高中物理双弹簧振子问题研究
用v—t图像破解弹簧双振子问题
用v—t图像破解弹簧双振子问题作者：武莲实来源：《中学生数理化·学研版》2015年第05期弹簧双振子是高中物理的重要物理模型之一其特点是质点在振动过程中无固定的悬点。
本模型涉及力和运动动量和能量等多方面的联系。
下面就常见的三类弹簧双振子问题来分析它们运动的一般规律。
一、系统质心静止不动质心系中物体相对质心做简谐振动图例如图所示两物体A、用轻质弹簧相连静止在光滑水平面上现同时对A、两物体施加等大反向的水平恒力F、F使A、同时由静止开始运动在运动过程中对A、两物体及弹簧组成的系统正确的说法是整个过程中弹簧不超过其弹性限度））。
A。
机械能守恒。
机械能不断增加C。
当弹簧伸长到最长时系统的机械能最大D。
当弹簧弹力的大小与F、F的大小相等时A、两物体速度为零。
解析：F、F加在A、上以后A、向两侧做加速度a=F-kx减小的加速运动。
当F=kx后加速度为零速度达到最大以后kx>FA、向两侧做减速运动到速度减为零时弹簧伸长到最长以后弹簧伸长量减小F、F开始做负功则系统的机械能减少。
从A、开始运动到弹簧伸长到最长的过程F、F都一直做正功使系统的机械能增加以后再分别沿原来的反方向先做加速运动再做减速运动速度同时减小到零后重复上述过程显然在F=F=kx时A、两物体的速度最大动能最大。
在整个过程中F与F既有做正功的过程也有做负功的过程所以机械能既有增加的过程又有减少的过程则只有C正确。
v-t如图所示图在t=0时刻A向左运动向右运动t时刻两个速度均达最大t时刻两物速度均为零弹簧拉到最长F、F做正功系统的机械能最大t3到t时间内F、F均做负功t时刻两物体回到原位置。
答案为C。
二、系统质心做匀速直线运动质心系中物体相对质心做简谐振动图3例如图3所示质量相等的a、b两木块用轻弹簧连接静止在光滑的水平面上现给木块b一个向左的初速度此后）。
A。
弹簧有最大压缩量时a的速度一定比b的速度大。
弹簧有最大伸长量时两木块的速度都等于零C。
“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用
“弹簧双振子模型”在物理竞赛中的应用简谐运动在高中阶段的物理学习中占据重要地位，其中“弹簧双振子模型”是师生共同面对的较为艰深的问题，出错率较高，在物理竞赛中是重要的考点。
“弹簧双振子模型”是简谐运动的理想模型。
该模型在运动过程中，设计机械能转化、动量、周期性变化等内容，是物理竞赛中频繁出现的知识，目的就是为了考验参赛者对于各部分知识的综合运用能力。
笔者将在下文探讨“弹簧双振子模型”的含义以及该模型在物理竞赛中的应用。
标签：弹簧双振子模型；物理竞赛；应用；动量；机械能一、“弹簧双振子模型”的含义振动是自然界中常见的物理现象，物理教学中对于振动部分的教学，一般将其提炼为质点沿弹簧方向振动的模型进行讨论。
实际生活中，较为理想的影响因素较少的简谐运动并不常见，质点除了在弹簧方向的振动以外，还会受到不同方向外力影响。
例如两个孩子手拉手在冰面上活动，冰面情况不可能为理想的阻力为零的情况。
对于这类问题，可以建立弹簧双振子模型进行研究，讨论其在其他方向的小振幅振动。
“弹簧双振子模型”一般由一个弹簧与两个振子组成。
振子质量远远大于弹簧质量，研究模型时忽略弹簧质量对模型的影响。
弹簧对振子产生的力为变力，力随着弹簧拉升压缩不停变化，振子运动遵循胡克定律，为简谐运动。
如果力是一直变化的，那么运用牛顿力学定律解决问题则不太实用，经典力学所需条件较为理想，采用动量守恒与能量守恒部分知识更容易解决弹簧双振子模型的问题。
近年来的物理竞赛频频出现“弹簧双振子模型”相关问题，表明了竞赛思想在于锻炼学生知识综合运用能力。
二、高中物理中弹簧特性在高中物理阶段，弹簧的弹力是变力，弹簧产生的弹力遵循胡克定律：F=-kx。
其中x是弹簧形变的大小而非弹簧的位移，符号表示的是弹簧的弹力与形变方向是相反的。
中学阶段，学生已经学习了势能知识，弹簧具有弹性势能，弹性势能的表达式为对于量是没有要求的，这就要求在高中物理阶段需要定量探讨弹簧问题，需要通过动量守恒、能量守恒等知识来进行量化。
关于实际弹簧振子运动特性的研究(精)
