高数王博+第一讲+函数极限连续

第一讲 函数 极限与连续【题型一】分段函数的复合函数[()]f g x【例1】设⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(x x x f ，⎩⎨⎧≤-<-=x x x x x g 1,21,2)(2试求)]([x g f ，)]([x f g .【详解】⎩⎨⎧><<≤=21,121,0)]([x x x x g f 或⎩⎨⎧≥-<=0,10,2)]([x x x f g 【例2】设1,1,()0,1,x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则[]{}()f f f x 等于 ( )(A)0 (B)1 (C)1,1,0,1,x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩ (D)0,1,1,1,x x ⎧≤⎪⎨>⎪⎩【答案】(B)【详解】因为1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，所以在整个定义域内()0()1f x f x ==或，所以()1f x ≤，于是[]()1f f x =，从而[]{}()()11ff f x f ==【例3】设函数⎩⎨⎧<-≥=.1,12,1,ln )(x x x x x f ，[]()y f f x =,则d d x eyx ==______ .【答案】应填e1. 【分析】本题主要考查抽象函数的复合，必须分段分层讨论.【详解】由⎩⎨⎧<-≥=.1,12,1,ln )(x x x x x f 得[]()y f f x=()1,2()1,() 1.f x f x f x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<≤-≥.1,34,1,1ln ,),ln 21ln(2122x x e x x e x x 因此()d ln 1d x ex e y x x=='=-=e x x =|1e1=. 应填 e 1.【题型二】函数的基本特性方法：综合应用函数特性的几种判别方法【例4】（99,1，2，3）设()f x 是连续函数，()F x 是()f x 的原函数，则 ( ) (A)当()f x 是奇函数时，()F x 必是偶函数。

(B)当()f x 是偶函数时，()F x 必是奇函数。

(C)当()f x 是周期函数时，()F x 必是周期函数。

(D)当()f x 是单调增函数时，()F x 必是单调增函数。

【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.()f x 的原函数()F x 可以表示为0()(),xF x f t dt C =+⎰于是()0()()().u txxF x f t dt C f u d u C =---=+=--+⎰⎰当()f x 为奇函数时，()()f u f u -=-，从而有()()()()xxF x f u du C f t dt C F x -=+=+=⎰⎰即 F (x )为偶函数. 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：2()f x x =是偶函数，但其原函数31()13F x x =+不是奇函数，可排除(B)；2()cos f x x =是周期函数，但其原函数11()sin 224F x x x =+不是周期函数，排除(C)；()f x x =在区间(,)-∞+∞内是单调增函数，但其原函数21()2F x x =在区间(,)-∞+∞内非单调增函数，可排除(D).类似题（05，1,2）设是连()F x 续函数()f x 的一个原函数，""N M ⇔表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( )(A)()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数. (B)()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数. (C)()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数. (D)()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数. 【详解】方法1：应用函数奇偶性的定义判定，函数()f x 的任一原函数可表示为⎰+=xC dt t f x F 0)()(，且).()(x f x F ='当()F x 为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-⋅-'，即)()(x f x f =--，亦即)()(x f x f -=-，可见()f x 为奇函数；反过来，若()f x 为奇函数，则0()()xF x f t dt C --=+⎰，令t k =-，则有dt dk =-所以 0()()()()()xxx F x f t dt C f k dk C f k dk C F x --=+=--+=+=⎰⎰⎰，从而 ⎰+=x C dt t f x F 0)()( 为偶函数，可见(A)为正确选项.方法2：排除法，令()1f x =, 则取()1F x x =+, 排除(B)、(C);令()f x x =， 则取21()2F x x =, 排除(D); 【例5】下列结论正确的是 （ ）（A ）1sinx x 在()0,+∞上是无界 （B ）0x →时211sin x x 是无穷大量 （C ）0sin x t dt t ⎰在(]0,2010上是无界 （D ）11sin x x在()0,+∞上是无界 【详解】对A ，函数1()sin f x x x =在()0,+∞上连续，而01lim sin 0x x x +→=，1lim sin 1x x x→+∞=，故1sin x x在()0,+∞上是有界对C ，函数()0sin x t f x dt t =⎰在(]0,2010上连续，而00sin lim 0x x t t+→=⎰，故0sin x tdt t ⎰在(]0,2010上是有界 或()sin x f x x '=，而0sin lim 1x x x+→=，()f x '在(]0,2010有界，所以()f x 在(]0,2010有界对D ，取10()22n x n n ππ=→→∞+，此时()22n f x n ππ=+→∞，所以11sin x x 在()0,+∞上是无界 对B ，取10()2n x n n π=→→∞，此时()0n f x =，即2011lim sin x x x→≠∞，故选D【例6】以下四个命题中正确的是（A ）若()f x '在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界； （B ）若)(x f 在)1,0(内连续，则)(x f 在)1,0(内有界； （C ）若()f x '在)1,0(内有界，则)(x f 在)1,0(内有界；（D ）若)(x f 在)1,0(内有界，则()f x '在)1,0(内有界。

