南航材料力学第9讲(第4章 弯曲应力)

外伸梁
悬臂梁
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§4. 3 剪力和弯矩
下面求解梁弯曲时的内力。 下面求解梁弯曲时的内力。 例子 已知： 已知：q = 20 RAx x kN/m, 尺寸 RC RA 如图。 如图。 截面处的内力。 求：D截面处的内力。 解：求内力的方法 求内力的方法——截面法。建立 坐标如图。 截面法。 截面法 建立x坐标如图 坐标如图。 (1) 求支座反力 取整体，受力如图。 取整体，受力如图。
FS
1 l −x 2 = − q(l − x) M(x) = − q(l − x)⋅ 2 2
31
F (x) = q(l − x) S
F (x) = q(l − x) S 1 2 M(x) = − q(l − x) 2
(3) 画剪力图和 弯矩图
FS
32
作剪力图和弯矩图的步骤 作剪力图和弯矩图的步骤 (1) (2) (3) (4) (5) 求支座反力； 求支座反力； 建立坐标系(一般以梁的左端点为原)； 载荷变化处分段 分段； 分段 在载荷变化处分段； 列出每一段的剪力方程和弯矩方程； 列出每一段的剪力方程和弯矩方程； 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图和 弯矩图。 弯矩图。
切应力合力作用点必定在45°对称轴上， 设大小为F，则F对O点的矩必须为T/4 取微元dA=ρdθdρ，其上应力的合力为
dA
O
F
Tρ dF = τ dA = ρ dθ dρ Ip
T F = ∫ dF ⋅ cos θ = A Ip
∫

π 4 π − 4
cos θ dθ ⋅ ∫ ρ dρ
2 0
8
r
题3.15解(续)
规律 FS = 截面一侧所有横向外力代数和
M = 截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和
22
RAx
x
RA RC RAx
FSD
若从D处截开，取右段。 若从 处截开，取右段。 处截开 横截面上的内力如图。 横截面上的内力如图。
FSD
x
RA
FN
MD
MD
RC
计算可得F 的数值与取左段所得结果相同。 计算可得 SD, MD的数值与取左段所得结果相同。 但从图上看，它们的方向相反。 但从图上看，它们的方向相反。 剪力和弯矩的正负号规则如何？ 剪力和弯矩的正负号规则如何？ 的正负号规则如何
(3) 画剪力图和弯矩图
FS
x
M
28
(3) 画剪力图和 弯矩图
Fb F (x) = S l Fa F (x) = − S l
(0<x<a)
(a<x<l)
Fb M(x) = x (0 ≤ x ≤ a) l Fa M(x) = (l − x) l
(a ≤ x ≤ l)
上下对齐
29
例 4.3 已知：悬臂梁如图。 已知：悬臂梁如图。 剪力方程， 求：剪力方程，弯 矩方程， 矩方程，并作剪力 图和弯矩图。 图和弯矩图。 解： 求支反力 (1)
4
2007年材料力学A卷
5
题3.15
四分之一截面上内力系合 力的大小、方向、作用点。
T
6
题3.15解
整圆切应力对O点之矩 ？ 整圆切应力对 点之矩=？ 点之矩
m (O ) = T
由对称性， 由对称性，四分之一圆的 切应力对O点之矩为 切应力对 点之矩为
T
O
T 4
7
题3.15解(续)
由切应力分布规律可知
(2) 求剪力方程和弯矩方程 为使计算简单， 截面 右段受力如图。 为使计算简单，取x截面，右段受力如图。 截面，
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1 2 F A = ql, MA = ql R 2
(2) 求剪力方程和 弯矩方程 为使计算简单， 为使计算简单， 截面， 取x截面，右段 截面 受力如图。 受力如图。 由平衡方程，可得 由平衡方程，可得: M
x
RA
FN
MD
21
(2) 求D截面内力 截面内力 处截开， 从D处截开，取左段。 处截开 取左段。 横截面上的内力如图。 横截面上的内力如图。
RAx
FSD
x
RA
FN
MD
∑X = 0 ∑Y = 0 ∑M (F) = 0
D
FN = −RAx = 0 F = RA − qx= 80− 20x SD
MD = RAx − qx ⋅ x / 2 2 = 80x−10x
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Fb F (x) = S l Fb M(x) = x l
(0<x<a) (0 ≤ x ≤ a)
M
CB段 段 截面， 取x截面， 左段受力如图。 截面 左段受力如图。 由平衡方程，可得: 由平衡方程，可得
x
Fa (a<x<l) F (x) = − S l Fa M(x) = (l − x) l (a ≤ x ≤ l)
若梁 (1) 具有纵向对称面; (2) 所有外力都作用 在纵向对称面内。 在纵向对称面内。
