是偶函数，则)(x f 在)8π,8π[-上的值域为 .15．]2,3[-35．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅲ）】四边形ABCD 中22AD AB ==,CB CD ⊥,BC CD +≥,则四边形ABCD 面积的取值范围为 .【答案】15,44⎛+⎝【解析】因为CB CD ⊥,所以)BD BC CD =≥+,即BC CD +≤,又BC CD +≥,所以BC CD +=,当且仅当BC CD =时取等号,所以△BCD 是等腰直角三角形.在△ABD 中,由余弦定理可得22212212cos BD A =+-⨯⨯⨯=54cos A -,所以△BCD 的面积2114S BD ==5cos 4A -,又△ABD 的面积2112sin sin 2S A A =⨯⨯⨯=.所以四边形ABCD 的面积12S S S =+=5sin cos 4A A -+π544A ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,由0πA <<可得πsin 124A ⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭,所以1544S <≤35．【2017年原创押题预测卷02（江苏卷）】设向量)0)(1,2cos 21(),1,2sin4(>-==ωωωx x ，若函数1)(+⋅=x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,5ππ上单调递增，则实数ω的取值范围为 ____．【答案】(0,2]【解析】由题设可得()2sincos11sin(2)sin (0)222f x x x x x ωωωωω=-+=⨯=>，因x y sin =在]2,2[ππ-上单调递增,故x x f ωsin )(=在]2,2[ωπωπ-上单调递增,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,5ππ是]2,2[ωπωπ-的子区间,故02524ωωω⎧⎪>⎪ππ⎪-≤-⎨⎪⎪ππ≥⎪⎩,解之得0522ωωω>⎧⎪⎪≤⎨⎪≤⎪⎩,即20≤<ω,故应填答案(0,2]. 36．【2017年原创押题预测卷02（江苏卷）】已知点)1,3(--M ,若函数x y 4tan π=))2,2((-∈x 的图像与直线1=y 交于点A ,则=||MA ______.【命题意图】本题考查正切函数的图像及向量的模等基础知识，意在考查学生运用所学知识分析问题解决问题的能力． 【答案】52 【解析】联立x y 4tanπ=与1=y ，借助)2,2(-∈x 容易求得)1,1(A ,故52416||=+=MA .37．【2017年原创押题预测卷02（江苏卷）】已知四边形ABCD ，若2,3==BD AC ，则)()(+⋅+值为_______.【答案】5【解析】因+=，故5)()()()(22=-=+⋅+=+⋅+. 三、解答题1. 【2017年第一次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】四边形ABCD 中,1,2AB BC ==.(1)若B D =,且CD DA ==求B ；(2)若CD AD ⊥且CD AD =,求四边形ABCD 的面积S 的最大值. 【答案】(1) π3B =.6分(2)54.6分【解析】(1)连接AC ,在△ABC 中,1,2AB BC ==,由余弦定理得2222cos 54cos AC AB BC AB BC B B =+-⋅=-,(2分) 在△ACD 中,CD DA ==由余弦定理得2222cos 66cos AC CD DA CD DA D D =+-⋅=-,(4分) 因为B D =,所以54cos 66cos B B -=-,解得1cos 2B =,所以π3B =.(6分) (2) 连接AC ,则△ABC 面积的11sin sin 2S AB BC B B =⋅⋅=,(8分) 由(1)得254cos AC B =-,由CD AD ⊥且CD AD =,可得△ACD 是等腰直角三角形,其面积为2215cos 44S AC B ==-,(10分) 所以四边形ABCD的面积为125π5sin cos 444S S S B B B ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭54≤, 当3π4B =时取等号,即四边形ABCD 的面积S54+.(12分) 2. 【2017年第一次全国大联考（山东卷）】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若32b a =，2A B =．（Ⅰ）求cos A ；（Ⅱ）若C B >，点D 在边BC 上，123BD BC ==，求ABD △的面积． 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积的求解等，考查基本的运算能力和逻辑推理能力．【解析】（Ⅰ）因为2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==． 从而sin 133cos 2sin 2224A aB B b ===⨯=． --------------4分故2231cos cos 22cos 12()148A B B ==-=⨯-=． ---------------6分3. 【2017年第一次全国大联考（江苏卷）】已知1sin 3α=，(,)2απ∈π.（1）求tan α的值； （2）求cos(2)3απ-的值.【命题意图】本题考查二倍角公式、同角三角函数关系等基础知识，意在考查分析问题、解决问题的能力、基本运算能力．【解析】（1）因为(,)2απ∈π，所以cos 0α<，所以cos α===所以sin tan cos ααα==……………6分 （2）因为27cos 212sin 9αα=-=，……………8分 由（1）知，sin 22sin cos 9ααα==-分所以cos(2)cos 2cossin 2sin 333αααπππ-=+=.……………14分 4. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】定义22⨯矩阵12142334a a a a a a a a ⎛⎫=-⎪⎝⎭．已知函数()2cos cos sin 2x x f x a x x π⎛⎫- ⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为3．