【详解】解法1 直接法：由于)('x f 在)1,0(内有界，则)(x f 在)1,0(内有界，故选(C ). 解法2 排除法： 令x x f 1)(=，则21)('xx f -=，显然，()f x '和)(x f 都在)1,0(内连续，但)(x f 在)1,0(内无界，则（A ）（B ）都不正确. 令x x f =)(，显然)(x f 在)1,0(内有界，但xx f 21)(=在)1,0(内无界，则（D ）不正确.故应选(C)【例7】（04,3）设)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则下列结论中错误的是( )(A)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得()0()f x f a >. (B)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得()0()f x f b >. (C)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0'()0f x = (D)至少存在一点0(,)x a b ∈，使得0()0f x = 【详解】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，或应用举例法找出错误选项. 方法1：举例说明(D)是错误的. 例：2()4,11f x x x =--≤≤，11(1)220,(1)220x x f x f x =-=''-=-=>=-=-<.但在[1,1]-上()30f x ≥>.方法2：证明(A)、(B)、(C)正确.由已知)(x f '在[,]a b 上连续，且0)(,0)(<'>'b f a f ，则由介值定理，至少存在一点),(0b a x ∈，使得0)(0='x f ，所以选项(C)正确； 另外，由导数的定义0)()(lim)(>--='+→ax a f x f a f a x ，根据极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得0)()(00>--ax a f x f ，即)()(0a f x f >，所以选项(A)正确.同理，()()()lim 0x bf b f x f b b x-→-'=<-，根据极限的保号性，至少存在一点),(0b a x ∈使得)()(0b f x f >. 所以选项(B)正确，故选(D).【练习】设函数()f x 连续，且'(0)0f >，则存在0δ>，使得（ ） （A ）()f x 在()0,δ内单调增加 （B ）()f x 在()0,δ内单调减少 （C ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f > （D ）对任意的(0,)x δ∈有()(0)f x f <【例8】设(),()f x g x 是恒大于0的可导函数，且()()()()0f x g x f x g x ''-<，则当a xb <<时有（ ）（A ）()()()()f x g b f b g x > （B ）()()()()f x g a f b g x > （C ）()()()()f x g x f b g b > （D ）()()()()f x g x f a g a >【详解】令)()()(x g x f x F =，则0)()()()()()(2'''<-=x g x g x f x g x f x F ，)(x F 单调减，由b x a <<知)()(x F b F <，即)()()()(x g x f b g b f <，)()()()(x g b f b g x f <故应选（A ）。

【题型三】极限概念、性质及存在准则【例9】（03，1,2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.方法1：（推理法）由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：（排除法）取1n a n=，1n n b n -=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．【例10】（00,3）设对任意的x ，总有()()()x f x g x ϕ≤≤，且[]l i m ()()0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞( )(A)存在且一定等于零. (B)存在但不一定等于零.(C)一定不存在. (D)不一定存在. 用排除法. 令211)(x x -=ϕ，211)(x x g +=，1)(=x f 显然)()()(x g x f x ≤≤ϕ，且0)]()([lim =-∞→x x g x ϕ，此时1)(lim =∞→x f x 。