第一讲 函数极限连续1003

第一讲 函数、极限与连续一、考试要求1． 理解函数的概念，掌握函数的表示方法，会建立应用问题的函数关系。

2．了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3． 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4． 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。

5． 理解（了解）极限的概念，理解（了解）函数左、右极限的概念以及函数极限存 在与左、右极限之间的关系。

6． 掌握（了解）极限的性质，掌握四则运算法则。

7． 掌握（了解）极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握（会）利用两个重要极 限求极限的方法。

8． 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限。

9． 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 10． 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

11. 掌握（会）用洛必达法则求未定式极限的方法。

二、内容提要 1、函数（1）函数的概念: y=f(x)，重点：要求会建立函数关系.（2）复合函数: y=f(u), u=ϕϕ()[()]x y f x ⇒=，重点：确定复合关系并会求复合函数的定义域.（3）分段函数: 注意，)}(),(min{)},(),(max{,)(x g x f x g x f x f 为分段函数. （4）初等函数：通过有限次的四则运算和复合运算且用一个数学式子表示的函数。

（5）函数的特性：单调性、有界性、奇偶性和周期性 * 注：1、可导奇(偶)函数的导函数为偶(奇)函数。

特别：若)(x f 为偶函数且)0(f '存在，则0)0(='f 2、若)(x f 为偶函数，则⎰xdt t f 0)(为奇函数；若)(x f 为奇函数，则⎰xadt t f )(为偶函数；3、可导周期函数的导函数为周期函数。

特别：设)(x f 以T 为周期且)(0x f '存在，则)()(00x f T x f '=+'。

4、若f(x+T)=f(x), 且0)(0=⎰T dt t f ，则⎰xdt t f 0)(仍为以T 为周期的周期函数.5、设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则⎰⎰⎰-+==2/2/0)()()(T T TTa adxx f dx x f dx x f ，⎰⎰=TnTdxx f n dx x f 0)()(6、 若)(x f 为奇函数，则⎰-=a a dx x f 0)(；若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=aa adxx f dx x f 0)(2)(7、设)(x f 在),(b a 内连续且)(),(-+b f a f 存在，则)(x f 在),(b a 内有界。

2、 极限(1) 数列的极限： lim n n a A →∞=(2) 函数在一点的极限的定义：lim (),lim ()x x x f x A f x A →→∞==0(3) 单侧极限: 1) 左右极限f x f x (),()0000-+2) 极限存在的充要条件：lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A →→→=⇔==-+(4) 极限存在的准则1) 夹逼定理： 数列情形，函数情形 2) 单调有界数列必有极限(5)极限的基本性质：唯一性，保号性，四则运算 *1）极限不等式 )(lim )(lim )()(x g x f x g x f ≤⇒≤注：)(lim )(lim )()(x g x f x g x f <⇒<不成立 2）局部保号性,0)(lim 0>=→A x f x x 则在某)(00x U 内)2(0)(A x f >3）局部有界性 ,)(lim 0A x f x x =→则在某)(00x U 内)(x f 有界。

