南京市2019-2020 学年度第一学期高二数学期中统考试卷(含答案)
PD P, PA 面 PAD， PD 面
AB 面
（2）取 PA 的中点 M ,连接 EM, BM
E, M 分别为 PD, PA的中点
FB
EM / / AD , EM 1 DA FB 1 DA,且 FB / / AD ,EM FB, EM / /
2
2
PAB EMBF 为平行四边形
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
9
8
9
8
7.在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 过点 P(1, 2) ，且被圆 O : x2 y2 9 截得的弦长为 4 2 ，则直线
l 的方程为（ ）
A.3x 4y 5 0
B.3x 4y 11 0 C.x 1或 3x 4y 5 0 D.x 1或 3x 4y 11 0
求证： EF // 平面 PAB .
4
20.（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC 2,BAC 120, AA1 3 .
(1) 点 D 在棱 AA1 上，且 BD A1C ，求 AD 的长；
(2) 求二面角 C A1B1 B 的大小.
A.l ,l
B.l , m ,l m
C. , / /
D.l , m ,l m
12.在平面直角坐标系 xoy 中，动点 P 到两个顶点 F1(1,0) 和 F2 (1,0) 的距离之积等于 8 ，记点 P 的轨
迹为曲线 E ，则（ ）
A.曲线 E 经过坐标原点
① 若 B 为线段 AC 的中点，求直线 l 的方程； ② 设 B 关于 x 轴的对称点为 D ，求 ACD 面积 S 的取值范围.
5
一、选择题
高二数学参考答案
1.D 2.A 3.A 4.B 5.B 6.C 7. C 8. D 9. C 10. B 11. ABC 12. BCD
二、填空题
13. 4；4 14. 2
（一）未使用节水龙头 30 天的日用水量频数分布表
日用水量
0.2, 0.3
0.3, 0.4
0.4, 0.5
0.5, 0.6
0.6, 0.7
频数 日用水量
2
3
8
12
（一）使用了节水龙头 30 天的日用水量频数分布表
0.1, 0.2
0.2, 0.3
0.3, 0.4
0.4, 0.5
21.（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点分别为 F1, F2
离心率 e
5 ，过 3
F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，且 ABF2 的周长为12 5 .
(1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 若点 A 位于第一象限，且 AF1 AF2 ，求 ABF2 的外接圆的方程.
A. 1
B. -1
C. 4
D. -4
r
r
rr
r
2.已知向量 a (0,1,1) ， b (1, 2,1) .若向量 a b 与向量 c (2, m, 4) 平行，则实数 m 的值是
A. 2
B. -2
C. 10
D. -10
3.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2 y2 1 的渐近线方程是 2
2 15. 13
15
16. 2 5
三、解答题
17.（1） cosB 12 （2） b 5 5 13
18.（1） 3 （2） 0.12
CD
5
19.（1） ABCD是平行四边形， AB / /
PDC 90，PD AB.
PAD
PAD AB PD, AB PA, PA
家庭年支出为 A.15.2 万元
B.15.6 万元
C. 16 万元
A
D. 16.2 万元
N
B
D
（第 5 题图）
M C
（第 6 题图）
5.如图，已知一个圆柱的底面半径为 3 ，高为 2，若它的两个底面圆周均在球 O 的球面上，则球
O 的表面积为 32
A. 3
B. 16
C. 8
D. 4
1
6.如图，在四面体 ABCD 中，点 M 是棱 BC 上的点，且 BM 2MC ，点 N 是棱 AD 的中点.若 uuuur uuur uuur uuur MN xAB y AC z AD ，其中 x ， y ， z 为实数，则 xyz 的值是
A. y 2x
B. y 2 x 2
C. y 3x
D. y 3 x 3
4.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下数据统
计表：
收入 x （万元） 8.3
8.5
10 11.2
12
支出 y （万元）
6
7.5
8
8.5
10
根据上表可得 x 10 ， y 8 ，线性回归方程 $y 0.76x a .据此统计，该社区一户年收入为 20 万元
B.曲线 E 关于 x 轴对称
C. 曲线 E 关于 y 轴对称
D. 若点 (x, y) 在曲线 E 上，则 3 x 3
一、选择题：本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13.在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C : x2 y2 1的焦距为 3
▲ .若双曲线 C 的右焦点与
22.（本小题满分 16 分） uuuur uuur
在平面直角坐标系 xoy 中,点 A(2,0) ，过动点 P 作直线 x 4 的垂线，垂足为 M ，且 AM AP 4 ，
记动点 P 的轨迹为曲线 E . (1) 求曲线 E 的方程； (2) 过点 A 的直线 l 交曲线 E 于不同的两点 B,C .
8.已知 cos(a ) 10 ，则 sin 2a 的值是（ 4 10
A. 4 5
B. 2
C. 2
5
5
） D. 4 5
9.在平面直角坐标系 xoy 中，直线 l 过抛物线 y2 4x 的焦点，交抛物线于 A，B 两点，且线段 AB 的
中点的横坐标为 3 ，则线段 AB 的长为（ ）
3
6
EF / / MBP,ABEF / / MB , EF 面 PAB , MB 面
EF / / 面
20.（1） 2 （2）
3
6
21.（1）
x2 45
y2 20
1
（2）
x
4
2
5
y
2 5
2
169 5
22.（1） y2 2x （2）① y 2 x 2 ② 8,
5
0.5, 0.6
频数
2
5
11
6
6
（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于 0.4m3 的概率 （2）估计该家庭使用了节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在
区间中点的值作代表）
19.（本小题满分 14 分） 如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，且 PAB PDC 90 . （1）求证： AB 平面 PAD . （2）若点 E , F 分别是棱 PD , BC 的中点，
在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知12(a cosC c cos A) 13bcos B .
（1）求 cos B ； （2）若 a+c 15 ，且 ABC 的面积为 5，求 b 的值.
3
18.（本小题满分 12 分）
某家庭记录了未使用节水龙头 30 天的日用水量数据（单位： m3 ）物线 y2 2 px( p 0) 的焦点重合，则实数 p 的值为
▲.
2
14.在平面直角坐标系 xOy
中，若椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的两个焦点和短轴的两个端点恰好为
正方形的四个顶点，则椭圆 E 的离心率是 ▲ .
15.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于
南京市 2019-2020 学年度第一学期期中调研测试
高二数学
2019.11
一、选择题：本小题共 12 题，每小题 4 分，共计 48 分，其中第 1 至第 10 题为单选题，第 11、12
题为多选题.
1.若直线 ax 2y 1 0 与直线 x 2y 2 0 互相垂直，则实数 a 的值是
2 的偶数可以表示为两个质数的和，如14 3 11，在不超过15 的质数中，随机选取 2 个不同的数，
其和不等于16 的概率是_______.
16. 已 知 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 矩 形 ， 底 面 边 长 和 侧 棱 均 为 2 ，
A1AB A1AD 600 ，则对角线 AC1 的长为________. 一、解答题：本小题共 6 小题，共计 82 分， 17.（本小题满分 12 分）
A.6
B.7
C .8
D.10
10.
在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 P(4,0) ，点 A，B 在双曲线 C :
y2
x2
uuur uuur 1上，且 AP 3PB ，则
4
直线 AB 的斜率为（ ）
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案
2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷含答案注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上..2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其它答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷将答案写在答题卡上，在试题卷上作答，答案无效.4.考试结束，只交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线x－y＝0的倾斜角为( )A．45°B．60°C．90°D．135°2．若三点A(0，8)，B(－4，0)，C(m，－4)共线，则实数m的值是( )A．6 B．－2 C．－6 D．2 3．圆ｘ2＋ｙ2＝4与圆ｘ2＋ｙ2－6x＋8y－24＝0的位置关系是（)A．相交B．相离C．内切D．外切4．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，棱锥A1-ABCD的体积与长方体AC1的体积的比值为( )A.12B．16C.13D．155．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，K，L分别为AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点，则六边形EFGHKL在正方体面上的射影可能是( ) 6．已知直线l与过点M(－3，2)，N(2，－3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是（)A.π3B.π4C.2π3D.3π47．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A．2π＋12 B．π＋12 C．2π＋24 D．π＋24 8．若坐标原点在圆x2＋y2－2mx＋2my＋2m2－4＝0的内部，则实数m的取值范围是( )A．(－1，1) B．－22，22C．(－3，3) D．(－2，2)9．点P(7，－4)关于直线l：6x－5y－1＝0的对称点Q的坐标是（)A．(5,6) B．(2,3) C．(－5,6)D．(－2,3)10.过(2，0)点作圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为( )A．y＝0 B．x＝1和y＝0 C．x＝2和y＝0 D．不存在11．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0与x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦长等于( ) A．4 B．2 3 C．3 2 D．4 212．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝12x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )A．－6＜k＜2 B．－16＜k＜0C．－16＜k＜12D．k＞12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019-2020年高二数学上学期期中试卷(含解析)
2019-2020年高二数学上学期期中试卷（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是命题．（在“真”或“假”中选一个填空）5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．江苏省盐城中学南校区xx高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1．（5分）命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是∃x∈R，x2+x+1＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2+x+1≥0”的否定是：∃x∈R，x2+x+1＜0；故答案为：∃x∈R，x2+x+1＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的关系，基本知识的考查．2．（5分）双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．3．（5分）若点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，则a的取值范围为（1，2）．考点：二元一次不等式的几何意义．专题：不等式的解法及应用．分析：根据点与直线的位置关系，即可．解答：解：∵点A（1，1），B（2，﹣1）位于直线x+y﹣a=0的两侧，∴（1+1﹣a）（2﹣1﹣a）＜0，即（2﹣a）（1﹣a）＜0，则（a﹣1）（a﹣2）＜0，即1＜a＜2，故答案为：（1，2）点评：本题主要考查二元一次不等式的几何意义，以及一元二次不等式的解法是解决本题的关键．4．（5分）命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是假命题．（在“真”或“假”中选一个填空）考点：四种命题．专题：计算题；简易逻辑．分析：写出命题的逆命题，再判断其真假即可．解答：解：命题“若a=0，则ab=0”的逆命题是如果ab=0，那么a=0，是假命题．故答案为：假．点评：本题主要考查了逆命题的定义以及真假命题的判定，要求学生对基础知识牢固掌握．5．（5分）已知不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，则a+b=．考点：一元二次不等式与一元二次方程．专题：计算题；转化思想．分析：不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，由根与系数的关系求出a，b，既得．解答：解：由题意不等式ax2+bx﹣1＞0的解集是{x|3＜x＜4}，故3，4是方程ax2+bx﹣1=0的两个根，∴3+4=﹣，3×4=﹣∴a=﹣，b=∴a+b=﹣=故答案为点评：本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，解答本题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．注意总结方程，函数，不等式三者之间的联系．6．（5分）曲线y=x2在（1，1）处的切线方程是2x﹣y﹣1=0．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出导函数，令x=1求出切线的斜率；利用点斜式写出直线的方程．解答：解：y′=2x当x=1得f′（1）=2所以切线方程为y﹣1=2（x﹣1）即2x﹣y﹣1=0故答案为2x﹣y﹣1=0点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率．7．（5分）如果p：x=2，q：x2=4，那么p是q的充分不必要条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明充分性，必要性，从而得到答案．解答：解：由p：x=2能推出q：x2=4，是充分条件，由q：x2=4推不出p：x=2，不是必要条件，故答案为：充分不必要条件．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．8．（5分）不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，则实数a的取值范围为．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：由题意和二次函数的性质列出不等式组，求出a的取值范围．解答：解：因为不等式ax2+x+1＞0（a≠0）恒成立，所以，解得a＞，所以实数a的取值范围为，故答案为：．点评：本题考查利用二次函数的性质解决恒成立问题，注意开口方向，属于基础题．9．（5分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x﹣4y﹣12=0上，则该抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出直线3x﹣4y﹣12=0与x轴、y轴的交点分别为（4，0）、（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下，由此设出抛物线的标准方程并解出焦参数p的值，即可得到所求抛物线的方程．解答：解：∵直线3x﹣4y﹣12=0交x轴于点（4，0），交y轴于点（0，﹣3），∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，﹣3），可得抛物线开口向右或开口向下．①当抛物线的开口向右时，设抛物线方程为y2=2px（p＞0），∵=4，解得p=8，2p=16，∴此时抛物线的方程为y2=16x；②当抛物线的开口向右时，用类似于①的方法可得抛物线的方程为x2=﹣12y．综上所述，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=﹣12y．故答案为：y2=16x或x2=﹣12y点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了双曲线的标准方程与基本概念、抛物线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．