2015函数、极限与连续习题加答案

2015函数、极限与连续习题加答案制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续2 第一章 函数、极限与连续第一讲：函数一、是非题1．2x y =与xy =相同；2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（ ）3.凡是分段表示的函数都不是初等函数； （ ）4. )0(2>=x x y 是偶函数；（ ）5.两个单调增函数之和仍为单调增函数； （ ）6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续3 （ ）7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域； （ ）8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。

（ ） 二、填空题1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ϕ=的图形关于 对称；2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2+x f 的定义域是 ； 3.122+=xxy 的反函数是 ；4.1)(+=x x f ，211)(x x +=ϕ，则]1)([+x f ϕ＝ ， ]1)([+x f ϕ＝ ； 5.)2(sin log2+=x y 是由简单函数 和复合而成； 6.1)(2+=xx f ，x x 2sin )(=ϕ，则)0(f ＝ ，___________)1(=af ，___________)]([=x f ϕ。

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续4 三、选择题1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（ ）A 、x 3sin B 、13+x C 、xx +3D 、xx -32.设54)(2++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（ ）A 、1B 、－1C 、2D 、－23.)sin()(2x xx f -=是（ ）A 、有界函数B 、周期函数C 、奇函数D 、偶函数 四、计算下列各题1.求定义域523arcsin3xx y -+-=2.求下列函数的定义域制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续5 (1)342+-=x x y(2)1142++-=x x y(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =3.设2)(x x f =，xe x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g xf f x fg x g f ；4.判断下列函数的奇偶性制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续6 (1)3)(-=x x f (2)xx f )54()(=(3) xx x f -+=11lg)( (4)x x x f sin )(=5.写出下列函数的复合过程 (1))58(sin 3+=x y (2))5tan(32+=x y(3)212x y -= (4))3lg(x y -=制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续76.设⎩⎨⎧≥<=.1,0,1,)(x x x x ϕ求)51(ϕ，)21(-ϕ，)2(-ϕ，并作出函数)(x y ϕ=的图形。

第二讲：极限概念一、是非题1.在数列{}na 中任意去掉或增加有限项，不影响{}n a 的极限； （ ）2.若数列{}nn b a 的极限存在，则{}na 的极限必存在； （ ）3.若数列{}nx 和{}ny 都发散，则数列{}n ny x+也发散； （ ）4.若0)(lim =⋅∞→nnn v u ，则必有0lim =∞→nn u 或0lim =∞→nn v。

（ ）制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续8 5.若Ax f x x =→)(lim 0，则Ax f =)(0；（ ） 6.已知)(0x f 不存在，但)(limx f x x →有可能存在；（ ）7.若0()f x +与0()f x -都存在，则)(limx f x x →必存在；（ ） 8.2arctan lim π=∞→x x ；（ ） 9. 0lim =-∞→x x e ；（ ）10.非常小的数是无穷小； （ ） 11.零是无穷小；（ ）12.无限变小的变量称为无穷小； （ ）13.无限个无穷小的和还是无穷小。

（ ） 二、填空题制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续9 1.______________)1(lim =-+∞→n n n ； 2.______________2sin lim=∞→nn n π；3.______________])1(4[lim 2=-+∞→nnn ；4.______________31lim=∞→nn ；5.______________)12(lim 1=-→x x ；6.______________11lim2=+∞→x x ；7. ___________cos lim 0=→x x ，___________cos lim =∞→x x ；8.设⎩⎨⎧+=,,)(b ax e x f x 00>≤x x ，则(0)_________,(0)_________f f +-==，当_____=b 时，1)(lim 0=→x f x 。

9.设11+=x y ，当____→x 时，y 是无穷小量，当____→x 时，y 是无穷大量；10.设)(x α是无穷小量，)(x E 是有界变量，则)()(x E x α为；11. A x f x x =→)(lim 0的充分必要条件是当0x x →时，Ax f -)(为 ；12._____________1sin lim 0=→x x x ；1lim sin _____________x x x→∞=。