关于实际弹簧振子运动特性的研究摘要：本文分析和研究了实际弹簧振子的运动特性，即在考虑弹簧振子自身的质量和在运动过程中遇到摩擦阻力等情况下，对其振动的性质、周期、振幅等特性的影响，并得出了定量的表达式，同时文中对弹簧振子运动时所具有的能量也作了比较全面的论述。
这将为物理课程中该问题的教学提供了良好的参考作用。
关键词：弹簧；质量；摩擦力；系统能量等。
0 引言在一般的物理书籍中，当述及到弹簧振子的特性时，为了讨论问题的方便，往往都是忽略了弹簧振子的质量和物体在运动时所受到的摩擦阻力的,但在实际问题中却往往不是这样，下面我们将对上述两个因素对弹簧振子运动特性的影响作系统的分析和研究，同时对平时较为少见的实际弹簧振子运动时所具有的能量问题也作了全面的论述。
1 实际弹簧振子的运动特性在一般教学和研究中涉及弹簧振子时，通常都是指轻弹簧[1]，即在这种理想条件下抽象出弹性集中于弹簧，质量集中于振子，没有运动阻力的理想弹簧振子模型。
分析它的动力学特点，易知弹簧振子系统在运动中只受到回复力F=－kx的作用，简谐振动的固有周期公式T=2πm 。
如果弹簧振子受到的摩擦力或弹簧质量不能忽略，那么这两种因素k对弹簧振子的振动[2]到底会有什么影响呢？下面我们分别加以讨论。
1.1摩擦力对弹簧振子振动的影响为简化该问题的讨论，我们不考虑弹簧质量对系统振动的影响，即忽略弹簧质量。
设弹簧的倔强系数为k，振子与杆的滑动摩擦系数为μ，静摩擦系数为μ'，弹簧振子的质量为m，x轴方向如图弹簧振子在运动过程中所受摩擦力大小f=μmg，其方向与振子运动方向相反。
如果我们用符号SignA表示某任意值A的正负号，则f=-μmg（Sign这样，当dx）dtdxdx>0时，f=-μmg；当<0时，f=μmg； dtdtdxdxd2x当≠O时，弹簧振子的运动方程为：-kx-μmg（Sign）=m dtdtdt2kdxd2x即2+（）x=-μg（Sign） mdtdtkdxd2x2令ω=，则有2+ωx=-μg（Sign）（1） mdtdt2设t=0时，x=x0，dx=0（此时摩擦力不应超过最大静摩擦力μ'mg，因为dtμ<μ'），为了使振子开始运动，必须使拉振子回到平衡位置的弹簧的反作用力大小超过静摩擦力，即k |x0|>μ'mg，|x0|>μ'mgk0这个不等式的成立表明振子已偏离平衡位置一段足够远的距离。
弹簧振子一种复杂实验现象的机理分析与改进拓展
弹簧振子一种复杂实验现象的机理分析与改进拓展摘要]：笔者通过对一个课堂实验案例的反思，提出教师应该合理看待课本实验，要善于发现问题、善于多思多做找出实验中可能出现的现象，同时能应用创造性思路改进开发实验，找到一个清晰、简单的符合学生学习实际的实验装置。
本文结合笔者自身的教学实际，是运用科学的方法解决问题，挖掘拓展课本素材的一个很好典范。
[关键词]：弹簧振子弹簧摆机理分析改进拓展一、问题的提出课堂案例：笔者曾在一位新教师的课堂听课时，恰好遇到该老师讲弹簧振子固有周期，老师照搬了人教版选修3-4课本p6的随堂实验，但在实验过程中却出现了当弹簧振子上下振动一定次数就会开始左右摆动，然后又上下振动相同次数再左右摆动……如此往复的现象。
遇到此现象时学生追问原因，老师可能没有备好课就说是铁架台不稳定晃动造成的。
接着老师要求同学硬着头皮数下去，把左右摆动和上下振动的次数加在一起作为全振动的次数算周期。
但教室里面学生的学习情绪分明已经不好了，甚至有学生嘀咕“研究竖直和左右振动交替的现象与原因，比老师想演示与分析的实验好多了”。
为什么一个好好的本该精彩的实验却出现了问题呢？教材再现：人教版选修3-4课本p6的“做一做”：如图1，弹簧上端固定，下端悬吊钢球。
把钢球从平衡位置向下拉一段距离A，放手让其运动，A就是振动的振幅。
用秒表测出钢球完成n个全振动所用的时间他t，就是振动的周期。
n的值取的大一些可以减少周期的测量误差。
再把振幅减小为原来的一半，用同样的方法测量振动扽年的周期。
通过这个实验你有什么发现？由此你对简谐运动的周期与振幅的关系有什么猜想？问题发现：但笔者在反复的试验和教学中发现该实验有以下问题:问题一:书上前一节是以水平弹簧振子为例，而本实验却以竖直弹簧振子为例。
竖直弹簧振子的振动是否为简谐振动，这对学生难于理解，形成教学难点。
问题二:通过竖直弹簧振子得出的结果能否对各种弹簧振子成立，是否对所有简谐运动都成立，若教师只以一个实验结果作为普遍结论未免显得太单薄。
弹簧振子的实验观察与分析
