材料力学课件--6弯曲应力

F1=9kN
F2=4kN
Байду номын сангаас
80
A
z
C
1m 1m
B
1m
D
y1
y2
20
120
20
(Stresses in Beams)
FRA A
1m 2.5kN
F1=9kN
FRB
F2=4kN 解： FRA 2 .5kN FRB 10 .5kN
最大正弯矩在截面C上
C
1m
B
1m
D
M C 2.5kN m
最大负弯矩在截面B上
三、强度条件（Strength condition)
梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. 1.数学表达式（Mathematical formula)
σmax M max W [σ ]
(Stresses in Beams)
2.强度条件的应用(Application of strength condition)
Chapter6 Stresses in beams
(Stresses in Beams)
第六章 弯曲应力 (Stresses in beams)
§6-1 引言 ( Introduction) §6-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams ) §6-3 横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending ) §6-4 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition) §6-5 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams)
所以，在梁的横截面上一般既有正应力， 又有切应力.
内力
m m
FS
M
m
平面弯曲时横截面 纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况) 平面弯曲时横截面 横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况) F F
(Stresses in Beams) 二、分析方法 (Analysis method)
三、纯弯曲（Pure bending)
空心圆截面 W
πD
3
(1 )
4
α
d D
z y
32
(Stresses in Beams)
（2）对于中性轴不是对称轴的横截面 应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离
yc max 和 yt max 直接代入公式
σ My Iz
σ c max
yc max
σ t max
M
My t max Iz
y
应力分布规律： 直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴
的距离成正比.
待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径
?
(Stresses in Beams) 四、静力关系 (Static relationship）
横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，这一力系简化 得到三个内力分量. M
引用记号 W
Iz ymax
—抗弯截面系数
M W
则公式改写为
σmax
(Stresses in Beams)
（1）当中性轴为对称轴时
Iz d /2 πd / 64 d /2
4
实心圆截面 W


πd
3
d z
32
y
b
矩形截面
W
Iz h/ 2

bh / 12 h/ 2
3

bh 6
2
h
z y D d
1.在弹性范围内
(All stresses in the beam are below the proportional limit)
2.具有切应力的梁（The beam with the shear stress） l / h 5 3.平面弯曲（Plane bending） 4.直梁（Straight beams）
2
n
h b
z
若用刚度足够的螺栓将薄片联紧，杆就会象整体梁一样弯曲 最大正应力等于
σ max M max Wz Fl 1 6 bh
2

6 Fl bh
2
(Stresses in Beams)
§6-4 梁的切应力及强度条件(Shear stresses in beams and strength condition)
(Stresses in Beams)
讨论 （1）应用公式时，一般将 My 以绝对值代入. 根据梁变形的情 况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应 力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力（ 为负号）； （2）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处.
σ max M ymax Iz
M iz
A yE dA M
y
A y

2
dA M
E

Iz M
M E Iz

(Stresses in Beams)
将
1 M EI z

代入
σE
y

得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:
σ My Iz
M为梁横截面上的弯矩； y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；
Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.

(1.4cm )( 2cm )
3
1.07cm
4
(Stresses in Beams)
例题2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. 铸铁的许用 拉应力为 [t] = 30MPa ，许用压应力为[c] =160MPa. 已知截面 对形心轴z的惯性矩为 Iz =763cm4 ， y1 =52mm，校核梁的强度.
（1） 强度校核
M max W [σ ]
M max [σ ]
（2）设计截面 W
（3）确定许可载荷 M max W [σ ] 对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的 [σ t ] [σc ]
且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的
σ t max σ c max （两者有时并不发生在同一横截面上）
将应力表达式代入（1）式，得
FN
A
E
y

dA 0
E

A
ydA 0
S z ydA 0
A
中性轴通过横截面形心 将应力表达式代入（2）式，得
M iy y E
A
zE

dA 0
A 自然满足
E
1
yzdA 0
I yz
A yzdA 0
将应力表达式代入(3)式，得
若梁在某段内各横截面的弯矩为 常量，剪力为零，则该段梁的弯曲就
A C a
D
B
a
称为纯弯曲.
简支梁CD段任一横截面上，剪 力等于零，而弯矩为常量，所以该段
F
+ +
Fa
F
梁的弯曲就是纯弯曲.
+
(Stresses in Beams)
§6-2 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams )
观察变形， 提出假设
变形的分布规律
Distribution regularity of stress
应力的分布规律
static relationship
Establish the formula
建立公式
(Stresses in Beams) 一、实验（ Experiment）
1.变形现象（Deformation phenomenon ) 纵向线 各纵向线段弯成弧线， 且靠近顶端的纵向线缩短， 靠近底端的纵向线段伸长. 横向线 各横向线仍保持为直线， 相对转过了一个角度，
M B 4kN m
80
z
y2
120
y1
20
20
4kN
+ B截面
σ t max σ c max
M B y1 Iz M B y2 Iz
27.2MPa [σ t ] 46.2MPa [σ c ]
C截面
σ t max M C y2 Iz 28.8MPa [σ t ]
(Stresses in Beams)
例题3 由 n 片薄片组成的梁，当每
片间的磨擦力甚小时，每一薄片就 独立弯曲，近似地认为每片上承担
h b l
z
l
F
的外力等于 F / n
解：每一薄片中的最大正应力
F σ max M max Wz n 1 b( ) 6 n h
2
F
l
6 Fl bh
中性层 横截面对称轴
(Stresses in Beams) 二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）
dx
dx
O
d
O
x O y
b
z b 图（a）
y
O’
b’ z y
O’
x b’
图（b）
图（c）
bb ( + y )d

( + y )d d
矩为Fa；
3
A
B
C a
2a
（2）求惯性矩，抗弯截面系数
12
Iz ymax 1.07cm 1cm
Fa W z [σ ] F W z [σ ] a 3kN
φ14 φ30
4
12
1.07cm
3
+
Wz