制题人： 兰 星 第一章 函数、极限与连续10 三、选择题1.已知下列四数列： ①、2=nx；②、132+=n xn；③、132)1(1+-=+n xn n；④、1313)1(1+--=-n n xn n则其中收敛的数列为（ ）A 、①B 、①②C 、①④D 、①②③2.已知下列四数列： ①、ΛΛ,)1(,,1,1,1,11+---n ②、ΛΛ,21,0,,21,0,21,0,21,032n③、ΛΛ,12,11,,34,31,23,21+++n n n ④、ΛΛ,,,2,1n 则其中发散的数列为（ ）A 、①B 、①④C 、①③④D 、②④3.⎪⎩⎪⎨⎧=-,10,17nx n 为偶数为奇数n n ，则必有（ ）A 、0lim =∞→nn xB 、710lim -∞→=nn xC 、⎩⎨⎧=∞→为偶数，为奇数－n n xnn 710,0lim D 、nn x ∞→lim 不存在4.从1)(lim 0=→x f x x 不能推出（ ） A 、1)(lim0=→x f x x －B 、0()1f x+＝C 、1)(0＝x f D 、01)(lim 0=→】－【x f x x5.设⎩⎨⎧+=,2,1)(x x f 0=≠x x ，则)(lim 0x f x →的值为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在6. 当1→x 时，下列变量中是无穷小的是（ ） A 、13-xB 、x sinC 、xe D 、)1ln(+x7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（ ）A 、)(132+∞→+x x x B 、)(ln +∞→x xC 、ln (0)x x +→ D 、)(2cos 1∞→x nxx8.若∞=→)(limx f x x ，∞=→)(lim 0x g x x ，则下列极限成立的是（ ）A 、∞=+→)]()([lim 0x g x f x x B 、0)]()([lim 0=+→x g x f x xC 、∞=+→)()(1limx g x f x x D 、∞=→)()(limx g x f x x9.以下命题正确的是（ ） A 、无界变量一定是无穷大 B 、无穷大一定是无界变量C 、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增D 、不趋于无穷大的变量必有界 10.xx e10lim →（ ）A 、等于0B 、等于∞+C 、等于1D 、不存在11.下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（ ）； A 、xxx x sin 1sin lim20→ B 、xxx sin 11lim 1--→ C 、x x x x x sin sin lim -∞→ D 、)arctan 2(lim x x x -+∞→π四、设xx x f 2)(=，回答下列问题：1.函数)(x f 在0=x 处的左、右极限是否存在？2.函数)(x f 在0=x 处是否有极限？为什么？3.函数)(x f 在1=x 处是否有极限？为什么？五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？1.)(12∞→+x x x； 2.)0(13→-x xx ；3.)0(ln →x x ；4.)0(1→x ex六、当+∞→x 时，下列哪个无穷小与无穷小x1是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小x 1是等价无穷小？哪个无穷小是比无穷小x 1高阶的无穷小？ 1.x 21， 2.21x ， 3. x1第三讲：极限的求法一、是非题1.在某过程中，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f +无极限； （ ）2.在某过程中，若)(x f ，)(x g 均无极限，则)()(x g x f +无极限； （ ）3.在某过程中，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f 无极限； （ ）4.在某过程中，若)(x f ，)(x g 均无极限，则)()(x g x f 无极限； （ ）5.若Ax f x x =→)(lim，0)(lim 0=→x g x x ，则)()(limx g x f x x →必不存在；（ ）6. 0lim 2lim 1lim 321lim2222=+++=++++∞→∞→∞→∞→nnn n n n n n n n ΛΛ；（ ） 7. 01sin lim lim 1sinlim 000=⋅=→→→xx x x x x x ；（ ）8.0lim 3lim )3(lim 22=∞-∞=-=-∞→∞→∞→x x x x x x x ； （ ）9.1sin lim=∞→xxx ； （ ）10.e xx x =-∞→)11(lim .（ ）二、计算下列极限1.113lim 21++-→x x x ； 2. 121lim 221---→x x x x ；3.1312lim 22+++∞→x x x x ； 4.212lim x x x +∞→ ；5.2232)2(2lim-+→x x x x ；6.)1311(lim 31xx x ---→ ； 7.)11(lim 22+--++∞→x x x x x ；8.2)1(321lim n n n -++++∞→Λ ；9.500200300)12()23()12(lim +--∞→x x x x ； 10.xxx x x 1arctan1sin 2lim2++∞→ ；11.xx x x x 2tan 3sin lim0++→ ； 12.xx x 20)31(lim -→ ；13.)0(2sin2lim ≠∞→x xn n n ；14.)sin 11sin (lim 0x xx x x +→ ； 15.30sin tan limx xx x -→ ；16.xx x x )21(lim ++∞→ ；三、求函数的极限 （1）52432)76()23()34(lim +--∞→x x x x ； （2）xx x x x sin cos 2lim-+∞→；（3）xx x x 2sin 3tan lim20→； （4）xx x 3cot 5sin lim π→；（5）x x xx 10)121(lim +-→； （6）xx x x ox 23151lim2+--+→四、求数列的极限： （1）nn n n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→21lim ； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-∞→111lim 3n n n n ；（3）)(lim nb na n e en -∞→，其中b a ,为正的常数。