（I ）求()f x 的单调增区间和a 的值； （II ）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位得到函数()y g x =的图象，求()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域．【解析】（Ⅰ）由题意()2cos cos sin 2x x f x a x x ⎛⎫- ⎪=+π⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 2cos 2x x x a π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭cos 1cos 22cos 21x x x a x x a =+++=+++a x ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=162sin 2π，令222262k x k k Z πππ-+π≤+≤+π,∈，得：Z k k x k ∈+≤≤+-,63ππππ ， ∴函数()x f 的单调递增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-,6,3ππππ,由函数()x f 的最大值为3，得33=+a ，0=∴a .……5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()162sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx x f ，()132sin 21642sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴πππx x x g ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∴πππ32,332x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴1,2332sin πx ，[]3,31132sin 2-∈+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx ，即()x g 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的值域为1⎡⎤⎣⎦ .……12分 5. 【2017年第二次全国大联考（新课标卷Ⅱ）】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足3cos cos c a bA B-=，D 是AC 边上的一点． (Ⅰ) 求cos B 的值；(II)若2a c =，求tan A 的值.【命题意图】本题考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．(II)由(Ⅰ)得1cos 3ABC ∠=，所以sin 3ABC ∠==，因为2a c =，由正弦定理得sin 2sin A C =，所以sin 2sin()A B A =+，……10分展开得sin 2sin cos A B A =+2cos sin B A ，所以2sin sin 33A A A =+，1sin cos 33A A =，所以sin tan cos AA A==分6. 【2017年第二次全国大联考（山东卷）】已知((cos )+f x x x x ，将函数()y f x =图象向下平移32个单位得到()y g x =的图象，则 （Ⅰ）求函数()g x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求()g x 在区间π[0,]2上的取值范围．【命题意图】本题主要考查三角函数的恒等变换、三角函数的平移变换、三角函数的单调性及值域等，考查基本的运算能力以及函数与方程、转化与化归的数学思想，是中档题． 【解析】（Ⅰ）由题意得：2((cos )=23sin 2f x x x x x x +3(1cos 2)π32)2232x x x -=+-+，所以π())3g x x =-，函数()g x 的最小正周期为22T π==π． ………………………………………5分 要求()g x 的单调递增区间，只需+22+2,232k x k k πππ-π≤-≤π∈Z ，……………………………6分 解得51212k x k ππ-+π≤≤+π， 所以()g x 的单调递增区间为5[,],1212k k k ππ-+π+π∈Z ．…………………………………7分 （Ⅱ）因为02x π≤≤，所以22333x πππ-≤-≤， ……………………………………………8分此时sin(2)[1]3x π-∈，……………………………………………11分所以())3g x x π=-在区间π[0,]2上的取值范围为3[2-．…………………12分 7. 【2017年第二次全国大联考（江苏卷）】设a π(cos(),1)6x ω=-,b (4sin ,cos 2),(0).x x ωωω=>（1）求函数()y f x ==a b 的值域；（2）若1=ω，将)(x f 的图象向左平移θ个单位，变为偶函数，求正数θ的最小值.解：（1）1()4(cos sin )sin cos 222f x x x x x ωωωω=++………………………2分 x x x x x ωωωωω222sin cos sin 2cos sin 32-++=………………………4分12sin 3+=x ω1⎡∈-⎣………………………6分故()f x 值域为1⎡-⎣………………………8分（2）由1=ω得 ()21f x x =+设()()2)1g x f x x θθ=+=++………………………10分)(x g 是偶函数 1)22sin(31)22sin(3++=++-∴θθx x解得 sin2cos20x θ=02cos =∴θ ………………………12分 42ππθ+=∴k (0)k θ∈>Z ， 故4min πθ=.………………………14分8. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅰ）】已知,,a b c 分别是ABC △的三个内角,,A B C 的三条对边，且()sin sin sin c C a A b a B -=-． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求cos cos A B +的最大值．【解析】（Ⅰ）因为()sin sin sin c C a A b a B -=-，由正弦定理得222c a b ab -=-，即222ab a b c =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==．