材料力学弯曲应力
合集下载
材料力学06(第六章 弯曲应力)分析
F / 4 2 103 mm 134 mm
30 MPa 5493104 mm4
F 24.6 kN
因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制
[F] 19.2 kN
§6-3 梁横截面上的切应力•梁的切应力强度条件
Ⅰ、梁横截面上的切应力
分离体的平衡
横截面上切应力 分布规律的假设
横截面上弯曲切 应力的计算公式
二.工字形截面梁 1、腹板上的切应力
h
d
y
d
O
y b
O
' A*
y dA
FS
S
* z
Izd
S
* z
bd
2
h
d
d 2
h 2
d
2
y2
腹板与翼缘交界处
max
min
FS Izd
bd
h d
max O
中性轴处
max
FS
S
* z,m
ax
Izd
y
min
FS
bd
h
d
d
h
d
2
I z d 2
160 MPa 148 MPa
2
Ⅲ 梁的正应力强度条件
max 材料的许用弯曲正应力
中性轴为横截面对称轴的等直梁
M max
Wz
拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁
为充分发挥材料的强度，最合理的设计为
t,max
M max yt,max Iz
[
t]
c,max
M max yc,max Iz
Myc,max Iz
典型截面的惯性矩与抗弯截面系数 ( d D)
b
材料力学第五章 弯曲应力-正式_new
切应力使横截面发生翘曲， 引起与中性层平行的纵截面的 挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和纵向纤维间无正应力假设 都不成立.
16
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表
明，当 l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。
横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、 离中性轴最远处：
σtmax [σt]
σcmax [σc ]
19
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
许压紧力F.
FRA=F/2
FRB
F
解：（1）作出弯矩图 最大弯矩为Fa；
A
B
C
2a
a
（2）求惯性矩、抗弯截面系数
平面弯曲时横截面
横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)
F
二、纯弯曲
A
若梁在某段内各横截面的弯矩为
C
常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
a
称为纯弯曲.
F
+
简支梁CD段任一横截面上，剪
力等于零，而弯矩为常量，所以该段
Fa
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
F
B
D
a
+
F
5
三、 纯弯曲时的正应力 1.实验
1）.变形现象
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
空心圆截面 W πD3 (1 4 )
32
α d D
h
d
z y
b
z
y D d
z
16
虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表
明，当 l / h 5 时， 用纯弯曲时的正应力公式计算横力弯曲
时横截面上的正应力，精度可以满足工程要求。
横力弯曲时，等直杆横截面上的最大正应力在弯矩最大截面、 离中性轴最远处：
σtmax [σt]
σcmax [σc ]
19
例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板
材料的弯曲许用应力[]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允
许压紧力F.
FRA=F/2
FRB
F
解：（1）作出弯矩图 最大弯矩为Fa；
A
B
C
2a
a
（2）求惯性矩、抗弯截面系数
平面弯曲时横截面
横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)
F
二、纯弯曲
A
若梁在某段内各横截面的弯矩为
C
常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
a
称为纯弯曲.
F
+
简支梁CD段任一横截面上，剪
力等于零，而弯矩为常量，所以该段
Fa
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
F
B
D
a
+
F
5
三、 纯弯曲时的正应力 1.实验
1）.变形现象
矩形截面 W Iz bh3 / 12 bh2 h/2 h/2 6
空心圆截面 W πD3 (1 4 )
32
α d D
h
d
z y
b
z
y D d
z
材料力学第五章 弯曲应力分析
B
D
1m
1m
1m
y2
20
120
FRA
F1=9kN FRB F2=4kN
A C
BD
1m
1m
1m
2.5 Fs