弹簧振子的实验观察与分析弹簧振子是物理学中经常进行实验观察与分析的一个经典实验。
在这个实验中，我们通过悬挂一个质点与弹簧相连接的系统，并给质点一个初始位移，观察质点的运动情况并进行分析。
本文将对弹簧振子的实验观察与分析进行详细阐述。
首先，我们通过实验搭建一个弹簧振子的实验装置。
装置主要包括一个弹簧、一个挂钩和一个质点。
我们将弹簧的一端固定在一个支撑物上，将挂钩与质点连接，并将挂钩悬挂在弹簧的另一端。
然后，我们给质点一个初始位移，使其偏离平衡位置。
接下来，我们记录下质点在不同时间点的位置，并观察其振动的性质。
在实验过程中，我们可以观察到弹簧振子的几个重要现象。
首先，我们看到质点在偏离平衡位置时会产生一个向平衡位置回复的力。
这个力称为恢复力，它的大小与质点的位移成正比。
当质点偏离平衡位置越远时，恢复力越大，使得质点的振动幅度减小。
其次，我们注意到质点在运动过程中会以一定的频率来回振动，这个频率称为振动频率。
振动频率与弹簧的劲度系数和质点的质量有关。
最后，我们还可以观察到质点在振动过程中具有一个最大位移，这个最大位移称为振幅，它决定了质点振动的强弱。
下面，我们对弹簧振子的观察现象进行进一步分析。
我们可以根据牛顿第二定律来解释弹簧振子的运动。
根据牛顿第二定律，质点所受的合力等于质量乘以加速度。
在弹簧振子中，质点所受的合力可以分解为重力和弹簧的恢复力两部分。
因为质点的运动是在竖直方向上进行的，所以我们只需要考虑竖直方向上的受力。
合力等于重力减去恢复力，即m * a = m * g - k * x其中，m是质点的质量，a是质点的加速度，g是重力加速度，k是弹簧的劲度系数，x是质点的位移。
根据上面的方程，我们可以解析地求解质点的振动情况。
从方程可以看出，质点的振动频率与弹簧的劲度系数和质点的质量有关，而与质点的振幅无关。
这意味着，不论质点的振幅大小如何，其振动频率始终保持不变。
这个现象被称为弹簧振子的简谐性。
探析弹簧双振子的运动规律
难点挑战Җ㊀湖南㊀胡连冬㊀㊀弹簧振子的运动问题涉及运动和力的关系㊁动量能量观念．尤其是 弹簧双振子 运动问题,其运动情况较为复杂,物理情境难以想象,因此 弹簧双振子运动问题往往成为历年中学物理竞赛的题型之一．１㊀弹簧振子的定义如图１所示,把轻弹簧的一端固定,另一端连接小球(或滑块),当轻弹簧发生形变后,小球或滑块就在平衡位置附近做往复运动,这种现象叫简谐振动,其中弹簧和小球(或滑块)组成的系统称为弹簧振子．如图２所示,在轻弹簧的两端各连接一个小球,当弹簧发生形变后,该系统中的两个小球就相对系统的质心做简谐振动,这样的系统称为 弹簧双振子模型 ,弹簧振子是一种理想化模型．图１图２２㊀弹簧振子的运动问题２ １㊀弹簧单振子运动规律在如图１所示的弹簧单振子模型中,振子在回复力作用下做简谐振动,振子相对平衡位置的位移和速度可分别表示为x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),其中A 为振子的振幅,振子的频率ω＝k m ,振子的周期T ＝２πmk ,φ０为初相,t 为振动时间,k 为弹簧劲度系数．A 和φ０由初始条件决定．２ ２㊀弹簧双振子运动规律１)弹簧双振子系统质心处于静止状态例１㊀将原长为l ０㊁劲度系数为k 的轻弹簧连接A ㊁B 两振子,A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２．将弹簧压缩为l 后锁定置于光滑水平面上,如图３所示．当弹簧突然解除锁定后,试分析振子A ㊁B 的运动情况．图３压缩的弹簧解除锁定后,系统在水平方向上不受外力,且系统的总动量为零,根据动量守恒定律可知,系统质心C 的速度为零．若弹簧锁定时质心C 到两振子的距离分别为l １和l ２．如图３所示,由系统质心位置分布规律得m １l １＝m ２l ２,l １＋l ２＝l ,则l １＝m ２l m １＋m ２,l ２＝m １lm １＋m ２．当弹簧处于原长时,质心C 到两振子的距离分别为l １０和l ２０．如图４所示,同理可得弹簧处于原长时,两振子离质心C 的距离l １０＝m ２l ０m １＋m ２,l ２０＝m １l ０m １＋m ２．图４把两振子之间的轻弹簧等效为两根原长分别为l １０和l ２０的轻弹簧在质心C 处串联,两根轻弹簧对应的劲度系数分别为k １和k ２．