又因为()0,πC ∈，所以π3C =．……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知π3C =，又πA B C ++=，所以2π3B A =-且2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 故2πcos cos cos cos 3A B A A ⎛⎫+=+-⎪⎝⎭2π2πcos cos cos sin sin 33A A A =++1πcos sin 26A A A ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以ππ5π,666A ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当ππ62A +=即π3A =时， cos cos A B +取得最大值为1．……12分 9. 【2017年第三次全国大联考（新课标卷Ⅲ）】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2222cos 40a c b bc A c +-+-=，且()cos 1cos c A b C =-．（Ⅰ）求c 的值及判断ABC △的形状； （Ⅱ）若6C π=，求ABC △的面积． 17．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积与三角恒等变换，意在考查运算求解能力、逻辑推理能力，以及方程思想、转化思想的应用．【解析】（Ⅰ）由2222cos 40a c b bc A c +-+-=，根据余弦定理，得2222222402b c a a c b bc c bc+-+-+⋅-=，整理，得2c =．………………2分由()cos 1cos c A b C =-，根据正弦定理，得()sin cos sin 1cos C A B C =-，即sin sin cos sin cos B C A B C =+＝()sin sin cos cos sin A C A C A C +=+，……………4分 所以sin cos sin cos B C A C =，故cos 0C =或sin sin A B =．……………5分 当cos 0C =时，2C π=，故ABC △为直角三角形； 当sin sin A B =时，A B =，故ABC △为等腰三角形．………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2c =，A B =，则a b =，………………8分因为6C π=，所以由余弦定理，得22242cos 6a a a π=+-，解得28a =+，………………10分所以ABC △的面积21sin 226S a π==+．………………12分10. 【2017年第三次全国大联考（山东卷）】已知23()cos 3cos +()2f x x x x x =-∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期、最大值及取得最大值时x 的集合； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π12个单位后得到函数()y g x =，设A B C V 内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若()22B g =-b =，4a c +=，求ABC V 的面积．【解析】（Ⅰ）23()cos 3cos +2f x x x x =-33=2cos 2+1+222x x -（）3=sin 2cos 222x x - ππsin 2cos cos 2sin 33x x -）π)3x -. 函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==. 当ππ22π32x k -=+，即5ππ,12x k k =+∈Z 时，()f x ， 这时x 的集合为5{|ππ,}12x x k k =+∈Z . （Ⅱ）将()y f x =的图象向右平移π12个单位后得到πππ()])21232y g x x x x =--=-=，所以()22B g B ==-,所以1cos 2B =，所以π3B =， 将b =，4a c +=，π3B =代入2222cos b a c ac B =+-得22()22cos b a c ac ac B =+--，所以π131622cos 3ac ac =--，解得=3ac ，所以1sin 24ABC S ac B ==V .11. 【2017年第三次全国大联考（江苏卷）】已知函数π()4cos sin()3f x x x a =-+的最大值为2. （1）求a 的值及函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC △中，若A B <，且()()1f A f B ==，求BCAB的值．【解析】（1）π1()4cos sin()4cos (sin )2sin cos 32f x x x a x x x a x x =-+=+=-2x a+πsin 2cos 2)2sin(2)3x x a x a =++=-+-因为()f x 的最大值为2,所以0,a a -==所以()f x π2sin(2)3x =-，其最小正周期为π.（2）由（1）得ππ2sin(2)2sin(2)133A B -=-=，ππ1sin(2)sin(2)332A B -=-=，因为0πA B <<<，所以πππ5π2,23636A B -=-=，即π7ππ,,π4126A B C A B ===--=，由正弦定理得πsinsin 4πsin sin 6BC A AB C === 12．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅰ）】函数()sin()(0 0 )2x A x A ϕωϕωϕπ=+>><，，的部分图象如图所示，若把函数()x ϕ的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()f x ． （1）求函数()f x 的解析式;（2）若函数()(0)2y f x ''ϕϕπ=+<<是奇函数，求函数()()cos 2g x x 'ϕ=-在[]0 2π，上的单调递减区间．【命题意图】本题考查三角函数的图像与性质，三角函数图像变换，求三角函数解析式等基础知识，意在考查学生转化与化归能力、综合分析问题解决问题的能力以及运算求解能力． 