+
+
4 kN
-
6.5 2.5
M
kNm
-
+
4
解： FRA 2.5kN FRB 10.5kN
88
52
-
+
C 2.5
4 B 80
z
20
120
20
B截面
σ t max
M B y1 Iz
4 • 52 763
20
+
-
+
10
Fs
kN
10
20
30
30
25
25
M
kNm
max
M max W
[ ]
W Mmax 30 187.5cm3
[ ] 160
1)圆 W d 3 187.5
32
d 12.4cm
A d 2 121cm2
4
2）正方形
a3 W 187.5
6
3）矩形
a 10.4cm
A a2 108cm2
压，只受单向拉压. （c）同一层纤维的变形相同。 （d）不同层纤维的变形不相同。
推论：必有一层变形前后长度不变的纤维—中性层
中性轴
中性轴⊥横截面对称轴
中性层
横截面对称轴
二、变形几何关系
dx
dx
图（a）
O
O
zb
O yx b
y
图（b）
材料力学弯曲应力
解：（1）确定截面形心 的位置 ：（ ）确定截面形心C的位置 60 20 40 C Ⅱ 20 y Ⅰ Z yC ZC 将截面分为两个矩形Ⅰ 将截面分为两个矩形Ⅰ、Ⅱ 其面积及各自的形心纵坐标分别为： 其面积及各自的形心纵坐标分别为： A1＝60×20＝1200mm2 × ＝ yC1＝20/2＝10mm ＝ A2=40×20＝800 mm2 × ＝ yC2＝40/2＋20＝40mm ＋ ＝ 由形心计算公式，组合截面形心C的纵坐标为 由形心计算公式，组合截面形心 的纵坐标为
▲
矩形截面抗弯截面系数
bh 3 2 12 = bh Wz = h 6 2
3 64 = πd Wz = d 32 2
▲
圆形截面抗弯截面系数
πd 4
πD 4
同理， 同理，空心圆截面的抗弯截面系数
W z = 64
(1 α 4 ) D 2
=
πD 3
32
(1 α 4 )
c) 组合截面的惯性矩 将组合截面A划分为n个简单图形， 将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单 图形面积分别为A 图形面积分别为A1、A2、……An。根据惯性矩定义 A 及积分的概念，组合截面A 及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于 每个简单图形对同一轴的惯性矩之和， 每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：
纵向对称面 中性层
a b M a b
c d M c d
中性轴：中性层与横截面的交线。 中性轴：中性层与横截面的交线。
2)纯弯梁变形的几何规律 纯弯梁变形的几何规律
dθ θ dx 1 O1 a 1 2 O2 b 2 y 中性轴 x z 1 O1 a 1 y y ρ 2 O2 b 2
处的纵线ab的变形量 的变形量： 距中性层为 y 处的纵线 的变形量：
▲
矩形截面抗弯截面系数
bh 3 2 12 = bh Wz = h 6 2
3 64 = πd Wz = d 32 2
▲
圆形截面抗弯截面系数
πd 4
πD 4
同理， 同理，空心圆截面的抗弯截面系数
W z = 64
(1 α 4 ) D 2
=
πD 3
32
(1 α 4 )
c) 组合截面的惯性矩 将组合截面A划分为n个简单图形， 将组合截面A划分为n个简单图形，设每个简单 图形面积分别为A 图形面积分别为A1、A2、……An。根据惯性矩定义 A 及积分的概念，组合截面A 及积分的概念，组合截面A对某一轴的惯性矩等于 每个简单图形对同一轴的惯性矩之和， 每个简单图形对同一轴的惯性矩之和，即：
纵向对称面 中性层
a b M a b
c d M c d
中性轴：中性层与横截面的交线。 中性轴：中性层与横截面的交线。
2)纯弯梁变形的几何规律 纯弯梁变形的几何规律
dθ θ dx 1 O1 a 1 2 O2 b 2 y 中性轴 x z 1 O1 a 1 y y ρ 2 O2 b 2
处的纵线ab的变形量 的变形量： 距中性层为 y 处的纵线 的变形量：
材料力学-第四章弯曲应力教学
FS
x
dx
0
FS
x
dM x
dx
qx
dM 2x
dx 2
注:q(x)向上为正,反之为负。
●简易法作剪力图和弯矩图
①梁上无分布荷载作用：q（x）=0
qx dFS x 0
dx
FS x cont
剪力图斜率为零，FS（x）图为平行于x轴的直线。
dM x
B 1kN
A FAx
FB
FAy
FAx=-3kN FAy=3kN
FB=5kN
2）剪力图: 简易法 BC杆：取一点（水平线） DC杆：取两点（水平线） DA杆：取两点（斜直线）
D 3kN
C
1kN E
5kN
1kN B
3kN A
q=1kN/m 4m 3m
8kN
1m D
2m C
E
B 1kN
A FAx
A
A
ydA Sz 0 中性轴z必通过截面形心
A
横截面对z轴的静矩
My
z dA 0
A
zE
A
y dA
E
A
zydA
0
zydA I yz 0
A
截面对yz轴的惯性积
*由于y为对称轴, 上式自然满足。
M z
y dA
A
M
例5.作外伸梁的内力图
q
FA
ql 8
A
FB
5ql 8
FA
FS
B
lC
l
FB 2
ql / 2
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学第五章