10．（5分）已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y），若点M到抛物线焦点的距离为3，则|OM|=．考点：抛物线的简单性质；两点间的距离公式．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），利用抛物线的定义可得|MF|=2+=3，解得p=2，从而得到抛物线的方程．由此算出点M的坐标为（2，），再利用两点间的距离公式即可算出|OM|的值．解答：解：∵抛物线经过点M（2，y），∴抛物线的开口向右．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），∵点M（2，y）到抛物线焦点F的距离为3，∴根据抛物线的定义，得|MF|=2+=3，解得p=2，由此可得抛物线的方程为y2=4x．将点M坐标代入抛物线方程，得y2=4×2=8，解得y=，M坐标为（2，）．∴|OM|==2．故答案为：点评：本题已知抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为3，求该点到抛物线顶点的距离．着重考查了抛物线的定义与标准方程、两点间的距离公式等知识，属于中档题．11．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点为F，A是两条曲线的一个交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率是+1．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．解答：解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴设A点的纵坐标大于0∴|AF|=p，∴A（，p）∵点A在双曲线上∴﹣=1∵p=2c，b2=c2﹣a2∴﹣=1化简得：c4﹣6c2a2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∵e2＞1∴e2=3+2∴e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率．12．（5分）已知直线kx﹣y+1﹣k=0恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，则的最小值为4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：把直线方程整理成点斜式，求得A点的坐标，代入直线mx+ny﹣1=0中，求得m+n的值，最后根据基本不等式求得的最小值．解答：解：整理直线方程得y=k（x﹣1）+1，∴点A的坐标为（1，1），∵点A在直线mx+ny﹣1=0（m，n＞0）上，∴m+n﹣1=0，即m+n=1，∴==，∵mn≤=，m=n时取等号，∴≥4，即的最小值为4，故答案为：4．点评：本题主要考查了基本不等式，直线方程问题，解题的关键时求得m+n的值．13．（5分）设x，y满足约束条件：，则z=x+2y的最小值为8．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点A时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即A（2，3）此时z=2+2×3=8．故答案为：8点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．14．（5分）记min{a，b}为a，b两数中的最小值，当正数x，y变化时，t=min{x，}也在变化，则t的最大值为．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：先推导=≤，再分当x≥与当x≤≤两种情况探讨最值，解答：解：=≤当x≥时，即x≥时，t=min{x，}=，而≤≤x≤，当x≤≤时，也即0＜x≤时，t=min{x，}=x，而x≤，综上t的最大值为故答案为：．点评：本题主要考查了函数的取最值的问题，理解新定义函数的意义，并能运用分类讨论的数学思想去解题是解决问题的关键二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15．（14分）已知p：|x+1|≤2，q：（x+1）（x﹣m）≤0．（1）若m=4，命题“p且q”为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（1）分别求出关于p，q的不等式，从而得到答案；（2）通过讨论m的范围，结合集合之间的关系，从而得到答案．解答：解：（1）m=4时，p：﹣3≤x≤1，q：﹣1≤x≤4，若p且q为真，则p为真，q为真，∴x的范围是：{x|﹣1≤x≤1}；（2）∵p：{x|﹣3≤x≤1}，若m≤﹣1，则q：{x|m≤x≤﹣1}，又p是q的必要不充分条件，即q⊂b，∴﹣3≤m≤﹣1，若m＞﹣1，则q：{x|﹣1≤x≤m}，∴﹣1＜m≤1，综上：m的范围是．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了集合之间的关系，是一道基础题．16．（14分）椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭圆C1上一点，B为抛物线y2=x 上一点，且A为线段OB的中点．（1）求椭圆C1的方程；（2）求直线AB的方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解出a，b即可得到椭圆方程；（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程，解出A点坐标，即可得到AB方程．解答：解：（1）据题意得：又a2=b2+c2，解得，所以椭圆方程为．（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得，消去y0并整理得：，所以或．当时，；当时，y0无解．所以直线AB的方程为．点评：本题考查椭圆的方程和性质及运用，考查抛物线方程的运用，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．17．（15分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）解不等式（t为常数）考点：其他不等式的解法．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知解集的端点可知1和b为方程ax2﹣3x+2=0的两个解，把x=1代入方程求出a的值，进而求出b的值；（Ⅱ）把原不等式分子提取﹣1，在不等式两边同时除以﹣1，不等号方向改变，当t=﹣2时，显然原不等式无解；当t不等于﹣2时，根据两数相除异号得负的取符号法则转化为两个不等式组，讨论t与﹣2的大小，根据不等式组取解集的方法可得到原不等式的解集，综上，得到t取不同值时，原不等式对应的解集．解答：解：（Ⅰ）由题意得：x=1和x=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个解，∴把x=1代入方程得：a﹣3+2=0，解得a=1，则方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣1）（x﹣2）=0，可得方程的另一解为2，即b=2，∴a=1，b=2；（Ⅱ）原不等式可化为：，显然当t=﹣2时，不等式不成立，即解集为空集；当t≠﹣2时，原不等式可化为：或，当t＞﹣2时，解得：﹣2＜x＜t；当x＜﹣2时，解得t＜x＜2，综上，原不等式的解集为：．点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了转化及分类讨论的数学思想，其中转化的理论依据为两数相乘（除）同号得正、异号得负的取符号法则，此类题是xx高考中常考的题型．18．（15分）已知二次函数f（x）=ax2﹣2x+a（a≠0）．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式f（x）＞0无解，求a的取值范围；（3）若不等式f（x）≥0对x∈（0，+∞）恒成立，求a的取值范围．考点：二次函数的性质．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）由二次不等式的解法，即可得到；（2）对a讨论，①当a=0时，②当a≠0时，则需，解出不等式，求并集即可；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，只要求出右边的最大值即可，注意运用基本不等式．解答：解：（1）当a=﹣1时，不等式为﹣x2﹣2x﹣1＜0，即（x+1）2＞0，所以x≠﹣1，所以所求不等式的解集为{x|x≠﹣1}；（2）不等式为：ax2﹣2x+a＞0．①当a=0时，不等式的解为：x＜0，不合题意；②当a≠0时，则需，所以a≤﹣1．综合得a≤﹣1；（3）不等式为：ax2﹣2x+a＞0，即，因为该不等式对x∈（0，+∞）恒成立，所以，因为，所以a的取值范围为a≥1．点评：本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法，考查不等式恒成立转化为求函数最值问题，属于中档题．19．（16分）今年的国庆假期是实施免收小型客车高速通行费后的第一个重大节假日，有一个群名为“天狼星”的自驾游车队．该车队是由31辆车身长都约为5m（以5m计算）的同一车型组成的，行程中经过一个长为2725m的隧道（通过该隧道的车速不能超过25m/s），匀速通过该隧道，设车队的速度为xm/s，根据安全和车流的需要，当0＜x≤2时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离．自第1辆车车头进入隧道至第31辆车车尾离开隧道所用的时间为y（s）．（1）将y表示为x的函数；（2）求该车队通过隧道时间y的最小值及此时车队的速度．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）利用当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，可得分段函数；（2）分段求出函数的最小值，即可得到分段函数的最小值．解答：解：（1）∵当0＜x≤12时，相邻两车之间保持20m的距离；当12＜x≤25时，相邻两车之间保持（）m的距离，∴当0＜x≤12时，y==；当12＜x≤25时，y==5x++10∴y=；（2）当0＜x≤12时，y=，∴x=12m/s时，y min=290s；当12＜x≤25时，y=5x++10≥2 +10=250s当且仅当5x=，即x=24m/s时取等号，即x=24m/s时，y min=250s∵290＞250，∴x=24m/s时，y min=250s．答：该车队通过隧道时间y的最小值为250s及此时该车队的速度为24m/s．点评：本题考查分段函数模型的构建，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力，属于中档题．20．（16分）设直线x+y=1与椭圆=1（a＞b＞0）相交于A，B两点．（1）若a=，求b的范围；（2）若OA⊥OB，且椭圆上存在一点P其横坐标为，求点P的纵坐标；（3）若OA⊥OB，且S△OAB=，求椭圆方程．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用判别式大于0，解出即可；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件，化简整理，即可得到所求值；（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，求出CD，再由面积，求得AB，再由弦长公式，求得a，b的方程，再由（2）的结论，即可得到椭圆方程．解答：解：（1）将直线x+y=1代入椭圆方程，消去y，得（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，x1+x2=，x1x2=，因为直线与椭圆交于两点，故△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，代入a=，解得，且a＞b，所以b的范围为；（2）将直线x+y=1代入椭圆方程，可得：，由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0，解得a2+b2=2a2b2即，代x0=到椭圆方程得，即，所以点P的纵坐标为．（3）设直线x+y=1与坐标轴交于C、D，则，又△AOB，△COD两个三角形等高，故，所以，求得所以，所以椭圆方程为．点评：本题考查椭圆方程及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和判别式大于0，以及弦长公式，考查运算能力，属于中档题．。
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题(含答案解析)
2019-2020学年度高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}，N={x|x≤-3}，则∁R（M∪N）=（）A. {x|x≤1}B. {x|x≥1}C. {x|x<1}D. {x|x>1}2.数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为（）A. a n=2n−1B. a n=(−1)n(1−2n)C. a n=(−1)n(2n−1)D. a n(−1)n+1(2n−1)3.不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3y+6=0的（）A. 左上方B. 左下方C. 右上方D. 右下方4.下列说法正确的是（）A. 若a<b，则1a <1bB. 若ac3>bc3，则a>bC. 若a>b，k∈N∗，则a k≤b kD. 若a>b，c>d，则a−d>b−c5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=（）A. ±2B. −2C. 2D. 46.设M=2a（a-2），N=（a+1）（a-3），则有（）A. M>NB. M≥NC. M<ND. M≤N7.当x＞1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3]8.设{a n}是等差数列，公差为d，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A. d<0B. a7=0C. S9>S5D. S6和S7均为S n的最大值9.设S n为等差数列{a n}的前n项和，a4=4，S5=15，若数列{1a n a n+1}的前m项和为1011，则m=（）A. 8B. 9C. 10D. 1110.已知：x＞0，y＞0，且2x +1y=1，若x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (−∞,−2]∪[4,+∞)B. (−∞,−4]∪[2,+∞)C. (−2,4)D. (−4,2)二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）11.△ABC中，a=1，b=√3，∠A=30°，则∠B等于______12.点P（x，y）在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=x-y的最大值为______．13.在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若角A、B、C成等差数列，且边a、b、c成等比数列，则△ABC的形状为______．14.对于任意实数x，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共44.0分）15.（1）解不等式2x2+x+1＞0．＜x＜2}，求a+b的值；（2）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1216.已知数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n．（1）求a n；（2）若b n=n+a n，求数列{b n}的前5项的和S5．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c cos A，b cos B，a cos C成等差数列．（Ⅰ）求∠B；，b=√3，求△ABC的面积．（Ⅱ）若a+c=3√3218.如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，向量a⃗=（S n，2），b⃗ =(1，1−2n)满足条件a⃗ ⊥b⃗（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设c n=na n，求数列{c n}的前n项和T n．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合M={x|（x+3）（x-1）＜0}={x|-3＜x＜1}，N={x|x≤-3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴∁R（M∪N）={x|x≥1}，故选：B．先求出M，再求出M∪N，再根据补集的定义求出∁R（M∪N）．本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合并集的定义和求法，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：数列-1，3，-5，7，-9，…的一个通项公式为．故选：C．其符号与绝对值分别考虑即可得出．本题考查了数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画直线2x-3y+6=0，把（0，0）代入，使得2x-3y+6＞0，所以不等式2x-3y+6＞0表示的平面区域在直线2x-3+-6＞0的右下方，故选：D．根据题意取特殊点验证不等式表示的平面区域即可．本题考查了二元一次不等式表示的平面区域问题，通常以直线定界，特殊点定区域，是基础题．4.【答案】D【解析】解：A．当a=1，b=2时，满足a＜b，但不成立，故A错误，B．若ac3＞bc3，若c＜0，则a＞b不成立，故B错误，C．当k=2时，a=1，b=-2满足条件．a＜b，但a2≤b2不成立，故C错误，D．若a＞b，c＞d，则-d＞-c，则a-d＞b-c成立，故D正确故选：D．