【解析】（1）52552,,2,2sin(2)22()41261262T A T k k T ππωϕϕ==-⇒===⨯+=⇒ππππππ+=+∈Z 2(),323k k ϕϕϕ⇒=-+∈π<ππ∴π=-Z ，得()2sin(2)3x x ϕ-π=，把函数()x ϕ的图象纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，得函数()2sin()3f x x π=-． ……………5分（2）由（1）可知()2sin()3f x x π=-，∴()2sin()3f x 'x 'ϕϕ++-π=，∵()y f x 'ϕ=+是奇函数，则sin()03'ϕ-=π，又02'ϕ<<π，∴3'ϕπ=，∴()()cos 2cos(2)3g x x 'x ϕ=-=π-，…………8分 令2223k x k π≤-≤ππ+π，k ∈Z ，则263k x k +≤≤π+πππ，k ∈Z ， ∴单调递减区间是2 63k k k ⎡⎤ππ++∈⎢⎥π⎣⎦πZ ，，， 又[]0 2x π∈，，∴当0k =时，递减区间为2 63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；当1k =时，递减区间为75 63⎡⎤⎢⎥⎣ππ⎦，． ∴函数()g x 在[]0 2π，上的单调递减区间是2 63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，75 63⎡⎤⎢⎥⎣ππ⎦，．…………12分 13．【2017年原创押题预测卷01（新课标卷Ⅲ）】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2ϕπ<）的部分图象如图所示. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若(0,)3απ∈，且4()3f α=π，求cos α.【解析】(1)由图得：2=A ． 由251144632T ωπ==-=，解得ω=π．由1()2sin()233f ϕπ=+=，可得2π32k ϕππ+=+（k ∈Z ），解得26k ϕπ=π+（k ∈Z ）.又||2ϕπ<，∴6ϕπ=，∴ ()2sin()6f x x π=π+．(2)由(1)知4()2sin()63f ααπ=+=π，∴ 2sin()63απ+=，由(0,)3απ∈，得6απ+∈,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴cos()6απ+==．∴cos cos[()]66ααππ=+-=cos()cos sin()sin 6666ααππππ+++=21322335⨯+⨯=6215+． 14．【2017年原创押题预测卷01（山东卷）】在△ABC 中，角A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，已知，53sin =A ． （1）求C sin 的值；（2）设D 为AC 的中点，若BD 的长为，求△ABC 的面积．则. ……4分，即. ……6分(2)由（1），得， ……7分设，在BCD △中，由余弦定理得，解得，则. ……12分16．【2017年原创押题预测卷01（江苏卷）】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，ABC △的面积为S ，sin cos a B A =.（1）求角A 的大小；（2）若a =S =b c +的值. 15．（1）3A π=（2）3 【解析】17．【2017年原创押题预测卷02（新课标卷Ⅱ）】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且(cos )sin (cos )sin a C b B c b a B C -=--．（1）求A 的大小； （2）若ABC △的面积为23，求a 的最小值． 【解析】（1）∵(cos )sin (cos )sin a C b B c b a B C -=--，∴C b C c B b C B C B a sin sin sin )sin cos cos (sin -+=+，即C b C c B b C B a si n si n si n )sin (-+=+，∴C b C c B b A a sin sin sin sin -+=，由正弦定理得，bc c b a -+=222，由余弦定理得，2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0πA <<，所以π3A =.由（1）知，ABC S △=3πsin 21bc =23，∴bc =2，∴3πcos 2222bc c b a -+==bc c b -+22≥bc bc -2=bc =2，当且仅当c b =时取等号，（10分）∴2-≤a （舍）或2≥a ，∴m in a =2.（12分）18．【2017年原创押题预测卷02（山东卷）】在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cos AB =．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若a =b =ABC △的面积．（Ⅱ）由（Ⅰ）知cos B =，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-，即2222c c =+-⨯24120c c --=，即(2)(6)0c c +-=，解得6c =或2c =-（舍去）．故ABC △的面积11sin 6223S ac B ==⨯⨯=（12分） 19．【2017年原创押题预测卷02（江苏卷）】在ABC ∆中，已知三内角,,A B C 成等差数列，且11sin()214A π+=.（Ⅰ）求A tan 及角B 的值；（Ⅱ）设角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且5=a ，求c b ,的值.【命题意图】本题考查诱导公式、同角三角函数之间的关系、正弦定理及两角和的正弦公式等基础知识，意在考查学生的运算求解能力及运用所学知识分析问题和解决问题的能力．。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题广东省珠海市斗门区第一中学 于发智 519100 jianghua20011628@一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sin θθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( ) A.21 B.32 C.22 D.23 6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 7.α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.B ACD③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 3632sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45 C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