y
= ∫ y dA
2 A
1 1 π ⋅ d4 π ⋅ d4 I y = Iz = I ρ = ⋅ = z 2 2 32 64
1 π ⋅ (D4 − d 4 ) 对空心圆截面： 对空心圆截面： I = I = I = y z ρ 2 64
第五章 弯曲应力
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力
M⋅ y 二、弯曲正应力一般公式： 弯曲正应力一般公式： σ= Iz
Ip
弯曲 剪力Q 剪力
？
第五章 弯曲应力
§5-1 引言 y
梁段
M τ Q
z
σ
横截面上剪应力 横截面上正应力
横截面上内力
Q = ∫τdA
剪应力造成剪力
M = ∫σydA
正应力造成弯矩
剪应力和正应力的分布规律是什么？ 剪应力和正应力的分布规律是什么？
超静定问题
第五章 弯曲应力
§5-1 引言
§5-2 对称弯曲正应力 对称弯曲正应力 §5-3 对称弯曲切应力 对称弯曲切应力 弯曲 §5-4 梁的强度条件与合理强度设计 梁的强度条件与合理强度设计 §5-5 双对称截面梁的非对称弯曲 双对称截面梁的非对称弯曲 §5-6 弯拉（压）组合 弯拉（ 对称弯曲（平面弯曲）： 对称弯曲（平面弯曲）： 外力作用在纵向对称面内， 外力作用在纵向对称面内，梁轴线变形 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。 后为一平面曲线，也在此纵向对称面内。
(3)
Mz = ∫ σ ⋅ y ⋅ dA = M (5) A E 2 E 2 E (5) M z = ∫ ρ y dA = ∫ y dA = ρ I z = M
A
ρ
A
1 M = ρ EIz
第五章 弯曲应力
材料力学弯曲切应力ppt课件
m
F*
B N2 n
dFs
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
3 求纵截面 AB1 上的切应力 ’
S dFs 1 dM *
b dx bI z dx z
Fs
S
* z
bI z
z x
y
A1
FN*1
m
B1 dFs
A
n
bm
dx
B FN*2 n
Fs
S
* z
bI z
4 横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力 的计 算公式。
*
z max [ ]
I zb
式中 ：[] 为材料在横力弯曲时的许用切应力。
S* z max
为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩
F S s,max
*
z max [ ]
I zb
在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面， 再按切应力进行强度校核。
例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q 3.6 kN m
Fs,max 所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。 全梁各横截面中最大切应力可统一表达为
S Fsmax
* z max
max
Izb
S Fsmax
* z max
max
Izb
S* z max
—— 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b —— 横截面在中性轴处的宽度
Fs max —— 全梁的最大剪力
q
m
C
E
G
H D
m
l 2
l
Fs 图 F
M图
ql 2
ql 2 8
E
τ max
F*
B N2 n
dFs
FN*2
FN*1
dM Iz
S
* z
3 求纵截面 AB1 上的切应力 ’
S dFs 1 dM *
b dx bI z dx z
Fs
S
* z
bI z
z x
y
A1
FN*1
m
B1 dFs
A
n
bm
dx
B FN*2 n
Fs
S
* z
bI z
4 横截面上距中性轴为任意 y 的点，其切应力 的计 算公式。
*
z max [ ]
I zb
式中 ：[] 为材料在横力弯曲时的许用切应力。
S* z max
为中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴的静矩
F S s,max
*
z max [ ]
I zb
在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面， 再按切应力进行强度校核。
例题3 ： 简支梁受均布荷载作用，其荷载集度 q 3.6 kN m
Fs,max 所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。 全梁各横截面中最大切应力可统一表达为
S Fsmax
* z max
max
Izb
S Fsmax
* z max
max
Izb
S* z max
—— 中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩
b —— 横截面在中性轴处的宽度
Fs max —— 全梁的最大剪力
q
m
C
E
G
H D
m
l 2
l
Fs 图 F
M图
ql 2
ql 2 8
E
τ max