根据不等式的关系以及不等式的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合不等式的性质分别进行判断是解决本题的关键．5.【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴（q4）3=64，解得q2=2．又=1，解得a1=．则a5==2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得（q4）3=64，解得q2．又=1，解得a1．利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：∵M-N═2a（a-2）-（a+1）（a-3）=（a-1）2+2＞0，∴M＞N．故选：A．比较两个数的大小，通常采用作差法，分别计算M-N的结果，判断结果的符号．本题考查了比较两数大小的方法．当a-b＞0时，a＞b，当a-b=0时，a=b，当a-b ＜0时，a＜b．7.【答案】D【解析】解：∵当x＞1时，不等式x+恒成立，∴a≤x+对一切非零实数x＞1均成立．由于x+=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号，故x+的最小值等于3，∴a≤3，则实数a的取值范围是（-∞，3]．故选：D．由题意当x＞1时，不等式x+恒成立，由于x+的最小值等于3，可得a≤3，从而求得答案．本题考查查基本不等式的应用以及函数的恒成立问题，求出x+的最小值是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．S9==9a5，S5==5a3．S9-S5=9（a1+4d）-5（a1+2d）=4a1+26d=4a7+2d＜0，∴S9＜S5．因此C错误．故选：C．S5＜S6，S6=S7＞S8，可得a6＞0，a7=0，a8＜0，可得d＜0．S6和S7均为S n的最大值．作差S9-S5=4a7+2d＜0，可得S9＜S5．本题考查了等差数列的单调性、通项公式与求和公式、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：S n为等差数列{a n}的前n项和，设公差为d，a4=4，S5=15，则：，解得d=1，则a n=4+（n-4）=n．由于=，则，==，解得m=10．故答案为：10．故选：C．首先求出数列的通项公式，利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法求出数列的和10.【答案】D【解析】解：∵x＞0，y＞0，且，∴x+2y=（x+2y）（）=2+++2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．∴（x+2y）min=8．∴x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜（x+2y）min=8，解得：-4＜m＜2．故选：D．x+2y＞m2+2m恒成立，即m2+2m＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．11.【答案】60°或120°【解析】解：∵a=1，b=，∠A=30°根据正弦定理可得：∴sinB=∴∠B=60°或120°故答案为：60°或120°根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．12.【答案】2【解析】解：画可行域如图，画直线z=x-y，平移直线z=x-y过点A（0，1）时z有最小值-1；平移直线z=x-y过点B（2，0）时z有最大值2．则z=x-y的最大值为2．故答案为：2．①画可行域；②z为目标函数的纵截距；③画直线z=x-y．平移可得直线过A 或B时z有最值．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．13.【答案】等边三角形【解析】解：∵在△ABC中角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，由三角形内角和可得B=，又∵边a、b、c成等比数列，∴b2=ac由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，∴ac=a2+c2-ac，即a2+c2-2ac=0，故（a-c）2=0，可得a=c，故三角形为：等边三角形，故答案为：等边三角形．由等差数列和三角形内角和可得B=，再由等比数列和余弦定理可得a=c，可得等边三角形．本题考查三角形形状的判定，涉及等差和等比数列及余弦定理，属基础题．14.【答案】（-2，2]【解析】解：当a=2时，-4＜0恒成立；当a≠2时，不等式（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立，则，解得：-2＜a＜2；综上所述，-2＜a≤2．故答案为：（-2，2]．分a=2与a≠2讨论；在a≠2时，（a-2）x2-2（a-2）x-4＜0恒成立⇒，解之，取并即可．本题考查函数恒成立问题，对a分a=2与a≠2讨论是关键，考查分类讨论思想与等价转化思想，属于中档题．15.【答案】解：（1）不等式2x2+x+1＞0中，△=1-8=-7＜0，所以该不等式的解集为R；（2）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-12＜x＜2}，则该不等式对应的方程两根是-12和2，所以{2a =−12×2−ba =−12+2，解得a=-2，b=3，∴a+b=1．【解析】（1）利用判别式△＜0，得出该不等式的解集为R；（2）根据不等式的解集得出不等式对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a 、b 的值．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了一元二次方程根与系数的关系应用问题．16.【答案】解：（1）由数列{a n }中，a 1=2，a n +1=2a n ．则数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n =2n ．（2）b n =n +a n =n +2n ．∴数列{b n }的前5项的和S 5=（1+2+3+4+5）+（2+22+……+25） =5×(1+5)2+2×(25−1)2−1=77．【解析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）b n =n+a n =n+2n ．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出． 本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵c cos A ，B cosB ，a cos C 成等差数列，∴2b cos B =c cos A +a cos C ，由正弦定理知：a =2R sin A ，c =2R sin C ，b =2R sin B ，代入上式得：2sin B cosB=sin C cos A +sin A cos C ，即2sin B cosB=sin （A +C ）． 又A +C =π-B ，∴2sin B cosB=sin （π-B ），即2sin B cosB=sin B ． 而sin B ≠0，∴cos B =12，及0＜B ＜π，得B =π3． （Ⅱ）由余弦定理得：cos B =a 2+c 2−b 22ac=12， ∴(a+c)2−2ac−b 22ac=12，又a +c =3√32，b =√3， ∴274-2ac -3=ac ，即ac =54，∴S △ABC =12ac sin B =12×54×√32=5√316．【解析】（Ⅰ）由ccosA ，BcosB ，acosC 成等差数列，可得2bcosB=ccosA+acosC ，利用正弦定理、和差公式即可得出；（II）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．本题考查了等差数列、正弦定理、和差公式、余弦定理、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵|DN| |AN|=|DC||AM|，∴|AM|=3(x+2)x∴S AMPN=|AN|⋅|AM|=3(x+2)2x由S AMPN＞32得3(x+2)2x＞32又x＞0得3x2-20x+12＞0解得：0＜x＜23或x＞6即DN的长取值范围是(0，23)∪(6，+∞)（Ⅱ）矩形花坛的面积为y=3(x+2)2x =3x2+12x+12x=3x+12x+12(x＞0)≥2√3x⋅12x+12=24当且仅当3x=12x，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．【解析】（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．19.【答案】解：（1）∵a⃗ ⊥b⃗ ，∴a⃗•b⃗ =S n+2-2n+1=0，∴S n=2n+1-2，当n≥2时，a n=S n-S n-1=2n，当n=1时，a1=S1=2满足上式，∴a n=2n，（2）∵c n=na n =n2n，∴T n=12+22+⋯+n−12+n2，两边同乘12，得12T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1，两式相减得：1 2T n=12+122+⋯12n−n2n+1=1−n+22n+1，∴T n=2−n+22n(n∈N+)．【解析】（1）根据向量的数量积和可得S n=2n+1-2，再根据数列的递推公式即可求出，（2）根据错位相减法即可求出数列{c n}的前n项和T n本题考查了向量的数量积和数列的递推公式以及错位相减法，属于中档题第11页，共11页。
2019-2020学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省南京市高二上学期期中数学试题一、单选题1．若直线ax +2y +1=0与直线x +2y –2=0互相垂直，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．–1C ．4D ．–4【答案】D【解析】由直线方程一般式垂直的条件计算． 【详解】由题意220a +⨯=，4a =-． 故选：D ． 【点睛】本题考查两直线垂直条件，两直线方程分别为1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=，则它们垂直的充要条件是12120A A B B +=．2．已知向量()0,1,1a =r，()1,2,1b =-r .若向量a b +r r 与向量()2,,4c m =--r 平行，则实数m 的值是（ ） A ．2 B ．2-C ．10D ．10-【答案】A【解析】由a b +r r 与c r 共线得a b c λ+=r r r，即(1,1,2)(2,,4)m λ-=--，解方程组即可.【详解】由已知，(1,1,2)a b +=-r r ，因为a b +r r 与c r 共线，所以存在实数λ，使得a b c λ+=r r r，故(1,1,2)(2,,4)m λ-=--，即12124m λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得122m λ⎧=-⎪⎨⎪=⎩.故选：A. 【点睛】本题考查共线向量定理的应用，涉及向量坐标运算，考查学生的计算能力，是一道基础题.3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2212y x -=的渐近线方程是（ ）A ．y =B ．2y x =±C ．y =D ．3y x =±【答案】A【解析】将双曲线方程右端1改为0，即可求得双曲线渐近线方程. 【详解】令2212y x -=右端1为0，得2202x y -=，即y =. 故选：A. 【点睛】本题考查求双曲线的渐近线，考查学生基本计算能力，是一道基础题.4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得10,8x y ==，线性回归方程$0.76y x a =+.据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为（ ） A ．15.2万元 B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元【答案】B【解析】将样本中心点(,)x y 代入回归直线方程求得0.4a =，进而回归方程为0.760.4y x =+$，再令20x =代入计算即可.【详解】将10,8x y ==代入线性回归方程$0.76y x a =+，得80.7610a =⨯+，解得0.4a =， 所以回归方程为0.760.4y x =+$，当20x =时，$0.76200.415.6y =⨯+=. 故选：B. 【点睛】本题考查线性回归直线方程及其应用，回归直线一定过样本中心点(,)x y ，这是解题的一个依据，本题是一道容易题.5，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．8πD ．4π【答案】B【解析】采用数形结合，根据勾股定理可得球的半径，然后利用球的表面积公式，可得结果. 【详解】根据题意，画图如下：则OA R =，3O A r '==，12hOO '==， 故在Rt OO A '∆中，22132OA OO O A ''=+=+=，2R ∴=，2244216S R πππ∴==⋅=球.故选：B 【点睛】本题主要考查球的表面积，属基础题.6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且2BM MC ＝，点N 是棱AD的中点.若MN x AB y AC z AD =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，其中,,x y z 为实数，则xyz 的值是（ ）A ．19-B ．18-C ．19D ．18【答案】C【解析】将MN u u u u r 用,,AD AB AC u u ur u u u r u u u r 表示，对比系数即可.【详解】 因为12()23MN AN AM AD AB BC =-=-+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12()23AD AB AC AB =---u u ur u u u r u u u r u u u r 112233AD AB AC =--u u u r u u u r u u u r ，所以121,,332x y z =-=-=，故19xyz =. 故选：C. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算，一定要结合图形，灵活运用三角形法则和平行四边形法则，本题是一道基础题.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,2P ，且被圆O ：229x y +=截得的弦长为l 的方程为（ ） A ．3450x y -+= B ．34110x y +-= C ．1x =或3450x y -+= D ．1x =或34110x y +-=【答案】C【解析】由已知得到圆心O 到直线l 的距离为1，设出直线方程，利用点到直线的距离公式计算即可. 【详解】由已知，圆心O 到直线l 的距离1d ===，当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为1x =，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)2y k x =-+，即20kx y k -+-=，由点到直线的距离公式得1d ==，解得34k =，此时方程为3544y x =+.故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及到弦心距公式，特别要注意在设直线的点斜式时，要先讨论斜率不存在的情况.8．已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值是（ ） A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【解析】由sin 2sin[2()]cos2()424πππααα=+-=-+，利用二倍角公式计算即可. 【详解】214sin 2sin[2()]cos2()12cos ()124244105ππππαααα=+-=-+=-+=-⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，涉及到配角技巧及倍角公式等知识，考查学生基本计算能力，是一道基础题.9．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点，交抛物线于,A B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．10【答案】C【解析】由抛物线定义结合公式12||AB x x p =++计算即可. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则126x x +=，由抛物线定义知，2p =，12||22p p AB x x =+++= 12628x x p ++=+=.故选：C. 【点睛】本题考查利用抛物线的定义求焦点弦长，在处理抛物线焦半径时，经常会想到利用抛物线定义将其转化为到准线的距离.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0P ，点,A B 在双曲线22:14x C y -=上，且3AP PB =u u u r u u u r，则直线AB 的斜率为（ ）A ．32±B ．2±C ．±1D ．±【答案】B【解析】设直线AB 方程为4x my =+，联立双曲线方程得12y y +=284mm -=-，122124y y m =-，又由3AP PB =u u u r u u u r 得123y y -=，消12,y y 即可. 【详解】由题意可知，当直线AB 的斜率为0时显然不满足题意，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 的方程为4x my =+，联立22:14xC y -=消x ，得22(4)8120m y my -++=，所以12y y +=284m m -=-，122124y y m =-①，又3AP PB =u u u r u u u r ，有1122(4,)3(4,)x y x y --=-，即123y y -=②，由①②，得244m -=-22216(4)m m -，即254m =，m =，所以斜率为12m =±. 故选：B. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系，考查学生利用韦达定理消元，有一定的运算量，是一道中档题.二、多选题11．已知两条直线l ，m 及三个平面,,αβγ，下列条件中能推出αβ⊥的是（ ） A ．,l l αβ⊂⊥ B ．,,l m l m αβ⊥⊥⊥ C ．,//αγβγ⊥ D ．,,l m l m αβ⊂⊂⊥【答案】ABC【解析】利用面面垂直的判定定理与性质定理来处理. 【详解】如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相互垂直知选项A 正确；选项B 显然正确；如果两个互相平行的平面有一个垂直于一个平面 那么另一个平面也垂直这个平面知选项C正确；D 选项有可能α与β可能平行. 故选：ABC. 【点睛】本题考查空间中面面垂直的判定，考查学生空间想象能力，是一道基础题.12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点1(1,0)F -和2(1,0)F 的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则（ ） A ．曲线E 经过坐标原点 B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(),x y 在曲线E 上，则33x -≤≤【答案】BCD【解析】8=，然后逐一验证A ，B ，C ，D. 【详解】设(,)P x y ，由已知，1||PF 2||8PF =，8=，平方得，(0,0)不满足方程，故选项A 错误；用(,)x y -换(,)x y ，方程不变，所以曲线E 关于x 轴对称，故B 正确；同理用用(,)x y -换(,)x y ，方程不变，所以曲线E关于y 轴对称，故C 正确；令0y =，得22(1)(1)64x x +-=，即218x -=，所以3x =±，故33x -≤≤，D 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查利用直接法求曲线的轨迹方程，对于选项A ，B ，C ，D 只需逐一代入验证即可，本题是一道中档题.三、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:13x C y -=的焦距为________.若双曲线C 的右焦点与抛物线()220y px p ＝>的焦点重合，则实数p 的值为______________.【答案】4 4【解析】利用222c a b =+及抛物线的焦点横坐标为2p计算即可. 【详解】由已知，1a b ==，故2c ==，所以焦距为24c =，又双曲线右焦点为(2,0)，所以有22p=，4p =. 故答案为：（1）4；（2）4. 【点睛】本题考查抛物线、双曲线的定义及应用，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是__________.【答案】2【解析】由题易得b c =，再利用222c a b =-计算即可. 【详解】由已知，b c =，所以a ==，故离心率为c e a ==.. 【点睛】本题考查求椭圆离心率，解决椭圆的离心率的问题，关键是建立,,a b c 的方程或不等式，本题是一道容易题.15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14311=+.在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是________. 【答案】1315【解析】先求出和等于16的概率，再利用事件A 与其对立事件A 概率和为1解决. 【详解】不超过15的质数有2，3，5，7，11，13共6个，从中选2个质数一共有2615C =种，和等于16的有（3，13），（5，11）两种， 由古典概型的概率计算公式知，和等于16的概率为215，和不等于16的概率为2115-=1315. 故答案为：1315.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，注意正面情况比较多的情况下，可以采用先计算对立事件的概率，本题是一道容易题.16．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，1160A AB A AD ∠=∠=︒，则对角线1AC 的长为________.【答案】25【解析】将1AC uuu r 表示成11AC AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，平方即可.【详解】如图，11AC AB AD AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，所以22222111()AC AB AD AA AB AD AA =++=+++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11222444222cos60222cos60AB AD AB AA AD AA ⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯+⨯⨯=o o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r20，所以1||25AC =u u u u r故答案为：25【点睛】本题考查空间向量的线性运算，涉及到向量的模，向量数量积等知识，是一道基础题.四、解答题17．在ABC ∆ΔABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知12cos co ()s 13cos a C c A b B +=.（1）求cos B ；（2）若15a c +=，且ABC ∆的面积为5，求b 的值.【答案】（1）3os 1c 12B =（2）b = 【解析】（1）利用正弦定理并结合A B C π++=即可获解； （2）由5ABC S ∆=及cos B 的值可得到6ac =，再利用2222222cos 2cos ()2(1cos )b a c ac B a c ac B a c B ac =+-=+-=+-+计算即可.【详解】（1）因为()12cos cos 13cos a C c A b B +=， 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==得()12sin cos sin cos 13sin cos A C C A B B +=， 因此()12sin 13sin cos A C B B +=.在ΔABC ABC ∆中，A B C π++=，所以()12sin 13sin cos B B B π-=， 于是12sin 13sin cos B B B =，因为()0,B π∈，所以sin 0B >，所以3os 1c 12B =.（2）由（1）知12cos ,sin 013B B =>，所以5sin 13B ==. 因为ABC ∆的面积为5，即1sin 52ABC S ac B ∆==，所以5526ac =，即26ac =.又因为15a c +=， 所以22222222450502cos ()1526125131313b ac ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-⨯=，因此b =. 【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，考查学生计算能力，难度不大，要注意书写的规范性.18．某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下： （一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于30.4m 的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表） 【答案】（1）0.6.（2）30.12m 【解析】（1）由频率()n f A A n n =，A n 为事件A 出现的次数，n 为试验次数，A nP n≈；（2）分别算出两种情况用水量的平均数作差即可. 【详解】（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于30.4m 的频数为251118++=，所以所求的概率约为180.630=， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于30.4m 的概率的估计值为0.6. （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为11(20.2530.3580.45120.5550.65)0.530x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为21(20.1550.25110.3560.4560.55)0.3830x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=； 120.50.380.12x x -=-=.因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为30.12m . 【点睛】本题考查用频率、平均数估计值的计算，考查学生基本计算能力，是一道基础题. 19．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，且90PAB PDC ∠=∠=︒.（1）求证：AB ⊥平面PAD ；（2）若点,E F 分别是棱PD ，BC 的中点，求证：//EF 平面PAB . 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）要证明AB ⊥平面PAD ，只需证明AB 与平面PAD 内的两条相交直线垂直即可；（2）要证明//EF 平面PAB ，只需证明一个包含EF 的平面与平面PAB 平行即可. 【详解】证明：（1）在四棱锥P ABCD -中，因为90PAB PDC ∠=∠=︒，所以,AB PA DC PD ⊥⊥. 又因为四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，所以//AB DC ， 所以AB PD ⊥.因为,,PA PD P PA PD ⋂=⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD . （2）如图，取AD 的中点G ，连,EG GF .在PAD ∆中，因为E 是棱PD 的中点， 所以//EG PA .又EG ⊄平面,PAB PA ⊂平面PAB ， 所以//EG 平面PAB .在平行四边形ABCD 中，,G F 分别是棱,AD BC 的中点， 所以1,//2AG BF BC AG BF ==，所以四边形ABFG 是平行四边形， 所以//FG BA .又FG ⊄平面PAB ，AB Ì平面PAB ，所以//FG 平面PAB .因为,,EG FG G EG FG ⋂=⊂平面EFG ，所以平面//EFG 平面PAB . 又EF ⊂平面EFG ，所以//EF 平面PAB .【点睛】本题考查线面垂直、线面平行的证明，涉及到线面垂直的判定定理，面面平行性质定理的应用，是一道基础题.20．如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，2AB AC ==，120BAC ∠=︒，13AA =.（1）点D 在棱1AA 上，且1BD A C ⊥，求AD 的长； （2）求二面角11C A B B --的大小. 【答案】（1）23AD =（2）6π【解析】（1）过A 作AB 的垂线交BC 于E ，以1,,AE AB AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立坐标系，利用1BD AC ⊥u u u ru u u r及坐标运算即可算出AD 的长； （2）易得平面11ABB A 的一个法向量为()11,0,0=n ，再算出平面11A B C 的一个法向量为2n u u r，利用121212cos ,n n n n n n ⋅<>=u r u u ru r u u r u r u u r 计算即可. 【详解】（1）如图，在ABC ∆中，过A 作AB 的垂线交BC 于E .在直三棱锥111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ， 所以11,AA AB AA AE ⊥⊥.分别以1,,AE AB AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.因为12,120,3AB AC BAC AA ==∠=︒=，所以11,0),(0,2,0),(0,0,3)C B A -. 因为点D 在棱1AA 上，设()0,0,D a，则1(0,2,),1,3)BD a AC =-=--u u u r u u u r. 因为1BD A C ⊥，所以230a -=，解得23a =. 所以23AD =. （2）平面11ABB A 的一个法向量为()11,0,0=n .又()10,2,3B，所以11((CA CB ==u u u r u u u r. 设平面11A B C 的一个法向量为2(,,)n x y z =u u r，由2121,n CA n CB ⊥⊥u u r u u u r u u r u u u r，得30,330,y z y z ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩所以0y =.取x =1z =，所以平面11A B C的一个法向量为2n =u u r.12121,2,n n n n ==⋅=u r u u r u r u u r，所以121212cos ,n n n n n n ⋅<>==u r u u ru r u u r u r u u r 又[]12,0,n n π<>∈，从而12,6n n π<>=.根据图形可知，二面角11C A B B --大小的为6π. 【点睛】本题考查利用向量法求线段长度、二面角大小，考查学生的计算能力，要注意坐标的准确性，是一道中档题.21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F，离心率e =.过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且12AF AF ⊥，求2ABF ∆的外接圆的方程.【答案】（1）2214520x y +=（2）2242169555x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）由2ABF ∆的周长为4a =ca =即可解出a ，b ；（2）设11(,)A x y ，由120AF AF ⋅=u u u r u u u u r得121225y x =+，联立椭圆方程可解得A 点坐标，然后再写出直线l 的方程，联立椭圆方程得到B 点坐标即可解决. 【详解】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率e =，所以c a =. 又2ABF ∆的周长为4a =②联立①②，解得5a c ==，从而22220b a c =-=，因此椭圆C 的方程为2214520x y +=.（2）因为点A 位于第一象限，故设11(,)A x y ，其中110,0x y >>. 因为12AF AF ⊥，所以120AF AF ⋅=u u u r u u u u r，又点A 在椭圆C 上， 所以221122111,452025,x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得219x =，从而113,4x y ==.由（1）知，椭圆C 的左焦点为1(5,0)F -，所以直线l 的方程为1(5)2y x =+． 由221(5),21,4520y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2518990x x +-=，解得3x =或335-． 所以334,55B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 因为1290F AF ∠=︒，所以2ABF ∆的外接圆就是以2BF 为直径的圆. 又椭圆C 的右焦点为()25,0F ，所以线段2BF 的中点M 的坐标为42,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时2MF =，故2ABF ∆的外接圆的方程为2242169555x y ⎛⎫⎛⎫+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程及直角三角形的外接圆方程，考查学生运算能力的核心素养，是一道容易题.22．在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A -，过动点P 作直线4x =-的垂线，垂足为M ，且4AM AP ⋅=-u u u u r u u u r.记动点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C . ①若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；②设B 关于x 轴的对称点为D ，求ACD ∆面积S 的取值范围.【答案】（1）22y x =（2）①(2)3y x =±+.②()8,+∞ 【解析】（1）设(),P x y ，利用直接法求曲线的方程；（2）①由已知，分析可知直线l 的斜率存在且不为零，设:20(),l y k x k =+≠，联立抛物线方程，利用韦达定理解决；②将ACD S ∆用直线l 的斜率表示，即4||ACD S k ∆=，再结合k 的范围即可解决. 【详解】（1）设(),P x y ，则()4,M y -．因为()2,0A -，所以(2,),(2,)AM y AP x y =-=+u u u u r u u u r， 因为4AM AP ⋅=-u u u u r u u u r，所以2244x y --+=-，即22y x =. 所以曲线E 的方程为22y x =.（2）①若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在； 若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0. 设:20(),l y k x k =+≠，由2(2),2,y k x y x =+⎧⎨=⎩得2240y y k -+=，于是24160k ∆=->，解得1122k -<<且0k ≠．设()11,B x y ，()22,C x y ，则12122,4+==y y y y k. 因为B 为线段AC 的中点，所以212y y =． 又122y y k +=，所以1224,33y y k k==，因此122849y y k ==，所以k =，符合1122k -<<且0k ≠，于是k =，此时直线l的方程为2)y x =+. ②因为点B ，D 关于x 轴对称，所以()11,D x y -， 于是点D 到直线l的距离为d =.因为()112y k x =+，所以d =.又22AC =+，所以()2222112222y S x y y ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭. 因为121224,y y y y k=+=，所以21422||S y y k =+=. 又因为1122k -<<且0k ≠，因此8S >， 即ACD ∆面积S 的取值范围为()8,+∞. 【点睛】本题考查利用直接法求曲线方程、直线与抛物线的位置关系，在处理直线与抛物线的位置关系的问题时，通常会利用韦达定理来处理，本题是一道较难的题.。