F1
F2
称为梁 称为梁。
则轴线变形后也是该对称面内的曲线。 则轴线变形后也是该对称面内的曲线。
13
§4. 2 受弯杆件的简化
1 支座的几种基本形式 固定铰支座
14
1 支座的几种基本形式 固定铰支座 可动铰支座
材 料 力 学
第四章 弯 曲 内 力
本章作业: 本章作业:
4 . 17(b) 4 . 17(c) 4 . 17(f) 4 . 18(a) 4 . 19(a) 4 . 19(c) 4 . 20
（1） ）
2010年11月17日 2010年11月17日
1
简单复习
圆轴扭转时的变形计算公式。 刚度条件。 矩形截面杆受扭时截面上的应力分布。 狭长矩形截面的最大应力、扭转角计算公式。
d F (x) S = q(x) dx ∑MC (F) = 0
FS(x)+dFS(x)
FS(x) − M(x) +[M(x) + d M(x)] dx −F (x)d x− q(x) d x ⋅ = 0 S 2 略去高阶微量 d M(x) −F (x)d x = 0 S d M(x) = F (x) S dx 2 d M(x) 还可有： 还可有： = q(x) 2 dx
T F = ∫ dF ⋅ cos θ = A Ip T = Ip
3
积分之
∫
π 4 π − 4
cos θ dθ ⋅ ∫ ρ dρ
2 0
r
r πr 2 2 T 2⋅ Ip= = ⋅ 3 2 3π r T 由mO ( F ) = 即可求得F作用点的位置 4 3πr 2 2 T T ρF = F ⋅ ρF = ⋅ ⋅ ρF = 8 2 3π r 4
(3) 画剪力图和弯矩图
38
(3) 画剪力图和弯矩图
39
载荷集度、 §4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
对图示的直梁, 对图示的直梁 考察dx 考察 微段的 受力与平衡。 受力与平衡。
FS(x)+dFS(x)
FS(x)
40
考察dx微段的受力与 考察 微段的受力与 平衡
∑Y = 0
F (x)+ q(x) d x S
RAx
F = RA − qx SD
剪力图和弯矩图
FS
x
RA RC
MD = RAx − qx ⋅ x / 2
25
例 4.2 已知：简支梁如图。 已知：简支梁如图。 剪力方程， 求：剪力方程，弯矩 方程， 方程，并作剪力图和 弯矩图。 弯矩图。 解： 求支反力 (1)
(2) 求剪力方程和弯矩方程 需分段求解。分为两段： 和 段 需分段求解。分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。 段 截面， 截面 左段受力如图。
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Fb FA = , R l
Fa F = RB l
(2) 求剪力方程和弯矩方程 需分段求解。 需分段求解。 分为两段： 和 段 分为两段：AC和CB段。 AC段 段 截面， 取x截面，左段受力如图。 截面 左段受力如图。 由平衡方程，可得: 由平衡方程，可得
x
FS
CB段 取x截面， 段 截面， 截面
(0.6<x ≤1.2m) (0.6 ≤ x<1.2m)
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AD段 取x截面，左段受力如图。 段 截面， 受力如图。 截面 左段受力如图 由平衡方程，可得: 由平衡方程，可得
F (x) = RA − P = 7 kN S M(x) = −Px + RA ×(x − 0.6) = 7x − 6
x AD段 取x截面，左段受力如图。 段 截面， 受力如图。 截面 左段受力如图 由平衡方程，可得: 由平衡方程，可得
向心轴承
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向心轴承
向心推力轴承
16
几种轴承及相当的约束类型
单列向心短圆柱 滚子轴承
单列向心球轴承
单列圆锥滚子轴承
17
固定端约束
FAx FAy
2 载荷的简化 集中力 集中力偶 分布载荷 3 静定梁的基本形式 主要研究等直梁。 主要研究等直梁。 等直梁
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3 静定梁的基本形式 主要研究等直梁。 主要研究等直梁。 等直梁 简支梁
2
矩形截面上切应力分布
T
3
为什么
承受扭转的圆轴，实心圆轴省材料还是空心圆轴省材料？ 为什么？ 为什么工程中的圆轴通常都是实心的？ 开口薄壁截面与相同截面面积的闭口薄壁截面比，哪个 更适宜抗扭？ 横截面面积相同且壁厚相同的圆管和方管，受扭时的强 度和刚度哪个更大？为什么？ 竹子受扭时，为什么总是沿纵向开裂？ 闭口薄壁截面杆受扭时，如果纵向开裂，该如果处理以 保证受扭时的强度和刚度？ 你知道软轴吗？它有什么用？
F (x) = −P= −3 kN S
(0<x<0.6m) (0 ≤ x ≤ 0.6m )