4）)0()()(lim →+=⇔=ααA x f A x f(6) 两类重要极限(7) 无穷小量与无穷大量1) 无穷小量; 2) 无穷大量; （注意与无界变量的差异） 3) 无穷小量与无穷大量的关系 (8) 无穷小量阶的比较 (9) 罗比达法则3、连续1) 连续的定义2) 区间上的连续函数 3) 间断点及其分类4) 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点定理三、 * 重要公式与结论1、常见极限不存在的情形：1) ,1sinlim 0x x x x -→,1coslim 0x x x x -→lim sin ,x x →∞lim cos x x→∞方法：用无穷小量乘有界变量 2） 01lim ,1arctanlim ,arctan lim x x x x x x x ax x x -→→∞→-方法：分-∞→+∞→x x ,或+-→→00,x x x x 讨论. 2 、 lim (),,lim ()x x n n n n f x A x x x f x A →→∞=⇔∀→=00有特别：若lim ()lim ()x n f x A f n A →+∞→∞=⇒=3、 无穷小量的等价代换 若0)(→x α，则有)(~),(~)](1ln[),(~)(tan ),(~)(sin )(x ex x x x x x x αααααααα+特别注意： kx x k ~1)1(-+（→0)，⎰xx tdt 0221~sin （0→x ）， ⎰+x x dt t 0221~)1ln( （0→x ）a eaaln ~11ln ααα-=-，αα21~11-+设0)(→x α，0)(→x β且α～α'，β～β' (1) )()(lim )()(lim x f x x f x αα'= (2) )()()(lim)()()(limx f x x x f x x βαβα''=(3) ααα~)(o +（0712）当+→0x 时，与x 等价的无穷小量是 （A ）xe -1 （B ）xx -+11ln（C ）11-+x （D ）x cos 1-4 、 若 .)(lim )(lim ,0)(lim )(B x g A x f B x g A x f =⇒=>=由此有 .)]1)((1[lim )1()(lim )()1)((lim )()1)((1)(1)(x g x f x g x f x f x g ex f x f --⋅-∞=-+=5、极限的形式与关系（1）A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=-+→→→)(lim )(lim )(lim 0（2）A x f x f A x f x x x ==⇔=-∞→+∞→∞→)(lim )(lim )(lim（3）A n f A x f n x =⇒=∞→+∞→)(lim )(lim ，A nf A x f n x =⇒=∞→→+)1(lim )(lim 06、若A x g x f =)()(lim，则 (i) 0)(lim 0)(lim =⇒=x f x g(ii) 0)(lim 0,0)(lim =⇒≠=x g A x f若A x g x f =)()(lim ，则(i) 0)(lim )(lim =⇒∞=x g x f(ii) ∞=⇒≠=)(lim 0,0)(lim x g A x f 7、设)(x f 在0x 处连续，则（1）)()(lim )(lim ),()(lim 000x f x f x f x f x f x x x x x x ===-+→→→（2）A x f x f A x x x f x x ='=⇔=-→)(,0)()(lim0000（3）0)(,0)()1()()(lim0000='=⇒>=-→x f x f k A x x x f kx x （4）)(,0)()10()()(lim0000x f x f k A x x x f kx x '=⇒<<=-→不存在四、 典型题型与例题题型一、 函数的概念和性质 例1、设1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则{[()]}f f f x =（A ） 0 （B ） 1 （C ） 11,10,x x ≤⎧⎨≥⎩ （D ） 10,11,x x ≤⎧⎨≥⎩例2、对下列函数 （1）2sin x x（2）12111xx ex --- （3） arctanln(1)x x x -在（0，1）内有界的有（ ）个 （A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3例3、（0434）函数2sin(2)()(1)(2)x x f x x x x -=--在下列哪个区间内有界（A ）（-1，0） （B ）（0，1） （C ） （1，2） （D ）（2，3）例4、（0534）以下四个命题中正确的是（ ） （A ） 若'()f x 在（0，1）内连续，则()f x 在（0，1）内有界 （B ） 若()f x 在（0，1）内连续，则()f x 在（0，1）内有界 （C ） 若'()f x 在（0，1）内有界，则()f x 在（0，1）内有界 （D ） 若()f x 在（0，1）内有界，则'()f x 在（0，1）内有界例5、（051、2）设()F x 是连续函数()f x 的一个原函数，则必有 （A ）()F x 是偶函数⇔()f x 是奇函数 （B ）()F x 是奇函数⇔()f x 是偶函数（C ）()F x 是周期函数⇔()f x 是周期函数 （D ）()F x 是单调函数⇔()f x 是单调函数题型二、 极限的概念和性质 例6、 当0x →时，311cosxx是（A ） 无穷小 （B ）无穷大（C ）有界的但不是无穷小（D ）无界的但不是无穷大例7、设对n ∀，总有n n n y x z ≤≤，且lim ()0n n n z y →∞-=，则 lim n n x →∞（A ） 存在且等于0 （B ）存在但一定不为0 （C ）一定不存在 （D ）不一定存在例8、已知()f x 在0x =处连续，且2sin ()lim ()2x x f x xx→+=，求'(0),(0)f f题型三、求函数的极限 基本思路： 1、先化简（1）约掉零因子（无穷因子） （2）提出极限不为零的因子 （3）根式有理化 （4）无穷小替换（5）变量替换（尤其是倒代换） 2、再用洛必达法则或其它求极限的方法 3、上述步骤可重复进行 1、 常规方法： 1) 运算法则，2)无穷小量等价代换， 3）洛必塔法则1）用运算法则应注意的问题 例9、 求极限 limsin x x x x x x→-∞+-+++41122例10、 求极限))1ln(sin 12(lim 41x x e e xxx ++++→罗毕达法则1、00或∞∞型1、先化简2、用洛必达法则、四则运算法则、泰勒公式3、综合题（结合导数的定义等） 例11、求 lim(3sin cos )(1cos )arctan[ln()]()x xxt t tdtx t dt →+++⎰⎰021100例12、 求极限 limln(1sin )()sin x x xe ex →-+0300例13、（042）求极限312cos lim [()1]3xx xx→+-例14、（0734）3231lim(sin cos )2xx x x x x x→+∞++++=罗毕达法则2、1∞ 型1∞型未定式有两种处理方法lim ()lim {(())}()()(())()lim [()]()f x f x eg x f x f x g x f x g x =+-=--⋅-111111或 lim ()lim ()()ln ()lim ()ln ()f x e e g x f x g x f x g x ==例15、求2sin2lim (cos )x x x -→例16、11lim (sincos)xx xx→∞+例17、（101）极限2lim ()()xx xx a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦(A)1 . (B)e . (C)a b e -. (D)b a e -. 【 】罗毕达法则3、其他类型000,,0,⋅∞∞-∞∞ 1、∞⋅0型转化为⎪⎭⎫⎝⎛∞∞00型，用洛必达法则等 2、∞⋅⋅=∞=ln 000ln 00,0e e3、∞-∞型 (i) 通分 (ii) 变量替换（重点倒代换） 转化为⎪⎭⎫⎝⎛∞∞00型。