江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷(word版附答案)
江苏省南京市2019-2020学年高二上学期期中考试注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 y ∧＝bx ＋a ；回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n －x －y∑n i ＝1x i 2－n －x2，a ＝－y －b －x ；球的表面积S ＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋2y －2＝0互相垂直，则实数a 的值是( )A ．1B ．－1C ．4D ．－42．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是( )A ．2B ．－2C ．10D ．－10 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 22＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得－x ＝10，－y ＝8，线性回归方程y ∧＝0.76x ＋a ．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为( )A ．15.2万元B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元 5．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为( )A ．32π3 B ．16πC ．8πD ．4π6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM ＝2MC ，点N 是棱AD 的中点．若MN →＝x AB →＋y AC →＋zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则xyz 的值是( )A ．－19B ．－18C ．19D ． 187．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (1，2)，且被圆O ：x 2＋y 2＝9截得的弦长为42，则直线l 的方程为( )A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －11＝0C ．x ＝1或3x －4y ＋5＝0D ．x ＝1或3x ＋4y －11＝0 8．已知cos(α＋π4)＝1010，则sin2α的值是( )A ．－45B ．－25C ．25D ．459．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，交抛物线于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为( )A ．6B ．7C ．8D ．1010．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (4，0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24－y 2＝1上，且AP →＝3PB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±32B ．±52C ．±1D ．±32（第5题图）O注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是( ) A. l ⊥α，l ⊥β B ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥m12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 23－y 2＝1的焦距为 ▲ ．若双曲线C 的右焦点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是 ▲ ．15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲ ．16．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则对角线AC 1的长为 ▲ ．三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ． （1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且△ABC 的面积为5，求b 的值． 18．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.60.6，0.7] 频数 2 3 8 12 5（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量0.1，0.20.2，0.30.3，0.40.4，0.50.5，0.6] 频数 2 5 11 6 6 （1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，且∠P AB＝∠PDC＝90°．（1）求证：AB⊥平面P AD；（2）若点E，F分别是棱PD，BC的中点，求证：EF∥平面P AB．20．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，AA1＝3．（1）点D 在棱AA 1上，且BD ⊥A 1C ，求AD 的长； （2）求二面角C －A 1B 1－B 的大小．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝53．过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为125． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且AF 1⊥AF 2，求△ABF 2的外接圆的方程．22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－2，0)，过动点P 作直线x ＝－4的垂线，垂足为M ，且AM →·AP →＝－4．记动点P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C ． ① 若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；② 设B 关于x 轴的对称点为D ，求△ACD 面积S 的取值范围．参考答案一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．ABC 12．BCD二、填空题： 13．4；4 14．22 15．131516．2 5 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……… 2分 因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ． ……………………………… 4分 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213． ……………………………… 6分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513． ……………… 8分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26． ………………………………… 10分又因为a ＋c ＝15，所以 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，因此b ＝55． ………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的频数为2＋5＋11＝18， ………………………… 2分 所以所求的概率约为1830＝0.6， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m 3的概率的估计值为0.6． ………… 5分 （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为—x 1＝130(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 —x 2＝130(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10分 —x 1－—x 2＝0.5－0.38＝0.12．因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m 3． ………… 12分 19．（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥P －ABCD 中，因为∠P AB ＝∠PDC ＝90°，所以AB ⊥P A ，DC ⊥PD ． …………………… 2分 又因为四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，所以AB ∥DC ，所以AB ⊥PD ． …………………………… 4分 因为P A ∩PD ＝P ，P A ，PD 平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． …………… 6分 （2）如图，取AD 的中点G ，连EG ，GF ．在△P AD 中，因为E 是棱PD 的中点， 所以EG ∥P A ．又EG 平面P AB ，PA 平面P AB ， 所以EG ∥平面P AB ．…………… 8分在平行四边形ABCD 中，G ，F 分别是棱AD ，BC 的中点， 所以AG ＝BF ＝12BC ，AG ∥BF ，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以 FG ∥BA ．又FG ⊥平面P AB ，AB ⊥平面P AB ，所以FG ∥平面P AB ． …………… 11分 因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊥平面EFG ，所以平面EFG ∥平面P AB ． 又EF ⊥平面EFG ，所以EF ∥平面P AB ． ………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）如图，在△ABC 中，过A 作AB 的垂线交BC 于E ．在直三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ， 所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AE ．分别以AE ，AB ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A —xyz ． …………………… 2分 因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3，所以C (3，－1，0)，B (0，2，0)，A 1(0，0，3) ……………………… 4分因为点D 在棱AA 1上，设D (0，0，a )，则BD →＝(0，－2，a )，A 1C →＝(3，－1，－3)．因为BD ⊥A 1C ，所以2－3a ＝0，解得a ＝23．所以AD ＝23． ………………………… 6分（2）平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．又B 1(0，2，3)，所以 CA 1→＝(－3，1，3)，CB 1→＝(－3，3，3)．设平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CA 1→，n 2⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，－3x ＋3y ＋3z ＝0，所以y ＝0．取x ＝3，则z ＝1，所以平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(3，0，1)． ……………… 10分| n 1|＝1，| n 2|＝2，n 1·n 2＝3，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2| n 1|| n 2|＝32， …………………… 12分又＜n 1，n 2＞∈[0，π]，从而＜n 1，n 2＞＝π6．根据图形可知，二面角C －A 1B 1－B 大小的为π6． ………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C ：x 2a _x001F_2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝53，所以c a ＝53． ①又△ABF 2的周长为125，所以4a ＝125． ② 联立①②，解得a ＝35，c ＝5， 从而b 2＝a 2－c 2＝20，因此椭圆C 的方程为x 245＋y 220＝1． ……………………………… 4分（2）因为点A 位于第一象限，故设A (x 1，y 1)，其中x 1＞0，y 1＞0．因为AF 1⊥AF 2，所以AF 1→·AF 2→＝0，又点A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1245＋y 1220＝1，x 12＋y 12＝25，解得x 12＝9，从而x 1＝3，y 1＝4． ……………………… 7分由（1）知，椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋5)．由⎩⎨⎧y ＝12(x ＋5)，x 245＋y 220＝1，得5x 2＋18x －99＝0，解得x ＝3或－335．所以B (－335，－45)． ……………………………… 11分因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以BF 2为直径的圆． 又椭圆C 的右焦点为F 2(5，0)，所以线段BF 2的中点M 的坐标为(－45，－25)，此时MF 2＝135，故△ABF 2的外接圆的方程为(x ＋45)2＋(y ＋25)2＝1695． ………………………… 14分22．（本小题满分16分）解：（1）设P (x ，y )，则M (－4，y )．因为A (－2，0)，所以AM →＝(－2，y )，AP →＝(x ＋2，y )， 因为AM →·AP →＝－4，所以－2x －4＋y 2＝－4，即y 2＝2x ．所以曲线E 的方程为y 2＝2x ． ………………………………… 3分 （2）① 若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在；若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0． 设l ：y ＝k (x ＋2)，k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝2x ，得y 2－2k y ＋4＝0，于是∆＝4k 2－16＞0，解得－12＜k ＜12且k ≠0．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4． …………………… 7分因为B 为线段AC 的中点，所以y 2＝2y 1． 又y 1＋y 2＝2k ，所以y 1＝23k ，y 2＝43k，因此y 1y 2＝89k 2＝4，所以k ＝±23，符合－12＜k ＜12且k ≠0，于是k ＝±23，此时直线l 的方程为y ＝±23(x ＋2)． …………………… 9分② 因为点B ，D 关于x 轴对称，所以D (x 1，－y 1)，于是点D 到直线l 的距离为d ＝|kx 1＋y 1＋2k |1＋k 2．因为y 1＝k (x 1＋2)，所以d ＝2|y 1|1＋k 2． ………………………… 11分又AC ＝1＋k 2|x 2＋2|，所以S ＝121＋k 2|x 2＋2|×2|y 1|1＋k 2＝|(x 2＋2)y 1|＝|(y 222＋2)y 1|．因为y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝2k ，所以S ＝|2y 2＋2y 1|＝4|k |． ……………………… 14分又因为－12＜k ＜12且k ≠0，因此S ＞8，即△ACD 面积S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分。
2019-2020江苏南京市高二上学期期中考试数学试卷及答案
x1
1 30
(2
0.25
3
0.35
8
0.45
12
0.55
5
0.65)
0.5
；
该家庭使用了节水龙头后 30 天日用水量的平均数为
x2
1 30
(2 0.15 5 0.25 11 0.35
6 0.45
6 0.55)
0.38
；
x1 x2 0.5 0.38 0.12 . 因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为 0.12m3 . 19、证明：（1）在四棱锥 P ABCD 中， 因为 PAB PDC 90 ，所以 AB PA, DC PD . 又因为四棱锥 P ABCD 的底面是平行四边形，所以 AB / /DC ， 所以 AB PD . 因为 PA PD P, PA, PD 平面 PAD ，所以 AB 平面 PAD . （2）如图，取 AD 的中点 G ，连 EG, GF .
