2013年高一数学期中考试试题

2013年秋季高一数学期中考试试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.下列各组函数是同一函数的是（ ）①()f x =与()g x =；②()f x x =与()g x =；③0()f x x =与01()g x x=；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =-- A. ① ② B. ① ③ C. ③ ④ D. ① ④2．设集合A={1，2}, B={0，1}，定义运算A ※B={z|z=,,}x x A y B y∈∈,则集合A ※B 的子集个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3．已知 5.10.9m =，0.95.1n =，0.9log 5.1p =，则m 、n 、p 的大小关系（ ）A.p n m <<.B.n p m <<C.n m p << D ．m n p << 4．下列函数中，在(0,1)上为单调递减的偶函数是（ ）A. 2-=x y B. 4x y = C. 21x y =D ．13y x=-5．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是（ ） A. 减函数且最小值是5- B.. 减函数且最大值是5- C . 增函数且最小值是5- D . 增函数且最大值是5-．6．已知集合2{|1,}M y y x x ==-∈R ,{|N x y =∈=R ，则M N = （ ）A.)}1,2(),1,2{(-B.]3,1[-C.]3,0[D.∅ 7．若ax x x f 2)(2+-=与xa x g -+=1)1()((1a >-且0)a ≠在区间]2,1[上都是减函数,则a的取值范围是（ ）A.)0,1(-B.]1,0(C.)1,0(D.(1,0)(0,1)- 8．若{}2228xA x -=∈≤<Z ，{}2log 1B x x =∈>R ，则()A B R ð的元素个数为（ ）A.0B.1C. 2D. 39．函数()f x 与的图像与1()()2xg x =图像关于直线y x =对称，则的2(4)f x -的单调增区间是（ ）A. (,0]-∞B. [0,)+∞C. (2,0]-D. [0,2)10．已知函数()log (21)(01)xa f xb a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ） A ．101a b -<<<B ．101b a -<<<C.101ba -<<<D ．1101ab --<<<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．计算11(lg9lg 2)229416()100log 8log 9--+++ ． 12．已知集合1,,a M b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，{}20,,N a b b =+，M N =，则20102011a b +=_______． 13．函数()log 232a y x =-+的图象恒过定点P , P 在幂函数()f x 的图象上，则()9f = _______．14．设集合A=10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭, B=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 函数()f x =()1,221,,x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩若0x A ∈, 且0[()]f f x ∈A,则0x 的取值范围是_______．15．已知偶函数()f x 满足()08)(3≥-=x x x f ，则(2)0f x ->的解集为_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知函数31()31x x f x -=+. （1）证明f （x ）为奇函数；（2）判断f （x ）的单调性，并用定义加以证明；17．（本小题满分12分）已知全集U =R ，A =｛x ||1x -|≥1｝，Ｂ为函数()f x =定义域，C 为()lg[(1)(2)]g x x a a x =---（1a <）的定义域； （1）A B ；()U A B ð；（2）若C B ⊆ ，求实数a 的取值范围；18．（本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=. （1）求函数()f x 的解析式；（2）在区间[-1，1]上，()y f x =的图像恒在2y x m =+的图像上方，试确定实数m 的取值范围； .19．（本小题满分12分）已知,a b ∈R 且2a ≠，定义在区间(),b b -内的函数1()lg12ax f x x+=+是奇函数（1）求函数()f x 的解析式及b 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性；20．（本小题满分13分）设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数m 、n ，都有()()()f m f n f m n =+ ，且当x ＜0时，()f x ＞1. （1）证明：①(0)1f =；②当x ＞0时，0＜()f x ＜1； ③()f x 是R 上的减函数；（2）设a ∈R ，试解关于x 的不等式2(31)(361)1f x ax f x a -+-++≥ ；21．