这两根轻弹簧的形变量为x １＝l １０－l １,x ２＝l ２０－l ２．整根弹簧的形变量x ＝x １＋x ２．由胡克定律得F ＝k １x １＝k ２x ２＝k x ,①则１k ＝１k １＋１k ２．②结合质心位置分布规律有m １x １＝m ２x ２．③由式①③得k １m １＝k ２m ２．④由式②④得k １＝m １＋m ２m ２k ,k ２＝m １＋m ２m １k ．⑤㊀㊀弹簧解除锁定后,振子A ㊁B 分别在质心C 两边２４难点挑战轻弹簧的弹力作用下相对质心C 做简谐振动,两振子振动的频率和周期均相同,即ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以水平向右为x 轴正方向,根据弹簧单振子的振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合两振子的初始条件x A ０＝m ２m １＋m ２(l ０－l ),v A ０＝０,x B ０＝－m １m １＋m ２(l ０－l ),v B ０＝０．分别求得两振子振动的位移和速度:x A ＝m ２(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v A ＝－m ２ω(l ０－l )m １＋m ２s i n ωt ,x B ＝－m １(l ０－l )m １＋m ２c o s ωt ,v B ＝m １ω(l ０－l )m １＋m ２si n ωt ．㊀㊀图５㊀㊀A ㊁B 两振子的速度 时间图象如图５所示(振幅不一定相同,由振子质量决定)．２)弹簧双振子系统质心处于匀速直线运动状态例２㊀如图６所示,振子A ㊁B 和轻弹簧连接静止在光滑水平面上,两振子A ㊁B 质量分别为m １㊁m ２,C 表示系统的质心位置,现给A 一个水平向右大小为v ０的初速度,试分析A ㊁B 两物块的运动情况．图６A ㊁B 和弹簧组成的系统动量和能量守恒,即m １v ０＝(m １＋m ２)v C ．质心C 做匀速直线运动的速度v C ＝m １v ０m １＋m ２．由例１分析可知A ㊁B 两物块相对质心做简谐振动,振动的频率和周期均不变,其中ω＝m １＋m ２m １m ２k ,T ＝２πm １m ２(m １＋m ２)k．以质心C 为坐标原点O ᶄ,v ０的方向为正方向,建立质心坐标系,如图７所示．在任意时刻t ,A 相对质心C 的速度v A 相＝v ０－v C ＝m ２v ０m １＋m ２,A 在质心坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x A 相＝０．图７由单振子振动方程x ＝A c o s (ωt ＋φ０),v ＝－A ωs i n (ωt ＋φ０),结合初始条件可以得到物块A 相对质心C 的振动方程为x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωc o s (ωt ＋３π２),v A 相＝－m ２v ０m １＋m ２s i n (ωt ＋３π２)．即x A 相＝m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v A 相＝m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．A 相对质心C 的位置为x ᶄA ＝m ２l ０m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．如果以t ＝０时刻B 物块所在位置为坐标原点,向右为x 正方向建立如图７所示的地面坐标系,则在任意时刻A 的坐标x A ＝x ᶄA ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x A ＝l ０＋m １v ０t m １＋m ２＋m ２v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ．⑥A 相对地面坐标系的速度v A ＝m １v ０m １＋m ２＋m ２v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑦㊀㊀在t ＝０时刻,B 物块相对质心C 振动的初始条件为v B 相＝－m １v ０m １＋m ２,x B 相＝０,则B 相对质心C 的振动方程x B 相＝－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,v B 相＝－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．同理可得B 物块在任意时刻t 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置x ᶄB ＝－m １l ０m １＋m ２－m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,B 相对地面参考系O x 的位置为x B ＝x ᶄB ＋m １l ０m １＋m ２＋v C t ,即x B ＝m １v ０m １＋m ２t －m １v ０(m １＋m ２)ωs i n ωt ,⑧B 物块相对地面参考系的速度v B ＝m １v ０m １＋m ２－m １v ０m １＋m ２c o s ωt ．⑨３４难点挑战㊀㊀由式⑦⑨可作出A ㊁B 物块在质量m １＝m ２时相对地面的v Ｇt 图象,如图所示．图８３)弹簧双振子系统质心处于匀变速直线运动状态㊀㊀图９例３㊀劲度系数为k 的轻弹簧两端各系质量为m A 和m B 的小球A ㊁B ,A 用细线悬于天花板上,系统处于静止状态．如图９所示,此时弹簧长度为l ,现将细线烧断,并以此时为计时起点,试分析任意时刻两小球的运动情况(系统距地面足够高)．㊀图１０若弹簧的自由长度为l ０,细线烧断前弹簧的伸长量Δl ＝l －l ０＝m Bg k．细线烧断后系统做自由落体运动,即质心C 做自由落体运动,小球A ㊁B 相对质心C 做简谐振动,它们的频率和周期均相同,其中ω＝m A ＋m Bm A m Bk ,T ＝２πm A m B(m A ＋m B )k ,以质心C 为坐标原点,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的质心参考坐标系O ᶄx ᶄ．以烧断细线瞬间为计时起点,在t ＝０时刻小球A 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离x ０＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B ＝m ２Bg k (m A ＋m B )．A 相对平衡位置的速度v ０＝０．由弹簧单振子的振动方程可得A 球相对质心的振动方程分别为x A 相＝m ２Bgk (m A ＋m B )c o s (ωt ＋π)＝－m ２Bgk (m A ＋m B )c o s ωt ,v A 相＝－m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n (ωt ＋π)＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀在任意时刻t ,A 球在质心坐标系O ᶄx ᶄ中的位置和速度分别为x ᶄA ＝－m B l ０m A ＋m B －m ２Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄA ＝m ２Bg ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀以烧断细线时A 所在位置为坐标原点O ,竖直向下为正方向,建立如图１０所示的地面参考坐标系O x ．则在任意时刻A 在O x 坐标系中的位置和速度分别为x A ＝m B l m A ＋m B －m B l ０m A ＋m B －m ２B gk (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２g t ２＝m ２B g k (m A ＋m B )(１－c o s ωt )＋１２g t ２,v A ＝m ２B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．㊀㊀以烧断细线时刻为计时起点,B 在质心参考坐标系O ᶄx ᶄ中相对平衡位置的距离和速度分别为x ０＝m A l m A ＋m B －m A l ０m A ＋m B ＝m A m B g k (m A ＋m B )．