8
7．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 过点 P 1, 2 ，且被圆 O ： x2 y2 9 截得的弦
长为 4 2 ，则直线 l 的方程为（ ） A． 3x 4 y 5 0
B． 3x 4y 11 0
C． x 1 或 3x 4 y 5 0
D． x 1 或 3x 4y 11 0
12．在平面直角坐标系 xOy 中，动点 P 到两个定点 F1(1, 0) 和 F2 (1, 0) 的距离之积等
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于 8，记点 P 的轨迹为曲线 E ，则（ A．曲线 E 经过坐标原点 C．曲线 E 关于 y 轴对称
）
B．曲线 E 关于 x 轴对称
D．若点 x, y 在曲线 E 上，则 3 ≤ x ≤ 3
南京市2019-2020 学年第一学期高二期中统考试卷(含答案)
EF / / 面 PAB
20.（1） 2 （2）
3
6
21.（1）
x2 45
y2 20
1
（2）
x
4 2 5
y
2 5
2
169 5
22.（1） y2 2x （2）① y 2 x 2 ② 8,
3
-6 -
求证： EF // 平面 PAB .
-4 -
20.（本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB AC 2,BAC 120, AA1 3 .
(1) 点 D 在棱 AA1 上，且 BD A1C ，求 AD 的长；
(2) 求二面角 C A1B1 B 的大小.
南京市 2019-2020 学年度第一学期期中调研测试
高二数学
2019.11
一、选择题：本小题共 12 题，每小题 4 分，共计 48 分，其中第 1 至第 10 题为单选题，第 11、12 题为多选题. 1.若直线 ax 2y 1 0 与直线 x 2y 2 0 互相垂直，则实数 a 的值是
2 的偶数可以表示为两个质数的和，如14 3 11，在不超过15 的质数中，随机选取 2 个不同的数，
其和不等于16 的概率是_______.
16. 已 知 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 矩 形 ， 底 面 边 长 和 侧 棱 均 为 2 ，
A1AB A1AD 600 ，则对角线 AC1 的长为________. 一、解答题：本小题共 6 小题，共计 82 分， 17.（本小题满分 12 分）
【20套试卷合集】江苏省南京市2019-2020学年数学高二上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．1与3两数的等差中项是( )A ．1B ．3C ．2D ．3±2．已知条件2:=x p ，条件0)3)(2(:=--x x q ，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．命题：若整系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理数根，那么c b a ,,中至少有一个是偶数．用反证法证明该命题时，应反设的是( )A ．假设c b a ,,都是偶数B ．假设c b a ,,都不是偶数C ．假设c b a ,,至多有一个偶数D ．假设c b a ,,至多有两个偶数4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31710a a +=，则=19S ( )A ．55B ．100C ．95D ．不能确定5．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x x R ，则( )A ．1sin ,:≥∈∃⌝x x p RB ．1sin ,:≥∈∀⌝x x p RC ．1sin ,:>∈∃⌝x x p RD ．1sin ,:>∈∀⌝x x p R 6．对于任意实数d c b a ,,,，命题：①bc ac c b a >≠>则若,0,；②22,bc ac b a >>则若 ③b a bc ac >>则若,22； ④b a b a 11,<>则若； ⑤bd ac d c b a >>>>则若,,0．其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．边长为5,7,8的三角形的最大角的余弦是( )．A ．71-B ．71C ．1411D ．141 8．下列各式中，最小值等于2的是( )A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+9．若实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥.022,0,0y x y x y 则11+-=x y t 的取值范围是( ) A ．［－1，31］ B ．［31,21-］ C ．［21-，＋∞) D ．［21-，1) 10．锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A B 2=，则a b 的取值范围是( ) A ．)2,2(- B ．)2,0( C ．)2,2( D ．()3,2( 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11．函数12()3(0)f x x x x=+>的最小值为_____________． 12．命题“若三角形的两条边相等，则此三角形对应的两个角相等”的否命题是_____________．13．等比数列}{n a 中0>n a ，且243879236a a a a a a ++=，则38a a +＝______________．14．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是正数，在以下四个命题中：①q p ∨⌝)( ②q p ∧③)()(q p ⌝∧⌝ ④)()(q p ⌝∨⌝，所有真命题的序号是___________．15．若)0,0(01>>=-+y x y x ，则11++x y 的取值范围是___________． 三、解答题(本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(8分)已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==．(1)数列{}n a 从哪一项开始小于0？(2)求13519a a a a ++++值．17．(8分)在ABC ∆中，53cos ,135cos =-=B A ． (1)求C sin 的值；(2)设5=BC ，求ABC ∆的面积．18(8分)已知命题02:2≤--x x p ，命题0:22≤---m m x x q ．(1)若p ⌝为真，求x 的取值范围；(2)若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求m 的取值范围．19．(8分)若函数)8(62++-=k kx kx y 对一切x 恒有意义，求实数k 的取值范围．20．(9分)随着我国国民经济的迅速发展，人们的经济收入明显提高，生活状况越来越好，汽车等商品逐渐成为大众化消费．某种汽车，购车费是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费等约为0.9万元，年维修费第一年0.2万元，以后每年比上一年递增0.2万元．试问这种汽车使用多少年时，年平均费用最少？21．(9分)设关于x 的一元二次方程n a -2x 1n a +)(01N n x ∈=+有两根a 和β，且满足3626=+-βαβα．(1)试用n a 表示1+n a ；(2)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-32n a 是等比数列；(3)当671=a 时，求数列{}n na 的前n 项和n S2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号涂写在答题卡上(每小题5分，共60分)1．已知命题p ：x R ∀∈，210x x +-<，则命题p ⌝是( )A ．x R ∀∈，012≥-+x xB ．R x ∈∃，012≥-+x xC ．x R ∀∈，012>-+x xD ．R x ∈∃，012<-+x x2．已知等差数列：5,3,1,1,---．则下列不是该数列的项的是( )A ．11B ．25C ．37D ．523．已知0,0a b b +><，那么,,,a b a b --的大小关系是( )A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-4．已知1,22++=+=b a s b a t ，则t 和s 的大小关系正确的是( )A ．t ＞sB ．s t ≥C ．t ＜sD ．s t ≤5．若{}n a 是等比数列, ，若11=a ==4364a S S ，则( )A ．0B ．1C ．2D ．36．已知等差数列{}n a 中，93a a =，公差d ＜0，则使前n 项和n S 取最大值的正整数n 是A ．5B ．5或6C ．6D ．8或97．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知4>x ，则414)(2-+-=x x x x f 有( )A ．最大值－6B ．最小值6C ．最大值－2D ．最小值29．如果222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0, ＋∞)B ．(0, 2)C ．(1, ＋∞)D ．(0, 1)10．关于x 的方程0)2()122=-+-+a x a x （的一个根比1大，另一根比1小，则有( )A ．－2＜a ＜1B ．a ＜－2或a ＞1C ．－1＜a ＜1D ．a ＜－1或a ＞211．两个等差数列{}n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和n B ,且3457++=n n B A n n ,则使得n n b a 为整数的正整数n 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．512．在R 上定义运算:(1)x y x y ⊗⊗=-，若不等式()()1x a x a -⊗+<对任意实数x 成立，则( )A ．11a -<<B ．02a <<C ．1322a -<<D ．3122a -<< 二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．在等比数列{}n a 中，若 4119=⋅a a 则数列｛n a 21log ｝前19项之和为_____14．椭圆2214x y m +=焦距为2，则实数m ＝_________ 15．设2z y x =-，式中x y 、满足下列条件2132231x y x y y -≥-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z 的最大值为_____16．若函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，则不等式f (x＋6)＋f (x )＜2f (4)的解集为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数R a a x ax x f ∈-+=,)(2(1)当2=a 时，解不等式1)(>x f(2)若函数)(x f 有最大值817，求实数a 的值；18．已知p ：12123x --≤-≤；q ：22210x x m -+-≤(0)m >．若“q ”是“p ”的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数．(1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值；(2)若1164=+yx ，求x ＋y 的最小值．20．已知函数mx x x f +=2)(的图像经过点)8,4(． (1)求该函数的解析式；(2)数列{}n a 中，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足()(2)n n a f S n =≥，证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；21．若S n 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列．(1)求等比数列124,,S S S 的公比；(2)若24S =，求{}n a 的通项公式；设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -+=相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；(3)在(2)的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．2019-2020学年高二上数学期中模拟试卷含答案一.选择题：(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，每小题5分，共60分）.1.命题:p 2,11x x ∀∈+≥R ,则p ⌝是（ ）A ．2,11x x ∀∈+<RB ．2,11x x ∃∈+≤RC ．2,11x x ∃∈+<RD ．2,11x x ∃∈+≥R 2.已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为（ ） A.110B.16C.15D.12 3. 已知y x 35+=2（x ＞0，y ＞0），则xy 的最小值是（ ） A.12 B.14 C.15 D.184．等差数列{}n a 的公差0d <，且22111a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取最大值时n =( )A.6B.5C.5或6D.6或7 5.已知命题:p x R ∀∈，23x x <；命题:q x R ∃∈，321x x =-，则下列命题中为真命题的是（ ）A.p q ∧B.p q ⌝∧C.p q ∧⌝D.p q ⌝∧⌝ 6.不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >-D ．1x > 7．已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )A.12B.11C.3D.－１8．下列命题错误．．的是 （ ） A ．命题“若p 则q”与命题“若p q ⌝⌝则,”互为逆否命题B ．命题“0,2>-∈∃x x R x ”的否定是“0,2≤-∈∀x x R x ”C ．“0a b ⋅=”是“0a =或0b =”的必要不充分条件D ．“若b a bm am <<则,22”的逆命题为真9.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和，且7413n n A n B n +=+，则使得n n a b 为整数的正整数n 的个数是( ）A ．2B ．3C ．4D ．510.已知函数6(3)3,7,(),7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩若数列{}n a 满足()n a f n =*()n ∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是（ ）A. 9[,3)4B. 9(,3)4 C. (2,3) D. (1,3) 11．定义⎩⎨⎧<≥=b a b b a a b a ),max(，已知x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥+2002y x y x }24,3max{y x y x z --=，则z 的取值范围是 （ ）A.[-10, 8]B.[2, 8]C.[-10, 6]D.[-16, 6]12．若,,0a b c >且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是（ ）A. B.3 C.2D.二.填空题：请把答案填在答题卡的横线上（每小题5分，共20分）.13．等比数列{n a }中，2a ＝9，5a ＝243，则{n a }的前4项和为14. 若a ＞0，b ＞0，且1=+b a 则b a 91+的最小值为 。
江苏省南京市高二上学期期中考试数学含答案
南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试高 二 数 学 2019.11注意事项：1．本试卷共4页，包括选择题（第1题~第12题）、填空题(第13题～第16题)、解答题(第17题～第22题)三部分。
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置。