三角函数与向量综合题练习
平面向量与三角函数综合练习题型一三角函数平移与向量平移的综合三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中•解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位•这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标例1 把函数y = sin2x的图象按向量a = (- , —3)平移后，得到函数y = Asin( w x+ )(A > 0, w> 0 ,6|| = p的图象，贝U 和B的值依次为题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合此题型的解答一般是从向量平行(共线)条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解•此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查例2 已知A、B、C为三个锐角，且 A + B + C=n若向量8 = (2 —2sinA , cosA + si nA)与向量6 =(cosA —si nA , 1 + si nA)是共线向量.(I)求角A;一 C —3B(n)求函数y = 2sin 2B + cos —；—的最大值•题型三三角函数与平面向量垂直的综合此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解.此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.已知向量 "a = (3sin a cos a ), "b = (2sin a, 5sin a — 4cos a , （I ）求tan a 的值；a（n ）求 cos （ +）的值.2 3题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质 |"|2 ="2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法： （1） 先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解• 5v 3< 0 v av ，且 sin 3=— ，求 sin a 的值. 2 13题型五 三角函数与平面向量数量积的综合 此类题型主要表现为两种综合方式： （1）三角函数与向量的积直接联系； （2）利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合 •解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解• 例 5 设函数 f(x)=""其中向量"=(m , cosx) , " = (1 + sinx , 1), x € R ,且 f( ) = 2. (I)求实数m 的值；（n ）求函数f （x ）的最小值.六、解斜三角形与向量的综合在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系•解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标， 要求根据向量的关系解答相关的问题 •b A A b 例6 已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其对边分别为a 、b 、c ,若m = （— cos ；, sin'）, n =妖（牛,2 n ，且b已知向量 ""=(cos a ,sin a ), " = (cos B,sin 3,a — 3）的值；（n ）若一-l " —= .(I )求 cos(1A A 口―(cos 2, si门2), a= 2yj3，且m ・n = ]•(1)若厶ABC的面积S= 3，求b + c的值.(H)求b + c的取值范围.THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。
2017年高考数学(理)-三角函数与平面向量(练)-专题练习-答案
1．【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】【答案】B
2．【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断】【答案】C
3．【河南省天一大联考2017届高中毕业班阶段性测试（二）】【答案】C
4．【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】【答案】D
5．【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）2．
三．练原创
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】等腰或直角三角形
4．【答案】（1） ， （2）
2017年高考数学（理）专题练习
三角函数与平面向量（练）
解析
1．练高考
1．【2016高考新课标2理数】
【解析】向量 ，由 得 ，解得 ，故选D．
2．【2016高考天津理数】
3．【2016高考新课标1卷】
【解析】因为 为 的零点, 为 图像的对称轴,所以 ,即 ,所以 ,又因为 在 单调,所以 ,即 ,由此 的最大值为9．故选B．
2017年高考数学（理）专题练习
三角函数与平面向量（练）
答案
一．练高考
1．【2016高考新课标2理数】【答案】D
2．【2016高考天津理数】【答案】B
3．【2016高考新课标1卷】【答案】B
4．【2016年高考四川理数】【答案】D
5．【2016高考浙江理数】【答案】
6．【2016年高考北京理数】【答案】（1） ；（2）2.