v ０＝０．㊀㊀同理可得B 相对质心的振动方程分别为x B 相＝m A m Bg k (m A ＋m B )c o s ωt ,v B 相＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀任意时刻B 相对质心坐标系O ᶄx ᶄ的位置和速度分别为x ᶄB ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ,v ᶄB ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ．㊀㊀因此任意时刻t ,B 相对地面坐标系O x 的位置为x B ＝m A l ０m A ＋m B ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋m B l m A ＋m B ＋１２gt ２．把l ０＝l －Δl 及Δl ＝m Bg k代入得x B ＝l －m A m B g (m A ＋m B )k ＋m A m B g k (m A ＋m B )c o s ωt ＋１２gt ２．B 相对地面坐标系O x 的速度为v B ＝－m A m B g ωk (m A ＋m B )s i n ωt ＋g t ．综上所述,弹簧双振子具有相似的运动规律,双振子的运动是振子相对系统质心的简谐振动和系统质心某种运动的合运动．(作者单位:湖南长沙宁乡市第七高级中学)４４。
物理模型在弹簧双振子问题中的应用
作者： 黄书鹏
作者机构： 漳州一中,福建漳州363000
出版物刊名： 物理教师：高中版
页码： 7-9页
主题词： 弹簧双振子问题 物理模型 模型应用 简谐振动 弹簧问题 变力作用 牛顿定律 相互作用
摘要：一轻质弹簧，两端连着两个物块（质点）A、B，两物块可相对系统质心做简谐振动，这一系统就构成弹簧双振子．弹簧双振子是中学弹簧问题中较复杂的一类问题．在这类问题中，物块受变力作用，相对地面和质心都有运动，如采用牛顿定律处理往往难以奏效．仔细分析，若双振子不受外力或合外力为零时，是一个孤立的相互作用系统，此时若将碰撞的物理模型应用于该问题上，会有事半功倍的效果．。
弹簧振子问题的解题技巧
弹簧振子问题的解题技巧弹簧振子是物理学中一种常见的振动系统，研究弹簧振子的解题技巧对于物理学的学习和应用具有重要意义。
本文将介绍弹簧振子问题的解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握这一物理概念。
1. 弹簧振子的基本概念弹簧振子是由质量、弹簧和振幅组成的一个振动系统。
其基本方程可以表示为：m(d^2x/dt^2) + kx = 0其中，m是质量，k是弹簧的弹性系数，x是振子离开平衡位置的位移。
2. 弹簧振子问题的求解步骤（1）列出物体所受合力的方程：根据受力分析，我们可以列出弹簧振子所受合力的方程，这将有助于我们求解振子的运动方程。
（2）解微分方程：将合力的方程代入到弹簧振子的基本方程中，我们可以得到一个二阶线性非齐次常微分方程。
根据方程的特征根，可以得到振子的解。
（3）给定初始条件：根据问题的给定条件，我们可以确定振子的初始位移和初始速度。
将这些初始条件代入到方程的解中，可以得到具体的解析解。
3. 弹簧振子问题的常见解题技巧（1）频率和周期的计算：弹簧振子的频率和周期是解题中常见的要求。
根据振子的质量和弹簧的弹性系数，可以通过公式计算出频率和周期。
（2）阻尼振动的考虑：在实际情况中，弹簧振子往往存在阻尼。
考虑阻尼时，振子的运动方程将包含阻尼系数。
根据阻尼的不同情况，振子可能会呈现过阻尼、临界阻尼和欠阻尼等不同的振动形态。
（3）受迫振动的分析：在某些情况下，弹簧振子可能会受到外力的作用，形成受迫振动。
受迫振动的解题过程需要考虑外力的特性和振子自身的特性，找到受迫振动的解析解。
4. 弹簧振子问题的应用弹簧振子是物理学中一种重要的振动现象，其应用广泛。
在工程领域中，弹簧振子的特性常常被用于设计和优化机械系统；在科学研究中，弹簧振子的模型也被用于解释和预测自然界中的一些现象。
例如，在建筑工程中，设计人员需要考虑弹簧振子的特性，以确保建筑物在地震等外力作用下的稳定性。
在电子设备中，弹簧振子常被用于防震设计，以减小设备在运动中受到的震动。