3．作答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：线性回归方程 y ∧＝bx ＋a ；回归系数b ＝∑ni ＝1x i y i －n －x －y∑n i ＝1x i 2－n －x2，a ＝－y －b －x ；球的表面积S ＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、选择题：本题共12小题，每小题4分，共计48分．其中第1至第10题为单选题，第11、12题为多选题．1．若直线ax ＋2y ＋1＝0与直线x ＋2y －2＝0互相垂直，则实数a 的值是A ．1B ．－1C ．4D ．－42．已知向量a ＝(0，1，1)，b ＝(1，－2，1)．若向量a ＋b 与向量c ＝(－2，m ，－4)平行，则实数m 的值是A ．2B ．－2C ．10D ．－10 3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 22＝1的渐近线方程是 A ．y ＝±2x B ．y ＝±22x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33x 4．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x （万元） 8.3 8.5 10 11.2 12 支出y （万元）67.588.510根据上表可得－x ＝10，－y ＝8，线性回归方程y ∧＝0.76x ＋a ．据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭年支出为A ．15.2万元B ．15.6万元C ．16万元D ．16.2万元 5．如图，已知一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为A ．32π3 B ．16πC ．8πD ．4π6．如图，在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且BM ＝2MC ，点N 是棱AD 的中点．若MN →＝x AB →＋y AC →＋zAD →，其中x ，y ，z 为实数，则xyz 的值是A ．－19B ．－18C ．19D ． 187．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P (1，2)，且被圆O ：x 2＋y 2＝9截得的弦长为42，则直线l 的方程为A ．3x －4y ＋5＝0B ．3x ＋4y －11＝0C ．x ＝1或3x －4y ＋5＝0D ．x ＝1或3x ＋4y －11＝0 8．已知cos(α＋π4)＝1010，则sin2α的值是A ．－45B ．－25C ．25D ．459．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点，交抛物线于A ，B 两点，且线段AB 中点的横坐标为3，则线段AB 的长为A ．6B ．7C ．8D ．1010．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (4，0)，点A ，B 在双曲线C ：x 24－y 2＝1上，且AP →＝3PB →，则直线AB 的斜率为A ．±32B ．±52C ．±1D ．±32注：以下两题为多选题，每小题有多个选项符合题意．全部选对得4分，选对但不全的得2分，错选或不答的得0分．11．已知两条直线l ，m 及三个平面α，β，γ，下列条件中能推出α⊥β的是 A . l ⊂α，l ⊥β B ．l ⊥α，m ⊥β，l ⊥mC ．α⊥γ，β∥γD ．l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m（第5题图）（第6题图）ABMN12．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两个定点F 1(－1，0)和F 2(1，0)的距离之积等于8，记点P 的轨迹为曲线E ，则A ．曲线E 经过坐标原点B ．曲线E 关于x 轴对称C ．曲线E 关于y 轴对称D ．若点(x ，y )在曲线E 上，则－3≤x ≤3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 23－y 2＝1的焦距为 ▲ ．若双曲线C 的右焦点与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点重合，则实数p 的值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是 ▲ ．15．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数可以表示为两个质数的和，如14＝3＋11．在不超过15的质数中，随机选取2个不同的数，其和不等于16的概率是 ▲ ．16．已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是矩形，底面边长和侧棱长均为2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝60°，则对角线AC 1的长为 ▲ ．三、解答题：本题共6小题，共82分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ． （1）求cos B ；（2）若a ＋c ＝15，且△ABC 的面积为5，求b 的值． 18．（本小题满分12分）某家庭记录了未使用节水龙头30天的日用水量数据（单位：m 3）和使用了节水龙头30天的日用水量数据，得到频数分布表如下：（一）未使用节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量 [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7] 频数238125（二）使用了节水龙头30天的日用水量频数分布表日用水量 [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6] 频数251166（1）估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4 m 3的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，平均每天能节省多少水？（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）19．（本小题满分14分）如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，且∠P AB ＝∠PDC ＝90°． （1）求证：AB ⊥平面P AD ；（2）若点E ，F 分别是棱PD ，BC 的中点，求证：EF ∥平面P AB ．20．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3． （1）点D 在棱AA 1上，且BD ⊥A 1C ，求AD 的长； （2）求二面角C －A 1B 1－B 的大小．21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率e ＝53．过F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为125． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 位于第一象限，且AF 1⊥AF 2，求△ABF 2的外接圆的方程．22．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，点A (－2，0)，过动点P 作直线x ＝－4的垂线，垂足为M ，且AM →·AP →＝－4．记动点P 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；ABDE F P（第19题图）（第20题图）ACBDA 1C 1B 1（2）过点A 的直线l 交曲线E 于不同的两点B ，C ． ① 若B 为线段AC 的中点，求直线l 的方程；② 设B 关于x 轴的对称点为D ，求△ACD 面积S 的取值范围．南京市2019－2020学年度第一学期期中调研测试高二数学参考答案 2019.11一、选择题：1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．D 9．C 10．B 11．ABC 12．BCD 二、填空题： 13．4；4 14．22 15．131516．2 5 三、解答题：17．（本小题满分12分）解：（1）因为12(a cos C ＋c cos A )＝13b cos B ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C得12(sin A cos C ＋sin C cos A )＝13sin B cos B ，……… 2分 因此12sin(A ＋C )＝13sin B cos B ． ……………………………… 4分 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以12sin(π－B )＝13sin B cos B ， 于是12sin B ＝13sin B cos B ，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＞0，所以cos B ＝1213． ……………………………… 6分（2）由（1）知cos B ＝1213，sin B ＞0，所以sin B ＝1－cos 2B ＝513． ……………… 8分因为△ABC 的面积为5，即S △ABC ＝12ac sin B ＝5，所以526ac ＝5，即ac ＝26． ………………………………… 10分又因为a ＋c ＝15，所以 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2413ac ＝(a ＋c )2－5013ac ＝152－5013×26＝125，因此b ＝55． ………………………………… 12分 18．（本小题满分12分）解：（1）根据表格（二），估计该家庭使用了节水龙头后，日用水量小于0.4m 3的频数为2＋5＋11＝18， ………………………… 2分所以所求的概率约为1830＝0.6， 即该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.4m 3的概率的估计值为0.6． ………… 5分 （2）该家庭未使用节水龙头30天日用水量的平均数为—x 1＝130(2×0.25＋3×0.35＋8×0.45＋12×0.55＋5×0.65)＝0.5； ……………… 8分 该家庭使用了节水龙头后30天日用水量的平均数为 —x 2＝130(2×0.15＋5×0.25＋11×0.35＋6×0.45＋6×0.55)＝0.38； …………… 10分 —x 1－—x 2＝0.5－0.38＝0.12．因此，使用节水龙头后，平均每天能节省的水量估计为0.12 m 3． ………… 12分 19．（本小题满分14分）证明：（1）在四棱锥P －ABCD 中，因为∠P AB ＝∠PDC ＝90°，所以AB ⊥P A ，DC ⊥PD ． …………………… 2分 又因为四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，所以AB ∥DC ，所以AB ⊥PD ． …………………………… 4分 因为P A ∩PD ＝P ，P A ，PD ⊂平面P AD ，所以AB ⊥平面P AD ． …………… 6分 （2）如图，取AD 的中点G ，连EG ，GF ．在△P AD 中，因为E 是棱PD 的中点，所以EG ∥P A ．又EG ⊄平面P AB ，PA ⊂平面P AB ， 所以EG ∥平面P AB ．…………… 8分在平行四边形ABCD 中，G ，F 分别是棱AD ，BC 的中点， 所以AG ＝BF ＝12BC ，AG ∥BF ，所以四边形ABFG 是平行四边形，所以 FG ∥BA ．又FG ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以FG ∥平面P AB ． …………… 11分 因为EG ∩FG ＝G ，EG ，FG ⊂平面EFG ，所以平面EFG ∥平面P AB ． 又EF ⊂平面EFG ，所以EF ∥平面P AB ． ………………… 14分 20．（本小题满分14分）解：（1）如图，在△ABC 中，过A 作AB 的垂线交BC 于E ．在直三棱锥ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，ABCD E FP（第19题图）GC所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AE ．分别以AE ，AB ，AA 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴， 建立空间直角坐标系A —xyz ． …………………… 2分 因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，AA 1＝3，所以C (3，－1，0)，B (0，2，0)，A 1(0，0，3) ……………………… 4分因为点D 在棱AA 1上，设D (0，0，a )，则BD →＝(0，－2，a )，A 1C →＝(3，－1，－3)．因为BD ⊥A 1C ，所以2－3a ＝0，解得a ＝23．所以AD ＝23． ………………………… 6分（2）平面ABB 1A 1的一个法向量为n 1＝(1，0，0)．又B 1(0，2，3)，所以 CA 1→＝(－3，1，3)，CB 1→＝(－3，3，3)．设平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(x ，y ，z )，由n 2⊥CA 1→，n 2⊥CB 1→，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋y ＋3z ＝0，－3x ＋3y ＋3z ＝0，所以y ＝0．取x ＝3，则z ＝1，所以平面A 1B 1C 的一个法向量为n 2＝(3，0，1)． ……………… 10分| n 1|＝1，| n 2|＝2，n 1·n 2＝3，所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1·n 2| n 1|| n 2|＝32， …………………… 12分又＜n 1，n 2＞∈[0，π]，从而＜n 1，n 2＞＝π6．根据图形可知，二面角C －A 1B 1－B 大小的为π6． ………………………14分21．（本小题满分14分）解：（1）因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝53，所以c a ＝53． ①又△ABF 2的周长为125，所以4a ＝125． ② 联立①②，解得a ＝35，c ＝5， 从而b 2＝a 2－c 2＝20，因此椭圆C 的方程为x 245＋y 220＝1． ……………………………… 4分（2）因为点A 位于第一象限，故设A (x 1，y 1)，其中x 1＞0，y 1＞0．因为AF 1⊥AF 2，所以AF 1→·AF 2→＝0，又点A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1245＋y 1220＝1，x 12＋y 12＝25，解得x 12＝9，从而x 1＝3，y 1＝4． ……………………… 7分由（1）知，椭圆C 的左焦点为F 1(－5，0)，所以直线l 的方程为y ＝12(x ＋5)．由⎩⎨⎧y ＝12(x ＋5)，x 245＋y 220＝1，得5x 2＋18x －99＝0，解得x ＝3或－335．所以B (－335，－45)． ……………………………… 11分因为∠F 1AF 2＝90°，所以△ABF 2的外接圆就是以BF 2为直径的圆． 又椭圆C 的右焦点为F 2(5，0)，所以线段BF 2的中点M 的坐标为(－45，－25)，此时MF 2＝135，故△ABF 2的外接圆的方程为(x ＋45)2＋(y ＋25)2＝1695． ………………………… 14分22．（本小题满分16分）解：（1）设P (x ，y )，则M (－4，y )．因为A (－2，0)，所以AM →＝(－2，y )，AP →＝(x ＋2，y )， 因为AM →·AP →＝－4，所以－2x －4＋y 2＝－4，即y 2＝2x ．所以曲线E 的方程为y 2＝2x ． ………………………………… 3分 （2）① 若直线l 的斜率不存在，则l 与曲线E 无公共点，因此l 的斜率存在；若l 的斜率为0，则l 与曲线E 只有一个公共点，因此l 的斜率不为0． 设l ：y ＝k (x ＋2)，k ≠0，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋2)，y 2＝2x ，得y 2－2k y ＋4＝0，于是∆＝4k 2－16＞0，解得－12＜k ＜12且k ≠0．设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k ，y 1y 2＝4． …………………… 7分因为B 为线段AC 的中点，所以y 2＝2y 1． 又y 1＋y 2＝2k ，所以y 1＝23k ，y 2＝43k，因此y 1y 2＝89k 2＝4，所以k ＝±23，符合－12＜k ＜12且k ≠0，于是k ＝±23，此时直线l 的方程为y ＝±23(x ＋2)． …………………… 9分 ② 因为点B ，D 关于x 轴对称，所以D (x 1，－y 1)，于是点D 到直线l 的距离为d ＝|kx 1＋y 1＋2k |1＋k 2．因为y 1＝k (x 1＋2)，所以d ＝2|y 1|1＋k 2． ………………………… 11分又AC ＝1＋k 2|x 2＋2|，所以S ＝121＋k 2|x 2＋2|×2|y 1|1＋k 2＝|(x 2＋2)y 1|＝|(y 222＋2)y 1|．因为y 1y 2＝4，y 1＋y 2＝2k ，所以S ＝|2y 2＋2y 1|＝4|k |． ……………………… 14分又因为－12＜k ＜12且k ≠0，因此S ＞8，即△ACD 面积S 的取值范围为(8，＋∞)． ………………………… 16分。
2024学年江苏省南京市高二上学期期中考数学试题及答案