4．【2016年高考四川理数】
【解析】由题意，为了得到函数 ，只需把函数 的图像上所有点向右移 个单位，故选D．
5．【2016高考浙江理数】
【解析】 ，所以
6．【2016年高考北京理数】
2．练模拟
高考数学二轮复习专题1.3三角函数与平面向量(练)文
专题1.3 三角函数与平面向量1.练高考1. 【2017课标1，文11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c =2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】2.【2017课标II ，文4】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A【解析】由||||a b a b +=-平方得2222()2()()2()a ab b a ab b ++=-+，即0ab =，则a b ⊥，故选A. 3.【2017课标3，文6】函数1ππ()sin()cos()536f x x x =++-的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．15【答案】A【解析】由诱导公式可得：cos cos sin 6233x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，则：()16sin sin sin 53353f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ , 函数的最大值为65. 所以选A.4. 【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】23 【解析】5. 【2017天津，文15】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.【答案】(Ⅰ)55- ；(Ⅱ)255- .【解析】4532525sin(2)sin 2cos cos 2sin ()55555B A B A B A -=-=⨯--⨯=-.6. 【2017山东，理16】设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.【答案】（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值32-. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到()y f x =3(sin )3x πω=-由题设知()06f π=及03ω<<可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得()3sin(2)3f x x π=-从而()3sin()3sin()4312g x x x πππ=+-=-.根据3[,]44x ππ∈-得到2[,]1233x πππ-∈-，进一步求最小值.试题解析：（Ⅰ）因为()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，所以31()sin cos cos 22f x x x x ωωω=--33sin cos 22x x ωω=- 133(sin cos )22x x ωω=-3(sin )3x πω=-由题设知()06f π=，所以63k ωπππ-=，k Z ∈.故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.2.练模拟1.【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知向量a ， b 满足()a b a 2⋅+=，且()a 1,2=，则向量 b 在a 方向上的投影为( ) 55 C. 255355【答案】D【解析】由a =（1，2），可得|a 5 a •（b +a ）=2，可得a •b +2a =2，∴·a b =﹣3，∴向量b 在a 方向上的投影为·355a b a =-。
三角函数与平面向量综合测试卷
三角函数与平面向量综合测试卷班级：____________ 姓名：________________ 座号：______一、选择题（12*5=60分）题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案1．cos75 ·cos15 的值是( ) A ．12 B ．14C ．32D ．342．下列函数中，在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上为增函数且以π为周期的函数是: ( )A ．sin 2xy = B ．sin y x = C ．tan y x =- D ．cos 2y x =-3．sin 225︒＝( )A ．22- B ．22C ．－1D ．1 4.函数y=sin(2x +3π)的一条对称轴为：( ) A ．x=2π B ．x= 0 C ．x=－6π D ．x =12π5．如果点)cos 2,cos (sin θθθP 位于第三象限，那么角θ所在象限是（ ） Ａ、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限6．如果21)cos(-=+A π，那么=+)2sin(A π（ ）Ａ、21-Ｂ、21Ｃ、 23- Ｄ、237．o o o o sin71cos26-sin19sin26的值为（ ）A ．12B ．1C ．－22 D ．22 8．化简AC - BD + CD - AB得（ ）A ．AB B ．DAC ．BCD ．0 9．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb = ，则0k =或0b =，（2）若0a b ⋅= ，则0a = 或0b =（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-⋅+b a b a（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =⋅其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．为了得到函数R x x y ∈+=),32cos(π的图象，只需把函数x y 2cos =的图象（ ）A 、向左平行移动3π个单位长度B 、向右平行移动3π个单位长度C 、向左平行移动6π个单位长度D 、向右平行移动6π个单位长度11．在[0，2π]上满足21sin ≥x 的x 的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0πB.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ65,6C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ32,6D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,65 12．在（0，2π）内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是 （ ）A ．（4π,2π）⋃（π,45π） B ．（4π,π）C ．（4π,45π） D ．（4π,π）⋃（45π,23π） 二、填空题（4*5=20分） 13．若3a = ,2b = ，且a 与b 的夹角为060，则a b -= 。
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a=（sin x, 3cos x), c=（ cos x,sin x), x R.