（本小题满分14分）已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ⊆，使函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数； 请解答以下问题(1) 求闭函数3y x =-符合条件②的区间[,]a b ； (2) 判断函数31()((0,))4f x x x x=+∈+∞是否为闭函数？并说明理由；(3)若0)y k k =+<是闭函数,求实数k 的取值范围；参考答案一、选择题：1． C 解析：①中()0,()0f x g x ≥≤，两个函数的值域不同；②中()g x x =与()f x 解析式不同；③ ④中函数的定义域、对应关系都相同； 2． D 解析：A ※B={1,2}，子集个数为224=； 3． C 解析：01p m n <<<<4． A 解析：,B C 在(0,1)上是递增函数，而D 是奇函数，均不符合；5． D 解析：当]7,3x ⎡∈--⎣，]3,7x ⎡-∈⎣，设]03,7x ⎡-∈⎣且0()5f x -=；由题知：0()()5f x f x -≥-=；又由()f x 为奇函数，可得：0()()5f x f x -≥-=，所以0()()5f x f x ≤=-；由奇函数图象特征，易知)(x f 在]3,7[--上为增函数；6． B 解析：集合M 表示21y x =-的值域，[)1,y ∈-+∞；集合N 表示21y x =-的定义域，230x -≥，x ⎡∈⎣；7． B 解析：二次函数()f x 的对称轴为x a =，图象开口向下；由()f x 与()g x 在区间]2,1[上都是减函数，则应满足：1,a ≤且11a +>，解得：01a <≤ 8． C 解析：123222x-≤<，得123x ≤-<，解得：11x -<≤;又x ∈Z ，所以{0,1}A =；2log 1x >，得2log 1x >或2log 1x <-，且0x >，解得：2x >或102x <<，所以 ()10,2,2B ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭ ，1(,0],22B ⎡⎤=-∞⎢⎥⎣⎦R ð，()A B R ð={0,1}9． D 解析：由题可得：12()log f x x =，2212(4)log (4)f x x -=-，令24,u x =-12lo g y u =在定义域上是减函数，由复合函数单调性可知：2(4)f x -的单调增区间应为24u x =-的单调减区间，且在该区间上0u >；故[0,2)x ∈10．A 解析：设21,xt b =+-则()log a f x t =，因为21xt b =+-在R 上单调递增，由图象可知函数()f x 也是单调递增，由复合函数的单调性可知log a y t =在定义域上递增，故1a >；又0(0)l o g (21)l o g aaf b b =+-=，由图象可知：1(0)0f -<<，则1l o g 0a b -<<，解得101a b -<<<二、填空题：11．412．-1 解析：由M N =，1,,a M b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭知0b ≠，所以只能0a b =，所以0a =，此时}{1,0,M b =，}{20,,N b b =，所以21b =，又2b b ≠，所以1b =-；代入即可得；13．13 解析：令2,2x y ==，即2P ；设()f x x α=，则22α=，12α=-；所以12()f x x-=，()193f =14．11,42⎛⎫⎪⎝⎭解析：0x A ∈, 即010,2x ≤<所以001()2f x x =+,0111,22x ≤+<即01()1,2f x ≤<即0()f x B ∈，所以000[()]2[1()]12f f x f x x A =-=-∈，即010122x ≤-<，解得：011,4x <≤又由010,2x ≤<，所以01142x << 15．(,0)(4,)-∞+∞ 解析：因为()f x 为偶函数，且当0x ≥时8)(3-=x x f 为增函数，则0x ≤时，)(x f 为减函数；(2)0(2)f x f ->=，所以可得：22x ->，解得：0,x <或4x >三、解答题：16．证明：（1）由题知()f x 的定义域为R31(31)313()()31(31)313x x x xx x x xf x f x --------====-+++ 所以()f x 为奇函数； （2）在定义域上是单调增函数；任取12,x x ∈R ，且12x x <2121212112212(33)313122()()(1)(1)31313131(31)(31)x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++ 12x x < 2112330,310,310x x x x ->+>+>∴21()()f x f x ∴>()f x ∴为R 上的单调增函数； 17．解：（1）解|1x -|≥1得：0x ≤或2x ≥{0,A x x ∴=≤或}2x ≥；函数()f x 的自变量x 应满足3201x x +-≥+，即(1)(1)010x x x +-≥⎧⎨+≠⎩ ∴1x <-或1x ≥{1,B x x ∴=<-或}1x ≥；{1,A B x x =<- 或2x ≥，{0,A B x x =≤ 或}1x ≥，()U C A B ⋃{}01x x =<< （2） 函数()g x 的自变量x 应满足不等式(1)(2)0x a a x --->。