南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3i B．1＋3i C．3＋i D．3－i 3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为A．－4 B．－2 C．2 D．4 4．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1 B．2 C．3 D．45．已知cos x＋sin x＝23，则sin2xcos(x－\f(π,4))＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F 2，A 为双曲线右支上一点，连接AF 1交y 轴于点B ．若△ABF 2为等边三角形，则双曲线C 的离心率为A ．23B ．32C ．3D ．3327．在平面直角坐标系xOy 中，P 为直线3x ＋4y ＋1＝0上一点．若向量a ＝(3，4)，则向量OP→在向量a 上的投影向量为A ．－15B ．(－35，－45)C ．(－325，－425)D ．无法确定8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．若 x ∈R ，f (x )≤f (π3)，且f (x )在(0，π)上恰有1个零点，则实数ω的取值范围为A ．(0，32]B ．(34，32]C ．(34，94]D ．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A ．众数是22B ．80百分位数是28C ．平均数是30D ．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y ＝A sin ωx ．设声音的函数为φ(x )，音的响度与φ(x )的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x )的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设复合音甲的函数解析式是f (x )＝sin x ＋12sin2x ，纯音乙的函数解析式是g (x )＝32sin ωx (ω＞0)，则下列说法正确的有A ．纯音乙的响度与ω无关B ．纯音乙的音调与ω无关C ．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D ．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 3，y 3)为抛物线C 上的任意三点(异于O 点)，FA → ＋FB → ＋FD →＝0，则下列说法正确的有A ．设A ，B 到直线x ＝－1的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2＜AB B ．FA ＋FB ＋FD ＝6C ．若FA ⊥FB ，则FD ＝ABD ．若直线AB ，AD ，BD 的斜率分别为k AB ，k AD ，k BD ，则1k AB ＋1k AD ＋1k BD ＝012．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ＝8，AD ＝6，点E 是正方形BCC 1B 1内部或边界上异于点C 的一点，则下列说法正确的有A ．若D 1E ∥平面ABB 1A 1，则E ∈C 1CB ．设直线D 1E 与平面BCC 1B 1所成角的最小值为θ，则tan θ＝223C ．存在E ∈BB 1，使得∠D 1EC ＞π2D ．若∠D 1EC ＝π2，则EB 的最小值为35－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点M (2，3)和N (4，0)，点Q 在x 轴上．若直线MQ 与直线MN 的夹角为90°，则点Q 的坐标为▲________．14．在△ABC 中，AB ＝36，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝75°，D 是射线BC 上一点，且CD ＝10，则AD ＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为▲________．16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(1，0)，|a －c |＝12，则向量b ，c 最大夹角的余弦值为▲________．上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率161213四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sin x cos x－sin2x＋t(x∈R)的最大值为2 2．（1）求f(x)的解析式；（2）若 x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．20．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，AB → ·AC →＝b 2－12ab ．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的面积为32，且CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，求|CN →|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABB 1＝π2，∠B 1BC ＝π3．（1）证明：A 1C 1⊥B 1C ；（2）求直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且焦距为23，椭圆C 的上顶点为B ，且BF 1→ ·BF 2→＝－2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点A (2，－1)，且与椭圆C 交于M ，N 两点（不与B 重合），直线BM 与直线BN 分别交直线x ＝4于P ，Q 两点．判断是否存在定点G ，使得点P ，Q 关于点G 对称，并说明理由．（第21题图）南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案 2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．C2．A 3．D 4．B 5．D6．C7．C 8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有错选的得0分． 9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．(12，0)14．1415．4916．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f (x )＝sin x cos x －sin 2x ＋t ＝12sin2x －1－cos2x2＋t ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分＝12sin2x ＋12cos2x －12＋t ＝22sin(2x ＋π4)－12＋t ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为f (x )的最大值为22，所以22－12＋t ＝22，解得t ＝12，所以f (x )＝22sin(2x ＋π4)．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）由（1）可知f (x )＝22sin(2x ＋π4)，当x ∈[π12，π2]时，5π12≤2x ＋π4≤5π4，当2x ＋π4＝π2时，即x ＝π8时，f (x )max ＝22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为f (x )－m ≤0恒成立，所以m ≥f (x )max 恒成立，即m ≥22恒成立，因此m 的最小值为22．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分18．（本小题满分12分）解：（1）因为圆心C 在直线l 上，可设C (2m ，m )，m ≠0．因为圆C 与x 轴相切，所以r ＝|m |．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为直线l 1与圆C 相切，所以|m |＝|2m －am |a 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为m ≠0，解得a ＝34．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为A ，B 把圆C 分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB 所对劣弧圆心角为2π×14＝π2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分所以圆心C 到l 1的距离d 等于圆C 半径的22倍，即22|m |＝|2m －am |a 2＋1，由（1）得m ≠0，解得a ＝1或a ＝7． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为DA ＝DB ，所以AB 的垂直平分线经过D (6，0)和圆心C (2m ，m )，所以m2m －6＝－a ，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分所以，当a ＝1时，m ＝2，圆C 方程为(x －4)2＋(y －2)2＝4，当a ＝7时，m ＝145，圆C 方程为(x －285)2＋(y －145)2＝19625．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．（本小题满分12分）解：若用(i ，j )表示第一次抛掷骰子数字为i ，用j 表示第二次抛掷骰子数字为j ，则样本空间Ω＝{(i ，j )|0≤i ≤9，0≤j ≤9，i ，j ∈Z }，共有100种等可能的样本点． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙1分（1）A 1＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分所以P (A 1)＝3100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为 A 2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P (A 2)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分（2）因为A 1A 2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P (A 1A 2)＝2100＝150．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为A 3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P (A 3)＝50100＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分因为A 1A 2A 3＝{(9，8)}，所以P (A 1A 2A 3)＝1100．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分因为P (A 1A 2)P (A 3)＝150×12＝P (A 1A 2A 3)，所以事件A 1A 2与事件A 3独立．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分20．（本小题满分12分）解：（1）方法1因为AB → ·AC → ＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由余弦定理得bc ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2－12ab ，化简得b 2＋a 2－c 22ab ＝12，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分方法2因为AB → ·AC →＝b 2－12ab ，所以bc cos A ＝b 2－12ab ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分由正弦定理得sin B sin C cos A ＝sin 2B －12sin A sin B ．因为B 为△ABC 内角，所以sin B ≠0，所以sin C cos A ＝sin B －12sin A ．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C cos A ＝sin(A ＋C )－12sin A ，即sin C cos A ＝sin A cos C ＋cos A sin C －12sin A ，化简得sin A cos C ＝12sin A ．因为A 为△ABC 内角，所以sin A ≠0，所以cos C ＝12．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分因为C 为△ABC 内角，所以C ＝π3．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分（2）因为S △ABC ＝12ab sin C ＝32，所以ab ＝2．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为CM → ＝2MB → ，AN → ＝3NM → ，所以CN → ＝CA → ＋AN → ＝CA → ＋34AM → ＝CA → ＋34(CM →－CA → )＝14CA → ＋34CM → ＝14CA → ＋12CB →，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分从而|C N → |2＝(14CA → ＋12CB → )2＝116b 2＋14a 2＋14CA → ·CB→＝116b 2＋14a 2＋14∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分≥2116b 2×14a 2＋14＝34．当且仅当116b 2＝14a 2，即a ＝1，b ＝2时取等号．所以|C N →|的最小值为32．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分21．（本小题满分12分）（1）证明：连接AB 1，在△ABB 1中，∠ABB 1＝π2，AB ＝BB 1＝1，所以AB 1＝2，在△BCB 1中，∠B 1BC ＝π3，BC ＝BB 1＝1，所以B 1C ＝1，所以在△ACB 1中，AB 1＝2，B 1C ＝1，AC ＝1，所以AB 12＝AC 2＋B 1C 2，所以AC ⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分又因为在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ∥A 1C 1，所以A 1C 1⊥B 1C ．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）方法1解：连接AB 1，A 1B ，交于点O ，连接BC 1，连接CO ．在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，O 是AB 1的中点，又因为B 1C ＝AC ＝1，所以CO ⊥AB 1． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分因为四边形B 1BCC 1边长都为1，所以B 1C ⊥BC 1．由(1)知B 1C ⊥A 1C 1．又因为A 1C 1∩BC 1＝C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥平面A 1BC 1．因为A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以B 1C ⊥A 1B ．因为在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，A 1B ⊥AB 1．又因为AB 1∩B 1C ＝B 1，AB 1，B 1C ⊂平面AB 1C ，所以A 1B ⊥平面AB 1C ．因为CO ⊂平面AB 1C ，所以CO ⊥A 1B ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分又因为A 1B ∩AB 1＝O ，A 1B ，AB 1⊂平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分方法2解：取AB 1中点O ，连接BO ，CO ．在△ACB 1中，AC ＝B 1C ＝1，所以CO ⊥AB 1， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分在边长都为1的正方形A 1ABB 1中，BO ＝22，A 1B ＝2．又因为AC 2＋B 1C 2＝A 1B 2，所以△ACB 1为直角三角形，所以CO ＝22．在△ACB 1中，CO 2＋BO 2＝BC 2，所以CO ⊥BO ．…………………………………………8分又因为AB 1∩BO ＝O ，AB 1，BO 平面A 1ABB 1，所以CO ⊥平面A 1ABB 1，所以∠CBO 即为直线BC 与平面ABB 1A 1所成的角．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分在边长都为1的四边形A 1ABB 1中，∠ABB 1＝π2，所以BO ＝22．因为BC ＝1，所以cos ∠CBO ＝22，所以∠CBO ＝π4，所以直线BC 与平面ABB 1A 1所成角的大小为π4．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF 1→ ＝(－3，－b )，BF 2→＝(3，－b )，所以BF 1→ ·BF 2→＝b 2－3＝－2，所以b 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分因为c ＝3，所以a 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分（2）设直线MN 的方程为y ＝k (x －2)－1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，联立{x 2＋4y 2＝4，y ＝k (x －2)－1，消去y 得，(1＋4k 2)x 2－8k (1＋2k )x ＋16k 2＋16k ＝0，所以x 1＋x 2＝8k (1＋2k )1＋4k 2，x 1x 2＝16k 2＋16k 1＋4k 2，∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分直线BM 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1，直线BN 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，设P ，Q 两点的纵坐标分别为y P ，y Q ，所以y P ＝4×y 1－1x 1＋1，y Q ＝4×y 2－1x 2＋1．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分因为y P ＋y Q ＝4×(y 2－1x 2＋y 1－1x 1)＋2＝4×[k (x 2－2)－2x 2＋k (x 1－2)－2x 1]＋2＝4×(2k －2k ＋2x 2－2k ＋2x 1)＋2＝4×[2k －(2k ＋2)x 1＋x 2x 1x 2]＋2∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分＝4×[2k －(2k ＋2)8k (1＋2k )16(k ＋k 2)]＋2＝4×[2k －(2k ＋1)]＋2＝－2，所以y P ＋y Q 2＝－1，所以存在G (4，－1)，使得点P ，Q 关于点G 对称．∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分。