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双弹簧振子问题的处理
湖北省恩施高中 陈恩谱
如图一所示，木块A 、B ，用轻质弹簧连接置于光滑水平面上，开始时弹簧处于自然状态（原长）。
现用水平恒力F 推木块A ，则在弹簧第一次被压缩到最短的过程中：
① A 、B 速度相同时，二者加速度大小关系如何？
② A 、B 加速度相同时，二者速度大小关系如何？
本题的解答，一般都用v-t 图像，作图时依据以下三点作出：①开始时A 的加速度为A
A m F a ，而
B 的加速度为0，②随着弹簧的压缩，A 的加速度开始减小，B 的加速度增大，③当A 、B 速度相等的时候，弹簧被压缩到最短。
其v-t 图像则一般被描绘为图二所示：
于是很容易得出结论为：①A 、B 速度相同时（t 2时刻），a A <a B ，②A 、B 加速度相同时（t 1时刻），v A >v B 。
得出结论②，依据开始时a A >a B ，最终a A <a B ，则中间一定有a A =a B 的时候。
但A 、B 的v-t 图像也有可能如图三那样，即在A 、B 速度相等之前，A 的加速度可能已减小到零（t 3时刻）甚至反向了——这是因为在弹簧被压缩到最短的过程中弹簧弹力一直在增大，中间某个时刻弹簧弹力有可能增加到与F 相等，而此时仍有v A >v B ，此后A 的速度开始减小，B 的速度继续增加，当二者速度相等时，弹簧被压缩到最短。
从上面的定性分析中，我们得承认两种情况都有可能存在，因此上述结论①“A 、B 速度相同时，a A <a B ”便不一定成立了。
那么，到底存不存在图三所示的情形呢？或者说，什么时候是图二所示的情形，什么时候是图三所示的情形？给出具体数据后，该如何描绘A 、B 的v-t 图像呢？下面以质心参考系来研究这一问题。
设A 、B （包括弹簧）系统的质心O 对地的加速度为a ，则由牛顿第二定律，有：
a m m F B A )(+=
选质心O 为参考系，则B 受到一个恒力——惯性力F B =m B a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度为a m F a B B B =='，方向与a 相反，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'B 随时间t 的变化曲线如图五所示：
选质心O 为参考系，则A 受到力F 和惯性力F A =m A a 的作用而作简谐运动，其初始时刻的相对加速度a m m m a m a m m m F F a A
B A A B A A A A =-+=-=)('，方向与a 相同，若m A >m B ，则a ’A <a ，选a 的方向为正方向，其相对加速度a'A 随时间t 的变化曲线如图六所示。
很容易证明A 、B 作简谐运动的周期是相同的*，设为T ，则图五、图六合在一起，如图七所示，其中实线表示a'A 随时间的变化曲线，虚线表示a'B 随时间的变化曲线。
由a绝对=a相对+a牵连，可知A、B对地的加速度a A、a B随时间的变化图象如图八所示，其中实线表示a A随时间的变化曲线，虚线表示a B随时间的变化曲线。
若m A<m B ，则图八变为图九所示。
从上述讨论中还可以知道，在t=T/4时，A、B的加速度相等，且都等于a；在t=T/2时，A、B都运动到距O最近的位置，此时弹簧被压缩到最短。
则从0~T/2这段时间内A、B的速度随时间的变化曲线为：
而且当弹簧压缩到最短时，A 、B 的共同速度为2T a v ⨯=，a B =2a 等等。
若A 、B 的质量相等，则有：
当弹簧被压缩到最短时，A 的加速度恰好为零，弹簧弹力恰为F 。
*设A 到质心O 的距离为r A ，B 到质心O 的距离为r B ，则有
A
B B A m m r r =…………………………① OA 段的劲度系数为k A ，OB 段的劲度系数为k B ，则有：
A
B B A r r k k =…………………………② ① ②联立可得
B
B A A k m k m =…………………………③ 而弹簧振子的周期为k
m T π
2=，则由③式可知T A =T B ，即A 、B 的振动周期相同。
陈恩谱2006.4.1。