(1)求f (x)的最大值和最小正周期；
1
（2）求f (x)的单调减区间。
2
7 .已 知 向 量 a = （ s in x ,1), b ( 3 , c o s x ), 0 , 记 函 数 f ( x ) = a b， 若 f ( x )
的 最 小 正 周 期 为 。
（1） 求 的 值 ；
（2）
若
x
0 ， 3
，
求
此
时
函
数
f
(
x )的
值
域
。
8.（陕西）设函数f(x)=a b,其中向量 a=（m , cos 2x ),b (1 sin 2x ,1),x R，且
函数y f (x)的图像经过点（ ，2）. 4
平面向量的综合应用
（11.已）知若AO(C3,0)A,BB(,0求,3t)a,Cn（;cos ,sin ),O 为原点。
(2) 若AC BC,求sin2;
(3)若 OA OC 13,又 （0 ，），求OB与OC的夹角。
q (sin A cos A,1 sin A),若p与q 是共线向量.
（1）求 A 的大小； （2）求函数 y 2sin 2 B cos C 3B 取最大值时，B 的大小
2
4
2.2012山东已知向量m sin x,1, n 3Acos x, A cos 2x
A
0,函数f
(x)
m
n的最大值为6.
2
1.求A；
2.将函数y f (x)的图像向左平移 个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短 12
为原来的
1 2
倍，纵坐标不变，得到函数y
、
B(0,3)
、
C(cos ,sin
)
，
(
,
3
)
，
22
（I）若
AC
BC
，求角
的值；（II）若 AC BC
1，求
2
sin 2 sin 1 tan
2
的值
11.已知锐角△ABC 中，三个内角为 A、B、C，两向量 p (2 2sin A, cos A sin A) ，
(1)求实数m的值；
（2）求函数f (x)的最小值及此时x值的集合。
9.
已知向量
m
=（sinB，1－cosB），且与向量
n
=（2，0）的夹角为
，其中
A,
B,
C
是
ABC
3
的内角．（I）求角Ｂ的大小； （II）求 sinA+sinC 的取值范围
3
10．已知
A
、
B
、
C
三点的坐标分别为
A(3,0)
g ( x)的图像，求g ( x)在0，524
上的值域。
3.已知向量m sin B,1 cos B,且与向量n 2,0所成角为 .A, B,C是三角
3 形的三个内角。 1.求角B的大小； 2.求sinA sinC的取值范围。
1
4. 设向量 a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)． (1)若 a 与 b－2c 垂直，求 tan(α＋β)的值； (2)求|b＋c|的最大值； (3)若 tan αtan β＝16，求证：a∥b.
5.
已知向量 a
(cos3x, s Nhomakorabean3x ),
b
(cos
x
, sin
x)
，其中 x [0, ] ，求函数
2
2
2
2
2
f (x) a b a b 的值域.
6.（16湖北）设函数 f (x)=a（ b+c),其中a=（sin x, cos x),