激光原理(含答案)

1、试证明：由于自发辐射，原子在E2能级的平均寿命

211/s A τ=。(20分)

证明：根据自发辐射的性质，可以把由高能级E2的一个原子自发地跃迁到E1的自发跃迁几率21A 表示

为

21212

1()sp

dn A dt n = （1）

式中21()sp

dn 表示由于自发跃迁引起的由E2向E1跃迁的原子数

因在单位时间内能级E2所减少的粒子数为

221()sp dn dn dt dt =- （2）

把（1）代入则有

2

212dn A n dt =- （3）

故有

22021()exp()

n t n A t =- （4）

自发辐射的平均寿命可定义为

2200

1()s n t dt n τ∞

=? （5）

式中

2()n t dt

为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt 产生的总时间，因此上述广义积分为所

有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。将

（4）式代入积分（5）即可得出

210

211

exp()s A t dt A τ∞

=-=

?

2、一光束通过长度为1m 的均匀激励的工作物质，如果出射光强是入射光强的两倍，试求该物质的增益系数。(20分)

解： 若介质无损耗，设在光的传播方向上z 处的光强为I(z)，则增益系数可表示为

()1()dI z g dz I z =

故

()(0)exp()I z I gz =

根据题意有

(1)2(0)(0)exp(1)I I I g ==?

解得

1

ln(2)0.693g cm

-==

3、某高斯光束

0 1.2,10.6.mm um ωλ==今用F=2cm 的锗透镜来聚焦,当束腰与透镜的距离为10m,1m,0

时,求焦斑大小和位置,并分析结果 (30分)

解：由高斯光束q 参数的变化规律有(参书P77: 图2.10.3) 在z=0 处

2

00(0)/q q i πωλ

== （1）

在A 处（紧挨透镜L 的“左方”）

(0)A q q l

=+ （2）

在B 处（紧挨透镜L 的“右方”）

111B A q q F =-

（3）

在C 处

C B C

q q l =+ （4）

又高斯光束经任何光学系统变换时服从所谓ABCD 公式，由此得

00C Aq B

q Cq D +=

+ （5）

其中

11

01011/101C A B l l C D F ????????=????????-?????

??? （6）

则

22

222

002222

2200()()()

()()()()

C C l F l F q l F i F l F l πωπωλλπωπωλλ--=++-+-+ （7）

在像方高斯光束的腰斑处有

{}Re 1/0

C q =，得

22

0222

0()()

0()()C l F l l F F l πωλπω

λ--+=-+ （8）

解得像方束腰到透镜的距离

2'

22

2

0()

()()

C F l F l l F F l πωλ-==+

-+ （9）

将（9）代入（8）得出

222

2

0()

()()

C F l F q i

F l πωλ-=-+ （10）

由此求得

220'2

220

01

111Im (1)()C l q F F πωπωλωλ

??=-

=-+???? （11。1）

()22

2

002

22

0'F F l ωωπωλ=

??-+ ?

?? （11。2）

当 0l cm = 时， 有'

2.00;l cm = '0

3.16nm ω=； 当 1l m = 时， 有'

2.03;l cm = '00.50nm ω=； 当 10l m = 时， 有'

2.00;l cm = '0 5.77p m ω=；

讨论： F 一定时，

0'ω 随 l 的变化情况。

①

当l

ω随l 的减小而减小，因而当 l =0 时，

0'ω达到最小值

(

)0min 'ω=

=

此时由（9）式得出得像方束腰最小时的位置为

()21'11l F F f F ??=-

+????

像方束腰最小时的腰斑放大率

()

'

min 0

1

k ωω=

=

<

若进一步有 F f << ，则最小束腰大小和位置分别为：

()00min 'F

f ωω≈

'l F ≈

在这种情况下，像方腰斑就处在透镜的前焦面上，且透镜的焦距越小，焦斑半径0'ω也越小，聚焦效果

越好。

② 当l >F 时,

0'ω随l 的增大而单调减小，当 l →∞ 时， 0'ω达最小, 此时，最小腰斑及位置为 ()0min '0

ω≈，

'l F ≈

一般地，当 l F >> 时，

(

)()2

2

11l

l

l F

F F

>>?-≈

可得到

()

0'F l λ

ωπω≈

，

'l F ≈

若进一步有 l f >> ， 则

()0max 0'F λωπω=

可得到 00'F l ωω≈

③当l =F 时，

0'ω达最大值：

()0max 0'F λ

ωπω=

只有0200'1F

F f ωλωπω==< ，即 F f < 时，透镜才有聚焦作用。

综上，无论l 的值为多大，只要满足条件

()0

0max 'ωω< ，即 F f <，则透镜总有一定的聚焦作

用。

4、设粒子数密度为n 的红宝石被一矩形脉冲激励光照射,其激励跃迁几率可表示为

{

00

0130

()p W t t t t W t <≤>=

求激光上能级粒子数密度n2(t),并画出相应的波形(30分) 解： 红宝石激光器为三能级系统，其速率方程组为

3

11333231()dn nW n S A dt =-+ （1）

2221210221213321

()(,)()l dn f

n n N n A S n S dt f συυν=---++ （2）

123n n n n

++= （3）

2

212102()(,)l l l Rl

dN N f n n N dt f συυντ=-- （4）

由于

3213

S W ，使

30

n ≈， 因此

3/0

dn dt ≈，

于是由式（1）可得

332

1131

()

n S nW t η= （5）

式中

1323231/()S S A η=+表示E3能级向E2能级无辐射跃迁的量子效率，将（5）式代入（2）式，并

考虑到在未形成自激振荡或在阈值附近时受激辐射很微弱的情况，（2）式中的第一项可忽略不计，从而

得出

221211322()

()[()]dn A n t W t n n t dt ηη=-- （6）

式中

2212121/()A A S η=+为E2能级向基态跃迁的荧光效率。

① 当0

0t t <≤时，

13p

W W =

有

121

2121212

()1exp(())p p p W n

A n t W t A W ηηηηη??=--+???

?+ （7）

② 当

t t >时，

130

W =

有

21

22002

()()exp(())

A n t n t t t η=-

- （8）

其变化波形如下图所示